نوع درس: توضیح مطالب جدید. کار به صورت گروهی انجام می شود. هر گروه یک متخصص دارد که بر کار دانش آموزان نظارت و هدایت می کند. به دانش آموزان ضعیف کمک می کند تا قدرت خود را در حل این معادلات باور کنند.

دانلود:

پیش نمایش:

درس مرتبط

" معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف:

1. معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II.
2. الگوریتمی را برای حل معادلات مثلثاتی همگن با درجه I و II تدوین و کار کنید.
3. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II به دانش آموزان.
4. توسعه توانایی شناسایی الگوها، تعمیم.
5. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس : درسی در شکل گیری دانش جدید.

فرم انجام: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک متخصص مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. پیوست 1.

برگه ارزیابی شماره

n\n	نام خانوادگی نام	مشق شب	فعالیت شناختی	حل معادلات	مستقل کار	مقطع تحصیلی

II. به روز رسانی دانش پایه..

ما مطالعه خود را در مورد موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می شویم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. همه انواع معادلات مثلثاتی وقتی حل می شوند به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می یابند. اجازه دهید انواع اصلی ساده ترین معادلات مثلثاتی را به یاد بیاوریم. از فلش ها برای مطابقت با عبارات استفاده کنید.

III. انگیزه یادگیری.

ما باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را یاد خواهیم گرفت که امروز در درس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش‌آموزان حدس می‌زنند، یک کارشناس مستقل امتیازاتی را در برگه امتیاز برای دانش‌آموزانی که پاسخ می‌دهند وارد می‌کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، بچه ها کلمه "همگن" را می خوانند.

جدول کلمات متقاطع

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

1. مقدار متغیری که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند؟ (ریشه)

2. واحد اندازه گیری زاویه ها؟ (رادیان)

3. ضریب عددی در حاصلضرب؟ (ضریب)

4. بخشی از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

5. برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

6. کدام یک از توابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

7. نام برابری واقعی چیست؟ (هویت)

8.برابری با یک متغیر؟ (معادله)

9. معادلات با ریشه های یکسان؟ (معادل)

10. مجموعه ریشه های معادله؟ (تصمیم)

IV. توضیح مطالب جدید

موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است. (ارائه)

مثال ها:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 گناه 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

V. کار مستقل

وظایف: آزمون جامع دانش دانش آموزان هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، تشویق دانش آموزان به درون نگری، خودکنترلی.
از دانش آموزان خواسته می شود که 10 دقیقه کار کتبی را تکمیل کنند.
دانش آموزان برای کپی کردن روی کاغذهای خالی اجرا می کنند. پس از گذشت زمان، سرفصل های کارهای مستقل جمع آوری می شود و راه حل های کپی برای دانش آموزان باقی می ماند.
بررسی کار مستقل (3 دقیقه) با بررسی متقابل انجام می شود.
. دانش‌آموزان کارهای نوشتاری همسایه خود را با خودکار رنگی بررسی می‌کنند و نام تأییدکننده را یادداشت می‌کنند. سپس برگ ها را تحویل دهید.

سپس به یک کارشناس مستقل تحویل داده می شوند.

گزینه 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

گزینه 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3) 1 + گناه 2 x = 2 گناه x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. جمع بندی درس

VII. مشق شب:

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف داده شد)

فعالیت دانش آموز - 1 پاسخ - 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف: معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II. الگوریتمی را برای حل معادلات مثلثاتی همگن با درجه I و II تدوین و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها، تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درسی در شکل گیری دانش جدید

فرم رفتار: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

سلام دانش آموزان بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک متخصص مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

تکالیف قبل از درس توسط کارشناس و مشاوران مستقل بررسی و ارزیابی می شود و برگه ارزشیابی تکمیل می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما مطالعه خود را در مورد موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس ما شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. همه انواع معادلات مثلثاتی وقتی حل می شوند به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می یابند.

تکالیف انفرادی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: ما باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را یاد خواهیم گرفت که امروز در درس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش‌آموزان حدس می‌زنند، یک کارشناس مستقل امتیازاتی را در برگه امتیاز برای دانش‌آموزانی که پاسخ می‌دهند وارد می‌کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، بچه ها کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

موضوع درس را در یک دفترچه بنویسیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من از مثالی برای نشان دادن جواب این نوع معادله استفاده می کنم، شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک می سازید.

معادله نوع آ sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

حل معادله را در هنگام ضرایب در نظر بگیرید آو که درمتفاوت از 0

مثال: sinx + cosx = 0

آر از تقسیم هر دو قسمت معادله بر ترم بر cosx، به دست می‌آییم

توجه! تقسیم بر 0 فقط در صورتی امکان پذیر است که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس 0 باشد، سینوس نیز 0 خواهد بود، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف ناپدید می شوند. بنابراین در هنگام حل این نوع معادله می توان این عمل را انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم هر دو قسمت معادله بر cosx، cosx 0

معادله نوع آ sin mx +ب cos mx = 0آنها همچنین یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک می نامند و همچنین تقسیم هر دو قسمت معادله را بر کسینوس mx حل می کنند.

معادله نوع آ گناه 2 x +ب سینکس کاکس +ج cos2x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم هر دو قسمت معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a \u003d 0 باشد، معادله به شکل 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن عامل مشترک cosx از پرانتز حل می کنیم. اگر ضریب c \u003d 0 باشد، معادله به شکل sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا عبارت asin2 x در معادله است.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، با تقسیم هر دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید، معادله حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با روش فاکتورسازی حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 به شماره 361-ج

تصمیم گروه 3 و 4 شماره 363-v

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-ج
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
هر دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tgx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

حل معادلات

2 cos - 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

در پایان کار مستقل، کار و تأیید متقابل تغییر می کند. پاسخ های صحیح روی تابلو نمایش داده می شود.

سپس به یک کارشناس مستقل تحویل داده می شوند.

راه حل خودت انجام بده

جمع بندی درس.

با چه نوع معادلات مثلثاتی در درس مواجه شدیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

مشق شب: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (d)، 363 (b)، افزایش دشواری علاوه بر این شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند؟ (ریشه)

واحد زاویه؟ (رادیان)

ضریب عددی در محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

کدام یک از توابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های معادله ? (تصمیم)

مقاله ارزشیابی

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
مطالعه

حل معادلات

مستقل
کار

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز - 1 پاسخ - 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعات مربوط به شما را فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

دانش آموزان با کمک این درس تصویری می توانند مبحث معادلات مثلثاتی همگن را مطالعه کنند.

بیایید تعاریف را ارائه دهیم:

1) یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول شبیه یک sin x + b cos x = 0 است.

2) یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم شبیه یک sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 است.

معادله a sin x + b cos x = 0 را در نظر بگیرید. اگر a صفر باشد، معادله شبیه b cos x = 0 خواهد بود. اگر b صفر باشد، معادله شبیه یک sin x = 0 خواهد بود.

حال گزینه ای را در نظر بگیرید که a و b برابر با صفر نیستند. با تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x تبدیل را انجام می دهیم. یک tg x + b = 0 دریافت می کنیم، سپس tg x برابر با - b/a خواهد بود.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که معادله a sin mx + b cos mx = 0 یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل یک معادله، اجزای آن را بر cos mx تقسیم کنید.

بیایید مثال 1 را تجزیه و تحلیل کنیم. حل 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. ابتدا بخش های معادله را بر کسینوس (x / 2) تقسیم کنید. با دانستن اینکه سینوس تقسیم بر کسینوس مماس است، 7 tg (x / 2) - 5 = 0 به دست می آوریم. با تبدیل عبارت، متوجه می شویم که مقدار مماس (x / 2) 5/7 است. راه حل این معادله x = آرکتان a + πn است، در مورد ما x = 2 آرکتان (5/7) + 2πn.

معادله a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 را در نظر بگیرید:

1) با یک برابر صفر، معادله شبیه b sin x cos x + c cos 2 x = 0 خواهد بود. با تبدیل، عبارت cos x (b sin x + c cos x) = 0 را بدست می آوریم و به حل ادامه می دهیم. از دو معادله پس از تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، b tg x + c = 0 به دست می‌آید، یعنی tg x = - c/b. با دانستن اینکه x \u003d arctan a + πn، پس راه حل در این مورد x \u003d arctg (- c / b) + πn خواهد بود.

2) اگر a برابر با صفر نباشد، با تقسیم اجزای معادله بر مجذور کسینوس، معادله ای حاوی مماس به دست می آید که مربع خواهد بود. این معادله را می توان با معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3) هنگامی که c برابر با صفر باشد، معادله به شکل a sin 2 x + b sin x cos x = 0 خواهد بود. این معادله را می توان با خارج کردن سینوس x از براکت حل کرد.

1. ببینید آیا یک گناه 2 x در معادله وجود دارد.

2. اگر عبارت a sin 2 x در معادله موجود باشد، می توان معادله را با تقسیم هر دو قسمت بر کسینوس مجذور و سپس معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3. اگر معادله a sin 2 x شامل نمی شود، می توان با خارج کردن براکت های cosx معادله را حل کرد.

مثال 2 را در نظر بگیرید. کسینوس را بیرون می آوریم و دو معادله بدست می آوریم. ریشه معادله اول x = π/2 + πn است. برای حل معادله دوم، اجزای این معادله را بر کسینوس x تقسیم می کنیم، با تبدیل x = π/3 + πn بدست می آوریم. پاسخ: x = π/2 + πn و x = π/3 + πn.

بیایید مثال 3، معادله ای به شکل 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 را حل کرده و ریشه های آن را که متعلق به بخش از - π تا π است، پیدا کنیم. زیرا از آنجایی که این معادله ناهمگن است، لازم است آن را به شکل همگن کاهش دهیم. با استفاده از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1، معادله sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 را به دست می آوریم. با تقسیم تمام قسمت های معادله بر cos 2 x، tg 2 2x + به دست می آید. 2tg 2x + 1 = 0 با استفاده از معرفی یک متغیر جدید z = tg 2x، معادله ای را حل می کنیم که ریشه آن z = 1 است. سپس tg 2x = 1، که به معنای x = π/8 + (πn)/2 است. زیرا با توجه به شرایط مشکل، شما باید ریشه هایی را که متعلق به بخش از - π تا π هستند پیدا کنید، راه حل شبیه - π خواهد بود.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

تفسیر متن:

معادلات مثلثاتی همگن

امروز نحوه حل "معادلات مثلثاتی همگن" را تحلیل خواهیم کرد. این معادلات از نوع خاصی هستند.

بیایید با تعریف آشنا شویم.

معادله نوع و sinx+بcosایکس = 0 (و سینوس x به اضافه کسینوس x صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله فرم گناه 2 x+بگناه xcosایکس+ccos 2 ایکس= 0 (و سینوس مربع x به علاوه سینوس x کسینوس x به علاوه se کسینوس مربع x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

اگر یک a=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت بcosایکس = 0.

اگر یک ب = 0 ، سپس دریافت می کنیم و sin x = 0.

این معادلات مثلثاتی ابتدایی هستند و حل آنها را در مباحث قبلی در نظر گرفتیم

در نظر گرفتنحالتی که هر دو ضریب غیر صفر باشند. دو طرف معادله را تقسیم کنید آگناهایکس+ بcosایکس = 0 مدت به مدت در cosایکس.

ما می توانیم این کار را انجام دهیم، زیرا کسینوس x غیر صفر است. پس از همه، اگر cosایکس = 0 ، سپس معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 شکل خواهد گرفت آگناهایکس = 0 , آ≠ 0، بنابراین گناهایکس = 0 . که غیر ممکن است، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اساسی گناه 2x+cos 2 ایکس=1 .

تقسیم دو طرف معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 مدت به مدت در cosایکس، دریافت می کنیم: + =0

بیایید تحولات را انجام دهیم:

1. از آنجایی که = tg x، سپس =و tg x

2 کاهش دهد cosایکس، سپس

بنابراین عبارت زیر را بدست می آوریم و tg x + b = 0.

بیایید تبدیل را انجام دهیم:

1. b را با علامت مخالف به سمت راست عبارت ببرید

و tg x \u003d - b

2. از شر ضریب خلاص شوید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنیم

tg x= -.

نتیجه گیری: معادله ای از فرم و گناهمترx+بcosmx = 0 (و سینوس em x به اضافه کسینوس em x صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود. برای حل آن، هر دو طرف را تقسیم کنید cosmx.

مثال 1. معادله 7 sin - 5 cos \u003d 0 را حل کنید (هفت سینوس x در دو منهای پنج کسینوس x در دو صفر است)

تصمیم گیری هر دو قسمت معادله را بر ترم بر cos تقسیم می کنیم، به دست می آید

1. \u003d 7 tg (از آنجایی که نسبت سینوس به کسینوس مماس است، پس هفت سینوس x بر دو تقسیم بر کسینوس x بر دو برابر است با 7 مماس x بر دو)

2. -5 = -5 (در صورت مخفف cos)

بنابراین ما معادله را بدست آوردیم

7tg - 5 = 0، بیایید عبارت را تبدیل کنیم، منهای پنج را به سمت راست حرکت دهیم، علامت را تغییر دهیم.

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t=، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آ و این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg a + πn، سپس جواب معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

Arctg + πn، x را پیدا کنید

x \u003d 2 آرکتان + 2πn.

پاسخ: x \u003d 2 arctg + 2πn.

بیایید به یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم برویم

آsin 2 x+b sin x cos x +باcos2 x=0.

بیایید چند مورد را در نظر بگیریم.

I. اگر a=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت بگناهایکسcosایکس+ccos 2 ایکس= 0.

هنگام حل eسپس از روش فاکتورگیری معادلات استفاده می کنیم. بیایید بیرون بیاوریم cosایکسبراکت ها و دریافت می کنیم: cosایکس(بگناهایکس+ccosایکس)= 0 . جایی که cosایکس= 0 یا

b sin x +باcos x=0.و ما قبلاً می دانیم که چگونه این معادلات را حل کنیم.

هر دو قسمت معادله را بر ترم بر cosx تقسیم می کنیم، به دست می آید

1 (زیرا نسبت سینوس به کسینوس مماس است).

بنابراین معادله را بدست می آوریم: ب tg x+c=0

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t= x، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg a + πn، سپس جواب معادله ما خواهد بود:

x \u003d arctg + πn، .

II. اگر یک a≠0، سپس هر دو قسمت معادله را ترم به ترم به دو قسمت تقسیم می کنیم cos 2 ایکس.

(به طور مشابه، مانند مورد یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، کسینوس x نمی تواند محو شود).

III. اگر یک c=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس= 0. این معادله با روش فاکتورگیری (برداشتن گناهایکسبرای براکت).

بنابراین، هنگام حل معادله آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس+ccos 2 ایکس= 0 می توانید الگوریتم را دنبال کنید:

مثال 2. معادله sinxcosx - cos 2 x= 0 را حل کنید (سینوس x ضربدر کسینوس x منهای ریشه سه ضرب کسینوس مجذور x برابر با صفر است).

تصمیم گیری اجازه دهید فاکتورسازی کنیم (براکت cosx). گرفتن

cos x(sin x - cos x)= 0، i.e. cos x=0 یا sin x - cos x= 0.

پاسخ: x \u003d + πn، x \u003d + πn.

مثال 3. حل معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (سه سینوس مربع دو x منهای دو برابر حاصل ضرب سینوس دو x و کسینوس دو x به اضافه سه کسینوس مربع دو x) و ریشه های آن را متعلق به بازه (- π؛ π) بیابید.

تصمیم گیری این معادله همگن نیست، بنابراین تبدیل ها را انجام خواهیم داد. عدد 2 موجود در سمت راست معادله با حاصلضرب 2 1 جایگزین می شود

از آنجایی که، با توجه به هویت مثلثاتی اولیه، sin 2 x + cos 2 x \u003d 1، پس

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = باز کردن پرانتزها به دست می آید: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

بنابراین معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 به شکل زیر خواهد بود:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم به دست آورده ایم. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 2x اعمال کنیم:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

اجازه دهید یک متغیر جدید z= tg2x معرفی کنیم.

ما z 2 - 2 z + 1 = 0 داریم. این یک معادله درجه دوم است. با توجه به فرمول ضرب اختصاری در سمت چپ - مربع تفاوت ()، ما (z - 1) 2 = 0 را دریافت می کنیم، یعنی. z = 1. اجازه دهید به جایگزینی معکوس برگردیم:

ما معادله را به شکل tg t \u003d a کاهش داده ایم، که در آن t \u003d 2x، a \u003d 1 است. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg x a + πn، سپس جواب معادله ما خواهد بود:

2x \u003d arctg1 + πn،

x \u003d + , (x برابر است با مجموع پی ضربدر هشت و پی در برابر دو).

برای ما باقی می ماند که چنین مقادیر x را که در بازه موجود است پیدا کنیم

(- π؛ π)، یعنی. ارضای نابرابری دوگانه - π x π. مانند

x= +، سپس - π + π. تمام قسمت های این نابرابری را بر π تقسیم کرده و در 8 ضرب می کنیم، به دست می آید

واحد را به سمت راست و چپ حرکت دهید و علامت را به منفی یک تغییر دهید

تقسیم بر چهار به دست می آید

برای راحتی، در کسری، قطعات صحیح را انتخاب می کنیم

-

این نابرابری با عدد صحیح n برآورده می شود: -2، -1، 0، 1

"عظمت انسان در توانایی او در تفکر است."
بلز پاسکال

اهداف درس:

1) آموزشی- آشنایی دانش آموزان با معادلات همگن، در نظر گرفتن روش هایی برای حل آنها، کمک به شکل گیری مهارت برای حل انواع معادلات مثلثاتی که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته اند.

2) آموزشی- توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، فعالیت شناختی آنها، تفکر منطقی، حافظه، توانایی کار در یک موقعیت مشکل، دستیابی به توانایی بیان صحیح، مداوم، منطقی افکار خود، گسترش افق دانش آموزان، بالا بردن سطح فرهنگ ریاضی آنها.

3) آموزشی- پرورش میل به خودسازی، کار سخت، ایجاد توانایی برای انجام صحیح و دقیق سوابق ریاضی، پرورش فعالیت، ترویج علاقه به ریاضیات.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

1. کارت های پانچ شده برای شش دانش آموز.
2. کارت هایی برای کار مستقل و فردی دانش آموزان.
3. مخفف "حل معادلات مثلثاتی"، "دایره واحد عددی".
4. جداول برق دار در مثلثات.
5. ارائه برای درس (پیوست 1).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی (2 دقیقه)

سلام متقابل؛ بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس (محل کار، ظاهر)؛ سازمان توجه

معلم موضوع درس را به دانش آموزان می گوید (اسلاید 2)و توضیح می دهد که جزوه ای که روی میزها قرار دارد در طول درس استفاده می شود.

2. تکرار مطالب تئوری (15 دقیقه)

وظایف روی کارت های پانچ شده(6 نفر) . زمان کار بر روی کارت های پانچ - 10 دقیقه (ضمیمه 2)

با حل تکالیف، دانش آموزان یاد خواهند گرفت که محاسبات مثلثاتی در کجا اعمال می شود. پاسخ‌های زیر به دست می‌آیند: مثلث‌سازی (تکنیکی که امکان اندازه‌گیری فاصله تا ستارگان مجاور را در نجوم می‌دهد)، آکوستیک، اولتراسوند، توموگرافی، ژئودزی، رمزنگاری.

(اسلاید 5)

نظرسنجی جلو

1. به چه معادلاتی مثلثاتی می گویند؟
2. چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟
3. ساده ترین معادلات مثلثاتی به چه معادلاتی گفته می شود؟
4. به چه معادلاتی مثلثاتی درجه دوم می گویند؟
5. تعریف آرکسین a را فرموله کنید.
6. تعریف کسینوس قوس a را فرموله کنید.
7. تعریف مماس قوس a را فرموله کنید.
8. تعریف مماس معکوس a را فرموله کنید.

بازی "کلمه رمز را حدس بزنید"

بلز پاسکال زمانی گفت که ریاضیات آنقدر علم جدی است که نباید فرصتی را برای سرگرم کردن آن کمی از دست داد. پس پیشنهاد میکنم بازی کنید پس از حل مثال ها، دنباله ارقامی را که کلمه رمزگذاری شده با آن تشکیل شده است، تعیین کنید. در لاتین این کلمه به معنای "سینه" است. (اسلاید 3)

2) آرکتان (-√3)

4) tg(arc cos(1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

پاسخ: "خم شدن"

بازی "ریاضیدان پراکنده»

وظایف کار شفاهی روی صفحه نمایش داده می شود:

صحت حل معادلات را بررسی کنید.(پاسخ صحیح بعد از پاسخ دانش آموز در اسلاید ظاهر می شود). (اسلاید 4)

	پاسخ هایی با خطا	پاسخ های درست
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	ایکس = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1، x \u003d π / 4 + πn
	x = ± π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2، x = ± π/3+2πn

بررسی تکالیف

معلم صحت و آگاهی از تکالیف را توسط همه دانش آموزان مشخص می کند. شکاف های دانش را شناسایی می کند. دانش، مهارت و توانایی دانش آموزان در زمینه حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را بهبود می بخشد.

1 معادله دانش آموز در مورد حل معادله که خطوط آن به ترتیب نظر در اسلاید ظاهر می شود نظر می دهد). (اسلاید 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈ز.

2x \u003d π / 6 + πn، n ∈ز.

x \u003d π / 12 + π/2 n n ∈ز.

2 معادله. تصمیم گیری ساعتبرای دانش آموزان روی تخته نوشته شده است.

2 گناه 2 x + 3 cosx = 0.

3. به فعلیت رساندن دانش جدید (3 دقیقه)

دانش آموزان به درخواست معلم راه های حل معادلات مثلثاتی را به یاد می آورند. آنها معادلاتی را انتخاب می کنند که از قبل می دانند چگونه حل کنند، روش حل معادله و نتیجه را نام می برند. . پاسخ ها در اسلاید ظاهر می شوند. (اسلاید 7) .

معرفی یک متغیر جدید:

شماره 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

بگذارید sinx = t، سپس:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

فاکتورسازی:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 یا 3 sinx - 1 = 0; …

شماره 3. 2 sinx - 3 cosx = 0،

شماره 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

معلم:شما هنوز نمی دانید که چگونه دو نوع معادله آخر را حل کنید. هر دو از یک نوع هستند. آنها را نمی توان به معادله ای برای توابع sinx یا cosx تقلیل داد. نامیده می شوند معادلات مثلثاتی همگناما فقط اولی یک معادله همگن درجه اول است و دومی یک معادله همگن درجه دوم است. امروز در درس با چنین معادلاتی آشنا می شوید و نحوه حل آنها را یاد می گیرید.

4. توضیح مطالب جدید (25 دقیقه)

معلم تعاریف معادلات مثلثاتی همگن را به دانش آموزان می دهد، راه های حل آنها را معرفی می کند.

تعریف.معادله ای به شکل a sinx + b cosx = 0 که a ≠ 0، b ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی همگن درجه اول.(اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 3 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

و sinx + b cosx = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

- آیا چنین وضعیتی ممکن است رخ دهد؟

- نه ما یک تناقض با هویت مثلثاتی اصلی به دست آورده ایم.

بنابراین، cosx ≠ 0. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cosx انجام دهیم:

a tgx + b = 0

tgx = -b / aساده ترین معادله مثلثاتی است.

نتیجه:معادلات مثلثاتی همگن درجه اول با تقسیم دو طرف معادله بر cosx (sinx) حل می شوند.

مثلا: 2 sinx - 3 cosx = 0،

زیرا cosx ≠ 0، سپس

tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn، n ∈Z.

تعریف.معادله ای به شکل a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 که a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی درجه دوم (اسلاید 8)

یک مثال از چنین معادله ای معادله شماره 4 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

باز هم با هویت مثلثاتی اصلی تناقض داشتیم.

بنابراین، cosx ≠ 0. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 x انجام دهیم:

و tg 2 x + b tgx + c = 0 یک معادله درجه دوم است.

نتیجه گیری: اوهمعادلات مثلثاتی همگن درجه دوم با تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x (sin 2 x) حل می شوند.

مثلا: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (از دانش آموز دعوت کنید تا به تخته سیاه برود و معادله را خودش کامل کند).

جایگزینی: tgx = y. 3y 2 - 4y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 یا y 2 = 1/3

tgx=1 یا tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn، n ∈Z.

x = arctg1 + πn، n ∈Z.

x = π/4 + πn، n ∈Z.

5. مرحله بررسی درک دانش آموزان از مطالب جدید (1 دقیقه).

معادله اضافی را انتخاب کنید:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(اسلاید 9)

6. ادغام مواد جدید (24 دقیقه).

دانش آموزان، همراه با کسانی که در تخته سیاه پاسخ می دهند، معادلات مطالب جدید را حل می کنند. وظایف به شکل جدول در اسلاید نوشته می شود. هنگام حل معادله، قسمت مربوطه از تصویر روی اسلاید باز می شود. در نتیجه اجرای 4 معادله، تصویری از یک ریاضیدان که تأثیر بسزایی در توسعه مثلثات داشته است در برابر دانش آموزان باز می شود. (دانش آموزان پرتره فرانسوا ویتا را تشخیص می دهند - ریاضیدان بزرگی که سهم زیادی در مثلثات داشت، خاصیت ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را کشف کرد و به رمزنگاری مشغول بود) . (اسلاید 10)

1) √3sinx + cosx = 0،

زیرا cosx ≠ 0، سپس

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn، n ∈Z.

x = –π/6 + πn، n∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

جایگزینی: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 یا y 2 = 3

tgx=7 یا tgx=3

x = arctg7 + πn، n ∈Z

x = arctg3 + πn، n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

زیرا cos 2 2x ≠ 0، سپس 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

جایگزینی: tg2x = y.

3 سال 2 - 6 سال + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 یا y 2 = 1

tg2x=5 یا tg2x=1

2x = arctg5 + πn، n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n، n ∈Z

2x = arctg1 + πn، n ∈Z

x = π/8 + π/2 n، n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠0، سپس 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

جایگزینی: tg x = y.

5 سال 2 + 4 سال - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 یا y 2 = -1

tgx = 1/5 یا tgx = -1

x = arctg1/5 + πn، n ∈Z

x = arctg(–1) + πn، n∈Z

x = –π/4 + πn، n∈Z

موارد اضافی (روی کارت):

معادله را حل کنید و با انتخاب یک گزینه از چهار گزینه پیشنهادی، نام ریاضیدانی که فرمول های کاهش را به دست آورده است را حدس بزنید:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

گزینه های پاسخ:

х = arctg2 + 2πn، n ∈Z х = –π/2 + πn، n ∈Z – P. Chebyshev

x = آرکتان 12.5 + 2πn، n ∈Z x = -3π/4 + πn، n ∈Z - اقلیدس

х = arctg 5 + πn، n ∈Z х = –π/3 + πn، n ∈Z – سوفیا کووالفسکایا

x = arctg2.5 + πn، n ∈Z x = –π/4 + πn، n ∈Z – لئونارد اویلر

پاسخ صحیح: لئونارد اویلر.

7. کار مستقل متمایز (8 دقیقه)

ریاضیدان و فیلسوف بزرگ بیش از 2500 سال پیش راهی برای توسعه توانایی های ذهنی پیشنهاد کرد. او گفت: "تفکر با شگفتی آغاز می شود." ما امروز بارها به درستی این کلمات متقاعد شده ایم. پس از اتمام کار مستقل روی 2 گزینه، می توانید نحوه یادگیری مطالب را نشان دهید و نام این ریاضیدان را بدانید. برای کار مستقل، از جزوه ای که روی میزتان است استفاده کنید. شما می توانید یکی از سه معادله پیشنهادی را خودتان انتخاب کنید. اما به یاد داشته باشید که با حل معادله مربوط به زرد، فقط می توانید "3" را بدست آورید، حل معادله مربوط به سبز - "4"، قرمز - "5". (ضمیمه 3)

دانش آموزان هر سطحی از دشواری را انتخاب کنند، پس از حل صحیح معادله، گزینه اول کلمه "ARIST" و گزینه دوم - "HOTEL" دریافت می کند. در اسلاید کلمه به دست آمده است: "ARIST-HOTEL". (اسلاید 11)

جزوات با کار مستقل برای تأیید تحویل داده می شود. (ضمیمه 4)

8. ضبط تکالیف (1 دقیقه)

D/Z: §7.17. 2 معادله همگن درجه اول و 1 معادله همگن درجه دوم را بسازید و حل کنید (با استفاده از قضیه ویتا برای تدوین). (اسلاید 12)

9. جمع بندی درس، نمره گذاری (2 دقیقه)

معلم یک بار دیگر توجه را به آن دسته از معادلات جلب می کند و آن واقعیت های نظری که در درس به خاطر سپرده شد، از لزوم یادگیری آنها صحبت می کند.

دانش آموزان به سوالات پاسخ می دهند:

1. ما با چه نوع معادلات مثلثاتی آشنا هستیم؟
2. این معادلات چگونه حل می شوند؟

معلم موفق ترین کار را در درس تک تک دانش آموزان یادداشت می کند، نمره می دهد.