تحولات روش شناختی برای درس انتخابی

"روش حل معادلات غیر منطقی""

معرفی

درس انتخابی پیشنهادی «روش‌های حل معادلات غیرمنطقی» برای دانش‌آموزان پایه یازدهم آموزش و پرورش عمومی و موضوع محور و با هدف گسترش دانش نظری و عملی دانش‌آموزان در نظر گرفته شده است. درس انتخابی بر اساس دانش و مهارت هایی است که دانش آموزان در حین تحصیل ریاضی در دبیرستان کسب می کنند.

ویژگی این دوره در این واقعیت نهفته است که در درجه اول برای دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که می خواهند بسط، تعمیق، سیستماتیک، تعمیم دانش ریاضی خود، مطالعه روش ها و تکنیک های رایج برای حل معادلات غیرمنطقی را مطالعه کنند. این برنامه شامل سوالاتی است که تا حدی فراتر از برنامه های فعلی در ریاضیات و روش های غیر استاندارد است که به شما امکان می دهد مسائل مختلف را به طور مؤثرتری حل کنید.

اکثر وظایف USE به فارغ التحصیلان نیاز دارد که بر روش های مختلف برای حل انواع معادلات و سیستم های آنها تسلط داشته باشند.مطالب مربوط به معادلات و سیستم های معادلات بخش قابل توجهی از درس ریاضی مدرسه است. اهمیت موضوع «معادلات غیرمنطقی» در درس ریاضی مدرسه و در عین حال کمبود وقت برای در نظر گرفتن روش‌ها و رویکردهای غیراستاندارد برای حل معادلات غیرمنطقی، اهمیت انتخاب موضوع درس انتخابی را مشخص می‌کند. که در وظایف گروه "C" آزمون یکپارچه دولتی یافت می شود.

همراه با وظیفه اصلی آموزش ریاضیات - اطمینان از تسلط قوی و آگاهانه بر سیستم دانش و مهارت های ریاضی توسط دانش آموزان - این درس انتخابی شکل گیری علاقه پایدار به موضوع، توسعه توانایی های ریاضی، بهبود مهارت های ریاضی را فراهم می کند. سطح فرهنگ ریاضی دانش آموزان، زمینه را برای موفقیت در آزمون و ادامه تحصیل در دانشگاه ها ایجاد می کند.

هدف دوره:

افزایش سطح درک و آموزش عملی در حل معادلات غیرمنطقی.

بررسی تکنیک ها و روش های حل معادلات غیر منطقی.

برای تشکیل توانایی تجزیه و تحلیل، برجسته کردن چیز اصلی، تشکیل عناصر جستجوی خلاق بر اساس تکنیک های تعمیم.

برای گسترش دانش دانش آموزان در مورد این موضوع، مهارت ها و توانایی های حل مسائل مختلف را برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان بهبود بخشید.

اهداف دوره:

گسترش دانش در مورد روش ها و راه های حل معادلات جبری.

تعمیم و نظام مند کردن دانش هنگام تدریس در کلاس های 10-11 و آماده شدن برای امتحان.

توسعه توانایی کسب و به کارگیری مستقل دانش؛

معرفی دانش آموزان به کار با ادبیات ریاضی؛

توسعه تفکر منطقی دانش آموزان، فرهنگ الگوریتمی و شهود ریاضی آنها.

ارتقای فرهنگ ریاضی دانش آموزان.

برنامه دوره انتخابی شامل مطالعه روش ها و رویکردهای مختلف در حل معادلات غیر منطقی، توسعه مهارت های عملی در مورد موضوعات مورد بررسی است. این دوره به مدت 17 ساعت طراحی شده است.

این برنامه پیچیده است، از دوره معمول مطالعه فراتر می رود، توسعه تفکر انتزاعی را ترویج می کند و زمینه دانش دانش آموز را گسترش می دهد. در عین حال، تداوم برنامه های موجود را حفظ می کند و ادامه منطقی آنها است.

طرح آموزشی و موضوعی

№p/p

موضوع

تعداد ساعت

حل معادلات با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول

حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن توان طبیعی

حل معادلات با معرفی متغیرهای کمکی (روش جایگزینی)

حل معادله با رادیکال درجه سوم.

تبدیل هویت در حل معادلات غیر منطقی

کارهای غیر سنتی وظایف گروه "C" USE

اشکال کنترل:کنترل خانه، کار مستقل، مقالات و مقالات تحقیقاتی.

در نتیجه تدریس این درس انتخابی، دانشجویان باید بتوانند معادلات غیرمنطقی مختلف را با استفاده از روش‌ها و تکنیک‌های استاندارد و غیراستاندارد حل کنند.

تسلط بر الگوریتم حل معادلات غیر منطقی استاندارد؛

قادر به استفاده از خواص معادلات برای حل وظایف غیر استاندارد.

قادر به انجام تبدیل های یکسان در هنگام حل معادلات.

درک روشنی از موضوعات آزمون دولتی واحد، روش های اصلی حل آنها داشته باشید.

کسب تجربه در انتخاب روش هایی برای حل مسائل غیر استاندارد.

بخش اصلی.

معادلاتی که در آنها کمیت مجهول زیر علامت رادیکال باشد نامیده می شوند غیر منطقی

ساده ترین معادلات غیر منطقی شامل معادلات به شکل زیر است:

ایده اصلی راه حلمعادله غیرمنطقی عبارت است از تقلیل آن به یک معادله جبری منطقی که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. هنگام حل معادلات غیرمنطقی، ما همیشه در مورد یافتن ریشه های واقعی صحبت می کنیم.

چند راه حل معادلات غیر منطقی را در نظر بگیرید.

1. حل معادلات غیر منطقی با در نظر گرفتن محدوده مقادیر مجاز (ODZ).

دامنه مقادیر مجاز یک معادله غیرمنطقی شامل مقادیر مجهولاتی است که تمام عبارات زیر علامت رادیکال درجه زوج غیرمنفی هستند.

گاهی اوقات دانش ODZ به ما اجازه می‌دهد ثابت کنیم که معادله هیچ راه‌حلی ندارد، و گاهی اوقات به ما اجازه می‌دهد تا با جایگزین کردن مستقیم اعداد از ODZ راه‌حل‌هایی برای معادله پیدا کنیم..

مثال 1 . معادله را حل کنید.

تصمیم گیری . با یافتن ODZ این معادله، به این نتیجه می رسیم که ODZ معادله اصلی یک مجموعه تک عنصری است.. جایگزین کردنx=2در این معادله نتیجه می گیریم کهx=2ریشه معادله اصلی است.

پاسخ : 2 .

مثال 2.

معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا برای هر مقدار مجاز متغیر، مجموع دو عدد غیر منفی نمی تواند منفی باشد.

مثال 3
+ 3 =
.

ODZ:

معادله ODZ یک مجموعه خالی است.

پاسخ: معادله ریشه ندارد.

مثال 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه معادله است.

پاسخ 1.

ثابت کنید که معادله شماره ندارد

ریشه ها

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

معادله را حل کنید.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. در بالا بردن دو طرف معادله به توان طبیعی ، یعنی انتقال از معادله

(1)

به معادله

. (2)

عبارات زیر درست است:

1) برای هر معادله (2) نتیجه معادله (1) است.

2) اگر ( nیک عدد فرد است، سپس معادلات (1) و (2). ) معادل هستند;

3) اگر ( nیک عدد زوج است، سپس معادله (2) معادل معادله است

, (3)

و معادله (3) معادل مجموعه معادلات است

. (4)

به ویژه، معادله

(5)

معادل مجموعه معادلات (4) است.

مثال 1. معادله را حل کنید

.

معادله معادل سیستم است

از این رو نتیجه می شود که x=1، و ریشه نابرابری دوم را برآورده نمی کند. در عین حال، یک راه حل شایسته نیازی به تأیید ندارد.

پاسخ:x=1.

مثال 2. معادله را حل کنید.

حل معادله اول این سیستم که معادل معادله است ، ریشه ها را می گیریم و . با این حال، برای این ارزش ها ایکسنابرابری ارضا نمی شود و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه

مثال 3. معادله را حل کنید

پس از جداسازی اولین رادیکال، معادله را بدست می آوریم

معادل اصل

دو طرف این معادله را مربع می کنیم، چون هر دو مثبت هستند، معادله را بدست می آوریم

,

که نتیجه معادله اصلی است. دو طرف این معادله را با این شرط مربع می کنیم که به معادله می رسیم

.

این معادله ریشه دارد . ریشه اول شرایط اولیه را برآورده می کند و دومی نه.

پاسخ: x=2 .

اگر معادله شامل دو یا چند رادیکال باشد، ابتدا آنها را جدا کرده و سپس مجذور می کنند.

مثال 1

پس از جداسازی رادیکال اول، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آوریم. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

پس از انجام تبدیل های لازم، معادله حاصل را مربع می کنیم

پس از بررسی متوجه می شویم که

در محدوده مجاز نیست

جواب: 8.

پاسخ: 2

پاسخ: 3; 1.4.

3. بسیاری از معادلات غیر منطقی با معرفی متغیرهای کمکی حل می شوند.

یک وسیله مناسب برای حل معادلات غیرمنطقی گاهی اوقات روش معرفی یک متغیر جدید یا روش جایگزینیاین روش معمولاً اگر در معادله باشد اعمال می شود برخی از بیان به طور مکرر رخ می دهدبسته به مقدار مجهول. سپس منطقی است که این عبارت را با یک حرف جدید مشخص کنیم و سعی کنیم ابتدا معادله را با توجه به مجهول معرفی شده حل کنیم و سپس مجهول اصلی را پیدا کنیم.

انتخاب خوب یک متغیر جدید ساختار معادله را شفاف تر می کند. متغیر جدید گاه آشکار است، گاه تا حدودی پوشیده، اما «احساس می شود» و گاه تنها در فرآیند دگرگونی «ظاهر می شود».

مثال 1

بگذار باشد
t> 0، سپس

t =
,

t 2 + 5t-14=0،

t 1 \u003d -7، t 2 \u003d 2. پس t=-7 شرط t>0 را برآورده نمی کند

,

x 2 -2x-5 \u003d 0،

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1+
.

پاسخ 1-
; 1+
.

مثال 2یک معادله غیر منطقی را حل کنید

جایگزینی:

تعویض معکوس:/

پاسخ:

مثال 3معادله را حل کنید .

بیایید تعویض کنیم: , . معادله اصلی به شکل بازنویسی می شود، از آنجا که ما آن را پیدا می کنیم آ = 4بو . علاوه بر این، بالا بردن هر دو طرف معادله مربع، می گیریم: از اینجا ایکس= 15 . باقی مانده است که بررسی شود:

- درست!

پاسخ: 15.

مثال 4. معادله را حل کنید

با تنظیم , معادله غیر منطقی بسیار ساده تری به دست می آوریم . بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم: .

; ;

; ; , .

بررسی مقادیر یافت شده، جایگزینی آنها در معادله نشان می دهد که ریشه معادله است و یک ریشه خارجی است.

بازگشت به متغیر اصلی ایکس، یک معادله می گیریم یعنی یک معادله درجه دوم که با حل آن دو ریشه پیدا می کنیم:,. هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

پاسخ: , .

جایگزینی به ویژه زمانی مفید است که کیفیت جدیدی در نتیجه حاصل شود، برای مثال، یک معادله غیرمنطقی منطقی شود.

مثال 6. معادله را حل کنید.

بیایید معادله را به این صورت بازنویسی کنیم:

مشاهده می شود که اگر یک متغیر جدید معرفی کنیم ، سپس معادله شکل خواهد گرفت ، از کجا یک ریشه خارجی و .

از معادله ای که بدست می آوریم، .

پاسخ: , .

مثال 7. معادله را حل کنید .

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم، .

در نتیجه، معادله غیرمنطقی اولیه شکل یک درجه دوم به خود می گیرد

,

از آنجا، با در نظر گرفتن محدودیت، به دست می آوریم. با حل معادله، ریشه را بدست می آوریم. پاسخ: 2,5.

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.روش معرفی دو متغیر کمکی.

معادلات فرم (اینجا آ , ب , ج , د – برخی از اعداد متر , n – اعداد طبیعی) و تعدادی معادله دیگر اغلب قابل حل هستند با معرفی دو مجهول کمکی:و کجا و انتقال بعدی به سیستم معادل معادلات گویا.

مثال 1. معادله را حل کنید.

بالا بردن هر دو طرف این معادله به توان چهارم، نوید خوبی ندارد. اگر , را قرار دهیم، معادله اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود: . از آنجایی که دو مجهول جدید معرفی کرده‌ایم، باید یک معادله دیگر را پیدا کنیم yو z. برای انجام این کار، برابری ها را تا توان چهارم بالا می بریم و توجه می کنیم که . بنابراین، ما باید سیستم معادلات را حل کنیم

با مربع به دست می آوریم:

پس از تعویض داریم: یا . سپس سیستم دو راه حل دارد: , ; ، ، و سیستم هیچ راه حلی ندارد.

باقی مانده است که سیستم دو معادله با یک مجهول را حل کنیم

و نظام اولی آنها می دهد دومی می دهد .

پاسخ: , .

مثال 2

بگذار باشد

پاسخ:

5. معادلات با رادیکال درجه سوم.
هنگام حل معادلات حاوی رادیکال های درجه سوم، استفاده از هویت های جمع می تواند مفید باشد:

مثال 1 .
بیایید هر دو طرف این معادله را به توان 3 برسانیم و از هویت بالا استفاده کنیم:

توجه داشته باشید که عبارت داخل پرانتز برابر با 1 است که از معادله اصلی به دست می آید. با در نظر گرفتن این و آوردن شرایط مشابه، به دست می آوریم:
بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه بدهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم. ریشه های آنو. اگر (طبق تعریف) فرض کنیم که ریشه یک درجه فرد را می توان از اعداد منفی نیز استخراج کرد، هر دو عدد به دست آمده راه حل معادله اصلی هستند.
پاسخ:.

6. ضرب هر دو قسمت معادله در بیان مزدوج یکی از آنها.

گاهی اوقات یک معادله غیرمنطقی را می توان به سرعت حل کرد اگر هر دو طرف در یک تابع به خوبی انتخاب شده ضرب شوند. البته، هنگام ضرب هر دو بخش معادله در یک تابع، ممکن است راه حل های اضافی ظاهر شوند، ممکن است آنها صفرهای خود این تابع باشند. بنابراین، روش پیشنهادی نیاز به مطالعه اجباری مقادیر حاصل دارد.

مثال 1معادله را حل کنید

تصمیم:بیایید یک تابع را انتخاب کنیم

دو طرف معادله را در تابع انتخاب شده ضرب کنید:

عبارت های مشابه را می آوریم و معادله ای معادل به دست می آوریم

معادله اصلی را اضافه می کنیم و آخرین مورد را به دست می آوریم

پاسخ: .

7. تبدیل هویت در حل معادلات غیر منطقی

هنگام حل معادلات غیرمنطقی، اغلب باید تبدیل های یکسان مرتبط با استفاده از فرمول های شناخته شده را اعمال کرد. متأسفانه، گاهی اوقات این اقدامات به اندازه افزایش قدرت یکنواخت ناامن هستند - راه حل ها می توانند به دست بیایند یا از دست بروند.

بیایید به چند موقعیت که در آن این مشکلات رخ می دهد نگاه کنیم و یاد بگیریم که چگونه آنها را تشخیص دهیم و از آنها پیشگیری کنیم.

من. مثال 1. معادله را حل کنید.

تصمیم گیریفرمول در اینجا اعمال می شود .

فقط باید به ایمنی استفاده از آن فکر کنید. به راحتی می توان فهمید که سمت چپ و راست آن حوزه های تعریف متفاوتی دارند و این برابری تنها در شرایطی صادق است. بنابراین معادله اصلی معادل سیستم است

با حل معادله این سیستم، ریشه و . ریشه دوم مجموعه ای از نابرابری های سیستم را برآورده نمی کند و بنابراین، یک ریشه خارجی معادله اصلی است.

پاسخ: -1 .

IIتبدیل خطرناک بعدی هنگام حل معادلات غیر منطقی با فرمول تعیین می شود.

اگر از این فرمول از چپ به راست استفاده کنید، DPV گسترش می یابد و راه حل های شخص ثالث قابل خریداری است. در واقع، هر دو تابع و باید در سمت چپ غیر منفی باشند. و محصول آنها باید در سمت راست غیر منفی باشد.

مثالی را در نظر بگیرید که در آن مشکل با استفاده از فرمول اجرا شده است.

مثال 2. معادله را حل کنید.

تصمیم گیریبیایید سعی کنیم این معادله را با فاکتورگیری حل کنیم

توجه داشته باشید که در طی این عمل، راه حل گم شده است، زیرا با معادله اصلی مطابقت دارد و دیگر با معادله حاصل مطابقت ندارد: برای . بنابراین، این معادله به بهترین وجه با مربع معمولی حل می شود

با حل معادله این سیستم، ریشه و . هر دو ریشه نابرابری سیستم را ارضا می کنند.

پاسخ: , .

IIIیک عمل حتی خطرناک تر وجود دارد - کاهش توسط یک عامل مشترک.

مثال 3. معادله را حل کنید .

استدلال اشتباه: هر دو طرف معادله را کاهش می دهیم، به دست می آوریم .

هیچ چیز خطرناکتر و نادرست تر از این عمل نیست. اول، یک راه حل مناسب برای معادله اصلی از دست رفت. در مرحله دوم، دو راه حل شخص ثالث خریداری شد. معلومه که معادله جدید ربطی به اصل نداره! راه حل صحیح را خواهیم داد.

تصمیم گیری. همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل می کنیم و آن را فاکتور می کنیم

.

این معادله معادل سیستم است

که راه حل منحصر به فردی دارد.

پاسخ: 3 .

نتیجه.

به عنوان بخشی از مطالعه درس انتخابی، روش های غیر استاندارد برای حل مسائل پیچیده نشان داده می شود که با موفقیت تفکر منطقی را توسعه می دهد، توانایی یافتن راه های زیادی را برای حل راه هایی که برای دانش آموز راحت و منطقی است. این دوره دانشجویان را ملزم به انجام کارهای مستقل زیادی می کند، به آمادگی دانش آموزان برای ادامه تحصیل کمک می کند و سطح فرهنگ ریاضی را افزایش می دهد.

در این مقاله روش‌های اصلی برای حل معادلات غیرمنطقی، برخی رویکردها برای حل معادلات درجات بالاتر، که استفاده از آن‌ها در حل تکالیف USE و همچنین هنگام ورود به دانشگاه و ادامه تحصیل ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد، در نظر گرفته شده است. محتوای مفاهیم و گزاره های اصلی مربوط به نظریه حل معادلات غیر منطقی نیز افشا شد. با تعیین متداول ترین روش برای حل معادلات، کاربرد آن را در شرایط استاندارد و غیر استاندارد آشکار کردیم. علاوه بر این، خطاهای معمولی هنگام انجام تبدیل های یکسان و راه های غلبه بر آنها در نظر گرفته شدند.

در طول دوره، دانش آموزان این فرصت را خواهند داشت که به روش ها و تکنیک های مختلف برای حل معادلات تسلط پیدا کنند، ضمن یادگیری سیستم سازی و تعمیم اطلاعات نظری، به طور مستقل راه حل های برخی از مسائل را جستجو کنند و در این رابطه، تعدادی کار و تمرین در مورد آنها بنویسند. این موضوعات انتخاب مواد پیچیده به دانش آموزان کمک می کند تا خود را در فعالیت های تحقیقاتی بیان کنند.

جنبه مثبت دوره امکان استفاده بیشتر توسط دانشجویان از مطالب مورد مطالعه در هنگام قبولی در آزمون، ورود به دانشگاه ها است.

جنبه منفی آن این است که هر دانش آموزی حتی اگر بخواهد به دلیل سختی اکثر کارهایی که باید حل شود، قادر به تسلط بر تمامی فنون این درس نیست.

ادبیات:

شاریگین I.F. "ریاضیات برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - ویرایش سوم، - M.: درفا، 2000.

معادلات و نابرابری ها راهنمای مرجع./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. -M.: امتحان، 1998.

چرکاسف O.Yu.، Yakushev A.G. "ریاضی: دوره آمادگی آزمون فشرده". - چاپ هشتم، Rev. و اضافی - M.: Iris، 2003. - (مدرس خانه)

بالایان ای.ن. تمرینات و گزینه های پیچیده برای وظایف آموزشی برای امتحان در ریاضیات. روستوف-آن-دون: انتشارات ققنوس، 2004.

اسکاناوی M.I. "مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - م.، "دبیرستان"، 1377.

ایگوسمن O.S. "ریاضی در امتحان شفاهی". - م.، آیریس، 1999.

مواد امتحانی برای آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی - 2008 - 2012.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina "USE - 2010. ریاضیات. معلم "مسکو" روشنگری "2010.

V.A. Gusev، A.G. Mordkovich "ریاضیات. مواد مرجع "مسکو" روشنگری "1988.

معادلاتی که در آنها یک متغیر در زیر علامت ریشه قرار می گیرد غیر منطقی نامیده می شود.

روش‌های حل معادلات غیرمنطقی، به طور معمول، مبتنی بر امکان جایگزینی (با کمک برخی تبدیل‌ها) یک معادله غیرمنطقی با یک معادله عقلانی است که یا معادل معادله غیر منطقی اصلی است یا پیامد آن است. بیشتر اوقات، هر دو طرف معادله به یک توان بالا می روند. در این صورت معادله ای حاصل می شود که نتیجه معادله اصلی است.

در حل معادلات غیرمنطقی باید موارد زیر را در نظر گرفت:

1) اگر شاخص ریشه یک عدد زوج باشد، عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد. مقدار ریشه نیز غیر منفی است (تعریف ریشه با توان زوج)؛

2) اگر شاخص ریشه یک عدد فرد باشد، عبارت رادیکال می تواند هر عدد واقعی باشد. در این صورت علامت ریشه همان علامت بیان ریشه است.

مثال 1معادله را حل کنید

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم.
x 2 - 3 \u003d 1;
3- را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم و کاهش عبارت های مشابه را انجام می دهیم.
x 2 \u003d 4;
معادله درجه دوم ناقص حاصل دارای دو ریشه -2 و 2 است.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم، برای این کار، مقادیر متغیر x را در معادله اصلی جایگزین می کنیم.
معاینه.
وقتی x 1 \u003d -2 - درست است:
وقتی x 2 \u003d -2- درست است.
بنابراین معادله غیرمنطقی اولیه دارای دو ریشه -2 و 2 است.

مثال 2معادله را حل کنید .

این معادله را می توان با همان روش مثال اول حل کرد، اما ما آن را متفاوت انجام خواهیم داد.

اجازه دهید ODZ این معادله را پیدا کنیم. از تعریف جذر، نتیجه می شود که در این معادله باید دو شرط به طور همزمان برآورده شود:

ODZ معادله داده شده: x.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 3معادله را حل کنید =+ 2.

یافتن ODZ در این معادله کار نسبتاً دشواری است. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
پس از بررسی، مشخص می کنیم که x 2 \u003d 0 یک ریشه اضافی است.
پاسخ: x 1 \u003d 1.

مثال 4معادله x = را حل کنید.

در این مثال، ODZ به راحتی پیدا می شود. ODZ این معادله: x[-1;).

بیایید دو طرف این معادله را مربع کنیم، در نتیجه معادله x 2 \u003d x + 1 را به دست می آوریم. ریشه های این معادله:

بررسی ریشه های یافت شده دشوار است. اما، با وجود این واقعیت که هر دو ریشه متعلق به ODZ هستند، نمی توان ادعا کرد که هر دو ریشه ریشه های معادله اصلی هستند. این منجر به خطا می شود. در این حالت، معادله غیرمنطقی معادل ترکیب دو نامساوی و یک معادله است:

x+10 و x0 و x 2 \u003d x + 1، که از آن نتیجه می شود که ریشه منفی معادله غیرمنطقی خارجی است و باید کنار گذاشته شود.

مثال 5.معادله += 7 را حل کنید.

بیایید دو طرف معادله را مربع کرده و کاهش عبارت های مشابه را انجام دهیم، عبارت ها را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل کنیم و هر دو قسمت را در 0.5 ضرب کنیم. در نتیجه معادله را بدست می آوریم
= 12، (*) که پیامد اصلی است. بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم. معادله (x + 5) (20 - x) = 144 را بدست می آوریم که نتیجه معادله اصلی است. معادله به دست آمده به شکل x 2 - 15x + 44 = 0 کاهش می یابد.

این معادله (که همچنین نتیجه معادله اصلی است) دارای ریشه های x 1 \u003d 4، x 2 \u003d 11 است. همانطور که آزمایش نشان می دهد هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

هرزه. x 1 = 4، x 2 = 11.

اظهار نظر. هنگام مربع کردن معادلات، دانش آموزان اغلب در معادلات از نوع (*) عبارات ریشه را ضرب می کنند، یعنی به جای معادله = 12، معادله را می نویسند. = 12. این منجر به خطا نمی شود، زیرا معادلات پیامد معادلات هستند. با این حال، باید در نظر داشت که در حالت کلی، چنین ضرب عبارات رادیکالی معادلات غیر معادل به دست می دهد.

در مثال‌هایی که در بالا بحث شد، ابتدا می‌توان یکی از رادیکال‌ها را به سمت راست معادله منتقل کرد. سپس یک رادیکال در سمت چپ معادله باقی می ماند و پس از دو طرف معادله، یک تابع گویا در سمت چپ معادله به دست می آید. این تکنیک (تنهایی رادیکال) اغلب در حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود.

مثال 6. حل معادله-= 3.

پس از جداسازی اولین رادیکال، معادله را بدست می آوریم
=+ 3 که معادل اصلی است.

هر دو طرف این معادله را به دو صورت مربع می کنیم، معادله را بدست می آوریم

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6 که معادل معادله است

4x - 5 = 3(*). این معادله نتیجه معادله اصلی است. دو طرف معادله را دو طرفه می کنیم، به معادله می رسیم
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) یا

7x2 - 13x - 2 = 0.

این معادله نتیجه معادله (*) (و از این رو معادله اصلی) است و ریشه دارد. ریشه اول x 1 = 2 معادله اصلی را برآورده می کند و x 2 =- دوم را برآورده نمی کند.

پاسخ: x = 2.

توجه داشته باشید که اگر بلافاصله، بدون جداسازی یکی از رادیکال‌ها، هر دو بخش معادله اصلی را مربع می‌کردیم، باید تبدیل‌های نسبتاً دست و پا گیر انجام دهیم.

هنگام حل معادلات غیرمنطقی، علاوه بر جداسازی رادیکال ها، از روش های دیگری نیز استفاده می شود. مثالی از استفاده از روش جایگزینی مجهول (روش معرفی متغیر کمکی) را در نظر بگیرید.

حل معادلات غیر منطقی

در این مقاله در مورد راه های حل صحبت خواهیم کرد ساده ترین معادلات غیر منطقی

معادله غیر منطقیمعادله ای نامیده می شود که شامل مجهول زیر علامت ریشه است.

بیایید به دو نوع نگاه کنیم معادلات غیر منطقی، که در نگاه اول بسیار شبیه به هم هستند اما در واقع تفاوت زیادی با یکدیگر دارند.

(1)

(2)

در معادله اول می بینیم که مجهول زیر علامت ریشه درجه سوم است. ما می توانیم یک ریشه فرد را از یک عدد منفی استخراج کنیم، بنابراین در این معادله هیچ محدودیتی برای عبارت زیر علامت ریشه یا عبارت سمت راست معادله وجود ندارد. برای خلاص شدن از ریشه می توانیم دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

هنگامی که سمت راست و چپ معادله را به توان فرد می‌آوریم، نمی‌توانیم از به دست آوردن ریشه‌های خارجی هراس داشته باشیم.

مثال 1. بیایید معادله را حل کنیم

بیایید دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

بیایید همه عبارت ها را در یک جهت حرکت دهیم و x را از پرانتز خارج کنیم:

هر عامل را با صفر برابر می کنیم، به دست می آوریم:

پاسخ: (0;1;2)

بیایید معادله دوم را با دقت بیشتری بررسی کنیم: . در سمت چپ معادله جذر قرار دارد که فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد. بنابراین برای اینکه معادله جواب داشته باشد، سمت راست نیز باید غیر منفی باشد. بنابراین، شرط زیر در سمت راست معادله اعمال می شود:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} شرط وجود ریشه.

برای حل یک معادله از این نوع، باید دو طرف معادله را مربع کنید:

(3)

مربع کردن می تواند ریشه های خارجی را معرفی کند، بنابراین ما به معادلات نیاز داریم:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

با این حال، نابرابری (4) از شرط (3) به دست می‌آید: اگر سمت راست تساوی مربع یک عبارت باشد، و مربع هر عبارتی فقط می‌تواند مقادیر غیرمنفی بگیرد، سمت چپ نیز باید غیرمنفی باشد. منفی. بنابراین، شرط (4) به طور خودکار از شرط (3) و ما پیروی می کند معادله معادل سیستم:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

مثال 2.بیایید معادله را حل کنیم:

.

بیایید به یک سیستم معادل برویم:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

اولین معادله سیستم را حل می کنیم و بررسی می کنیم که کدام ریشه ها نابرابری را برآورده می کنند.

Inequality title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

پاسخ: x=1

توجه!اگر در فرآیند حل دو طرف معادله را مربع کنیم، باید به یاد داشته باشیم که ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. بنابراین، یا باید به یک سیستم معادل بروید، یا در پایان راه حل، بررسی کنید: ریشه ها را پیدا کنید و آنها را در معادله اصلی جایگزین کنید.

مثال 3. بیایید معادله را حل کنیم:

برای حل این معادله نیز باید دو طرف را مربع کنیم. بیایید با ODZ و شرط وجود ریشه در این معادله خود را خسته نکنیم، بلکه به سادگی در انتهای راه حل بررسی خواهیم کرد.

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

عبارت حاوی ریشه را به سمت چپ و سایر اصطلاحات را به سمت راست منتقل کنید:

بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم:

به گفته ویتا ترمه:

بیایید یک بررسی انجام دهیم. برای انجام این کار، ریشه های پیدا شده را جایگزین معادله اصلی می کنیم. بدیهی است که برای , سمت راست معادله اصلی منفی است در حالی که سمت چپ مثبت است.

زمانی که برابری صحیح را بدست آوریم.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از چند گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابه شرکت کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین در برابر دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده است و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. اغلب، علامت ریشه در معادلات یافت می شود، و بسیاری به اشتباه معتقدند که حل چنین معادلاتی دشوار است. برای این گونه معادلات در ریاضیات اصطلاح خاصی وجود دارد که به آن معادلات با ریشه - معادلات غیر منطقی می گویند.

تفاوت اصلی در حل معادلات با ریشه با سایر معادلات، مثلاً مربع، لگاریتمی، خطی در این است که الگوریتم حل استاندارد ندارند. بنابراین برای حل یک معادله غیرمنطقی باید داده های اولیه را تحلیل کرد و راه حل مناسب تری انتخاب کرد.

در بیشتر موارد برای حل این نوع معادلات از روش بالا بردن هر دو قسمت معادله به توان یکسان استفاده می شود.

فرض کنید معادله زیر داده شده است:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

دو طرف معادله را مربع می کنیم:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\]، از این جا متوالی به دست می آوریم:

با دریافت یک معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا می کنیم:

پاسخ: \

اگر این مقادیر را جایگزین معادله کنیم، برابری صحیح را بدست می آوریم که نشان دهنده صحت داده های به دست آمده است.

کجا می توانم معادله را با ریشه با حل کننده آنلاین حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.