محصول ترکیبی از سه بردار و خواص آن

کار مختلطسه بردار را عددی مساوی می نامند. تعیین شده است . در اینجا دو بردار اول به صورت بردار ضرب می شوند و سپس بردار حاصل به صورت اسکالر در بردار سوم ضرب می شود. بدیهی است که چنین محصولی یک عدد مشخص است.

بیایید خواص یک محصول مخلوط را در نظر بگیریم.

1. معنای هندسیکار مختلط حاصلضرب مخلوط 3 بردار، تا یک علامت، برابر است با حجم موازی شکل ساخته شده بر روی این بردارها، مانند لبه ها، یعنی. .

   بنابراین، و .

   

   اثبات. بیایید بردارها را از مبدأ مشترک کنار بگذاریم و یک متوازی الاضلاع روی آنها بسازیم. بیایید به آن اشاره کنیم و توجه کنیم. با تعریف محصول اسکالر

   با فرض آن و نشان دادن با ساعتارتفاع متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

   بنابراین، زمانی که

   اگر، پس چنین است. از این رو، .

   با ترکیب هر دوی این موارد، یا .

   از اثبات این خاصیت، به ویژه، چنین برمی‌آید که اگر سه بردار راست‌دست باشد، حاصلضرب مختلط است، و اگر چپ‌دست باشد، پس .

2. برای هر بردار، برابری صادق است

   اثبات این خاصیت از خاصیت 1 به دست می آید. در واقع، نشان دادن آن آسان است و . علاوه بر این، علائم "+" و "-" به طور همزمان گرفته می شوند، زیرا زوایای بین بردارها و و و هر دو تند و مبهم هستند.

3. هنگامی که هر دو عامل بازآرایی می شوند، علامت محصول مخلوط تغییر می کند.

   در واقع، اگر یک محصول مخلوط را در نظر بگیریم، مثلاً یا

4. یک محصول مخلوط اگر و فقط اگر یکی از عوامل برابر با صفر باشد یا بردارها همسطح باشند.

   اثبات.

   بنابراین شرط لازم و کافی برای همسطح بودن 3 بردار این است که حاصلضرب مخلوط آنها برابر با صفر باشد. علاوه بر این، نتیجه می شود که اگر سه بردار در فضا مبنایی را تشکیل می دهند.

   اگر بردارها به صورت مختصات داده شوند، می توان نشان داد که حاصلضرب مخلوط آنها با فرمول:

   .

   بنابراین، حاصلضرب مخلوط برابر با تعیین کننده مرتبه سوم است که مختصات بردار اول در خط اول، مختصات بردار دوم در خط دوم و مختصات بردار سوم در خط سوم است.

   مثال ها.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله F(x، y، z)= 0 در فضا تعریف می کند Oxyzمقداری سطح، یعنی مکان نقاطی که مختصات آنها x، y، zاین معادله را برآورده کند. این معادله معادله سطح نامیده می شود و x، y، z- مختصات فعلی

با این حال، اغلب سطح توسط یک معادله مشخص نمی شود، بلکه به عنوان مجموعه ای از نقاط در فضا است که دارای یک یا ویژگی دیگر هستند. در این صورت باید معادله سطح را بر اساس خواص هندسی آن یافت.

سطح.

بردار صفحه معمولی.

معادله عبور هواپیما از یک نقطه داده شده

اجازه دهید یک صفحه دلخواه σ را در فضا در نظر بگیریم. موقعیت آن با تعیین یک بردار عمود بر این صفحه و یک نقطه ثابت تعیین می شود M0(x 0, y 0, z 0) در صفحه σ دراز کشیده است.

بردار عمود بر صفحه σ نامیده می شود طبیعیبردار این هواپیما بگذارید بردار مختصاتی داشته باشد.

اجازه دهید معادله صفحه ای که از این نقطه عبور می کند را استخراج کنیم M0و داشتن یک بردار معمولی. برای این کار، یک نقطه دلخواه در صفحه σ بگیرید M(x، y، z)و بردار را در نظر بگیرید.

برای هر نقطه مО σ بردار است بنابراین حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. این برابری شرطی است که نقطه مО σ. برای تمام نقاط این هواپیما معتبر است و به محض نقطه نقض می شود مخارج از صفحه σ خواهد بود.

اگر نقاط را با بردار شعاع نشان دهیم م, – بردار شعاع نقطه M0، سپس معادله را می توان به شکل نوشت

این معادله نامیده می شود بردارمعادله هواپیما بیایید آن را به صورت مختصات بنویسیم. از آن به بعد

بنابراین، معادله هواپیمای عبوری از این نقطه را به دست آورده ایم. بنابراین، برای ایجاد معادله یک هواپیما، باید مختصات بردار معمولی و مختصات نقطه ای را که روی هواپیما قرار دارد، بدانید.

توجه داشته باشید که معادله هواپیما با توجه به مختصات فعلی معادله درجه یک است. x، yو z.

مثال ها.

معادله عمومی هواپیما

می توان نشان داد که هر معادله درجه یک با توجه به مختصات دکارتی x، y، zمعادله یک صفحه معین را نشان می دهد. این معادله به صورت زیر نوشته می شود:

Axe+By+Cz+D=0

و نامیده می شود معادله کلیهواپیما و مختصات الف، ب، جدر اینجا مختصات بردار نرمال هواپیما آمده است.

اجازه دهید موارد خاصی از معادله عمومی را در نظر بگیریم. بیایید دریابیم که اگر یک یا چند ضریب معادله صفر شود، هواپیما نسبت به سیستم مختصات چگونه قرار می گیرد.

A طول قطعه قطع شده توسط صفحه روی محور است گاو نر. به همین ترتیب، می توان نشان داد که بو ج- طول قطعات بریده شده توسط صفحه مورد نظر بر روی محورها اوهو اوز.

استفاده از معادله یک صفحه در قطعات برای ساخت صفحات راحت است.

این ماشین حساب آنلاین، حاصلضرب مخلوط بردارها را محاسبه می کند. راه حل مفصل داده شده است. برای محاسبه حاصلضرب ترکیبی از بردارها، روش نمایش بردارها (با مختصات یا دو نقطه) را انتخاب کنید، داده ها را در سلول ها وارد کنید و روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعشاری هستند. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

حاصلضرب مخلوط بردارها (نظریه)

قطعه مخلوطسه بردار عددی است که از حاصل ضرب اسکالر حاصل حاصلضرب بردار دو بردار اول و بردار سوم به دست می آید. به عبارت دیگر، اگر سه بردار داده شود الف، بو ج، سپس برای بدست آوردن حاصلضرب مخلوط این بردارها ابتدا دو بردار اول و بردار حاصل [ ab] به صورت اسکالر در بردار ضرب می شود ج.

حاصلضرب مخلوط سه بردار الف، بو جبه صورت زیر مشخص می شود: abcیا همینطور ( الف، ب، ج). سپس می توانیم بنویسیم:

abc=([ab],ج)

قبل از فرمول‌بندی قضیه‌ای که معنای هندسی یک محصول ترکیبی را نشان می‌دهد، با مفاهیم سه‌گانه سمت راست، سه‌گانه چپ، سیستم مختصات راست، سیستم مختصات چپ (تعریف‌های 2، 2" و 3 در صفحه حاصلضرب بردار بردارها به صورت آنلاین) آشنا شوید.

برای قطعیت، در موارد زیر فقط سیستم های مختصات راست دست را در نظر خواهیم گرفت.

قضیه 1. حاصلضرب مخلوط بردارها ([ab],ج) برابر است با حجم یک موازی ساخته شده روی بردارهایی که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است الف، ب، ج، با علامت مثبت گرفته شده است، اگر سه الف، ب، جراست، و با علامت منفی اگر سه الف، ب، جترک کرد اگر بردارها الف، ب، جهمسطح هستند، پس ([ ab],ج) برابر با صفر است.

نتیجه 1. برابری زیر برقرار است:

پس همین را ثابت کنیم کافی است

([ab],ج)=([قبل از میلاد مسیح],آ)

(3)

از عبارت (3) مشخص می شود که قسمت چپ و راست با حجم موازی برابر است. اما علائم سمت راست و چپ منطبق هستند، زیرا سه گانه بردارها هستند abcو قبل از میلاد مسیحجهت گیری یکسانی دارند

برابری ثابت شده (1) به ما امکان می دهد حاصلضرب مخلوط سه بردار را بنویسیم الف، ب، جفقط در فرم abc، بدون اینکه مشخص شود کدام دو بردار به صورت بردار در دو بردار اول یا دو بردار آخر ضرب می شوند.

نتیجه 2. شرط لازم و کافی برای همسطح بودن سه بردار این است که حاصلضرب مخلوط آنها برابر با صفر باشد.

در واقع، اگر بردارها همسطح باشند، حاصلضرب مخلوط این بردارها برابر با صفر است. برعکس، اگر حاصلضرب مخلوط برابر با صفر باشد، همسطحی بودن این بردارها از قضیه 1 حاصل می شود (زیرا حجم یک موازی ساخته شده بر روی بردارهایی که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است برابر با صفر است).

نتیجه 3. حاصلضرب مخلوط سه بردار که دو بردار منطبق هستند برابر با صفر است.

واقعا اگر دو بردار از سه بردار منطبق باشند، آنها همسطح هستند. بنابراین حاصلضرب مخلوط این بردارها برابر با صفر است.

حاصلضرب مخلوط بردارها در مختصات دکارتی

قضیه 2. بگذارید سه بردار الف، بو جبا مختصات مستطیلی دکارتی آنها تعریف می شود

اثبات قطعه مخلوط abcبرابر با حاصل ضرب اسکالر بردارها [ ab] و ج. ضرب ضربدری بردارها [ ab] در مختصات دکارتی با فرمول () محاسبه می شود:

آخرین عبارت را می توان با استفاده از تعیین کننده های مرتبه دوم نوشت:

لازم و کافی است که تعیین کننده برابر با صفر باشد که ردیف های آن با مختصات این بردارها پر شده است، یعنی:

.

(7)

برای اثبات نتیجه کافی است فرمول (4) و نتیجه 2 را در نظر بگیرید.

حاصلضرب مخلوط بردارها با مثال

مثال 1. حاصلضرب مخلوط بردارها را بیابید abs، جایی که

حاصلضرب مخلوط بردارها الف، ب، جبرابر با تعیین کننده ماتریس است L. بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم L، تعیین کننده را در امتداد خط 1 گسترش می دهد:

نقطه پایان بردار آ.

محصول مخلوط (یا بردار-اسکالر).سه بردار a، b، c (به ترتیب نشان داده شده گرفته شده اند) حاصل ضرب اسکالر بردار a و حاصلضرب برداری b x c، یعنی عدد a(b x c) یا همان چیزی است که (b x c)a نامیده می شود.
نامگذاری: abc.

هدف. ماشین حساب آنلاین برای محاسبه حاصلضرب مخلوط بردارها طراحی شده است. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود. علاوه بر این، یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

نشانه های همسطح بودن بردارها

سه بردار (یا یک عدد بزرگتر) همسطح نامیده می شوند اگر به یک مبدأ مشترک تقلیل داده شوند و در یک صفحه قرار گیرند.
اگر حداقل یکی از سه بردار صفر باشد، آن سه بردار نیز همسطح در نظر گرفته می شوند.

نشانه همسطح بودن. اگر سیستم a، b، c راست دست باشد، abc>0 ; اگر چپ است، سپس abc معنای هندسی محصول مخلوط. حاصل ضرب ترکیبی abc سه بردار غیرهمسطح a، b، c برابر با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای a، b، c است که با علامت مثبت گرفته می شود اگر سیستم a، b، c راست دست باشد. ، و با علامت منفی اگر این سیستم چپ دست باشد.

خواص یک محصول مخلوط

1. وقتی فاکتورها به صورت دایره ای بازآرایی می شوند، حاصلضرب مخلوط تغییر نمی کند؛ وقتی دو عامل بازآرایی می شوند، علامت معکوس می شود: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   از معنای هندسی ناشی می شود.
2. (a+b)cd=acd+bcd (ویژگی توزیعی). به هر تعداد اصطلاح گسترش می یابد.
   برگرفته از تعریف محصول مخلوط است.
3. (ma)bc=m(abc) (ویژگی ترکیبی با توجه به یک عامل اسکالر).
   برگرفته از تعریف محصول مخلوط است. این ویژگی ها این امکان را فراهم می کند که تبدیل ها را برای محصولات ترکیبی اعمال کنیم که با محصولات جبری معمولی تفاوت دارند فقط از این جهت که ترتیب عوامل را فقط با در نظر گرفتن علامت محصول می توان تغییر داد.
4. محصول مخلوطی که حداقل دو عامل مساوی داشته باشد برابر با صفر است: aab=0.

مثال شماره 1. یک محصول ترکیبی پیدا کنید. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

مثال شماره 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. همه عبارت ها به جز دو مورد افراطی برابر با صفر هستند. همچنین، bca=abc. بنابراین (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

مثال شماره 3. حاصلضرب مخلوط سه بردار a=15i+20j+5k، b=2i-4j+14k، c=3i-6j+21k را محاسبه کنید.
راه حل. برای محاسبه حاصلضرب مخلوط بردارها، لازم است که تعیین کننده یک سیستم متشکل از مختصات بردار را پیدا کنیم. بیایید سیستم را در فرم بنویسیم.

تعریف.عدد [، ] را حاصل ضرب مخلوط یک بردار سه گانه مرتب می نامند.

نشان می دهیم: (،) = = [، ].

از آنجایی که فرآورده های برداری و اسکالر در تعریف یک محصول مخلوط نقش دارند، ویژگی های مشترک آنها ویژگی های یک محصول مخلوط است.

به عنوان مثال، () = ().

قضیه 1. حاصلضرب مخلوط سه بردار همسطح صفر است.

اثباتاگر سه بردار معین همسطح باشد، یکی از شرایط زیر برای بردارها برقرار است.

• 1. در یک سه بردار معین حداقل یک بردار صفر وجود دارد. در این صورت اثبات قضیه بدیهی است.
• 2. در یک سه بردار معین حداقل یک جفت بردار خطی وجود دارد. اگر ||، آنگاه [، ] = 0، زیرا [، ]= . اگر

|| ، سپس [، ] و [، ] = 0. به طور مشابه، اگر || .

3. بگذارید این سه بردار همسطح باشد، اما موارد 1 و 2 برقرار نیستند. سپس بردار [، ] بر صفحه ای که هر سه بردار با آن موازی هستند عمود خواهد بود.

بنابراین، [،] و (،) = 0.

قضیه 2.اجازه دهید بردارهای ()، ()، () در پایه () مشخص شوند. سپس

اثباتطبق تعریف محصول مخلوط

(،) = [، ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

با توجه به ویژگی های دترمینان، داریم:

قضیه ثابت می شود.

قضیه 3. (,) = [, ].

اثبات. زیرا

و با توجه به خواص تعیین کننده داریم:

(,) = = = [, ] = [, ].

قضیه ثابت می شود.

قضیه 4. مدول حاصلضرب مخلوط یک بردار سه گانه غیرهمسطح از نظر عددی برابر با حجم یک متوازی الاضلاع است که بر روی نمایندگان این بردارها با منشأ مشترک ساخته شده است.

اثبات. بیایید یک نقطه دلخواه O را انتخاب کنیم و نمایندگان این بردارها را از آن کنار بگذاریم، : , . در صفحه OAB یک متوازی الاضلاع OADB می سازیم و با اضافه کردن سیستم عامل لبه، یک OADBCADB متوازی الاضلاع می سازیم. حجم V این متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب سطح پایه OADB و طول ارتفاع موازی پایه OO.

مساحت متوازی الاضلاع OADB |[، ]| است. از طرف دیگر

|OO| = || |cos |، جایی که زاویه بین بردارها و [،] است.

ماژول محصول مخلوط را در نظر بگیرید:

|(،)| = | [،]| = |[، ]||||cos | = |[، ]||OO| = V.

قضیه ثابت شده است.

یادداشت 1.اگر حاصلضرب مخلوط سه بردار برابر با صفر باشد، این سه بردار به صورت خطی وابسته است.

تبصره 2.اگر حاصلضرب مختلط یک سه بردار معین مثبت باشد، سه گانه بردار درست است و اگر منفی باشد، آن گاه سه گانه بردار باقی می ماند. در واقع، علامت حاصلضرب مخلوط با علامت cos منطبق است و بزرگی زاویه جهت گیری سه گانه را تعیین می کند. اگر زاویه تند باشد، سه راست است و اگر زاویه منفرد باشد، آن سه سمت چپ است.

مثال 1.با توجه به متوازی الاضلاع ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 و مختصات بردارهای زیر در مبنای متعارف: (4؛ 3؛ 0)، (2؛ 1؛ 2)، (-3؛ -2؛ 5).

پیدا کنید: 1) حجم متوازی الاضلاع.

• 2) نواحی صورت ABCD و CDD 1 C.
• 3) کسینوس زاویه دو وجهی بین صفحات ABC و CDD 1.

راه حل.

این متوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است

بنابراین، حجم آن برابر است با مدول حاصلضرب مخلوط این بردارها، یعنی.

بنابراین، بخار V = 12 واحد مکعب.

به یاد داشته باشید که مساحت متوازی الاضلاع برابر است با طول حاصلضرب برداری بردارهایی که بر روی آنها ساخته شده است.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:، سپس

بنابراین، (6؛ - 8؛ - 2)، از آنجا

که واحدهای مربع

به همین ترتیب،

بگذار آن وقت باشد

از آنجا (15؛ - 20؛ 1) و

این یعنی واحدهای مربع.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: pl. (ABC)=، pl. (DCC 1)=.

با توجه به تعریف یک محصول برداری، داریم:

این بدان معنی است که برابری زیر درست است:

از نقطه دوم راه حل داریم:

ثابت کنید که اگر و بردارهای واحد عمود بر یکدیگر باشند، برای هر بردار و برابری زیر برقرار است:

راه حل.

بگذارید مختصات بردارها به صورت متعارف داده شود: ; . از آنجایی که با خاصیت یک محصول مخلوط داریم:

بنابراین، تساوی (1) را می توان به شکل زیر نوشت: و این یکی از ویژگی های ثابت شده حاصل ضرب برداری بردارها و. بدین ترتیب اعتبار برابری (1) ثابت می شود.

حل نسخه صفر کار تست

وظیفه شماره 1

بردار به ترتیب زاویه ها و با بردارهای پایه و. زاویه ای که بردار با بردار ایجاد می کند را تعیین کنید.

راه حل.

بیایید یک متوازی الاضلاع روی بردارها و روی یک مورب بسازیم، به طوری که بردارها و با هم برابر باشند.

سپس در یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائمه، بزرگی زاویه برابر با کجاست.

به طور مشابه، در یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائمه، قدر برابر است با از کجا.

در یک مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث می‌بینیم:

در مثلث قائم الزاویه، ساق و هیپوتنوس زاویه قائم هستند. پس زاویه برابر است. اما زاویه برابر است با زاویه بین بردارها و. بنابراین مشکل حل می شود.

وظیفه شماره 2.

سه بردار در پایه آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی مسطح است. مساحت آن را پیدا کنید.

راه حل.

1. اگر بردارها و همسطح باشند، آن را چهار ضلعی تخت است. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم.

از آنجایی که دترمینان برابر با صفر است، بردارها و همسطح هستند، یعنی چهارضلعی مسطح است.

2. توجه داشته باشید که، بنابراین و بنابراین، چهارضلعی ذوزنقه ای با پایه های AB و CD است.

با ویژگی محصول برداری داریم:

یافتن محصول برداری

وظیفه شماره 3.یک بردار هم خط با بردار (2; 1; -2) پیدا کنید که طول آن 5 است.

راه حل.

مختصات بردار (x، y، z) را نشان می دهیم. همانطور که می دانید بردارهای خطی مختصات متناسبی دارند و بنابراین داریم:

x = 2t، y = t، z =؟ 2 تن

با توجه به شرایط مشکل || = 5 و به صورت مختصات:

با بیان متغیرها از طریق پارامتر t به دست می آوریم:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25،

بدین ترتیب،

x = ، y = ، z = .

ما دو راه حل دریافت کردیم.

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (لینک فوری برای کسانی که به آن نیاز دارند). اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش از ریاضیات عالی به طور کلی چوب کمی وجود دارد، به جز شاید به اندازه کافی برای پینوکیو. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند؛ من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کارهای عملی یافت می شود جمع آوری کنم.

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو یا حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

این عملیات، درست مانند محصول اسکالر، شامل دو بردار. بگذار اینها حروف فنا ناپذیر باشند.

خود عمل نشان داده شده بابه روش زیر: . گزینه های دیگری نیز وجود دارد، اما من عادت دارم که حاصل ضرب برداری بردارها را به این شکل، در پرانتز مربع با یک ضربدر نشان دهم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب اسکالر بردارهادو بردار درگیر هستند، و در اینجا دو بردار نیز ضرب می شوند، سپس تفاوت در چیست? تفاوت آشکار، اول از همه، در نتیجه است:

حاصل حاصل ضرب اسکالر بردارها NUMBER است:

حاصل ضرب ضربدری بردارها بردار است: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، نام عملیات از اینجا آمده است. در ادبیات آموزشی مختلف، نام‌گذاری‌ها ممکن است متفاوت باشد؛ من از حرف استفاده خواهم کرد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: محصول برداری غیر خطیبردارها، به این ترتیب گرفته شده استبه نام VECTOR، طولکه به صورت عددی است برابر مساحت متوازی الاضلاع است، بر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

بیایید تعریف را تکه تکه کنیم، چیزهای جالب زیادی در اینجا وجود دارد!

بنابراین، می توان به نکات مهم زیر اشاره کرد:

1) بردارهای اصلی که با فلش های قرمز مشخص شده اند، طبق تعریف خطی نیست. مناسب است که کمی بعد مورد بردارهای خطی را در نظر بگیریم.

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب کاملاً مشخص: – "الف" در "بودن" ضرب می شود، نه "بودن" با "الف". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی نشان داده شده است. اگر بردارها به ترتیب معکوس ضرب شوند، بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ تمشک) به دست می آوریم. یعنی برابری درست است .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! LENGTH بردار آبی (و بنابراین بردار زرشکی) از نظر عددی برابر با AREA متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها است. در شکل، این متوازی الاضلاع به رنگ مشکی است.

توجه داشته باشید : رسم شماتیک است و طبیعتاً طول اسمی حاصلضرب بردار با مساحت متوازی الاضلاع برابر نیست.

بیایید یکی از فرمول های هندسی را به یاد بیاوریم: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.. بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که فرمول مربوط به LENGTH بردار است و نه در مورد خود بردار. معنای عملی چیست؟ و معنی این است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم یک محصول برداری پیدا می شود:

اجازه دهید فرمول مهم دوم را بدست آوریم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه دهی قرمز) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

4) یک واقعیت به همان اندازه مهم این است که بردار متعامد با بردارها است، یعنی . البته بردار جهت مخالف (فلش تمشک) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساساین دارد درستگرایش. در درس در مورد انتقال به یک پایه جدیدمن با جزئیات کافی در مورد آن صحبت کردم جهت گیری هواپیما، و اکنون متوجه خواهیم شد که جهت گیری فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست. ذهنی ترکیب کنید انگشت اشارهبا وکتور و انگشت وسطبا وکتور انگشت حلقه و انگشت کوچکآن را در کف دست خود فشار دهید. در نتیجه شست- محصول برداری به بالا نگاه می کند. این یک مبنای راست گرا است (این یکی در شکل است). حالا بردارها را تغییر دهید ( انگشت اشاره و وسط) در بعضی جاها، در نتیجه انگشت شست به اطراف می چرخد ​​و حاصلضرب بردار از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: کدام پایه گرایش چپ دارد؟ "تخصیص" به همان انگشتان دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت چپ فضا را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد). به بیان تصویری، این پایه ها فضا را در جهات مختلف "پیچان" یا جهت می دهند. و این مفهوم را نباید چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، جهت گیری فضا توسط معمولی ترین آینه تغییر می کند، و اگر شما "شیء منعکس شده را از شیشه بیرون بکشید"، در حالت کلی ترکیب آن با "اصلی" امکان پذیر نخواهد بود. به هر حال، سه انگشت خود را به سمت آینه بگیرید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

... چقدر خوب است که اکنون از آن خبر دارید راست و چپمبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر جهت گیری ترسناک است =)

ضرب ضربدر بردارهای خطی

تعریف به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، باید بدانیم وقتی بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز در یک خط مستقیم "تا" می شود. حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع برابر با صفر است. از فرمول نیز به همین صورت است - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر است، یعنی مساحت صفر است.

بنابراین، اگر، پس و . لطفا توجه داشته باشید که خود حاصلضرب بردار برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این موضوع صرف نظر می شود و می نویسند که آن نیز برابر با صفر است.

یک مورد خاص حاصل ضرب یک بردار با خودش است:

با استفاده از حاصلضرب برداری، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما نیز این مشکل را در میان موارد دیگر تحلیل خواهیم کرد.

برای حل مثال های عملی ممکن است نیاز داشته باشید جدول مثلثاتیبرای یافتن مقادیر سینوس ها از آن.

خوب، بیایید آتش را روشن کنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب بردار بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در بندها یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) با توجه به شرایط، باید پیدا کنید طولبردار (محصول متقاطع). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

اگر از شما در مورد طول سؤال شد ، در پاسخ ما بعد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) با توجه به شرط، باید پیدا کنید مربعمتوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول حاصلضرب بردار:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که پاسخ به هیچ وجه در مورد محصول برداری صحبت نمی کند؛ از ما در مورد آن سؤال شد مساحت شکلبر این اساس، بعد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه که باید بر اساس شرایط پیدا کنیم نگاه می کنیم و بر این اساس فرموله می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در بین معلمان تعداد زیادی از لفظ گرایان وجود دارد و این تکلیف شانس خوبی برای بازگرداندن آن برای تجدید نظر دارد. اگر چه این یک سخن گفتن دور از ذهن نیست - اگر پاسخ نادرست باشد، این تصور به وجود می آید که شخص چیزهای ساده را نمی فهمد و/یا اصل کار را درک نکرده است. این نکته همیشه باید در حل هر مسئله ای در ریاضیات عالی و همچنین در دروس دیگر تحت کنترل باشد.

حرف بزرگ "en" کجا رفت؟ در اصل، می‌توانست به راه حل اضافه شود، اما برای کوتاه کردن ورودی، این کار را نکردم. امیدوارم همه این را بفهمند و برای همین کار تعیین شوند.

یک مثال محبوب برای راه حل DIY:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق حاصلضرب بردار در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است؛ مثلث ها به طور کلی می توانند شما را عذاب دهند.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها

ما قبلاً برخی از ویژگی های محصول برداری را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر درست است:

1) در سایر منابع اطلاعاتی معمولاً این مورد در خواص برجسته نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا مورد بحث قرار گرفته است، گاهی اوقات به آن می گویند ضد جابجایی. به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) – انجمنی یا انجمنیقوانین محصول برداری ثابت ها را می توان به راحتی به خارج از حاصل ضرب برداری منتقل کرد. راستی اونجا چیکار باید بکنن؟

4) – توزیع یا توزیعیقوانین محصول برداری باز کردن براکت ها هم مشکلی ندارد.

برای نشان دادن، اجازه دهید به یک مثال کوتاه نگاه کنیم:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:این شرط دوباره مستلزم یافتن طول حاصلضرب بردار است. بیایید مینیاتور خود را نقاشی کنیم:

(1) طبق قوانین انجمنی، ثابت ها را خارج از محدوده حاصلضرب برداری می گیریم.

(2) ثابت را به خارج از ماژول منتقل می کنیم و ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) بقیه روشن است.

پاسخ:

وقت آن است که چوب بیشتری به آتش اضافه کنید:

مثال 4

مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید اگر

راه حل: با استفاده از فرمول مساحت مثلث را پیدا کنید . نکته مهم این است که بردارهای "tse" و "de" خود به عنوان مجموع بردارها ارائه می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های شماره 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها. برای وضوح، ما راه حل را به سه مرحله تقسیم می کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب برداری را از طریق حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بیایید یک بردار را بر اساس یک بردار بیان کنیم. هنوز در مورد طول مدت صحبتی نشده است!

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را طبق قاعده ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت ها را فراتر از محصولات برداری حرکت می دهیم. با کمی تجربه می توان مراحل 2 و 3 را به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت nice برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم از خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، مشخص شد که بردار از طریق یک بردار بیان می شود، که برای دستیابی به آن نیاز بود:

2) در مرحله دوم طول حاصلضرب برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل مشابه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نیاز را پیدا کنید:

مراحل 2-3 راه حل می توانست در یک خط نوشته شود.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده در تست ها کاملاً رایج است، در اینجا مثالی برای حل خودتان آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر دقت کردید ;-)

ضرب ضربدری بردارها در مختصات

، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعاً ساده است: در خط بالای تعیین کننده، بردارهای مختصات را می نویسیم، در خط دوم و سوم، مختصات بردارها را "قرار می دهیم" و می گذاریم. به ترتیب دقیق– ابتدا مختصات بردار “ve” سپس مختصات بردار “double-ve”. اگر بردارها باید به ترتیب دیگری ضرب شوند، سطرها باید تعویض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر خطی هستند یا خیر:
آ)
ب)

راه حل: بررسی بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها به صورت خطی باشند، حاصلضرب بردار آنها برابر با صفر (بردار صفر) است: .

الف) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

بنابراین، بردارها خطی نیستند.

ب) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصلضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا مشکلات کمی در استفاده از حاصلضرب مخلوط بردارها وجود دارد. در واقع، همه چیز به تعریف، معنای هندسی و چند فرمول کاری بستگی دارد.

حاصلضرب مخلوط بردارها حاصل ضرب سه بردار است:

بنابراین آنها مانند یک قطار در صف ایستادند و نمی توانند منتظر شناسایی شوند.

ابتدا یک تعریف و یک تصویر:

تعریف: کار مختلط غیر همسطحبردارها، به این ترتیب گرفته شده است، تماس گرفت حجم موازی، بر روی این بردارها ساخته شده است، اگر پایه درست باشد، با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-" مجهز شده است.

بیایید نقاشی را انجام دهیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با خطوط نقطه چین ترسیم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب خاصی، یعنی همان طور که ممکن است حدس بزنید، بازآرایی بردارها در محصول، بدون عواقب رخ نمی دهد.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، یک واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: . در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است کمی متفاوت باشد؛ من عادت دارم یک محصول ترکیبی را با حرف "pe" و نتیجه محاسبات را با حرف "pe" نشان دهم.

الف - مقدماتی محصول مخلوط، حجم موازی است، بر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم یک متوازی الاضلاع معین است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) دوباره نگران مفهوم جهت گیری مبنا و فضا نباشیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به عبارت ساده، یک محصول مخلوط می تواند منفی باشد: .

به طور مستقیم از تعریف، فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را دنبال می کند.