مشکل 1

یک سیستم معادلات خطی را به دو روش حل کنید: با استفاده از فرمول های کرامر و روش گاوس.

1) حل سیستم ناهمگن معادلات جبری خطی Ax = B با استفاده از روش کرامر

تعیین کننده سیستم D برابر با صفر نیست. بیایید تعیین های کمکی D 1، D 2، D 3 را پیدا کنیم، اگر آنها برابر با صفر نباشند، پس هیچ جوابی وجود ندارد، اگر آنها مساوی باشند، تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد.

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با 3 مجهول که تعیین کننده آن غیر صفر است، همیشه سازگار است و یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های زیر محاسبه می شود:

پاسخ: راه حل را گرفتیم:

2) حل سیستم ناهمگن معادلات جبری خطی Ax = B با استفاده از روش گاوس

بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم

بیایید خط اول را به عنوان راهنما و عنصر a 11 = 1 را به عنوان راهنما در نظر بگیریم. با استفاده از خط راهنما، در ستون اول صفر می گیریم.

مربوط به مجموعه راه حل های سیستم معادلات خطی است

پاسخ: راه حل را گرفتیم:

مشکل 2

با توجه به مختصات رئوس مثلث ABC

پیدا کردن:

1) طول ضلع AB؛

4) معادله میانه AE.

مثلث داده شده و تمام خطوط را در سیستم مختصات بسازید.

A(1; -1)، B(4; 3). ج (5؛ 1).

1) فاصله بین نقاط A( x 1; در 1) و ب( x 2; در 2) با فرمول تعیین می شود

با استفاده از آن طول ضلع AB را پیدا می کنیم.

2) معادلات اضلاع AB و BC و ضرایب زاویه ای آنها.

معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده از صفحه A می گذرد x 1; در 1) و ب( x 2; در 2) دارای فرم است

با جایگزینی مختصات نقاط A و B به (2)، معادله ضلع AB را بدست می آوریم:

ضریب زاویه k AB خط مستقیم AB را با تبدیل معادله به شکل معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه پیدا می کنیم. y =kx - ب.

، یعنی از کجا

به همین ترتیب، معادله خط مستقیم BC را به دست می آوریم و ضریب زاویه ای آن را می یابیم.

با جایگزینی مختصات نقاط B و C به (2)، معادله ضلع BC را بدست می آوریم:

با تبدیل معادله به شکل معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای، ضریب زاویه k BC از BC را پیدا می کنیم. y =kx - ب.

، به این معنا که

3) زاویه داخلی در راس B بر حسب رادیان با دقت 0.01

برای پیدا کردن زاویه داخلی مثلث خود از فرمول استفاده می کنیم:

توجه داشته باشید که روش محاسبه اختلاف ضرایب زاویه ای در صورت شمار این کسر به موقعیت نسبی خطوط مستقیم AB و BC بستگی دارد.

با جایگزینی مقادیر محاسبه شده قبلی k BC و k AB به (3)، متوجه می شویم:

اکنون با استفاده از جداول با یک ریزمحاسبه مهندسی، B » 1.11 راد بدست می آید.

4) معادله میانه AE.

برای جمع آوری معادله میانه AE ابتدا مختصات نقطه E را که در وسط قطعه BC قرار دارد پیدا می کنیم.

با جایگزینی مختصات نقاط A و E به معادله (2)، معادله میانه را بدست می آوریم:

5) معادله و طول CD ارتفاع.

برای کامپایل معادله سی دی ارتفاع، از معادله یک خط مستقیم که از نقطه معینی می گذرد استفاده می کنیم. x 0 ; y 0) با شیب معین ک، که دارای فرم است

و شرط عمود بودن خطوط مستقیم AB و CD که با رابطه k AB k CD = -1 بیان می شود، از آنجا k CD = -1/k AB = - 3/4

جایگزینی در (4) به جای k مقدار k C D = -3/4 و به جای ایکس 0 , y 0 با مختصات مربوط به نقطه C، معادله ارتفاع CD را به دست می آوریم

برای محاسبه طول CD ارتفاع، از فرمول برای یافتن فاصله d از نقطه معین M( x 0 ; y 0) به یک خط مستقیم داده شده با معادله Ax+ By + C = 0 که به شکل زیر است:

جایگزین کردن در (5) به جای آن x 0 ; y 0مختصات نقطه C و به جای A, B, C ضرایب معادله خط مستقیم AB را بدست می آوریم.

6) معادله خط مستقیمی که از نقطه E به موازات ضلع AB و نقطه M تقاطع آن با ارتفاع CD عبور می کند.

از آنجایی که خط مستقیم مورد نظر EF موازی با خط مستقیم AB است، پس k EF = k AB = 4/3. به جای معادله (4) جایگزین کنید x 0 ; y 0مختصات نقطه E و به جای k مقدار k EF معادله خط مستقیم EF را بدست می آوریم.

برای یافتن مختصات نقطه M معادلات خطوط EF و CD را به طور مشترک حل می کنیم.

بنابراین، M (5.48، 0.64).

7) معادله دایره ای با مرکز در نقطه E که از راس B می گذرد

از آنجایی که دایره در نقطه E(4.5; 2) مرکز دارد و از راس B(4; 3) می گذرد، شعاع آن

معادله متعارف دایره ای به شعاع R با مرکز در نقطه M 0 ( x 0 ; y 0) دارای فرم است

مثلث ABC، ارتفاع CD، میانه AE، خط مستقیم EF، نقطه M و یک دایره ساخته شده در سیستم مختصات x0y در شکل 1.

مشکل 3

معادله ای از خطی رسم کنید که برای هر نقطه آن فاصله آن تا نقطه A (2; 5) برابر است با فاصله تا خط مستقیم y = 1. منحنی حاصل را در سیستم مختصات رسم کنید.

راه حل

اجازه دهید M ( ایکس، y) - نقطه فعلی منحنی مورد نظر. اجازه دهید عمود MB را از نقطه M به خط مستقیم y = 1 رها کنیم (شکل 2). سپس B(x; 1). از آنجایی که MA = مگابایت، پس

ما تعیین کننده اصلی سیستم را می نویسیم

و آن را محاسبه کنید.

سپس تعیین کننده های اضافی را می سازیم

و آنها را محاسبه کنید.

طبق قانون کرامر، راه حل سیستم با استفاده از فرمول ها پیدا می شود

;
;
، اگر

1)

بیایید محاسبه کنیم:

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

پاسخ: (1؛ 2؛ 3)

2)

بیایید محاسبه کنیم:

از آنجایی که تعیین کننده اصلی است
، و حداقل یک اضافی برابر با صفر نیست (در مورد ما
، پس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

3)

بیایید محاسبه کنیم:

از آنجایی که همه تعیین کننده ها برابر با صفر هستند، سیستم دارای تعداد بی نهایت جواب است که می توان آنها را به صورت زیر یافت:

سیستم ها را خودتان حل کنید:

آ)
ب)

پاسخ: الف) (1؛ 2؛ 5) ب) ;;

درس عملی شماره 3 با موضوع:

حاصل ضرب نقطه ای دو بردار و کاربرد آن

1. اگر داده شود
و
، سپس با استفاده از فرمول حاصل ضرب اسکالر را پیدا می کنیم:

∙

2. اگر، حاصل ضرب اسکالر این دو بردار با فرمول پیدا می شود

1. دو بردار داده می شود
و

ما محصول اسکالر آنها را به صورت زیر می یابیم:

.

2. دو بردار داده شده است:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

محصول اسکالر به صورت زیر یافت می شود:

3.
,

3.1 یافتن کار یک نیروی ثابت در یک بخش مستقیم از مسیر

1) تحت تأثیر نیروی 15 نیوتن، جسم در یک خط مستقیم 2 متر حرکت کرد. زاویه بین نیرو و جهت حرکت =60 0. کار انجام شده توسط نیرویی برای حرکت یک جسم را محاسبه کنید.

داده شده:

راه حل:

2) با توجه به:

راه حل:

3) جسمی از نقطه M(1؛ 2؛ 3) به نقطه N(5؛ 4؛ 6) تحت تأثیر نیروی 60 نیوتن حرکت کرد. زاویه بین جهت نیرو و بردار جابجایی =45 0. کار انجام شده توسط این نیرو را محاسبه کنید.

راه حل: بردار جابجایی را پیدا کنید

یافتن ماژول بردار جابجایی:

طبق فرمول
پیدا کردن کار:

3.2 تعیین متعامد بودن دو بردار

دو بردار متعامد هستند if
، به این معنا که

زیرا

1)

- متعامد نیست

2)

-قائم

3) بردارها را در چه  تعیین کنید
و
متعامد متقابل

زیرا
، آن
، به معنای

خودتان تصمیم بگیرید:

آ)

. محصول اسکالر آنها را پیدا کنید.

ب) محاسبه کنید که نیرو چقدر کار ایجاد می کند
، در صورتی که نقطه کاربرد آن، با حرکت مستقیم، از نقطه M (5; -6; 1) به نقطه N (1; -2; 3) منتقل شده باشد.

ج) متعامد بودن بردارها را مشخص کنید
و

پاسخ ها: الف) 1 ب) 16 ج) بله

3.3 یافتن زاویه بین بردارها

1)

. پیدا کردن .

ما پیدا می کنیم

در فرمول جایگزین کنید:

.

1). رئوس مثلث A(3; 2; -3)، B(5; 1; -1)، C(1; -2; 1) آورده شده است. زاویه راس A را پیدا کنید.

بیایید آن را در فرمول قرار دهیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

رئوس مثلث A(3; 5; -2)، B(5; 7; -1)، C(4; 3; 0) آورده شده است. زاویه داخلی را در راس A تعیین کنید.

پاسخ: 90 o

درس عملی شماره 4 با موضوع:

محصول وکتور دو وکتور و کاربرد آن.

فرمول یافتن حاصل ضرب دو بردار:

	به نظر می رسد

1) مدول حاصلضرب بردار را بیابید:

بیایید یک تعیین کننده بسازیم و آن را محاسبه کنیم (با استفاده از قاعده سارروس یا قضیه بسط دترمینان به عناصر ردیف اول).

روش اول: طبق قانون ساروس

روش 2: تعیین کننده را به عناصر ردیف اول گسترش دهید.

2) مدول حاصلضرب برداری را بیابید:

4.1. محاسبه مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی دو بردار.

1) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید

2). حاصلضرب برداری و مدول آن را پیدا کنید

4.2. محاسبه مساحت مثلث

مثال: رئوس مثلث A(1; 0; -1)، B(1; 2; 0)، C(3; -1; 1) آورده شده است. مساحت مثلث را محاسبه کنید.

ابتدا مختصات دو بردار را که از یک راس سرچشمه می‌گیرند، پیدا می‌کنیم.

بیایید محصول برداری آنها را پیدا کنیم

4.3. تعیین هم خطی دو بردار

اگر بردار
و
پس خطی هستند

، یعنی مختصات بردارها باید متناسب باشد.

الف) بردارهای داده شده::
,
.

آنها خطی هستند زیرا
و

پس از کاهش هر کسر نسبت را بدست می آوریم

ب) بردارهای داده شده:

.

آنها خطی نیستند زیرا
یا

خودتان تصمیم بگیرید:

الف) در چه مقادیر m و n بردار
خطی؟

پاسخ:
;

ب) حاصل ضرب برداری و مدول آن را بیابید
,
.

پاسخ:
,
.

درس عملی شماره 5 با موضوع:

خط مستقیم در هواپیما

مسئله شماره 1. معادله خطی را که از نقطه A(-2; 3) موازی با خط عبور می کند بیابید.

1. شیب خط را پیدا کنید
.

معادله یک خط مستقیم با یک ضریب زاویه ای و یک مصداق اولیه (
). از همین رو
.

2. از آنجایی که خطوط MN و AC موازی هستند، ضرایب زاویه ای آنها برابر است، یعنی.
.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم AC از معادله خط مستقیمی که از نقطه ای با ضریب زاویه ای معین می گذرد استفاده می کنیم:

. در این فرمول در عوض و به جای آن مختصات نقطه A(-2; 3) را جایگزین کنید بیایید جایگزین کنیم - 3. در نتیجه تعویض بدست می آوریم:

پاسخ:

وظیفه شماره 2. معادله خطی را که از نقطه K(1; –2) موازی با خط عبور می کند، پیدا کنید.

1. بیایید شیب خط را پیدا کنیم.

این معادله کلی یک خط است که به صورت کلی با فرمول به دست می آید. با مقایسه معادلات متوجه می شویم که A = 2، B = -3. شیب خط مستقیم داده شده توسط معادله با فرمول بدست می آید
. با جایگزینی A = 2 و B = -3 در این فرمول، شیب خط مستقیم MN را بدست می آوریم. بنابراین،
.

2. از آنجایی که خطوط MN و KS موازی هستند، ضرایب زاویه ای آنها برابر است:
.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم KS از فرمول معادله خط مستقیم عبوری از نقطه ای با ضریب زاویه ای معین استفاده می کنیم.
. در این فرمول در عوض و اجازه دهید مختصات نقطه K(–2; 3) را جایگزین کنیم

مسئله شماره 3. معادله خطی را که از نقطه K(–1; –3) عمود بر خط می گذرد بیابید.

1. یک معادله کلی از یک خط مستقیم است که به صورت کلی با فرمول به دست می آید.

و دریافتیم که A = 3، B = 4.

شیب خط مستقیم داده شده توسط معادله با فرمول بدست می آید:
. با جایگزینی A = 3 و B = 4 در این فرمول، شیب خط مستقیم MN را بدست می آوریم:
.

2. از آنجایی که خطوط MN و KD عمود هستند، ضرایب زاویه ای آنها معکوس متناسب و مخالف علامت هستند:

.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم KD از فرمول معادله خط مستقیم عبوری از نقطه با ضریب زاویه ای معین استفاده می کنیم.

. در این فرمول در عوض و به جای آن مختصات نقطه K(–1;–3) را جایگزین کنید جایگزین کنیم در نتیجه تعویض بدست می آوریم:

خودتان تصمیم بگیرید:

1. معادله خطی را که از نقطه K(-4; 1) موازی با خط عبور می کند بیابید.
.

پاسخ:
.

2. معادله خطی را که از نقطه K(5; –2) موازی با خط عبور می کند بیابید.
.

3. معادله خطی را که از نقطه K(-2, -6) عمود بر خط می گذرد بیابید.
.

4. معادله خطی را که از نقطه K(7; –2) عمود بر خط می گذرد بیابید.
.

پاسخ:
.

5. معادله عمود کاهش یافته از نقطه K(-6; 7) به خط مستقیم را بیابید.
.

2.3.1. تعریف.

معادلات خطی داده شود:

آ 1 ایکس + ب 1 y + ج 1 z = د 1 , (2.3.1)

آ 2 ایکس + ب 2 y + ج 2 z = د 2 , (2.3.2)

آ 3 ایکس + ب 3 y + ج 3 z = د 3 . (2.3.3)

اگر لازم باشد یک راه حل کلی برای معادلات (2.3.1) ¾ (2.3.3) پیدا کنید، آنگاه می گویند که آنها را تشکیل می دهند. سیستم . سیستم متشکل از معادلات (2.3.1) ¾ (2.3.3) به صورت زیر نشان داده می شود:

حل کلی معادلات تشکیل دهنده سیستم نامیده می شود راه حل سیستم . سیستم را حل کنید (2.3.4) ¾ این به معنای یافتن مجموعه ای از همه راه حل های آن، یا اثبات وجود هیچ کدام است.

مانند موارد قبلی، در زیر شرایطی را خواهیم یافت که در آن سیستم (2.3.4) دارای یک راه حل منحصر به فرد، بیش از یک راه حل و بدون راه حل است.

2.3.2. تعریف. اجازه دهید سیستم (2.3.4) معادلات خطی داده شود. ماتریس ها

بر این اساس نامیده می شوند ( پایه ای )ماتریس و ماتریس توسعه یافته سیستم های.

2.3.3. تعاریف سیستم های معادل شکل (2.3.4)، و همچنین تبدیل های ابتدایی نوع 1 و 2، به همان روشی که برای سیستم های دو معادله با دو و سه مجهول معرفی شده است.

دگرگونی ابتدایینوع سوم سیستم (2.3.4) را مبادله دو معادله این سیستم می نامند. مشابه موارد قبلی سیستم های 2 معادله با دگرگونی های ابتدایی سیستم، سیستم به دست می آید,معادل این.

2.3.4. ورزش. حل سیستم معادلات:

راه حل. آ)

(1) ما معادلات اول و دوم سیستم (تبدیل نوع 3) را مبادله کردیم.

(2) معادله اول ضرب در 4 از دومی کم شد و اولین معادله ضرب در 6 از معادله سوم کم شد (تبدیل نوع 2). بنابراین مجهول از معادلات دوم و سوم حذف شد ایکس .

(3) معادله دوم، ضرب در 14، از معادله سوم کم شد. مجهول از سوم حذف شد y .

(4) از آخرین معادله ای که می یابیم z = 1، با جایگزینی آن به دومی، پیدا می کنیم y = 0. در نهایت، جایگزینی y = 0 و z = 1 را در معادله اول می یابیم ایکس = -2.ñ

(1) ما معادلات اول و دوم سیستم را با هم عوض کردیم.

(2) معادله اول ضرب در 4 از دومی کم شد و اولین معادله ضرب در 6 از معادله سوم کم شد.

(3) معادلات دوم و سوم با هم منطبق شدند. یکی از آنها را از سیستم حذف می کنیم (یا به عبارت دیگر، اگر دومی را از معادله سوم کم کنیم، معادله سوم به هویت 0 = 0 تبدیل می شود؛ از سیستم حذف می شود. فرض می کنیم z = آ .

(4) جایگزین z = آ به معادلات دوم و اول

(5) تعویض y = 12 - 12آ در معادله اول می یابیم ایکس .

ج) اگر معادله اول بر 4 و ¾ سوم بر 6 تقسیم شود، به یک سیستم معادل می رسیم.

که معادل معادله است ایکس - 2y - z = -3. راه حل های این معادله مشخص هستند (به مثال 2.2.3 ب) مراجعه کنید.

آخرین برابری در سیستم حاصل متناقض است. بنابراین سیستم هیچ راه حلی ندارد.

تبدیل های (1) و (2) ¾ دقیقاً با تبدیل های متناظر سیستم b))

(3) دومی را از آخرین معادله کم کنید.

پاسخ: الف) (-2؛ 0؛ 1)؛

ب) (21 - 23 آ ; 12 - 12آ ; آ ), آ Î آر;

ج) ((-3 + 2 آ + ب ; آ ; ب )|آ , ب Î آر};

د) سیستم هیچ راه حلی ندارد.

2.3.5. از مثال های قبلی چنین بر می آید که سیستم با سه مجهولمانند یک سیستم با دو مجهول، ممکن است تنها یک راه حل داشته باشد, تعداد بی نهایت راه حل و نداشتن یک راه حل واحد. در زیر تمام موارد ممکن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. اما ابتدا مقداری نماد را معرفی می کنیم.

فرض کنید D تعیین کننده ماتریس سیستم باشد:

فرض کنید D 1 با جایگزین کردن ستون اول با ستونی از عبارات آزاد، تعیین کننده به دست آمده از D را نشان دهد:

به طور مشابه، اجازه دهید قرار دهیم

D 2 = و D 3 = .

2.3.6. قضیه. اگر D¹0، سپس سیستم(2.3.4)راه حل منحصر به فردی دارد

, , . (2.3.5)

فرمول های (2.3.5) نامیده می شوند فرمول = = 0 برای همه من ¹ j و حداقل یکی از عوامل تعیین کننده , , برابر با صفر نیست, پس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

4) اگر = = = = = = 0 برای همه من ¹ j , سپس سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است, بسته به دو پارامتر.

درس عملی شماره 7

حل یک سیستم 3 معادله خطی

با سه متغیر

هدف:

توسعه توانایی تبدیل ماتریس ها؛

مهارت های حل سیستم را توسعه دهید3 معادله خطی در سه متغیر به روش کرامر;

ادغام دانش در مورد ویژگی های تعیین کننده های مرتبه 2 و 3.

پشتیبانی مادی و فنی: دستورالعمل برای انجام کار؛

زمان بین شروع و اتمام فرآیند تولید: 2 ساعت تحصیلی؛

پیشرفت درس:

مطالعه مختصر اطلاعات نظری؛

وظایف کامل؛

نتیجه گیری از کار؛

از کار خود در مورد سؤالات آزمون دفاعیه تهیه کنید.

اطلاعات نظری مختصر:

ماتریس یک جدول مربع یا مستطیل است, پر از اعداد. به این اعداد عناصر ماتریسی می گویند.

عناصر ماتریسی, به صورت افقی واقع شده است, ردیف های ماتریس را تشکیل می دهند. عناصر ماتریسی, به صورت عمودی مرتب شده است, ستون های ماتریس را تشکیل می دهند.

خطوط از چپ به راست شماره گذاری می شوند, شروع از شماره1, ستون ها از بالا به پایین شماره گذاری می شوند, شروع از شماره1.

ماتریسآ , داشتنمتر خطوط وn ستون ها, ماتریس نامیده می شوداندازهمتر برn و تعیین شده استآ m∙n . عنصرآ من ج ماتریس هاآ = { آ ij } در تقاطع ایستاده استمن - آه خطوط وj- ستون هفتم.

مورب اصلی یک ماتریس مربع، قطری است که از گوشه سمت چپ بالای ماتریس به گوشه پایین سمت راست منتهی می شود.مورب کناری یک ماتریس مربع، قطری است که از گوشه سمت چپ پایین ماتریس به گوشه سمت راست بالا منتهی می شود.

دو ماتریس در صورتی که ابعاد یکسانی داشته باشند و عناصر متناظر آنها مساوی باشند برابر در نظر گرفته می شوند.

هر ماتریس را می توان در هر عددی ضرب کرد و اگرک - پس شمارهک ∙ آ ={ ک ∙ آ ij }.

ماتریس های هم اندازهآ m∙n وب m∙n را می توان تا کرد، وآ m∙n + ب m∙n = { آ ij + ب من j }.

عملیات جمع ماتریس دارای ویژگی هایی استآ + ب = ب + آ , آ +( ب + سی ) = ( آ + ب ) + سی .

مثال 1. پس از انجام عملیات روی ماتریس ها، ماتریس C= 2A - B را پیدا کنید، جایی که، .

راه حل.

بیایید ماتریس 2A با ابعاد 3x3 را محاسبه کنیم:

بیایید ماتریس C = 2A - در ابعاد 3x3 را محاسبه کنیم:

سی = 2 آ - ب .

تعیین کننده یک ماتریس مرتبه سوم عددی است که با تساوی تعریف می شود:

.

این عدد نشان دهنده جمع جبری متشکل از شش جمله است. هر عبارت دقیقاً حاوی یک عنصر از هر سطر و هر ستون ماتریس است. هر عبارت از حاصل ضرب سه عامل تشکیل شده است.

شکل 1.1. شکل 1.2.

علائمی که با آنها عبارات تعیین کننده در فرمول یافتن تعیین کننده مرتبه سوم گنجانده می شود، می توان با استفاده از طرح داده شده، که قانون مثلث ها یا قاعده ساروس نامیده می شود، تعیین کرد. سه جمله اول با علامت مثبت و از شکل (1.1.) و سه جمله بعدی با علامت منفی گرفته شده و از شکل (1.2) تعیین می شود.

مثال 2. تعیین کننده مرتبه سوم را با استفاده از قانون ساروس محاسبه کنید:

راه حل:

مثال 3. تعیین کننده مرتبه سوم را با استفاده از روش بسط بر روی عناصر ردیف اول محاسبه کنید:

راه حل:

ما از فرمول استفاده می کنیم:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

بیایید ویژگی های اصلی تعیین کننده ها را در نظر بگیریم:

یک تعیین کننده با یک ردیف (ستون) صفر برابر با صفر است.

اگر هر ردیف (هر ستون) ماتریس را در هر عددی ضرب کنید، تعیین کننده ماتریس در این عدد ضرب می شود.

هنگامی که ماتریس جابجا می شود، تعیین کننده تغییر نمی کند.

هنگامی که هر دو سطر (ستون) از ماتریس بازآرایی شوند، دترمینان علامت را تغییر می‌دهد.

تعیین کننده یک ماتریس با دو ردیف (ستون) یکسان برابر با صفر است.

اگر سطر دیگری به هر سطر اضافه شود، تعیین کننده تغییر نمی کند. یک عبارت مشابه برای ستون ها صادق است.

خواص ماتریس ها و تعیین کننده ها به طور گسترده در حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول استفاده می شود:

,

جایی که x 1 ، ایکس 2 ، ایکس 3 متغیر هستند و 11 ، آ 12 ،…، آ 33 - ضرایب عددی لازم به یادآوری است که هنگام حل یک سیستم، یکی از سه پاسخ ممکن ممکن است:

1) سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد - (x 1 ; ایکس 2 ; ایکس 3 );

2) سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد (تعریف نشده).

3) سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

حل یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیریدروش کرامر کهبه شما امکان می دهد پیدا کنیدتنها راه حل برای سیستم، بر اساس توانایی محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم:

مثال 3. با استفاده از فرمول های کرامر راه حلی برای یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول پیدا کنید:

راه حل. با استفاده از تعیین کننده های مرتبه سومحکومت یا گسترش ساروس توسط عناصر ردیف اول:

ما راه حل سیستم را با استفاده از فرمول ها پیدا می کنیم:

پاسخ: (- 152؛ 270؛ 254-)

وظایف برای تکمیل مستقل:

من. ماتریس تبدیل را پیدا کنید.

II. تعیین کننده را محاسبه کنیدIIIسفارش.

III. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید.

انتخاب 1.

1. سی = آ +3 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 2.

1. سی =2 آ - ب ، اگر ، . 2..

گزینه 3.

1. سی = 3 آ + ب ، اگر ، . 2. .

گزینه 4.

1. سی = آ - 4 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 5.

1. سی = 4 آ - ب , اگر، . 2..

گزینه 6.

1. سی = آ +2 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 7.

1. سی =2 آ + ب ، اگر ، . 2..

گزینه 8.

1. سی =3 آ - ب ، اگر ، . 2..

گزینه 9.

1. سی = آ - 3 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 10.

1. سی = آ - 2 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 11.

1. سی = آ +4 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 12.

1. سی =4 آ + ب ، اگر ، . 2..

گزینه 13.

1. سی = آ +3 ب ، اگر ، . 2..

گزینه 14.

1. سی =2 آ - ب ، اگر ، . 2..

گزینه 15.

1. سی =3 آ + ب ، اگر ، . 2..

سوالاتی برای خودکنترلی:

ماتریس چیست؟

قوانین برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم؟

فرمول های کرامر را برای حل یک سیستم سه معادله خطی با سه متغیر بنویسید.

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در بخش اقتصادی برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر است که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل یک معادله با رسم آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیر (x، y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا اینکه مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا هیچ راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت مساوی دارای مقدار باشد یا با تابعی بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، می تواند به تعداد دلخواه وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل این گونه سیستم ها وجود ندارد، همه روش ها بر اساس حل های عددی هستند. درس ریاضی مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش های گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوسی را شرح می دهد.

وظیفه اصلی هنگام آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم راه حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول استفاده از یک روش خاص است.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی در برنامه درسی آموزش عمومی پایه هفتم بسیار ساده و با جزئیات کامل توضیح داده شده است. در هر کتاب ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس و کرامر در سال‌های اول تحصیلات عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها با استفاده از روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید برای مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس 7 با استفاده از روش جایگزینی راه حلی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . حل این مثال آسان است و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز نامناسب است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با استفاده از روش جمع، معادلات عبارت به ترم اضافه می شوند و در اعداد مختلف ضرب می شوند. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای در یک متغیر است.

استفاده از این روش مستلزم تمرین و مشاهده است. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع زمانی که 3 یا بیشتر متغیر وجود دارد آسان نیست. هنگامی که معادلات حاوی کسری و اعشاری هستند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم حل:

1. دو طرف معادله را در عدد معینی ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی، یکی از ضرایب متغیر باید برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

در صورتی که سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای حداکثر دو معادله داشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد؛ همچنین تعداد مجهول ها نباید بیشتر از دو معادله باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید برای مجهول معرفی شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c که D ممیز مورد نظر است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای 3 سیستم معادله. این روش شامل ساخت نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید به چند نمونه از حل سیستم معادلات خطی به صورت تصویری نگاه کنیم.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر مستلزم یافتن یک جواب گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی است: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا یک سیستم راه حل دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و ردیف ها برابر باشد. ماتریس-بردار ماتریسی از یک ستون با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد هویت نامیده می شود.

ماتریس معکوس، ماتریسی است که در ضرب آن، ماتریس اصلی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود؛ چنین ماتریسی فقط برای ماتریس مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

در رابطه با سیستم های معادلات، ضرایب و عبارت های آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریسی نوشته می شوند؛ یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

اگر حداقل یکی از عناصر سطر صفر نباشد، به یک ردیف ماتریسی غیرصفر گفته می شود. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس است و |K| تعیین کننده ماتریس است. |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود؛ فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در کار تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به شما امکان می دهد هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات، ورودی های دست و پا گیر را کاهش دهید.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها با استفاده از روش گاوسی

در ریاضیات عالی، روش گاوسی همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به جواب های جایگزین و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه، حل به روش گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش کاهش سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با استفاده از تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول، در حالی که 3 و 4 به ترتیب دارای 3 و 4 متغیر هستند.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس هفتم، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای پرورش نبوغ کودکانی است که در برنامه‌های یادگیری پیشرفته در کلاس‌های ریاضی و فیزیک ثبت‌نام می‌کنند.

برای سهولت ثبت، محاسبات معمولاً به صورت زیر انجام می شود:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که باید با آن کار کنید، یادداشت کنید، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها را بنویسید. ماتریس حاصل بعد از علامت فلش نوشته می شود و عملیات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

نتیجه باید ماتریسی باشد که در آن یکی از مورب ها برابر با 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک فرم واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که محاسبات را با اعداد در دو طرف معادله انجام دهیم.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به مراقبت و کمی تجربه دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از روش‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.