مندلبروت تعریف آزمایشی زیر را از فراکتال ارائه کرد:

فراکتال مجموعه‌ای است که بعد هاسدورف-بسیکوویچ به شدت بزرگ‌تر از بعد توپولوژیکی آن است.

این تعریف به نوبه خود مستلزم تعاریفی از اصطلاحات مجموعه، بعد هاسدورف-بسیکوویتز و بعد توپولوژیکی است که همیشه یک عدد صحیح است. برای اهداف خود، ما تعاریف بسیار سست از این اصطلاحات و تصاویر گویا (با استفاده از مثال‌های ساده) را به جای ارائه دقیق‌تر اما رسمی‌تر مفاهیم مشابه ترجیح می‌دهیم. ماندلبرو تعریف اولیه خود را با پیشنهاد جایگزینی آن با موارد زیر محدود کرد

فراکتال ساختاری متشکل از اجزایی است که به نوعی شبیه به کل هستند.

هنوز تعریف دقیق و کاملی از فراکتال ها وجود ندارد. واقعیت این است که تعریف اول با همه درستی و دقتش، بسیار محدودکننده است. بسیاری از فراکتال هایی که در فیزیک با آن مواجه می شوند را حذف می کند. تعریف دوم شامل یک ویژگی متمایز اساسی است که در کتاب ما تأکید شده و در آزمایش مشاهده شده است: یک فراکتال بدون توجه به مقیاسی که مشاهده می شود یکسان به نظر می رسد. حداقل چند ابر کومولوس زیبا بردارید. آنها از "کوهان" بزرگی تشکیل شده اند که روی آنها "کوهان" کوچکتر بالا می رود، روی آن ها - حتی کمتر "کوهان" و غیره. تا کوچکترین مقیاسی که می توانید حل کنید. در واقع تنها با ظاهر ابرها و بدون اطلاعات اضافی، نمی توان اندازه ابرها را تخمین زد.

فراکتال های مورد بحث در این کتاب را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط تو در تو در فضا در نظر گرفت. به عنوان مثال مجموعه نقاطی که در فضای اقلیدسی معمولی یک خط را تشکیل می دهند دارای بعد توپولوژیکی و بعد هاوسدورف-بسیکوویچ است. معقول بودن تعریف به همین ترتیب، مجموعه نقاطی که در فضای c یک سطح را تشکیل می دهند، بعد توپولوژیکی دارند، می بینیم که یک سطح معمولی هر چقدر هم که پیچیده باشد، فراکتال نیست. در نهایت، توپ، یا کره کامل، دارای این مثال ها به ما اجازه می دهد تا برخی از انواع مجموعه های مورد نظر خود را تعریف کنیم.

در تعریف بعد Hausdorff-Besicovich و در نتیجه بعد فراکتال، مفهوم فاصله بین نقاط در فضا بسیار مهم است. نحوه اندازه گیری "قدر"

نقاط Y را در فضا قرار می دهد؟ یک راه آسان برای اندازه گیری طول منحنی ها، مساحت سطوح یا حجم یک بدنه، تقسیم فضا به مکعب های کوچک با لبه 8 است، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2.5. به جای مکعب، می توان کره های کوچکی به قطر 8 گرفت. اگر مرکز یک کره کوچک را در نقطه ای از مجموعه قرار دهیم، تمام نقاطی که در فاصله ای از مرکز قرار دارند توسط این کره پوشانده می شود. با شمارش تعداد کره های مورد نیاز برای پوشش مجموعه نقاط مورد علاقه ما، اندازه ای از اندازه مجموعه را به دست می آوریم. یک منحنی را می توان با تعیین تعداد قطعات خط مستقیم به طول 8 مورد نیاز برای پوشش آن اندازه گیری کرد. البته برای یک منحنی معمولی، طول منحنی با عبور از حد تعیین می شود

در حد، مثال به طور مجانبی برابر با طول منحنی می شود و به 8 بستگی ندارد.

مجموعه ای از نقاط را می توان یک منطقه اختصاص داد. به عنوان مثال، مساحت یک منحنی را می توان با تعیین تعداد دایره ها یا مربع های مورد نیاز برای پوشش آن تعیین کرد. اگر تعداد این مربع ها و مساحت هر یک از آنها باشد، مساحت منحنی برابر است با

به طور مشابه، حجم V منحنی را می توان به عنوان مقدار تعریف کرد

برنج. 2.5. اندازه گیری "قدر" یک منحنی.

البته، برای منحنی های معمولی ناپدید می شود، و تنها معیار مورد توجه طول منحنی است.

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، برای یک سطح معمولی، تعداد مربع های مورد نیاز برای پوشاندن آن در حد با عبارتی که مساحت سطح است تعیین می شود.

سطوح را می توان یک حجم اختصاص داد که مجموع حجم مکعب های مورد نیاز برای پوشاندن سطح را تشکیل می دهد:

با این حجم، همانطور که انتظار می رفت، ناپدید می شود.

آیا سطوح را می توان هر طولی اختصاص داد؟ به طور رسمی، ما می توانیم برای چنین طول کمیت استفاده کنیم

که در واگرایی است این نتیجه منطقی است، زیرا سطح را نمی توان با تعداد محدودی از قطعات خط مستقیم پوشاند. نتیجه می گیریم که تنها معیار معنادار مجموعه نقاطی که یک سطح را در فضای سه بعدی تشکیل می دهند مساحت است.

به راحتی می توان دید که مجموعه نقاط تشکیل منحنی می توانند

برنج. 2.6. اندازه گیری "اندازه" سطح.

آنقدر پیچ خورده باشند که طول آنها بی نهایت باشد و در واقع منحنی هایی (منحنی Peano) وجود دارند که صفحه را پر می کنند. سطوحی نیز وجود دارند که به گونه ای عجیب و غریب خمیده شده اند که فضا را پر می کنند. برای اینکه بتوانیم چنین مجموعه های غیرمعمولی از نقاط را نیز در نظر بگیریم، تعمیم معیارهای بزرگی مجموعه ای که معرفی کرده ایم مفید است.

تا به حال، هنگام تعیین اندازه مجموعه ای از نقاط Y در فضا، یک تابع آزمایشی خاص - یک پاره خط، مربع، دایره، توپ یا مکعب - را انتخاب می کردیم و مجموعه را می پوشاندیم، و یک اندازه گیری برای خط مستقیم تشکیل می دادیم. پاره ها، مربع ها و مکعب ها، ضریب هندسی برای دایره ها و کره ها نتیجه می گیریم که، در حالت کلی، بسته به انتخاب بعد اندازه، اندازه برابر با صفر یا بی نهایت است. بعد Hausdorff-Besikovich یک مجموعه، بعد بحرانی است که در آن اندازه مقدار خود را از صفر به بی نهایت تغییر می دهد:

ما -میزان مجموعه را می نامیم. مقدار at اغلب محدود است، اما ممکن است صفر یا بی نهایت باشد. مهم است که در کدام مقدار کمیت به طور ناگهانی تغییر می کند. توجه داشته باشید که در تعریف بالا، بعد Hausdorff-Besikovich به عنوان یک ویژگی محلی ظاهر می شود به این معنا که این بعد ویژگی های مجموعه ای از نقاط در حد را با قطر یا اندازه بسیار کوچک 8 از تابع آزمایشی مورد استفاده برای پوشش مشخص می کند. مجموعه. بنابراین، بعد فراکتال نیز می تواند یک مشخصه محلی یک مجموعه باشد. در واقع، چندین نکته ظریف در اینجا وجود دارد که شایسته توجه است. به ویژه، تعریف بعد Hausdorff-Besikovich این امکان را فراهم می کند که مجموعه ای از توپ ها را که لزوماً هم اندازه نیستند، بپوشانیم، مشروط بر اینکه قطر همه توپ ها کمتر از 8 باشد. به عنوان مثال، به طور کلی، حداقل مقدار به دست آمده با تمام پوشش های ممکن. برای مثال، بخش را ببینید. 5.2. کسانی که علاقه مند هستند ارائه ریاضی دقیق سوال را در کتاب فالکونر خواهند یافت.

مقدمه ای بر فراکتال ها

مبانی تئوری فراکتال ها

روش های تعیین ویژگی های فراکتالی اجسام

انسان برای درک طبیعت، اشیایی با هندسه های مختلف می سازد. در طبیعت، اجسام در اندازه های مختلف یافت می شوند - از مقیاس اتمی گرفته تا جهان. هندسه مسیر ذرات، خطوط جریان در هیدرودینامیک، امواج، بدنه کشتی و خطوط ساحلی، مناظر، کوه ها، جزایر، رودخانه ها، یخچال ها و رسوبات، دانه ها در سنگ ها، فلزات و مواد مرکب، گیاهان، حشرات و سلول های زنده و همچنین هندسی ساختار کریستال‌ها، مولکول‌های مواد شیمیایی و به‌ویژه پروتئین‌ها - به طور خلاصه، هندسه طبیعت در حوزه‌های مختلف علوم طبیعی نقش محوری دارد و بنابراین مردم تمایل دارند جنبه‌های هندسی را بدیهی بگیرند. نمایندگان هر رشته به دنبال توسعه مفاهیم خود بودند که با نیازهای آن (مثلاً مورفولوژی، فضای چهاربعدی، بافت)، به طور شهودی توسط دانشمندانی که در این زمینه خاص کار می‌کنند، استفاده می‌کردند. طبق سنت، خطوط اقلیدسی، دایره ها، کره ها، چهار وجهی ها و غیره به عنوان مبنایی برای درک شهودی از هندسه طبیعت عمل کردند.

ریاضیدانان مفاهیم ریاضی را نیز توسعه دادند که فراتر از هندسه سنتی بود، اما در گذشته، این مفاهیم به دلیل ارائه بسیار انتزاعی و "مبتنی" و به دلیل هشدارهایی در مورد "خطر" مرتبط، مورد توجه نمایندگان علوم طبیعی قرار نگرفت. با استفاده از این نوع نمایش های هندسی غیر سنتی.

بنوا ماندلبرو با کار برجسته و اساسی خود، علاقه عمومی به هندسه فراکتال را برانگیخت، مفهومی که توسط خود مندلبروت معرفی شد. به طور خاص، او درباره اشیایی که فراکتال نامیده بود به دنیا گفت و برای این کار یک شکل بسیار غیرعادی از ارائه را انتخاب کرد. کتاب بنوا ماندلبروت "هندسه فراکتال طبیعت" یک کتاب مرجع استاندارد جهانی در مورد فراکتال ها است که هم مفاهیم ابتدایی و هم طیف گسترده ای غیرمعمول از ایده های جدید و به هیچ وجه ابتدایی را در بر می گیرد که اکنون در مرکز توجه دست اندرکاران این موضوع قرار دارد. هندسه فراکتال ها مناظر فراکتال مصنوعی آنقدر واقع بینانه به نظر می رسند که اکثر مردم آن ها را با مناظر طبیعی اشتباه می گیرند. ظهور کامپیوتر و گرافیک کامپیوتری در سال های اخیر منجر به مطالعه اشیاء هندسی غیر سنتی در بسیاری از زمینه های علوم طبیعی شده است.

مندلبروت تعداد زیادی مقاله علمی در مورد هندسه پدیده های مشاهده شده در بسیاری از زمینه های فعالیت انسانی نوشت. او هندسه فراکتال تغییرات قیمت و توزیع دستمزد، آمار خطای تماس در مبادلات تلفنی، فراوانی کلمات در متون چاپی، اشیاء مختلف ریاضی و بسیاری موارد دیگر را بررسی کرد. مندلبروت سه کتاب در مورد هندسه فراکتال نوشت که کار تخصصی او را در دسترس‌تر کرد و الهام بخش بسیاری شد تا هندسه فراکتال را در حوزه‌های تحقیقاتی خود اعمال کنند.

مفهوم "فرکتال" تخیل دانشمندانی را که در بسیاری از زمینه‌های علمی کار می‌کنند به خود جلب کرده است، و آثاری که در مورد فراکتال‌ها از دیدگاه‌های مختلف بحث می‌کنند، اکنون تقریباً هر روز ظاهر می‌شوند. کتاب های ماندلبرو از چند جهت قابل توجه است. و مهمتر از همه، آنها بین رشته ای هستند: نویسنده هندسه درختان، بستر رودخانه ها، ریه ها، و همچنین تغییرات در سطح آب، تلاطم، اقتصاد، بسامد کلمات در متون مختلف، و بسیاری دیگر را بررسی می کند. ماندلبرو همه این پرسش‌های به ظاهر ناهمگون را با ایده‌های هندسی خود پیوند می‌دهد. او در کتاب‌هایش عمداً از مقدمه‌ها و نتیجه‌گیری اجتناب می‌کند و از این طریق بر اعتقاد عمیق خود تأکید می‌کند که با گسترش کار در زمینه هندسه فراکتال، ایده‌های او به درک عمیق‌تر و عمیق‌تر جوهر هندسه طبیعت را می‌دهد. او تنها یک تعریف آزمایشی از مفهوم «فرکتال» ارائه می کند و سپس با عجله اعلام می کند که تعریفی که ارائه کرده است به هیچ وجه نهایی نیست! علاوه بر این، او بعداً تعریف خود را پس گرفت. ماندلبرو در کتاب‌هایش سعی می‌کند خواننده را متقاعد کند که هندسه فراکتال برای توصیف طبیعت مهم است، اما وقتی می‌کوشد جزئیات استدلال نویسنده را دنبال کند، از خواننده فرار می‌کند. برهان های ریاضی در صفحات کتاب های ماندلبرو با حکایات و اطلاعات تاریخی آمیخته شده است. موضوعات کاملاً متفاوتی در کتاب های او آمیخته شده است به طوری که تفکیک آنها تقریباً غیرممکن است. اما، یک خواننده کنجکاو، مسلح به صبر، در کتاب های ماندلبرو طیف گسترده ای از ایده های شگفت انگیز، اظهارات عمیق را پیدا می کند و می تواند از آنها الهام بگیرد - این کتاب ها واقعاً شگفت انگیز هستند!

تصاویر رنگی قوی ترین تاثیر را ایجاد می کنند. آنها یک "سیاره" فراکتال را به تصویر می کشند که بر فراز افق ماه، کوه ها، دره ها و جزایری که هرگز وجود نداشته اند، طلوع می کند. این تصاویر که توسط R.F. Foss، با استفاده از الگوریتم‌هایی که ماهیت فراکتالی مناظر را ارائه می‌کنند به دست آمده است. همه مناظر بسیار طبیعی به نظر می رسند ، ظاهراً فراکتال ها به نوعی جوهر توپوگرافی سطح زمین را به تصویر می کشند.

مفاهیم "فرکتال" و "هندسه فراکتال" که در اواخر دهه 70 ظاهر شد، از اواسط دهه 80 به طور جدی وارد زندگی روزمره ریاضیدانان و برنامه نویسان شد. کلمه فراکتال از کلمه لاتین fractus گرفته شده است و در ترجمه به معنای "متشکل از قطعات" است. بنوا ماندلبرو در سال 1975 برای اشاره به ساختارهای نامنظم اما خود مشابهی که او مطالعه کرد، پیشنهاد شد. آثار او از نتایج علمی آثار دانشمندانی استفاده می کرد که در سال های 1875-1925 در همین زمینه کار می کردند (پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور، هاوسدورف و دیگران). اما تنها در زمان ما امکان ترکیب کار آنها در یک سیستم واحد وجود داشت.

به نظر می رسد توجه فراکتال ها دلایل مختلفی داشته باشد. اولاً، فراکتال‌ها در مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌ها و فرآیندهایی که تشخیص آن‌ها از طبیعی دشوار است، بسیار ساده هستند. ثانیاً، در تجزیه و تحلیل فراکتال، فرآیندهای پیچیده شکل به شکل نسبتاً ساده و بصری ارائه می شوند که امکان به دست آوردن اطلاعات بیشتر در مورد فرآیند را فراهم می کند.

در حال حاضر فراکتال ها بیشترین کاربرد را در گرافیک کامپیوتری و سیستم های کامپیوتری برای فشرده سازی اطلاعات دارند. آنها به کمک می آیند، برای مثال، زمانی که لازم است خطوط و سطوحی با شکل بسیار پیچیده را با کمک چندین ضریب تعریف کنند. از نقطه نظر گرافیک کامپیوتری، هندسه فراکتال برای تولید ابرهای مصنوعی، کوه ها و سطح دریا ضروری است. در واقع، راهی پیدا شده است که به راحتی اجرام پیچیده غیر اقلیدسی را نشان می دهد که تصاویر آنها بسیار شبیه به نمونه های طبیعی است.

بر اساس تعریف ماندلبروت، فراکتال به جسمی گفته می شود که ابعاد آن با بعد توپولوژیکی آن برابر نیست و می تواند مقادیر غیر صحیح به خود بگیرد. این بعد بعد هاوسدورف-بسیکوویچ یا بعد فراکتال نامیده می شود. مطالعات متعدد نشان می دهد که هندسه فراکتال تعمیم اقلیدسی است که با ابعاد توپولوژیکی اعداد صحیح (O - نقطه، 1 - خط، 2 - صفحه، 3 - حجم) سروکار دارد. اجسام فراکتال شامل تمام اجسام طبیعی است، به عنوان مثال، مانند خط ساحلی با ابعاد 1.52 (خط ساحلی نروژ)، ابرها - 2.31، سیستم گردش خون انسان - 2.7 و غیره. در حال حاضر، هیچ تفسیر فیزیکی معقولی از بعد کسری وجود ندارد، اگرچه تلاش هایی برای ایجاد آن انجام می شود.

خاصیت اصلی فراکتال ها این است خود شباهت . در ساده ترین حالت، بخش کوچکی از فراکتال حاوی اطلاعاتی در مورد کل شی است، به عنوان مثال. شکل فراکتال ها عملا با هیچ بزرگنمایی تغییر نمی کند. تعریف فراکتال توسط ماندلبروت به شرح زیر است: "فرکتال ساختاری است متشکل از قطعاتی که به نوعی شبیه به کل هستند." فرآیندهایی که تولید می کنند ساختارهای خود مشابه برای مدت طولانی شناخته شده اند. اینها فرآیندهای بازخورد هستند. ، که در آن همان عملیات بارها و بارها تکرار می شود و نتیجه یک تکرار مقدار اولیه بعدی است. اما در اینجا بسیار مهم است که رابطه بین نتیجه و مقدار اولیه غیر خطی بود.یکی از کاشفان فراکتال ها گاستون جولیا بود که کشف کرد مجموعه جولیا، که مرزی است که در آن شکل یکسان از مقیاس های مختلف در قسمت های مختلف رخ می دهد.او آن را تأسیس کرد امکان بازیابی کل مرز برای هر یک از آن وجود دارد قطعات. از آن زمان تاکنون، ریاضیات و فیزیک به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است ساختارهای خود مشابه، از جمله فراکتال ها.

کل انواع فراکتال ها به دو دسته تقسیم می شوند هندسی، جبری و تصادفی.

فراکتال های هندسیقابل مشاهده ترین اگر فرکتال های هندسی دو بعدی باشند، با استفاده از خط شکسته (یا سطح، اگر فرکتال ها سه بعدی هستند) به دست می آیند. دانه یا مولد اولیه نامیده می شود.در یک مرحله از الگوریتم هر یک از بخش ها، که یک خط شکسته را تشکیل می دهد، با یک ژنراتور خط شکسته جایگزین می شوددر مقیاس مناسب در نتیجه تکرار بی پایان این روش، یک فراکتال هندسی به دست می آید . شکل های 1.1-1.6 معروف ترین فرکتال های هندسی و مولدهای اصلی آنها را نشان می دهد.

برنج. 1.2. منحنی کخ (a) و مولد اصلی آن (b)

فراکتال های جبری. این بزرگترین گروه فراکتال هاست. آنها با استفاده از فرآیندهای غیر خطی در فضاهای n بعدی به دست می آیند. فرآیندهای دو بعدی بیشترین مطالعه را دارند. با تفسیر یک فرآیند تکراری غیرخطی به عنوان یک سیستم دینامیکی گسسته، می توان از اصطلاحات تئوری این سیستم ها استفاده کرد: پرتره فاز، فرآیند حالت پایدار، جذب کننده و غیره. مشخص است که سیستم های دینامیکی غیرخطی چندین حالت پایدار دارند. حالتی که سیستم دینامیکی پس از تعداد معینی از تکرارها در آن قرار می گیرد به حالت اولیه آن بستگی دارد. بنابراین، هر حالت پایدار (یا، همانطور که می گویند، یک جاذب) دارای منطقه خاصی از حالت های اولیه است که سیستم لزوماً در حالت های نهایی در نظر گرفته می شود. بنابراین، فضای فاز سیستم به مناطق جذب جاذبه ها تقسیم می شود. اگر فضای فاز دو بعدی باشد، با رنگ آمیزی مناطق جاذبه با رنگ های مختلف، می توان پرتره فاز رنگی سیستم (فرایند تکراری) را به دست آورد. با تغییر الگوریتم انتخاب رنگ، می توانید الگوهای فراکتالی پیچیده با الگوهای چند رنگی فانتزی به دست آورید. یک شگفتی برای ریاضیدانان توانایی تولید ساختارهای بسیار پیچیده غیر پیش پا افتاده با استفاده از الگوریتم های اولیه بود. نمایندگان معمولی این دسته از فراکتال ها مجموعه های جولیا (شکل 1.7) و مجموعه مندلبرو (شکل 1.8) هستند.

فراکتال های تصادفیاگر هر یک از پارامترهای آن به طور تصادفی در فرآیند تکرار شونده تغییر کند به دست می آید. این منجر به اشیاء بسیار شبیه به اشیاء طبیعی می شود: درختان نامتقارن، خطوط ساحلی فرورفته و غیره. فراکتال های تصادفی دو بعدی در مدل سازی زمین و سطح دریا استفاده می شود.

دسته بندی های دیگری از فراکتال ها وجود دارد، به عنوان مثال، تقسیم فراکتال ها به قطعی (جبری و هندسی) و غیر قطعی (استوکاستیک).

سوالات تستی

1. چه کسی و چه زمانی مفاهیم «فرکتال» و «هندسه فراکتال» را معرفی کرد؟

2. کلمه "فرکتال" به چه معناست؟

3. چرا فراکتال ها کاربرد خود را در فعالیت های انسانی پیدا کردند؟

4. خاصیت اصلی فراکتال ها چیست؟

5. فراکتال ها به چه کلاس هایی تقسیم می شوند؟

6. فراکتال های هندسی چگونه تشکیل می شوند؟

7. مولد اولیه برای فراکتال های هندسی چیست؟

8. نمونه هایی از فراکتال های هندسی.

9. فراکتال های جبری چگونه تشکیل می شوند؟

10. جذب کننده چیست؟

11. نمونه هایی از فراکتال های جبری.

12. فراکتال های تصادفی چگونه تشکیل می شوند؟

13. نمونه هایی از فراکتال های تصادفی.

برای درک اینکه بعد فراکتال چیست، برای مثال، خط ساحلی نروژ را در نظر بگیرید (شکل 1.9).

طول آن چقدر است؟ در مقیاس نقشه، فیوردهای عمیق در ساحل غربی به وضوح قابل مشاهده هستند. با قدم زدن در امتداد ساحل، هرازگاهی می‌توانید با صخره‌ها، جزایر، خلیج‌ها و صخره‌هایی برخورد کنید که شبیه یکدیگر هستند، حتی اگر در دقیق‌ترین نقشه‌ها مشخص نشده باشند. قبل از پاسخ به سوال مطرح شده، لازم است تصمیم بگیرید که آیا جزایر را در خط ساحلی قرار دهید یا خیر. رودخانه ها چطور؟ فیورد کجا از فیورد بودن باز می ماند و دقیقاً کجا به رودخانه تبدیل می شود؟ پاسخ به این سوالات گاهی آسان است، گاهی نه. اما حتی اگر بتوانیم به طور رضایت بخشی به همه سوالات از این نوع پاسخ دهیم، یک مشکل همچنان باقی می ماند. واقعیت این است که هنگام اندازه گیری طول خط ساحلی، می توان به قطب نما راه حلی مطابق با کیلومتر داد و تعداد مراحلی را که برای حرکت در امتداد نقشه از انتها به انتها کل ساحل مورد نیاز است، شمارش کرد.

با عجله، می توان یک دهانه قطب نما را به قدری بزرگ انتخاب کرد که نیازی به مراقبت از عمیق ترین فیوردها نباشد و ارزش طول خط ساحلی را در نظر گرفت. اگر چنین ارزیابی رضایت بخش نیست، می توانید یک راه حل قطب نما کمی کوچکتر انتخاب کنید و دوباره همه چیز را تکرار کنید. این بار طول خط ساحلی شامل عمیق ترین فیوردها می شود. برای محاسبه دقیق تر طول خط ساحلی به نقشه های دقیق تری نیاز است. واضح است که هنگام حل چنین سؤالاتی، می توان اصلاحات بی پایان را معرفی کرد. هر زمان که وضوح را افزایش دهیم، طول خط ساحلی افزایش می یابد. علاوه بر این، هنگام استفاده از قطب نما، مشکلات جزایر و رودخانه ها وجود خواهد داشت. یک راه جایگزین برای اندازه گیری طول خط ساحلی، پوشاندن نقشه با یک شبکه است، همانطور که در بالای شکل 1.9 نشان داده شده است. اجازه دهید سلول های شبکه مربع ابعاد داشته باشند. تعداد چنین سلول هایی که برای پوشاندن خط ساحلی روی نقشه مورد نیاز است تقریباً برابر با تعداد مراحلی است که در آن می توانید خط ساحلی روی نقشه را با قطب نما با یک راه حل دور بزنید. این کاهش منجر به افزایش تعداد سلول های مورد نیاز برای پوشش خط ساحلی می شود. اگر خط ساحلی نروژ دارای طول کاملاً مشخصی بود، می‌توان انتظار داشت که تعداد پله‌های قطب‌نما یا تعداد سلول‌های مربعی مورد نیاز برای پوشش خط ساحلی روی نقشه با و مقدار آن نسبت معکوس داشته باشد. همانطور که کاهش می یابد، به یک ثابت تمایل پیدا می کند. با این حال، اینطور نیست.

شکل 1.11 نموداری را بازتولید می کند (داده های گرفته شده از کتاب ماندلبروت طول خط ساحلی بریتانیا چیست؟) طول ظاهری خطوط ساحلی و مرزهای زمینی را نشان می دهد. همه نقاط (در یک مقیاس لگاریتمی مضاعف) در امتداد خطوط مستقیم قرار دارند. شیب این خطوط برابر است با 1 - D که در آن D بعد فراکتالی خط ساحلی (یا مرز زمین) است. خط ساحلی بریتانیا دارای D~ 1.3 است. Mandelbrot همچنین داده هایی را برای یک دایره می دهد و می یابد که .

سوالات تستی:

1-بعد جسم چقدر است؟

2. بعد توپولوژیکی چیست؟

3-بعد فراکتال اجسام طبیعی چگونه تعیین می شود؟

4. ابعاد فراکتالی و توپولوژیکی دایره چقدر است؟
دایره، مربع، کره و توپ؟

5. بعد توپولوژیکی خط ساحلی چیست؟

اغلب صحبت هایی در مورد ارتباط بین ارزهای مختلف در بازار فارکس شنیده می شود.

بحث اصلی در این مورد معمولاً به عوامل اساسی، تجربه عملی یا صرفاً حدس و گمان به دلیل کلیشه های شخصی گوینده برمی گردد. به عنوان یک مورد شدید، فرضیه یک یا چند ارز "جهانی" وجود دارد که تمام ارزهای دیگر را "کشش" می کند.

در واقع، چه رابطه ای بین نقل قول های مختلف وجود دارد؟ آیا آنها به صورت هماهنگ حرکت می کنند یا اطلاعات در مورد جهت حرکت یک ارز چیزی در مورد حرکت ارز دیگر نمی گوید؟ این مقاله سعی دارد با استفاده از روش‌های دینامیک غیرخطی و هندسه فراکتال، این موضوع را درک کند.

1. بخش نظری

1.1. متغیرهای وابسته و مستقل

دو متغیر (نقل قول) x و y را در نظر بگیرید. در هر نقطه از زمان، مقادیر لحظه ای این متغیرها یک نقطه را در صفحه XY تعریف می کنند (شکل 1). حرکت یک نقطه در طول زمان یک مسیر را تشکیل می دهد. شکل و نوع این مسیر با نوع رابطه بین متغیرها مشخص خواهد شد.

به عنوان مثال، اگر متغیر x به هیچ وجه با متغیر y مرتبط نباشد، هیچ ساختار منظمی نخواهیم دید: با تعداد کافی نقاط، آنها به طور مساوی صفحه XY را پر می کنند (شکل 2).

اگر رابطه ای بین x و y وجود داشته باشد، ساختار منظمی قابل مشاهده خواهد بود: در ساده ترین حالت، یک منحنی خواهد بود (شکل 3).

شکل 3. وجود همبستگی- منحنی

اگرچه ممکن است ساختار پیچیده تری وجود داشته باشد (شکل 4).

همین امر در مورد فضای سه بعدی یا بیشتر صدق می کند: اگر بین همه متغیرها ارتباط یا وابستگی وجود داشته باشد، نقاط یک منحنی تشکیل می دهند (شکل 5)، اگر دو متغیر مستقل در مجموعه وجود داشته باشد، سپس نقاط یک سطح را تشکیل می دهند (شکل 6) ، اگر سه - آنگاه نقاط فضای سه بعدی را پر می کنند و غیره.

اگر هیچ ارتباطی بین متغیرها وجود نداشته باشد، نقاط به طور مساوی در تمام ابعاد موجود توزیع می شوند (شکل 7). بنابراین، ما می‌توانیم ماهیت رابطه بین متغیرها را با تعیین اینکه چگونه نقاط فضا را پر می‌کنند، قضاوت کنیم.

علاوه بر این، شکل ساختار حاصل (خطوط، سطوح، اشکال سه بعدی، و غیره)، در این مورد، مهم نیست.

مهم بعد فراکتالاین ساختار: یک خط دارای بعد 1، یک سطح دارای بعد 2، یک ساختار حجمی دارای بعد 3 و غیره است. معمولاً می توان در نظر گرفت که مقدار بعد فراکتال با تعداد متغیرهای مستقل در مجموعه داده مطابقت دارد.

ما همچنین می توانیم با یک بعد کسری ملاقات کنیم، به عنوان مثال، 1.61 یا 2.68. این می تواند اتفاق بیفتد اگر ساختار به دست آمده باشد فراکتال- مجموعه خود مشابه با بعد غیر صحیح. نمونه ای از یک فراکتال در شکل 8 نشان داده شده است، ابعاد آن تقریباً برابر با 1.89 است، یعنی. این دیگر یک خط (بعد 1) نیست، اما هنوز یک سطح (بعد 2) نیست.

بعد فراکتال می تواند برای یک مجموعه در مقیاس های مختلف متفاوت باشد.

به عنوان مثال، اگر به مجموعه نشان داده شده در شکل 9 "از دور" نگاه کنید، به وضوح می توانید ببینید که این یک خط است، یعنی. بعد فراکتال این مجموعه برابر با یک است. اگر به همان مجموعه "در نزدیکی" نگاه کنیم، خواهیم دید که این به هیچ وجه یک خط نیست، بلکه یک "لوله مبهم" است - نقاط یک خط واضح تشکیل نمی دهند، بلکه به طور تصادفی در اطراف آن جمع می شوند. بعد فراکتال این "لوله" باید برابر با فضایی باشد که ساختار خود را در آن در نظر می گیریم، زیرا نقاط موجود در "لوله" تمام ابعاد موجود را به طور مساوی پر می کند.

افزایش ابعاد فراکتال در مقیاس های کوچک امکان تعیین اندازه ای را فراهم می کند که در آن روابط بین متغیرها به دلیل نویز تصادفی موجود در سیستم غیر قابل تشخیص می شود.

شکل 9. نمونه ای از "لوله" فراکتال

1.2. تعریف بعد فراکتال

برای تعیین بعد فراکتال می توانید از الگوریتم شمارش جعبه بر اساس مطالعه وابستگی تعداد مکعب های حاوی نقاط مجموعه به اندازه لبه مکعب استفاده کنید (در اینجا لزوماً منظور سه بعدی نیست. مکعب: در فضای یک بعدی، "مکعب" یک قطعه خواهد بود، در فضای دو بعدی - یک مربع، و غیره .d.).

از نظر تئوری، این وابستگی به شکل N(ε)~1/ε D است، که در آن D بعد فراکتالی مجموعه است، ε اندازه لبه مکعب، N(ε) تعداد مکعب های حاوی نقاط است. مجموعه ای با اندازه مکعب ε. این به ما امکان می دهد بعد فراکتال را تعیین کنیم

بدون پرداختن به جزئیات الگوریتم، عملکرد آن را می توان به صورت زیر توصیف کرد:

مجموعه نقاط مورد مطالعه به مکعب هایی با اندازه ε تقسیم می شود و تعداد مکعب های N حاوی حداقل یک نقطه از مجموعه شمارش می شود.

برای εهای مختلف، مقدار متناظر N تعیین می شود، به عنوان مثال، داده ها برای رسم وابستگی N(ε) جمع آوری می شوند.

وابستگی N(ε) در مختصات لگاریتمی دوتایی ساخته شده و زاویه شیب آن تعیین می شود که مقدار بعد فراکتال خواهد بود.

به عنوان مثال، شکل 10 دو مجموعه را نشان می دهد: یک شکل صاف (الف) و یک خط (ب). سلول های حاوی نقاط تنظیم خاکستری هستند. با شمارش تعداد سلول های "خاکستری" با اندازه های مختلف سلول، وابستگی های نشان داده شده در شکل 11 را بدست می آوریم.

در عمل، برای تعیین بعد فراکتال، معمولاً از شمارش جعبه استفاده نمی شود، بلکه از الگوریتم Grassberg-Procaccia استفاده می شود، زیرا در فضاهای با ابعاد بالا نتایج دقیق تری می دهد. ایده الگوریتم بدست آوردن وابستگی C(ε) - احتمال افتادن دو نقطه از مجموعه در سلولی با اندازه ε در اندازه سلول و تعیین شیب بخش خطی این وابستگی است.

متأسفانه، در نظر گرفتن تمام جنبه های تعریف بعد در چارچوب این مقاله غیرممکن است. در صورت تمایل می توانید اطلاعات لازم را در ادبیات تخصصی بیابید.

1.3. نمونه ای از تعریف بعد فراکتال

برای اطمینان از کارایی تکنیک پیشنهادی، بیایید سعی کنیم سطح نویز و تعداد متغیرهای مستقل را برای مجموعه نشان داده شده در شکل 9 تعیین کنیم. این مجموعه سه بعدی از 3000 نقطه تشکیل شده است و یک خط (یک متغیر مستقل) با نویز است. روی آن قرار گرفته است. نویز دارای توزیع نرمال با RMS برابر با 0.01 است.

شکل 12 وابستگی C(ε) را به مقیاس لگاریتمی نشان می دهد. روی آن دو بخش خطی را می بینیم که در ε≈2 -4.6 ≈0.04 متقاطع می شوند. شیب خط اول ≈2.6 و خط دوم ≈1.0 است.

نتایج به‌دست‌آمده به این معنی است که مجموعه آزمون دارای یک متغیر مستقل در مقیاس بزرگتر از 0.0 و "تقریبا سه" متغیر مستقل یا نویز مستعار در مقیاس کمتر از 0.04 است. این با داده های اصلی مطابقت خوبی دارد: طبق قانون "سه سیگما"، 99.7٪ از نقاط یک "لوله" با قطر 2*3*0.01≈0.06 تشکیل می دهند.

شکل 12. وابستگی C(e) به مقیاس لگاریتمی

2. بخش عملی

2.1. اطلاعات اولیه

برای مطالعه ویژگی‌های فراکتال بازار فارکس، از داده‌های در دسترس عموم استفاده شد.دوره از 2000 تا 2009 را پوشش می دهد. این مطالعه بر روی قیمت های بسته شدن هفت جفت ارز اصلی انجام شد: EURUSD، USDJPY، GBPUSD، AUDUSD، USDCHF، USDCAD، NZDUSD.

2.2. پیاده سازی

الگوریتم های تعیین بعد فراکتال به عنوان توابع محیط متلب بر اساس پیشرفت های پروفسور مایکل اسمال (دکتر مایکل اسمال) پیاده سازی شده اند. ). توابع با مثال های استفاده در آرشیو frac.rar پیوست شده به این مقاله موجود است.

برای سرعت بخشیدن به محاسبات، زمان برترین مرحله در زبان C انجام می شود. قبل از اینکه بتوانید از آن استفاده کنید، باید تابع C "interbin.c" را با استفاده از دستور MATLAB "mex interbin.c" کامپایل کنید.

2.3. نتایج تحقیق

شکل 13 حرکت مشترک مظنه های EURUSD و GBPUSD را از سال 2000 تا 2010 نشان می دهد. خود مقادیر نقل قول در شکل 14 و 15 نشان داده شده است.

بعد فراکتال مجموعه نشان داده شده در شکل 13 تقریباً 1.7 است (شکل 16). این بدان معنی است که حرکت EURUSD + GBPUSD یک پیاده روی تصادفی "خالص" را تشکیل نمی دهد، در غیر این صورت بعد برابر با 2 خواهد بود (بعد یک پیاده روی تصادفی، در فضاهای دو یا چند بعدی، همیشه برابر با 2 است).

با این وجود، از آنجایی که حرکت مظنه ها بسیار شبیه به یک پیاده روی تصادفی است، ما نمی توانیم مستقیماً مقادیر خود مظنه ها را مطالعه کنیم - وقتی جفت ارزهای جدید اضافه می شوند، بعد فراکتال کمی تغییر می کند (جدول 1) و هیچ نتیجه ای نمی توان گرفت.

جدول 1. تغییر ابعاد با افزایش تعداد ارزها

برای به دست آوردن نتایج جالب تر، باید از خود نقل قول ها به تغییرات آنها بروید.

جدول 2 مقادیر ابعاد را برای فواصل مختلف افزایش و تعداد متفاوت جفت ارز نشان می دهد.

	تاریخ	مقدار امتیاز	یورو دلار GBPUSD	+ USDJPY	+ USDUSD	+ USDCHF	+ USDCAD	+NZDUSD
M5	14 اوت 2008 - 31 دسامبر 2009	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18 نوامبر 2005 - 31 دسامبر 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	16 نوامبر 2001 - 31 دسامبر 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	03 ژانویه 2000 - 31 دسامبر 2009	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	03 ژانویه 2000 - 31 دسامبر 2009	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	03 ژانویه 2000 - 31 دسامبر 2009	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

جدول 2. تغییر ابعاد در فواصل مختلف افزایشی

اگر ارزها به هم متصل باشند، با افزودن هر جفت ارز جدید، بعد فراکتال باید کمتر و کمتر شود و در نتیجه باید به مقدار مشخصی همگرا شود که تعداد "متغیرهای آزاد" را در بازار ارز نشان می دهد. .

همچنین، اگر فرض کنیم که «صدای بازار» روی مظنه‌ها قرار می‌گیرد، در فواصل زمانی کوچک (M5، M15، M30) می‌توان تمام اندازه‌گیری‌های موجود را با نویز پر کرد و این تأثیر باید در بازه‌های زمانی بزرگ تضعیف شود و «در معرض دید» قرار گیرد. وابستگی بین نقل قول ها (به طور مشابه در مثال آزمایشی).

همانطور که از جدول 2 مشاهده می شود، این فرضیه با داده های واقعی تأیید نشد: در تمام بازه های زمانی، مجموعه تمام اندازه گیری های موجود را پر می کند، به عنوان مثال. همه ارزها مستقل از یکدیگر هستند.

این تا حدودی بر خلاف باورهای شهودی در مورد اتصال ارزها است. به نظر می رسد ارزهای نزدیک مانند GBP و CHF یا AUD و NZD باید پویایی مشابهی از خود نشان دهند. به عنوان مثال، شکل 17 وابستگی افزایش NZDUSD به AUDUSD را برای فواصل پنج دقیقه (ضریب همبستگی 0.54) و روزانه (ضریب همبستگی 0.84) نشان می دهد.

شکل 17. وابستگی افزایش های NZDUSD به AUDUSD برای فواصل M5 (0.54) و D1 (0.84)

از این شکل می توان دریافت که با افزایش بازه، وابستگی بیشتر و بیشتر به صورت مورب کشیده شده و ضریب همبستگی افزایش می یابد. اما، از "دیدگاه" بعد فراکتال، سطح نویز آنقدر زیاد است که نمی توان این وابستگی را به عنوان یک خط یک بعدی در نظر گرفت. شاید در فواصل زمانی طولانی تر (هفته ها، ماه ها)، ابعاد فراکتال به مقدار مشخصی همگرا شوند، اما ما راهی برای بررسی این موضوع نداریم - نقاط بسیار کمی برای تعیین بعد وجود دارد.

نتیجه

البته، جالب تر است که حرکت ارزها را به یک یا چند متغیر مستقل کاهش دهیم - این کار بازیابی جذب کننده بازار و پیش بینی قیمت ها را بسیار ساده می کند. اما بازار نتیجه متفاوتی را نشان می‌دهد: وابستگی‌ها ضعیف بیان می‌شوند و در سر و صدای زیاد «به خوبی پنهان می‌شوند». در این زمینه بازار بسیار کارآمد است.

روش‌های دینامیک غیرخطی، که به طور مداوم نتایج خوبی را در سایر زمینه‌ها نشان می‌دهند: پزشکی، فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی، و غیره، نیاز به توجه ویژه و تفسیر دقیق نتایج در هنگام تجزیه و تحلیل قیمت‌های بازار دارند.

نتایج به‌دست‌آمده به ما اجازه نمی‌دهد که وجود یا عدم وجود رابطه بین ارزها را به‌صراحت بیان کنیم. ما فقط می توانیم بگوییم که در بازه های زمانی مورد بررسی، سطح نویز با "قدرت" اتصال قابل مقایسه است، بنابراین سوال ارتباط بین ارزها همچنان باز است.

ارسال کار خوب خود را در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

میزبانی شده در http://www.allbest.ru/

تست

ابعاد سطوح فراکتال

1. مقدمه ای بر بعد

3. فراکتال های طبیعی

6. بعد فراکتال

7. تشابه و مقیاس بندی

9. توان هرست

کتابشناسی - فهرست کتب

1. مقدمه ای بر بعد

یکی از ویژگی های مهم یک سطح مهندسی شده، همراه با پارامترهای زبری استاندارد، بعد فراکتال است. بیایید یکی از روش های تعیین ابعاد فراکتالی یک سطح را با نسبت "محیط-مساحت" در نظر بگیریم.

همانطور که مشخص است بعد اقلیدسی یک نقطه DE=d=0 است. بیایید بعد اشکال هندسی را پیدا کنیم، به عنوان مثال بخش قطری یک توپ با شعاع r را در نظر بگیریم:

طول (قطر) L=2r (L=Vd=1)،

سطح مقطع A=r2 (A=Vd=2)،

حجم توپ V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

این مقادیر اندازه گیری شده شناخته شده را می توان با فرمول کلی تعیین کرد

کجا G(x)؟ تابع گاما برابر است

اگر n؟ عدد صحیح پس

در n=0،1،2،…

2. ابعاد اجسام هندسی

بعد یک شی فراکتال بر اساس مفهوم فراکتال تعیین می شود. فراکتال مجموعه ای است که بعد هاسدورف-بسیکوویچ آن به شدت بزرگتر از بعد توپولوژیکی است. فراکتال یک بعد کسری دارد.

در حالت دو بعدی، منحنی فراکتال با استفاده از یک خط شکسته (یا سطح در حالت سه بعدی) به نام ژنراتور به دست می آید. در یک مرحله از الگوریتم، هر یک از بخش‌هایی که خط شکسته را تشکیل می‌دهند، با یک خط شکسته - یک ژنراتور، در مقیاس مناسب جایگزین می‌شوند. در نتیجه تکرار بی پایان این روش، یک فراکتال هندسی به دست می آید.

بیایید یکی از این اشیاء فراکتالی را در نظر بگیریم - منحنی کخ سه گانه. ساخت منحنی با قطعه ای از طول واحد آغاز می شود (شکل 1) این نسل 0 منحنی است.

برنج. 1. رویه ساخت منحنی کخ

علاوه بر این، هر پیوند (یک بخش در نسل صفر) با یک عنصر تولید کننده جایگزین می شود که با n=1 نشان داده می شود. در نتیجه چنین جایگزینی، نسل بعدی منحنی کوخ به دست می آید. در نسل اول، این منحنی از چهار پیوند مستقیم است که هر کدام با طول 1/

برای به دست آوردن نسل 3، همان اقدامات انجام می شود: هر پیوند با یک عنصر تشکیل دهنده کاهش یافته جایگزین می شود. بنابراین، برای به دست آوردن هر نسل بعدی، تمام پیوندهای نسل قبلی باید با یک عنصر تشکیل دهنده کاهش یافته جایگزین شوند.

منحنی کخ ساختاری متشکل از بخش هایی است که به نوعی شبیه به کل هستند. از این گونه اجسام هندسی به عنوان اجسام خود مشابه یاد می شود. این بدان معنی است که در طیف گسترده ای از مقیاس ها، ویژگی های توپوگرافی و تکرار اشیا یکسان است.

بنابراین، برای منحنی کخ، قطعه ای برابر با 1/3 از پاره خط، با طول برابر با یک انتخاب می کنیم و آن را سه برابر می کنیم، قطعه اصلی برابر با یک به دست می آید. چنین اشیایی دارای مقیاس یا مقیاس اندازه گیری هستند.

روی انجیر شکل 1 سه نسل از منحنی را نشان می دهد. اگر نه یک خط مستقیم، بلکه یک مثلث را مبنا قرار دهیم و الگوریتم یکسانی را برای هر یک از ضلع ها اعمال کنیم، در این صورت فراکتالی به نام برف ریزه (جزیره) Koch بدست می آید (شکل 2).

برنج. 2. جزیره ("دانه برف") Koch

هنگام ساخت نسل های بعدی، این قانون رعایت می شود: اولین پیوند در سمت چپ با یک عنصر تولید کننده جایگزین می شود به طوری که وسط پیوند به سمت چپ جهت حرکت تغییر می کند و هنگام جایگزینی پیوندهای بعدی، جهت ها جابجایی نقاط میانی قطعات باید متناوب باشد. روی انجیر شکل 2 اولین نسل منحنی ساخته شده بر اساس اصل توصیف شده را نشان می دهد.

منحنی فراکتال محدود (برای n > ?) "اژدها" هارتر-هیتوی نامیده می شود (شکل 3). روی انجیر 4 "فرش" ریاضیدان لهستانی Sierpinski را نشان می دهد.

برنج. 3. روش ساخت "اژدها" "Harter-Hateway

برنج. 4. ساخت «فرش» سیرپینسکی

3. فراکتال های طبیعی

ابرها، کوه ها، بوته ها، درختان و سایر گیاهان نیز ساختار فراکتالی دارند. روند رشد بوته را در نظر بگیرید (شکل 5). ابتدا یک شاخه ظاهر شد، سپس دو شاخه آزاد کرد، در مرحله بعد، هر شاخه دوباره چنگال شد، در مرحله بعد همین اتفاق می افتد و در نتیجه، یک گیاه عجیب و غریب خود مشابه از "چنگال" اولیه رشد می کند. دو شاخه

برنج. 5. مدل بوش

با تکرار مکرر استاندارد اصلی (1=n) به دست آمد. روی انجیر شکل های 5 و 6 نمونه هایی از ساخت اجسام فراکتالی مشابه سازندهای طبیعی را نشان می دهند (شکل 7).

برنج. 6. ساختن یک شی فراکتال

برنج. 7. اجسام فراکتال طبیعی:

الف - کوهنورد کلیه; ب بلوط؛ که در؟ کودوید; ز - دم اسب

4. بعد هاسدورف-بسیکوویچ

برای تخمین بعد هاوسدورف-بسیکوویچ، اندازه گیری مجموعه ای از نقاط را در نظر بگیرید؟ فضای متریک (شکل 8).

برنج. 8. نقاط در فضای متریک

اجازه دهید فضا را به سلول های مربعی با اندازه ضلع سلول q تقسیم کنیم و تعداد سلول های پوشاننده این مجموعه را بشماریم. کاهش اندازه سلول منجر به افزایش تعداد سلول های پوشاننده مجموعه می شود. هر سلول دارای یک ناحیه q2 و سپس مساحت مجموعه است

که در آن N(q) تعداد سلول هایی است که مجموعه را پوشش می دهند.

مقداری را در نظر بگیرید که مشخصه مجموعه است. بنابراین، "طول" سطح با بیان تعیین می شود

از آنجایی که "طول" سطح که با عبور از حد تعیین می شود برابر است با:

سطح "حجم"

بنابراین، "طول" مجموعه به بی نهایت تمایل دارد و "حجم"؟ به صفر

برای ویژگی های "ارزش" (طول، حجم) مجموعه ای از نقاط؟ از تابع آزمایشی استفاده می‌شود که ابعاد سلول را تعیین می‌کند: طول در d=1، مساحت در d=2، حجم در d= "Value"، یا اندازه‌گیری مجموعه؟ به عنوان مجموع "مقادیر" تمام سلول های پوشش دهنده فضای متریک تعریف می شود؟:

ثابت به شکل سلول ها (برای یک سلول مربع) بستگی دارد.

برای برخی از توان d، اندازه Md برای q > 0 برابر است با صفر، یا بی نهایت، یا یک عدد مثبت متناهی (نه لزوماً صحیح). مقدار d که در آن اندازه Md برابر با صفر یا بی نهایت نیست، به اندازه کافی بعد توپولوژیکی مجموعه را منعکس می کند.

عدد dcr به گونه ای است که

بعد هاوسدورف-بسیکوویچ نامیده می شود.

برای اجسام هندسی «ساده» (غیر فراکتالی)، بعد هاسدورف-بسیکوویچ با بعد توپولوژیکی منطبق است. برای اجسام فراکتالی، جهش اندازه گیری Md از صفر به بی نهایت در مقادیر کسری d رخ می دهد.

اجازه دهید تابع N(q) به q با تکینگی توان صفر بستگی داشته باشد

که در آن b(d)dd >0 برای q>0.

تا مقادیر بی نهایت کوچک می نویسیم

بنابراین، ما داریم

5. اندازه گیری طول یک خط غیر صاف (شکسته).

چگونه طول خط ساحلی را اندازه گیری کنیم؟

روش های اندازه گیری نسبتا ساده زیر را در نظر بگیرید.

ابتدا و انتهای قسمت اندازه گیری شده را با نقاط A و B مشخص می کنیم (شکل 9).

برنج. 9. اندازه گیری طول یک خط با محلول قطب نما یا با استفاده از شبکه

یکی از روش های اندازه گیری طول به شرح زیر است.

طول خط از نقطه A تا نقطه B را با پاره های طول d اندازه می گیریم.

با شمارش تعداد پاره ها، طول را پیدا می کنیم.با کاهش باز شدن قطب نما q تعداد قطعات N(q) افزایش می یابد. یک وابستگی معمولی L(q) به q در مختصات لگاریتمی در شکل نشان داده شده است. ده

برنج. 10. وابستگی طول اندازه گیری شده خط شکسته (ساحل) به مقیاس (طول قطعه) د)

بدون پرداختن به کاستی‌های این روش، به‌ویژه هنگام تعیین ابعاد فراکتالی پروفیل سطح ناهموار، اجازه دهید روش دیگری (جایگزین) را در نظر بگیریم.

بیایید ناحیه مورد نظر را با یک شبکه مربعی بپوشانیم (سمت راست شکل 9) و تعداد سلول های پوشش دهنده خط مورد نظر را بشماریم.

کاهش اندازه سلول ها منجر به افزایش تعداد سلول های پوشش دهنده خط AB می شود. باید انتظار داشت که تعداد مراحل قطب نمای اندازه گیری یا تعداد سلول های پوشش دهنده خط با d یا d*x d* نسبت معکوس داشته باشد و مقدار به یک مقدار ثابت برای خط داده شده L(d) تمایل داشته باشد. . با این حال، با کاهش q یا اندازه سلول های شبکه، طول خط به یک مقدار ثابت تمایل ندارد. برای q > 0، طول اندازه گیری شده به طور مداوم رشد می کند، یعنی. برای q>0، مقدار L(q) یک محدودیت نیست.

طول خط اندازه گیری شده را می توان با فرمول تقریبی زیر توصیف کرد:

که در آن D بعد فراکتال خط است.

به راحتی می توان آن را برای یک خط مستقیم و برای مثال برای یک دایره D=1 نشان داد. دور با کاهش q به یک مقدار ثابت برابر با 2pR تمایل دارد، جایی که R شعاع دایره است.

پوسته پوسته شدن سطح ابعاد فراکتال

6. بعد فراکتال

B. B. Mandelbrot تعریف زیر را از فراکتال ارائه کرد. یک فراکتال مجموعه ای است که بعد هاوسدورف-بسیکوویچ (Kh-B) به شدت بزرگتر از بعد توپولوژیکی آن است (E. Feder, 1991). یک تعریف غیر دقیق که نیازی به توضیح مفاهیم مجموعه، بعد XB، بعد توپولوژیکی ندارد، به شرح زیر است: فراکتال؟ این ساختاری است که از اجزایی مانند یک کل تشکیل شده است. یا حتی ساده تر: فراکتال ساختاری با ابعاد کسری است.

وابستگی N(q) تعداد بخش‌های q (یا تعداد سلول‌های پوشش‌دهنده خط) به اندازه قطعه (یا اندازه سلول‌ها) با رابطه زیر تا یک ضریب توصیف می‌شود:

که در آن D بعد فراکتال است.

اگر وابستگی lgN(d)-lg(d) را رسم کنیم، بعد فراکتال برابر با شیب (شیب) نمودار است، یعنی.

ابعادی که با شمارش تعداد سلول ها (سلول ها) پوشش دهنده خط، بسته به اندازه سلول تعیین می شود، بعد سلول نامیده می شود.

بعد فراکتال سطح. بیایید سطح مورد مطالعه را با سیستمی از مثلث های یکسان بپوشانیم و مساحت کل پوشش را برابر با

که در آن AD مساحت مثلث است. اجازه دهید مساحت حاصل را بر مقدار مساحت اسمی-برآمدگی سطح واقعی بر روی صفحه، که با طرح هندسی منطقه مورد مطالعه تعیین می‌شود، تقسیم کنیم.

سپس، با ترسیم در مختصات لگاریتمی دوگانه، وابستگی سطح نسبی پوشش به سطح عنصر پوشش، می توان در محدوده خاصی از تغییرات در ناحیه عنصر پیدا کرد. شیب یا شیب خط مستقیم که مقدار آن با علامت منفی گرفته می شود.

در نتیجه محاسبه، بعد فراکتالی سطح برابر با

بعد فراکتال سطح در 2 متغیر است

7. تشابه و مقیاس بندی

اجازه دهید تعریفی از شباهت هندسی ارائه دهیم.

دو شکل هندسی مشابه نامیده می شوند که: 1) زاویه بین هر دو خط در یکی از آنها برابر با زاویه بین خطوط متناظر در دیگری باشد و 2) هر پاره خط مستقیم در یکی از آنها در رابطه ثابت با پاره خط مربوطه در دیگری.

بنابراین، اگر دو چند ضلعی مشابه باشند، اگر زوایای متناظر آنها مساوی باشد و طول اضلاع احاطه کننده این زوایا متناسب باشد.

علاوه بر شباهت هندسی، شباهت‌های سینماتیکی و دینامیکی برای پدیده‌های مکانیکی وجود دارد که زیربنای روش‌های مدل‌سازی هستند.

یک خط مستقیم با ترجمه موازی خود باقی می ماند.

می توان استدلال کرد که خط تحت ترجمه موازی و مقیاس بندی (مقیاس سازی) ثابت است، یعنی. او شبیه خودش است

بنابراین، مقیاس بندی بازتابی از تغییرناپذیری مقیاس است.

برای یک قطعه خط مستقیم از طول واحد، می توانید ضریب شباهت را انتخاب کنید

که در آن N هر عدد صحیح است (N>1).

اگر طول آنها با r(N)=(1/N)1/2 برابر تغییر کند، می‌توان یک بخش مستطیلی از صفحه را با کپی‌های کاهش‌یافته پوشاند.

به همین ترتیب، یک متوازی الاضلاع مستطیلی را می توان با کپی های کوچکتر آن با انتخاب ضریب مقیاس r(N)=(1/N)1 پوشاند/ در حالت کلی، ضریب مقیاس باید برابر با

که در آن d بعد تشابه، برابر با 1 برای یک خط مستقیم، 2 برای یک صفحه، و 3 برای اشکال سه بعدی است.

برای ساختارهای هندسی فراکتال، بعد تشابه Dp توسط عبارت تعیین می شود

8. شباهت به خود و خود قرابت

اجازه دهید حرکت یک ذره براونی را به عنوان مثال در نظر بگیریم. مختصات آن در صفحه (x, y) و زمان (t) کمیت های فیزیکی با ابعاد مختلف هستند. به همین دلیل مختصات و زمان ها ضرایب شباهت متفاوتی خواهند داشت. یک تبدیل وابسته نقطه x=(x1,x2,…,xE) را به یک نقطه جدید x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE) تبدیل می کند، که در آن همه ضرایب شباهت r1, …,rE یکسان نیستند. .

برای نمایه خود وابسته، می توان نوشت

در اینجا b مقیاس بزرگنمایی است. نمایی H (نمایش هرست).

نما هرست در محدوده 0 تغییر می کند

9. توان هرست

توان هرست تعیین بعد فراکتالی دنباله ای از اندازه گیری ها را امکان پذیر می کند، به ویژه، از آن به عنوان ابزاری برای تخمین آماری ارتفاع موج استفاده می شود [E. فدر]. رابطه بین توان هرست و ابعاد فرکتال موج و ارتفاعات سطح برقرار شده است که با روابط ساده زیر برای نیمرخ و سطح بیان می شود: D=2-H; DS=3-H. روش تعیین توان هرست را در نظر بگیرید.

1. N ارتفاع بالای برجستگی ها H=(h1, h2,…,hN)T را پیدا کنید و مقادیر نسبی این ارتفاعات x1, x2,…, xN, xi را تعیین کنید. اگر ارتفاع برآمدگی ها از توزیع بتا تبعیت کند، مقادیر хi хi.

2. نمونه (از N ارتفاع برآمدگی ها) میانگین را پیدا کنید

انحراف انباشته شده را تعیین کنید

نمودار تغییر در انحراف انباشته شده برای ارتفاعات برآمدگی هایی که توزیع بتا در N=50 دارند در شکل نشان داده شده است. یازده

برنج. 11. وابستگی انحراف انباشته X(n,N) به N

از نمودار، محدوده R را پیدا می کنیم.

4. انحراف معیار را محاسبه کنید؟ نمونه انحراف استاندارد ارتفاع نسبی برآمدگی ها

5. نسبت R/S را که به توان هرست بستگی دارد به شکل نمایش می دهیم

که در آن H توان هرست است.

با نمونه ای نماینده از ارتفاعات برآمدگی، توان H را می توان با استفاده از عبارت هرست تجربی بالا یافت. یافتن وابستگی R/S به تعداد برآمدگی های N در نظر گرفته شده بسیار جالب است.این وابستگی در مختصات لگاریتمی یک خط مستقیم خواهد بود که شیب آن توسط توان هرست تعیین می شود. بعد فراکتال دنباله مقادیر نسبی ارتفاعات برآمدگی برابر با D=2-H خواهد بود.

مثال زیر را در نظر بگیرید. مختصات پروفیل سطح (با گام 10 میکرومتر) به عنوان داده اولیه در نظر گرفته شد. طول مسیر 800 میکرومتر بود. دستورات دارای بزرگنمایی عمودی 50000 بودند. شکل 12 نمایه سطح (منحنی 1) و انحراف انباشته شده از خط میانگین (منحنی 2) را نشان می دهد.

برنج. 12. نمایه سطحی (1) و انحراف انباشته (2) از دستورات از خط وسط پروفیل

محدوده به طول در نظر گرفته شده پروفیلوگرام (تعداد اعداد ارتین) بستگی دارد. واضح است که با افزایش دامنه دامنه افزایش می یابد. وابستگی محدوده نرمال که با عبارت (R/S) تعریف شده است، در مختصات لگاریتمی سطح فولادی در نظر گرفته شده در شکل نشان داده شده است. یکی

برنج. 13 روش محدوده نرمال شده برای تخمین بعد فراکتالی یک پروفایل

الگوریتم تعیین توان هرست را با استفاده از روش حداقل مربعات (LSM) در نظر بگیرید. ما به دنبال معادله رگرسیون در فرم خواهیم بود

که در آن y=lg(R/S)، b=lg(a)، m=H، x=lg(f/2).

ورودی: N (تعداد نقاط)، (оi، зi)، i=1،2،…،N (مختصات نقاط)

خروجی: b=lg(a) (shift)، m=H (tilt)

الگوریتم:

تابع تقریبی وابستگی نشان داده شده در شکل. 13، یک وابستگی قدرت به شکل زیر است:

بنابراین، توان هرست برابر با H=0.35 است و بعد فراکتالی پروفیل D=2 H=2 0.35=1.65 برآورد می‌شود.

خویشاوندی آماری به دلیل شباهت ظاهری نمایه در مقیاس های مختلف است. به عبارت دیگر، یک سطح ناهموار زمانی که در بزرگنمایی های مختلف مشاهده شود، همیشه غیرصاف است.

در 0.5

در 0

به عنوان مثال، در شکل. شکل 14 توالی سری های زمانی (یا مختصات نمایه سطح ناهموار) و وابستگی محدوده نرمال شده به زمان (طول نمایه) را نشان می دهد.

برنج. 14. ترتیب دستورات و وابستگی محدوده نرمال شده به طول

توجه به مقادیر مختلف توان هرست در سه بخش تحلیل R/S جلب شده است. با تعداد کمی از عناصر، توان هرست به وحدت نزدیک است و ساختار فراکتالی جسم را کاملا منعکس نمی کند.

سایلس و توماس (R.S. Sayles, T.R. Thomas) زبری سطح اجسام مختلف از جمله سطوح فلزی مهندسی را اندازه گیری و تجزیه و تحلیل کردند.

ارتفاع سطح z در نقاط مختلف x در جهتی اندازه گیری شد. با داشتن تعداد زیادی اندازه گیری در کل سطح، می توان زبری سطح تعیین شده توسط پراکندگی را محاسبه کرد:

در اینجا، براکت‌های زاویه نشان‌دهنده میانگین‌گیری از یک سری اندازه‌گیری (گاهی اوقات چندین اندازه‌گیری) از توپوگرافی سطح هستند. نقطه مرجع عمودی طوری انتخاب می شود که

یک معیار مهم برای خواص آماری یک سطح، تابع همبستگی است که توسط رابطه تعریف شده است:

برای سطوح ثابت، تابع همبستگی را می توان بر حسب طیف توان G() با استفاده از تبدیل فوریه بیان کرد.

در اینجا u فرکانس است.

برای یک سطح ناهموار، حد پایین و بالای ادغام با u min و u max مطابقت دارد.

تخمین فرکانس با تقاطع اول و دوم مشخص می شود (شکل 1.3).

برای یک نیمرخ سطحی خود وابسته یا خود مشابه، چگالی طیفی به شکل قانون قدرت است.

در اینجا f نرخ نمونه برداری است. a و b ضرایب رگرسیون هستند.

ضریب a را ضریب زبری می نامند و b بعد فراکتالی پروفیل را مشخص می کند.

10. نسبت "محیط - مساحت".

بیایید نسبت "محیط-مساحت" را برای اجسام هندسی غیرفرکتال (جدول 1) و فراکتال مقایسه کنیم.

1. اجسام غیر فراکتال.

جدول 1. رابطه "محیط - مساحت" در هندسه اقلیدسی

2. اجسام فراکتال.

با قیاس با اجسام غیرفرکتالی، نسبت "محیط-مساحت" را به شکل می نویسیم.

در اینجا P محیط است. الف - منطقه؛ R(d) - پارامتر بسته به مقیاس اندازه گیری (اندازه سلول مربع)؛ د - بعد فراکتال خط "ساحل" (1< D < 2).

با توجه به اینکه محیط با عبارت تعیین می شود

رابطه (1) را به شکل می نویسیم

در اینجا c یک ضریب است.

تغییر در محیط در مقیاس های اندازه گیری مختلف با فرمول تعیین می شود

رابطه (2) شرایط خود شباهت "جزایر" را با مرزهای فراکتال بیان می کند (در این مورد، مقیاس اندازه گیری q باید به اندازه کافی کوچک باشد تا منطقه کوچکترین جزیره را با دقت اندازه گیری کند).

لگاریتم رابطه (2) را می گیریم.

با تبدیل عبارت به دست آمده، می نویسیم:

روی انجیر 15 وابستگی "محیط - مساحت" را نشان می دهد که در مختصات لگاریتمی ارائه شده است.

شیب خط مستقیم نشان داده شده در شکل. 15 برابر است با 2/D.

برنج. 3.15. وابستگی "مساحت - محیط"

تجزیه و تحلیل عبارت (3) نشان می دهد که مقدار

2lg (c1/Dd1-D)/D)،

که به مقیاس اندازه گیری q بستگی دارد، می توان نادیده گرفت، زیرا در مقیاس اندازه گیری به اندازه کافی بزرگ "جزیره" به یک شی غیر فراکتالی تبدیل می شود. در واقع، با D=DE=1 و مقیاسی که در آن c=1 است، داریم:

بلاخره بنویسیم

از عبارت (4) بعد فراکتال خط "ساحل" را می یابیم

نمودار (شکل 15) که در مختصات لگاریتمی دوگانه ساخته شده است، شرایط خود شباهت را منعکس می کند و به شما امکان می دهد بعد فراکتال را پیدا کنید.

روش تعیین بعد فراکتال این است که جسم فراکتال را بپوشانیم؟ "جزایر" - یک شبکه مربع با اندازه سلول d.

در این مورد، محیط و مساحت شکل را می توان با فرمول تعیین کرد.

تعداد سلول های پر شده توسط خط "ساحل" کجاست. - تعداد سلول هایی که منطقه "جزیره" را پوشش می دهند.

بدین ترتیب پس از محاسبه و با توجه به فرمول های (5) و (4) بعد فراکتالی D محاسبه می شود.

برای تعیین ابعاد فراکتالی سطح، از روش پیشنهادی B. Mandelbrot استفاده می کنیم

11. ابعاد سطوح فراکتال

رابطه محیط-مساحت برای توصیف انواع اجسام فراکتالی مورد استفاده در طیف گسترده ای از مسائل علمی و فنی استفاده می شود.

به طور خاص، این نسبت به طور موثر در کارهایی که سطوح شکست فولاد را مشخص می کند و تکنیکی برای تعیین سطوح شکست خاص استفاده می شود.

در رابطه با سطوح مهندسی از این نسبت به ندرت استفاده می شود. اصولاً هنگام تعیین ابعاد فراکتالی یک سطح از روش پوشش استفاده می شود. روی انجیر 16 مدل هایی از سطوح فراکتال را برای مقادیر مختلف بعد فراکتال نشان می دهد.

برای تعیین ابعاد فراکتال یک سطح، تماس سطح فراکتال با سطح صاف را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، بخشی از سطح را با صفحه ای موازی با صفحه میانه در نظر بگیرید. روی انجیر شکل 17 چنین مقطعی از سطح فراکتال را با DS = 2.6 نشان می دهد.

برنج. 16. مدل های سطوح فراکتال

برنج. 17. برش سطح فراکتال

اعتقاد بر این است که تمام "جزایر" در شکل. 17 خود مشابه هستند. سپس، برای تجزیه و تحلیل نسبت محیط به مساحت، یک "جزیره" مشخصه را مشخص می کنیم (شکل 18).

برنج. 18. تصویر "جزیره"

روی انجیر شکل 19 روش تعیین بعد فراکتال را با روش سلولی نشان می دهد.

برنج. 19. تخمین ابعاد فراکتال: پوشاندن یک شی فراکتال با مش مربع (پل اس. ادیسون)

روی انجیر 20 نموداری از نمودار مساحت- محیط در مختصات لگاریتمی دوگانه است که بر اساس شکل 1 ساخته شده است. نوزده.

در عین حال، ما در نظر می گیریم که تعداد مربع ها با پارامترهای مربوطه متناسب است: مساحت و محیط

وابستگی تعداد سلول های پوشش دهنده منطقه "جزیره" NA به تعداد سلول هایی که خط "ساحل" جزیره NP در آنها سقوط کرده است که در مختصات لگاریتمی برای اندازه های مختلف ضلع سلول مربع ساخته شده است. ، در این مثال با معادله رگرسیون تخمین زده می شود

NA=-69.14+3.303NP.

برنج. 20. وابستگی های "مساحت- محیط"

بعد فراکتال توسط عبارت تعیین می شود

هنگام مطالعه تماس دو سطح فراکتال با ابعاد فراکتالی خاص خود، یک نقطه جذاب جایگزینی دو سطح فراکتال با تماس یک سطح صاف با یک فرکتال کاهش یافته است.

برای این منظور، از روشی که قبلاً بحث شد استفاده می کنیم. بیایید تماس دو سطح را شبیه سازی کنیم و نقاط تماس را در یک رویکرد مشخص کنیم.

روی انجیر 21 تصویری از تماس دو سطح با "جزیره" انتخاب شده برای تحقیق را نشان می دهد.

برنج. 21. تماس سطوح فراکتال

کتابشناسی - فهرست کتب

1. ماندلبروت ب. هندسه فراکتالی طبیعت / ب. ماندلبرو: [ترجمه. از انگلیسی]. - م.: موسسه تحقیقات کامپیوتری، 1391. - 656 ص.

2. فدر ای فراکتال / ای فدر: [ترجمه. از انگلیسی]. - م.: میر، 1370. - 254 ص.

3. ماندلبروت بی.بی. ویژگی فراکتالی سطوح شکست فلزات / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. بررسی ابعاد فراکتالی و چقرمگی شکست فولاد / Z.Q. مو، سی. دبلیو. ریه // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. توپوگرافی سطح به عنوان یک فرآیند تصادفی غیر ثابت / R.S. سایلس، تی آر. توماس // طبیعت، 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. فراکتال ها و آشوب-یک دوره مصور / P.S. ادیسون - انتشارات دانشکده فیزیک. - بریستول، 2007.

میزبانی شده در Allbest.ru

اسناد مشابه

ماهیت مفهوم "فرکتال". ماهیت بعد فراکتال. بعد هاسدورف و خواص آن مجموعه کانتور و تعمیم آن. منحنی دانه برف و کخ. Curve Peano و Gosper، ویژگی های آنها. فرش و دستمال سیرپینسکی. Dragon of Harter-Hateway.

مقاله ترم، اضافه شده در 2011/07/23


نمایش آرایش متقابل سطوح در فضا. سطوح حاکم و غیر حاکم انقلاب. تقاطع سطوح منحنی. اطلاعات کلی در مورد سطوح یک روش کلی برای ساخت خط تقاطع یک سطح با سطح دیگر.

چکیده، اضافه شده در 01/10/2009


ویژگی یک خانواده از سطوح. خط مماس و صفحه. مختصات منحنی. محاسبه طول قوس یک منحنی روی سطح و مساحت آن. زاویه بین دو خط روی یک سطح. انحنای معمولی خطوط واقع در سطح.

پایان نامه، اضافه شده در 2013/05/18


مفاهیم اساسی بعد مجموعه های مرتب شده. تعیین ابعاد یک مجموعه سفارش داده شده. ویژگی های ابعاد مجموعه های مرتب شده محدود. ساختار نظم و عناصر تئوری جبری شبکه ها.

پایان نامه، اضافه شده 08/08/2007


مروری کوتاه بر توسعه هندسه. منشور. مساحت سطح منشور. منشور و هرم. هرم و سطح آن اندازه گیری حجم ها درباره هرم و حجم آن. درباره منشور و متوازی الاضلاع تقارن در فضا

چکیده، اضافه شده در 2003/05/08


روش های شکل دهی و نمایش سطوح. قانون تشکیل سطح. ویژگی های اساسی ناشی از قانون تشکیل یک سطح انقلاب. سطوح حک شده با صفحه موازی. تشکیل یک اسکلت از سطوح حلقوی.

چکیده، اضافه شده در 1393/05/19


اشکال سطح منحنی و مرتبه دوم. تجزیه و تحلیل خواص منحنی ها و سطوح مرتبه دوم. بررسی اشکال سطح به روش مقاطع با صفحات، ساخت یک خط به دست آمده در مقاطع. ساخت سطح در سیستم مختصات متعارف.

مقاله ترم، اضافه شده در 2009/06/28


فراکتال های کلاسیک خود شباهت. دانه برف کخ. فرش سیرپینسکی. سیستم های ال. دینامیک آشفته جاذب لورنز ست های ماندلبرو و جولیا. استفاده از فراکتال ها در فناوری کامپیوتر

مقاله ترم، اضافه شده در 2006/05/26


از بین تمام مستطیل هایی که مساحت آنها 9 dm2 است، مستطیلی را با کوچکترین محیط بیابید. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید (با انجام یک نقاشی). مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید.

وظیفه، اضافه شده در 01/11/2004


تجزیه و تحلیل دقیق سطوح کاتالان و شرایط جداکننده این کلاس از کلاس سطوح دارای حکومت. فرمول های محاسبه فرم های درجه دوم اول و دوم سطوح کلاس KA. اثبات عبارات در مورد تأثیر نوع منحنی ها بر نوع سطح.

در مورد فراکتال ها صحبت های زیادی وجود دارد. صدها سایت برای فراکتال ها در وب وجود دارد. اما بیشتر اطلاعات در این واقعیت خلاصه می شود که فراکتال ها زیبا هستند. رمز و راز فراکتال ها با بعد کسری آنها توضیح داده می شود، اما تعداد کمی از مردم می دانند که بعد کسری چیست.

جایی در سال 1996 به این موضوع علاقه مند شدم که بعد کسری چیست و معنای آن چیست. تعجب من را تصور کنید وقتی فهمیدم این موضوع چندان پیچیده نیست و هر دانش آموزی می تواند آن را درک کند.

من سعی خواهم کرد در اینجا به روشی رایج بیان کنم که بعد کسری چیست. برای جبران کمبود شدید اطلاعات در مورد این موضوع.

اندازه گیری بدن

ابتدا، یک مقدمه کوچک برای آوردن ایده های روزمره ما در مورد اندازه گیری اجسام به ترتیب.

بدون تلاش برای دقت ریاضی فرمول ها، بیایید بفهمیم که اندازه، اندازه و ابعاد چیست.

اندازه یک جسم را می توان با خط کش اندازه گیری کرد. در بیشتر موارد، اندازه غیر اطلاعاتی به نظر می رسد. کدام "کوه" بزرگتر است؟

اگر ارتفاعات را با هم مقایسه کنیم، قرمزتر است، اگر عرض - سبز است.

اگر موارد مشابه یکدیگر باشند، مقایسه اندازه می تواند آموزنده باشد:

حالا مهم نیست که چه ابعادی را مقایسه کنیم: عرض، ارتفاع، ضلع، محیط، شعاع دایره محاطی یا هر چیز دیگری، همیشه معلوم می شود که کوه سبز بزرگتر است.

پیمانه برای اندازه گیری اجسام نیز کاربرد دارد، اما با خط کش اندازه گیری نمی شود. ما دقیقاً در مورد نحوه اندازه گیری آن صحبت خواهیم کرد ، اما در حال حاضر به ویژگی اصلی آن اشاره می کنیم - اندازه گیری افزودنی است.

در زبان روزمره، وقتی دو شیء با هم ادغام می شوند، اندازه مجموع اشیاء برابر است با مجموع اندازه های اشیاء اصلی.

برای اجسام یک بعدی، اندازه گیری متناسب با اندازه است. اگر بخش هایی به طول 1 سانتی متر و 3 سانتی متر بگیرید، آنها را با هم "تا کنید"، سپس بخش "کل" طول 4 سانتی متر خواهد داشت (1 + 3 = 4 سانتی متر).

برای اجسام غیر یک بعدی، اندازه گیری بر اساس قوانینی محاسبه می شود که به گونه ای انتخاب می شوند که میزان افزایشی را حفظ کند. به عنوان مثال، اگر مربع هایی با اضلاع 3 و 4 سانتی متر بگیرید و آنها را "تا کنید" (آنها را با هم ادغام کنید)، آنگاه مناطق (9 + 16 = 25 سانتی متر مربع) جمع می شوند، یعنی ضلع (اندازه) نتیجه حاصل می شود. 5 سانتی متر باشد

هر دو عبارت و مجموع مربع هستند. آنها شبیه یکدیگر هستند و می توانیم اندازه آنها را با هم مقایسه کنیم. معلوم می شود که اندازه مجموع با مجموع اندازه های اصطلاحات (5≄4+3) برابر نیست.

اندازه و اندازه چگونه به هم مرتبط هستند؟

بعد، ابعاد، اندازه

فقط ابعاد و به شما امکان می دهد اندازه و اندازه را متصل کنید.

بیایید بعد - D، اندازه - M، اندازه - L را نشان دهیم. سپس فرمول اتصال این سه کمیت به صورت زیر خواهد بود:

برای اقداماتی که برای ما آشناست، این فرمول ظاهری آشنا به خود می گیرد. برای اجسام دو بعدی (D=2) اندازه (M) مساحت (S) است، برای اجسام سه بعدی (D=3) - حجم (V):

S \u003d L 2، V \u003d L 3

خواننده با دقت می پرسد به چه حقی علامت مساوی را نوشتیم؟ خوب مساحت مربع برابر مربع ضلع آن است اما مساحت یک دایره؟ آیا این فرمول برای هر جسمی کار می کند؟

بله و خیر. شما می توانید تساوی ها را با نسبت ها جایگزین کنید و ضرایب را وارد کنید، یا می توانید فرض کنید که ابعاد اجسام را فقط برای اینکه فرمول کار کند وارد می کنیم. به عنوان مثال، برای یک دایره، اندازه طول قوس را برابر با ریشه «پی» رادیان می نامیم. چرا که نه؟

در هر صورت، وجود یا عدم وجود ضرایب، جوهر استدلال بعدی را تغییر نخواهد داد. برای سادگی، من ضرایب را معرفی نمی کنم. اگر دوست دارید، می توانید خودتان آنها را اضافه کنید، همه استدلال ها را تکرار کنید و مطمئن شوید که آنها (استدلال) اعتبار خود را از دست نداده اند.

از تمام آنچه گفته شد، باید یک نتیجه بگیریم که اگر این رقم به اندازه N برابر کاهش یابد (مقیاس شود)، آنگاه در برابر N D اصلی قرار می گیرد.

در واقع، اگر قطعه (D=1) 5 برابر کاهش یابد، دقیقاً پنج بار در قسمت اصلی قرار می گیرد (5 1 =5). اگر مثلث (D = 2) 3 برابر کاهش یابد، آنگاه 9 برابر (3 2 = 9) در حالت اصلی قرار می گیرد.

اگر مکعب (D = 3) 2 برابر کاهش یابد، آنگاه 8 بار در اصلی قرار می گیرد (2 3 = 8).

برعکس نیز صادق است: اگر وقتی اندازه شکل N برابر کاهش می یابد، معلوم شد که در n برابر اصلی قرار می گیرد (یعنی اندازه آن n برابر کاهش یافته است)، می توان بعد را محاسبه کرد. توسط فرمول