نوع درس: توضیح مطالب جدید. کار به صورت گروهی انجام می شود. هر گروه یک متخصص دارد که بر کار دانش آموزان نظارت و هدایت می کند. به دانش آموزان ضعیف کمک می کند تا قدرت خود را در حل این معادلات باور کنند.

دانلود:

پیش نمایش:

درس مرتبط

" معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف:

1. معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II.
2. الگوریتمی را برای حل معادلات مثلثاتی همگن با درجه I و II تدوین و کار کنید.
3. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II به دانش آموزان.
4. توسعه توانایی شناسایی الگوها، تعمیم.
5. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس : درسی در شکل گیری دانش جدید.

فرم انجام: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک متخصص مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. پیوست 1.

برگه ارزیابی شماره

II. به روز رسانی دانش پایه..

ما مطالعه خود را در مورد موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس ما شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. همه انواع معادلات مثلثاتی وقتی حل می شوند به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می یابند. اجازه دهید انواع اصلی ساده ترین معادلات مثلثاتی را به یاد بیاوریم. از فلش ها برای مطابقت با عبارات استفاده کنید.

III. انگیزه یادگیری.

ما باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را یاد خواهیم گرفت که امروز در درس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش‌آموزان حدس می‌زنند، یک کارشناس مستقل امتیازاتی را در برگه امتیاز برای دانش‌آموزانی که پاسخ می‌دهند وارد می‌کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، بچه ها کلمه "همگن" را می خوانند.

جدول کلمات متقاطع

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

1. مقدار متغیری که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند؟ (ریشه)

2. واحد اندازه گیری زاویه ها؟ (رادیان)

3. ضریب عددی در حاصلضرب؟ (ضریب)

4. بخشی از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

5. برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

6. کدام یک از توابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

7. نام برابری واقعی چیست؟ (هویت)

8.برابری با یک متغیر؟ (معادله)

9. معادلات با ریشه های یکسان؟ (معادل)

10. مجموعه ریشه های معادله؟ (تصمیم)

IV. توضیح مطالب جدید

موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است. (ارائه)

مثال ها:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 گناه 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

V. کار مستقل

وظایف: آزمون جامع دانش دانش آموزان هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، تشویق دانش آموزان به درون نگری، خودکنترلی.
از دانش آموزان خواسته می شود که 10 دقیقه کار کتبی را تکمیل کنند.
دانش آموزان برای کپی کردن روی کاغذهای خالی اجرا می کنند. پس از گذشت زمان، سرفصل های کارهای مستقل جمع آوری می شود و راه حل های کپی برای دانش آموزان باقی می ماند.
بررسی کار مستقل (3 دقیقه) با بررسی متقابل انجام می شود.
. دانش‌آموزان کارهای نوشتاری همسایه خود را با خودکار رنگی بررسی می‌کنند و نام تأییدکننده را یادداشت می‌کنند. سپس برگ ها را تحویل دهید.

سپس به یک کارشناس مستقل تحویل داده می شوند.

گزینه 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

گزینه 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3) 1 + گناه 2 x = 2 گناه x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. جمع بندی درس

VII. مشق شب:

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف داده شد)

فعالیت دانش آموز - 1 پاسخ - 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

موسسه آموزشی حرفه ای بودجه دولتی روستای تیلی جمهوری تیوا

توسعه درس ریاضی

موضوع درس:

"معادلات مثلثاتی همگن"

معلم: اورژاک

آیلانا میخایلوونا

موضوع درس : "معادلات مثلثاتی همگن"(طبق کتاب درسی A.G. Mordkovich)

گروه : کارشناس ارشد گیاهکاری 1 دوره

نوع درس: درسی برای یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

2. توسعه تفکر منطقی، توانایی نتیجه گیری، توانایی ارزیابی نتایج اقدامات انجام شده

3. ایجاد دقت، احساس مسئولیت، پرورش انگیزه های مثبت برای یادگیری در دانش آموزان.

تجهیزات درسی: لپ تاپ، پروژکتور، صفحه نمایش، کارت ها، پوسترهای مثلثاتی: مقادیر توابع مثلثاتی، فرمول های اساسی مثلثات.

مدت زمان درس: 45 دقیقه.

ساختار درس:

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی (1 دقیقه)

بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس، گوش دادن به گروه در حال وظیفه.

2. به فعلیت رساندن دانش پایه (3 دقیقه)

2.1. بررسی تکالیف

سه دانش آموز در تخته سیاه شماره 18.8 (ج، د) تصمیم می گیرند. شماره 18.19. بقیه دانش آموزان بررسی همتایان را انجام می دهند.

3. یادگیری مطالب جدید (13 دقیقه)

3.1. ایجاد انگیزه در دانش آموزان.

از دانش آموزان دعوت می شود معادلاتی را که می دانند و می توانند حل کنند نام ببرند (اسلاید شماره 1)

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0؛

2) cos (x - 1) =;

3) 2 گناه 2 x + 3 گناه x \u003d 0;

4) 6 گناه 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0;

8) گناه 2 x + cos 2 x \u003d 0؛

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

دانش آموزان نمی توانند جواب معادلات 7-9 را نام ببرند.

3.2. توضیح موضوع جدید

معلم: معادلاتی که نمی توانید حل کنید در عمل بسیار رایج هستند. به آنها معادلات مثلثاتی همگن می گویند. موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» را یادداشت کنید. (اسلاید شماره 2)

تعریف معادلات همگن روی صفحه پروژکتور. (اسلاید شماره 3)

روشی را برای حل معادلات مثلثاتی همگن در نظر بگیرید (اسلاید شماره 4 و 5)

نمونه های حل را تجزیه کنید

مثال 1 معادله 2sin را حل کنید x – 3cos x = 0; (اسلاید شماره 6)

این یک معادله همگن درجه یک است. ما هر دو طرف معادله را بر ترم بر cos تقسیم می کنیم x، دریافت می کنیم:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn، n Z.

پاسخ: x \u003d arctg + π n، n Z.

مثال 2 . معادله گناه 2 را حل کنید x + cos 2 x = 0; (اسلاید شماره 7)

این یک معادله همگن درجه یک است. هر دو طرف معادله را بر ترم بر cos 2 تقسیم می کنیم x، دریافت می کنیم:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn، nZ.

2x = - + πn، nZ.

x = - +، n Z.

پاسخ: x = - +، n Z.

مثال 3 . معادله sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0 را حل کنید (اسلاید شماره 8)

هر جمله در معادله دارای درجه یکسانی است. این یک معادله همگن درجه دوم است. هر دو قسمت معادله را به صورت ترم به cos تقسیم می کنیم 2 x ≠ 0، دریافت می کنیم:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. بیایید یک متغیر جدید z = tg x معرفی کنیم، دریافت می کنیم

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1، z 2 = 2

بنابراین یا tg x = 1 یا tg x = 2

4. تلفیق مطالب مورد مطالعه (10 دقیقه)

معلم نمونه هایی را با دانش آموزان ضعیف روی تخته سیاه تجزیه و تحلیل می کند، دانش آموزان قوی به طور مستقل در دفترچه حل می کنند.

5. کار مستقل متمایز (15 دقیقه)

معلم کارت هایی با وظایف سه سطح صادر می کند: پایه (A)، متوسط ​​(B)، پیشرفته (C). دانش‌آموزان خودشان انتخاب می‌کنند که کدام سطح را حل کنند.

6. جمع بندی. انعکاس فعالیت آموزشی در درس (2 دقیقه)

به سوالات پاسخ دهید:

چه نوع معادلات مثلثاتی را مطالعه کرده ایم؟

یک معادله همگن درجه یک چگونه حل می شود؟

معادله همگن درجه دوم چگونه حل می شود؟

متوجه شدم…

یاد گرفتم…

کار خوب را در درس تک تک دانش آموزان علامت گذاری کنید، نمره گذاری کنید.

7. تکالیف. (1 دقیقه)

دانش آموزان را از تکالیف آگاه کنید، در مورد اجرای آن توضیحات مختصری ارائه دهید.

شماره 18.12 (c, d)، شماره 18.24 (c, d)، شماره 18.27 (a)

منابع:

اسلاید 2

"معادلات مثلثاتی همگن"

1. معادله ای به شکل sin x + b cos x \u003d 0، که در آن a ≠ 0، b ≠ 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود. 2. معادله ای به شکل sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0 که a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود. تعریف:

I درجه a sinx + b cosx = 0، (a, b ≠ 0). هر دو طرف معادله را بر ترم بر cosx ≠ 0 تقسیم کنید. به دست می‌آید: a tgx + b = 0 tgx = -b /a ساده‌ترین معادله مثلثاتی هنگام تقسیم معادله همگن a sinx + b cosx = 0 بر cos x ≠ 0 ، ریشه های این معادله گم نمی شود. روش حل معادلات مثلثاتی همگن

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) اگر a ≠ 0، هر دو قسمت معادله را بر ترم تقسیم بر cos ² x ≠0 به دست می آوریم: a tg ² x + b tgx + c = 0، ما با معرفی یک متغیر جدید z \u003d tgx 2) اگر a \u003d 0 باشد، می گیریم: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0، با فاکتورگیری حل می کنیم / هنگام تقسیم معادله همگن a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 توسط cos 2 x ≠ 0 ریشه های این معادله از بین نمی روند. درجه II

این یک معادله همگن درجه یک است. ما هر دو قسمت معادله را بر حسب ترم بر cos x تقسیم می کنیم، به دست می آوریم: مثال 1. حل معادله 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

این یک معادله همگن درجه یک است. هر دو بخش معادله را بر ترم بر cos 2 x تقسیم می کنیم، به این نتیجه می رسیم: مثال 2. معادله sin 2 x + cos 2 x = 0 را حل کنید

هر جمله در معادله دارای درجه یکسانی است. این یک معادله همگن درجه دوم است. بیایید هر دو طرف معادله را با os 2 x ≠ 0 بر روی ترم تقسیم کنیم، به دست می‌آید: مثال 3. حل معادله sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

به سوالات پاسخ دهید: - چه نوع معادلات مثلثاتی را مطالعه کرده ایم؟ چگونه یک معادله همگن درجه یک را حل می کنید؟ چگونه یک معادله همگن درجه دو را حل می کنید؟ خلاصه کردن

یاد گرفتم ... - یاد گرفتم ... بازتاب

شماره 18.12 (ج، د)، شماره 18.24 (ج، د)، شماره 18.27 (الف) تکلیف.

با تشکر از شما برای درس! هموطنان خوب!

پیش نمایش:

خود تحلیلی درس ریاضی معلم اورژاک ع.م.

گروه : کارشناس ارشد گیاهکاری 1 دوره.

موضوع درس : معادلات مثلثاتی همگن.

نوع درس : درس یادگیری مطالب جدید.

اهداف درس:

1. شکل گیری مهارت دانش آموزان در حل معادلات مثلثاتی همگن، در نظر گرفتن روش هایی برای حل معادلات همگن سطوح پیچیدگی پایه و پیشرفته.

2. تفکر منطقی، توانایی نتیجه گیری، توانایی ارزیابی نتایج اقدامات انجام شده را توسعه دهید.

3. ایجاد دقت، احساس مسئولیت، پرورش انگیزه های مثبت برای یادگیری در دانش آموزان.

درس بر اساس برنامه ریزی موضوعی انجام شد. موضوع درس بیانگر بخش نظری و عملی درس بوده و برای دانش آموزان قابل درک است. تمام مراحل درس با در نظر گرفتن ویژگی های گروه در جهت تحقق این اهداف بود.

ساختار درس

1. لحظه سازمانی شامل سازماندهی اولیه گروه، شروع بسیج درس، ایجاد آسایش روانی و آماده سازی دانش آموزان برای جذب فعال و آگاهانه مطالب جدید بود. آمادگی گروه و هر دانش آموز توسط من به صورت چشمی بررسی شد. وظیفه آموزشی صحنه: پنگرش مثبت به درس

2. مرحله بعدی به فعلیت رساندن دانش پایه دانش آموزان است. وظیفه اصلی این مرحله بازگرداندن دانش لازم برای مطالعه مطالب جدید در حافظه دانش آموزان است. واقعی سازی در قالب بررسی تکالیف در تخته سیاه انجام شد.

3. (مرحله اصلی درس) شکل گیری دانش جدید. در این مرحله، وظایف آموزشی زیر اجرا شد: ارائه ادراک، درک و حفظ اولیه دانش و روش های عمل، ارتباطات و روابط در موضوع مطالعه.

این امر توسط: ایجاد یک موقعیت مشکل، روش گفتگو در ترکیب با استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات تسهیل شد. شاخص اثربخشی یادگیری دانش جدید توسط دانش آموزان، صحت پاسخ ها، کار مستقل، مشارکت فعال دانش آموزان در کار است.

4. مرحله بعدی تثبیت اولیه مواد است. هدف آن ایجاد بازخورد برای به دست آوردن اطلاعات در مورد میزان درک مطالب جدید، کامل بودن، درستی جذب آن و اصلاح به موقع خطاهای شناسایی شده است. برای این مورد استفاده کردم: حل معادلات مثلثاتی همگن ساده. در اینجا از تکالیفی از کتاب درسی استفاده شد که با نتایج یادگیری مورد نیاز مطابقت دارد. تجمیع اولیه مواد در فضایی از حسن نیت و همکاری انجام شد. در این مرحله با دانش آموزان ضعیف کار کردم، بقیه خودشان تصمیم گرفتند و به دنبال آن خودآزمایی از هیئت مدیره انجام شد.

5. لحظه بعدی درس، کنترل اولیه دانش بود. وظیفه آموزشی مرحله: آشکار ساختن کیفیت و سطح تسلط بر دانش و روش های عمل، حصول اطمینان از اصلاح آنها. در اینجا من یک رویکرد متمایز برای یادگیری را به کار بردم، به کودکان انتخابی از وظایف سه سطح ارائه دادم: پایه (A)، متوسط ​​(B)، پیشرفته (C). من یک مسیر انحرافی انجام دادم و دانش آموزانی را که سطح پایه را انتخاب کردند علامت زدم. این دانش آموزان زیر نظر استاد کار را انجام می دادند.

6. در مرحله بعد - جمع بندی، وظایف تحلیل و ارزیابی موفقیت دستیابی به هدف حل شد. با جمع بندی درس، من به طور همزمان بازتابی از فعالیت های آموزشی را انجام دادم. دانش آموزان یاد گرفتند که چگونه معادلات مثلثاتی همگن را حل کنند. رتبه بندی داده شد.

7. مرحله آخر تکلیف خانه است. تکلیف آموزشی: ایجاد درک دانش آموزان از محتوا و روش های انجام تکالیف. دستورات مختصری در مورد تکالیف ارائه کرد.

در طول درس، فرصتی برای تحقق اهداف آموزشی، رشدی و آموزشی داشتم. من فکر می کنم که این با این واقعیت تسهیل شد که بچه ها از اولین دقایق درس فعالیتی را نشان دادند. آنها برای درک موضوع جدید آماده بودند. جو گروه از نظر روانی مساعد بود.




آخرین جزئیات در مورد نحوه حل تکالیف C1 از امتحان ریاضی - حل معادلات مثلثاتی همگننحوه حل آنها را در این درس آخر به شما خواهیم گفت.

این معادلات چیست؟ بیایید آنها را به صورت کلی بنویسیم.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

که در آن "a" و "b" برخی از ثابت ها هستند. این معادله معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله مثلثاتی همگن درجه یک

برای حل چنین معادله ای باید آن را بر '\cos x' تقسیم کنید. سپس فرم به خود می گیرد

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

پاسخ چنین معادله ای به راحتی بر حسب مماس قوس نوشته می شود.

توجه داشته باشید که `\cos x ≠0`. برای تأیید این موضوع، به جای کسینوس در معادله، صفر را جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم که سینوس نیز باید برابر با صفر باشد. با این حال، آنها نمی توانند در یک زمان برابر با صفر باشند، به این معنی که کسینوس صفر نیست.

برخی از وظایف امتحان واقعی امسال به یک معادله مثلثاتی همگن کاهش یافت. لینک را دنبال کنید. بیایید یک نسخه کمی ساده شده از مشکل را در نظر بگیریم.

مثال اول حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول

$$\sin x + \cos x = 0.$$

تقسیم بر '\cos x'.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

تکرار می کنم، کار مشابهی در امتحان بود :) البته، شما هنوز هم باید ریشه ها را انتخاب کنید، اما این نیز نباید مشکل خاصی ایجاد کند.

اکنون به سراغ نوع بعدی از معادله می رویم.

معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

به طور کلی، به نظر می رسد این است:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

که در آن "a، b، c" برخی از ثابت ها هستند.

چنین معادلاتی با تقسیم بر '\cos^2 x' (که باز هم غیر صفر است) حل می شود. بیایید فوراً به یک مثال نگاه کنیم.

مثال دوم حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$\sin^2 x - 2\sin x \، \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

t = \tg x را جایگزین کنید.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3، \t_2 = -1.$$

تعویض معکوس

$$\tg x = 3، \text(یا ) \tg x = -1،$$

$$x = \arctan(3)+\pi k، \text(یا ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

پاسخ دریافت شد.

مثال سوم. حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

همه چیز خوب خواهد بود، اما این معادله همگن نیست - ما توسط "-2" در سمت راست مانع می شویم. چه باید کرد؟ بیایید از هویت مثلثاتی اولیه استفاده کنیم و با آن "-2" بنویسیم.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ) $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0، $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

جایگزین «t= \tg x».

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3)،\ t_2 = -\sqrt(3).$$

با انجام جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(یا ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

این آخرین نمونه در این آموزش است.

طبق معمول، اجازه دهید یادآوری کنم: تمرین همه چیز ماست. مهم نیست که یک فرد چقدر باهوش باشد، بدون آموزش مهارت ها رشد نمی کنند. در امتحان، این مملو از هیجان، اشتباهات، وقت تلف شده است (این لیست را خودتان ادامه دهید). حتما مشغول شوید!

وظایف آموزشی

حل معادلات:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. این یک وظیفه از آزمون واقعی یکپارچه دولتی 2013 است.
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. فرمول مفید درس هفتم.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

همین. و طبق معمول، در پایان: سوالات خود را در نظرات بپرسید، لایک بگذارید، ویدیوها را تماشا کنید، نحوه حل امتحان را یاد بگیرید.

دانش آموزان با کمک این درس تصویری می توانند مبحث معادلات مثلثاتی همگن را مطالعه کنند.

بیایید تعاریف را ارائه دهیم:

1) یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول شبیه یک sin x + b cos x = 0 است.

2) یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم شبیه یک sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 است.

معادله a sin x + b cos x = 0 را در نظر بگیرید. اگر a صفر باشد، معادله شبیه b cos x = 0 خواهد بود. اگر b صفر باشد، معادله شبیه یک sin x = 0 خواهد بود.

حال گزینه ای را در نظر بگیرید که a و b برابر با صفر نیستند. با تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x تبدیل را انجام می دهیم. یک tg x + b = 0 دریافت می کنیم، سپس tg x برابر با - b/a خواهد بود.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که معادله a sin mx + b cos mx = 0 یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل یک معادله، اجزای آن را بر cos mx تقسیم کنید.

بیایید به مثال 1 نگاه کنیم. حل 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. ابتدا بخش های معادله را بر کسینوس (x / 2) تقسیم کنید. با دانستن اینکه سینوس تقسیم بر کسینوس مماس است، 7 tg (x / 2) - 5 = 0 به دست می آوریم. با تبدیل عبارت، متوجه می شویم که مقدار مماس (x / 2) 5/7 است. راه حل این معادله x = آرکتان a + πn است، در مورد ما x = 2 آرکتان (5/7) + 2πn.

معادله a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 را در نظر بگیرید:

1) با یک برابر صفر، معادله مانند b sin x cos x + c cos 2 x = 0 خواهد بود. با تبدیل، عبارت cos x (b sin x + c cos x) = 0 را بدست می آوریم و به حل ادامه می دهیم. از دو معادله پس از تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، b tg x + c = 0 به دست می‌آید، یعنی tg x = - c/b. با دانستن اینکه x \u003d arctan a + πn، پس راه حل در این مورد x \u003d arctg (- c / b) + πn خواهد بود.

2) اگر a برابر با صفر نباشد، با تقسیم اجزای معادله بر مجذور کسینوس، معادله ای حاوی مماس به دست می آید که مربع خواهد بود. این معادله را می توان با معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3) هنگامی که c برابر با صفر باشد، معادله به شکل a sin 2 x + b sin x cos x = 0 خواهد بود. این معادله را می توان با خارج کردن سینوس x از براکت حل کرد.

1. ببینید آیا یک گناه 2 x در معادله وجود دارد.

2. اگر عبارت a sin 2 x در معادله موجود باشد، می توان معادله را با تقسیم هر دو قسمت بر کسینوس مجذور و سپس معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3. اگر معادله a sin 2 x شامل نمی شود، می توان با خارج کردن براکت های cosx معادله را حل کرد.

مثال 2 را در نظر بگیرید. کسینوس را بیرون می آوریم و دو معادله بدست می آوریم. ریشه معادله اول x = π/2 + πn است. برای حل معادله دوم، اجزای این معادله را بر کسینوس x تقسیم می کنیم، با تبدیل x = π/3 + πn بدست می آوریم. پاسخ: x = π/2 + πn و x = π/3 + πn.

بیایید مثال 3، معادله ای به شکل 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 را حل کرده و ریشه های آن را که متعلق به بخش از - π تا π است، پیدا کنیم. زیرا از آنجایی که این معادله ناهمگن است، لازم است آن را به شکل همگن کاهش دهیم. با استفاده از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1، معادله sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 را به دست می آوریم. با تقسیم تمام قسمت های معادله بر cos 2 x، tg 2 2x + به دست می آید. 2tg 2x + 1 = 0 با استفاده از معرفی یک متغیر جدید z = tg 2x، معادله ای را حل می کنیم که ریشه آن z = 1 است. سپس tg 2x = 1، که به معنای x = π/8 + (πn)/2 است. زیرا با توجه به شرایط مشکل، شما باید ریشه هایی را که متعلق به بخش از - π تا π هستند پیدا کنید، راه حل شبیه - π خواهد بود.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

تفسیر متن:

معادلات مثلثاتی همگن

امروز نحوه حل "معادلات مثلثاتی همگن" را تحلیل خواهیم کرد. این معادلات از نوع خاصی هستند.

بیایید با تعریف آشنا شویم.

معادله نوع و sinx+بcosایکس = 0 (و سینوس x به اضافه کسینوس x صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله فرم گناه 2 x+بگناه xcosایکس+ccos 2 ایکس= 0 (و سینوس مربع x به اضافه سینوس x کسینوس x به علاوه se کسینوس مربع x صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

اگر یک a=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت بcosایکس = 0.

اگر یک ب = 0 ، سپس دریافت می کنیم و sin x = 0.

این معادلات مثلثاتی ابتدایی هستند و حل آنها را در مباحث قبلی در نظر گرفتیم

در نظر گرفتنحالتی که هر دو ضریب غیر صفر باشند. دو طرف معادله را تقسیم کنید آگناهایکس+ بcosایکس = 0 مدت به مدت در cosایکس.

ما می توانیم این کار را انجام دهیم، زیرا کسینوس x غیر صفر است. پس از همه، اگر cosایکس = 0 ، سپس معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 شکل خواهد گرفت آگناهایکس = 0 , آ≠ 0، بنابراین گناهایکس = 0 . که غیر ممکن است، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اساسی گناه 2x+cos 2 ایکس=1 .

تقسیم دو طرف معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 مدت به مدت در cosایکس، دریافت می کنیم: + =0

بیایید تحولات را انجام دهیم:

1. از آنجایی که = tg x، سپس =و tg x

2 کاهش دهد cosایکس، سپس

بنابراین عبارت زیر را بدست می آوریم و tg x + b = 0.



بیایید تبدیل را انجام دهیم:

1. b را با علامت مخالف به سمت راست عبارت ببرید

و tg x \u003d - b

2. از شر ضریب خلاص شوید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنیم

tg x= -.

نتیجه گیری: معادله ای از فرم و گناهمترx+بcosmx = 0 (و سینوس em x به اضافه کسینوس em x صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود. برای حل آن، هر دو طرف را تقسیم کنید cosmx.

مثال 1. معادله 7 sin - 5 cos \u003d 0 را حل کنید (هفت سینوس x در دو منهای پنج کسینوس x در دو صفر است)

تصمیم گیری هر دو قسمت معادله را بر ترم بر cos تقسیم می کنیم، به دست می آید

1. \u003d 7 tg (از آنجایی که نسبت سینوس به کسینوس مماس است، پس هفت سینوس x بر دو تقسیم بر کسینوس x بر دو برابر است با 7 مماس x بر دو)

2. -5 = -5 (در صورت مخفف cos)

بنابراین معادله را بدست آوردیم

7tg - 5 = 0، بیایید عبارت را تبدیل کنیم، منهای پنج را به سمت راست حرکت دهیم، علامت را تغییر دهیم.

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t=، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آ و این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg a + πn، سپس جواب معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

Arctg + πn، x را پیدا کنید

x \u003d 2 آرکتان + 2πn.

پاسخ: x \u003d 2 arctg + 2πn.

بیایید به یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم برویم

آsin 2 x+b sin x cos x +باcos2 x=0.

بیایید چند مورد را در نظر بگیریم.

I. اگر a=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت بگناهایکسcosایکس+ccos 2 ایکس= 0.

هنگام حل eسپس از روش فاکتورگیری معادلات استفاده می کنیم. بیایید بیرون بیاوریم cosایکسبراکت ها و دریافت می کنیم: cosایکس(بگناهایکس+ccosایکس)= 0 . جایی که cosایکس= 0 یا

b sin x +باcos x=0.و ما قبلاً می دانیم که چگونه این معادلات را حل کنیم.



هر دو قسمت معادله را بر ترم بر cosx تقسیم می کنیم، به دست می آید

1 (زیرا نسبت سینوس به کسینوس مماس است).

بنابراین معادله را بدست می آوریم: ب tg x+c=0

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t= x، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg a + πn، سپس جواب معادله ما خواهد بود:

x \u003d arctg + πn، .

II. اگر یک a≠0، سپس هر دو قسمت معادله را ترم به ترم به دو قسمت تقسیم می کنیم cos 2 ایکس.

(به طور مشابه، مانند مورد یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، کسینوس x نمی تواند محو شود).

III. اگر یک c=0، سپس معادله شکل خواهد گرفت آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس= 0. این معادله با روش فاکتورگیری (برداشتن گناهایکسبرای براکت).

بنابراین، هنگام حل معادله آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس+ccos 2 ایکس= 0 می توانید الگوریتم را دنبال کنید:

مثال 2. معادله sinxcosx - cos 2 x= 0 را حل کنید (سینوس x ضرب کسینوس x منهای ریشه سه ضرب کسینوس مجذور x برابر با صفر است).

تصمیم گیری اجازه دهید فاکتورسازی کنیم (براکت cosx). گرفتن

cos x(sin x - cos x)= 0، i.e. cos x=0 یا sin x - cos x= 0.

پاسخ: x \u003d + πn، x \u003d + πn.

مثال 3. حل معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (سه سینوس مربع دو x منهای دو برابر حاصل ضرب سینوس دو x و کسینوس دو x به اضافه سه کسینوس مربع دو x) و ریشه های آن را متعلق به بازه (- π؛ π) بیابید.

تصمیم گیری این معادله همگن نیست، بنابراین تبدیل ها را انجام خواهیم داد. عدد 2 موجود در سمت راست معادله با حاصلضرب 2 1 جایگزین می شود

از آنجایی که، با توجه به هویت مثلثاتی اولیه، sin 2 x + cos 2 x \u003d 1، پس

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = باز کردن پرانتزها به دست می آید: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

بنابراین معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 به شکل زیر خواهد بود:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم به دست آورده ایم. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 2x اعمال کنیم:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

اجازه دهید یک متغیر جدید z= tg2х معرفی کنیم.

ما z 2 - 2 z + 1 = 0 داریم. این یک معادله درجه دوم است. با توجه به فرمول ضرب اختصاری در سمت چپ - مربع تفاوت ()، ما (z - 1) 2 = 0 را دریافت می کنیم، یعنی. z = 1. اجازه دهید به جایگزینی معکوس برگردیم:



ما معادله را به شکل tg t \u003d a کاهش داده ایم، که در آن t \u003d 2x، a \u003d 1 است. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها به نظر می رسند

x \u003d arctg x a + πn، سپس جواب معادله ما خواهد بود:

2x \u003d arctg1 + πn،

x \u003d + , (x برابر است با مجموع پی ضربدر هشت و پی در برابر دو).

برای ما باقی می ماند که چنین مقادیر x را که در بازه موجود است پیدا کنیم

(- π؛ π)، یعنی. ارضای نابرابری دوگانه - π x π. مانند

x= +، سپس - π + π. تمام قسمت های این نابرابری را بر π تقسیم کرده و در 8 ضرب می کنیم، به دست می آید

واحد را به سمت راست و چپ حرکت دهید و علامت را به منفی یک تغییر دهید

تقسیم بر چهار به دست می آید

برای راحتی، در کسری، قطعات صحیح را انتخاب می کنیم

-

این نابرابری با عدد صحیح n برآورده می شود: -2، -1، 0، 1

امروز به معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم. ابتدا بیایید به این اصطلاح بپردازیم: معادله مثلثاتی همگن چیست. دارای ویژگی های زیر است:

1. باید چندین اصطلاح داشته باشد.
2. همه اصطلاحات باید دارای مدرک یکسان باشند.
3. همه توابع موجود در یک هویت مثلثاتی همگن باید لزوماً آرگومان یکسانی داشته باشند.

الگوریتم حل

شرایط را از هم جدا کنید

و اگر همه چیز با نکته اول روشن است، پس ارزش آن را دارد که در مورد دوم با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. همان درجه اصطلاحات به چه معناست؟ بیایید به اولین کار نگاه کنیم:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

اولین جمله در این معادله است 3cosx 3\cos x. توجه داشته باشید که در اینجا فقط یک تابع مثلثاتی وجود دارد - cosx\cos x - و هیچ توابع مثلثاتی دیگری در اینجا وجود ندارد، بنابراین درجه این عبارت 1 است. در مورد دوم یکسان است - 5سینکس 5 \ sin x - در اینجا فقط سینوس وجود دارد، یعنی درجه این عبارت نیز برابر با یک است. بنابراین، ما هویتی متشکل از دو عنصر داریم که هر کدام شامل یک تابع مثلثاتی و در عین حال فقط یک عنصر است. این یک معادله درجه یک است.

بریم سراغ عبارت دوم:

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

اولین ترم این ساخت است 4گناه2 ایکس 4((\sin )^(2))x.

اکنون می توانیم راه حل زیر را بنویسیم:

گناه2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

به عبارت دیگر عبارت اول شامل دو تابع مثلثاتی است، یعنی درجه آن دو است. بیایید به عنصر دوم بپردازیم - sin2x\ sin 2x. فرمول زیر را به یاد بیاورید - فرمول دو زاویه:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

و دوباره، در فرمول حاصل، دو تابع مثلثاتی داریم - سینوس و کسینوس. بنابراین مقدار توان این عضو سازه نیز برابر با دو است.

به عنصر سوم می رویم - 3. از درس ریاضی دبیرستان به یاد می آوریم که هر عددی را می توان در 1 ضرب کرد، بنابراین می نویسیم:

˜ 3=3⋅1

و واحد با استفاده از هویت مثلثاتی پایه را می توان به شکل زیر نوشت:

1=گناه2 x⋅ cos2 ایکس

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

بنابراین، می توانیم 3 را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3=3(گناه2 x⋅ cos2 ایکس)=3گناه2 x+3 cos2 ایکس

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

بنابراین عبارت 3 ما به دو عنصر تقسیم شده است که هر کدام همگن و دارای درجه دوم هستند. سینوس در جمله اول دو بار و کسینوس در جمله دوم نیز دو بار رخ می دهد. بنابراین، 3 را می توان به عنوان یک جمله با توان دو نیز نشان داد.

عبارت سوم هم همینطور:

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

بیایید نگاهی بیندازیم. ترم اول - گناه3 ایکس((\sin )^(3))x یک تابع مثلثاتی درجه سوم است. عنصر دوم است گناه2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

گناه2 ((\sin )^(2)) یک پیوند با مقدار توان دو ضرب در است cosx\cos x عبارت اول است. در مجموع، عبارت سوم نیز دارای مقدار توان سه است. در نهایت، در سمت راست پیوند دیگری وجود دارد - 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x یک عنصر درجه سوم است. بنابراین، ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم داریم.

ما سه هویت در درجات مختلف ثبت کرده ایم. دوباره به عبارت دوم توجه کنید. در مدخل اصلی، یکی از اعضا استدلال دارد 2 برابر 2 برابر ما مجبوریم با تبدیل آن بر اساس فرمول سینوس زاویه مضاعف از شر این استدلال خلاص شویم، زیرا همه توابع موجود در هویت ما لزوماً باید آرگومان یکسانی داشته باشند. و این یک نیاز برای معادلات مثلثاتی همگن است.

از فرمول هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم و جواب نهایی را یادداشت می کنیم

ما شرایط را فهمیدیم، به راه حل بروید. صرف نظر از توان توان، حل برابری های این نوع همیشه در دو مرحله انجام می شود:

1) این را ثابت کنید

cosx≠0

\cos x\ne 0. برای انجام این کار، کافی است فرمول هویت مثلثاتی پایه را به خاطر بیاوریم. (گناه2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \راست) و به این فرمول جایگزین کنید cosx=0\cosx=0. عبارت زیر را دریافت خواهیم کرد:

گناه2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end (تراز کردن)

جایگزینی مقادیر به دست آمده، یعنی به جای cosx\cos x صفر است و به جای سینکس\sin x - 1 یا -1، در عبارت اصلی، یک برابری عددی نادرست دریافت می کنیم. این دلیل منطقی برای این واقعیت است که

cosx≠0

2) مرحله دوم به طور منطقی از مرحله اول پیروی می کند. تا جایی که

cosx≠0

\cos x\ne 0، هر دو طرف ساختمان را بر تقسیم می کنیم cosnایکس((\cos )^(n))x، که در آن n n توان معادله مثلثاتی همگن است. این چه چیزی به ما می دهد:

\[\begin(آرایه)((35)(l))

سینکسcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \پایان(آرایه)\]

به همین دلیل، ساخت اولیه دست و پا گیر ما به معادله کاهش می یابد n n-قدرت نسبت به مماس که جواب آن به راحتی با تغییر متغیر نوشته می شود. این کل الگوریتم است. بیایید ببینیم در عمل چگونه کار می کند.

ما مشکلات واقعی را حل می کنیم

وظیفه شماره 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

قبلاً متوجه شده ایم که این یک معادله مثلثاتی همگن با توانی برابر با یک است. بنابراین، قبل از هر چیز، اجازه دهید به این موضوع پی ببریم cosx≠0\cos x\ne 0. برعکس فرض کنید که

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

مقدار به دست آمده را با عبارت خود جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

3⋅0+5⋅(±1)=0± 5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end (تراز کردن)

بر این اساس می توان گفت که cosx≠0\cos x\ne 0. معادله خود را بر تقسیم کنید cosx\cos x زیرا کل عبارت ما دارای مقدار توان یک است. ما گرفتیم:

3(cosxcosx) +5(سینکسcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (تراز کردن)

این یک مقدار جدول نیست، بنابراین پاسخ شامل خواهد شد arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

تا جایی که arctg arctg arctg یک تابع فرد است، ما می توانیم "منهای" را از آرگومان خارج کنیم و قبل از arctg قرار دهیم. جواب نهایی را می گیریم:

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

وظیفه شماره 2

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

همانطور که به یاد دارید، قبل از ادامه راه حل آن، باید تغییراتی را انجام دهید. ما تحولات را انجام می دهیم:

4گناه2 x+2sinxcosx-3 (گناه2 x+ cos2 ایکس)=0 4گناه2 x+2sinxcosx-3 گناه2 x-3 cos2 x=0گناه2 x+2sinxcosx-3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2)x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2)x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (تراز کردن)

ما ساختاری متشکل از سه عنصر دریافت کرده ایم. در ترم اول می بینیم گناه2 ((\sin )^(2))، یعنی مقدار توان آن دو است. در ترم دوم می بینیم سینکس\sin x و cosx\cos x - دوباره، دو تابع وجود دارد، آنها ضرب می شوند، بنابراین درجه کل دوباره دو می شود. در لینک سوم می بینیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x - شبیه به مقدار اول.

این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 راه حلی برای این ساختار نیست. برای انجام این کار، برعکس را فرض کنید:

\[\begin(آرایه)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\پایان(آرایه)\]

ما این را ثابت کرده ایم cosx=0\cos x=0 نمی تواند یک راه حل باشد. ما به مرحله دوم می رویم - کل بیان خود را بر آن تقسیم می کنیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x. چرا در یک مربع؟ زیرا توان این معادله همگن برابر با دو است:

گناه2 ایکسcos2 ایکس+2sinxcosxcos2 ایکس−3=0 تی g2 x+2tgx-3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end (تراز کردن)

آیا می توان این عبارت را با استفاده از ممیز حل کرد؟ البته که میتوانید. اما من پیشنهاد می کنم قضیه برعکس قضیه ویتا را به خاطر بیاوریم و دریافتیم که این چند جمله ای را می توان به عنوان دو چند جمله ای ساده نشان داد، یعنی:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk،k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند که آیا ارزش نوشتن ضرایب جداگانه برای هر گروه از راه‌حل‌های هویت‌ها را دارد یا این که به زحمت نیفتیم و همه جا همان ضریب را بنویسیم؟ من شخصاً فکر می کنم استفاده از حروف مختلف بهتر و قابل اعتمادتر است تا در شرایطی که وارد یک دانشگاه فنی جدی با آزمون های تکمیلی ریاضی می شوید، بازرسان در جواب ایراد نگیرند.

وظیفه شماره 3

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ما قبلاً می دانیم که این یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم است، هیچ فرمول خاصی مورد نیاز نیست و تنها چیزی که از ما لازم است انتقال عبارت است. 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x در سمت چپ. بازنویسی:

گناه3 x+ گناه2 xcosx-2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

می بینیم که هر عنصر شامل سه تابع مثلثاتی است، بنابراین این معادله دارای مقدار توان سه است. حلش می کنیم. اول از همه باید این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 یک ریشه نیست:

\[\begin(آرایه)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(آرایه)\]

این اعداد را در ساختار اصلی ما جایگزین کنید:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end (تراز کردن)

از این رو، cosx=0\cos x=0 راه حلی نیست. ما این را ثابت کرده ایم cosx≠0\cos x\ne 0. حالا که این را ثابت کردیم، معادله اصلی خود را بر تقسیم می کنیم cos3 ایکس((\cos )^(3))x. چرا در مکعب؟ زیرا ما به تازگی ثابت کردیم که معادله اصلی ما یک توان سوم دارد:

گناه3 ایکسcos3 ایکس+گناه2 xcosxcos3 ایکس−2=0 تی g3 x+t g2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\پایان (تراز کردن)

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

tgx=t

بازنویسی ساختار:

تی3 +تی2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

ما یک معادله مکعب داریم. چگونه آن را حل کنیم؟ در ابتدا، زمانی که به تازگی این فیلم آموزشی را جمع آوری می کردم، قصد داشتم ابتدا در مورد تجزیه چند جمله ای ها به عوامل و ترفندهای دیگر صحبت کنم. اما در این مورد، همه چیز بسیار ساده تر است. ببینید، هویت کاهش یافته ما، با عبارت با بالاترین درجه، 1 است. علاوه بر این، تمام ضرایب اعداد صحیح هستند. و این بدان معنی است که می توانیم از نتیجه قضیه بزوت استفاده کنیم که می گوید همه ریشه ها مقسوم علیه عدد -2 هستند، یعنی یک جمله آزاد.

این سوال مطرح می شود: چه چیزی بر -2 تقسیم می شود. از آنجایی که 2 یک عدد اول است، گزینه های زیادی وجود ندارد. می تواند اعداد زیر باشد: 1; 2 -یک -2. ریشه های منفی بلافاصله ناپدید می شوند. چرا؟ چون هر دوی آنها از نظر مقدار مطلق بزرگتر از 0 هستند، بنابراین، تی3 ((t)^(3)) از لحاظ مدول بزرگتر از تی2 ((t)^(2)). و از آنجایی که مکعب یک تابع فرد است، بنابراین عدد در مکعب منفی خواهد بود، و تی2 ((t)^(2)) مثبت است، و کل این ساختار، با t=−1 t=-1 و t=-2 t=-2 بزرگتر از 0 نخواهد بود. 2- را از آن کم کنید و عددی را بدست آورید که آشکارا کمتر از 0 است. فقط 1 و 2 باقی می مانند. بیایید هر یک از این اعداد را جایگزین کنیم:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. از این رو، t=1 t=1 ریشه است.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 یک ریشه نیست.

با توجه به نتیجه و همان قضیه بزوت، هر چند جمله ای که ریشه آن باشد ایکس0 ((x)_(0))، به صورت:

Q(x)=(x= ایکس0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

در مورد ما، به عنوان ایکس x یک متغیر است تیتی، و در نقش ایکس0 ((x)_(0)) ریشه ای برابر با 1 است.

تی3 +تی2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

چگونه یک چند جمله ای را پیدا کنیم پ (t) P\ چپ (t\ راست)؟ بدیهی است که باید موارد زیر را انجام دهید:

P(t)= تی3 +تی2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

جایگزین می کنیم:

تی3 +تی2 +0⋅t−2t-1=تی2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

بنابراین، چند جمله ای اصلی ما بدون باقیمانده تقسیم می شود. بنابراین، می توانیم برابری اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(t-1)( تی2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. ما قبلاً اولین عامل را در نظر گرفتیم. بیایید به مورد دوم نگاه کنیم:

تی2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

احتمالاً دانش‌آموزان با تجربه قبلاً فهمیده‌اند که این ساختار ریشه ندارد، اما بیایید همچنان تمایز را محاسبه کنیم.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

تفکیک کننده کمتر از 0 است، بنابراین عبارت هیچ ریشه ای ندارد. در کل، ساخت و ساز عظیم به برابری معمول کاهش یافت:

\[\begin(آرایه)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(آرایه)\]

در پایان، من می خواهم چند نظر در مورد آخرین کار اضافه کنم:

1. آیا شرط همیشه برآورده خواهد شد cosx≠0\cos x\ne 0، و اینکه آیا این بررسی اصلاً باید انجام شود یا خیر. البته نه همیشه. در مواردی که cosx=0\cos x=0 یک راه حل برای برابری ما است، باید آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس یک معادله همگن تمام عیار در پرانتز باقی می ماند.
2. تقسیم چند جمله ای به چند جمله ای چیست؟ در واقع، بیشتر مدارس این موضوع را مطالعه نمی‌کنند و وقتی دانش‌آموزان برای اولین بار چنین ساختاری را می‌بینند، یک شوک خفیف را تجربه می‌کنند. اما، در واقع، این یک تکنیک ساده و زیبا است که حل معادلات درجات بالاتر را بسیار آسان می کند. البته یک فیلم آموزشی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد که در آینده نزدیک منتشر خواهم کرد.

امتیاز کلیدی

معادلات مثلثاتی همگن یکی از موضوعات مورد علاقه در آزمون های مختلف است. آنها بسیار ساده حل می شوند - کافی است یک بار تمرین کنید. برای اینکه مشخص شود در مورد چه چیزی صحبت می کنیم، یک تعریف جدید ارائه می کنیم.

معادله مثلثاتی همگن معادله ای است که هر جمله غیر صفر آن از تعداد یکسانی از عوامل مثلثاتی تشکیل شده باشد. اینها می توانند سینوس، کسینوس یا ترکیبی از آنها باشند - روش حل همیشه یکسان است.

درجه یک معادله مثلثاتی همگن تعداد عوامل مثلثاتی است که به صورت غیرصفر گنجانده شده است. مثالها:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - هویت درجه 1;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - درجه 2;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - درجه 3;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - و این معادله همگن نیست، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد - یک جمله غیر صفر، که در آن هیچ عامل مثلثاتی وجود ندارد.

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 نیز یک معادله ناهمگن است. عنصر sin2x\sin 2x - درجه دوم (چون می توانید تصور کنید

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x) 2sinx 2 \ sin x - اولین، و عبارت 3 به طور کلی صفر است، زیرا هیچ سینوس یا کسینوس در آن وجود ندارد.

طرح راه حل کلی

طرح راه حل همیشه یکسان است:

بیایید وانمود کنیم که cosx=0\cosx=0. سپس sinx=±1\sin x=\pm 1 - این از هویت اصلی ناشی می شود. جایگزین سینکس\sin x و cosx\cos x به عبارت اصلی وارد شود، و اگر نتیجه مزخرف باشد (به عنوان مثال، عبارت 5=0 5=0)، به نقطه دوم بروید.

ما همه چیز را بر توان کسینوس تقسیم می کنیم: cosx، cos2x، cos3x ... - بستگی به مقدار توان معادله دارد. برابری معمول را با مماس ها بدست می آوریم که پس از جایگزینی tgx=t با موفقیت حل می شود.

tgx=tریشه های یافت شده پاسخ عبارت اصلی خواهند بود.