افراد حسود ادعا می کنند که پیر فرما، ریاضیدان فرانسوی تنها با یک عبارت نام خود را در تاریخ نوشته است. در حاشيه نسخه خطي با صورت‌بندي قضيه معروف در سال 1637، او يادداشتي داشت: «راه‌حل شگفت‌انگيزي يافتم، اما فضاي كافي براي گذاشتن آن در اينجا وجود ندارد». سپس یک مسابقه ریاضی شگفت انگیز آغاز شد که در آن به همراه دانشمندان برجسته، ارتشی از آماتورها به آن پیوستند.
موذیانه بودن مشکل فرما چیست؟ در نگاه اول، حتی برای یک دانش آموز قابل درک است.
این بر اساس قضیه فیثاغورث است که برای همه شناخته شده است: در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها: x 2 + y 2 = z 2. فرما استدلال کرد: معادله هر توان بزرگتر از دو راه حلی در اعداد صحیح ندارد.
ساده به نظر می رسد. دراز کنید و اینجا پاسخ است. جای تعجب نیست که آکادمی ها در کشورهای مختلف، مؤسسات علمی، حتی تحریریه روزنامه ها با ده ها هزار مدرک غرق شدند. تعداد آنها بی‌سابقه است و پس از پروژه‌های "حرکت دائمی" در رتبه دوم قرار دارد. اما اگر علم جدی برای مدت طولانی به این ایده های دیوانه توجه نکرده باشد، کار "کشاورزان" صادقانه و با علاقه مطالعه می شود. و افسوس که خطاها را پیدا می کند. آنها می گویند که در طول بیش از سه قرن یک گورستان ریاضی کامل از راه حل های قضیه شکل گرفته است.
بی جهت نیست که می گویند: آرنج نزدیک است، اما گاز نمی زنی. سال ها، دهه ها، قرن ها گذشت و وظیفه فرما به طور فزاینده ای شگفت انگیز و وسوسه انگیز به نظر می رسید. به ظاهر ساده، معلوم شد که برای پیشرفت سریع عضلانی بسیار سخت است. انسان قبلاً اتم را شکافته بود، به ژن رسیده بود، پا به ماه گذاشته بود، اما فرما تسلیم نشد و همچنان با امیدهای واهی، فرزندان خود را فریب داد.
با این حال، تلاش برای غلبه بر اوج علمی بیهوده نبود. اویلر بزرگ اولین قدم را با اثبات قضیه برای درجه چهارم و سپس برای درجه سوم برداشت. در پایان قرن نوزدهم، ارنست کومر آلمانی تعداد درجات را به صد رساند. سرانجام، دانشمندان با استفاده از رایانه، این رقم را به 100 هزار افزایش دادند. اما فرما از هر مدرکی صحبت می کرد. این تمام نکته بود.
البته دانشمندان به خاطر علاقه ورزشی به این مشکل نپرداختند. دیوید هیلبرت، ریاضیدان معروف، گفت که این قضیه نمونه ای از این است که چگونه یک مسئله به ظاهر بی اهمیت می تواند تأثیر زیادی بر علم داشته باشد. دانشمندان با کار بر روی آن، افق های ریاضی کاملاً جدیدی را باز کردند، به عنوان مثال، پایه های نظریه اعداد، جبر و نظریه توابع گذاشته شد.
و با این حال قضیه بزرگ در سال 1995 فتح شد. راه حل او توسط یک آمریکایی از دانشگاه پرینستون، اندرو وایلز ارائه شد و جامعه علمی آن را رسماً به رسمیت شناخت. او بیش از هفت سال از عمر خود را صرف یافتن دلیل کرد. به گفته دانشمندان، این کار برجسته، کارهای بسیاری از ریاضیدانان را گرد هم آورد و ارتباطات از دست رفته بین بخش های مختلف آن را بازیابی کرد.
یوری ویشنیاکوف، دبیر علمی دپارتمان ریاضیات آکادمی علوم روسیه، دکترای علوم فنی، به خبرنگار RG گفت: بنابراین، اجلاس برگزار شد و علم پاسخ آن را دریافت کرد. - قضیه ثابت شده است، البته نه به ساده ترین راه، همانطور که خود فرما اصرار داشت. و اکنون کسانی که مایلند می توانند نسخه های خود را چاپ کنند.
با این حال، خانواده "کشاورزان" به هیچ وجه نمی‌خواهند مدرک وایلز را بپذیرند. نه، آنها تصمیم آمریکایی ها را رد نمی کنند، زیرا بسیار پیچیده است و بنابراین فقط برای دایره باریکی از متخصصان قابل درک است. اما هفته ای نمی گذرد که افشاگری جدیدی از طرف یکی دیگر از علاقه مندان در اینترنت ظاهر نشود، "در نهایت به حماسه طولانی مدت پایان می دهد."
به هر حال، همین دیروز یکی از قدیمی‌ترین «فرمیست‌های» کشورمان، وسوولود یاروش، با تحریریه «آر جی» تماس گرفت: «و می‌دانید که من قضیه فرما را حتی قبل از وایلز ثابت کردم. علاوه بر این، یک خطا در من در مورد او برای ریاضیدان برجسته خود، آکادمیسین آرنولد نوشتم و درخواست کردم در این مورد در یک مجله علمی منتشر کنم. اکنون منتظر پاسخ هستم. همچنین در حال مکاتبه با آکادمی علوم فرانسه در این مورد هستم."
و همین حالا، همانطور که در تعدادی از رسانه ها گزارش شده است، یکی دیگر از علاقه مندان، طراح عمومی سابق نرم افزار Polyot از Omsk، دکتر علوم فنی الکساندر ایلین، با "لطف سبک" راز بزرگ ریاضیات را فاش کرد. راه حل به قدری ساده و کوتاه بود که در قسمت کوچکی از فضای روزنامه یکی از نشریات مرکزی جای گرفت.
ویراستاران RG به مؤسسه برجسته ریاضیات کشور به نام روی آوردند. Steklov RAS با درخواست ارزیابی این تصمیم. دانشمندان قاطعانه بودند: نمی توان در مورد نشریه روزنامه نظر داد. اما پس از اقناع زیاد و در نظر گرفتن علاقه فزاینده به مشکل معروف، موافقت کردند. به گفته آنها، چندین اشتباه اساسی در آخرین اثبات منتشر شده صورت گرفته است. به هر حال، حتی یک دانشجوی دانشکده ریاضی نیز به راحتی متوجه آنها می شود.
با این حال، ویراستاران می خواستند اطلاعات دست اول را به دست آورند. علاوه بر این، دیروز در آکادمی هوانوردی و هوانوردی ایلین قرار بود مدرک خود را ارائه دهد. با این حال، معلوم شد که افراد کمی در مورد چنین آکادمی، حتی در میان متخصصان، می دانند. و وقتی با بیشترین سختی موفق شدیم شماره تلفن دبیر علمی این سازمان را پیدا کنیم، معلوم شد که او حتی گمان هم نمی‌کرد که چنین رویداد تاریخی در آنجا رخ دهد. به طور خلاصه، خبرنگار RG نتوانست شاهد این حس جهانی باشد.
فرما به نحوی غیرمنتظره و در سنی نسبتاً بالغ به ریاضیات علاقه پیدا کرد. در سال 1629، ترجمه لاتینی از کار پاپوس، که حاوی خلاصه‌ای از نتایج آپولونیوس در مورد ویژگی‌های برش‌های مخروطی بود، به دست او افتاد. فرما، چند زبان، متخصص در حقوق و زبان شناسی باستان، ناگهان تصمیم می گیرد تا مسیر استدلال دانشمند مشهور را به طور کامل بازگرداند. با همین موفقیت، یک وکیل مدرن می تواند سعی کند به طور مستقل تمام شواهد یک تک نگاری را از مشکلات، مثلاً توپولوژی جبری، بازتولید کند. با این حال، تعهد غیر قابل تصور با موفقیت تاج گذاری می شود. علاوه بر این، با کاوش در ساختارهای هندسی قدیمی ها، او به کشف شگفت انگیزی دست می یابد: برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مساحت شکل ها، به نقاشی های مبتکرانه نیازی نیست. همیشه می توان معادله جبری ساده ای ساخت و حل کرد که ریشه های آن حد و مرز را مشخص می کند. او الگوریتمی ابداع کرد که مبنای حساب دیفرانسیل خواهد بود.او به سرعت حرکت کرد. او شرایط کافی برای وجود ماکزیمم ها را یافت، تعیین نقاط عطف را آموخت و مماس هایی را بر تمام منحنی های مرتبه دوم و سوم شناخته شده ترسیم کرد. چند سال دیگر، و او یک روش کاملا جبری جدید برای یافتن ربع برای سهمی ها و هذلولی های با نظم دلخواه (یعنی انتگرال های توابع شکل) پیدا می کند. y p = Cx qو y p x q = C، مساحت ها، حجم ها، گشتاورهای اینرسی اجسام چرخش را محاسبه می کند. این یک پیشرفت واقعی بود. فرما با احساس این موضوع شروع به جستجوی ارتباط با مقامات ریاضی آن زمان می کند. او اعتماد به نفس دارد و میل به شناسایی دارد.
در سال 1636، او اولین نامه خود را به کشیش مارین مرسن نوشت: «پدر مقدس! من از شما به خاطر افتخاری که به من نشان دادید بی نهایت سپاسگزارم. ...خیلی خوشحال خواهم شد که از شما در مورد تمام رساله ها و کتاب های جدیدی در ریاضیات که در طی پنج یا شش سال گذشته منتشر شده اند، یاد بگیرم. ...همچنین روشهای تحلیلی زیادی برای مسائل مختلف اعم از عددی و هندسی پیدا کرده ام که برای حل آنها تحلیل ویتا کافی نیست. من همه اینها را هر زمان که بخواهی و بدون هیچ غروری با تو در میان می گذارم که از هر کس دیگری در جهان از آن آزادتر و دورتر هستم.»
پدر مرسن کیست؟ این یک راهب فرانسیسکن، دانشمندی با استعدادهای متوسط و یک سازمان دهنده قابل توجه است که به مدت 30 سال ریاست دایره ریاضی پاریس را بر عهده داشت که به مرکز واقعی علم فرانسه تبدیل شد. متعاقباً، حلقه مرسن، با فرمان لویی چهاردهم، به آکادمی علوم پاریس تبدیل شد. مرسن به طور خستگی ناپذیر مکاتبات عظیمی را انجام داد و سلول او در صومعه Order of Minims در میدان سلطنتی نوعی «دفتر پست برای همه دانشمندان اروپا، از گالیله تا هابز» بود. سپس مکاتبات جایگزین مجلات علمی شد که خیلی دیرتر منتشر شد. جلسات در مرسن هر هفته برگزار می شد. هسته این دایره را درخشان ترین طبیعت گرایان آن زمان تشکیل می دادند: روبرت ویل، پاسکال پدر، دسارگ، میدورج، هاردی و البته دکارت معروف و شناخته شده جهانی. رنه دو پرون دکارت (کارتزیوس)، ردای اشراف، دو ملک خانوادگی، بنیانگذار دکارت، «پدر» هندسه تحلیلی، یکی از بنیانگذاران ریاضیات جدید، و همچنین دوست و همکار مرسن در کالج یسوعی. این مرد شگفت انگیز برای فرما تبدیل به یک کابوس خواهد شد.
مرسن نتایج فرما را به اندازه کافی جالب دید که استانی را به باشگاه نخبه خود معرفی کند. مزرعه بلافاصله مکاتبه با بسیاری از اعضای حلقه را آغاز کرد و به معنای واقعی کلمه با نامه های خود مرسن بمباران شد. علاوه بر این، او نسخه های خطی کامل شده را به قضاوت دانشمندان می فرستد: "معرفی مکان های مسطح و محکم" و یک سال بعد - "روش یافتن ماکزیمم و حداقل" و "پاسخ به سوالات B. Cavalieri". آنچه فرما بیان کرد کاملاً جدید بود، اما هیچ حسی وجود نداشت. معاصران نمی لرزیدند. آنها اندکی درک کردند، اما نشانه های روشنی یافتند که فرما ایده الگوریتم حداکثر سازی را از رساله یوهانس کپلر با عنوان سرگرم کننده "استریومتری جدید بشکه های شراب" وام گرفته است. در واقع، در استدلال کپلر عباراتی مانند "حجم یک رقم بیشتر است اگر در هر دو طرف مکان دارای بیشترین ارزش، کاهش در ابتدا غیر حساس باشد." اما ایده افزایش کوچک یک تابع در نزدیکی یک انتها اصلاً در هوا نبود. بهترین ذهن های تحلیلی آن زمان آماده دستکاری مقادیر کم نبودند. واقعیت این است که در آن زمان جبر نوعی حساب در نظر گرفته می شد، یعنی ریاضیات درجه دوم، ابزاری بدوی در دست، که برای نیازهای تمرین پایه توسعه یافته بود ("فقط بازرگانان خوب حساب می کنند"). سنت پیروی از روشهای اثبات هندسی خالص را تجویز می‌کرد که قدمت آن به ریاضیات باستانی بازمی‌گردد. فرما اولین کسی بود که متوجه شد که کمیت های بی نهایت کوچک را می توان اضافه و کاهش داد، اما نمایش آنها در قالب بخش ها بسیار دشوار است.
تقریباً یک قرن طول کشید تا ژان دالامبر در دایره المعارف معروف خود اعتراف کند: «فرما مخترع حساب جدید بود. با او است که ما اولین کاربرد دیفرانسیل ها را برای یافتن مماس ها پیدا می کنیم. در پایان قرن هجدهم، ژوزف لویی کنت دو لاگرانژ با وضوح بیشتری بیان کرد: «اما هندسه‌سنج‌ها - معاصران فرما - این نوع جدید حساب را درک نکردند. آنها فقط موارد خاص را می دیدند. و این اختراع که اندکی قبل از هندسه دکارت ظاهر شد، برای چهل سال بی نتیجه ماند. اشاره لاگرانژ به سال 1674 است، زمانی که سخنرانی های آیزاک بارو منتشر شد و روش فرما را به تفصیل پوشش می داد.
از جمله، به سرعت مشخص شد که فرما بیشتر مایل به تدوین مسائل جدید است تا حل مشکلات پیشنهادی کنتورها. در عصر دوئل ها، مبادله وظایف بین صاحب نظران به طور کلی به عنوان شکلی از روشن کردن مشکلات مرتبط با تبعیت پذیرفته شد. با این حال، فرما به وضوح محدودیت ها را نمی شناسد. هر یک از نامه های او چالشی است که شامل ده ها مشکل پیچیده حل نشده و در مورد غیرمنتظره ترین موضوعات است. در اینجا نمونه‌ای از سبک او (خطاب به فرنیکل دو بسی) آورده شده است: «آیتم، کوچک‌ترین مربعی که با کاهش 109 و اضافه کردن آن به یک مربع، مربع می‌شود، چیست؟ اگر جواب کلی را برای من ارسال نکردید، پس ضریب این دو عدد را برای من بفرستید که من آن را کوچک انتخاب کردم تا شما را زیاد گیج نکنم. پس از دریافت پاسخ شما، موارد دیگری را به شما پیشنهاد خواهم کرد. واضح است که پیشنهاد من مستلزم یافتن اعداد کامل است، زیرا در مورد اعداد کسری کمترین حساب‌شناس می‌تواند به هدف برسد.» فرما اغلب خود را تکرار می‌کرد، چندین بار سؤالات مشابهی را طرح‌ریزی می‌کرد، و آشکارا بلوف می‌زد و ادعا می‌کرد که راه‌حلی غیرمعمول برای مشکل پیشنهادی دارد. برخی از اشتباهات مستقیم نیز وجود داشت. برخی از آنها مورد توجه معاصران قرار گرفت و برخی اظهارات موذیانه خوانندگان را برای قرن ها گمراه کرد.
حلقه مرسن به اندازه کافی واکنش نشان داد. تنها روبرت ویل، تنها عضو حلقه که با اصل خود مشکل داشت، لحن دوستانه نامه ها را حفظ می کند. پدر مرسن، چوپان خوب، سعی کرد با «تولوز گستاخ» استدلال کند. اما فرما قصد ندارد بهانه بیاورد: «پدر بزرگوار! شما برای من می نویسید که طرح مشکلات غیرممکن من باعث خشم و سردی آقایان سنت مارتین و فرنیکل شد و این دلیل قطع نامه های آنها بود. با این حال، من می خواهم به آنها اعتراض کنم که آنچه در ابتدا غیرممکن به نظر می رسد واقعاً چنین نیست و مشکلات زیادی وجود دارد که همانطور که ارشمیدس گفت ...» و غیره.
با این حال، فرما ناصادق است. برای فرنیکلز بود که او مسئله یافتن مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح را که مساحت آن برابر مربع عدد صحیح است فرستاد. من آن را فرستادم، اگرچه می دانستم که مشکل به وضوح راه حلی ندارد.
دکارت خصمانه ترین موضع را نسبت به فرما اتخاذ کرد. در نامه او به مرسن از سال 1938 می خوانیم: "از آنجایی که فهمیدم این همان مردی است که قبلاً سعی کرده بود دیوپتریک من را رد کند و از آنجایی که شما به من اطلاع دادید که او این را پس از خواندن هندسه من ارسال کرده است." همین را بیاب، یعنی (همانطور که دلیلی برای تفسیر آن دارم) آن را فرستاده تا وارد رقابت شود و نشان دهد که او در این امر بیش از من می داند، و از آنجایی که حتی از نامه های تو، فهمیدم که او یک به عنوان یک هندسه دان بسیار آگاه شهرت دارم، پس خود را موظف می دانم که به او پاسخ دهم.» دکارت بعداً به طور جدی پاسخ خود را به عنوان "فرآیند کوچک ریاضیات در برابر آقای فرما" معرفی کرد.
به راحتی می توان فهمید که چه چیزی این دانشمند برجسته را عصبانی کرده است. اولاً، در استدلال فرما، محورهای مختصات و نمایش اعداد توسط بخش ها به طور مداوم ظاهر می شود - تکنیکی که دکارت به طور جامع در "هندسه" منتشر شده خود توسعه می دهد. فرما به این فکر می‌افتد که طراحی‌ها را با محاسبات کاملاً مستقل جایگزین کند؛ از برخی جهات او حتی از دکارت سازگارتر است. ثانیاً، فرما کارآمدی روش خود را در یافتن حداقل ها با استفاده از مثال مسئله کوتاه ترین مسیر پرتو نور، شفاف سازی و تکمیل دکارت با "دیوپتریک" خود به خوبی نشان می دهد.
شایستگی های دکارت به عنوان یک متفکر و مبتکر بسیار زیاد است، اما بیایید "دایره المعارف ریاضی" مدرن را باز کنیم و به فهرست اصطلاحات مرتبط با نام او نگاه کنیم: "مختصات دکارتی" (لایب نیتس، 1692)، "ورق دکارتی"، "دکارتی". بیضی». هیچ یک از استدلال های او به عنوان «قضیه دکارت» در تاریخ ثبت نشد. دکارت قبل از هر چیز یک ایدئولوژیست است: او بنیانگذار یک مکتب فلسفی است، او مفاهیم را شکل می دهد، سیستم نمادهای حروف را بهبود می بخشد، اما میراث خلاقانه او شامل چند تکنیک خاص جدید است. در مقابل، پیر فرما کم می نویسد، اما به هر دلیلی می تواند ترفندهای ریاضی مبتکرانه زیادی ارائه دهد (همچنین به «قضیه فرمات»، «اصل فرمت»، «روش فرود بی نهایت فرمت» مراجعه کنید). آنها احتمالاً به درستی به یکدیگر حسادت می کردند. برخورد اجتناب ناپذیر بود. با وساطت یسوعیان مرسن، جنگی در گرفت که دو سال به طول انجامید. با این حال، معلوم شد که مرسن درست در اینجا قبل از تاریخ بوده است: نبرد شدید دو تایتان، به بیان ملایم، مجادلات شدید آنها به درک مفاهیم کلیدی تحلیل ریاضی کمک کرد.
فرما اولین کسی است که علاقه خود را به بحث از دست می دهد. ظاهراً او مستقیماً خود را برای دکارت توضیح داد و دیگر هرگز حریف خود را توهین نکرد. فرما در یکی از آخرین آثارش، «سنتز برای شکست»، که نسخه خطی آن را برای دولا چامبر فرستاد، «دانش‌ترین دکارت» را به یاد می‌آورد و به هر طریق ممکن بر اولویت خود در مسائل اپتیک تأکید می‌کند. در همین حال، این دست نوشته حاوی شرحی از "اصل فرمات" معروف بود که توضیحی جامع از قوانین بازتاب و شکست نور ارائه می دهد. سر زدن به دکارت در کارهایی در این سطح کاملاً غیر ضروری بود.
چی شد؟ چرا فرما با کنار گذاشتن غرورش به سمت آشتی رفت؟ با خواندن نامه های فرما در آن سال ها (1638 - 1640)، می توان ساده ترین چیز را فرض کرد: در این دوره علایق علمی او به طور چشمگیری تغییر کرد. او سیکلوئید مد روز را رها می کند، دیگر به مماس ها و نواحی علاقه مند نیست و برای 20 سال روش خود را برای یافتن حداکثر فراموش می کند. فرما با داشتن شایستگی های فراوان در ریاضیات پیوسته، کاملاً خود را در ریاضیات گسسته غوطه ور کرد و نقاشی های هندسی نفرت انگیز را برای مخالفان خود به جا گذاشت. اعداد به علاقه جدید او تبدیل می شوند. در واقع، کل «نظریه اعداد» به عنوان یک رشته ریاضی مستقل، تولد خود را کاملاً مدیون زندگی و کار فرما است.
<…>پس از مرگ فرما، پسرش ساموئل در سال 1670 نسخه‌ای از "حساب" متعلق به پدرش را تحت عنوان "شش کتاب حساب دیوفانتوس اسکندریه با نظرات L. G. Bachet و سخنان P. de Fermat، سناتور تولوز" منتشر کرد. این کتاب همچنین شامل برخی از نامه‌های دکارت و متن کامل اثر ژاک دو بیگلی «کشف جدید در هنر تحلیل» بود که بر اساس نامه‌های فرما نوشته شده بود. انتشار موفقیتی باورنکردنی بود. دنیای روشن بی سابقه ای در برابر متخصصان شگفت زده گشوده شد. غیرمنتظره بودن، و مهمتر از همه در دسترس بودن، دموکراسی نتایج نظری اعداد فرما باعث تقلیدهای زیادی شد. در آن زمان، افراد کمی درک می کردند که مساحت سهمی چگونه محاسبه می شود، اما هر دانش آموزی می توانست فرمول آخرین قضیه فرما را درک کند. یک شکار واقعی برای نامه های ناشناخته و گم شده این دانشمند آغاز شد. تا پایان قرن هفدهم. هر کلمه ای که از او پیدا شد منتشر و بازنشر شد. اما تاریخ پرتلاطم توسعه ایده های فرما تازه شروع شده بود.
برای اعداد صحیح n بزرگتر از 2، معادله x n + y n = z n هیچ جواب غیر صفر در اعداد طبیعی ندارد.
احتمالاً از دوران مدرسه خود به یاد دارید قضیه فیثاغورس: مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساق. همچنین ممکن است مثلث قائم الزاویه کلاسیک با ضلع هایی که طول آنها به نسبت 3: 4: 5 است را به خاطر بیاورید. برای آن، قضیه فیثاغورث به این صورت است:
این مثالی از حل معادله فیثاغورث تعمیم یافته در اعداد صحیح غیر صفر با n= 2. آخرین قضیه فرما (همچنین "آخرین قضیه فرمت" و "آخرین قضیه فرمت" نیز نامیده می شود) عبارتی است که برای مقادیر n> 2 معادله فرم x n + y n = z nهیچ جواب غیر صفر در اعداد طبیعی ندارند.
تاریخچه آخرین قضیه فرما بسیار جالب و آموزنده است و نه تنها برای ریاضیدانان. پیر دو فرما به توسعه زمینه های مختلف ریاضیات کمک کرد، اما بخش اصلی میراث علمی او تنها پس از مرگ منتشر شد. واقعیت این است که ریاضیات برای فرما چیزی شبیه به یک سرگرمی بود و نه یک شغل حرفه ای. او با ریاضیدانان برجسته زمان خود مکاتبه داشت، اما برای انتشار آثار خود تلاشی نکرد. نوشته های علمی فرما عمدتاً به صورت مکاتبات خصوصی و یادداشت های تکه تکه شده است که اغلب در حاشیه کتاب های مختلف نوشته شده است. در حاشیه است (جلد دوم «حساب» یونان باستان دیوفانت. - توجه داشته باشید مترجم) بلافاصله پس از مرگ ریاضیدان، فرزندان صورت بندی قضیه معروف و پس نوشته را کشف کردند:
« من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این موضوع پیدا کردم، اما این زمینه ها برای آن بسیار باریک هستند».
افسوس، ظاهراً فرما هرگز به خود زحمت نداد که "اثبات معجزه آسایی" را که پیدا کرده بود بنویسد و فرزندان بیش از سه قرن در جستجوی آن ناموفق بودند. از میان تمام میراث علمی پراکنده فرما، که حاوی اظهارات شگفت انگیز بسیاری است، این قضیه بزرگ بود که سرسختانه از حل شدن خودداری کرد.
هر کس تلاش کرده است آخرین قضیه فرما را اثبات کند، بیهوده است! یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ فرانسوی، رنه دکارت (1596-1650)، فرما را "فخرفروش" نامید، و ریاضیدان انگلیسی جان والیس (1616-1703) او را "فرانسوی لعنتی" نامید. با این حال، خود فرما هنوز اثباتی از قضیه خود را برای این مورد به جا گذاشته است n= 4. با اثبات برای n= 3 توسط ریاضیدان بزرگ سوئیسی-روسی قرن 18، لئونارد اویلر (1707-1707) حل شد، پس از آن، قادر به یافتن شواهدی برای n> 4، به شوخی پیشنهاد کرد که خانه فرما برای یافتن کلید شواهد گمشده جستجو شود. در قرن نوزدهم، روشهای جدید در تئوری اعداد، این امکان را برای بسیاری از اعداد صحیح در 200، اما نه برای همه، فراهم کرد.
در سال 1908 جایزه ای به مبلغ 100000 مارک آلمان برای حل این مشکل تعیین شد. صندوق جایزه توسط صنعتگر آلمانی پل ولفسکهل به ارث رسیده بود که طبق افسانه ها قصد خودکشی داشت، اما آنقدر تحت تأثیر آخرین قضیه فرما قرار گرفت که نظر خود را در مورد مرگ تغییر داد. با ظهور ماشین آلات و سپس کامپیوترها، نوار ارزش افزوده شد nشروع به افزایش و بالاتر رفتن کرد - در آغاز جنگ جهانی دوم به 617 نفر، در سال 1954 به 4001 و در سال 1976 به 125000 نفر رسید. در پایان قرن بیستم، قوی‌ترین رایانه‌ها در آزمایشگاه‌های نظامی در لوس آلاموس (نیومکزیکو، ایالات متحده آمریکا) برای حل مشکل فرما در پس‌زمینه برنامه‌ریزی شدند (شبیه به حالت محافظ صفحه نمایش رایانه شخصی). بنابراین، می توان نشان داد که این قضیه برای مقادیر فوق العاده بزرگ صادق است x، y، zو n، اما این نمی تواند به عنوان یک اثبات دقیق عمل کند، زیرا هر یک از مقادیر زیر nیا سه گانه اعداد طبیعی می توانند این قضیه را به عنوان یک کل رد کنند.
سرانجام، در سال 1994، ریاضیدان انگلیسی اندرو جان وایلز (متولد 1953) که در پرینستون کار می کرد، اثباتی از آخرین قضیه فرما منتشر کرد که پس از برخی اصلاحات، جامع تلقی شد. این اثبات بیش از صد صفحه مجله طول کشید و مبتنی بر استفاده از دستگاه مدرن ریاضیات عالی بود که در دوره فرما توسعه نیافته بود. پس منظور فرما از گذاشتن پیامی در حاشیه کتاب مبنی بر اینکه مدرک را پیدا کرده است، چه بوده است؟ اکثر ریاضیدانانی که با آنها در مورد این موضوع صحبت کردم، خاطرنشان کردند که در طول قرن ها، بیش از حد کافی اثبات نادرست آخرین قضیه فرما وجود داشته است، و به احتمال زیاد، خود فرما نیز اثبات مشابهی پیدا کرده است، اما نتوانسته این خطا را تشخیص دهد. در آن با این حال، این امکان وجود دارد که هنوز شواهد کوتاه و ظریفی برای آخرین قضیه فرما وجود داشته باشد که هنوز کسی آن را پیدا نکرده است. فقط یک چیز را می توان با قاطعیت گفت: امروز ما به یقین می دانیم که این قضیه درست است. فکر می‌کنم اکثر ریاضیدانان بدون قید و شرط با اندرو وایلز موافق هستند، که در مورد اثبات خود اظهار داشت: «الان بالاخره ذهن من در آرامش است».
فایل FERMA-KDVar © N. M. Koziy، 2008
گواهینامه اوکراین به شماره 27312
اثبات مختصر آخرین قضیه فرمت
آخرین قضیه فرما به صورت زیر فرموله شده است: معادله دیوفانتین (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
آ n + ب n = سی n * /1/
جایی که n- عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد آ , ب ، با .
اثبات
از فرمول آخرین قضیه فرما چنین می شود: اگر nیک عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو است، پس به شرطی که دو عدد از سه عدد باشد آ , که دریا با- اعداد صحیح مثبت، یکی از این اعداد عدد صحیح مثبت نیست.
ما برهان را بر اساس قضیه اساسی حساب می‌سازیم که به آن «قضیه عامل‌سازی منحصربه‌فرد» یا «قضیه یکتایی عامل‌سازی اعداد صحیح مرکب» می‌گویند. نماهای فرد و زوج ممکن است n . بیایید هر دو مورد را در نظر بگیریم.
1. مورد اول: توان n - عدد فرد.
در این حالت، عبارت /1/ طبق فرمول های شناخته شده به صورت زیر تبدیل می شود:
آ n + که در n = با n /2/
ما معتقدیم که آو ب- اعداد صحیح مثبت
شماره آ , که درو باباید متقابلا اعداد اول باشند.
از معادله /2/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد آو بعامل ( آ + ب ) n , با.
بیایید این عدد را فرض کنیم با -عدد صحیح مثبت. با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط باید رعایت شود. :
با n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/
عامل کجاست Dn D
از معادله /3/ چنین می شود:
از معادله /3/ نیز به دست می آید که عدد [ Cn = A n + Bn ] مشروط بر اینکه شماره با ( آ + ب ) n. با این حال، مشخص است که:
A n + Bn < ( آ + ب ) n /5/
از این رو:
- عدد کسری کوچکتر از یک /6/
یک عدد کسری
n
برای نماهای فرد n >2 عدد:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
از تحلیل معادله /2/ چنین بر می آید که برای یک توان فرد nعدد:
با n = آ n + که در n = (A+B)
از دو عامل جبری خاص و برای هر مقدار توان تشکیل شده است nعامل جبری بدون تغییر باقی می ماند ( آ + ب ).
بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت برای نماهای فرد ندارد. n >2.
2. مورد دوم: توان n - عدد زوج .
اگر معادله /1/ را به صورت زیر بازنویسی کنیم، ماهیت آخرین قضیه فرما تغییر نمی کند:
A n = Cn - Bn /7/
در این حالت معادله /7/ به صورت زیر تبدیل می شود:
A n = C n - B n = ( با +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
ما این را قبول داریم باو که در- تمام اعداد.
از معادله /8/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد بو سیعامل (C+ ب ) برای هر مقدار توان یک مقدار دارد n , بنابراین مقسوم علیه عدد است آ .
بیایید این عدد را فرض کنیم آ- یک عدد صحیح با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط باید رعایت شود. :
آ n = سی n - Bn =(C+ ب ) n ∙ Dn , / 9/
عامل کجاست Dnباید یک عدد صحیح و بنابراین عدد باشد Dهمچنین باید یک عدد صحیح باشد.
از معادله /9/ چنین می شود:
/10/
از معادله /9/ نیز به دست می آید که عدد [ آ n = با n - Bn ] مشروط بر اینکه شماره آ- یک عدد صحیح، باید بر یک عدد بخش پذیر باشد (C+ ب ) n. با این حال، مشخص است که:
با n - Bn < (С+ ب ) n /11/
از این رو:
- عدد کسری کوچکتر از یک /12/
یک عدد کسری
نتیجه این است که برای یک مقدار فرد از توان nمعادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
برای شارحان حتی n >2 عدد:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت و برای نماهای زوج ندارد n >2.
نتیجه کلی از مطالب بالا به دست می آید: معادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد. الف، بو بامشروط بر اینکه توان n>2 باشد.
دلیل اضافی
در موردی که توان n – عدد زوج، عبارت جبری ( Cn - Bn ) به عوامل جبری تجزیه می شود:
C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/
C 4 - B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2)؛/14/
C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
ج 8 - ب 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
بیایید به صورت اعداد مثال بزنیم.
مثال 1: B=11; C=35.
سی 2 – ب 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
سی 4 – ب 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
سی 6 – ب 6 = (2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
سی 8 – ب 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .
مثال 2: B=16; C=25.
سی 2 – ب 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
سی 4 – ب 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;
سی 6 – ب 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
سی 8 – ب 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
از تجزیه و تحلیل معادلات /13/، /14/، /15/ و /16/ و مثال های عددی مربوطه به دست می آید:
برای یک توان معین n , اگر عدد زوج باشد، عدد آ n = سی n - Bnبه تعداد مشخصی از عوامل جبری کاملاً تعریف شده تجزیه می شود.
برای هر توانمندی n , اگر عدد زوج باشد، در عبارت جبری ( Cn - Bn ) همیشه چند برابر وجود دارد ( سی - ب ) و ( سی + ب ) ;
هر عامل جبری مربوط به یک عامل عددی کاملاً مشخص است.
برای اعداد داده شده که درو باعوامل عددی می توانند اعداد اول یا ضرایب عددی مرکب باشند.
هر ضریب عددی مرکب حاصل ضرب اعداد اولی است که به طور جزئی یا کامل از سایر عوامل عددی مرکب غایب هستند.
اندازه اعداد اول در ترکیب عوامل عددی مرکب با افزایش این عوامل افزایش می یابد.
بزرگترین ضریب عددی مرکب مربوط به بزرگترین ضریب جبری شامل بزرگترین عدد اول به توانی کمتر از توان است. n(اغلب در درجه اول).
نتیجه گیری: شواهد اضافی این نتیجه را تایید می کند که آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
مهندس مکانیک
پیر فرما با خواندن «حساب» دیوفانتوس اسکندریه و تأمل در مسائل آن، عادت داشت نتایج تأملات خود را در قالب نظراتی کوتاه در حاشیه کتاب بنویسد. فرما در برابر هشتمین مسئله دیوفانتوس در حاشیه کتاب نوشته است: برعکس، غیرممکن است که یک مکعب را به دو مکعب، یا یک دوتایی را به دو دوتایی، و به طور کلی، هیچ توانی بزرگتر از یک مربع را به دو توان با توان یکسان، تجزیه کنیم. من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این موضوع کشف کرده ام، اما این زمینه ها برای آن بسیار باریک است» / E.T. بل "خالقان ریاضیات". م.، 1358، ص69/. من یک اثبات ابتدایی قضیه فرما را به شما جلب می کنم که هر دانش آموز دبیرستانی که به ریاضیات علاقه دارد می تواند آن را درک کند.
اجازه دهید تفسیر فرما در مورد مسئله دیوفانتوس را با فرمول مدرن آخرین قضیه فرما که به شکل معادله است مقایسه کنیم.
« معادله
x n + y n = z n(که در آن n یک عدد صحیح بزرگتر از دو است)
هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد»
نظر در ارتباط منطقی با تکلیف است، مشابه ارتباط منطقی محمول با موضوع. آنچه توسط مشکل دیوفانتوس بیان شده است، برعکس، توسط تفسیر فرما تأیید شده است.
نظر فرما را می توان اینگونه تفسیر کرد: اگر یک معادله درجه دوم با سه مجهول دارای بی نهایت جواب در مجموعه همه سه گانه اعداد فیثاغورثی باشد، برعکس، معادله ای با سه مجهول به توانی بزرگتر از مربع است.
در معادله ارتباط آن با مسئله دیوفانتوس حتی اشاره ای وجود ندارد. گفته او نیاز به اثبات دارد، اما هیچ شرطی وجود ندارد که از آن نتیجه بگیرد که هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
گزینه های اثبات معادله ای که برای من شناخته شده است به الگوریتم زیر خلاصه می شود.
- معادله قضیه فرما به عنوان نتیجه گیری در نظر گرفته شده است که صحت آن از طریق اثبات تأیید می شود.
- همین معادله نامیده می شود اصلیمعادله ای که اثبات آن باید از آن نتیجه بگیرد.
در نتیجه یک توتولوژی شکل گرفت: اگر معادله ای هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت نداشته باشد، پس هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد.«برهان توتولوژی بدیهی است که نادرست و بی معناست. اما با تناقض ثابت می شود.
- فرضی برعکس آن چیزی است که معادله بیان می کند و نیاز به اثبات دارد. نباید با معادله اصلی مغایرت داشته باشد، اما دارد. اثبات چیزی که بدون دلیل پذیرفته می شود و آنچه نیاز به اثبات دارد بدون دلیل پذیرفتن معنا ندارد.
- بر اساس فرض پذیرفته شده، عملیات و اقدامات ریاضی کاملاً صحیح برای اثبات مغایرت و نادرست بودن معادله اصلی انجام می شود.
بنابراین، برای 370 سال، اثبات معادله آخرین قضیه فرما برای متخصصان و علاقه مندان به ریاضیات رویایی غیرقابل تحقق باقی مانده است.
من معادله را نتیجه قضیه و هشتمین مسئله دیوفانتوس و معادله آن را شرط قضیه در نظر گرفتم.
«اگر معادله x 2 + y 2 = z 2
(1) دارای تعداد بی نهایت جواب در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی است، سپس، برعکس، معادله x n + y n = z n
، جایی که n > 2
(2) هیچ راه حلی در مجموعه اعداد صحیح مثبت ندارد.
اثبات
آ)همه می دانند که معادله (1) دارای بی نهایت جواب در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی است. اجازه دهید ثابت کنیم که هیچ سه برابری از اعداد فیثاغورثی که راه حل معادله (1) باشد، جواب معادله (2) نیست.
بر اساس قانون برگشت پذیری برابری، اضلاع معادله (1) را با هم عوض می کنیم. اعداد فیثاغورثی (z، x، y) را می توان به عنوان طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و مربع ها تفسیر کرد (x 2، y 2، z 2) را می توان به عنوان مساحت مربع های ساخته شده بر روی هیپوتونوس و پاهای آن تعبیر کرد.
اجازه دهید مساحت مربع های معادله (1) را در ارتفاع دلخواه ضرب کنیم ساعت :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
معادله (3) را می توان به عنوان برابری حجم یک متوازی الاضلاع به مجموع حجم دو متوازی الاضلاع تفسیر کرد.
ارتفاع سه متوازی الاضلاع را بگذارید h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
حجم مکعب به دو حجم دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود. حجم مکعب را بدون تغییر می گذاریم و ارتفاع اولین متوازی الاضلاع را کاهش می دهیم. ایکس و ارتفاع متوازی الاضلاع دوم را کاهش دهید y . حجم یک مکعب بزرگتر از مجموع حجم دو مکعب است:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
در مجموعه سه گانه اعداد فیثاغورثی ( x، y، z ) در n=3 هیچ راه حلی برای معادله (2) وجود ندارد. در نتیجه، بر روی مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی، تجزیه یک مکعب به دو مکعب غیرممکن است.
در رابطه (3) ارتفاع سه متوازی الاضلاع را در نظر بگیرید h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
حجم یک متوازی الاضلاع به مجموع حجم های دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود.
سمت چپ معادله (6) را بدون تغییر می گذاریم. در سمت راست آن ارتفاع z 2
کاهش به ایکس
در ترم اول و قبل از آن در 2
در ترم دوم
معادله (6) تبدیل به نابرابری شد:
حجم متوازی الاضلاع به دو حجم دو متوازی الاضلاع تجزیه می شود.
سمت چپ معادله (8) را بدون تغییر می گذاریم.
در سمت راست ارتفاع zn-2
کاهش به xn-2
در ترم اول و کاهش به y n-2
در ترم دوم معادله (8) به نابرابری تبدیل می شود:
| z n > x n + y n | (9) |
در مجموعه سه گانه اعداد فیثاغورثی نمی توان یک راه حل واحد برای معادله (2) وجود داشت.
در نتیجه، در مجموعه تمام سه گانه اعداد فیثاغورثی برای همه n > 2 معادله (2) هیچ راه حلی ندارد.
یک "اثبات واقعاً معجزه آسا" به دست آمده است، اما فقط برای سه قلوها اعداد فیثاغورثی. این هست فقدان شواهدو دلیل امتناع پی فرما از او.
ب)اجازه دهید ثابت کنیم که معادله (2) هیچ راه حلی بر روی مجموعه سه گانه اعداد غیر فیثاغورثی ندارد، که نشان دهنده خانواده ای از یک سه گانه دلخواه از اعداد فیثاغورثی است. z = 13، x = 12، y = 5 و خانواده ای از یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت z = 21، x = 19، y = 16
هر دو سه قلو از اعضای خانواده خود هستند:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
تعداد اعضای خانواده (10) و (11) برابر است با نصف حاصلضرب 13 در 12 و 21 در 20 یعنی 78 و 210.
هر یک از اعضای خانواده (10) شامل z = 13 و متغیرها ایکس و در 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
هر یک از اعضای خانواده (11) شامل z = 21 و متغیرها ایکس و در ، که مقادیر صحیح را می گیرند 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . متغیرها به طور متوالی کاهش می یابند 1 .
سه گانه اعداد دنباله (10) و (11) را می توان به عنوان دنباله ای از نابرابری های درجه سوم نشان داد:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
و به صورت نابرابری های درجه چهارم:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
صحت هر نابرابری با بالا بردن اعداد به توان های سوم و چهارم تأیید می شود.
یک مکعب با عدد بزرگتر را نمی توان به دو مکعب با اعداد کوچکتر تجزیه کرد. یا کوچکتر یا بزرگتر از مجموع مکعبهای دو عدد کوچکتر است.
دو ربع یک عدد بزرگتر را نمی توان به دو ربع اعداد کوچکتر تجزیه کرد. یا کوچکتر یا بزرگتر از مجموع دو مربع اعداد کوچکتر است.
با افزایش توان، همه نابرابری ها، به جز نابرابری شدید سمت چپ، معنی یکسانی دارند:
معنی همه آنها یکسان است: توان عدد بزرگتر از مجموع توان دو عدد کوچکتر با توان یکسان بیشتر است:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;… 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
عبارت افراطی سمت چپ دنباله های (12) (13) ضعیف ترین نابرابری را نشان می دهد. صحت آن درستی همه نابرابری های بعدی دنباله (12) را تعیین می کند. n > 8 و دنباله (13) در n > 14 .
نمی تواند برابری بین آنها باشد. سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت (21،19،16) راه حلی برای معادله (2) آخرین قضیه فرما نیست. اگر یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت راه حلی برای معادله نباشد، در این صورت معادله هیچ راه حلی روی مجموعه اعداد صحیح مثبت ندارد، این همان چیزی است که باید ثابت شود.
با)تفسیر فرما در مورد مشکل دیوفانتوس بیان می کند که تجزیه غیرممکن است. به طور کلی، هیچ توانی بزرگتر از یک مربع، دو توان با توان یکسان نیست».
بوسهدرجه بزرگتر از مربع را نمی توان واقعاً به دو درجه با توان یکسان تجزیه کرد. بدون بوسهدرجه بزرگتر از مربع را می توان به دو توان با توان یکسان تجزیه کرد.
هر سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت (z، x، y) ممکن است متعلق به خانواده ای باشد که هر یک از اعضای آن از یک عدد ثابت تشکیل شده است z و دو عدد کوچکتر z . هر یک از اعضای خانواده را می توان به شکل یک نابرابری نشان داد و همه نابرابری های حاصل را می توان به شکل دنباله ای از نابرابری ها نشان داد:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
دنباله نابرابری ها (14) با نابرابری هایی شروع می شود که ضلع چپ آن ها کوچکتر از سمت راست است و با نابرابری هایی که سمت راست آن ها کوچکتر از سمت چپ است، پایان می یابد. با افزایش ضریب n > 2 تعداد نابرابری های سمت راست دنباله (14) افزایش می یابد. با توان n = k همه نابرابری های سمت چپ دنباله معنای خود را تغییر می دهند و معنای نامساوی سمت راست نامساوی های دنباله را به خود می گیرند (14). در نتیجه افزایش توان همه نابرابری ها، سمت چپ بزرگتر از سمت راست می شود:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
با افزایش بیشتر در توان n>k هیچ یک از نابرابری ها معنای خود را تغییر نمی دهد و به برابری تبدیل نمی شود. بر این اساس، می توان استدلال کرد که هر سه اعداد صحیح مثبت به طور دلخواه انتخاب شده است (z، x، y) در n > 2 , z > x , z > y
در یک سه گانه از اعداد صحیح مثبت که خودسرانه انتخاب شده اند z می تواند یک عدد طبیعی دلخواه بزرگ باشد. برای تمام اعداد طبیعی که بزرگتر از z ، آخرین قضیه فرما ثابت شده است.
د)مهم نیست که عدد چقدر زیاد است z ، در سری طبیعی اعداد یک مجموعه بزرگ اما متناهی از اعداد صحیح قبل از آن و بعد از آن یک مجموعه نامتناهی از اعداد صحیح وجود دارد.
اجازه دهید ثابت کنیم که کل مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی بزرگ است z ، سه عدد از اعداد را تشکیل دهید که جواب معادله آخرین قضیه فرما نیستند، برای مثال، یک سه گانه دلخواه از اعداد صحیح مثبت (z + 1، x، y) ، که در آن z + 1 > x و z + 1 > y برای تمام مقادیر توان n > 2 راه حلی برای معادله آخرین قضیه فرما نیست.
سه گانه از اعداد صحیح مثبت به طور تصادفی انتخاب شده است (z + 1، x، y) ممکن است به خانواده ای از اعداد سه گانه تعلق داشته باشد که هر عضو از یک عدد ثابت تشکیل شده است z+1 و دو عدد ایکس و در ، با گرفتن مقادیر مختلف، کوچکتر z+1 . اعضای خانواده را می توان به شکل نابرابری هایی نشان داد که در آن سمت چپ ثابت کوچکتر یا بزرگتر از سمت راست است. نابرابری ها را می توان به صورت دنباله ای از نامساوی ها مرتب کرد:
با افزایش بیشتر در توان n>k تا بی نهایت، هیچ یک از نابرابری های دنباله (17) معنای آن را تغییر نمی دهد و به برابری تبدیل نمی شود. در دنباله (16)، نابرابری از یک سه اعداد صحیح مثبت به طور دلخواه انتخاب شده است. (z + 1، x، y) ، می تواند در سمت راست آن در فرم قرار گیرد (z + 1) n > x n + y n یا در سمت چپ آن در فرم باشد (z+1)n< x n + y n .
در هر صورت سه گانه اعداد صحیح مثبت (z + 1، x، y) در n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y در دنباله (16) نشان دهنده یک نابرابری است و نمی تواند یک برابری را نشان دهد، یعنی نمی تواند حل معادله آخرین قضیه فرما را نشان دهد.
درک منشأ دنباله نابرابری های توان (16) آسان و ساده است، که در آن آخرین نابرابری در سمت چپ و اولین نابرابری در سمت راست نابرابری هایی با معنای مخالف هستند. برعکس، درک اینکه چگونه دنباله ای از نابرابری ها (16) از دنباله ای از نابرابری ها (17) که در آن همه نابرابری ها معنی یکسانی دارند، برای دانش آموزان، دانش آموزان دبیرستانی و دبیرستانی آسان و دشوار نیست. .
در دنباله (16)، افزایش درجه صحیح نابرابری ها به میزان 1 واحد، آخرین نابرابری سمت چپ را به اولین نامساوی حس مخالف در سمت راست تبدیل می کند. بنابراین، تعداد نابرابری های سمت چپ دنباله کاهش می یابد و تعداد نابرابری های سمت راست افزایش می یابد. بین آخرین و اولین نابرابری قدرت به معنای مخالف لزوماً یک برابری قدرت وجود دارد. درجه آن نمی تواند یک عدد صحیح باشد، زیرا فقط اعداد غیر صحیح بین دو عدد طبیعی متوالی قرار دارند. برابری توان یک درجه غیر صحیح را با توجه به شرایط قضیه نمی توان راه حل معادله (1) در نظر گرفت.
اگر در دنباله (16) به افزایش درجه 1 واحد ادامه دهیم، آخرین نابرابری سمت چپ آن به اولین نامساوی معنای مخالف سمت راست تبدیل می شود. در نتیجه هیچ نابرابری سمت چپ وجود نخواهد داشت و فقط نابرابری های سمت راست باقی می ماند که دنباله ای از افزایش نابرابری های قدرت خواهد بود (17). افزایش بیشتر در توان اعداد صحیح آنها به اندازه 1 واحد فقط نابرابری های توان آن را تقویت می کند و امکان برابری در توان عدد صحیح را به طور قطعی منتفی می کند.
در نتیجه، به طور کلی، هیچ عدد صحیحی از یک عدد طبیعی (z+1) از دنباله نابرابری های توان (17) را نمی توان به دو توان صحیح با توان یکسان تجزیه کرد. بنابراین، معادله (1) هیچ راه حلی روی مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی ندارد، این همان چیزی است که باید ثابت شود.
در نتیجه، آخرین قضیه فرما به طور کامل ثابت می شود:
- در بخش A) برای همه سه قلوها (z، x، y) اعداد فیثاغورثی (کشف فرمت واقعاً یک مدرک شگفت انگیز است)
- در بخش ب) برای همه اعضای خانواده هر سه گانه (z، x، y) اعداد فیثاغورثی،
- در بخش ج) برای تمام سه گانه اعداد (z، x، y) ، تعداد زیادی نیست z
- در بخش D) برای تمام سه گانه اعداد (z، x، y) سری طبیعی اعداد
|
تغییرات در 09/05/2010 |
کدام قضایا را می توان و نمی توان با تناقض اثبات کرد؟
فرهنگ لغت توضیحی اصطلاحات ریاضی، اثبات را با تضاد یک قضیه، برعکس قضیه معکوس، تعریف می کند.
«اثبات با تناقض روشی برای اثبات یک قضیه (گزاره) است که شامل اثبات خود قضیه نیست، بلکه قضیه معادل (معادل) آن است. اثبات با تناقض زمانی استفاده می شود که اثبات قضیه مستقیم دشوار باشد، اما اثبات قضیه مخالف آسانتر است. در اثبات با نقیض، نتیجه قضیه با نفی آن جایگزین می شود و از طریق استدلال به نفی شروط می رسد، یعنی. به یک تناقض، به عکس (برعکس آنچه داده شده است؛ این کاهش به پوچ قضیه را اثبات می کند).
اثبات با تناقض اغلب در ریاضیات استفاده می شود. اثبات تناقض مبتنی بر قانون وسط منتفی است که عبارت است از این که از دو گزاره الف و الف (نفی الف) یکی درست و دیگری نادرست است./فرهنگ توضیحی اصطلاحات ریاضی: راهنمای معلمان/O. V. Manturov [و غیره]; ویرایش شده توسط V. A. Ditkina.- M.: آموزش و پرورش، 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.
بهتر نیست آشکارا اعلام کنیم که روش اثبات با تناقض یک روش ریاضی نیست، اگرچه در ریاضیات استفاده می شود، اما روشی منطقی و متعلق به منطق است. آیا قابل قبول است که بگوییم اثبات با تناقض «هرگاه اثبات یک قضیه مستقیم دشوار باشد» استفاده می‌شود، در حالی که در واقع زمانی استفاده می‌شود که و تنها زمانی که جایگزینی وجود نداشته باشد.
توصیف رابطه قضایای مستقیم و معکوس با یکدیگر نیز شایسته توجه ویژه است. «قضیه معکوس برای یک قضیه مفروض (یا به یک قضیه معین) قضیه ای است که در آن شرط نتیجه است و نتیجه شرط قضیه مفروض است. این قضیه در رابطه با قضیه معکوس را قضیه مستقیم (اصلی) می گویند. در عین حال، قضیه معکوس به قضیه معکوس، قضیه داده شده خواهد بود; بنابراین، قضایای مستقیم و معکوس متقابل معکوس نامیده می شوند. اگر قضیه مستقیم (داده شده) صادق باشد، آنگاه قضیه معکوس همیشه صادق نیست. به عنوان مثال، اگر یک چهار ضلعی لوزی باشد، قطرهای آن متقابلاً عمود هستند (قضیه مستقیم). اگر در یک چهارضلعی مورب ها متقابل بر هم عمود باشند، آنگاه چهارضلعی لوزی است - این نادرست است، یعنی قضیه برعکس نادرست است./فرهنگ توضیحی اصطلاحات ریاضی: راهنمای معلمان/O. V. Manturov [و غیره]; ویرایش شده توسط V. A. Ditkina.- M.: آموزش و پرورش، 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.
این ویژگی رابطه بین قضایای مستقیم و معکوس این نکته را در نظر نمی گیرد که شرط قضیه مستقیم بدون اثبات پذیرفته شده است، بنابراین صحت آن تضمین نمی شود. شرط قضیه معکوس به عنوان داده شده پذیرفته نمی شود، زیرا نتیجه قضیه مستقیم ثابت شده است. صحت آن با اثبات قضیه مستقیم تأیید می شود. این تفاوت منطقی ذاتی در شرایط قضایای مستقیم و معکوس در این مسئله که کدام قضایا را می توان و نمی توان با روش منطقی با تضاد اثبات کرد، تعیین کننده است.
فرض کنید یک قضیه مستقیم در ذهن وجود دارد که می توان آن را با استفاده از روش معمول ریاضی اثبات کرد، اما دشوار است. به طور کلی و مختصر آن را به صورت زیر بیان می کنیم: از جانب آباید E . سمبل آ معنای شرط داده شده قضیه را دارد که بدون دلیل پذیرفته شده است. سمبل E آنچه مهم است نتیجه گیری قضیه است که نیاز به اثبات دارد.
ما قضیه مستقیم را با تناقض اثبات خواهیم کرد، منطقیروش. از روش منطقی برای اثبات قضیه ای استفاده می شود که دارد ریاضی نیستشرایط، و منطقیوضعیت. می توان آن را در صورتی به دست آورد که شرط ریاضی قضیه باشد از جانب آباید E ، مکمل با شرایط کاملا مخالف از جانب آانجامش نده E .
نتیجه یک شرط منطقی متناقض قضیه جدید بود که شامل دو بخش است: از جانب آباید E و از جانب آانجامش نده E . شرط حاصل از قضیه جدید مطابق با قانون منطقی وسط منتفی است و مطابق با اثبات قضیه با تضاد است.
طبق قانون یک قسمت از شرط معارض نادرست و قسمت دیگر صادق و سوم منتفی است. ثبوت با تناقض وظیفه و هدف دارد که دقیقاً مشخص کند کدام قسمت از دو جزء شرط قضیه نادرست است. پس از مشخص شدن قسمت نادرست شرط، قسمت دیگر به عنوان جزء واقعی تعیین می شود و سومی حذف می شود.
طبق فرهنگ لغت توضیحی اصطلاحات ریاضی، «برهان استدلالی است که طی آن صدق یا نادرستی هر گزاره (حکم، گزاره، قضیه) ثابت می‌شود».. اثبات با تناقضاستدلالی وجود دارد که طی آن ثابت می شود دروغ(بیهودگی) نتیجه گیری ناشی از نادرستشرایط قضیه برای اثبات
داده شده: از جانب آباید Eو از آانجامش نده E .
ثابت كردن: از جانب آباید E .
اثبات: شرط منطقی قضیه حاوی تناقضی است که حل آن را می طلبد. تناقض شرط باید حل خود را در اثبات و نتیجه آن پیدا کند. نتیجه با استدلال بی نقص و بدون خطا نادرست است. دلیل نتیجه گیری نادرست در استدلال منطقی صحیح فقط می تواند یک شرط متناقض باشد: از جانب آباید E و از جانب آانجامش نده E .
در نادرست بودن یک جزء شرط و صحت بخشی دیگر در این مورد، هیچ شبهه ای وجود ندارد. هر دو جزء شرط دارای منشأ یکسانی هستند، به عنوان داده پذیرفته می شوند، فرض می شوند، به یک اندازه ممکن، به یک اندازه قابل پذیرش هستند، و غیره. در جریان استدلال منطقی، هیچ ویژگی منطقی واحدی کشف نشد که بخشی از شرط را از دیگری متمایز کند. . بنابراین، به همان میزان ممکن است از جانب آباید E و شاید از جانب آانجامش نده E . بیانیه از جانب آباید E شاید نادرست، سپس بیانیه از جانب آانجامش نده E درست خواهد بود. بیانیه از جانب آانجامش نده E ممکن است نادرست باشد، پس این بیانیه از جانب آباید E درست خواهد بود.
در نتیجه، اثبات یک قضیه مستقیم با تناقض غیرممکن است.
اکنون همین قضیه مستقیم را با استفاده از روش معمول ریاضی اثبات خواهیم کرد.
داده شده: آ .
ثابت كردن: از جانب آباید E .
اثبات
1. از جانب آباید ب
2. از جانب بباید که در (طبق قضیه اثبات شده قبلی)).
3. از جانب که درباید جی (طبق قضیه اثبات شده قبلی).
4. از جانب جیباید D (طبق قضیه اثبات شده قبلی).
5. از جانب Dباید E (طبق قضیه اثبات شده قبلی).
بر اساس قانون گذر، از جانب آباید E . قضیه مستقیم با روش معمول اثبات می شود.
بگذارید قضیه مستقیم ثابت شده یک قضیه معکوس صحیح داشته باشد: از جانب Eباید آ .
بیایید با معمول ثابت کنیم ریاضیروش. اثبات قضیه معکوس را می توان به صورت نمادین به عنوان الگوریتمی از عملیات ریاضی بیان کرد.
داده شده: E
ثابت كردن: از جانب Eباید آ .
اثبات
1. از جانب Eباید D
2. از جانب Dباید جی (طبق قضیه معکوس که قبلا ثابت شده بود).
3. از جانب جیباید که در (طبق قضیه معکوس که قبلا ثابت شده بود).
4. از جانب که درانجامش نده ب (قضیه معکوس درست نیست). از همین رو از جانب بانجامش نده آ .
در این وضعیت، ادامه اثبات ریاضی قضیه معکوس معنی ندارد. دلیل این وضعیت منطقی است. یک قضیه معکوس نادرست را نمی توان با چیزی جایگزین کرد. بنابراین، اثبات این قضیه معکوس با استفاده از روش معمول ریاضی غیرممکن است. تمام امید این است که این قضیه معکوس را با تناقض اثبات کنیم.
برای اثبات آن با تناقض، لازم است شرط ریاضی آن را با یک شرط متناقض منطقی جایگزین کرد که در معنای خود شامل دو قسمت است - نادرست و صادق.
قضیه مکالمهایالت ها: از جانب Eانجامش نده آ . وضعیت او E ، که از آن نتیجه گیری می شود آ ، حاصل اثبات قضیه مستقیم با استفاده از روش معمول ریاضی است. این شرط باید حفظ شود و با بیانیه تکمیل شود از جانب Eباید آ . در نتیجه جمع، شرط متناقض قضیه معکوس جدید را به دست می آوریم: از جانب Eباید آ و از جانب Eانجامش نده آ . بر این اساس منطقیشرط متناقض، قضیه معکوس را می توان با استفاده از صحیح اثبات کرد منطقیفقط استدلال، و فقط، منطقیروش بر اساس تناقض در اثبات تناقض، هر کنش و عملیات ریاضی تابع اقدامات منطقی است و بنابراین به حساب نمی آید.
در قسمت اول بیانیه متناقض از جانب Eباید آ وضعیت E با اثبات قضیه مستقیم ثابت شد. در قسمت دوم از جانب Eانجامش نده آ وضعیت E بدون دلیل فرض شد و پذیرفته شد. یکی از آنها نادرست است و دیگری صادق است. شما باید ثابت کنید که کدام یک نادرست است.
ما آن را از طریق درست ثابت می کنیم منطقیاستدلال کنید و کشف کنید که نتیجه آن یک نتیجه گیری نادرست و پوچ است. دلیل نتیجه گیری منطقی نادرست، شرط منطقی متناقض قضیه است که شامل دو بخش است - نادرست و درست. قسمت نادرست فقط می تواند یک بیانیه باشد از جانب Eانجامش نده آ ، که در آن E بدون مدرک پذیرفته شد این چیزی است که آن را متفاوت می کند E بیانیه از جانب Eباید آ ، که با اثبات قضیه مستقیم ثابت می شود.
بنابراین، این گفته صادق است: از جانب Eباید آ ، چیزی بود که باید ثابت می شد.
نتیجه: با روش منطقی فقط قضیه معکوس با نقیض ثابت می شود که یک قضیه مستقیم دارد که با روش ریاضی ثابت شده و با روش ریاضی قابل اثبات نیست.
نتیجه به دست آمده در رابطه با روش اثبات با تضاد قضیه بزرگ فرما اهمیت استثنایی پیدا می کند. اکثریت قریب به اتفاق تلاش ها برای اثبات آن بر اساس روش معمول ریاضی نیست، بلکه بر اساس روش منطقی اثبات از طریق تضاد است. اثبات آخرین قضیه فرما توسط وایلز نیز از این قاعده مستثنی نیست.
دیمیتری ابراروف، در مقاله «قضیه فرمت: پدیده اثبات وایلز»، تفسیری بر اثبات آخرین قضیه فرما توسط ویلز منتشر کرد. به گفته ابراروف، وایلز آخرین قضیه فرما را با کمک یک کشف قابل توجه توسط ریاضیدان آلمانی گرهارد فری (متولد 1944) که حل بالقوه معادله فرما را مرتبط کرد، اثبات می کند. x n + y n = z n
، جایی که n > 2
، با یک معادله کاملاً متفاوت دیگر. این معادله جدید توسط یک منحنی خاص (به نام منحنی بیضوی فری) به دست می آید. منحنی فری با یک معادله بسیار ساده به دست می آید:
.
این فری بود که با هر تصمیمی مقایسه می کرد (الف، ب، ج)معادله فرما، یعنی اعدادی که رابطه را برآورده می کنند a n + b n = c n، منحنی فوق. در این مورد، آخرین قضیه فرما دنبال خواهد شد.(نقل از: ابراروف دی. «قضیه فرمت: پدیده برهان های وایلز»)
به عبارت دیگر گرهارد فری معادله آخرین قضیه فرما را پیشنهاد کرد x n + y n = z n
، جایی که n > 2
، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است. همین جواب‌ها، طبق فرض فری، راه‌حل‌هایی برای معادله او هستند
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
که با منحنی بیضوی آن به دست می آید.
اندرو وایلز این کشف قابل توجه فری را پذیرفت و با کمک آن، ریاضیروش ثابت کرد که این یافته، یعنی منحنی بیضوی فری، وجود ندارد. بنابراین هیچ معادله ای و جواب های آن که توسط یک منحنی بیضوی غیروجود داده می شود وجود ندارد، بنابراین وایلز باید این نتیجه را می پذیرفت که هیچ معادله ای از قضیه آخر فرما و خود قضیه فرما وجود ندارد. با این حال، او نتیجه ساده‌تری را می‌پذیرد که معادله آخرین قضیه فرما هیچ راه‌حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
یک واقعیت غیرقابل انکار ممکن است این باشد که وایلز فرضی را پذیرفت که دقیقاً برعکس آن چیزی است که توسط قضیه بزرگ فرما بیان شده است. وایلز را موظف می کند که آخرین قضیه فرما را با تناقض اثبات کند. بیایید از او الگو بگیریم و ببینیم از این مثال چه می آید.
آخرین قضیه فرما بیان می کند که معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
بر اساس روش منطقی اثبات با تناقض، این گزاره حفظ می شود، بدون دلیل پذیرفته می شود و سپس با یک گزاره مخالف تکمیل می شود: معادله. x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است.
گزاره فرضی نیز بدون دلیل پذیرفته شده است. هر دو گزاره، از منظر قوانین اساسی منطق، به یک اندازه معتبر، به یک اندازه معتبر و به یک اندازه امکان پذیر هستند. از طریق استدلال صحیح، باید مشخص شود که کدام یک نادرست است تا سپس مشخص شود که گزاره دیگر صادق است.
استدلال صحیح به نتیجه‌ای نادرست و پوچ ختم می‌شود، دلیل منطقی آن فقط می‌تواند شرط متناقض قضیه اثبات‌شده باشد، که شامل دو بخش با معنای مستقیماً متضاد است. آنها دلیل منطقی برای نتیجه گیری پوچ، نتیجه اثبات با تناقض بودند.
با این حال، در طول استدلال منطقی صحیح، هیچ نشانه واحدی کشف نشد که با آن بتوان تشخیص داد که کدام عبارت خاص نادرست است. این می تواند یک عبارت باشد: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، دارای راه حل در اعداد صحیح مثبت است. بر همین اساس، می تواند عبارت زیر باشد: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.
در نتیجه استدلال، تنها یک نتیجه می تواند وجود داشته باشد: آخرین قضیه فرما را نمی توان با تناقض اثبات کرد.
اگر آخرین قضیه فرما یک قضیه معکوس باشد که یک قضیه مستقیم با روش معمول ریاضی اثبات شده است، موضوع کاملاً متفاوت خواهد بود. در این صورت با تناقض قابل اثبات است. و از آنجایی که این یک قضیه مستقیم است، اثبات آن باید نه بر اساس روش منطقی اثبات با تناقض، بلکه بر اساس روش ریاضی معمولی باشد.
به گفته D. Abrarov، مشهورترین ریاضیدان مدرن روسی، آکادمیسین V. I. Arnold، به اثبات وایلز "به طور فعال با شک و تردید" واکنش نشان داد. این آکادمیک اظهار داشت: "این ریاضیات واقعی نیست - ریاضیات واقعی هندسی است و پیوندهای قوی با فیزیک دارد." اثبات غیر ریاضی وایلز آخرین قضیه فرما.
با تضاد نمی توان ثابت کرد که معادله آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی ندارد و یا اینکه دارای راه حل است. اشتباه وایلز ریاضی نیست، بلکه منطقی است - استفاده از اثبات با تناقض در جایی که استفاده از آن معنا ندارد و قضیه بزرگ فرما ثابت نمی کند.
آخرین قضیه فرما حتی با استفاده از روش معمول ریاضی نیز قابل اثبات نیست اگر معادله را به دست دهد. x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد و اگر بخواهید در آن ثابت کنید: معادله x n + y n = z n ، جایی که n > 2 ، هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد. در این شکل یک قضیه نیست، بلکه توتولوژی خالی از معنا وجود دارد.
توجه داشته باشید.اثبات BTF من در یکی از انجمن ها مورد بحث قرار گرفت. یکی از شرکت کنندگان تروتیل، متخصص در تئوری اعداد، بیانیه معتبر زیر را بیان کرد: "بازگویی کوتاه از آنچه میرگورودسکی انجام داد." من آن را کلمه به کلمه نقل می کنم:
« آ. او ثابت کرد که اگر z 2 = x 2 + y ، آن z n > x n + y n . این یک واقعیت شناخته شده و کاملاً آشکار است.
که در. او دو سه گانه گرفت - فیثاغورثی و غیر فیثاغورثی و با جستجوی ساده نشان داد که برای یک خانواده خاص و خاص از سه گانه (78 و 210 قطعه) BTF راضی است (و فقط برای آن).
با. و سپس نویسنده این واقعیت را که از < تا حدی بعد ممکن است معلوم شود = ، نه فقط > . یک مثال ساده - انتقال n=1 V n=2 در سه گانه فیثاغورثی
D. این نکته به اثبات BTF کمک نمی کند. نتیجه: BTF ثابت نشده است.
نتیجه گیری او را نقطه به نقطه بررسی خواهم کرد.
آ. BTF را برای کل مجموعه بی نهایت سه گانه اعداد فیثاغورثی ثابت می کند. با یک روش هندسی ثابت شده است، که، همانطور که معتقدم، توسط من کشف نشد، بلکه دوباره کشف شد. و همانطور که من معتقدم توسط خود P. Fermat کشف شد. فرما ممکن است این را در ذهن داشته باشد که می‌نویسد:
من یک مدرک واقعاً شگفت انگیز برای این موضوع کشف کرده ام، اما این زمینه ها برای آن بسیار باریک است. این فرض من بر این اساس است که در مسئله دیوفانتین که فرما در حاشیه کتاب در برابر آن نوشته است، ما در مورد حل معادله دیوفانتین صحبت می کنیم که سه گانه اعداد فیثاغورثی هستند.
مجموعه نامتناهی از سه گانه اعداد فیثاغورثی راه حل های معادله دیوفات هستند و در قضیه فرما برعکس، هیچ یک از جواب ها نمی توانند راه حلی برای معادله قضیه فرما باشند. و اثبات واقعاً شگفت انگیز فرما مستقیماً با این واقعیت مرتبط است. فرما بعداً توانست قضیه خود را به مجموعه همه اعداد طبیعی بسط دهد. در مجموعه همه اعداد طبیعی، BTF به "مجموعه قضایای فوق العاده زیبا" تعلق ندارد. این فرض من است که نه قابل اثبات است و نه رد. می توان آن را پذیرفت یا رد کرد.
که در.در این مرحله، من ثابت می‌کنم که هم خانواده یک اعداد سه‌گانه فیثاغورثی و هم خانواده سه‌گانه اعداد BTF غیرفیثاغورثی راضی هستند. این یک پیوند ضروری، اما ناکافی و واسطه‌ای در اثبات BTF است. . مثال هایی که من از خانواده اعداد سه گانه فیثاغورثی و خانواده سه گانه اعداد غیر فیثاغورثی آوردم به معنای مثال های خاصی است که وجود نمونه های مشابه دیگر را پیش فرض می گیرد و منتفی نمی کند.
بیانیه تروتیل که من "با جستجوی ساده نشان دادم که برای یک خانواده خاص و خاص از سه قلوها (78 و 210 قطعه) BTF راضی است (و فقط برای آن) بی اساس است. او نمی تواند این واقعیت را رد کند که من به خوبی می توانم نمونه های دیگری از ثلاث فیثاغورثی و غیر فیثاغورثی را برای به دست آوردن یک خانواده معین از یک و سه گانه دیگر بیاورم.
هر جفت سه قلویی را که انتخاب کنم، بررسی مناسب بودن آنها برای حل مشکل، به نظر من، فقط با روش "شمارش ساده" قابل انجام است. من روش دیگری بلد نیستم و نیازی به آن ندارم. اگر تروتیل آن را دوست نداشت، پس باید روش دیگری را پیشنهاد می کرد که انجام نمی دهد. بدون ارائه چیزی در ازای آن، محکوم کردن «بیش از حد ساده» که در این مورد غیرقابل جایگزین است، نادرست است.
با.من حذف کرده ام = بین< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1) که در آن درجه n > 2 — کلعدد مثبت از تساوی بین نابرابری ها به دست می آید اجباریدر نظر گرفتن معادله (1) برای یک مقدار درجه غیر صحیح n > 2 . تروتیل، شمارش اجباریدر نظر گرفتن برابری بین نابرابری ها در واقع در نظر گرفته می شود لازم استدر اثبات BTF، در نظر گرفتن معادله (1) با کامل نیستارزش درجه n > 2 . من این کار را برای خودم انجام دادم و معادله (1) را با کامل نیستارزش درجه n > 2 حل سه عدد دارد: z، (z-1)، (z-1) برای یک توان غیر صحیح
