Määritelmä kohdassa.7. Pistettä x ∈ R reaaliviivalla kutsutaan sekvenssin (xn) rajapisteeksi, jos mille tahansa ympäristölle U(x) ja mille tahansa luonnolliselle luvulle N löytyy tähän naapurustoon kuuluva elementti xn, jonka luku on suurempi kuin λ eli x 6 R - rajapiste, jos. Toisin sanoen piste x on rajapiste arvolle (xn), jos tämän sekvenssin mielivaltaisen suurilukuiset elementit osuvat johonkin sen naapurustosta, vaikkakaan eivät ehkä kaikki alkiot, joiden numerot ovat n > N. Siksi seuraava väite on varsin ilmeistä. Lausunto b.b. Jos lim(xn) = 6 6 R, niin b on sekvenssin (xn) ainoa rajapiste. Todellakin, sekvenssin rajan määritelmän 6.3 perusteella kaikki sen alkiot jostain luvusta alkavat joutuvat mihin tahansa mielivaltaisen pieneen pisteen 6 ympäristöön, ja siksi elementit, joilla on mielivaltaisen suuria lukuja, eivät voi joutua minkään muun pisteen läheisyyteen. Näin ollen määritelmän 6.7 ehto täyttyy vain uniikin pisteen 6 osalta. Jokainen sekvenssin rajapiste (jota joskus kutsutaan hienoksi tiivistetyksi pisteeksi) ei kuitenkaan ole sen raja. Näin ollen sekvenssillä (b.b) ei ole rajaa (katso esimerkki 6.5), mutta sillä on kaksi rajapistettä x = 1 ja x = - 1. Jaksolla ((-1)n) on kaksi ääretöntä pistettä + oo ja - laajennettu numerorivi, jonka liitto on merkitty yhdellä symbolilla oo. Tästä syystä voidaan olettaa, että äärettömät rajapisteet yhtyvät, ja ääretön piste oo, (6.29) mukaan, on tämän sarjan raja. Järjestysnumerorivin rajapisteet Weierstrassin ja Cauchyn kriteerin todiste. Olkoon jono (sn) annettu ja muodostakoot luvut k kasvavan positiivisten kokonaislukujen sarjan. Sitten sarjaa (ynb jossa yn = xkn) kutsutaan alkuperäisen sekvenssin osajonoksi. On selvää, että jos (in):n rajana on luku 6, niin millä tahansa sen osajonoilla on sama raja, koska jostain luvusta alkaen, sekä alkuperäisen sekvenssin että minkä tahansa sen osasekvenssin kaikki elementit osuvat mihin tahansa valittuun pisteen 6 naapurustoon. Samanaikaisesti mikä tahansa osasekvenssin rajapiste on myös sekvenssin rajapiste. Olkoon b pisteen rajapiste. sekvenssi (xn), sitten määritelmän 6 mukaan. 7 rajapisteessä, jokaiselle n:lle on elementti, joka kuuluu säteen 1/n pisteen b naapurustoon U (6, 1/n). Pisteistä ijtj, ...1 ... koostuvan osajonon, jossa zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, rajana on piste 6. Todellakin mielivaltaiselle arvolle e > 0 voidaan valita N sellasta. Tällöin kaikki osajonon alkiot, alkaen numerosta km, putoavat pisteen 6 ^-naapuriin U(6, ε), mikä vastaa sekvenssin rajan määritelmän 6.3 ehtoa. Käänteinen lause on myös totta. Järjestysnumerorivin rajapisteet Weierstrassin ja Cauchyn kriteerin todiste. Lause 8.10. Jos jollakin sekvenssillä on osasekvenssi, jonka raja on 6, niin b on tämän sekvenssin rajapiste. Jakson rajan määritelmästä 6.3 seuraa, että jostain luvusta alkaen kaikki rajan b osajonon alkiot putoavat mielivaltaisen säteen e naapurustoon U(b, ​​​​e). Koska osajonon alkiot ovat samanaikaisesti sekvenssin elementtejä mielivaltaisen suuria lukuja, ja tämä tarkoittaa määritelmän 6.7 perusteella, että b on sekvenssin (n) rajapiste. Huomautus 0.2. Lauseet 6.9 ja 6.10 pätevät myös siinä tapauksessa, että rajapiste on ääretön, jos kuollutta naapurustoa U(6, 1 /n) todistettaessa tarkastellaan naapurustoa (tai lähialueita). sekvenssi muodostetaan seuraavalla lauseella Lause 6.11 (Bolzano - Weierstrass.) Jokainen rajoitettu sekvenssi sisältää osajonon, joka suppenee äärelliseen rajaan. Olkoot sekvenssin (an) kaikki elementit lukujen a ja 6 välissä, eli xn € [ a, b] Vn € N. Jaa jana [a , b] kahtia. Silloin ainakin yksi sen puoliskoista sisältää äärettömän määrän sekvenssin alkioita, koska muuten koko segmentti [a, b] sisältäisi äärellinen määrä niitä, mikä on mahdotonta. Olkoon ] janan [a , 6] puolikkaiden, joka sisältää äärettömän joukon jonon (xp) alkioita (tai jos molemmat puolikkaat ovat sellaisia, niin mikä tahansa niistä ). Jatkamalla tätä prosessia, rakennamme sisäkkäisten segmenttien järjestelmän, jossa bn - an = (6 - a)/2n. Sisäkkäisten segmenttien periaatteen mukaan on olemassa piste x, joka kuuluu kaikkiin näihin segmentteihin. Tämä piste tulee olemaan sekvenssin (xn) rajoituspiste. Itse asiassa missä tahansa pisteen x e-naapurustossa Wx, e) = (x x + e) ​​on jana C U(x, e) (it riittää valitsemaan n epäyhtälöstä (, joka sisältää äärettömän määrän sekvenssin (sn) alkioita. Määritelmän mukaan 6.7 x on tämän sarjan rajapiste. Sitten Lauseen 6.9 nojalla on olemassa osajono, joka suppenee pisteeseen x. Tämän lauseen todistuksessa käytetty päättelymenetelmä (jota joskus kutsutaan Bolzano-Weierstrass-lemmiksi) ja joka liittyy tarkasteltavien segmenttien peräkkäiseen puolittamiseen tunnetaan Bolzanon menetelmänä. Tämä lause yksinkertaistaa suuresti monien monimutkaisten lauseiden todistamista. Sen avulla voimme todistaa useita keskeisiä lauseita eri (joskus yksinkertaisemmalla) tavalla. Liite 6.2. Todiste Weierstrass-testistä ja Cauchyn kriteeristä Ensin todistetaan väite 6.1 (Weierstrassin testi rajoitetun monotonisen sekvenssin konvergenssille). Oletetaan, että jono (n) on ei-laskeva. Tällöin sen arvojen joukko on ylhäältä päin rajattu ja sillä on Lauseen 2.1 mukaan suurin supremmi, jonka sup(xn):lla merkitään R. Suurimman supremmin ominaisuuksista johtuen (katso 2.7) Määritelmän 6.1 mukaan ei-laskevalle sekvenssille meillä on or Then > Ny ja (6.34) huomioiden saadaan 31im(sn) ja lim(xn) = 66R. Jos sekvenssi (xn) on ei-kasvava, niin todistus on samanlainen. Siirrytään nyt Kochia-kriteerin riittävyyden todistamiseen jonon konvergenssille (ks. Väite 6.3), koska kriteerin ehdon välttämättömyys seuraa Lauseesta 6.7. Olkoon sekvenssi (sn) perustavanlaatuinen. Määritelmän 6.4 mukaan, kun annetaan mielivaltainen € > 0, voidaan löytää luku N(s) siten, että m^N ja n^N seuraavat. Sitten olettaen m - N, kun Vn > N saadaan € £ Koska tarkasteltavassa sekvenssissä on äärellinen määrä alkioita, joiden lukumäärä ei ylitä N:a, (6.35) seuraa, että perussekvenssi on rajoitettu (vertailua varten katso Todistus lauseesta 6.2 konvergentin sekvenssin rajallisuudesta ). Rajoitetun sekvenssin arvojoukolle on olemassa infimum- ja supremum-rajat (katso Lause 2.1). Elementtien arvojoukolle n > N merkitsemme näitä kasvoja an = inf xn ja bjy = sup xn, vastaavasti. N:n kasvaessa tarkka alaraja ei pienene, eikä tarkka yläraja kasva, ts. . saanko eloasennan järjestelmän? segmentit Sisäkkäisten segmenttien periaatteen mukaan on yhteinen piste, joka kuuluu kaikkiin segmentteihin. Merkitään se b:llä. Joten kun Vertailusta (6. 36) ja (6.37) tuloksena saadaan sekvenssirajan määritelmää 6.3 vastaava, ts. 31im(x„) ja lim(sn) = 6 6 R. Bolzano alkoi tutkia perussekvenssejä. Mutta hänellä ei ollut tiukkaa reaalilukuteoriaa, ja siksi hän ei pystynyt todistamaan perussekvenssin konvergenssia. Tämän teki Cauchy pitäen itsestäänselvyytenä sisäkkäisten segmenttien periaatetta, jonka Kantor myöhemmin perusteli. Cauchyn nimi ei annettu vain sekvenssin konvergenssin kriteeriksi, vaan myös perussekvenssiä kutsutaan usein Cauchyn sekvenssiksi ja Cantor-nimi on sisäkkäisten segmenttien periaate. Kysymyksiä ja tehtäviä 8.1. Todista, että: 6.2. Anna esimerkkejä ei-konvergenttisista sekvensseistä, joiden alkiot kuuluvat joukkoihin Q ja R\Q. 0.3. Missä olosuhteissa aritmeettisen ja geometrisen progression termit muodostavat pienenevän ja kasvavan sekvenssin? 6.4 Todista taulukosta seuraavat suhteet. 6.1. 6.5 Muodosta esimerkkejä jaksoista, jotka pyrkivät äärettömiin pisteisiin +oo, -oo, oo, ja esimerkki sekvenssistä, joka konvergoi pisteeseen 6 ∈ R. c.e. Voiko rajoittamaton sekvenssi olla b.b.? Jos kyllä, niin anna esimerkki. klo 7. Muodosta esimerkki divergentistä sekvenssistä, joka koostuu positiivisista elementeistä ja jolla ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa. 6.8 Todista rekursiivisen kaavan sn+i = sin(xn/2) antaman sekvenssin (n) konvergenssi ehdolla "1 = 1. 6.9. Todista, että lim(xn)=09, jos sn+i/xn-»g€ .

Jaa segmentti [ a 0 ,b 0 ] kahtia kahteen yhtä suureen osaan. Ainakin yksi tuloksena olevista segmenteistä sisältää äärettömän määrän termejä sekvenssissä. Merkitään se [ a 1 ,b 1 ] .

Seuraavassa vaiheessa toistamme menettelyn segmentillä [ a 1 ,b 1 ] : jaamme sen kahteen yhtä suureen segmenttiin ja valitsemme niistä sen, joka sisältää äärettömän määrän sekvenssin termejä. Merkitään se [ a 2 ,b 2 ] .

Jatkamalla prosessia, saamme sekvenssin sisäkkäisiä segmenttejä

jossa jokainen seuraava on puolet edellisestä ja sisältää äärettömän määrän sekvenssin jäseniä ( x k } .

Segmenttien pituudet ovat yleensä nolla:

Sisäkkäisten segmenttien Cauchy-Cantor-periaatteen ansiosta on yksi piste ξ, joka kuuluu kaikkiin segmentteihin:

Rakenteen mukaan jokaisessa segmentissä [a m ,b m ] jonossa on ääretön määrä termejä. Valitaan peräkkäin

tarkkaillen lisääntyvien lukujen ehtoa:

Sitten osajono konvergoi pisteeseen ξ. Tämä johtuu siitä, että etäisyys arvosta ξ ei ylitä ne sisältävän segmentin pituutta [a m ,b m ] , missä

Laajennus mielivaltaisen tilan tapaukseen

Bolzano-Weierstrassin lause on helppo yleistää mielivaltaisen ulottuvuuden avaruuteen.

Olkoon avaruuden pisteiden sarja:

(alempi indeksi on sekvenssin jäsenen numero, ylempi on koordinaattinumero). Jos avaruuden pisteiden sarja on rajoitettu, jokainen koordinaattien numeerinen sarja:

myös rajoitettu ( - koordinaattinumero).

Johtuen Bolzano-Weirstrassin lauseen yksiulotteisesta versiosta sekvenssistä ( x k) voimme valita pisteiden osajonon, joiden ensimmäiset koordinaatit muodostavat konvergentin sekvenssin. Tuloksena olevasta osajonosta valitsemme jälleen toisessa koordinaatissa konvergoivan osajonon. Tässä tapauksessa konvergenssi ensimmäisessä koordinaatissa säilyy johtuen siitä, että mikä tahansa suppenevan sekvenssin osasekvenssi myös konvergoi. Ja niin edelleen.

Jälkeen n vaiheet saamme jonkinlaisen sekvenssin

joka on osajono ja suppenee jokaisessa koordinaatissa. Tästä seuraa, että tämä osasarja konvergoi.

Tarina

Bolzano-Weierstrassin lause (tapaukseen n= 1) osoitti ensimmäisen kerran tšekkiläinen matemaatikko Bolzano vuonna 1817. Bolzanon työssä se esiintyi lemmana jatkuvan funktion väliarvoja koskevan lauseen todistuksessa, joka tunnetaan nykyään Bolzano-Cauchyn lauseena. Nämä ja muut tulokset, jotka Bolzano todisti kauan ennen Cauchya ja Weierstrassia, jäivät kuitenkin huomaamatta.

Vain puoli vuosisataa myöhemmin Weierstrass Bolzanosta riippumatta löysi uudelleen ja todisti tämän lauseen. Kutsuttiin alun perin Weierstrassin lauseeksi, ennen kuin Bolzanon teos tuli tunnetuksi ja sai tunnustusta.

Nykyään tämä lause kantaa Bolzanon ja Weierstrassin nimiä. Tätä lausetta kutsutaan usein Bolzano-Weierstrass lemma, ja joskus rajapisteen lemma.

Bolzano-Weierstrassin lause ja kompaktiuden käsite

Bolzano-Weierstrassin lause vahvistaa seuraavan mielenkiintoisen rajatun joukon ominaisuuden: mikä tahansa pistejono M sisältää konvergentin osajonon.

Erilaisia ​​väitteitä analyysissä todistettaessa turvaudutaan usein seuraavaan temppuun: määritetään pistejono, jolla on jokin haluttu ominaisuus, ja sitten valitaan siitä osajono, joka myös omistaa sen, mutta jo lähentyy. Esimerkiksi näin on todistettu Weierstrassin lause, että välissä jatkuva funktio on rajoitettu ja saa suurimman ja pienimmän arvonsa.

Tällaisen tekniikan tehokkuus yleisesti, samoin kuin halu laajentaa Weierstrassin lausetta mielivaltaisiin metrisiin avaruuteen, sai vuonna 1906 ranskalaisen matemaatikon Maurice Fréchet'n esittelemään käsitteen. tiiviys. Bolzano-Weierstrassin lauseella vahvistettu rajattujen joukkojen ominaisuus on kuvaannollisesti se, että joukon pisteet sijaitsevat melko "tiiviisti" tai "kompaktisti": kun olemme ottaneet äärettömän määrän askeleita pitkin tätä joukkoa, olemme tulee varmasti lähestymään niin lähelle kuin haluamme, jota - pistettä avaruudessa.

Fréchet esittelee seuraavan määritelmän: joukko M nimeltään kompakti, tai kompakti, jos jokin sen pisteiden sarja sisältää osajonon, joka suppenee johonkin tämän joukon pisteeseen. Oletuksena on, että kuvauksessa M metriikka on määritelty, eli se on