Olkoon järjestelmä annettu, ∆≠0. (yksi)
Gaussin menetelmä on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin.

Gaussin menetelmän ydin on muuttaa (1) systeemiksi, jossa on kolmiomatriisi, josta kaikkien tuntemattomien arvot saadaan sitten peräkkäin (käänteisesti). Tarkastellaan yhtä laskennallisista kaavioista. Tätä piiriä kutsutaan yksijakoiseksi piiriksi. Joten katsotaanpa tätä kaaviota. Olkoon 11 ≠0 (pääalkio) jakaa 11:llä ensimmäinen yhtälö. Saada
(2)
Yhtälön (2) avulla on helppo sulkea pois tuntematon x 1 järjestelmän jäljellä olevista yhtälöistä (tätä varten riittää, että jokaisesta yhtälöstä vähennetään yhtälö (2) alustavasti kertomalla vastaavalla kertoimella kohdassa x 1), eli , ensimmäisessä vaiheessa saamme
.
Toisin sanoen vaiheessa 1 seuraavien rivien jokainen elementti toisesta alkaen on yhtä suuri kuin erotus alkuperäisen elementin ja sen "projektion" tulon välillä ensimmäisessä sarakkeessa ja ensimmäisessä (muunnetussa) rivissä.
Tämän jälkeen, jättäen ensimmäisen yhtälön yksin, suoritamme samanlaisen muunnoksen ensimmäisessä vaiheessa saaduille järjestelmän jäljellä oleville yhtälöille: valitsemme niiden joukosta yhtälön, jossa on johtava alkio, ja käytämme sitä jättämään x 2 pois jäljellä olevista yhtälöistä. (vaihe 2).
N:n vaiheen jälkeen (1):n tilalle saadaan vastaava järjestelmä
(3)
Siten ensimmäisessä vaiheessa saamme kolmiojärjestelmän (3). Tätä vaihetta kutsutaan eteenpäin.
Toisessa vaiheessa (käänteinen liike) löydämme peräkkäin arvot x n , x n -1 , …, x 1 .
Merkitään saatu ratkaisu x 0 . Sitten ero ε=b-A x 0 kutsutaan jäännösarvoksi.
Jos ε=0, niin löydetty ratkaisu x 0 on oikea.

Gauss-menetelmän laskelmat suoritetaan kahdessa vaiheessa:

1. Ensimmäistä vaihetta kutsutaan menetelmän suoraksi kurssiksi. Ensimmäisessä vaiheessa alkuperäinen järjestelmä muunnetaan kolmion muotoiseksi.
2. Toista vaihetta kutsutaan käänteiseksi. Toisessa vaiheessa ratkaistaan ​​alkuperäistä vastaava kolmiojärjestelmä.

Kertoimia a 11 , a 22 , ... kutsutaan johtavaksi elementiksi.
Jokaisessa vaiheessa oletettiin, että johtava elementti on eri kuin nolla. Jos näin ei ole, mitä tahansa muuta elementtiä voidaan käyttää johtajana, ikään kuin järjestettäessä järjestelmän yhtälöitä.

Gaussin menetelmän tarkoitus

Gaussin menetelmä on tarkoitettu lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Viittaa suoriin ratkaisumenetelmiin.

Gaussin menetelmän tyypit

1. Klassinen Gaussin menetelmä;
2. Gaussin menetelmän muunnelmia. Yksi Gaussin menetelmän muunnelmista on piiri pääelementin valinnalla. Gaussin menetelmän ominaisuus pääelementin valinnassa on sellainen yhtälöiden permutaatio, että k:nnessä vaiheessa johtava alkio on k:nnen sarakkeen suurin alkio.
3. Jordan-Gaussin menetelmä;

Ero Jordan-Gaussin menetelmän ja klassisen menetelmän välillä Gaussin menetelmä koostuu suorakaidesäännön soveltamisesta, kun ratkaisun etsinnän suunta on päädiagonaalia pitkin (muunnos identiteettimatriisiin). Gaussin menetelmässä ratkaisun etsinnän suunta tapahtuu sarakkeita pitkin (muunnos kolmiomatriisilla systeemiksi).
Kuvaa ero Jordan-Gaussin menetelmä Gaussin menetelmästä esimerkeissä.

Esimerkki Gaussin ratkaisusta
Ratkaistaan ​​systeemi:

Laskelmien helpottamiseksi vaihdamme rivit:

Kerro toinen rivi arvolla (2). Lisää 3. rivi toiseen

Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisää 2. rivi ensimmäiseen

Ensimmäiseltä riviltä ilmaisemme x 3:
Toiselta riviltä ilmaisemme x 2:
Kolmannelta riviltä ilmaisemme x 1:

Esimerkki ratkaisusta Jordan-Gaussin menetelmällä
Ratkaisemme saman SLAE:n Jordano-Gaussin menetelmällä.

Valitsemme peräkkäin RE:n ratkaisevan elementin, joka sijaitsee matriisin päädiagonaalissa.
Aktivoiva elementti on yhtä suuri kuin (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - mahdollistava elementti (1), A ja B - matriisielementit, jotka muodostavat suorakulmion STE:n ja RE:n elementeistä.
Esitetään kunkin elementin laskelma taulukon muodossa:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Aktivoiva elementti on yhtä suuri kuin (3).
Ratkaisuelementin tilalle saamme 1, ja itse sarakkeeseen kirjoitamme nollia.
Kaikki muut matriisin elementit, mukaan lukien sarakkeen B elementit, määräytyvät suorakaidesäännön mukaan.
Voit tehdä tämän valitsemalla neljä numeroa, jotka sijaitsevat suorakulmion kärjessä ja sisältävät aina RE:n aktivointielementin.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Aktivointielementti on (-4).
Ratkaisuelementin tilalle saamme 1, ja itse sarakkeeseen kirjoitamme nollia.
Kaikki muut matriisin elementit, mukaan lukien sarakkeen B elementit, määräytyvät suorakaidesäännön mukaan.
Voit tehdä tämän valitsemalla neljä numeroa, jotka sijaitsevat suorakulmion kärjessä ja sisältävät aina RE:n aktivointielementin.
Esitetään kunkin elementin laskelma taulukon muodossa:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Vastaus: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gaussin menetelmän toteutus

Gauss-menetelmä on toteutettu monilla ohjelmointikielillä, erityisesti: Pascal, C ++, php, Delphi, ja Gauss-menetelmästä on myös online-toteutus.

Käyttämällä Gaussin menetelmää

Gaussin menetelmän soveltaminen peliteoriassa

Peliteoriassa pelaajan maksimioptimaalista strategiaa löydettäessä laaditaan yhtälöjärjestelmä, joka ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmän soveltaminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun

Jos haluat etsiä tiettyä ratkaisua differentiaaliyhtälöön, etsi ensin kirjoitetun tietyn ratkaisun (y=f(A,B,C,D)) vastaavan asteen derivaatat, jotka korvataan alkuperäisellä yhtälöllä. Lisäksi muuttujien A, B, C, D löytämiseksi laaditaan yhtälöjärjestelmä, joka ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä.

Jordano-Gaussin menetelmän soveltaminen lineaariseen ohjelmointiin

Lineaarisessa ohjelmoinnissa, erityisesti simpleksimenetelmässä, simpleksitaulukon muuntamiseen jokaisessa iteraatiossa käytetään suorakulmion sääntöä, joka käyttää Jordan-Gauss-menetelmää.

Annetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka on ratkaistava (etsi sellaiset tuntemattomien хi arvot, jotka muuttavat järjestelmän jokaisen yhtälön yhtälöksi).

Tiedämme, että lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Ei ratkaisuja (ol yhteensopimaton).
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.

Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Gaussin menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariyhtälöjärjestelmään, joka joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Menetelmän algoritmi toimii kaikissa kolmessa tapauksessa samalla tavalla. Jos Cramer- ja matriisimenetelmät edellyttävät determinanttien tuntemusta, niin Gaussin menetelmän soveltaminen edellyttää vain aritmeettisten operaatioiden tuntemusta, jolloin se on myös koululaisten käytettävissä. ala-aste.

Laajennetut matriisimuunnokset ( tämä on järjestelmän matriisi - matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista sekä vapaiden termien sarakkeesta) Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät Gaussin menetelmässä:

1) Kanssa troky matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa.

2) jos matriisissa on (tai on) suhteellisia (erikoistapauksena - identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta.

3) jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa.

4) matriisin rivi voi kertoa (jakaa) mihin tahansa muuhun numeroon kuin nollaan.

5) matriisin riville, voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta.

Gaussin menetelmässä alkeismuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua.

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta:

1. "Suora siirto" - käyttämällä alkeismuunnoksia, tuo lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennettu matriisi "kolmiomuotoiseen" porrastettuun muotoon: laajennetun matriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin alapuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla (ylhäältä alas liike ). Esimerkiksi tähän lajiin:

Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavat vaiheet:

1) Tarkastellaan lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja kerroin kohdassa x 1 on yhtä suuri kuin K. Toinen, kolmas jne. muunnamme yhtälöt seuraavasti: jaamme jokaisen yhtälön (tuntemattomien kertoimet mukaan lukien vapaat termit) tuntemattoman x 1:n kertoimella, joka on jokaisessa yhtälössä, ja kerromme K:lla. Sen jälkeen vähennämme ensimmäinen toisesta yhtälöstä ( tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet). Saamme kohdassa x 1 toisessa yhtälössä kertoimen 0. Kolmannesta muunnetusta yhtälöstä vähennämme ensimmäisen yhtälön, joten ennen kuin kaikilla yhtälöillä paitsi ensimmäistä, joiden x 1 on tuntematon, ei ole kerrointa 0.

2) Siirry seuraavaan yhtälöön. Olkoon tämä toinen yhtälö ja kerroin kohdassa x 2 on yhtä suuri kuin M. Kaikilla "alayhtälöillä" edetään edellä kuvatulla tavalla. Siten tuntemattoman x 2 "alla" kaikissa yhtälöissä on nollia.

3) Siirrymme seuraavaan yhtälöön ja niin edelleen, kunnes jäljellä on viimeinen tuntematon ja muunnettu vapaa termi.

1. Gaussin menetelmän "käänteinen liike" on saada ratkaisu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään ("alhaalta ylös" -liike). Viimeisestä "alemmasta" yhtälöstä saadaan yksi ensimmäinen ratkaisu - tuntematon x n. Tätä varten ratkaisemme perusyhtälön A * x n \u003d B. Yllä olevassa esimerkissä x 3 \u003d 4. Korvaamme löydetyn arvon "ylemmässä" seuraavassa yhtälössä ja ratkaisemme sen suhteessa seuraavaan tuntemattomaan. Esimerkiksi x 2 - 4 \u003d 1, ts. x 2 \u003d 5. Ja niin edelleen, kunnes löydämme kaikki tuntemattomat.

Esimerkki.

Ratkaisemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä, kuten jotkut kirjoittajat neuvovat:

Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tehdään näin:
1 askel . Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Jokainen, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisätoiminnon: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen etumerkkiä).

2 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

3 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

4 askelta . Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 2:lla.

5 askelta . Kolmas rivi on jaettu kolmella.

Laskelmavirheestä (harvemmin kirjoitusvirheestä) kertova merkki on "huono" tulos. Eli jos saamme alle jotain kuten (0 0 11 | 23) ja vastaavasti 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, niin suurella todennäköisyydellä voidaan sanoa, että alkeisopetuksen aikana tehtiin virhe. muunnoksia.

Suoritamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Muistutan sinua, että käänteinen liike toimii "alhaalta ylöspäin". Tässä esimerkissä lahja osoittautui:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, siis x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Vastaus:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 = 1.

Ratkaistaan ​​sama järjestelmä ehdotetulla algoritmilla. Saamme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jaa toinen yhtälö 5:llä ja kolmas 3:lla. Saamme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kerro toinen ja kolmas yhtälö 4:llä, saamme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta ja kolmannesta yhtälöstä, meillä on:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jaa kolmas yhtälö 0,64:llä:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kerro kolmas yhtälö 0,4:llä

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Vähennä toinen yhtälö kolmannesta yhtälöstä, saamme "porrastetun" lisätyn matriisin:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Näin ollen, koska laskuprosessissa kertyi virhe, saamme x 3 \u003d 0,96 tai noin 1.

x 2 \u003d 3 ja x 1 \u003d -1.

Ratkaisemalla tällä tavalla et koskaan hämmentyi laskelmissa ja laskuvirheistä huolimatta saat tuloksen.

Tämä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisumenetelmä on helposti ohjelmoitavissa eikä se ota huomioon tuntemattomien kertoimien erityispiirteitä, koska käytännössä (taloudellisissa ja teknisissä laskelmissa) on käsiteltävä ei-kokonaislukukertoimia.

Toivon sinulle menestystä! Nähdään luokassa! Opettaja Dmitri Aistrakhanov.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tänään käsittelemme Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu saman SLAE:n ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitaan vain huolellisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta kouluvalmistelu riittää sen soveltamiseen, tämän menetelmän hallitseminen aiheuttaa usein vaikeuksia opiskelijoille. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä on yleisin tapa ratkaista SLAE (lukuun ottamatta erittäin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsitelty, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu), ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - suorasta ja käänteisestä.

Suora Gaussin menetelmä

Ensin kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi. Tätä varten lisäämme päämatriisiin vapaan jäsenen sarakkeen.

Gaussin menetelmän koko olemus on pelkistää tämä matriisi porrastettuun (tai kuten sanotaan kolmiomaiseen) muotoon alkeismuunnosten avulla. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voidaan tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on identtisiä (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollaviivat poistetaan;
5. Voit lisätä merkkijonoon nollasta poikkeavalla luvulla kerrotun merkkijonon.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon xn tulee tunnetuksi, ja on mahdollista löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskuriin. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ratkaissut tietokoneohjelma, vaan omat aivosi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä, ja se on ratkaistava Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan lisätty matriisi:

Katsotaanpa nyt muunnoksia. Muista, että meidän on saavutettava matriisin kolmiomuoto. Kerro 1. rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen ja saadaan:

Kerro sitten 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro ensimmäinen rivi (6). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä saatetaan sopivaan muotoon. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa ratkaisua järjestelmiin, joissa on loputon joukko ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisimuunnokset, mutta sopivan harjoittelun jälkeen saat sen käsiisi ja napsaat Gaussin SLAE:tä kuin pähkinät. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLAU:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä kirjoittajiimme! voit jättää hakemuksen kirjeenvaihtoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä on menetelmä, joka perustuu determinanttien ( Cramerin sääntö). Sen etuna on, että sen avulla voit tallentaa ratkaisun välittömästi, se on erityisen kätevä tapauksissa, joissa järjestelmän kertoimet eivät ole numeroita, vaan jonkinlaisia ​​parametreja. Sen haittapuolena on laskutoimitusten vaikeus, kun yhtälöitä on paljon, ja lisäksi Cramerin sääntöä ei voida suoraan soveltaa järjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Tällaisissa tapauksissa sitä käytetään yleensä Gaussin menetelmä.

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaava. On selvää, että lineaarisen järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu, jos yhtälöitä vaihdetaan keskenään tai jos yksi yhtälöistä kerrotaan jollain nollasta poikkeavalla luvulla tai jos yhtälö lisätään toiseen.

Gaussin menetelmä (Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin) perustuu siihen, että alkeismuunnosten avulla järjestelmä pelkistetään vastaavaksi porrastetuksi järjestelmäksi. Ensinnäkin 1. yhtälön avulla x 1 kaikista järjestelmän myöhemmistä yhtälöistä. Sitten eliminoimme toisen yhtälön avulla x 2/3 ja kaikki sitä seuraavat yhtälöt. Tämä prosessi ns suora Gaussin menetelmä, jatkuu, kunnes vain yksi tuntematon on jäljellä viimeisen yhtälön vasemmalla puolella x n. Sen jälkeen se tehdään Gaussin käänteinen– ratkaisemme viimeisen yhtälön x n; sen jälkeen tätä arvoa käyttämällä laskemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 jne. Viimeksi löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä.

On kätevää suorittaa Gaussin muunnoksia tekemällä muunnoksia ei itse yhtälöillä, vaan niiden kertoimien matriiseilla. Harkitse matriisia:

nimeltään laajennettu matriisijärjestelmä, koska järjestelmän päämatriisin lisäksi se sisältää sarakkeen vapaita jäseniä. Gaussin menetelmä perustuu järjestelmän päämatriisin saattamiseen kolmiomuotoon (tai ei-neliömäisten järjestelmien tapauksessa puolisuunnikkaan muotoon) käyttämällä järjestelmän laajennetun matriisin perusrivimuunnoksia (!).

Esimerkki 5.1. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja ensimmäisen rivin avulla nollataan loput elementit:

saamme nollia ensimmäisen sarakkeen 2., 3. ja 4. riville:

Nyt kaikkien toisen sarakkeen 2. rivin alapuolella olevien elementtien on oltava nolla. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin -4/7:lla ja lisäämällä kolmanteen riviin. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, luomme yksikön toisen sarakkeen 2. riville ja vain

Nyt kolmiomatriisin saamiseksi sinun on nollattava kolmannen sarakkeen neljännen rivin elementti, jotta voit kertoa kolmannen rivin 8/54: llä ja lisätä sen neljänteen. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, vaihdamme 3. ja 4. rivin sekä 3. ja 4. sarakkeen, ja vasta sen jälkeen nollaamme määritetyn elementin. Huomaa, että kun sarakkeet järjestetään uudelleen, vastaavat muuttujat vaihtuvat, ja tämä on muistettava; muita perusmuunnoksia sarakkeilla (yhteenlasku ja kertominen luvulla) ei voida suorittaa!

Viimeinen yksinkertaistettu matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää, joka vastaa alkuperäistä:

Täältä, käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä kurssia, löydämme neljännestä yhtälöstä x 3 = -1; kolmannesta alkaen x 4 = -2, toisesta x 2 = 2 ja ensimmäisestä yhtälöstä x 1 = 1. Matriisimuodossa vastaus kirjoitetaan muodossa

Olemme tarkastelleet tapausta, jossa järjestelmä on määrätty, ts. kun on vain yksi ratkaisu. Katsotaan mitä tapahtuu, jos järjestelmä on epäjohdonmukainen tai epämääräinen.

Esimerkki 5.2. Tutustu järjestelmään Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän lisätyn matriisin

Kirjoitamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

Tässä viimeisessä yhtälössä kävi ilmi, että 0=4, ts. ristiriita. Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisua, ts. hän on yhteensopimaton. à

Esimerkki 5.3. Tutki ja ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Muutosten seurauksena viimeiselle riville saatiin vain nollia. Tämä tarkoittaa, että yhtälöiden määrä on vähentynyt yhdellä:

Näin ollen jäljelle jää kaksi yhtälöä yksinkertaistamisen jälkeen ja neljä tuntematonta, ts. kaksi tuntematonta "lisää". Olkoon "tarpeeton" tai, kuten sanotaan, vapaat muuttujat, tulee x 3 ja x neljä . Sitten

Olettaen x 3 = 2a ja x 4 = b, saamme x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; tai matriisimuodossa

Tällä tavalla kirjoitettua ratkaisua kutsutaan yleistä, koska antamalla parametrit a ja b eri arvoilla on mahdollista kuvata järjestelmän kaikki mahdolliset ratkaisut. a

Kahden lineaarisen yhtälöjärjestelmän sanotaan olevan ekvivalentti, jos niiden kaikkien ratkaisujen joukko on sama.

Yhtälöjärjestelmän alkeismuunnoksia ovat:

1. Poistaminen triviaaliyhtälöjärjestelmästä, ts. ne, joiden kaikki kertoimet ovat nolla;
2. Kerrotaan mikä tahansa yhtälö nollasta poikkeavalla luvulla;
3. Lisäys minkä tahansa j:nnen yhtälön i-yhtälöön kerrottuna millä tahansa luvulla.

Muuttujaa x i kutsutaan vapaaksi, jos tämä muuttuja ei ole sallittu, ja koko yhtälöjärjestelmä on sallittu.

Lause. Elementaariset muunnokset muuttavat yhtälöjärjestelmän ekvivalentiksi.

Gaussin menetelmän tarkoitus on muuttaa alkuperäinen yhtälöjärjestelmä ja saada vastaava sallittu tai vastaava epäjohdonmukainen järjestelmä.

Joten Gaussin menetelmä koostuu seuraavista vaiheista:

1. Harkitse ensimmäistä yhtälöä. Valitsemme ensimmäisen nollasta poikkeavan kertoimen ja jaamme koko yhtälön sillä. Saadaan yhtälö, jossa jokin muuttuja x i tulee kertoimella 1;
2. Vähennetään tämä yhtälö kaikista muista kertomalla se luvuilla siten, että muuttujan x i kertoimet jäljellä olevissa yhtälöissä asetetaan nollaan. Saamme järjestelmän, joka on ratkaistu muuttujan x i suhteen ja joka on ekvivalentti alkuperäisen kanssa;
3. Jos syntyy triviaaleja yhtälöitä (harvoin, mutta tapahtuu; esimerkiksi 0 = 0), poistamme ne järjestelmästä. Tämän seurauksena yhtälöistä tulee yksi vähemmän;
4. Toistamme edelliset vaiheet enintään n kertaa, missä n on yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä. Joka kerta kun valitsemme uuden muuttujan "käsittelyä varten". Jos syntyy ristiriitaisia ​​yhtälöitä (esimerkiksi 0 = 8), järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Seurauksena on, että muutaman askeleen jälkeen saamme joko sallitun järjestelmän (mahdollisesti vapailla muuttujilla) tai epäjohdonmukaisen. Sallitut järjestelmät jakautuvat kahteen tapaukseen:

1. Muuttujien määrä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Joten järjestelmä on määritelty;
2. Muuttujien määrä on suurempi kuin yhtälöiden määrä. Keräämme kaikki vapaat muuttujat oikealle - saamme kaavat sallituille muuttujille. Nämä kaavat on kirjoitettu vastauksessa.

Siinä kaikki! Lineaariyhtälöjärjestelmä on ratkaistu! Tämä on melko yksinkertainen algoritmi, ja sen hallitsemiseksi sinun ei tarvitse ottaa yhteyttä matematiikan ohjaajaan. Harkitse esimerkkiä:

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta ja kolmannesta - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Kerromme toisen yhtälön (-1) ja jaamme kolmannen yhtälön (-3) - saamme kaksi yhtälöä, joissa muuttuja x 2 tulee kertoimella 1;
3. Lisäämme toisen yhtälön ensimmäiseen ja vähennämme kolmannesta. Otetaan sallittu muuttuja x 2 ;
4. Lopuksi vähennämme kolmannen yhtälön ensimmäisestä - saamme sallitun muuttujan x 3 ;
5. Olemme saaneet valtuutetun järjestelmän, kirjoitamme vastauksen muistiin.

Lineaarisen yhtälön yhteisen järjestelmän yleinen ratkaisu on uusi, alkuperäistä vastaava järjestelmä, jossa kaikki sallitut muuttujat ilmaistaan ​​vapaina.

Milloin yleinen ratkaisu saattaa olla tarpeen? Jos sinun on otettava vähemmän vaiheita kuin k (k on kuinka monta yhtälöä yhteensä). Kuitenkin syyt siihen, miksi prosessi päättyy jossain vaiheessa l< k , может быть две:

1. L -nnen vaiheen jälkeen saamme järjestelmän, joka ei sisällä yhtälöä numerolla (l + 1). Itse asiassa tämä on hyvä, koska. ratkaistu järjestelmä vastaanotetaan joka tapauksessa - jopa muutama askel aikaisemmin.
2. Vaiheen l:nnen jälkeen saadaan yhtälö, jossa kaikki muuttujien kertoimet ovat nolla ja vapaa kerroin on eri kuin nolla. Tämä on epäjohdonmukainen yhtälö, ja siksi järjestelmä on epäjohdonmukainen.

On tärkeää ymmärtää, että epäjohdonmukaisen yhtälön esiintyminen Gaussin menetelmällä on riittävä syy epäjohdonmukaisuuteen. Samalla toteamme, että l -nnen vaiheen seurauksena triviaaleja yhtälöitä ei voi jäädä - ne kaikki poistetaan suoraan prosessissa.

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennä ensimmäinen yhtälö kertaa 4 toisesta. Ja lisää myös ensimmäinen yhtälö kolmanteen - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Vähennämme kolmannen yhtälön kerrottuna 2:lla toisesta - saamme ristiriitaisen yhtälön 0 = −5.

Joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska epäjohdonmukainen yhtälö on löydetty.

Tehtävä. Tutki yhteensopivuutta ja löydä järjestelmän yleinen ratkaisu:

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta (kahdella kertomisen jälkeen) ja kolmannesta - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Vähennä toinen yhtälö kolmannesta. Koska kaikki kertoimet näissä yhtälöissä ovat samat, kolmas yhtälö tulee triviaaliksi. Samalla kerromme toisen yhtälön arvolla (−1);
3. Vähennämme toisen yhtälön ensimmäisestä yhtälöstä - saamme sallitun muuttujan x 2. Myös koko yhtälöjärjestelmä on nyt ratkaistu;
4. Koska muuttujat x 3 ja x 4 ovat vapaita, siirrämme niitä oikealle ilmaisemaan sallitut muuttujat. Tämä on vastaus.

Järjestelmä on siis yhteinen ja määrittelemätön, koska sallittuja muuttujia on kaksi (x 1 ja x 2) ja kaksi vapaata (x 3 ja x 4).