Matemaattisen odotuksen käsitettä voidaan tarkastella käyttämällä nopanheiton esimerkkiä. Jokaisella heitolla pudotetut pisteet kirjataan. Niiden ilmaisemiseen käytetään luonnollisia arvoja välillä 1 - 6.

Tietyn määrän heitot jälkeen voit yksinkertaisilla laskelmilla löytää pudonneiden pisteiden aritmeettisen keskiarvon.

Sen lisäksi, että pudotetaan jokin alueen arvoista, tämä arvo on satunnainen.

Ja jos lisäät heittojen määrää useita kertoja? Suurella heittomäärällä pisteiden aritmeettinen keskiarvo lähestyy tiettyä lukua, jota todennäköisyysteoriassa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi.

Joten matemaattinen odotus ymmärretään satunnaismuuttujan keskiarvona. Tämä indikaattori voidaan esittää myös todennäköisten arvojen painotettuna summana.

Tällä käsitteellä on useita synonyymejä:

• tarkoittaa;
• keskiarvo;
• keskeinen trendin indikaattori;
• ensimmäinen hetki.

Toisin sanoen se ei ole muuta kuin luku, jonka ympärille satunnaismuuttujan arvot jakautuvat.

Ihmisen toiminnan eri aloilla lähestymistavat matemaattisten odotusten ymmärtämiseen ovat jonkin verran erilaisia.

Sitä voidaan tarkastella seuraavasti:

• päätöksen tekemisestä saatu keskimääräinen hyöty, jos päätöstä tarkastellaan suurten lukujen teorian näkökulmasta;
• mahdollinen voiton tai tappion määrä (uhkapeliteoria), joka lasketaan kunkin vedon keskiarvona. Slangissa ne kuulostavat "pelaajan edulta" (positiivinen pelaajalle) tai "kasinon etu" (negatiivinen pelaajalle);
• prosenttiosuus voitoista saadusta voitosta.

Matemaattinen odotus ei ole pakollinen ehdottoman kaikille satunnaismuuttujille. Se puuttuu niiltä, ​​joilla on poikkeama vastaavassa summassa tai integraalissa.

Odotusominaisuudet

Kuten kaikilla tilastollisilla parametreilla, matemaattisella odotuksella on seuraavat ominaisuudet:

Matemaattisen odotuksen peruskaavat

Matemaattisen odotuksen laskenta voidaan suorittaa sekä satunnaismuuttujille, joille on tunnusomaista sekä jatkuvuus (kaava A) että diskreettisyys (kaava B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, missä xi ovat satunnaismuuttujan arvot, pi ovat todennäköisyydet:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, missä f(x) on annettu todennäköisyystiheys.

Esimerkkejä matemaattisen odotuksen laskemisesta

Esimerkki A.

Onko mahdollista selvittää tonttujen keskimääräinen korkeus Lumikki-sadussa. Tiedetään, että jokaisella 7 tontulla oli tietty korkeus: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ja 0,81 m.

Laskenta-algoritmi on melko yksinkertainen:

• etsi kasvuindikaattorin (satunnaismuuttujan) kaikkien arvojen summa:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Saatu määrä jaetaan tonttujen lukumäärällä:
  6,31:7=0,90.

Näin ollen tonttujen keskikorkeus sadussa on 90 cm, eli tämä on matemaattinen odotus tonttujen kasvusta.

Käyttökaava - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matemaattisen odotuksen käytännön toteutus

Matemaattisen odotuksen tilastollisen indikaattorin laskemiseen turvaudutaan käytännön toiminnan eri aloilla. Ensinnäkin puhumme kaupallisesta alueesta. Todellakin, tämän indikaattorin käyttöönotto Huygensin toimesta liittyy todennäköisyyksien määrittämiseen, jotka voivat olla suotuisia tai päinvastoin epäsuotuisia jollekin tapahtumalle.

Tätä parametria käytetään laajalti riskien arvioinnissa, etenkin kun on kyse rahoitussijoituksista.
Joten liiketoiminnassa matemaattisten odotusten laskenta toimii riskinarviointimenetelmänä hintoja laskettaessa.

Tätä indikaattoria voidaan käyttää myös laskettaessa tiettyjen toimenpiteiden tehokkuutta, esimerkiksi työsuojelun alalla. Sen ansiosta voit laskea tapahtuman todennäköisyyden.

Toinen tämän parametrin sovellusalue on hallinta. Se voidaan laskea myös tuotteen laadunvalvonnan yhteydessä. Esimerkiksi maton käyttö. odotusten perusteella voit laskea valmistusvirheellisten osien mahdollisen määrän.

Matemaattinen odotus on välttämätön myös tieteellisen tutkimuksen aikana saatujen tulosten tilastollisessa käsittelyssä. Sen avulla voit myös laskea kokeen tai tutkimuksen halutun tai ei-toivotun tuloksen todennäköisyyden tavoitteen saavuttamisen tasosta riippuen. Loppujen lopuksi sen saavuttaminen voidaan yhdistää voittoon ja voittoon, ja sen saavuttamatta jättäminen - tappioksi tai tappioksi.

Matemaattisen odotuksen käyttäminen Forexissä

Tämän tilastollisen parametrin käytännön soveltaminen on mahdollista valuuttamarkkinoilla suoritettaessa liiketoimia. Sitä voidaan käyttää analysoimaan kauppatapahtumien menestystä. Lisäksi odotusten arvon nousu osoittaa heidän menestyksensä lisääntymistä.

On myös tärkeää muistaa, että matemaattista odotusta ei pidä pitää ainoana tilastollisena parametrina, jota käytetään elinkeinonharjoittajan suorituskyvyn analysointiin. Useiden tilastollisten parametrien käyttö keskiarvon kanssa lisää ajoittain analyysin tarkkuutta.

Tämä parametri on osoittautunut hyvin kaupankäyntitilien havaintojen seurannassa. Hänen ansiostaan ​​talletustilillä tehdystä työstä tehdään nopea arvio. Tapauksissa, joissa elinkeinonharjoittajan toiminta onnistuu ja hän välttää tappioita, ei ole suositeltavaa käyttää vain matemaattisen odotuksen laskentaa. Näissä tapauksissa riskejä ei oteta huomioon, mikä heikentää analyysin tehokkuutta.

Kauppiaiden taktiikoista tehdyt tutkimukset osoittavat, että:

• tehokkaimpia ovat satunnaiseen syötteeseen perustuvat taktiikat;
• vähiten tehokkaita ovat taktiikka, joka perustuu strukturoituun panokseen.

Myönteisten tulosten saavuttamiseksi on yhtä tärkeää:

• rahanhallintataktiikat;
• irtautumisstrategioita.

Käyttämällä sellaista indikaattoria kuin matemaattinen odotus, voimme olettaa, mikä on voitto tai tappio, kun sijoitat 1 dollarin. Tiedetään, että tämä indikaattori, joka on laskettu kaikista kasinolla harjoitettavista peleistä, on laitoksen eduksi. Tämän avulla voit ansaita rahaa. Pitkän pelisarjan tapauksessa asiakkaan todennäköisyys menettää rahaa kasvaa merkittävästi.

Ammattipelaajien pelit rajoittuvat pieniin ajanjaksoihin, mikä lisää voittomahdollisuutta ja vähentää häviämisen riskiä. Sama kaava on havaittavissa sijoitustoiminnan suorituskyvyssä.

Sijoittaja voi ansaita merkittävän summan positiivisella odotuksella ja suurella määrällä transaktioita lyhyessä ajassa.

Odotusarvo voidaan ajatella erotuksena voittoprosentin (PW) ja keskimääräisen voiton (AW) ja tappion todennäköisyyden (PL) ja keskimääräisen tappion (AL) välillä.

Harkitse esimerkiksi seuraavaa: asema - 12,5 tuhatta dollaria, salkku - 100 tuhatta dollaria, riski per talletus - 1%. Transaktioiden kannattavuus on 40 % tapauksista ja keskimääräinen voitto 20 %. Tappion sattuessa keskimääräinen tappio on 5 %. Kaupan matemaattisen odotuksen laskeminen antaa arvon 625 dollaria.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma

Matemaattinen odotus, määritelmä, diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien matemaattinen odotus, valikoiva, ehdollinen odotus, laskenta, ominaisuudet, tehtävät, odotuksen estimointi, varianssi, jakaumafunktio, kaavat, laskentaesimerkit

Laajenna sisältöä

Tiivistä sisältö

Matemaattinen odotus on määritelmä

Yksi matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian tärkeimmistä käsitteistä, joka kuvaa satunnaismuuttujan arvojen tai todennäköisyyksien jakautumista. Yleensä ilmaistaan ​​satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten parametrien painotettuna keskiarvona. Sitä käytetään laajasti teknisessä analyysissä, numerosarjojen tutkimuksessa, jatkuvien ja pitkäaikaisten prosessien tutkimuksessa. Se on tärkeä riskien arvioinnissa, hintaindikaattoreiden ennustamisessa rahoitusmarkkinoilla kaupankäynnissä, ja sitä käytetään pelitaktiikkojen strategioiden ja menetelmien kehittämisessä rahapeliteoriassa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo, satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma otetaan huomioon todennäköisyysteoriassa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvon mitta todennäköisyysteoriassa. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus x merkitty M(x).

Matemaattinen odotus on

Matemaattinen odotus on todennäköisyysteoriassa kaikkien mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, jotka tämä satunnaismuuttuja voi saada.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa näiden arvojen todennäköisyyksillä.

Matemaattinen odotus on keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan tarkastella suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa.

Matemaattinen odotus on uhkapeliteoriassa voittojen määrä, jonka pelaaja voi ansaita tai menettää keskimäärin kullakin vedolla. Pelaajien kielellä tätä kutsutaan joskus "pelaajien eduksi" (jos positiivinen pelaajalle) tai "talon etupuolelle" (jos negatiivinen pelaajalle).

Matemaattinen odotus on Voittoprosentti voittoa kohti kerrottuna keskimääräisellä voitolla miinus tappion todennäköisyys kerrottuna keskimääräisellä tappiolla.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus matemaattisessa teoriassa

Yksi satunnaismuuttujan tärkeistä numeerisista ominaisuuksista on matemaattinen odotus. Otetaan käyttöön satunnaismuuttujien järjestelmän käsite. Tarkastellaan satunnaismuuttujien joukkoa, jotka ovat saman satunnaiskokeen tuloksia. Jos on yksi järjestelmän mahdollisista arvoista, niin tapahtuma vastaa tiettyä todennäköisyyttä, joka täyttää Kolmogorovin aksioomat. Satunnaismuuttujien mahdollisille arvoille määriteltyä funktiota kutsutaan yhteisjakaumalakiksi. Tämän toiminnon avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman todennäköisyydet. Erityisesti satunnaismuuttujien ja, jotka ottavat arvot joukosta ja, yhteislaki, annetaan todennäköisyyksillä.

Termin "odotus" otti käyttöön Pierre Simon Marquis de Laplace (1795), ja se sai alkunsa käsitteestä "odotettu voittoarvo", joka esiintyi ensimmäisen kerran 1600-luvulla uhkapeliteoriassa Blaise Pascalin ja Christian Huygensin teoksissa. . Ensimmäisen täydellisen teoreettisen ymmärryksen ja arvioinnin tästä käsitteestä antoi kuitenkin Pafnuty Lvovich Chebyshev (1800-luvun puoliväli).

Satunnaislukumuuttujien jakautumislaki (jakaumafunktio ja jakaumasarja tai todennäköisyystiheys) kuvaa täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään joitain tutkittavan suuren numeerisia ominaisuuksia (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Satunnaismuuttujien tärkeimmät numeeriset ominaisuudet ovat matemaattinen odotusarvo, varianssi, moodi ja mediaani.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on sen mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien tulojen summa. Joskus matemaattista odotusta kutsutaan painotetuksi keskiarvoksi, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suuressa määrässä kokeita. Matemaattisen odotuksen määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja.

Matemaattisella odotuksella on yksinkertainen fysikaalinen merkitys: jos yksikkömassa asetetaan suoralle viivalle, sijoitetaan massaa joihinkin pisteisiin (diskreetti jakauman saamiseksi) tai "siivotaan" se tietyllä tiheydellä (absoluuttisen jatkuvaa jakaumaa varten), silloin matemaattista odotusta vastaava piste on koordinaatti "painopisteen" suora.

Satunnaismuuttujan keskiarvo on tietty luku, joka on ikään kuin sen "edustaja" ja korvaa sen karkeissa likimääräisissä laskelmissa. Kun sanomme: "lampun keskimääräinen toiminta-aika on 100 tuntia" tai "keskimääräinen törmäyspiste siirtyy kohteeseen nähden 2 m oikealle", osoitamme tällä satunnaismuuttujan tietyn numeerisen ominaisuuden, joka kuvaa sen sijainti numeerisella akselilla, ts. sijainnin kuvaus.

Aseman ominaisuuksista todennäköisyysteoriassa tärkein rooli on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus, jota joskus kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi.

Harkitse satunnaismuuttujaa X, jolla on mahdollisia arvoja x1, x2, …, xn todennäköisyyksien kanssa p1, p2, …, pn. Meidän on karakterisoitava jollakin numerolla satunnaismuuttujan arvojen sijainti x-akselilla ottaen huomioon, että näillä arvoilla on erilaiset todennäköisyydet. Tätä tarkoitusta varten on luonnollista käyttää arvojen ns. "painotettua keskiarvoa". xi, ja jokainen arvo xi keskiarvon laskemisen aikana tulee ottaa huomioon "painolla", joka on verrannollinen tämän arvon todennäköisyyteen. Näin ollen laskemme satunnaismuuttujan keskiarvon X, jota me merkitsemme M|X|:

Tätä painotettua keskiarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan matemaattiseksi odotukseksi. Näin ollen otimme huomioon yhden tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä - matemaattisen odotuksen käsitteen. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien summa.

X johtuen omituisesta riippuvuudesta satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettisesta keskiarvosta suurella määrällä kokeita. Tämä riippuvuus on samantyyppistä kuin taajuuden ja todennäköisyyden välinen riippuvuus, nimittäin: suurella määrällä kokeita satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) sen matemaattista odotusta. Frekvenssin ja todennäköisyyden välisen suhteen olemassaolosta voidaan päätellä samanlaisen suhteen olemassaolo aritmeettisen keskiarvon ja matemaattisen odotuksen välillä. Todellakin, harkitse satunnaismuuttujaa X, jolle on ominaista sarja jakaumia:

Anna sen tuottaa N riippumattomia kokeita, joista jokaisessa arvo X saa tietyn arvon. Oletetaan arvo x1 ilmestyi m1 kertaa, arvo x2 ilmestyi m2 kertaa, yleinen merkitys xi ilmestyi mi kertaa. Lasketaan X:n havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo, joka toisin kuin matemaattinen odotus M|X| me merkitsemme M*|X|:

Kokeiden määrän lisääntyessä N taajuuksia pi lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) vastaavia todennäköisyyksiä. Siksi satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo M|X| kokeiden määrän kasvaessa se lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) matemaattista odotustaan. Aritmeettisen keskiarvon ja edellä muotoillun matemaattisen odotuksen välinen yhteys muodostaa yhden suurten lukujen lain muodoista.

Tiedämme jo, että kaikki suurten lukujen lain muodot ilmaisevat sen tosiasian, että tietyt keskiarvot ovat stabiileja useissa kokeissa. Tässä puhutaan samanarvoisten havaintojen sarjan aritmeettisen keskiarvon stabiilisuudesta. Pienellä määrällä kokeita niiden tulosten aritmeettinen keskiarvo on satunnainen; kun kokeiden lukumäärää kasvaa riittävästi, siitä tulee "lähes ei satunnaista" ja stabiloituessaan lähestyy vakioarvoa - matemaattista odotusta.

Useiden kokeiden keskiarvojen stabiilisuusominaisuus on helppo todentaa kokeellisesti. Esimerkiksi punnitsemalla mikä tahansa kappale laboratoriossa tarkoilla vaaoilla, punnituksen tuloksena saamme joka kerta uuden arvon; havaintovirheen vähentämiseksi punnitsemme kehon useita kertoja ja käytämme saatujen arvojen aritmeettista keskiarvoa. On helppo nähdä, että kokeiden (punnitusten) määrän lisääntyessä aritmeettinen keskiarvo reagoi tähän lisäykseen yhä harvemmin ja riittävän suurella koemäärällä se käytännössä lakkaa muuttumasta.

On huomattava, että satunnaismuuttujan sijainnin tärkein ominaisuus - matemaattinen odotus - ei ole olemassa kaikille satunnaismuuttujille. Voidaan tehdä esimerkkejä sellaisista satunnaismuuttujista, joille ei ole matemaattista odotusta, koska vastaava summa tai integraali hajoaa. Käytännön kannalta tällaiset tapaukset eivät kuitenkaan ole merkittävää mielenkiintoa. Yleensä käsittelemillämme satunnaismuuttujilla on rajoitettu valikoima mahdollisia arvoja ja niillä on tietysti odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sijainnin tärkeimpien ominaisuuksien - matemaattisen odotuksen - lisäksi käytännössä käytetään joskus muitakin sijaintiominaisuuksia, erityisesti satunnaismuuttujan moodia ja mediaania.

Satunnaismuuttujan moodi on sen todennäköisin arvo. Termi "todennäköisin arvo" koskee tarkasti ottaen vain epäjatkuvia määriä; jatkuvalle suurelle moodi on arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin. Kuvat esittävät epäjatkuvien ja jatkuvien satunnaismuuttujien moodia, vastaavasti.

Jos jakautumispolygonilla (jakaumakäyrällä) on enemmän kuin yksi maksimi, jakauman sanotaan olevan "polymodaalinen".

Joskus on jakaumia, joiden keskellä ei ole maksimi, vaan minimi. Tällaisia ​​jakaumia kutsutaan "antimodaaliseksi".

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan moodi ja matemaattinen odotus eivät täsmää. Tietyssä tapauksessa, kun jakauma on symmetrinen ja modaalinen (eli sillä on moodi) ja on olemassa matemaattinen odotus, niin se osuu yhteen jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Usein käytetään myös toista sijainnin ominaisuutta - niin sanottua satunnaismuuttujan mediaania. Tätä ominaisuutta käytetään yleensä vain jatkuville satunnaismuuttujille, vaikka se voidaan määritellä muodollisesti myös epäjatkuvalle muuttujalle. Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän rajaama alue puolitetaan.

Symmetrisen modaalijakauman tapauksessa mediaani osuu yhteen keskiarvon ja moodin kanssa.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo - satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman numeerinen ominaisuus. Yleisimmällä tavalla satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X(w) määritellään Lebesguen integraaliksi suhteessa todennäköisyysmittaukseen R alkuperäisessä todennäköisyysavaruudessa:

Matemaattinen odotus voidaan laskea myös Lebesguen integraalina X todennäköisyysjakauman mukaan px määriä X:

Luonnollisella tavalla voidaan määritellä satunnaismuuttujan käsite, jolla on ääretön matemaattinen odotus. Tyypillinen esimerkki on paluuajat joissain satunnaisissa kävelyissä.

Matemaattisen odotuksen avulla määritetään useita jakauman numeerisia ja toiminnallisia ominaisuuksia (satunnaismuuttujan vastaavien funktioiden matemaattisena odotuksena), esimerkiksi generoiva funktio, ominaisfunktio, minkä tahansa kertaiset momentit, erityisesti varianssi , kovarianssi.

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan arvojen sijainnin ominaisuus (sen jakauman keskiarvo). Tässä ominaisuudessa matemaattinen odotus toimii eräänä "tyypillisenä" jakaumaparametrina ja sen rooli on samanlainen kuin staattisen momentin - massajakauman painopisteen koordinaatin - rooli mekaniikassa. Muista sijainnin ominaisuuksista, joiden avulla jakaumaa kuvataan yleisellä tasolla - mediaanit, moodit, matemaattinen odotus eroaa suuremmalla arvolla, joka sillä ja vastaavalla sirontaominaisuudella - dispersiolla - on todennäköisyysteorian rajalauseissa. . Suurimmalla täydellisyydellä matemaattisen odotuksen merkityksen paljastavat suurten lukujen laki (Tšebyshevin epäyhtälö) ja vahvistettu suurten lukujen laki.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Olkoon jokin satunnaismuuttuja, joka voi ottaa yhden useista numeerisista arvoista (esimerkiksi pistemäärä nostanheitossa voi olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6). Usein käytännössä tällaiselle arvolle herää kysymys: minkä arvon se ottaa "keskimäärin" suurella määrällä testejä? Mikä on keskimääräinen tuottomme (tai tappiomme) kustakin riskialtaasta toiminnasta?

Oletetaan, että siellä on jonkinlainen lotto. Haluamme ymmärtää, onko siihen osallistuminen (tai jopa toistuvasti, säännöllisesti) kannattavaa vai ei. Oletetaan, että joka neljäs lippu voittaa, palkinto on 300 ruplaa ja minkä tahansa lipun hinta on 100 ruplaa. Kun osallistujien määrä on ääretön, näin tapahtuu. Kolmessa neljäsosassa tapauksista häviämme, joka kolmas tappio maksaa 300 ruplaa. Joka neljännessä tapauksessa voitamme 200 ruplaa. (palkinto miinus kustannukset), eli neljästä osallistumisesta menetämme keskimäärin 100 ruplaa, yhdestä - keskimäärin 25 ruplaa. Kaiken kaikkiaan rauniomme keskihinta on 25 ruplaa lippua kohden.

Heitämme noppaa. Jos se ei ole huijausta (ilman painopisteen siirtämistä jne.), kuinka monta pistettä meillä on keskimäärin kerrallaan? Koska jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen, otamme typerän aritmeettisen keskiarvon ja saamme 3,5. Koska tämä on KESKIARVO, ei tarvitse olla närkästynyt siitä, että mikään tietty heitto ei anna 3,5 pistettä - no, tällä kuutiolla ei ole kasvoja sellaisella numerolla!

Tehdään nyt yhteenveto esimerkeistämme:

Katsotaanpa yllä olevaa kuvaa. Vasemmalla on taulukko satunnaismuuttujan jakautumisesta. X:n arvo voi ottaa yhden n:stä mahdollisesta arvosta (ilmoitettu ylärivillä). Muita arvoja ei voi olla. Kunkin mahdollisen arvon alle on merkitty sen todennäköisyys. Oikealla on kaava, jossa M(X) on matemaattinen odotus. Tämän arvon merkitys on se, että suurella määrällä kokeita (suurella otoksella) keskiarvo vastaa tätä hyvin matemaattista odotusta.

Palataan samaan pelikuutioon. Matemaattinen odotus heiton pisteiden määrästä on 3,5 (laske itsesi kaavalla, jos et usko). Oletetaan, että heitit sen pari kertaa. 4 ja 6 putosivat. Keskimäärin siitä tuli 5, eli kaukana 3,5. He heittivät sen uudelleen, 3 putosi, eli keskimäärin (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Jotenkin kaukana matemaattisesta odotuksesta. Tee nyt hullu kokeilu - pyöritä kuutiota 1000 kertaa! Ja jos keskiarvo ei ole täsmälleen 3,5, se on lähellä sitä.

Lasketaan matemaattinen odotus yllä kuvatulle lotolle. Taulukko näyttää tältä:

Silloin matemaattinen odotus on, kuten yllä olemme todenneet.:

Toinen asia on, että se on myös "sormilla", ilman kaavaa, olisi vaikeaa, jos vaihtoehtoja olisi enemmän. Oletetaan, että 75 % hävisi lipuista, 20 % voittolipuista ja 5 % voittolipuista.

Nyt joitain matemaattisen odotuksen ominaisuuksia.

Se on helppo todistaa:

Odotusmerkistä voidaan ottaa pois vakiokerroin, eli:

Tämä on matemaattisen odotuksen lineaarisuusominaisuuden erikoistapaus.

Toinen seuraus matemaattisen odotuksen lineaarisuudesta:

eli satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten summa.

Olkoon X, Y riippumattomia satunnaismuuttujia, sitten:

Tämä on myös helppo todistaa) XY itse on satunnaismuuttuja, vaikka alkuarvot voisivat kestää n ja m arvot vastaavasti XY voi ottaa nm-arvoja. Kunkin arvon todennäköisyys lasketaan sen perusteella, että riippumattomien tapahtumien todennäköisyydet kerrotaan. Tuloksena saamme tämän:

Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla on sellainen ominaisuus kuin jakautumistiheys (todennäköisyystiheys). Itse asiassa se luonnehtii tilannetta, että satunnaismuuttuja ottaa joitain arvoja reaalilukujoukosta useammin, jotkut - harvemmin. Harkitse esimerkiksi tätä kaaviota:

Tässä X- itse asiassa satunnaismuuttuja, f(x)- jakautumistiheys. Tämän kaavion perusteella kokeiden aikana arvo X on usein lähellä nollaa oleva luku. mahdollisuudet ylittää 3 tai olla vähemmän -3 melko puhtaasti teoreettista.

Oletetaan esimerkiksi yhtenäinen jakautuminen:

Tämä on täysin yhdenmukainen intuitiivisen ymmärryksen kanssa. Oletetaan, että jos saamme paljon satunnaisia ​​reaalilukuja, joilla on tasainen jakautuminen, jokainen segmentti |0; 1| , niin aritmeettisen keskiarvon tulee olla noin 0,5.

Diskreeteille satunnaismuuttujille soveltuvat matemaattisen odotuksen ominaisuudet - lineaarisuus jne. - pätevät myös tässä.

Matemaattisen odotuksen suhde muihin tilastoindikaattoreihin

Tilastollisessa analyysissä on matemaattisten odotusten ohella olemassa toisistaan ​​riippuvaisten indikaattoreiden järjestelmä, joka kuvastaa ilmiöiden homogeenisuutta ja prosessien vakautta. Usein vaihteluindikaattoreilla ei ole itsenäistä merkitystä, ja niitä käytetään tietojen lisäanalyysiin. Poikkeuksena on tietojen homogeenisuutta kuvaava variaatiokerroin, joka on arvokas tilastollinen ominaisuus.

Tilastotieteen prosessien vaihtelevuuden tai stabiilisuuden astetta voidaan mitata useilla indikaattoreilla.

Tärkein satunnaismuuttujan vaihtelua kuvaava indikaattori on Dispersio, joka liittyy läheisimmin ja suorimmin matemaattiseen odotukseen. Tätä parametria käytetään aktiivisesti muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä (hypoteesitestauksessa, syy-seuraussuhteiden analysoinnissa jne.). Kuten keskimääräinen lineaarinen poikkeama, varianssi heijastaa myös sitä, missä määrin data jakautuu keskiarvon ympärille.

On hyödyllistä kääntää viittojen kieli sanojen kieleksi. Osoittautuu, että varianssi on poikkeamien keskimääräinen neliö. Toisin sanoen keskiarvo lasketaan ensin, sitten kunkin alkuperäisen ja keskiarvon välinen ero otetaan, neliötetään, lasketaan yhteen ja jaetaan sitten tämän populaation arvojen lukumäärällä. Yksittäisen arvon ja keskiarvon välinen ero heijastaa poikkeaman mittaa. Se on neliöity sen varmistamiseksi, että kaikista poikkeamista tulee yksinomaan positiivisia lukuja ja jotta vältetään positiivisten ja negatiivisten poikkeamien keskinäinen kumoaminen, kun ne summataan. Sitten, kun otetaan huomioon neliölliset poikkeamat, laskemme yksinkertaisesti aritmeettisen keskiarvon. Keskimääräiset - neliö - poikkeamat. Poikkeamat neliötetään ja keskiarvo otetaan huomioon. Vastaus maagiseen sanaan "dispersio" on vain kolme sanaa.

Kuitenkaan sen puhtaassa muodossa, kuten esimerkiksi aritmeettisena keskiarvona tai indeksinä, dispersiota ei käytetä. Se on pikemminkin apu- ja väliindikaattori, jota käytetään muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä. Hänellä ei ole edes normaalia mittayksikköä. Kaavan perusteella tämä on alkuperäisen tietoyksikön neliö.

Mittaataan satunnaismuuttuja N kertaa, esimerkiksi mittaamme tuulen nopeuden kymmenen kertaa ja haluamme löytää keskiarvon. Miten keskiarvo liittyy jakaumafunktioon?

Tai heitämme noppaa useita kertoja. Nopan jokaisen heiton aikana putoavien pisteiden määrä on satunnaismuuttuja, ja se voi olla mikä tahansa luonnollinen arvo väliltä 1-6. N se pyrkii hyvin tiettyyn numeroon - matemaattiseen odotukseen Mx. Tässä tapauksessa Mx = 3,5.

Miten tämä arvo syntyi? Päästää sisään N koettelemuksia n1 kun 1 piste pudotetaan, n2 kertaa - 2 pistettä ja niin edelleen. Sitten tulosten lukumäärä, joissa yksi piste putosi:

Samoin tuloksista, kun 2, 3, 4, 5 ja 6 pistettä putosivat.

Oletetaan nyt, että tiedämme satunnaismuuttujan x jakautumislain, eli tiedämme, että satunnaismuuttuja x voi saada arvot x1, x2, ..., xk todennäköisyyksillä p1, p2, ... , pk.

Satunnaismuuttujan x matemaattinen odotusarvo Mx on:

Matemaattinen odotus ei aina ole järkevä arvio jostain satunnaismuuttujasta. Keskipalkan arvioinnissa on siis järkevämpää käyttää mediaanin käsitettä eli sellaista arvoa, että mediaanipalkkaa vähemmän ja enemmän saavien määrä on sama.

Todennäköisyys p1, että satunnaismuuttuja x on pienempi kuin x1/2 ja todennäköisyys p2, että satunnaismuuttuja x on suurempi kuin x1/2, ovat samat ja yhtä suuri kuin 1/2. Mediaania ei ole määritetty yksiselitteisesti kaikille jakaumille.

Vakio tai standardipoikkeama tilastoissa kutsutaan havaintotietojen tai joukkojen poikkeaman astetta AVERAGE-arvosta. Merkitään kirjaimilla s tai s. Pieni standardipoikkeama osoittaa, että tiedot on ryhmitelty keskiarvon ympärille, ja suuri keskihajonna osoittaa, että lähtötieto on kaukana siitä. Keskihajonta on yhtä suuri kuin varianssiksi kutsutun suuren neliöjuuri. Se on keskiarvosta poikkeavien lähtötietojen neliöityjen erojen summan keskiarvo. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri:

Esimerkki. Testiolosuhteissa ammuttaessa maaliin laske satunnaismuuttujan varianssi ja keskihajonta:

Variaatio- vaihtelu, attribuutin arvon vaihtelu perusjoukon yksiköissä. Tutkittavassa populaatiossa esiintyviä piirteen erillisiä numeerisia arvoja kutsutaan arvojen muunnelmiksi. Keskiarvon riittämättömyys populaation täydelliseen karakterisointiin edellyttää, että keskiarvoja on täydennettävä indikaattoreilla, joiden avulla on mahdollista arvioida näiden keskiarvojen tyypillisyyttä mittaamalla tutkittavan ominaisuuden vaihtelua (vaihtelua). Variaatiokerroin lasketaan kaavalla:

Alueen vaihtelu(R) on ominaisuuden maksimi- ja minimiarvojen ero tutkitussa populaatiossa. Tämä indikaattori antaa yleisimmän käsityksen tutkittavan ominaisuuden vaihtelusta, koska se näyttää eron vain varianttien ääriarvojen välillä. Riippuvuus attribuutin ääriarvoista antaa vaihteluvälille epävakaan, satunnaisen luonteen.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama on aritmeettinen keskiarvo analysoidun populaation kaikkien arvojen absoluuttisista (modulo)poikkeamista niiden keskiarvosta:

Matemaattinen odotus uhkapeliteoriassa

Matemaattinen odotus on keskimääräinen rahasumma, jonka pelaaja voi voittaa tai hävitä tietyllä vedolla. Tämä on erittäin tärkeä käsite pelaajalle, koska se on olennainen useimpien pelitilanteiden arvioinnissa. Matemaattinen odotus on myös paras työkalu peruskorttiasettelujen ja pelitilanteiden analysointiin.

Oletetaan, että pelaat kolikkoa ystäväsi kanssa ja teet yhtä suuren $1 panoksen joka kerta riippumatta siitä, mitä tapahtuu. Hännät - voitat, päät - häviät. Todennäköisyys, että se nousisi, on yksi yhteen ja panostat $1 - $1. Näin ollen matemaattinen odotuksesi on nolla, koska Matemaattisesti puhuen, et voi tietää johdatko vai häviätkö kahden heiton jälkeen vai 200 jälkeen.

Tuntivoitto on nolla. Tuntikohtainen voitto on rahasumma, jonka odotat voittavan tunnissa. Voit heittää kolikon 500 kertaa tunnin sisällä, mutta et voita tai häviä, koska todennäköisyytesi eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Jos katsot vakavan pelaajan näkökulmasta, tällainen vedonlyöntijärjestelmä ei ole huono. Mutta se on vain ajanhukkaa.

Mutta oletetaan, että joku haluaa lyödä vetoa 2 dollaria vastaan ​​1 dollaria samassa pelissä. Sitten sinulla on välittömästi positiivinen odotus 50 senttiä jokaisesta vedosta. Miksi 50 senttiä? Keskimäärin voitat yhden vedon ja häviät toisen. Panosta ensimmäinen dollari ja hävitä 1 dollari, panosta toinen ja voita 2 dollaria. Olet panostanut 1 dollarin kahdesti ja olet 1 dollarilla edellä. Joten jokainen yhden dollarin veto antoi sinulle 50 senttiä.

Jos kolikko putoaa 500 kertaa yhdessä tunnissa, tuntivoittosi on jo 250 dollaria, koska. keskimäärin menetit 1 250 dollaria ja voitit 2 250 kertaa. 500 dollaria miinus 250 dollaria vastaa 250 dollaria, mikä on kokonaisvoitto. Huomaa, että odotettu arvo, joka on summa, jonka voitat keskimäärin yhdellä vedolla, on 50 senttiä. Voitit 250 dollaria panostamalla dollarin 500 kertaa, mikä vastaa 50 senttiä panoksestasi.

Matemaattisilla odotuksilla ei ole mitään tekemistä lyhyen aikavälin tulosten kanssa. Vastustajasi, joka päätti lyödä vetoa 2 dollaria sinua vastaan, saattoi voittaa sinut ensimmäisellä kymmenellä heitolla peräkkäin, mutta sinä 2-1-vedonlyöntiedulla ansaitset 50 senttiä jokaisesta 1 dollarin panoksesta millä tahansa alla. olosuhteissa. Sillä ei ole väliä, voitatko vai häviät yhden vedon vai useita vetoja, mutta vain sillä ehdolla, että sinulla on tarpeeksi käteistä kustannusten helposti korvaamiseen. Jos jatkat vedonlyöntiä samalla tavalla, voittosi kasvavat pitkän ajan kuluessa yksittäisten heittojen odotettujen arvojen summaan.

Joka kerta kun teet parhaan vedon (veto, joka voi olla kannattava pitkällä aikavälillä), kun todennäköisyys on sinun puolellasi, voitat varmasti jotain, häviätpä sen tietyssä kädessä tai et. Kääntäen, jos teit huonomman vedon (pitkällä aikavälillä kannattamaton veto), kun todennäköisyys ei ole sinun eduksesi, menetät jotain, voititpa tai häviät käden.

Panostat parhaalla tuloksella, jos odotuksesi ovat positiiviset, ja se on positiivinen, jos kertoimet ovat sinun puolellasi. Vedonlyönti huonoimmalla tuloksella sinulla on negatiivinen odotus, mikä tapahtuu, kun kertoimet ovat sinua vastaan. Vakavat pelaajat lyövät vetoa vain parhaalla tuloksella, pahimmalla – he luovuttavat. Mitä kertoimet eduksesi tarkoittaa? Voit lopulta voittaa enemmän kuin todelliset kertoimet tuovat. Todellinen todennäköisyys osua tailoihin on 1:1, mutta saat 2:1 vedonlyöntisuhteen ansiosta. Tässä tapauksessa todennäköisyys on sinun puolellasi. Saat ehdottomasti parhaan tuloksen positiivisella odotuksella, joka on 50 senttiä vetoa kohden.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki matemaattisista odotuksista. Ystävä kirjoittaa muistiin numerot yhdestä viiteen ja panostaa 5 dollaria 1 dollaria vastaan, että et valitse numeroa. Hyväksytkö tällaisen vedon? Mitä tässä odotetaan?

Keskimäärin olet väärässä neljä kertaa. Tämän perusteella todennäköisyys sille, että voit arvata numeron, on 4:1. Todennäköisyys on, että menetät dollarin yhdellä yrityksellä. Voitat kuitenkin 5-1 ja voit hävitä 4-1. Näin ollen kertoimet ovat sinun puolellasi, voit ottaa vedon ja toivoa parasta lopputulosta. Jos teet tämän vedon viisi kertaa, menetät keskimäärin neljä kertaa 1 dollarin ja voitat kerran 5 dollaria. Tämän perusteella ansaitset kaikista viidestä yrityksestä 1 dollarin positiivisella matemaattisella odotuksella 20 senttiä vetoa kohden.

Pelaaja, joka voittaa enemmän kuin lyö vetoa, kuten yllä olevassa esimerkissä, nappaa kertoimet. Toisaalta hän pilaa mahdollisuudet, kun hän odottaa voittavansa vähemmän kuin lyö vetoa. Vedonlyöjällä voi olla joko positiivisia tai negatiivisia odotuksia riippuen siitä, saako hän kiinni vai tuhoaako kertoimet.

Jos panostat 50 dollaria voittaaksesi 10 dollaria 4-1 voittomahdollisuudella, saat negatiivisen 2 dollarin odotuksen, koska voitat keskimäärin neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 50 dollaria kerran, mikä osoittaa, että tappio per veto on 10 dollaria. Mutta jos panostat 30 dollarilla voittaaksesi 10 dollaria samalla todennäköisyydellä voittaa 4:1, tässä tapauksessa sinulla on positiivinen odotus 2 dollaria, koska voitat jälleen neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 30 dollaria kerran saadaksesi 10 dollarin voiton. Nämä esimerkit osoittavat, että ensimmäinen veto on huono ja toinen hyvä.

Matemaattinen odotus on jokaisen pelitilanteen keskipiste. Kun vedonvälittäjä rohkaisee jalkapallofaneja lyömään vetoa 11 dollarilla voittaakseen 10 dollaria, heillä on positiivinen odotus 50 senttiä jokaista 10 dollaria kohti. Jos kasino maksaa jopa rahaa Craps pass -linjalta, talon positiivinen odotus on noin 1,40 dollaria jokaista 100 dollaria kohden; Tämä peli on rakennettu siten, että jokainen, joka lyö vetoa tällä linjalla, häviää keskimäärin 50,7% ja voittaa 49,3% ajasta. Epäilemättä juuri tämä näennäisen vähäinen positiivinen odotus tuo valtavia voittoja kasinon omistajille ympäri maailmaa. Kuten Vegas Worldin kasinon omistaja Bob Stupak huomautti: "Tuhannesprosentin negatiivinen todennäköisyys riittävän pitkällä matkalla ajaa konkurssiin maailman rikkaimman miehen."

Matemaattiset odotukset pokeria pelatessa

Pokeripeli on havainnollistavin ja havainnollistavin esimerkki matemaattisten odotusten teorian ja ominaisuuksien käytöstä.

Odotettu arvo pokerissa on keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan harkita suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa. Onnistunut pokeri tarkoittaa sitä, että liikkeet hyväksytään aina positiivisin matemaattisin odotuksin.

Matemaattisen odotuksen matemaattinen merkitys pokeria pelatessa on se, että kohtaamme usein satunnaismuuttujia tehdessämme päätöstä (emme tiedä mitkä kortit ovat vastustajan kädessä, mitkä kortit tulevat seuraavilla panostuskierroksilla). Jokaista ratkaisua on tarkasteltava suurten lukujen teorian näkökulmasta, joka sanoo, että riittävän suurella otoksella satunnaismuuttujan keskiarvo suuntautuu matemaattiseen odotukseensa.

Matemaattisten odotusten laskemiseen käytettävistä kaavoista pokerissa soveltuvat parhaiten seuraavat:

Pokeria pelatessa matemaattiset odotukset voidaan laskea sekä panoksille että maksuille. Ensimmäisessä tapauksessa tulee huomioida fold equity, toisessa potin omat kertoimet. Tietyn liikkeen matemaattista odotusta arvioitaessa tulee muistaa, että foldilla on aina nolla matemaattinen odotus. Siten korttien hylkääminen on aina kannattavampi päätös kuin mikään negatiivinen liike.

Odotus kertoo, mitä voit odottaa (voittoa tai tappiota) jokaista riskiäsi kohden. Kasinot tienaavat rahaa, koska kaikkien niillä pelattavien pelien matemaattiset odotukset ovat kasinolle päin. Riittävän pitkällä pelisarjalla voidaan odottaa, että asiakas menettää rahansa, koska "todennäköisyys" on kasinon puolella. Ammattimaiset kasinopelaajat kuitenkin rajoittavat pelinsä lyhyisiin aikoihin, mikä lisää kertoimia heidän edukseen. Sama pätee sijoittamiseen. Jos odotuksesi ovat positiiviset, voit ansaita enemmän rahaa tekemällä useita kauppoja lyhyessä ajassa. Odotus on voittoprosenttisi voittoa kohti kertaa keskimääräinen voitto miinus tappion todennäköisyys kertaa keskimääräinen tappio.

Pokeria voidaan tarkastella myös matemaattisten odotusten kannalta. Voit olettaa, että tietty liike on kannattava, mutta joissain tapauksissa se ei välttämättä ole paras, koska toinen liike on kannattavampi. Oletetaan, että osuit täyskäsi viiden kortin vetopokerissa. Vastustajasi lyö vetoa. Tiedät, että jos olet ennakkoon, hän soittaa. Korottaminen näyttää siis parhaalta takilta. Mutta jos korotat, kaksi jäljellä olevaa pelaajaa luovuttaa varmasti. Mutta jos maksat vedon, olet täysin varma, että kaksi muuta pelaajaa sinun jälkeen tekevät samoin. Kun korotat panosta, saat yhden yksikön ja yksinkertaisesti maksamalla saat kaksi. Joten soittaminen antaa sinulle korkeamman positiivisen odotusarvon ja on paras taktiikka.

Matemaattinen odotus voi myös antaa käsityksen siitä, mitkä pokeritaktiikat ovat vähemmän kannattavia ja mitkä kannattavampia. Jos esimerkiksi pelaat tiettyä kättä ja luulet, että keskimääräinen tappiosi on 75 senttiä sisältäen antet, sinun tulee pelata tämä käsi, koska tämä on parempi kuin kippaus, kun ante on $1.

Toinen tärkeä syy odotetun arvon ymmärtämiseen on se, että se antaa sinulle mielenrauhan tunteen, voititko vedon vai et: jos panostit hyvin tai luovutit ajoissa, tiedät, että olet ansainnut tai säästänyt tietyn määrän rahaa, jota heikompi pelaaja ei voinut säästää. Kippaaminen on paljon vaikeampaa, jos olet turhautunut siihen, että vastustajallasi on parempi käsi vedossa. Se sanoi, että rahat, jotka säästät jättämällä pelaamatta vedonlyönnin sijaan, lisätään yön tai kuukausittaisiin voittoihin.

Muista vain, että jos vaihtaisit kättä, vastustajasi maksaisi sinulle, ja kuten näet Pokerin peruslause -artikkelista, tämä on vain yksi eduistasi. Kannattaa iloita kun näin tapahtuu. Voit jopa oppia nauttimaan käden häviämisestä, koska tiedät, että muut pelaajat sinun kengissäsi menettäisivät paljon enemmän.

Kuten alussa kolikkopeliesimerkissä todettiin, tuntituotto liittyy matemaattiseen odotukseen, ja tämä käsite on erityisen tärkeä ammattilaispelaajille. Kun aiot pelata pokeria, sinun on henkisesti arvioitava, kuinka paljon voit voittaa pelitunnissa. Useimmissa tapauksissa joudut luottamaan intuitioon ja kokemukseesi, mutta voit myös käyttää joitain matemaattisia laskelmia. Jos esimerkiksi pelaat vetoa lowball ja näet kolmen pelaajan panostavan 10 dollaria ja sitten nostavan kaksi korttia, mikä on erittäin huono taktiikka, voit laskea itse, että joka kerta kun panostavat 10 dollaria, he menettävät noin 2 dollaria. Jokainen heistä tekee tämän kahdeksan kertaa tunnissa, mikä tarkoittaa, että kaikki kolme menettävät noin 48 dollaria tunnissa. Olet yksi jäljellä olevista neljästä pelaajasta, jotka ovat suunnilleen tasa-arvoisia, joten näiden neljän pelaajan (ja sinun joukossasi) on jaettava 48 dollaria, ja jokainen tienaa 12 dollaria tunnissa. Tuntihintasi on tässä tapauksessa yksinkertaisesti sinun osuutesi kolmen huonon pelaajan menettämästä rahamäärästä tunnissa.

Pitkällä aikavälillä pelaajan kokonaisvoitot ovat hänen matemaattisten odotustensa summa erillisissä jakaumissa. Mitä enemmän pelaat positiivisilla odotuksilla, sitä enemmän voitat, ja päinvastoin, mitä enemmän käsiä pelaat negatiivisilla odotuksilla, sitä enemmän häviät. Tämän seurauksena sinun tulee asettaa etusijalle peli, joka voi maksimoida positiiviset odotuksesi tai kumota negatiiviset odotuksesi, jotta voit maksimoida tuntivoitosi.

Positiivinen matemaattinen odotus pelistrategiassa

Jos osaat laskea kortit, sinulla voi olla etua kasinoon nähden, jos he eivät huomaa ja potkaise sinua ulos. Kasinot rakastavat humalaisia ​​pelaajia eivätkä kestä korttien laskemista. Edun ansiosta voit voittaa enemmän kertoja kuin hävitä ajan mittaan. Hyvä rahanhallinta odotuslaskelmien avulla voi auttaa sinua hyödyntämään etujasi ja vähentämään tappioitasi. Ilman etua sinun on parempi antaa rahat hyväntekeväisyyteen. Pörssipelissä etua antaa pelin järjestelmä, joka tuottaa enemmän voittoa kuin tappiot, hintaerot ja palkkiot. Mikään rahanhallinta ei pelasta huonoa pelijärjestelmää.

Positiivinen odotus määritellään arvolla, joka on suurempi kuin nolla. Mitä suurempi tämä luku, sitä vahvempi on tilastollinen odotus. Jos arvo on pienempi kuin nolla, myös matemaattinen odotus on negatiivinen. Mitä suurempi negatiivisen arvon moduuli on, sitä huonompi tilanne. Jos tulos on nolla, odotus on nollatulos. Voit voittaa vain, jos sinulla on positiivinen matemaattinen odotus, kohtuullinen pelijärjestelmä. Intuitiolla pelaaminen johtaa katastrofiin.

Matemaattinen odotus ja osakekauppa

Matemaattinen odotus on melko laajalti kysytty ja suosittu tilastoindikaattori pörssikaupassa rahoitusmarkkinoilla. Ensinnäkin tätä parametria käytetään kaupankäynnin onnistumisen analysointiin. Ei ole vaikea arvata, että mitä suurempi tämä arvo, sitä enemmän syytä pitää tutkittavaa kauppaa onnistuneena. Tietenkään elinkeinonharjoittajan työn analysointia ei voida suorittaa vain tämän parametrin avulla. Laskettu arvo yhdessä muiden työn laadun arviointimenetelmien kanssa voi kuitenkin parantaa merkittävästi analyysin tarkkuutta.

Kaupankäyntitilin seurantapalveluissa lasketaan usein matemaattinen odotus, jonka avulla voit nopeasti arvioida talletuksella tehtyä työtä. Poikkeuksina voimme mainita strategioita, jotka käyttävät menettävien kauppojen "ylijäämistä". Elinkeinonharjoittaja voi olla onnekas jonkin aikaa, ja siksi hänen työssään ei välttämättä ole lainkaan tappioita. Tässä tapauksessa ei voi navigoida pelkästään odotusten mukaan, koska työssä käytettyjä riskejä ei oteta huomioon.

Markkinakaupassa matemaattista odotusta käytetään useimmiten ennustettaessa kaupankäyntistrategian kannattavuutta tai ennustettaessa elinkeinonharjoittajan tuloja aiempien kauppojen tilastojen perusteella.

Rahanhallinnan kannalta on erittäin tärkeää ymmärtää, että tehtäessä kauppoja negatiivisilla odotuksilla, ei ole olemassa rahanhallintajärjestelmää, joka voi varmasti tuoda suuria voittoja. Jos jatkat vaihdon pelaamista näillä ehdoilla, menetät koko tilisi riippumatta siitä, kuinka hallitset rahojasi, oli se sitten kuinka suuri tahansa.

Tämä aksiooma ei päde vain negatiivisten odotusten peleihin tai kauppoihin, se pätee myös parillisten kertoimien peleihin. Siksi ainoa tapaus, jossa sinulla on mahdollisuus hyötyä pitkällä aikavälillä, on tehdä kauppoja positiivisten matemaattisten odotusten perusteella.

Ero negatiivisen odotuksen ja positiivisen odotuksen välillä on ero elämän ja kuoleman välillä. Ei ole väliä kuinka positiivinen tai kuinka negatiivinen odotus on; Tärkeintä on, onko se positiivinen vai negatiivinen. Siksi, ennen kuin harkitset rahanhallintaa, sinun on löydettävä peli, jolla on positiiviset odotukset.

Jos sinulla ei ole tätä peliä, mikään rahanhallinta maailmassa ei pelasta sinua. Toisaalta, jos sinulla on positiivinen odotus, se on mahdollista oikean rahanhallinnan avulla muuttaa eksponentiaaliseksi kasvufunktioksi. Ei ole väliä kuinka pieni positiivinen odotus on! Toisin sanoen sillä ei ole väliä, kuinka kannattava yhteen sopimukseen perustuva kaupankäyntijärjestelmä on. Jos sinulla on järjestelmä, joka voittaa 10 dollaria sopimusta kohden yhdestä kaupasta (palkkioiden ja lipsahduksen jälkeen), voit käyttää rahanhallintatekniikoita tehdäksesi siitä kannattavampaa kuin järjestelmä, jonka keskimääräinen voitto on 1 000 dollaria kauppaa kohden (palkkioiden ja palkkioiden vähentämisen jälkeen). lipsahdus).

Ratkaisevaa ei ole se, kuinka kannattava järjestelmä oli, vaan se, kuinka varmasti voidaan sanoa, että järjestelmä näyttää jatkossa vähintään minimaalisen tuoton. Siksi elinkeinonharjoittajan tärkein valmistautuminen on varmistaa, että järjestelmä näyttää positiivista odotusarvoa tulevaisuudessa.

Jotta sinulla olisi positiivinen odotusarvo tulevaisuudessa, on erittäin tärkeää olla rajoittamatta järjestelmäsi vapausasteita. Tämä saavutetaan paitsi eliminoimalla tai vähentämällä optimoitavien parametrien määrää, myös vähentämällä mahdollisimman monia järjestelmäsääntöjä. Jokainen lisäämäsi parametri, jokainen tekemäsi sääntö, jokainen pieni muutos, jonka teet järjestelmään, vähentää vapausasteiden määrää. Ihannetapauksessa haluat rakentaa melko primitiivisen ja yksinkertaisen järjestelmän, joka tuottaa jatkuvasti pientä voittoa melkein kaikilla markkinoilla. Jälleen on tärkeää, että ymmärrät, että sillä ei ole väliä kuinka kannattava järjestelmä on, kunhan se on kannattava. Kaupankäynnissä ansaitsemasi rahat ansaitaan tehokkaan rahanhallinnan avulla.

Kaupankäyntijärjestelmä on yksinkertaisesti työkalu, joka antaa sinulle positiivisen matemaattisen odotuksen, jotta rahanhallintaa voidaan käyttää. Järjestelmät, jotka toimivat (jotka osoittavat vähintään minimaalista voittoa) vain yhdellä tai muutamalla markkina-alueella tai joilla on erilaiset säännöt tai parametrit eri markkinoilla, eivät todennäköisesti toimi reaaliajassa pitkään. Useimpien teknisten kauppiaiden ongelmana on, että he käyttävät liian paljon aikaa ja vaivaa kaupankäyntijärjestelmän eri sääntöjen ja parametrien optimointiin. Tämä antaa täysin päinvastaisia ​​tuloksia. Sen sijaan, että tuhlaa energiaa ja tietokoneaikaa kaupankäyntijärjestelmän voittojen kasvattamiseen, suuntaa energiasi vähimmäisvoiton saamisen luotettavuuden lisäämiseen.

Tietäen, että rahanhallinta on vain numeropeli, joka vaatii positiivisten odotusten käyttöä, elinkeinonharjoittaja voi lopettaa osakekaupan "pyhän maljan" etsimisen. Sen sijaan hän voi alkaa testata kaupankäyntitapaansa, selvittää kuinka tämä menetelmä on loogisesti järkevä, antaako se positiivisia odotuksia. Oikeat rahanhallintamenetelmät, joita sovelletaan kaikkiin, jopa erittäin keskinkertaisiin kaupankäyntimenetelmiin, tekevät loput työstä.

Jokaisen elinkeinonharjoittajan on työssään menestyäkseen ratkaistava kolme tärkeintä tehtävää: . Varmistaa, että onnistuneiden liiketoimien määrä ylittää väistämättömät virheet ja virhearviot; Aseta kaupankäyntijärjestelmäsi niin, että mahdollisuus ansaita rahaa on mahdollisimman usein; Saavuta toiminnastasi vakaa positiivinen tulos.

Ja tässä meille, työskenteleville kauppiaille, matemaattinen odotus voi olla hyvä apu. Tämä termi todennäköisyysteoriassa on yksi avaimista. Sen avulla voit antaa keskimääräisen arvion jostain satunnaisesta arvosta. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on kuin painopiste, jos kuvittelemme kaikki mahdolliset todennäköisyydet pisteiksi, joilla on eri massat.

Kaupankäyntistrategian yhteydessä sen tehokkuuden arvioimiseksi käytetään useimmiten matemaattista voiton (tai tappion) odotusta. Tämä parametri määritellään tiettyjen voitto- ja tappiotasojen tulojen ja niiden toteutumisen todennäköisyyden summaksi. Esimerkiksi kehitetyssä kaupankäyntistrategiassa oletetaan, että 37% kaikista toiminnoista tuottaa voittoa ja loppuosa - 63% - on kannattamatonta. Samaan aikaan keskimääräinen tulo onnistuneesta kaupasta on 7 dollaria ja keskimääräinen tappio 1,4 dollaria. Lasketaan kaupankäynnin matemaattiset odotukset seuraavalla järjestelmällä:

Mitä tämä numero tarkoittaa? Siinä sanotaan, että tämän järjestelmän sääntöjä noudattaen saamme keskimäärin 1,708 dollaria jokaisesta suljetusta tapahtumasta. Koska tuloksena saatu tehokkuuspiste on suurempi kuin nolla, tällaista järjestelmää voidaan käyttää todelliseen työhön. Jos laskennan tuloksena matemaattinen odotus osoittautuu negatiiviseksi, tämä osoittaa jo keskimääräistä tappiota ja tällainen kaupankäynti johtaa tuhoon.

Voiton määrä kauppaa kohti voidaan ilmaista myös suhteellisena arvona muodossa %. Esimerkiksi:

– prosenttiosuus tuloista yhtä tapahtumaa kohti – 5 %;

– onnistuneiden kaupankäyntitoimintojen prosenttiosuus - 62 %;

– tappioprosentti per 1 kauppa - 3%;

- epäonnistuneiden liiketoimien prosenttiosuus - 38 %;

Eli keskimääräinen kauppa tuo 1,96%.

On mahdollista kehittää järjestelmä, joka tappiollisista kaupoista huolimatta antaa positiivisen tuloksen, koska sen MO>0.

Pelkkä odottaminen ei kuitenkaan riitä. On vaikea ansaita rahaa, jos järjestelmä antaa hyvin vähän kaupankäyntisignaaleja. Tässä tapauksessa sen kannattavuus on verrattavissa pankkikorkoon. Antaa kukin operaatio tuoda keskimäärin vain 0,5 dollaria, mutta entä jos järjestelmä olettaa 1000 tapahtumaa vuodessa? Tämä on erittäin vakava summa suhteellisen lyhyessä ajassa. Tästä seuraa loogisesti, että toisena hyvän kaupankäyntijärjestelmän tunnusmerkkinä voidaan pitää lyhyt pitoaika.

Lähteet ja linkit

dic.academic.ru - akateeminen online-sanakirja

mathematics.ru - matematiikan koulutussivusto

nsu.ru – Novosibirskin valtionyliopiston koulutussivusto

webmath.ru on koulutusportaali opiskelijoille, hakijoille ja koululaisille.

exponenta.ru matemaattinen koulutussivusto

ru.tradimo.com - ilmainen online-kaupankäyntikoulu

crypto.hut2.ru - monitieteinen tietolähde

poker-wiki.ru - ilmainen pokerin tietosanakirja

sernam.ru - Tieteellinen kirjasto valikoiduista luonnontieteellisistä julkaisuista

reshim.su - WWW-sivusto SOLVE tehtävät ohjaavat kursseja

unfx.ru – Forex UNFX:ssä: koulutus, kaupankäyntisignaalit, luottamuksen hallinta

slovopedia.com - Suuri tietosanakirja

pokermansion.3dn.ru - Opas pokerin maailmaan

statanaliz.info - tietoblogi "Tilastollinen data-analyysi"

forex-trader.rf - portaali Forex-Trader

megafx.ru - ajantasainen Forex-analytiikka

fx-by.com - kaikki kauppiaalle

01.02.2018

Odotettu arvo. Vain kompleksista. Kaupankäynnin perusteet.

Kaikentyyppisiä vetoja asetettaessa on aina olemassa tietty voitto todennäköisyys ja epäonnistumisen riski. Kaupan myönteinen lopputulos ja rahan menettämisen riski liittyvät erottamattomasti matemaattisiin odotuksiin. Tässä artikkelissa keskitymme näihin kahteen kaupankäynnin näkökohtaan yksityiskohtaisesti.

Odotettu arvo- näytteiden lukumäärä tai sen mittausten lukumäärä (joskus sanotaan - testien lukumäärä) pyrkii äärettömään.

Asia on siinä, että positiivinen odotusarvo johtaa positiiviseen (kasvavaan voittoon) kauppaan, kun taas nolla tai negatiivinen odotusarvo tarkoittaa, että kauppaa ei käytetä ollenkaan.

Tämän kysymyksen ymmärtämisen helpottamiseksi harkitaan matemaattisen odotuksen käsitettä rulettia pelatessa. Rulettiesimerkki on erittäin helppo ymmärtää.

Ruletti- (Crupier laukaisee pallon pyörän pyörimissuuntaan nähden vastakkaiseen suuntaan, numerosta, jolle pallo putosi edellisellä kerralla, jonka täytyy pudota johonkin numeroituista soluista, tehden vähintään kolme täyttä kierrosta pyörän ympäri.

Solut, jotka on numeroitu 1 - 36, on väritetty mustaksi ja punaiseksi. Numerot eivät ole järjestyksessä, vaikka solujen värit vaihtelevat tiukasti, alkaen numerosta 1 - punainen. Numerolla 0 merkitty solu on väritetty vihreäksi ja sitä kutsutaan nollaksi.

Ruletti on peli, jolla on negatiivinen matemaattinen odotus. Kaikki johtuu kentästä nolla "0", joka ei ole musta eikä punainen.

Koska (yleensä), jos panoksen muutosta ei tehdä, pelaaja menettää 1 dollarin jokaista 37 pyörän pyöräytystä kohden (kun panostaa 1 dollaria kerrallaan), mikä johtaa -2,7 % lineaariseen tappioon, joka kasvaa panosten määrän kasvaessa (keskiarvo).

Tietysti pelaaja, joka on tietyllä aikavälillä, esimerkiksi 1000 pelissä, voi saada sarjan voittoja, ja henkilö voi alkaa virheellisesti uskoa, että hän voi ansaita rahaa lyömällä kasinon ja sarjan tappioita. Voittojen sarja tässä tapauksessa voi kasvattaa pelaajan pääomaa suuremmalla arvolla kuin hänellä oli alun perin, tässä tapauksessa, jos pelaajalla oli 1000 dollaria, 10 yhden dollarin pelin jälkeen hänellä pitäisi olla keskimäärin 973 dollaria jäljellä. Mutta jos tällaisessa skenaariossa pelaajalla on vähemmän tai enemmän rahaa, kutsumme tällaista eroa nykyisen pääoman varianssin välillä. Voit ansaita rahaa vain pelaamalla rulettia varianssin sisällä.Jos pelaaja jatkaa tämän strategian noudattamista, lopulta henkilö jää ilman rahaa ja kasino toimii.

Toinen esimerkki on kuuluisat binäärioptiot. Voit lyödä vetoa onnistuneella tuloksella, otat jopa 90 prosenttia panoksesi päälle, ja jos epäonnistut, menetät kaikki 100. Ja sitten BO:n omistajien on vain odotettava, markkinat ja negatiivinen matti-odotus tekee työnsä. Ja ajan hajonta antaa toivoa binäärioptioiden kauppiaalle, että on mahdollista ansaita rahaa näillä markkinoilla. Mutta tämä on väliaikaista.

Mitä hyötyä kryptovaluuttakaupankäynnistä on (sekä kaupankäynnistä osakemarkkinoilla)?

Ihminen voi luoda itselleen järjestelmän. Hän voi itse rajoittaa riskiään ja yrittää ottaa markkinoilta suurimman mahdollisen voiton. (Lisäksi, jos tilanne toisen kanssa on melko kiistanalainen, riski on hallittava erittäin selvästi.)

Jotta ymmärrät, mihin suuntaan strategiasi johtaa sinua, sinun on pidettävä tilastoja. Kauppiaan on tiedettävä:

1. Kauppojen lukumäärä. Mitä suurempi määrä kauppoja tietyllä strategialla on, sitä tarkempi on matemaattinen odotus.
2. Onnistuneiden merkintöjen tiheys. (todennäköisyys) (R)
3. Voitto jokaisesta positiivisesta tapahtumasta.
4. Bias (voittosuhde) (B)
5. Panoksesi keskimääräinen koko (stop order) (S)

Odotusarvo (E) = B * R - (1 - B) = B * (1 + R) -1

Käytämme kaavaa saadaksemme karkeasti selville tilin lopulliset tulot tai tappiot (EE), esimerkiksi 1000 kaupan etäisyydellä.

Missä N on niiden kauppojen määrä, jotka aiomme suorittaa.

Otetaan esimerkiksi alkutiedot:

stop loss - 30 dollaria.

voitto - 100 dollaria.

Tapahtumien määrä 30

Matemaattinen odotus on negatiivinen vain, jos kannattavien ja tappiollisten kauppojen suhde (R) on 20%/80% tai huonompi, muissa tapauksissa se on positiivinen.

Olkoon voitto nyt 150. Silloin odotus on negatiivinen suhteessa 16 %/84 %. Tai alemmas.

Johtopäätös.

Mitä tehdä sen kanssa? Aloita tilastojen pitäminen, jos et ole jo tehnyt. Tarkista kaupat, määritä matti-odotuksesi. Etsi jotain, jota voidaan parantaa (oikeiden merkintöjen määrä, voittojen lisääminen, tappioiden leikkaaminen)

Expertcoinin kehittämä

Markkinoiden ennustaminen perusanalyysin avulla on hieman hankalaa, mutta se on tarpeeksi helppo ymmärtää. Monet teistä ovat jo kuulleet tästä menetelmästä. Useimmille aloitteleville kauppiaille perusanalyysi on kuitenkin erittäin vaikea ennustemenetelmä. Fundamentaalisella analyysillä on pitkä historia, sillä sitä on käytetty rahoitusmarkkinoilla yli 100 vuoden ajan. Voit soveltaa sitä kaikkiin taloudellisiin…

On olemassa monia menetelmiä, joita sijoittajat ja kauppiaat voivat käyttää kannattavien positioiden löytämiseen. Yksinkertaisista näyttöarvoista monimutkaisempiin järjestelmiin, kuten CANSLIM. Näitä menetelmiä voidaan käyttää osakkeiden ja muiden ostettavien omaisuuserien etsimiseen. Tässä on kaikki toivo, että sijoittajan menetelmä auttaa ohjaamaan heitä suuriin voittoihin ja viemään tunteita pois ...

Ralph Nelson Elliot oli ammattilainen, ja hän toimi erilaisissa kirjanpito- ja liiketehtävissä, kunnes hän sairastui Keski-Amerikassa, mikä johti ei-toivottuun eläkkeelle 58-vuotiaana. Nyt hänellä oli runsaasti aikaa, ja Elliot alkoi tutkia 75 vuoden osakemarkkinoiden käyttäytymistä 1900-luvun alussa määrittääkseen vuosittaisen, kuukausittaisen, viikoittaisen, päivittäisen, tunnin tai…

Kuvittele, että menetät yli 660 000 dollaria vain 30 sekunnissa! Tammikuussa 2014 ammattikauppias pystyi tekemään saman HSBC:n osakkeilla lihavien sormien ansiosta, eikä kaupankäynnilleen asetettu ylähintarajaa. Tässä tapauksessa elinkeinonharjoittaja voisi luultavasti välttää tappiot tekemällä rajatoimeksiannon markkinatoimeksiannon sijaan, joten…

Jos aiot sijoittaa eläkkeelle jäämisen jälkeen elättääksesi itsesi, ainoa asia, josta olet huolissasi, on se, onko sinulla tarpeeksi rahaa pitkän aikavälin tarpeisiisi. Eläkesuunnitteluun kuuluu laskelmia, joiden avulla selvitetään kuinka paljon ja kuinka nopeasti rahasi kasvavat ajan myötä. Korkoa korolle...

Jokainen elinkeinonharjoittaja kohtaa hinnanpudotuksen käydessään kauppaa, olipa kyseessä osakekauppa, valuuttakauppa tai futuurikauppa. Liukuminen tarkoittaa sitä, että saat hinnan, joka poikkeaa siitä, mitä odotit kaupankäynnin aloittamiselle tai poistumiselle. Jos osakkeen osto-ask-ero on 49,36–49,37 dollaria ja annat markkinatoimeksiannon ostaa 500 osaketta, odotat…

Opastamme sinut erityyppisten osakekaupankäyntien läpi, jotta voit päättää, mitä analysoit ja miten. Kysymys kuuluu, millainen osakekauppias haluat tulla. Se riippuu ymmärryksestäsi "sinä" ja tietämyksestäsi erityyppisistä kaupankäynnistä. Erilaiset kaupankäynnit vaativat erityyppistä persoonallisuutta, aikaa ja investointeja. Siksi sinun on päätettävä, että...

Liikkeet trendin suuntaan kutsutaan impulsseiksi, kun taas liikkeitä trendiä vastaan ​​kutsutaan retracementiksi. Fibonacci-retracement-tasot korostavat useita alueita, joilla jäljitys voi kääntyä trendin suuntaan, mikä tekee niistä hyödyllisiä trendin tulopisteiden vahvistamisessa. Fibonacci-tasojen alkuperä Fibonacci-tasot on otettu lukusarjasta, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Pisano Bogolo keksi vuonna…

Fundamentaalinen analyysi

Fundamentaalianalyysi on menetelmä tilinpäätöksen tilan määrittämiseksi, se keskittyy yrityksen vahvuuksiin ja heikkouksiin ottamatta huomioon päivittäisiä hintojen ja kaupankäyntivolyymien muutoksia. Mikä on perusosakeanalyysi? Fundamentaalinen analyysi on analyysimenetelmä, jossa tiedot aiemmista raporteista varoista, tuloista, tuotteista, myynnistä, johdosta, markkinoista ja valmistusta koskevasta lainsäädännöstä…

- poikien määrä 10 vastasyntyneen joukossa.

On aivan selvää, että tätä lukua ei tiedetä etukäteen, ja seuraavan kymmenen lapsen aikana saattaa syntyä:

Tai pojat - yksi ja ainoa luetelluista vaihtoehdoista.

Ja pysyäksesi kunnossa, vähän fyysistä koulutusta:

-pituushypyn matka (joissakin yksiköissä).

Edes urheilun mestari ei osaa ennustaa sitä :)

Mutta mitkä ovat hypoteesisi?

2) Jatkuva satunnaismuuttuja - ottaa kaikki numeeriset arvot joltain äärettömältä tai äärettömältä alueelta.

Huomautus : lyhenteet DSV ja NSV ovat suosittuja oppikirjallisuudessa

Analysoidaan ensin diskreetti satunnaismuuttuja, sitten - jatkuva.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki

- Tämä vaatimustenmukaisuus tämän suuren mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välillä. Useimmiten laki kirjoitetaan taulukkoon:

Termi on melko yleinen rivi jakelu, mutta joissain tilanteissa se kuulostaa epäselvältä, ja siksi aion noudattaa "lakia".

Ja nyt erittäin tärkeä kohta: koska satunnaismuuttuja välttämättä hyväksyy yksi arvoista, sitten vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä ja niiden esiintymistodennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

tai jos kirjoitetaan taitettuna:

Joten esimerkiksi lailla noppien pisteiden todennäköisyyksien jakautumisesta on seuraava muoto:

Ei kommentteja.

Saatat ajatella, että diskreetti satunnaismuuttuja voi saada vain "hyviä" kokonaislukuja. Hävitetään illuusio – ne voivat olla mitä tahansa:

Esimerkki 1

Joillakin peleillä on seuraava voittojakelulaki:

…luultavasti olet haaveillut sellaisista tehtävistä pitkään :) Kerron sinulle salaisuuden - minä myös. Varsinkin työn päätyttyä kenttäteoria.

Päätös: koska satunnaismuuttuja voi ottaa vain yhden kolmesta arvosta, vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä, mikä tarkoittaa, että niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

Paljastamme "partisaanin":

– siis todennäköisyys voittaa tavanomaiset yksiköt on 0,4.

Hallinta: mitä sinun on varmistettava.

Vastaus:

Ei ole harvinaista, että jakelulaki on laadittava itsenäisesti. Tähän käyttöön klassinen todennäköisyyden määritelmä, tapahtumatodennäköisyyksien kerto-/lisäyslauseet ja muut sirut tervera:

Esimerkki 2

Laatikossa on 50 arpalippua, joista 12 voittaa, ja 2 niistä voittaa kukin 1000 ruplaa ja loput - 100 ruplaa kukin. Piirrä satunnaismuuttujan jakautumislaki - voiton suuruus, jos laatikosta nostetaan satunnaisesti yksi lippu.

Päätös: kuten huomasit, on tapana sijoittaa satunnaismuuttujan arvot nousevassa järjestyksessä. Siksi aloitamme pienimmistä voitoista, nimittäin ruplista.

Yhteensä tällaisia ​​lippuja on 50 - 12 = 38 kappaletta ja sen mukaan klassinen määritelmä:
on todennäköisyys, että satunnaisesti arvottu lippu ei voita.

Loput tapaukset ovat yksinkertaisia. Ruplavoiton todennäköisyys on:

Tarkistaminen: - ja tämä on erityisen miellyttävä hetki tällaisissa tehtävissä!

Vastaus: vaadittu maksunjakolaki:

Seuraava tehtävä itsenäistä päätöstä varten:

Esimerkki 3

Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, on . Tee jakautumislaki satunnaismuuttujalle - osumien määrä 2 laukauksen jälkeen.

... Tiesin, että kaipasit häntä :) Muistamme kerto- ja yhteenlaskulauseet. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jakaumalaki kuvaa täysin satunnaismuuttujan, mutta käytännössä on hyödyllistä (ja joskus hyödyllisempää) tietää vain osa siitä. numeeriset ominaisuudet .

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Yksinkertaisesti sanottuna tämä keskimääräinen odotusarvo toistuvalla testauksella. Ottaa satunnaismuuttujan arvot todennäköisyyksineen vastaavasti. Sitten tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tuotteiden summa kaikki sen arvot vastaavilla todennäköisyyksillä:

tai taitettuna:

Lasketaan esimerkiksi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus - noppaan pudonneiden pisteiden määrä:

Muistetaan nyt hypoteettinen pelimme:

Herää kysymys: onko tämän pelin pelaaminen edes kannattavaa? ... kenellä on vaikutelmia? Joten et voi sanoa "suoraan"! Mutta tähän kysymykseen voidaan vastata helposti laskemalla matemaattinen odotus, pohjimmiltaan - painotettu keskiarvo voiton todennäköisyys:

Näin ollen tämän pelin matemaattiset odotukset häviämässä.

Älä luota vaikutelmiin - luota numeroihin!

Kyllä, täällä voit voittaa 10 tai jopa 20-30 kertaa peräkkäin, mutta pitkällä aikavälillä olemme väistämättä pilalla. Ja en neuvoisi sinua pelaamaan sellaisia ​​pelejä :) No, ehkä vain huvin vuoksi.

Kaikesta yllä olevasta seuraa, että matemaattinen odotus EI OLE SATUnnainen arvo.

Luova tehtävä itsenäiseen tutkimukseen:

Esimerkki 4

Mr X pelaa eurooppalaista rulettia seuraavan järjestelmän mukaisesti: hän panostaa jatkuvasti 100 ruplaa punaiselle. Laadi satunnaismuuttujan jakautumislaki - sen voitto. Laske matemaattinen voitto-odotus ja pyöristä se kopeikoihin. Kuinka paljon keskiverto häviääkö pelaaja jokaisesta sadaspanoksesta?

Viite : Eurooppalainen ruletti sisältää 18 punaista, 18 mustaa ja 1 vihreää sektoria ("nolla"). Jos "punainen" putoaa, pelaajalle maksetaan tuplaveto, muuten se menee kasinon tuloihin

On monia muita rulettijärjestelmiä, joille voit luoda omia todennäköisyystaulukoita. Mutta tämä on tilanne, kun emme tarvitse jakelulakeja ja -taulukoita, koska on varmaa, että pelaajan matemaattiset odotukset ovat täsmälleen samat. Vain muutokset järjestelmästä toiseen

Kuten jo tiedetään, jakautumislaki luonnehtii täysin satunnaismuuttujaa. Jakelulaki on kuitenkin usein tuntematon ja joudutaan rajoittumaan pienempään tietoon. Joskus on vieläkin kannattavampaa käyttää lukuja, jotka kuvaavat satunnaismuuttujaa yhteensä; sellaisia ​​numeroita kutsutaan satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet. Matemaattinen odotus on yksi tärkeimmistä numeerisista ominaisuuksista.

Matemaattinen odotus, kuten alla esitetään, on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan keskiarvo. Monien ongelmien ratkaisemiseksi riittää, että tunnet matemaattisen odotuksen. Jos esimerkiksi tiedetään, että ensimmäisen ampujan pistemäärän matemaattinen odotus on suurempi kuin toisen, ensimmäinen ampuja tyrmää keskimäärin enemmän pisteitä kuin toinen ja ampuu siten paremmin kuin toinen. toinen. Vaikka matemaattinen odotus antaa paljon vähemmän tietoa satunnaismuuttujasta kuin sen jakautumislaki, mutta esimerkiksi annetun ja monien muiden ongelmien ratkaisemiseen riittää tieto matemaattisesta odotuksesta.

§ 2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

matemaattinen odotus Diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan kaikkien sen mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summaksi.

Olkoon satunnaismuuttuja X voi ottaa vain arvoja X 1 , X 2 , ..., X P , joiden todennäköisyydet ovat vastaavasti yhtä suuret R 1 , R 2 , . . ., R P . Sitten matemaattinen odotus M(X) Satunnaismuuttuja X määritellään tasa-arvolla

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n p n .

Jos diskreetti satunnaismuuttuja X ottaa sitten laskettavan joukon mahdollisia arvoja

M(X)=

lisäksi matemaattinen odotus on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella olevat sarjat konvergoivat absoluuttisesti.

Kommentti. Määritelmästä seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja. Suosittelemme, että muistat tämän lausunnon, koska sitä käytetään toistuvasti myöhemmin. Myöhemmin osoitetaan, että myös jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on vakioarvo.

Esimerkki 1 Etsi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X, tietäen sen jakautumislain:

Päätös. Haluttu matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Esimerkki 2 Etsi matemaattinen odotus tapahtuman esiintymistiheydestä MUTTA yhdessä kokeessa, jos tapahtuman todennäköisyys MUTTA on yhtä suuri kuin R.

Päätös. Satunnainen arvo X - tapahtuman esiintymisten määrä MUTTA yhdessä testissä - voi ottaa vain kaksi arvoa: X 1 = 1 (tapahtuma MUTTA tapahtui) todennäköisyydellä R ja X 2 = 0 (tapahtuma MUTTA ei tapahtunut) todennäköisyydellä q= 1 -R. Haluttu matemaattinen odotus

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Niin, matemaattinen odotus tapahtuman esiintymisten lukumäärästä yhdessä kokeessa on yhtä suuri kuin tämän tapahtuman todennäköisyys. Tätä tulosta käytetään alla.

§ 3. Matemaattisen odotuksen todennäköisyysmerkitys

Anna tuotettu P testejä, joissa satunnaismuuttuja X hyväksytty t 1 kertaa arvo X 1 , t 2 kertaa arvo X 2 ,...,m k kertaa arvo x k , ja t 1 + t 2 + …+t kohtaan = s. Sitten kaikkien otettujen arvojen summa X, on yhtä suuri kuin

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X kohtaan t kohtaan .

Etsi aritmeettinen keskiarvo kaikista satunnaismuuttujiksi hyväksytyistä arvoista, joille jaamme löydetyn summan kokeiden kokonaismäärällä:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X kohtaan t kohtaan)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X kohtaan (t kohtaan /P). (*)

Huomaa, että suhde m 1 / n- suhteellinen taajuus W 1 arvot X 1 , m 2 / n - suhteellinen taajuus W 2 arvot X 2 jne., kirjoitamme suhteen (*) seuraavasti:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X kohtaan W k . (**)

Oletetaan, että kokeiden määrä on riittävän suuri. Tällöin suhteellinen esiintymistiheys on suunnilleen yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys (tämä todistetaan IX luvun 6 §:ssä):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Korvaamalla suhteelliset taajuudet suhteessa (**) vastaavilla todennäköisyyksillä saadaan

x 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X kohtaan R kohtaan .

Tämän likimääräisen tasa-arvon oikea puoli on M(X). Niin,

M(X).

Saadun tuloksen todennäköisyysmerkitys on seuraava: matemaattinen odotus on suunnilleen yhtä suuri kuin(mitä tarkempi, sitä suurempi määrä kokeita) satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo.

Huomautus 1. On helppo nähdä, että matemaattinen odotus on suurempi kuin pienin ja pienempi kuin suurimmat mahdolliset arvot. Toisin sanoen numeroakselilla mahdolliset arvot sijaitsevat odotusarvon vasemmalla ja oikealla puolella. Tässä mielessä odotus luonnehtii jakelun sijaintia, ja siksi sitä kutsutaan usein nimellä jakelukeskus.

Tämä termi on lainattu mekaniikasta: jos massat R 1 , R 2 ,..., R P sijaitsevat pisteissä, joissa on abskissat x 1 , X 2 , ..., X n, ja
sitten painopisteen abskissa

x c =
.

Olettaen että
= M (X) ja
saamme M(X)= x kanssa .

Joten matemaattinen odotus on materiaalipistejärjestelmän painopisteen abskissa, jonka abskissat ovat yhtä suuret kuin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja massat ovat yhtä suuria kuin niiden todennäköisyydet.

Huomautus 2. Käsitteen "odotus" alkuperä liittyy todennäköisyysteorian alkuvaiheeseen (XVI-XVII vuosisatoja), jolloin sen soveltamisala rajoittui uhkapeleihin. Pelaajaa kiinnosti odotetun voiton keskiarvo, eli toisin sanoen voiton matemaattinen odotus.