Virheiden laskeminen suorissa ja epäsuorissa mittauksissa
Mittauksella tarkoitetaan mitatun arvon vertailua toiseen mittayksikkönä otettuun arvoon. Mittaukset suoritetaan empiirisesti erityisillä teknisillä keinoilla.
Suoraa mittausta kutsutaan mittaukseksi, jonka tulos saadaan suoraan kokeellisista tiedoista (esim. pituuden mittaus viivaimella, aika sekuntikellolla, lämpötila lämpömittarilla). Epäsuorat mittaukset ovat mittauksia, joissa haluttu suuren arvo löydetään tämän suuren ja niiden suureiden välisen tunnetun suhteen perusteella, joiden arvot saadaan suorilla mittauksilla (esimerkiksi määrittämällä nopeus kuljetulla matkalla ja aika https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Kaikkiin mittauksiin, riippumatta siitä kuinka huolellisesti se suoritetaan, liittyy välttämättä virhe (virhe) - mittaustuloksen poikkeama mitatun suuren todellisesta arvosta.
Systemaattiset virheet ovat virheitä, joiden suuruus on sama kaikissa samalla menetelmällä samoilla mittauslaitteilla ja samoissa olosuhteissa suoritetuissa mittauksissa. Systemaattisia virheitä tapahtuu:
Johtuen mittauksissa käytettävien instrumenttien epätäydellisyydestä (esimerkiksi ampeerimittarin neula voi poiketa nollajaosta virran puuttuessa; tasapainopalkin varret voivat olla epätasaiset jne.);
Mittausmenetelmän teorian riittämättömän kehityksen seurauksena, eli mittausmenetelmä sisältää virhelähteen (esimerkiksi virhe syntyy, kun lämpöhäviötä ympäristöön ei oteta huomioon kalorimetrisissä töissä tai punnittaessa analyyttistä ainetta). tasapainotus suoritetaan ottamatta huomioon ilman nostevoimaa) ;
Johtuen siitä, että kokeen olosuhteiden muutosta ei oteta huomioon (esimerkiksi virran pitkäaikaisen kulkemisen aikana piirin läpi, virran lämpövaikutuksen seurauksena sähköiset parametrit piirin muutoksesta).
Systemaattiset virheet voidaan eliminoida, jos tutkitaan instrumenttien ominaisuuksia, kehitetään kokeeteoriaa kattavammin ja tämän perusteella tehdään korjauksia mittaustuloksiin.
Satunnaisvirheet ovat virheitä, joiden suuruus on erilainen jopa samalla tavalla tehdyissä mittauksissa. Niiden syyt ovat sekä aistiemme epätäydellisyydessä että monissa muissa mittauksiin liittyvissä olosuhteissa, joita ei voida ottaa huomioon etukäteen (satunnaisia virheitä tapahtuu esim. jos fotometrin valaistuskenttien yhtäläisyys asetetaan silmällä ; jos matemaattisen heilurin maksimipoikkeaman momentti määräytyy silmällä ; kun äänen resonanssimomentti löydetään korvalla; kun punnitaan analyyttisellä vaakalla, välittyvätkö lattian ja seinien värähtelyt vaakaan jne.) .
Satunnaisia virheitä ei voida välttää. Niiden esiintyminen ilmenee siinä, että toistettaessa saman suuren mittauksia samalla huolella saadaan numeerisia tuloksia, jotka eroavat toisistaan. Siksi, jos samat arvot saatiin toistettaessa mittauksia, tämä ei tarkoita satunnaisten virheiden puuttumista, vaan mittausmenetelmän riittämätöntä herkkyyttä.
Satunnaisvirheet muuttavat tulosta sekä yhteen että toiseen suuntaan todellisesta arvosta, joten satunnaisvirheiden vaikutuksen vähentämiseksi mittaustulokseen mittaukset toistetaan yleensä useita kertoja ja kaikkien mittaustulosten aritmeettinen keskiarvo on otettu.
Tietoisesti virheelliset tulokset - poikkeamia tapahtuu mittauksen perusehtojen rikkomisesta, kokeen suorittajan huolimattomuudesta tai laiminlyönnistä. Esimerkiksi huonossa valaistuksessa kirjoita "3" sijaan "8"; johtuen siitä, että kokeilija on hajamielinen, hän voi mennä harhaan laskeessaan heilurin heilahdusten määrää; huolimattomuudesta tai huolimattomuudesta johtuen hän voi sekoittaa kuormien massat jousen jäykkyyttä yms. määrittäessään. Ulkoinen merkki poikkeamasta on jyrkkä suuruusero muiden mittausten tuloksista. Jos virhe havaitaan, mittaustulos tulee heti hylätä ja itse mittaus toistaa. Virheiden tunnistamista helpottaa myös eri kokeilijoiden mittaustulosten vertailu.
Fyysisen suuren mittaaminen tarkoittaa sen luottamusvälin löytämistä, jossa sen todellinen arvo on https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> tapauksissa, mitatun arvon todellinen arvo osuu luottamusväliin. arvo ilmaistaan joko yksikön murto-osina tai prosentteina. Useimmat mittaukset rajoittuvat luotettavuustasoon 0,9 tai 0,95 Joskus, kun vaaditaan erittäin korkeaa luotettavuutta, käytetään 0,999:n luottamustasoa. Usein käytetään merkitsevyystasoa, joka määrittää todennäköisyyden, että todellinen arvo ei osu luottamusväliin Mittaustulos esitetään muodossa
jossa https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> on absoluuttinen virhe. Siten intervallirajat, https://pandia.ru /text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> on tällä alueella.
Etsi ja suorita sarja yksittäisiä mittauksia. Harkitse tiettyä esimerkkiä..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Arvot voidaan toistaa, kuten arvot ja https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Vastaavasti merkitsevyystaso .
Mitatun arvon keskiarvo
Myös mittauslaite vaikuttaa mittausvirheeseen. Tämä virhe johtuu laitteen rakenteesta (kitka osoitinlaitteen akselissa, digitaalisen tai erillisen osoitinlaitteen tuottama pyöristys jne.). Tämä on luonteeltaan systemaattinen virhe, mutta sen suuruus tai merkki ei ole tiedossa tälle instrumentille. Instrumentaalivirhe arvioidaan testattaessa suurta sarjaa samantyyppisiä instrumentteja.
Mittauslaitteiden tarkkuusluokkien normalisoitu alue sisältää seuraavat arvot: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Laitteen tarkkuusluokka on yhtä suuri kuin laitteen suhteellinen virhe prosentteina ilmaistuna suhteessa koko asteikon alueeseen. Laitteen passivirhe
Mittaukset tehdään aina virheillä, jotka liittyvät mittauslaitteiden rajalliseen tarkkuuteen, väärään valintaan ja mittausmenetelmän virheeseen, kokeen tekijän fysiologiaan, mitattavien kohteiden ominaisuuksiin, mittausolosuhteiden muutoksiin jne. Siksi mittaustehtävä sisältää paitsi itse suuren, myös mittausvirheen, ts. aikaväli, jolta mitatun suuren todellinen arvo todennäköisimmin löydetään. Esimerkiksi, kun mitataan aikaväliä t sekuntikellolla, jonka jakoarvo on 0,2 s, voidaan sanoa, että sen todellinen arvo on välillä s - 
kanssa. Näin ollen mitattu arvo sisältää aina jonkin virheen 
, missä 
ja X ovat vastaavasti tutkittavan suuren todelliset ja mitatut arvot. Arvo 
nimeltään absoluuttinen virhe(virhe)mittaukset ja lauseke 
mittaustarkkuutta kuvaavaa kutsutaan suhteellinen virhe.
On aivan luonnollista, että kokeilija tekee jokaisen mittauksen suurimmalla saavutettavalla tarkkuudella, mutta tällainen lähestymistapa ei aina ole tarkoituksenmukaista. Mitä tarkemmin haluamme mitata tämän tai toisen suuren, mitä monimutkaisempia laitteita meidän on käytettävä, sitä enemmän nämä mittaukset vaativat aikaa. Siksi lopputuloksen tarkkuuden tulee vastata kokeen tarkoitusta. Virheteoria antaa suosituksia siitä, miten mittaukset tulisi tehdä ja miten tuloksia tulisi käsitellä niin, että virhemarginaali on mahdollisimman pieni.
Kaikki mittauksissa syntyvät virheet jaetaan yleensä kolmeen tyyppiin - systemaattiset, satunnaiset ja poissaolot eli karkeat virheet.
Systemaattiset virheet johtuen laitteiden valmistuksen rajallisesta tarkkuudesta (instrumenttivirheet), valitun mittausmenetelmän puutteista, laskentakaavan epätarkkuudesta, laitteen virheellisestä asennuksesta jne. Siten systemaattiset virheet johtuvat tekijöistä, jotka toimivat samalla tavalla, kun samat mittaukset toistetaan monta kertaa. Tämän virheen arvoa toistetaan systemaattisesti tai muutetaan tietyn lain mukaan. Jotkut systemaattiset virheet voidaan poistaa (käytännössä tämä on aina helppo saavuttaa) muuttamalla mittausmenetelmää, tekemällä korjauksia mittaustulosten lukemiin ja huomioimalla ulkoisten tekijöiden jatkuva vaikutus.
Vaikka systemaattinen (instrumentaalinen) virhe toistuvien mittausten aikana antaa mitatun arvon poikkeaman todellisesta arvosta yhteen suuntaan, emme koskaan tiedä, mihin suuntaan. Siksi instrumentaalivirhe kirjoitetaan kaksoismerkillä
Satunnaisia virheitä aiheutuvat suuresta määrästä satunnaisia syitä (lämpötilan, paineen muutokset, rakennuksen tärinä jne.), joiden vaikutus jokaiseen mittaukseen on erilainen eikä niitä voida ottaa huomioon etukäteen. Satunnaisia virheitä esiintyy myös kokeen tekijän aistielinten epätäydellisyydestä johtuen. Satunnaisvirheet sisältävät myös mitattavan kohteen ominaisuuksista johtuvat virheet.
Yksittäisten mittausten satunnaisia virheitä ei voida sulkea pois, mutta näiden virheiden vaikutusta lopputulokseen voidaan vähentää useilla mittauksilla. Jos satunnaisvirhe osoittautuu huomattavasti pienemmäksi kuin instrumentaalinen (systeeminen) virhe, ei ole mitään järkeä pienentää satunnaisvirhettä lisää lisäämällä mittausten määrää. Jos satunnaisvirhe on suurempi kuin instrumentaalinen virhe, niin mittausten määrää tulee lisätä, jotta satunnaisvirheen arvoa pienennetään ja se saadaan pienemmäksi tai yhden suuruusluokan instrumentaalivirheen kanssa.
Virheitä tai virheitä- nämä ovat laitteen virheellisiä lukemia, virheellistä lukeman tallennusta jne. Ilmoitetuista syistä johtuvat poikkeamat ovat pääsääntöisesti selvästi näkyvissä, koska niitä vastaavat lukemat eroavat jyrkästi muista lukemista. Puutteet on eliminoitava kontrollimittauksilla. Siten sen välin leveys, jossa mitattujen suureiden todelliset arvot ovat, määräytyy vain satunnaisten ja systemaattisten virheiden perusteella.
2 . Systemaattisen (instrumentaalisen) virheen estimointi
Suoraan mittaukseen mitatun suuren arvo luetaan suoraan mittauslaitteen asteikolta. Lukuvirhe voi olla useita asteikon kymmenesosia. Yleensä tällaisissa mittauksissa systemaattisen virheen suuruuden katsotaan olevan yhtä suuri kuin puolet mittauslaitteen asteikon jaosta. Esimerkiksi mitattaessa jarrusatulalla, jonka jakoarvo on 0,05 mm, instrumentaalisen mittausvirheen arvoksi otetaan 0,025 mm.
Digitaaliset mittalaitteet antavat mittaamiensa suureiden arvon virheellä, joka on yhtä suuri kuin mitta-asteikon viimeisen numeron yksi yksikkö. Joten jos digitaalinen volttimittari näyttää arvon 20,45 mV, niin mittauksen absoluuttinen virhe on 
mV.
Systemaattisia virheitä syntyy myös käytettäessä taulukoista määritettyjä vakioarvoja. Tällaisissa tapauksissa virheeksi katsotaan puolet viimeisestä merkitsevästä numerosta. Esimerkiksi, jos taulukossa teräksen tiheyden arvo on annettu arvolla, joka on yhtä suuri kuin 7,9∙10 3 kg / m 3, niin absoluuttinen virhe tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin 
kg/m3.
Alla käsitellään joitain sähköisten mittauslaitteiden instrumentaalisten virheiden laskennan ominaisuuksia.
Määritettäessä epäsuorien mittausten systemaattista (instrumentaalista) virhettä toiminnallinen arvo 
kaavaa käytetään
, (1)
missä 
- suuren suorien mittausten instrumenttivirheet 
, 
- funktion osittaiset derivaatat muuttujan suhteen.
Esimerkkinä saadaan kaava sylinterin tilavuuden mittaamisen systemaattisen virheen laskemiseksi. Kaava sylinterin tilavuuden laskemiseksi on
.
Osittaiset derivaatat muuttujien suhteen d ja h tulee olemaan tasa-arvoisia
, 
.
Siten kaava absoluuttisen systemaattisen virheen määrittämiseksi sylinterin tilavuuden mittauksessa kohdan (2. ..) mukaisesti on seuraavanlainen
,
missä 
ja 
instrumentaalivirheitä sylinterin halkaisijan ja korkeuden mittauksessa
3. Satunnaisvirhearvio.
Luottamusväli ja luottamustodennäköisyys
Suurimmalle osalle yksinkertaisista mittauksista niin sanottu normaali satunnaisvirheiden laki täyttyy melko hyvin ( Gaussin laki), joka on johdettu seuraavista empiirisista säännöksistä.
mittausvirheet voivat ottaa jatkuvan sarjan arvoja;
suurella määrällä mittauksia, samansuuruisia, mutta eri merkkisiä virheitä esiintyy yhtä usein,
Mitä suurempi satunnainen virhe on, sitä todennäköisemmin se tapahtuu.
Normaali Gaussin jakauman käyrä on esitetty kuvassa 1. Käyräyhtälöllä on muoto
, (2)
missä 
- satunnaisten virheiden (virheiden) jakaumafunktio, joka kuvaa virheen todennäköisyyttä 
, σ on neliövirheen keskiarvo.
Arvo σ ei ole satunnaismuuttuja ja kuvaa mittausprosessia. Jos mittausolosuhteet eivät muutu, σ pysyy vakiona. Tämän suuren neliö on ns mittausten hajonta. Mitä pienempi hajonta, sitä pienempi on yksittäisten arvojen hajautus ja sitä suurempi on mittaustarkkuus.
Neliön keskiarvovirheen σ tarkkaa arvoa, samoin kuin mitatun suuren todellista arvoa, ei tunneta. Tälle parametrille on olemassa ns. tilastollinen estimaatti, jonka mukaan keskineliövirhe on yhtä suuri kuin aritmeettisen keskiarvon keskineliövirhe. 
. jonka arvo määräytyy kaavan mukaan
, (3)
missä 
-tulos i-th ulottuvuus; 
- saatujen arvojen aritmeettinen keskiarvo; n
on mittausten lukumäärä.
Mitä suurempi määrä mittauksia on, sitä pienempi ja sitä enemmän se lähestyy arvoa σ. Jos mitatun arvon μ todellinen arvo, sen mittausten tuloksena saatu aritmeettinen keskiarvo ja satunnainen absoluuttinen virhe , niin mittaustulos kirjoitetaan 
.
Arvoväli alkaen 
ennen 
, jossa mitatun suuren μ todellinen arvo putoaa, kutsutaan luottamusväli. Koska kyseessä on satunnaismuuttuja, todellinen arvo putoaa luottamusvälille todennäköisyydellä α, jota ns. luottamustodennäköisyys, tai luotettavuus mitat. Tämä arvo on numeerisesti yhtä suuri kuin varjostetun kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. (katso kuva.)
Kaikki tämä pätee riittävän suurelle määrälle mittauksia, kun on lähellä arvoa σ. Luottamusvälin ja luottamustason löytämiseksi pienelle määrälle mittauksia, joita käsittelemme laboratoriotyössä, käytämme Opiskelijan todennäköisyysjakauma. Tämä on satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma 
nimeltään Opiskelijan kerroin, antaa luottamusvälin arvon aritmeettisen keskiarvon neliövirheen murto-osina.
. (4)
Tämän suuren todennäköisyysjakauma ei riipu σ 2:sta, vaan riippuu olennaisesti kokeiden lukumäärästä n. Kokeiden määrän lisääntyessä n Studentin jakauma pyrkii Gaussin jakaumaan.
Jakaumafunktio on taulukoitu (taulukko 1). Studentin kertoimen arvo on mittausten lukumäärää vastaavan suoran leikkauspisteessä n, ja luottamustasoa α vastaava sarake
Pöytä 1.
Taulukon tietojen avulla voit:
määrittää luottamusväli tietyllä todennäköisyydellä;
valitse luottamusväli ja määritä luottamustaso.
Epäsuorassa mittauksessa funktion aritmeettisen keskiarvon neliövirheen keskiarvo lasketaan kaavalla
. (5)
Luottamusväli ja luottamustodennäköisyys määritetään samalla tavalla kuin suorien mittausten tapauksessa.
Kokonaismittausvirheen estimointi. Lopputuloksen tallennus.
X:n mittaustuloksen kokonaisvirhe määritellään systemaattisten ja satunnaisten virheiden keskineliöarvona
, (6)
missä δx - instrumentaalivirhe, Δ X on satunnainen virhe.
X voi olla joko suoraan tai epäsuorasti mitattu suure.
, α=…, Е=… (7)
On pidettävä mielessä, että itse virheteorian kaavat pätevät suurelle määrälle mittauksia. Siksi satunnaisen arvo ja siten kokonaisvirhe määritetään pienelle n suurella virheellä. Kun lasketaan Δ X mittausten lukumäärän kanssa 
on suositeltavaa rajoittaa yhteen merkitsevä luku, jos se on suurempi kuin 3, ja kahteen, jos ensimmäinen merkitsevä luku on pienempi kuin 3. Esimerkiksi jos Δ X= 0,042, hylkää sitten 2 ja kirjoita Δ X=0,04, ja jos Δ X=0,123, niin kirjoitetaan Δ X=0,12.
Tuloksen numeroiden ja kokonaisvirheen on oltava samat. Siksi virheen aritmeettisen keskiarvon tulee olla sama. Siksi aritmeettinen keskiarvo lasketaan ensin yhden numeron verran enemmän kuin mittaus, ja tulosta kirjattaessa sen arvo tarkennetaan kokonaisvirheen numeromäärään.
4. Mittausvirheiden laskentamenetelmät.
Virheet suorissa mittauksissa
Suorien mittausten tuloksia käsiteltäessä on suositeltavaa noudattaa seuraavaa toimintajärjestystä.
. (8)
.
.
Kokonaisvirhe määritetään
Mittaustuloksen suhteellinen virhe on arvioitu
.
Lopputulos kirjoitetaan muodossa
, jossa α=… E=…%.
5. Epäsuorien mittausten virhe
Arvioitaessa epäsuorasti mitatun suuren todellista arvoa, joka on muiden riippumattomien suureiden funktio 
, voidaan käyttää kahta tapaa.
Ensimmäinen tapa käytetään, jos arvo y määritetään erilaisissa koeolosuhteissa. Tässä tapauksessa jokaiselle arvolle 
, ja sitten määritetään kaikkien arvojen aritmeettinen keskiarvo y i
. (9)
Systemaattinen (instrumentaalinen) virhe löydetään kaavan mukaan kaikkien mittausten tunnettujen instrumentaalivirheiden perusteella. Satunnaisvirhe määritellään tässä tapauksessa suoraksi mittausvirheeksi.
Toinen tapa pätee, jos toiminto y määritetään useita kertoja samoilla mittauksilla. Tässä tapauksessa arvo lasketaan keskiarvoista. Laboratoriokäytännössämme käytetään useammin toista epäsuorasti mitatun suuren määritysmenetelmää y. Systemaattinen (instrumentaalinen) virhe, kuten ensimmäisessä menetelmässä, löydetään kaikkien mittausten tunnettujen instrumentaalivirheiden perusteella kaavan mukaisesti
Epäsuoran mittauksen satunnaisvirheen löytämiseksi lasketaan ensin yksittäisten mittausten aritmeettisen keskiarvon neliövirheiden keskiarvo. Sitten löydetään neliövirhe y. Luottamustodennäköisyyden α asettaminen, Studentin kertoimen löytäminen, satunnais- ja kokonaisvirheiden määrittäminen suoritetaan samalla tavalla kuin suorissa mittauksissa. Vastaavasti kaikkien laskelmien tulos esitetään muodossa
, jossa α=… E=…%.
6. Esimerkki laboratoriotyön suunnittelusta
Lab #1
SYLINTERIN TILAVUUS MÄÄRITTÄMINEN
Lisätarvikkeet: noniersatula, jonka jakoarvo on 0,05 mm, mikrometri, jonka jakoarvo on 0,01 mm, sylinterimäinen runko.
Tavoite: perehtyminen yksinkertaisimpiin fysikaalisiin mittauksiin, sylinterin tilavuuden määrittäminen, suorien ja epäsuorien mittausten virheiden laskeminen.
Työmääräys
Ota sylinterin halkaisija vähintään 5 mittausta jarrusatulalla ja sen korkeus mikrometrillä.
Laskentakaava sylinterin tilavuuden laskemiseen
missä d on sylinterin halkaisija; h on korkeus.
Mittaustulokset
Taulukko 2.
Mittaus nro | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
E = 0,5 %.
Useimmissa tapauksissa laboratoriotyön perimmäisenä tavoitteena on laskea haluttu arvo jollain kaavalla, joka sisältää suuret, jotka mitataan suoraan. Tällaisia mittauksia kutsutaan epäsuoriksi. Esimerkkinä annetaan kaava kiinteän lieriömäisen kappaleen tiheydelle
missä r on kappaleen tiheys, m- kehomassa, d- sylinterin halkaisija, h- hänen korkea.
Riippuvuus (A.5) yleisessä muodossa voidaan esittää seuraavasti:
missä Y on epäsuorasti mitattu suure, kaavassa (A.5) se on tiheys r; X 1 , X 2 ,... ,X n ovat suoraan mitattuja suureita, kaavassa (A.5) ne ovat m, d, ja h.
Epäsuoran mittauksen tulos ei voi olla tarkka, koska suureiden suorien mittausten tulokset X 1 , x2, ... ,X n sisältää aina virheitä. Siksi epäsuorissa mittauksissa, kuten suorissa mittauksissa, on välttämätöntä arvioida saadun arvon luottamusväli (absoluuttinen virhe). DY ja suhteellinen virhe e.
Laskettaessa virheitä epäsuorien mittausten tapauksessa on kätevää noudattaa seuraavaa toimintosarjaa:
1) saa jokaisen suoraan mitatun suuren á keskiarvot x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) saa epäsuorasti mitatun suuren á keskiarvo Yñ korvaamalla kaavaan (A.6) suoraan mitattujen suureiden keskiarvot;
3) arvioida suoraan mitattujen suureiden absoluuttiset virheet DX 1 , DX 2 , ..., DXn, käyttämällä kaavoja (A.2) ja (A.3);
4) hanki funktion (A.6) eksplisiittisen muodon perusteella kaava epäsuorasti mitatun suuren absoluuttisen virheen laskemiseksi DY ja laske se;
6) kirjoita mittaustulos muistiin virhe huomioiden.
Alla on ilman johtamista kaava, jonka avulla voidaan saada kaavat absoluuttisen virheen laskemiseen, jos funktion (A.6) eksplisiittinen muoto tunnetaan:
missä ¶Y¤¶ x1 jne. - Y:n osittaiset derivaatat suhteessa kaikkiin suoraan mitattuihin suureisiin X 1 , X 2 , …, X n (kun otetaan esimerkiksi osittainen derivaatta X 1, sitten kaikki muut määrät X i katsotaan vakioiksi kaavassa), D X i– suoraan mitattujen suureiden absoluuttiset virheet laskettuna kohdan (A.3) mukaisesti.
Laskettuaan DY:n he löytävät suhteellisen virheen.
Jos funktio (A.6) on kuitenkin monomi, on paljon helpompi laskea ensin suhteellinen virhe ja sitten absoluuttinen virhe.
Todellakin, jakamalla tasa-arvon (A.7) molemmat puolet Y, saamme
Mutta siitä lähtien voimme kirjoittaa
Nyt, kun tiedät suhteellisen virheen, määritä absoluuttinen.
Esimerkkinä saadaan kaava aineen tiheyden virheen laskemiseksi, joka määritetään kaavalla (A.5). Koska (A.5) on monomi, niin, kuten edellä mainittiin, on helpompi ensin laskea suhteellinen mittausvirhe kohdan (A.8) mukaisesti. Kohdassa (A.8) juuren alla on osittaisderivaataiden neliöiden summa logaritmi mitattu määrä, joten löydämme ensin luonnollisen logaritmin r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d-ln h,
ja sitten käytämme kaavaa (A.8) ja saamme sen
Kuten voidaan nähdä, kohdassa (A.9) käytetään suoraan mitattujen suureiden keskiarvoja ja niiden absoluuttisia virheitä, jotka on laskettu kohdan (A.3) mukaisella suorien mittausten menetelmällä. Luvun p aiheuttamaa virhettä ei oteta huomioon, koska sen arvo voidaan aina ottaa kaikkien muiden suureiden mittaustarkkuuden ylittävällä tarkkuudella. Laskemalla e, löydämme .
Jos epäsuorat mittaukset ovat riippumattomia (kunkin seuraavan kokeen olosuhteet eroavat edellisen kokeen olosuhteista), niin suuren arvot Y lasketaan jokaiselle yksittäiselle kokeelle. Tuotettuaan n kokemuksia, hanki n arvot Y i. Lisäksi otetaan jokainen arvo Y i(missä i- kokemusten lukumäärä) laske suoran mittauksen tulokselle á Yñ ja D Y kaavojen (A.1) ja (A.2) mukaisesti.
Sekä suorien että epäsuorien mittausten lopputuloksen pitäisi näyttää tältä:
missä m- eksponentti, u- mittayksiköt Y.
FYSIKAALLISTEN MÄÄRIEN MITTAUSVIRHEET JA
MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY
mittaamalla kutsutaan fyysisten suureiden arvojen löytämiseksi empiirisesti erityisten teknisten keinojen avulla. Mittaukset ovat suoria tai epäsuoria. klo suoraan mittauksessa fyysisen suuren haluttu arvo löydetään suoraan mittalaitteiden avulla (esim. kappaleiden mittojen mittaaminen jarrusatulalla). Epäsuora kutsutaan mittaukseksi, jossa fyysisen suuren haluttu arvo löydetään mitatun suuren ja suorien mittausten kohteena olevien suureiden välisen tunnetun toiminnallisen suhteen perusteella. Esimerkiksi määritettäessä sylinterin tilavuutta V mitataan sen halkaisija D ja korkeus H ja sitten kaavan mukaan p D 2 /4 laske sen tilavuus.
Mittauslaitteiden epätarkkuuden ja kaikkien sivuvaikutusten huomioimisen vaikeudesta johtuen mittauksissa syntyy väistämättä mittausvirheitä. virhe tai virhe mittauksella tarkoitetaan mittaustuloksen poikkeamaa mitatun fyysisen suuren todellisesta arvosta. Mittausvirhe on yleensä tuntematon, kuten myös mitatun suuren todellinen arvo. Siksi mittaustulosten alkeiskäsittelyn tehtävänä on määrittää aikaväli, jonka sisällä mitatun fyysisen suuren todellinen arvo sijaitsee tietyllä todennäköisyydellä.
Mittausvirheiden luokittelu
Virheet on jaettu kolmeen tyyppiin:
1) törkeä tai puuttuu,
2) systemaattinen,
3) satunnainen.
törkeitä virheitä- nämä ovat virheellisiä mittauksia, jotka johtuvat laitteen huolimattomasta lukemisesta, lukemattomista mittauksista. Esimerkiksi tuloksen kirjoittaminen 26,5 2,65:n sijaan; lukeminen asteikolla 18 asteikolla 13 asteikolla jne. Jos törkeä virhe havaitaan, tämän mittauksen tulos tulee heti hylätä ja itse mittaus toistaa.
Systemaattiset virheet- virheet, jotka pysyvät vakioina toistuvien mittausten aikana tai muuttuvat tietyn lain mukaan. Nämä virheet voivat johtua väärästä mittausmenetelmän valinnasta, laitteiden epätäydellisyydestä tai toimintahäiriöstä (esimerkiksi mittauksista laitteella, jossa on nollapoikkeama). Systemaattisten virheiden eliminoimiseksi mahdollisimman paljon on aina analysoitava huolellisesti mittausmenetelmä, verrattava laitteita standardeihin. Jatkossa oletetaan, että kaikki systemaattiset virheet on eliminoitu, paitsi ne, jotka johtuvat laitteiden valmistuksen epätarkkuuksista ja lukuvirheistä. Kutsumme tätä virhettä laitteisto.
Satunnaisia virheitä - Nämä ovat virheitä, joiden syytä ei voida ottaa etukäteen huomioon. Satunnaiset virheet riippuvat aistielimiemme epätäydellisyydestä, muuttuvien ulkoisten olosuhteiden jatkuvasta vaikutuksesta (lämpötilan, paineen, kosteuden, ilman värähtelyn muutokset jne.). Satunnaisvirheet ovat väistämättömiä, ne ovat väistämättä läsnä kaikissa mittauksissa, mutta ne voidaan arvioida todennäköisyysteorian menetelmillä.
Suorien mittausten tulosten käsittely
Saadaan fyysisen suuren suorien mittausten tuloksena sarja sen arvoja:
x 1 , x 2 , ... x n .
Kun tiedät tämän numerosarjan, sinun on ilmoitettava arvo, joka on lähinnä mitatun arvon todellista arvoa, ja löydettävä satunnaisen virheen arvo. Tämä ongelma ratkaistaan todennäköisyysteorian pohjalta, jonka yksityiskohtainen esittely ei kuulu kurssimme piiriin.
Mitatun fyysisen suuren todennäköisin arvo (lähellä todellista arvoa) on aritmeettinen keskiarvo
. (1)
Tässä x i on i:nnen mittauksen tulos; n on mittausten lukumäärä. Satunnaismittausvirhe voidaan arvioida absoluuttisella virheellä D x, joka lasketaan kaavalla
,
(2)
missä t(a ,n) - Studentin kerroin, riippuen mittausten lukumäärästä n ja luottamustasosta a . Luottamusarvo a kokeilijan asettama.
Todennäköisyys satunnainen tapahtuma on tälle tapahtumalle suotuisten tapausten lukumäärän suhde yhtä todennäköisten tapausten kokonaismäärään. Varman tapahtuman todennäköisyys on 1 ja mahdoton on 0.
Tiettyä luottamustasoa vastaavan Studentin kertoimen arvo a ja tietty määrä mittauksia n, etsi taulukon mukaan. yksi.
pöytä 1
|
Määrä mitat n |
Luottamuksen todennäköisyys a |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Taulukosta. 1 nähdään, että Studentin kertoimen arvo ja satunnaismittausvirhe ovat sitä pienempiä, mitä suurempi n ja mitä pienempi a . Käytännössä valita a =0,95. Pelkkä mittausmäärän lisääminen ei kuitenkaan voi pienentää kokonaisvirhettä nollaan, koska mikä tahansa mittalaite antaa virheen.
Selvitetään termien absoluuttinen virhe merkitys D x ja luottamustaso a käyttämällä numerolinjaa. Olkoon mitatun suuren keskiarvo
Kuva 1
Jos saman suuren mittaukset toistetaan samoilla laitteilla samoissa olosuhteissa, niin mitatun suuren x ist todellinen arvo putoaa samalle luottamusvälille, mutta osuma ei ole luotettava, mutta todennäköisyydellä a.
Absoluuttisen virheen suuruuden laskeminen D x kaavan (2) avulla mitatun fyysisen suuren todellinen arvo x voidaan kirjoittaa muodossa x=
Fyysisen suuren mittaustarkkuuden arvioimiseksi laske suhteellinen virhe joka ilmaistaan yleensä prosentteina
. (3)
Siten suorien mittausten tuloksia käsiteltäessä on tehtävä seuraava:
1. Tee mittaukset n kertaa.
2. Laske aritmeettinen keskiarvo kaavalla (1).
3. Aseta luottamustaso a (yleensä ota a = 0,95).
4. Etsi taulukon 1 mukaan annettua luottamustasoa vastaava Studentin kerroin a ja mittojen lukumäärä n.
5. Laske absoluuttinen virhe kaavalla (2) ja vertaa sitä instrumentaaliseen virheeseen. Lisälaskelmia varten ota se, joka on suurempi.
6. Laske suhteellinen virhe kaavan (3) avulla e.
7. Kirjoita lopullinen tulos muistiin
x=
Epäsuorien mittausten tulosten käsittely
Olkoon haluttu fyysinen suure y liitetty muihin suureisiin x 1 , x 2 , ... x k jollain toiminnallisella riippuvuudella
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Arvojen x 1 , x 2 , ... x k joukossa on suorista mittauksista ja taulukkotiedoista saatuja arvoja. Se on tarpeen määrittää absoluuttinen D y ja sukulainen e virheitä y:n arvossa.
Useimmissa tapauksissa on helpompi laskea ensin suhteellinen virhe ja sitten absoluuttinen virhe. Todennäköisyysteoriasta epäsuoran mittauksen suhteellinen virhe
.
(5)
Tässä 
, jossa on funktion osittaisderivaata muuttujan x i suhteen, jonka laskennassa kaikki arvot, paitsi x i, katsotaan vakioiksi; D x i on x i:n absoluuttinen virhe. Jos x i saadaan suorien mittausten tuloksena, niin sen keskiarvo
Kirjoitetaan lopullinen tulos:
y=
Tässä
Yleensä todellisissa mittauksissa esiintyy sekä satunnaisia että systemaattisia (instrumentaalisia) virheitä. Jos suorien mittausten laskettu satunnaisvirhe on nolla tai pienempi kuin laitteistovirhe kahdella tai useammalla kertaa, epäsuorien mittausten virhettä laskettaessa tulee ottaa huomioon laitteistovirhe. Jos nämä virheet eroavat vähemmän kuin kaksi kertaa, absoluuttinen virhe lasketaan kaavalla
.
Harkitse esimerkkiä. Olkoon tarpeen laskea sylinterin tilavuus:
. (6)
Tässä D on sylinterin halkaisija, H on sen korkeus mitattuna noniersatulalla, jonka jakoarvo on 0,1 mm. Toistuvien mittausten tuloksena löydämme keskiarvot
,
(7)
missä D D ja D H ovat halkaisijan ja korkeuden suorien mittausten absoluuttisia virheitä. Niiden arvot lasketaan kaavalla (2): D D = 0,01 mm; D H = 0,13 mm. Verrataan laskettuja virheitä laitteistoon, joka on yhtä suuri kuin paksuuden jakoarvo. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D ei ole 0,01 mm, vaan 0,1 mm.
p arvo on valittava siten, että suhteellinen virhe Dp/p kaavassa (7) voitaisiin jättää huomiotta. Mitattujen arvojen ja laskettujen absoluuttisten virheiden analyysistä D D ja D H, voidaan nähdä, että korkeuden mittausvirhe vaikuttaa eniten suhteelliseen tilavuuden mittausvirheeseen. Suhteellisen korkeusvirheen laskeminen antaa e H =0,01. Siksi arvo p sinun on otettava 3.14. Tässä tapauksessa Dp / p » 0,001 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002).
Absoluuttiseen virheeseen jää yksi merkittävä luku.
Huomautuksia.
1. Jos mittaukset tehdään kerran tai useiden mittausten tulokset ovat samat, niin instrumentaalivirheeksi tulee ottaa absoluuttinen mittausvirhe, joka useimmilla käytetyillä laitteilla on yhtä suuri kuin laitteen jakoarvo (enemmän lisätietoja instrumentaalivirheestä, katso kohta "Mittauslaitteet").
2. Jos taulukko- tai kokeelliset tiedot annetaan virhettä määrittelemättä, tällaisten lukujen absoluuttiseksi virheeksi katsotaan puolet viimeisen merkitsevän numeron järjestyksestä.
Toiminnot likimääräisine luvuin
Kysymys erilaisesta laskennan tarkkuudesta on erittäin tärkeä, koska laskentatarkkuuden yliarviointi johtaa suureen määrään turhaa työtä. Opiskelijat laskevat usein etsimänsä arvon viiden tai useamman merkitsevän luvun tarkkuudella. On ymmärrettävä, että tämä tarkkuus on liian suuri. Ei ole järkevää suorittaa laskelmia tarkkuusrajan yli, jonka tarjoaa suoraan mitattujen suureiden määrittämisen tarkkuus. Mittausten käsittelyn jälkeen he eivät usein laske yksittäisten tulosten virheitä ja arvioivat suuren likimääräisen arvon virhettä osoittaen oikeiden merkitsevien numeroiden lukumäärän tässä numerossa.
Merkittäviä lukuja Likimääräistä lukua kutsutaan kaikista numeroista nollaa lukuun ottamatta sekä nollaksi kahdessa tapauksessa:
1) kun se on merkitsevien numeroiden välissä (esimerkiksi numerossa 1071 - neljä merkitsevää numeroa);
2) kun se on luvun lopussa ja kun tiedetään, että vastaavan numeron yksikköä ei ole annetussa numerossa. Esimerkki. Luvussa 5,20 on kolme merkitsevää lukua, mikä tarkoittaa, että mittauksessa otimme huomioon yksiköiden lisäksi myös kymmenesosat ja sadasosat ja luvussa 5,2 vain kaksi merkitsevää lukua, mikä tarkoittaa, että otimme huomioon vain kokonaisluvut ja kymmenykset.
Likimääräiset laskelmat tulee tehdä seuraavien sääntöjen mukaisesti.
1. Kun lisäät ja vähennät tämän seurauksena säilytä niin monta desimaaleja kuin on luvussa, jossa on vähiten desimaaleja. Esimerkki: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Summa tulee pyöristää sadasosiksi, ts. ota yhtä kuin 5,32.
2. Kun kerrotaan ja jaetaan seurauksena säilyy niin monta merkitsevää numeroa kuin likimääräinen luku, jossa on vähiten merkitseviä numeroita. Sinun on esimerkiksi kerrottava 8,632"2,8". 3.53. Sen sijaan lausekkeet tulisi arvioida
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
Välituloksia laskettaessa ne säästävät yhden numeron enemmän kuin säännöt suosittelevat (ns. varanumero). Lopputuloksessa varanumero hylätään. Tuloksen viimeisen merkitsevän numeron arvon selvittämiseksi sinun on laskettava sen takana oleva numero. Jos se osoittautuu alle viisi, se on yksinkertaisesti hylättävä, ja jos viisi tai enemmän kuin viisi, sen hylkäämisen jälkeen edellistä lukua on lisättävä yhdellä. Yleensä absoluuttiseen virheeseen jää yksi merkitsevä numero, ja mitattu arvo pyöristetään siihen numeroon, jossa absoluuttisen virheen merkitsevä numero sijaitsee.
3. Tulos funktioiden x n , , lg( x) jokin likimääräinen luku x tulee sisältää niin monta merkitsevää numeroa kuin numerossa on x. Esimerkiksi: 
.
Piirustus
Laboratoriotöiden aikana saadut tulokset ovat usein tärkeitä ja ne on esitettävä graafisesti. Graafin rakentamiseksi on tehtyjen mittausten perusteella laadittava taulukko, jossa yhden suuren jokainen arvo vastaa toisen tiettyä arvoa.
Kaaviot tehdään graafiselle paperille. Graafia rakennettaessa riippumattoman muuttujan arvot tulee piirtää abskissalle ja funktion arvot ordinaatalle. Jokaisen akselin lähelle on kirjoitettava näytettävän arvon nimitys ja ilmoitettava, millä yksiköillä se mitataan (kuva 2).
Kuva 2
Kaavion oikean rakentamisen kannalta mittakaavan valinta on tärkeää: käyrä kattaa koko arkin ja kaavion mitat pituudessa ja korkeudessa ovat suunnilleen samat. Mittakaavan tulee olla yksinkertainen. Helpoin tapa on, jos mitatun arvon yksikkö (0,1; 10; 100 jne.) vastaa 1, 2 tai 5 cm. On pidettävä mielessä, että koordinaattiakselien leikkauspisteen ei tarvitse olla samat kuin piirrettävien arvojen nolla-arvot (kuva 2).
Jokainen saatu kokeellinen arvo piirretään kaavioon melko näkyvällä tavalla: piste, risti jne.
Virheet ilmoitetaan mitatuille arvoille segmenttien muodossa, joiden pituus on luottamusväli, jonka keskellä koepisteet sijaitsevat. Koska virheiden osoittaminen sotkee kuvaajaa, tämä tehdään vain silloin, kun tietoa virheistä todella tarvitaan: koepisteistä muodostettaessa käyrää, määritettäessä virheitä graafin avulla, verrattaessa koetietoja teoreettiseen käyrään (kuva 2) . Usein riittää, että määritetään virhe yhdelle tai useammalle pisteelle.
Koepisteiden läpi on piirrettävä tasainen käyrä. Usein koepisteet yhdistetään yksinkertaisella katkoviivalla. Siten ikään kuin on osoitettu, että määrät riippuvat toisistaan jollain hyppäämällä tavalla. Ja tämä on uskomatonta. Käyrän tulee olla tasainen, eikä se saa kulkea merkittyjen pisteiden läpi, vaan niiden läheltä niin, että nämä pisteet ovat käyrän molemmilla puolilla samalla etäisyydellä siitä. Jos jokin piste putoaa voimakkaasti kaaviosta, tämä mittaus on toistettava. Siksi on toivottavaa rakentaa graafi suoraan kokeen aikana. Kaavio voi sitten ohjata ja parantaa havaintoja.
MITTAUSLAITTEET JA NIIDEN VIRHEIDEN TILINPÄÄTÖS
Mittauslaitteita käytetään fyysisten suureiden suoriin mittauksiin. Mittauslaitteet eivät anna mitatun suuren todellista arvoa. Tämä johtuu ensinnäkin siitä, että mitattua arvoa on mahdotonta lukea tarkasti instrumentin asteikolla, ja toiseksi mittauslaitteiden valmistuksen epätarkkuudesta. Ensimmäisen tekijän huomioon ottamiseksi otetaan käyttöön lukuvirhe Δx o, toiselle - sallittu virheΔ x d. Näiden virheiden summa muodostaa laitteen instrumentaalisen tai absoluuttisen virheenΔ x:
.
Sallittu virhe normalisoidaan valtion standardien mukaan ja ilmoitetaan laitteen passissa tai kuvauksessa.
Lukuvirhe otetaan yleensä puoleksi instrumentin jaosta, mutta joillekin instrumenteille (sekuntikello, aneroidibarometri) - sama kuin instrumentin jako (koska näiden instrumenttien nuolen sijainti muuttuu hyppyissä yhden jaon verran) ja jopa useita asteikon jakoja, jos kokeen olosuhteet eivät salli laskea luotettavasti yhteen jakoon (esimerkiksi paksulla osoittimella tai huonolla valaistuksella). Näin ollen kokeen tekijä itse asettaa laskentavirheen, mikä itse asiassa heijastaa tietyn kokeen olosuhteita.
Jos sallittu virhe on paljon pienempi kuin lukuvirhe, se voidaan jättää huomiotta. Yleensä instrumentin absoluuttiseksi virheeksi katsotaan instrumentin asteikkojako.
Mittausviivoissa on yleensä millimetrijaot. Mittaukseen on suositeltavaa käyttää viisteillä varustettuja teräs- tai piirustusviivoja. Tällaisten viivainten sallittu virhe on 0,1 mm ja se voidaan jättää huomiotta, koska se on paljon pienempi kuin lukuvirhe ± 0,5 mm. Puisten ja muovisten viivainten sallittu virhe± 1 mm.
Mikrometrin sallittu mittausvirhe riippuu mittauksen ylärajasta ja voi olla ± (3-4) µm (mikrometreille, joiden mittausalue on 0-25 mm). Lukuvirheeksi otetaan puolet jakoarvosta. Siten mikrometrin absoluuttinen virhe voidaan katsoa jakoarvon suuruiseksi, ts. 0,01 mm.
Punnituksessa teknisten vaakojen sallittu virhe riippuu kuormituksesta ja on 50 mg 20-200 g:n kuormalla ja 25 mg alle 20 g:n kuormalla.
Digitaalisten instrumenttien virhe määräytyy tarkkuusluokan mukaan.
Epäsuorien mittausten virheiden laskentakaavat perustuvat differentiaalilaskennan esityksiin.
Olkoon riippuvuus määrän Y mitatusta arvosta Z on yksinkertainen muoto: .
Tässä ja ovat vakioita, joiden arvot tunnetaan. Jos z:tä suurennetaan tai pienennetään jollakin numerolla, se muuttuu muotoon:
Jos - mitatun arvon virhe Z, silloin on vastaavasti lasketun arvon virhe Y.
Saamme absoluuttisen virheen kaavan yhden muuttujan funktion yleisessä tapauksessa. Olkoon tämän funktion kaavio kuviossa 1 esitetyssä muodossa. Argumentin z 0 tarkka arvo vastaa funktion y 0 = f(z 0) tarkkaa arvoa.
Argumentin mitattu arvo eroaa argumentin tarkasta arvosta Δz:n arvolla mittausvirheiden vuoksi. Funktion arvo eroaa tarkasta arvosta Δy:llä.
Derivaatan geometrisesta merkityksestä käyrän tangentin kulman tangenttina tietyssä pisteessä (kuva 1) seuraa:
. (10)
Epäsuoran mittauksen suhteellisen virheen kaava yhden muuttujan funktion tapauksessa on: 
. (11)
Ottaen huomioon, että funktion differentiaali on , saamme
(12)
Jos epäsuora mittaus on funktio m muuttujia 
, niin epäsuoran mittauksen virhe riippuu suorien mittausten virheistä. Merkitsemme argumentin mittausvirheeseen liittyvää osittaista virhettä. Se muodostaa funktion lisäyksen lisäyksellä edellyttäen, että kaikki muut argumentit eivät muutu. Täten kirjoitamme osittaisen absoluuttisen virheen kohdan (10) mukaisesti seuraavassa muodossa:
(13)
Siten epäsuoran mittauksen osittaisvirheen löytämiseksi on tarpeen (13) mukaisesti kertoa osittaisderivaatta suoran mittauksen virheellä. Laskettaessa funktion osittaista derivaatta suhteessa muihin argumentteihin, niitä pidetään vakioina.
Tuloksena oleva epäsuoran mittauksen absoluuttinen virhe määritetään kaavalla, joka sisältää osavirheiden neliöt
epäsuora mittaus:
tai ottaen huomioon (13)
(14)
Epäsuoran mittauksen suhteellinen virhe määritetään kaavalla:
Tai ottaen huomioon (11) ja (12)
. (15)
Käyttämällä (14) ja (15) yksi virheistä löydetään, absoluuttinen tai suhteellinen, riippuen laskennan mukavuudesta. Joten esimerkiksi jos työkaavalla on tulon muoto, mitattujen arvojen suhde, on helppo ottaa logaritmi ja käyttää kaavaa (15) epäsuoran mittauksen suhteellisen virheen määrittämiseen. Laske sitten absoluuttinen virhe kaavalla (16):
Havainnollistaaksemme yllä olevaa epäsuorien mittausten virheen määrittämismenettelyä, palataan virtuaaliseen laboratorioon "Vapaan pudotuksen kiihtyvyyden määritys matemaattisen heilurin avulla".
Työkaavalla (1) on mitattujen arvojen suhteen muoto:
Siksi aloitamme suhteellisen virheen määritelmästä. Tätä varten otamme tämän lausekkeen logaritmin ja laskemme sitten osittaiset derivaatat:
; ; 
.
Korvaus kaavaan (15) johtaa epäsuoran mittauksen suhteellisen virheen kaavaan:
(17)
Suorien mittausten tulosten korvaamisen jälkeen
{ 
; 
) kohdassa (17) saamme:
(18)
Absoluuttisen virheen laskemiseen käytetään lauseketta (16) ja aiemmin laskettua painovoimakiihtyvyyden arvoa (9) g:
Absoluuttisen virheen laskennan tulos pyöristetään ylöspäin yhteen merkitsevään numeroon. Absoluuttisen virheen laskettu arvo määrittää lopullisen tuloksen kirjaamisen tarkkuuden:
, α ≈ 1. (19)
Tässä tapauksessa luottamustodennäköisyys määräytyy niiden suorien mittausten luottamustodennäköisyyden mukaan, jotka vaikuttivat ratkaisevasti epäsuoran mittauksen virheeseen. Tässä tapauksessa nämä ovat jaksomittauksia.
Näin ollen todennäköisyydellä, joka on lähellä 1, arvo g on välillä 8-12.
Saadaksesi tarkemman arvon vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä g mittaustekniikkaa on parannettava. Tätä tarkoitusta varten on tarpeen pienentää suhteellista virhettä, jonka kaavasta (18) seuraa pääasiassa aikamittausvirhe.
Tätä varten on tarpeen mitata ei yhden täydellisen värähtelyn aika, vaan esimerkiksi 10 täydellistä värähtelyä. Sitten, kuten kohdasta (2), suhteellinen virhekaava saa muotoa:
. (20)
Taulukossa 4 on esitetty ajan mittaustulokset N = 10
Määrän vuoksi L ota mittaustulokset taulukosta 2. Korvaamalla suorien mittausten tulokset kaavaan (20) saadaan epäsuorien mittausten suhteellinen virhe:
Laskemme kaavan (2) avulla epäsuorasti mitatun suuren arvon:
.
.
Lopputulos kirjoitetaan seuraavasti:
; ; .
Tämä esimerkki osoittaa suhteellisen virhekaavan roolin mahdollisten mittaustekniikan parantamissuuntien analysoinnissa.
