Mittaukset tehdään aina virheillä, jotka liittyvät mittauslaitteiden rajalliseen tarkkuuteen, väärään valintaan ja mittausmenetelmän virheeseen, kokeen tekijän fysiologiaan, mitattavien kohteiden ominaisuuksiin, mittausolosuhteiden muutoksiin jne. Siksi mittaustehtävä sisältää paitsi itse suuren, myös mittausvirheen, ts. aikaväli, jolta mitatun suuren todellinen arvo todennäköisimmin löydetään. Esimerkiksi, kun mitataan aikaväliä t sekuntikellolla, jonka jakoarvo on 0,2 s, voidaan sanoa, että sen todellinen arvo on välillä s - 
kanssa. Näin ollen mitattu arvo sisältää aina jonkin virheen 
, missä 
ja X ovat vastaavasti tutkittavan suuren todelliset ja mitatut arvot. Arvo 
nimeltään absoluuttinen virhe(virhe)mittaukset ja lauseke 
mittaustarkkuutta kuvaavaa kutsutaan suhteellinen virhe.
On aivan luonnollista, että kokeilija pyrkii tekemään jokaisen mittauksen suurimmalla saavutettavalla tarkkuudella, mutta tällainen lähestymistapa ei aina ole tarkoituksenmukaista. Mitä tarkemmin haluamme mitata tämän tai toisen suuren, mitä monimutkaisempia laitteita meidän on käytettävä, sitä enemmän nämä mittaukset vaativat aikaa. Siksi lopputuloksen tarkkuuden tulee vastata kokeen tarkoitusta. Virheteoria antaa suosituksia siitä, miten mittaukset tulisi tehdä ja miten tuloksia tulisi käsitellä niin, että virhemarginaali on mahdollisimman pieni.
Kaikki mittauksissa syntyvät virheet jaetaan yleensä kolmeen tyyppiin - systemaattiset, satunnaiset ja poissaolot eli karkeat virheet.
Systemaattiset virheet laitteiden valmistuksen rajallisesta tarkkuudesta (instrumenttivirheet), valitun mittausmenetelmän puutteista, laskentakaavan epätarkkuudesta, laitteen virheellisestä asennuksesta jne. Siten systemaattiset virheet johtuvat tekijöistä, jotka toimivat samalla tavalla, kun samat mittaukset toistetaan monta kertaa. Tämän virheen arvoa toistetaan systemaattisesti tai muutetaan tietyn lain mukaan. Jotkut systemaattiset virheet voidaan poistaa (käytännössä tämä on aina helppo saavuttaa) vaihtamalla mittausmenetelmää, tekemällä korjauksia mittaustulosten lukemiin ja huomioimalla ulkoisten tekijöiden jatkuva vaikutus.
Vaikka systemaattinen (instrumentaalinen) virhe toistuvien mittausten aikana antaa mitatun arvon poikkeaman todellisesta arvosta yhteen suuntaan, emme koskaan tiedä, mihin suuntaan. Siksi instrumentaalivirhe kirjoitetaan kaksoismerkillä
Satunnaisia virheitä aiheutuvat suuresta määrästä satunnaisia syitä (lämpötilan, paineen muutokset, rakennuksen tärinä jne.), joiden vaikutus jokaiseen mittaukseen on erilainen eikä niitä voida ottaa huomioon etukäteen. Satunnaisia virheitä esiintyy myös kokeen tekijän aistielinten epätäydellisyydestä johtuen. Satunnaisvirheet sisältävät myös mitattavan kohteen ominaisuuksista johtuvat virheet.
Yksittäisten mittausten satunnaisia virheitä ei voida sulkea pois, mutta näiden virheiden vaikutusta lopputulokseen voidaan vähentää suorittamalla useita mittauksia. Jos satunnaisvirhe osoittautuu huomattavasti pienemmäksi kuin instrumentaalinen (systeeminen) virhe, ei ole mitään järkeä pienentää satunnaisvirhettä lisää lisäämällä mittausten määrää. Jos satunnaisvirhe on suurempi kuin instrumentaalivirhe, tulee mittausten määrää lisätä, jotta satunnaisvirheen arvoa pienennetään ja siitä tulee pienempi tai yksi suuruusluokka instrumentaalivirheen kanssa.
Virheitä tai virheitä- nämä ovat laitteen virheellisiä lukemia, virheellistä lukeman tallennusta jne. Ilmoitetuista syistä johtuvat poikkeamat ovat pääsääntöisesti selvästi näkyvissä, koska niitä vastaavat lukemat eroavat jyrkästi muista lukemista. Puutteet on eliminoitava kontrollimittauksilla. Siten sen välin leveys, jossa mitattujen suureiden todelliset arvot ovat, määräytyy vain satunnaisten ja systemaattisten virheiden perusteella.
2 . Systemaattisen (instrumentaalisen) virheen estimointi
Suoraan mittaukseen mitatun suuren arvo luetaan suoraan mittauslaitteen asteikolta. Lukuvirhe voi olla useita asteikon kymmenesosia. Yleensä tällaisissa mittauksissa systemaattisen virheen suuruuden katsotaan olevan yhtä suuri kuin puolet mittauslaitteen asteikon jaosta. Esimerkiksi mitattaessa jarrusatulalla, jonka jakoarvo on 0,05 mm, instrumentaalisen mittausvirheen arvoksi otetaan 0,025 mm.
Digitaaliset mittalaitteet antavat mittaamiensa suureiden arvon virheellä, joka on yhtä suuri kuin mitta-asteikon viimeisen numeron yksi yksikkö. Joten jos digitaalinen volttimittari näyttää arvon 20,45 mV, niin mittauksen absoluuttinen virhe on 
mV.
Systemaattisia virheitä syntyy myös käytettäessä taulukoista määritettyjä vakioarvoja. Tällaisissa tapauksissa virheeksi katsotaan puolet viimeisestä merkitsevästä numerosta. Esimerkiksi, jos taulukossa teräksen tiheyden arvo on annettu arvolla, joka on yhtä suuri kuin 7,9∙10 3 kg / m 3, niin absoluuttinen virhe tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin 
kg/m3.
Alla käsitellään joitain sähköisten mittauslaitteiden instrumentaalisten virheiden laskennan ominaisuuksia.
Määritettäessä epäsuorien mittausten systemaattista (instrumentaalista) virhettä toiminnallinen arvo 
kaavaa käytetään
, (1)
missä 
- suuren suorien mittausten instrumenttivirheet 
, 
- funktion osittaiset derivaatat muuttujan suhteen.
Esimerkkinä saadaan kaava sylinterin tilavuuden mittaamisen systemaattisen virheen laskemiseksi. Kaava sylinterin tilavuuden laskemiseksi on
.
Osittaiset derivaatat muuttujien suhteen d ja h tulee olemaan tasa-arvoisia
, 
.
Siten kaava absoluuttisen systemaattisen virheen määrittämiseksi sylinterin tilavuuden mittauksessa kohdan (2. ..) mukaisesti on seuraavanlainen
,
missä 
ja 
instrumentaalivirheitä sylinterin halkaisijan ja korkeuden mittauksessa
3. Satunnaisvirhearvio.
Luottamusväli ja luottamustodennäköisyys
Suurimmalle osalle yksinkertaisista mittauksista niin sanottu normaali satunnaisvirheiden laki täyttyy melko hyvin ( Gaussin laki), joka on johdettu seuraavista empiirisista säännöksistä.
mittausvirheet voivat ottaa jatkuvan sarjan arvoja;
suurella määrällä mittauksia, samansuuruisia, mutta eri merkkisiä virheitä esiintyy yhtä usein,
Mitä suurempi satunnainen virhe on, sitä todennäköisemmin se tapahtuu.
Normaali Gaussin jakauman käyrä on esitetty kuvassa 1. Käyräyhtälöllä on muoto
, (2)
missä 
- satunnaisten virheiden (virheiden) jakaumafunktio, joka kuvaa virheen todennäköisyyttä 
, σ on neliövirheen keskiarvo.
Arvo σ ei ole satunnaismuuttuja ja kuvaa mittausprosessia. Jos mittausolosuhteet eivät muutu, σ pysyy vakiona. Tämän suuren neliö on ns mittausten hajonta. Mitä pienempi hajonta, sitä pienempi on yksittäisten arvojen hajautus ja sitä suurempi on mittaustarkkuus.
Neliön keskiarvovirheen σ tarkkaa arvoa, samoin kuin mitatun suuren todellista arvoa, ei tunneta. Tälle parametrille on olemassa ns. tilastollinen estimaatti, jonka mukaan keskineliövirhe on yhtä suuri kuin aritmeettisen keskiarvon keskineliövirhe. 
. jonka arvo määräytyy kaavan mukaan
, (3)
missä 
-tulos i-th ulottuvuus; 
- saatujen arvojen aritmeettinen keskiarvo; n
on mittausten lukumäärä.
Mitä suurempi määrä mittauksia on, sitä pienempi ja sitä enemmän se lähestyy arvoa σ. Jos mitatun arvon todellinen arvo μ, sen mittausten tuloksena saatu aritmeettinen keskiarvo ja satunnainen absoluuttinen virhe , niin mittaustulos kirjoitetaan 
.
Arvoväli alkaen 
ennen 
, jossa mitatun suuren μ todellinen arvo putoaa, kutsutaan luottamusväli. Koska kyseessä on satunnaismuuttuja, todellinen arvo putoaa luottamusvälille todennäköisyydellä α, jota ns. luottamustodennäköisyys, tai luotettavuus mitat. Tämä arvo on numeerisesti yhtä suuri kuin varjostetun kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. (katso kuva.)
Kaikki tämä pätee riittävän suurelle määrälle mittauksia, kun on lähellä arvoa σ. Luottamusvälin ja luottamustason löytämiseksi pienelle määrälle mittauksia, joita käsittelemme laboratoriotyössä, käytämme Opiskelijan todennäköisyysjakauma. Tämä on satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma 
nimeltään Opiskelijan kerroin, antaa luottamusvälin arvon aritmeettisen keskiarvon neliövirheen murto-osina.
. (4)
Tämän suuren todennäköisyysjakauma ei riipu σ 2:sta, vaan riippuu olennaisesti kokeiden lukumäärästä n. Kokeiden määrän lisääntyessä n Studentin jakauma pyrkii Gaussin jakaumaan.
Jakaumafunktio on taulukoitu (taulukko 1). Studentin kertoimen arvo on mittausten lukumäärää vastaavan suoran leikkauspisteessä n, ja luottamustasoa α vastaava sarake
Pöytä 1.
Taulukon tietojen avulla voit:
määrittää luottamusväli tietyllä todennäköisyydellä;
valitse luottamusväli ja määritä luottamustaso.
Epäsuorassa mittauksessa funktion aritmeettisen keskiarvon neliövirheen keskiarvo lasketaan kaavalla
. (5)
Luottamusväli ja luottamustodennäköisyys määritetään samalla tavalla kuin suorien mittausten tapauksessa.
Kokonaismittausvirheen estimointi. Lopputuloksen tallennus.
X:n mittaustuloksen kokonaisvirhe määritellään systemaattisten ja satunnaisten virheiden keskineliöarvona
, (6)
missä δx - instrumentaalivirhe, Δ X on satunnainen virhe.
X voi olla joko suoraan tai epäsuorasti mitattu suure.
, α=…, Е=… (7)
On pidettävä mielessä, että itse virheteorian kaavat pätevät suurelle määrälle mittauksia. Siksi satunnaisen arvo ja siten kokonaisvirhe määritetään pienelle n suurella virheellä. Kun lasketaan Δ X mittausten lukumäärän kanssa 
on suositeltavaa rajoittaa yksi merkitsevä luku, jos se on suurempi kuin 3, ja kaksi, jos ensimmäinen merkitsevä luku on pienempi kuin 3. Esimerkiksi jos Δ X= 0,042, hylkää sitten 2 ja kirjoita Δ X=0,04, ja jos Δ X=0,123, niin kirjoitetaan Δ X=0,12.
Tuloksen numeroiden ja kokonaisvirheen on oltava samat. Siksi virheen aritmeettisen keskiarvon tulee olla sama. Siksi aritmeettinen keskiarvo lasketaan ensin yhden numeron verran enemmän kuin mittaus, ja tulosta kirjattaessa sen arvo tarkennetaan kokonaisvirheen numeromäärään.
4. Mittausvirheiden laskentamenetelmät.
Virheet suorissa mittauksissa
Suorien mittausten tuloksia käsiteltäessä on suositeltavaa noudattaa seuraavaa toimintajärjestystä.
. (8)
.
.
Kokonaisvirhe määritetään
Mittaustuloksen suhteellinen virhe on arvioitu
.
Lopputulos kirjoitetaan muodossa
, jossa α=… E=…%.
5. Epäsuorien mittausten virhe
Arvioitaessa epäsuorasti mitatun suuren todellista arvoa, joka on muiden riippumattomien suureiden funktio 
, voidaan käyttää kahta tapaa.
Ensimmäinen tapa käytetään, jos arvo y määritetään erilaisissa koeolosuhteissa. Tässä tapauksessa jokaiselle arvolle 
, ja sitten määritetään kaikkien arvojen aritmeettinen keskiarvo y i
. (9)
Systemaattinen (instrumentaalinen) virhe löydetään kaavan mukaan kaikkien mittausten tunnettujen instrumentaalivirheiden perusteella. Satunnaisvirhe määritellään tässä tapauksessa suoraksi mittausvirheeksi.
Toinen tapa pätee, jos toiminto y määritetään useita kertoja samoilla mittauksilla. Tässä tapauksessa arvo lasketaan keskiarvoista. Laboratoriokäytännössämme käytetään useammin toista epäsuorasti mitatun suuren määritysmenetelmää y. Systemaattinen (instrumentaalinen) virhe, kuten ensimmäisessä menetelmässä, löydetään kaikkien mittausten tunnettujen instrumentaalivirheiden perusteella kaavan mukaan
Epäsuoran mittauksen satunnaisvirheen löytämiseksi lasketaan ensin yksittäisten mittausten aritmeettisen keskiarvon neliövirhe. Sitten löydetään neliövirhe y. Luottamustodennäköisyyden α asettaminen, Studentin kertoimen löytäminen, satunnais- ja kokonaisvirheiden määrittäminen suoritetaan samalla tavalla kuin suorissa mittauksissa. Vastaavasti kaikkien laskelmien tulos esitetään muodossa
, jossa α=… E=…%.
6. Esimerkki laboratoriotyön suunnittelusta
Lab #1
SYLINTERIN TILAVUUS MÄÄRITTÄMINEN
Lisätarvikkeet: noniersatula, jonka jakoarvo on 0,05 mm, mikrometri, jonka jakoarvo on 0,01 mm, sylinterimäinen runko.
Tavoite: perehtyminen yksinkertaisimpiin fysikaalisiin mittauksiin, sylinterin tilavuuden määrittäminen, suorien ja epäsuorien mittausten virheiden laskeminen.
Työmääräys
Ota sylinterin halkaisija vähintään 5 mittausta jarrusatulalla ja sen korkeus mikrometrillä.
Laskentakaava sylinterin tilavuuden laskemiseen
missä d on sylinterin halkaisija; h on korkeus.
Mittaustulokset
Taulukko 2.
Mittaus nro | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
E = 0,5 %.
Jos haluttua fyysistä suuretta ei voida mitata suoraan laitteella, vaan se ilmaistaan kaavan kautta mitattujen suureiden kautta, niin tällaisia mittauksia kutsutaan ns. epäsuora.
Kuten suorissa mittauksissa, voit laskea epäsuorien mittausten absoluuttisen (aritmeettisen keskiarvon) virheen tai neliökeskiarvon.
Yleiset säännöt virheiden laskemiseksi molemmissa tapauksissa johdetaan differentiaalilaskulla.
Olkoon fyysinen määrä j( x, y, z, ...) on useiden riippumattomien argumenttien funktio x, y, z,..., joista jokainen voidaan määrittää kokeellisesti. Määrät määritetään suorilla mittauksilla ja niiden absoluuttisten virheiden keskiarvo tai neliövirheiden keskiarvo arvioidaan.
Fysikaalisen suuren j epäsuorien mittausten keskimääräinen absoluuttinen virhe lasketaan kaavalla
missä ovat φ:n osittaiset derivaatat suhteessa x, y, z lasketaan vastaavien argumenttien keskiarvoille.
Koska kaava käyttää summan kaikkien ehtojen absoluuttisia arvoja, lauseke for arvioi funktion suurimman mittausvirheen riippumattomien muuttujien annetuille maksimivirheille.
Fysikaalisen suuren j epäsuorien mittausten neliökeskiarvovirhe
Fyysisen suuren j epäsuorien mittausten suhteellinen maksimivirhe
missä jne.
Vastaavasti voidaan kirjoittaa epäsuorien mittausten j suhteellinen neliöjuurivirhe
Jos kaava edustaa logaritmien ottamiseen sopivaa lauseketta (eli tuloa, murtolukua, potenssia), on helpompi laskea ensin suhteellinen virhe. Tätä varten (jos kyseessä on keskimääräinen absoluuttinen virhe) on tehtävä seuraava.
1. Ota fyysisen suuren epäsuoran mittauksen lausekkeen logaritmi.
2. Erota se.
3. Yhdistä kaikki termit samalla differentiaalilla ja poista se suluista.
4. Ota lauseke erilaisten modulo-differentiaalien edessä.
5. Korvaa muodollisesti differentiaalien kuvakkeet absoluuttisen virheen D kuvakkeilla.
Silloin, kun tiedetään e, voidaan laskea absoluuttinen virhe Dj kaavan avulla
Esimerkki 1 Kaavan johtaminen sylinterin tilavuuden epäsuorien mittausten suurimman suhteellisen virheen laskemiseksi.
Fysikaalisen suuren epäsuoran mittauksen lauseke (alkukaava)
Halkaisijan arvo D ja sylinterin korkeus h mitataan suoraan laitteilla, joissa on suoria mittausvirheitä, vastaavastiD D ja D h.
Otetaan alkuperäisen kaavan logaritmi ja saadaan
Erota tuloksena oleva yhtälö
Korvaamalla differentiaalien kuvakkeet absoluuttisen virheen D kuvakkeilla, saamme lopulta kaavan sylinterin tilavuuden epäsuorien mittausten suurimman suhteellisen virheen laskemiseksi
Nyt on tarpeen pohtia kysymystä siitä, kuinka löytää fyysisen suuren virhe U, joka määritetään epäsuorilla mittauksilla. Yleiskuva mittausyhtälöstä
Y=f(X 1 , X 2 , … , X n), (1.4)
missä X j- erilaisia fyysisiä suureita, jotka kokeen suorittaja saa suorilla mittauksilla, tai fysikaalisia vakioita, jotka tunnetaan tietyllä tarkkuudella. Kaavassa ne ovat funktion argumentteja.
Mittauskäytännössä käytetään laajalti kahta menetelmää epäsuorien mittausten virheen laskemiseksi. Molemmat menetelmät antavat lähes saman tuloksen.
Menetelmä 1. Absoluuttinen D löydetään ensin, sitten suhteellinen d virheitä. Tätä menetelmää suositellaan mittausyhtälöille, jotka sisältävät argumenttien summia ja eroja.
Yleinen kaava absoluuttisen virheen laskemiseksi fyysisen suuren epäsuorissa mittauksissa Y mielivaltaista näkemystä varten f toiminto näyttää tältä:
jossa funktioiden osittaiset derivaatat Y=f(X 1 , X 2 , … , X n) argumentin perusteella X j,
Suuren suorien mittausten kokonaisvirhe X j.
Suhteellisen virheen löytämiseksi sinun on ensin löydettävä suuren keskiarvo Y. Tätä varten on välttämätöntä korvata suureiden aritmeettiset keskiarvot mittausyhtälöön (1.4) Xj.
Eli arvon keskiarvo Y vastaa: . Nyt on helppo löytää suhteellinen virhe: .
Esimerkki: löytää virhe tilavuuden mittauksessa V sylinteri. Korkeus h ja halkaisija D sylinterin katsotaan määritetyiksi suorilla mittauksilla, ja annetaan mittausten lukumäärä n= 10.
Kaava sylinterin tilavuuden laskemiseksi, eli mittausyhtälö on:
Anna klo P= 0,68;
klo P= 0,68.
Sitten korvaamalla keskiarvot kaavaan (1.5), löydämme:
Virhe D V tässä esimerkissä riippuu, kuten voidaan nähdä, pääasiassa halkaisijan mittausvirheestä.
Keskimääräinen tilavuus on: , suhteellinen virhe d V on yhtä suuri kuin:
Tai d V = 19%.
V=(47±9) mm 3 , d V = 19%, P= 0,68.
Menetelmä 2. Tämä epäsuorien mittausten virheen määritysmenetelmä eroaa ensimmäisestä menetelmästä vähemmän matemaattisissa vaikeuksissa, joten sitä käytetään useammin.
Etsi ensin suhteellinen virhe d, ja vasta sitten absoluuttinen D. Tämä menetelmä on erityisen kätevä, jos mittausyhtälö sisältää vain argumenttien tulot ja suhteet.
Toimenpidettä voidaan harkita käyttämällä samaa erityistä esimerkkiä - sylinterin tilavuuden mittausvirheen määrittäminen
Pidämme kaikki kaavaan sisältyvien määrien numeeriset arvot samoina kuin laskelmissa tapa 1.
Anna olla mm, ; klo P= 0,68;
; arvolla P = 0,68.
Numeron pyöristysvirhe p(katso kuva 1.1)
Käyttämällä tapa 2 pitäisi toimia näin:
1) ota mittausyhtälön logaritmi (otamme luonnollisen logaritmin)
löytää vasemman ja oikean osan differentiaalit riippumattomat muuttujat huomioon ottaen,
2) korvaa kunkin arvon differentiaali saman arvon absoluuttisella virheellä ja "miinus"-merkit, jos ne ovat ennen virheitä, "plussalla":
3) näyttäisi siltä, että tämän kaavan avulla on jo mahdollista antaa arvio suhteelliselle virheelle, mutta näin ei ole. Virhe on estimoitava siten, että tämän estimaatin luottamustodennäköisyys on sama kuin kaavan oikealla puolella olevien termien virheiden estimointien luottamustodennäköisyys. Jotta tämä ehto täyttyy, sinun on neliöitettävä kaikki viimeisen kaavan ehdot ja poimittava sitten neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta:
Tai toisessa merkinnässä tilavuuden suhteellinen virhe on:
lisäksi tämän tilavuusvirheen estimaatin todennäköisyys on sama kuin radikaalilausekkeen sisältämien termien virheiden estimointitodennäköisyys:
Tehtyään laskelmat varmistamme, että tulos on sama kuin arvio menetelmä 1:
Nyt, kun tiedämme suhteellisen virheen, löydämme absoluuttisen:
D V= 0,19 47 = 9,4 mm 3 , P=0,68.
Lopputulos pyöristyksen jälkeen:
V\u003d (47 ± 9) mm 3, d V = 19%, P=0,68.
testikysymykset
1. Mikä on fyysisten mittausten tehtävä?
2. Millaisia mittaustyyppejä erotetaan?
3. Miten mittausvirheet luokitellaan?
4. Mitä ovat absoluuttiset ja suhteelliset virheet?
5. Mitä ovat ohitukset, systemaattiset ja satunnaiset virheet?
6. Kuinka arvioida systemaattinen virhe?
7. Mikä on mitatun arvon aritmeettinen keskiarvo?
8. Kuinka arvioida satunnaisvirheen suuruus, miten se liittyy keskihajontaan?
9. Millä todennäköisyydellä mitatun arvon todellinen arvo saadaan aikavälillä alkaen X cf - s ennen X cf + s?
10. Jos valitsemme satunnaisvirheen estimaatin arvon 2s tai 3s, niin millä todennäköisyydellä todellinen arvo putoaa näiden arvioiden määrittämien välien sisään?
11. Kuinka tehdä yhteenveto virheistä ja milloin se tulisi tehdä?
12. Kuinka pyöristetään mittaustuloksen absoluuttinen virhe ja keskiarvo?
13. Mitä menetelmiä on olemassa epäsuorien mittausten virheiden arvioimiseksi? Miten tämän kanssa edetä?
14. Mitä mittaustuloksena tulee kirjata? Mitä arvoja ilmoittaa?
Luento #8
Mittaustulosten käsittely
Suorat yksi- ja monimittaukset.
1. Suorat yksittäismittaukset .
Yleensä saadun tuloksen virheen estimointitehtävä suoritetaan yleensä mittauslaitteen päävirheen rajaa koskevien tietojen perusteella (käytettyjen mittauslaitteiden viranomais- ja teknisen dokumentaation mukaan) ja lisävirheiden tunnetut arvot vaikuttavien määrien vaikutuksesta. Mittaustuloksen kokonaisvirheen maksimiarvo (merkkiä huomioimatta) saadaan laskemalla yhteen komponentit absoluuttisena arvona:
Realistisempi arvio virheestä saadaan lisäämällä tilastollisesti virheen komponentit:
missä on systemaattisen virheen i:nnen ei-suljetun komponentin raja; k- hyväksytyllä luottamustodennäköisyydellä määritetty kerroin (pisteessä P = 0,95, kerroin k=1,11); m on ei-suljettujen komponenttien lukumäärä.
Mittaustulos kirjataan ensimmäisen tulosten tallennusmuodon mukaisesti:
missä on yksittäisen mittauksen tulos; - mittaustuloksen kokonaisvirhe; Р - luottamustodennäköisyys (pisteessä Р = 0,95 ei voida määritellä).
Normaaliolosuhteissa mitattaessa voimme olettaa
2. Suorat useat mittaukset.
Mitatun suuren todellinen arvo on mahdollista arvioida tarkasti vain sen useilla mittauksilla ja niiden tulosten asianmukaisella käsittelyllä. Saatujen havaintojen tulosten oikea käsittely tarkoittaa tarkimman arvion saamista mitatun suuren todellisesta arvosta ja luottamusvälistä, jossa sen todellinen arvo sijaitsee.
Havaintojen tulosten käsittelyprosessissa on tarpeen ratkaista johdonmukaisesti seuraavat päätehtävät:
Määritä mittaustulosten jakautumislain piste- ja integraaliestimaatit kaavoilla:
missä D(x) on varianssin pisteestimaatti;
Eliminoi "mittaukset" (yhden kriteerin mukaan);
Eliminoi systemaattiset mittausvirheet;
Määritä systemaattisen komponentin, satunnaiskomponentin ja mittaustuloksen kokonaisvirheen ei-sulkemattoman saldon luottamusrajat;
Kirjaa mittaustulos muistiin.
Epäsuorien mittausten virheen estimointi. Laskelmien perusperiaatteet ja vaiheet. GOST:t tulosten käsittelyä varten.
Epäsuorien mittausten virheet
Epäsuorista mittauksista aiheutuvien virheiden estimointi perustuu seuraaviin oletuksiin:
1. Suorilla mittauksilla saatujen ja halutun arvon laskemiseen liittyvien arvojen suhteellisten virheiden tulee olla pieniä verrattuna yksikköön (käytännössä ne eivät saa ylittää 10 %).
2. Kaikkien laskennassa mukana olevien suureiden virheille hyväksytään sama luottamustodennäköisyys. Myös halutun arvon virheellä on sama luottamustodennäköisyys.
3. Halutun arvon todennäköisin arvo saadaan, jos sen laskennassa käytetään alkuarvojen todennäköisimpiä arvoja, ts. niiden aritmeettiset keskiarvot.
Virhe yhden alkuarvon tapauksessa.
Absoluuttinen virhe. Anna haluttu arvo y, mitattuna epäsuorasti, riippuu vain yhdestä suuresta a saatu suoralla mittauksella. Sen välin rajat, jossa arvo on tietyllä todennäköisyydellä a, määritetään aritmeettisen keskiarvon ja absoluuttisen kokonaisvirheen perusteella a määriä a. Tämä tarkoittaa, että arvo a voi olla rajoilla varustetun aikavälin sisällä ± a.
Epäsuoralla määrän mittauksella y(a) tällaiset rajat määräytyvät sen todennäköisimmän arvon mukaan =y() ja virhe y, eli arvot y sijaitsevat rajojen ± välin sisällä y. Yläraja varten y(monotonisella kasvulla) tulee ylärajaa vastaava arvo a, eli arvo + y= y( + a) . Eli absoluuttinen virhe y määriä y on funktion lisäyksen muotoinen y(a) johtuu sen argumentin lisäämisestä a määrän mukaan a sen absoluuttinen virhe. Siksi voimme käyttää differentiaalilaskennan sääntöjä, joiden mukaan pienille arvoille a lisäys y voidaan ilmaista suunnilleen muodossa
Tässä on johdannainen suhteessa a toimintoja y(a) klo a = .
Siten lopputuloksen absoluuttinen virhe voidaan laskea kaavalla (1), ja luottamustodennäköisyys vastaa luottamustodennäköisyyttä, a.
Suhteellinen virhe. Arvon suhteellisen virheen selvittäminen y, jaa (1) arvolla y ja ota se huomioon
on johdannainen suhteessa a luonnollinen logaritmi y. Tulos tulee olemaan
Jos korvaamme tämän ilmaisun a= ja y= , niin sen arvo on suuren suhteellinen virhe y.
Sitä käytetään mittaustulosten käsittelemiseen GOST 8.207-76 "GSI. Suorat mittaukset useilla havainnoilla. Havaintojen tulosten käsittelymenetelmät.
8.3 Mittaustulos ja sen keskihajonnan estimointi:
1. Menetelmät karkeiden virheiden havaitsemiseksi on määriteltävä mittausmenettelyssä. Jos havaintojen tulosten voidaan katsoa kuuluvan normaalijakaumaan, karkeat virheet suljetaan pois.
2. Mittaustulos otetaan havaintotulosten aritmeettiseksi keskiarvoksi, johon on aiemmin tehty korjauksia systemaattisten virheiden eliminoimiseksi.
3. Vakiopoikkeama S havainnon tulos arvioidaan NTD:n mukaan.
4. Mittaustuloksen keskihajonta arvioidaan kaavalla
,
missä x i - i-havainnon tulos;
Mittaustulos (korjattujen havaintotulosten aritmeettinen keskiarvo);
n- havaintotulosten määrä;
Mittaustuloksen keskihajonnan estimointi.
8.4 Mittaustuloksen satunnaisvirheen luottamusrajat:
1. Tämän kansainvälisen standardin mukaisen mittaustuloksen satunnaisvirheen luottamusrajat on asetettu normaalijakaumaan kuuluvien havaintojen tuloksiin. Jos tämä ehto ei täyty, satunnaisvirheen luottamusrajojen laskentamenetelmät tulisi määritellä erityisten mittausten suorittamismenettelyssä.
1.1. Havaintotulosten määrällä n>50 sen tarkistamiseksi, kuuluvatko ne normaalijakaumaan NTD:n mukaan, yksi kriteereistä on parempi: χ 2 Pearson tai ω 2 Mises - Smirnov.
Käsiteltäessä suoraan mitattaviin fysikaalisiin suureisiin A, B ja C toiminnallisesti liittyvän fysikaalisen suuren epäsuorien mittausten tuloksia, määritä ensin epäsuoran mittauksen suhteellinen virhe e = DX / X pr kaavoilla taulukossa (ilman todisteita).
Absoluuttinen virhe määritetään kaavalla DX \u003d X pr * e,
jossa e ilmaistaan desimaalilukuna, ei prosentteina.
Lopputulos kirjataan samalla tavalla kuin suorien mittausten yhteydessä.
| Toiminnan tyyppi | Kaava |
| X = A+B+C | |
| X = A-B | |
| X = A*B*C | |
| X = A n | |
| X = A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm hyödyllinen) Mittausten tekeminen http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Esimerkki: Lasketaan kitkakertoimen mittausvirhe dynamometrillä. Kokemus on, että tankoa vedetään tasaisesti vaakasuoraa pintaa pitkin ja siihen kohdistuva voima mitataan: se on yhtä suuri kuin liukukitkavoima.
Dynamometrin avulla punnitsemme tangon kuormilla: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N
μ = 0,33. Dynamometrin instrumentaalinen virhe (löydä taulukosta) on Δ ja \u003d 0,05N, lukuvirhe (puolet asteikon jaosta)
Δ o \u003d 0,05N. Painon ja kitkavoiman mittauksen absoluuttinen virhe on 0,1 N.
Suhteellinen mittausvirhe (taulukon 5. rivi)
Siksi μ:n epäsuoran mittauksen absoluuttinen virhe on 0,22*0,33=0,074
Vastaus:
Fyysisen suuren mittaaminen tarkoittaa sen vertaamista toiseen homogeeniseen suureen, joka otetaan mittayksikkönä. Mittaus voidaan tehdä käyttämällä:
1. Mitat, jotka ovat mittayksikön näytteitä (metri, paino, litran astia jne.),
2. mittauslaitteet (ampeerimittari, painemittari jne.),
3. mittauslaitteistot, joilla tarkoitetaan toimenpiteitä, mittauslaitteita ja apuelementtejä.
Mittaukset ovat suoria tai epäsuoria. Suorissa mitoissa fyysinen määrä mitataan suoraan. Suorat mittaukset ovat esimerkiksi pituuden mittaaminen viivaimella, ajan mittaaminen sekuntikellolla, virran voimakkuus ampeerimittarilla.
Epäsuorassa mittauksessa ne eivät mittaa suoraan sitä suuretta, jonka arvo on tiedettävä, vaan muita suureita, joihin haluttu suure liittyy tietyllä matemaattisella riippuvuudella. Esimerkiksi kappaleen tiheys määritetään mittaamalla sen massa ja tilavuus, ja vastus määritetään mittaamalla virtaa ja jännitettä.
Mittojen ja mittauslaitteiden sekä aistielimiemme epätäydellisyydestä johtuen mittauksia ei voida suorittaa tarkasti, ts. mikä tahansa mittaus antaa vain likimääräisen tuloksen. Lisäksi itse mittaussuureen luonne on usein syynä mittaustulosten poikkeamiseen. Esimerkiksi lämpömittarilla tai termoparilla uunin tietyssä kohdassa mitattu lämpötila vaihtelee konvektion ja lämmönjohtavuuden vuoksi tietyissä rajoissa. Mittaustuloksen tarkkuuden arvioinnin mittana on mittausvirhe (mittausvirhe).
Tarkkuuden arvioimiseksi ilmoitetaan joko absoluuttinen virhe tai suhteellinen mittausvirhe. Absoluuttinen virhe ilmaistaan mitatun määrän yksiköinä. Esimerkiksi kappaleen kulkema polun segmentti mitataan absoluuttisella virheellä . Suhteellinen mittausvirhe on absoluuttisen virheen suhde mitatun suureen arvoon. Annetussa esimerkissä suhteellinen virhe on . Mitä pienempi mittausvirhe, sitä suurempi on sen tarkkuus.
Mittausvirheet jaetaan alkuperänsä mukaan systemaattisiin, satunnaisiin ja karkeisiin (miss).
1. Systemaattiset virheet- mittausvirheet, joiden arvo pysyy vakiona samalla menetelmällä, samoilla mittauslaitteilla tehdyissä toistuvissa mittauksissa. Syyt systemaattisille virheille ovat:
toimintahäiriöt, mittauslaitteiden epätarkkuudet
laittomuus, käytetyn mittaustekniikan epätarkkuus
Esimerkki systemaattisista virheistä voi olla lämpötilan mittaus lämpömittarilla, jonka nollapiste on siirretty, virran mittaus väärin kalibroidulla ampeerimittarilla, kappaleen punnitus vaa'alla painojen avulla ottamatta huomioon Arkhimedesin kelluvuusvoimaa.
Systemaattisten virheiden eliminoimiseksi tai vähentämiseksi on tarpeen tarkastaa huolellisesti mittauslaitteet, mitata samat suuret eri menetelmillä ja tehdä korjauksia, kun virheet ovat tiedossa (nousuvoiman korjaukset, lämpömittarin lukemien korjaukset).
2. Karkeat virheet (puutteet)- annetuissa mittausolosuhteissa odotetun virheen merkittävä ylitys. Puutteita ilmenee laitteen lukemien virheellisestä tallennuksesta, laitteen virheellisistä lukemista, epäsuorien mittausten laskutoimitusten virheistä johtuen. Puutteiden lähde on kokeilijan välinpitämättömyys. Tapa poistaa nämä virheet on kokeen suorittajan tarkkuus, mittausprotokollien uudelleenkirjoittamisen poissulkeminen.
3. Satunnaisia virheitä- virheet, joiden arvo muuttuu satunnaisesti saman arvon toistuvissa mittauksissa samalla menetelmällä samoilla välineillä. Satunnaisvirheiden lähde on mittausolosuhteiden hallitsematon toistettavuus. Esimerkiksi mittauksen aikana lämpötila, kosteus, ilmanpaine, sähköverkon jännite ja kokeen tekijän aistien tila voivat muuttua hallitsemattomasti. On mahdotonta sulkea pois satunnaisia virheitä. Toistuvilla mittauksilla satunnaisvirheet noudattavat tilastolakeja ja niiden vaikutus voidaan ottaa huomioon.
