On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastellaan ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerrotaan sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Lyhyessä ajassa autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman ohjauksen ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Toimintotutkimus. Tässä artikkelissa puhumme tehtävistä, joissa toimintoja tarkastellaan ja tilassa on kysymyksiä, jotka liittyvät niiden tutkimiseen. Harkitse tärkeimpiä teoreettisia kohtia, jotka sinun on tiedettävä ja ymmärrettävä niiden ratkaisemiseksi.

Tämä on koko joukko tehtäviä, jotka sisältyvät matematiikan kokeeseen. Yleensä herää kysymys maksimipisteiden (minimipisteiden) löytämisestä tai funktion suurimman (pienimmän) arvon määrittämisestä tietyllä aikavälillä.Harkittu:

— Teho ja irrationaaliset funktiot.

— Rationaaliset toiminnot.

— Teosten ja yksityisten opiskelu.

— Logaritmiset funktiot.

— Trigonometriset funktiot.

Jos ymmärrät rajojen teorian, derivaatan käsitteen, derivaatan ominaisuudet funktioiden kaavioiden tutkimiseen ja sen , niin tällaiset ongelmat eivät aiheuta sinulle vaikeuksia ja ratkaiset ne helposti.

Alla olevat tiedot ovat teoreettisia kohtia, joiden ymmärtäminen mahdollistaa tällaisten ongelmien ratkaisemisen. Yritän ilmaista ne niin, että jopa ne, jotka ovat jääneet huomaamatta tai opiskelleet sitä huonosti, voivat ratkaista tällaiset ongelmat ilman suuria vaikeuksia.

Tämän ryhmän ongelmissa, kuten jo mainittiin, on löydettävä joko funktion minimi (maksimi) piste tai funktion suurin (pienin) arvo väliltä.

Vähimmäis- ja maksimipisteet.Johdannaiset ominaisuudet.

Tarkastellaan funktion kuvaajaa:

Piste A on maksimipiste, välillä O:sta A:han funktio kasvaa, välillä A:sta B:hen se pienenee.

Piste B on minimipiste, välillä A paikkaan B funktio pienenee, välillä B:stä C se kasvaa.

Näissä pisteissä (A ja B) derivaatta katoaa (on yhtä kuin nolla).

Tangentit näissä kohdissa ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa härkä.

Lisään, että pisteitä, joissa funktio muuttaa käyttäytymistään kasvavasta laskevaksi (ja päinvastoin, pienenemisestä kasvavaan), kutsutaan ääripisteiksi.

Tärkeä pointti:

1. Kasvavien intervallien derivaatalla on positiivinen etumerkki (nKun arvo väliltä korvataan derivaatalla, saadaan positiivinen luku).

Joten jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä aikaväliltä on positiivinen arvo, niin tämän intervallin funktion kaavio kasvaa.

2. Vähenemisväleillä derivaatalla on negatiivinen etumerkki (korvattaessa arvo väliltä derivaattalausekkeeseen saadaan negatiivinen luku).

Joten jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä väliltä on negatiivinen arvo, funktion kuvaaja tällä välillä pienenee.

Tämä on tehtävä selväksi!

Siten laskemalla derivaatan ja vertaamalla se nollaan, voit löytää pisteitä, jotka jakavat reaaliakselin intervalleiksi.Jokaisella näistä intervalleista voit määrittää derivaatan etumerkin ja tehdä sitten johtopäätöksen sen kasvusta tai laskusta.

* Erikseen on sanottava pisteistä, joissa johdannaista ei ole olemassa. Esimerkiksi voimme saada derivaatan, jonka nimittäjä häviää tietyssä x:ssä. On selvää, että tällaiselle x:lle derivaatta ei ole olemassa. Tämä kohta on siis otettava huomioon myös kasvun (vähenemisen) välejä määritettäessä.

Funktio pisteissä, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, ei aina muuta etumerkkiään. Tästä tulee erillinen artikkeli. Itse USE:ssa ei ole tällaisia ​​tehtäviä.

Yllä olevat ominaisuudet ovat välttämättömiä funktion käyttäytymisen tutkimiseksi kasvaessa ja pienentyessä.

Mitä muuta sinun on tiedettävä määritettyjen ongelmien ratkaisemiseksi: johdannaistaulukko ja differentiointisäännöt. Ei mitään ilman tätä. Tämä on perustietoa johdannaisen aiheesta. Sinun pitäisi tietää alkeisfunktioiden johdannaiset erittäin hyvin.

Kompleksisen funktion derivaatan laskeminenf(g(x)), kuvittele toimintog(x) on muuttuja ja laske sitten derivaattaf’(g(x)) taulukkokaavojen avulla muuttujan tavallisena johdannaisena. Kerro sitten tulos funktion derivaatallag(x) .

Katso Maxim Semenikhinin video-opastus monimutkaisesta toiminnosta:

Tehtäviä maksimi- ja minimipisteiden löytämisessä

Algoritmi funktion maksimi- (minimi)pisteiden löytämiseksi:

1. Etsi funktion derivaatta f’(x).

2. Etsi derivaatan nollat ​​(vertaamalla derivaatan nollaan f’(x)=0 ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö). Löydämme myös kohdat, joissa derivaatta ei ole olemassa(etenkin tämä koskee murto-rationaalisia funktioita).

3. Merkitsemme saadut arvot numeroviivalle ja määritämme derivaatan etumerkit näille intervalleille korvaamalla välien arvot derivaattalausekkeella.

Tulos on toinen kahdesta:

1. Maksimipiste on pistejossa derivaatta muuttuu positiivisesta negatiiviseksi.

2. Minimipiste on pistejossa derivaatta muuttuu negatiivisesta positiiviseksi.

Ongelmat suurimman tai pienimmän arvon löytämisessä

toimii välissä.

Toisen tyyppisessä ongelmassa on löydettävä funktion suurin tai pienin arvo tietyltä aikaväliltä.

Algoritmi suurimman (pienimmän) funktioarvon löytämiseksi:

1. Selvitä, onko enimmäispisteitä (minimipisteitä). Tätä varten löydämme johdannaisen f’(x) , ratkaise sitten f’(x)=0 (Edellisen algoritmin kohdat 1 ja 2).

2. Selvitetään, kuuluvatko saadut pisteet tiettyyn väliin ja kirjoitetaan sen sisällä olevat pisteet.

3. Korvaamme alkuperäiseen funktioon (ei derivaatta, vaan ehdossa annettuun) annetun intervallin rajat ja intervallin sisällä olevat pisteet (maksimi-minimi) (kohta 2).

4. Laskemme funktion arvot.

5. Valitsemme saaduista suurimman (pienimmän) arvon sen mukaan, mikä tehtävässä esitettiin, ja kirjoita vastaus muistiin.

Kysymys: miksi funktion suurimman (pienimmän) arvon löytämisessä pitää etsiä maksimi- (minimi)pisteitä?

Vastaus on havainnollistettu parhaiten, katso kaavamainen esitys funktioiden antamista kaavioista:

Tapauksissa 1 ja 2 riittää, että korvataan intervallin rajat funktion maksimi- tai minimiarvon määrittämiseksi. Tapauksissa 3 ja 4 on tarpeen löytää funktion nollat ​​(maksimi-minimipisteet). Jos korvaamme välin rajat (löytämättä funktion nollia), saamme väärän vastauksen, tämä näkyy kaavioista.

Ja asia on, että emme voi nähdä, miltä kaavio näyttää intervallilla (onko sillä maksimi tai minimi intervallin sisällä) käyttämällä annettua funktiota. Siksi etsi funktion nollat ​​ilman epäonnistumista!!!

Jos yhtälö f'(x)=0 ei ole ratkaisua, tämä tarkoittaa, että maksimi-minimipisteitä ei ole (kuva 1.2), ja asetetun tehtävän löytämiseksi tähän funktioon korvataan vain välin rajat.

Toinen tärkeä kohta. Muista, että vastauksen tulee olla kokonaisluku tai viimeinen desimaali. Kun lasketaan funktion suurinta ja pienintä arvoa, saat lausekkeita, joissa on luku e ja pi, sekä lausekkeita, joissa on juuri. Muista, että sinun ei tarvitse laskea niitä loppuun, ja on selvää, että tällaisten lausekkeiden tulos ei ole vastaus. Jos halutaan laskea tällainen arvo, tee se (luvut: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Kirjoitin paljon, luultavasti hämmentynyt? Tarkkojen esimerkkien avulla näet, että kaikki on yksinkertaista.

Seuraavaksi haluan kertoa sinulle pienen salaisuuden. Tosiasia on, että monet tehtävät voidaan ratkaista tietämättä derivaatan ominaisuuksia ja jopa ilman eriyttämissääntöjä. Kerron sinulle ehdottomasti näistä vivahteista ja näytän kuinka se tehdään? Älä missaa!

Mutta miksi sitten ylipäänsä esitin teorian ja sanoin myös, että se on tiedettävä erehtymättä. Aivan oikein - sinun täytyy tietää. Jos ymmärrät sen, mikään tämän aiheen tehtävä ei hämmentä sinua.

Ne "temput", joista opit, auttavat sinua ratkaisemaan tiettyjä (joitakin) prototyyppiongelmia. VastaanottajaLisätyökaluna nämä tekniikat ovat tietysti käteviä käyttää. Ongelma voidaan ratkaista 2-3 kertaa nopeammin ja säästää aikaa osan C ratkaisemiseen.

Kaikki parhaat!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Yhden muuttujan funktion derivaatta.

Johdanto.

Nämä metodologiset kehitystyöt on tarkoitettu Teollisuus- ja rakennustekniikan tiedekunnan opiskelijoille. Ne on koottu suhteessa matematiikan kurssin ohjelmaan kohtaan "Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta".

Kehitykset muodostavat yhtenäisen metodologisen oppaan, joka sisältää: lyhyet teoreettiset tiedot; "tyypillisiä" tehtäviä ja harjoituksia, joissa on yksityiskohtaiset ratkaisut ja näiden ratkaisujen selitykset; ohjausvaihtoehdot.

Lisäharjoitukset jokaisen kappaleen lopussa. Tällainen kehitysrakenne tekee niistä sopivia osion itsenäiseen hallitsemiseen mahdollisimman vähäisellä opettajan avusta.

§yksi. Johdannan määritelmä.

Mekaaninen ja geometrinen merkitys

johdannainen.

Derivaatan käsite on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä, ja se syntyi jo 1600-luvulla. Derivaatan käsitteen muodostumiseen liittyy historiallisesti kaksi ongelmaa: muuttuvan liikkeen nopeuden ongelma ja käyrän tangentin ongelma.

Nämä tehtävät johtavat erilaisesta sisällöstään huolimatta samaan matemaattiseen operaatioon, joka on suoritettava funktiolle, joka on saanut matematiikassa erityisen nimen. Sitä kutsutaan funktion erottamisoperaatioksi. Differentiointioperaation tulosta kutsutaan derivaatiksi.

Eli funktion y=f(x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen
klo
.

Johdannainen merkitään yleensä seuraavasti:
.

Siis määritelmän mukaan

Symboleja käytetään myös merkitsemään johdannaista
.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Jos s=s(t) on aineellisen pisteen suoraviivaisen liikkeen laki, niin
on tämän pisteen nopeus hetkellä t.

Derivaatan geometrinen merkitys.

Jos funktiolla y=f(x) on derivaatta pisteessä , sitten funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä
on yhtä suuri
.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta
pisteessä =2:

1) Annetaan piste = 2 lisäys
. Huomaa, että.

2) Etsi funktion inkrementti pisteessä =2:

3) Laadi funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:

Etsitään suhteen raja at
:

.

Tällä tavalla,
.

§ 2. Joidenkin johdannaiset

yksinkertaisimmat toiminnot.

Opiskelijan tulee oppia laskemaan tiettyjen funktioiden derivaatat: y=x,y= ja yleensä y= .

Etsi funktion y=x derivaatta.

nuo. (x)′=1.

Etsitään funktion derivaatta

Johdannainen

Päästää
sitten

Potenssifunktion derivaattojen lausekkeissa on helppo havaita kuvio
kohdassa n = 1,2,3.

Näin ollen

. (1)

Tämä kaava pätee mille tahansa todelliselle n:lle.

Erityisesti kaavaa (1) käyttämällä meillä on:

;

.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta

.

.

Tämä funktio on muodon funktion erikoistapaus

klo
.

Kaavaa (1) käyttämällä meillä on

.

Funktioiden y=sin x ja y=cos x derivaatat.

Olkoon y=sinx.

Jakamalla ∆x, saamme

Ylittäessämme rajan muodossa ∆x→0, meillä on

Olkoon y=cosx .

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0, saadaan

;
. (2)

§3. Erottamisen perussäännöt.

Harkitse erottelusääntöjä.

Lause1 . Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, niin niiden summa on myös tässä pisteessä differentioituva ja summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaatan termien summa: (u+v)"=u"+v".(3 )

Todistus: harkitse funktiota y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumentin x inkrementti ∆x vastaa funktioiden u ja v inkrementtejä ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Sitten funktiota y kasvatetaan

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Näin ollen

Joten (u+v)"=u"+v.

Lause2. Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, on myös niiden tulo samassa pisteessä, jolloin tuotteen derivaatta saadaan seuraavalla kaavalla : (uv) "=u" v + uv ". ( neljä)

Todistus: Olkoon y=uv, missä u ja v ovat joitain x:n differentioituvia funktioita. Olkoon x:n lisäys ∆x:llä, silloin u kasvaa ∆u:lla, v:ää ∆v ja y:tä ∆y.

Meillä on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), tai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siksi ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Täältä

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0 ja ottaen huomioon, että u ja v eivät ole riippuvaisia ​​∆x:stä, meillä on

Lause 3. Kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka nimittäjä on jakajan neliö, ja osoittaja on erotus jakajan derivaatan tulon ja jakajan tulon välillä. osinko jakajan derivaatalla, ts.

Jos
sitten
(5)

Lause 4. Vakion derivaatta on nolla, ts. jos y=C, missä С=const, niin y"=0.

Lause 5. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä, ts. jos y=Cu(x), missä С=const, niin y"=Cu"(x).

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

.

Tällä toiminnolla on muoto
, jossa u=x,v=cosx. Differentiointisääntöä (4) soveltamalla löydämme

.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

.

Käytämme kaavaa (5).

Tässä
;
.

Tehtävät.

Etsi johdannaiset seuraavista funktioista:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Laadi suhde ja laske raja.

Missä teki johdannaisten ja eriyttämissääntöjen taulukko? Yhden rajan ansiosta. Se näyttää taikalta, mutta todellisuudessa - taikuutta ja ilman petoksia. Oppitunnilla Mikä on johdannainen? Aloin pohtia konkreettisia esimerkkejä, joissa määritelmää käyttäen löysin lineaarisen ja toisen asteen funktion derivaatat. Kognitiivisen lämmittelyn vuoksi jatkamme häiritsemistä johdannainen taulukko, hiomalla algoritmia ja teknisiä ratkaisuja:

Esimerkki 1

Itse asiassa on todistettava tehofunktion derivaatan erikoistapaus, joka yleensä esiintyy taulukossa: .

Ratkaisu teknisesti muotoiltu kahdella tavalla. Aloitetaan ensimmäisestä, jo tutusta lähestymistavasta: tikkaat alkavat plankista ja derivaattafunktio alkaa derivaatalla pisteessä.

Harkitse jonkin verran(erityinen) piste, johon kuuluu verkkotunnuksia funktio, jolla on derivaatta. Aseta lisäys tässä vaiheessa (ei tietenkään pidemmälleo/o -minä) ja muodosta funktion vastaava lisäys:

Lasketaan raja:

Epävarmuus 0:0 eliminoidaan standarditekniikalla, jota pidetään jo ensimmäisellä vuosisadalla eKr. Kerro osoittaja ja nimittäjä adjoint-lausekkeella :

Tekniikkaa tällaisen rajan ratkaisemiseksi käsitellään yksityiskohtaisesti johdantotunnilla. toimintojen rajoista.

Koska MIKÄ tahansa välin piste voidaan valita, niin korvaamalla , saadaan:

Vastaus

Iloitkaamme vielä kerran logaritmeista:

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta käyttämällä derivaatan määritelmää

Ratkaisu: harkitaan erilaista lähestymistapaa saman tehtävän edistämiseen. Se on täsmälleen sama, mutta suunnittelun kannalta järkevämpi. Ajatuksena on päästä eroon ratkaisun alussa olevasta alaindeksistä ja käyttää kirjainta kirjaimen sijaan.

Harkitse mielivaltainen kuuluva piste verkkotunnuksia funktio (intervalli ) ja aseta sen lisäys. Ja tässä muuten, kuten useimmissa tapauksissa, voit tehdä ilman varauksia, koska logaritminen funktio on differentioitavissa missä tahansa määrittelyalueen kohdassa.

Sitten vastaava funktion lisäys on:

Etsitään johdannainen:

Suunnittelun helppoutta tasapainottaa se hämmennys, jonka aloittelijat (eikä vain) voivat kokea. Olemmehan tottuneet siihen, että kirjain “X” muuttuu rajassa! Mutta täällä kaikki on erilaista: - antiikkipatsas ja - elävä vierailija, joka kävelee iloisesti museon käytävää pitkin. Eli "x" on "kuin vakio".

Kommentoin epävarmuuden poistamista askel askeleelta:

(1) Käytä logaritmin ominaisuutta .

(2) Suluissa jaetaan osoittaja termillä termillä.

(3) Nimittäjässä kerromme ja jaamme keinotekoisesti "x":llä hyödyntääksemme ihana raja , kun taas as äärettömän pieni erottuu.

Vastaus: johdannaisen määritelmän mukaan:

Tai lyhyesti:

Ehdotan itsenäisesti kahden muun taulukkokaavan rakentamista:

Esimerkki 3

Tässä tapauksessa käännetty lisäys on heti kätevä vähentää yhteiseksi nimittäjäksi. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa (ensimmäinen menetelmä).

Esimerkki 3:Ratkaisu : harkitse jotain asiaa , jotka kuuluvat toiminnon piiriin . Aseta lisäys tässä vaiheessa ja muodosta funktion vastaava lisäys:

Etsitään derivaatta pisteestä :


Koska as voit valita minkä tahansa kohdan toiminnon laajuus , sitten ja
Vastaus : johdannaisen määritelmän mukaan

Esimerkki 4

Etsi derivaatta määritelmän mukaan

Ja tässä kaikki on vähennettävä ihana raja. Ratkaisu kehystetään toisella tavalla.

Samoin joukko muita taulukkojohdannaiset. Täydellinen luettelo löytyy koulun oppikirjasta tai esimerkiksi Fichtenholtzin 1. osasta. En näe paljon järkeä kirjoittaa uudelleen kirjoista ja erilaistumissääntöjen todisteista - nekin syntyy kaavasta.

Esimerkki 4:Ratkaisu , omistettu , ja aseta siihen lisäys

Etsitään johdannainen:

Ihmeen rajan hyödyntäminen

Vastaus : määritelmän mukaan

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta , käyttämällä derivaatan määritelmää

Ratkaisu: Käytä ensimmäistä visuaalista tyyliä. Tarkastellaan jotakin kohtaan kuuluvaa pistettä, asetetaan argumentin lisäys siihen. Sitten vastaava funktion lisäys on:

Ehkä jotkut lukijat eivät ole vielä täysin ymmärtäneet periaatetta, jonka mukaan lisäys tulisi tehdä. Otamme pisteen (luvun) ja löydämme siitä funktion arvon: , eli funktioon sijasta"x" tulee korvata. Nyt otamme myös hyvin tietyn luvun ja korvaamme sen myös funktioon sijasta"x": . Kirjoitamme eron muistiin, kun se on välttämätöntä sulkea kokonaan.

Muodostettu funktion lisäys on hyödyllistä yksinkertaistaa välittömästi. Mitä varten? Helpota ja lyhennä lisärajan ratkaisua.

Käytämme kaavoja, avaamme sulkeita ja vähennämme kaikkea, mitä voidaan vähentää:

Kalkkuna on perattu, ei ongelmia paistin kanssa:

Lopulta:

Koska laaduksi voidaan valita mikä tahansa reaaliluku, teemme korvauksen ja saamme .

Vastaus: määritelmän mukaan.

Tarkistamista varten löydämme johdannaisen käyttämällä erottelusäännöt ja taulukot:

Oikea vastaus on aina hyödyllistä ja miellyttävää tietää etukäteen, joten on parempi mielessään tai luonnoksessa erottaa ehdotettu toiminto "nopeasti" heti ratkaisun alussa.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta derivaatan määritelmän mukaan

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tulos on pinnalla:

Esimerkki 6:Ratkaisu : harkitse jotain asiaa , omistettu , ja aseta argumentin lisäys siihen . Sitten vastaava funktion lisäys on:


Lasketaan derivaatta:


Tällä tavalla:
Koska kuten mikä tahansa todellinen luku voidaan valita ja
Vastaus : määritelmän mukaan.

Palataan tyyliin #2:

Esimerkki 7

Otetaan heti selvää, mitä pitäisi tapahtua. Tekijä: monimutkaisen funktion erilaistumissääntö:

Ratkaisu: harkitse mielivaltaista pistettä, joka kuuluu ryhmään, aseta argumentin lisäys siihen ja muodosta funktion inkrementti:

Etsitään johdannainen:


(1) Käyttö trigonometrinen kaava .

(2) Sinin alla avaamme sulut, kosinin alla esitämme samanlaisia ​​termejä.

(3) Sinin alla vähennämme termejä, kosinin alla jaamme osoittajan nimittäjätermillä termillä.

(4) Sinin omituisuuden vuoksi otamme pois "miinus". Kosinin alla osoitamme, että termi .

(5) Kerromme keinotekoisesti käytettävän nimittäjän ensimmäinen ihana raja. Siten epävarmuus eliminoituu, kampaamme tuloksen.

Vastaus: määritelmän mukaan

Kuten näette, tarkasteltavan ongelman suurin vaikeus perustuu itse rajan monimutkaisuuteen + pakkauksen vähäiseen omaperäisyyteen. Käytännössä kohdataan molemmat suunnittelutavat, joten kuvailen molempia lähestymistapoja mahdollisimman yksityiskohtaisesti. Ne ovat samanarvoisia, mutta silti minun subjektiivisen vaikutelmani mukaan nukkejen on tarkoituksenmukaisempaa pitää kiinni ensimmäisestä vaihtoehdosta "X nolla".

Esimerkki 8

Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta

Esimerkki 8:Ratkaisu : harkitse mielivaltaista kohtaa , omistettu , asetetaan siihen lisäys ja lisää funktiota:

Etsitään johdannainen:

Käytämme trigonometristä kaavaa ja ensimmäinen merkittävä raja:

Vastaus : määritelmän mukaan

Analysoidaan harvinaisempaa versiota ongelmasta:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta pisteessä käyttämällä derivaatan määritelmää.

Ensinnäkin, minkä pitäisi olla lopputulos? Määrä

Lasketaan vastaus tavallisella tavalla:

Ratkaisu: Selvyyden kannalta tämä tehtävä on paljon yksinkertaisempi, koska kaava ottaa sen sijaan tietyn arvon.

Asetamme pisteen lisäyksen ja muodostamme funktion vastaavan lisäyksen:

Laske derivaatta pisteessä:

Käytämme erittäin harvinaista kaavaa tangenttien erolle ja vähennä ratkaisu vielä kerran ensimmäinen ihana raja:

Vastaus: pisteen derivaatan määritelmän mukaan.

Tehtävä ei ole niin vaikea ratkaista ja "yleisesti" - se riittää korvaamaan tai yksinkertaisesti suunnittelumenetelmästä riippuen. Tässä tapauksessa et tietenkään saa lukua, vaan johdannaisfunktiota.

Esimerkki 10

Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta kohdassa (joista yksi voi osoittautua äärettömäksi), josta olen jo puhunut yleisesti teoreettinen oppitunti derivaatista.

Jotkut paloittain määritellyt funktiot ovat myös differentioitavissa graafin "risteyspisteissä", esim. catdog on yhteinen derivaatta ja yhteinen tangentti (abskissa) pisteessä . Käyrä, kyllä ​​erotettavissa ! Halukkaat voivat todentaa tämän itse juuri ratkaistun esimerkin mallilla.

©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 2017-06-11

Työtyyppi: 7

Kunto

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b , koska kosketuspisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu sekä funktion kuvaajaan että tangentin kuvaajaan. tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissan ehdon mukaan kosketuspisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Suoran kaltevuus funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajaan mielivaltaisessa pisteessä x_0 on y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, joten y"(x_0)=- 2x_0+5. Ehdossa määritellyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on -3.Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyydet.Siksi saadaan sellainen arvo x_0, että =-2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuvasta päätämme, että tangentti kulkee pisteiden A(-6; 2) ja B(-1; 1) kautta. Merkitään C(-6; 1) viivojen x=-6 ja y=1 leikkauspistettä ja \alphalla kulmaa ABC (kuvasta näkyy, että se on terävä). Sitten suora AB muodostaa tylpän kulman \pi -\alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Kuten tiedät, tg(\pi -\alpha) on funktion f(x) derivaatan arvo pisteessä x_0. huomaa, että tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Tästä saamme pelkistyskaavojen avulla: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=-2x-4 on tangentti funktion y=16x^2+bx+12 kuvaajalle. Etsi b , koska kosketuspisteen abskissa on suurempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=16x^2+bx+12 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta

on tangentti tälle kaaviolle.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y "(x_0)=32x_0+b=-2. Toisaalta tangenttipiste kuuluu sekä funktion kuvaajaan että tangentin kuvaajaan. tangentti, eli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(tapaukset)

Kun järjestelmä ratkaistaan, saadaan x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissan ehdon mukaan kosketuspisteet ovat suurempia kuin nolla, joten x_0=1, sitten b=-2-32x_0=-34.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritetty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran y=6 kanssa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Suora y=6 on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme sellaisia ​​pisteitä, joissa funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, ääripisteitä on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=4x-6 on yhdensuuntainen funktion y=x^2-4x+9 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 kaavion tangentin kaltevuus mielivaltaisessa pisteessä x_0 on y "(x_0). Mutta y" \u003d 2x-4, mikä tarkoittaa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Ehdossa määritellyn tangentin y \u003d 4x-7 kaltevuus on yhtä suuri kuin 4. Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyydet. Tästä syystä löydämme sellaisen arvon x_0, että 2x_0-4 \u003d 4. : x_0 \u003d 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x_0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x_0.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuvasta päätetään, että tangentti kulkee pisteiden A(1; 1) ja B(5; 4) läpi. Merkitse C(5; 1) suorien x=5 ja y=1 leikkauspiste ja \alphalla kulma BAC (kuvasta näkyy, että se on terävä). Sitten suora AB muodostaa kulman \alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.