• Kiinteistö 1 (suoruuden säilyttäminen). Liikkuessaan kolme suoralla olevaa pistettä siirtyy kolmeen suoralla olevaan pisteeseen ja kahden muun välissä oleva piste siirtyy kahden muun pisteen kuvien välissä olevaan pisteeseen (niiden keskinäinen järjestys säilyy) .

• Ominaisuus 2. Liikkuvan segmentin kuva on segmentti.

• Ominaisuus 3. Liikkuvan suoran kuva on suora ja säteen kuva on säde.

• Ominaisuus 4. Liikkuessaan kolmion kuva on yhtäläinen kolmio, tason kuva on taso ja yhdensuuntaiset tasot kartoitetaan yhdensuuntaisille tasoille, puolitason kuva on puolitaso.

• Ominaisuus 5. Liikkuessaan tetraedrin kuva on tetraedri, avaruuden kuva on koko avaruus, puoliavaruuden kuva on puoliavaruus.

• Kiinteistö 6. Siirrettäessä kulmat säilyvät, ts. jokainen kulma on kartoitettu samantyyppiseen ja samansuuruiseen kulmaan. Sama pätee dihedraalisiin kulmiin.

• Määritelmä. Rinnakkaissiirto tai lyhyesti sanottuna kuvion siirto on sen näyttö, jossa sen kaikki pisteet ovat siirtyneet samaan suuntaan yhtä suurella etäisyydellä, ts. käännettäessä kuvion molemmat pisteet X ja Y kartoitetaan sellaisiin pisteisiin X" ja Y", että XX" = YY".

• Pääasiallinen siirtoomaisuus:

• Rinnakkaiskäännös säilyttää etäisyydet ja suunnat, ts. X"Y" = XY.

• Tästä seuraa, että yhdensuuntainen siirto on liikettä, joka säilyttää suunnan, ja päinvastoin, liike, joka säilyttää suunnan, on rinnakkainen siirto.

• Näistä väitteistä seuraa myös, että rinnakkaiskäännösten koostumus on rinnakkaiskäännös.

• Kuvan rinnakkaismuunnos määritellään määrittämällä yksi vastaavien pisteiden pari. Jos esimerkiksi on osoitettu mihin pisteeseen A" annettu piste A menee, niin tämä käännös saadaan vektorilla AA", mikä tarkoittaa, että kaikki pisteet ovat siirtyneet samalla vektorilla, ts. XX" = AA" kaikille X pisteille.

• Kuvan keskussymmetria suhteessa O:een on sellainen tämän kuvion kartoitus, joka liittää jokaiseen sen pisteeseen pisteen, joka on symmetrinen O:n suhteen.

• Pääominaisuus: Keskisymmetria säilyttää etäisyyden ja kääntää suunnan. Toisin sanoen mitkä tahansa kaksi pistettä X ja Y kuviossa F vastaavat pisteitä X" ja Y" siten, että X"Y" = -XY.

• Tästä seuraa, että keskussymmetria on liikettä, joka muuttaa suuntaa vastakkaiseen suuntaan ja päinvastoin, liike, joka muuttaa suuntaa vastakkaiseen suuntaan, on keskussymmetriaa.

• Kuvan keskisymmetria määritetään määrittämällä yksi olemassa olevien pisteiden pari: jos piste A on kartoitettu A", niin symmetrian keskipiste on janan AA" keskipiste.

• Kuvan kartoitusta, jossa jokainen sen piste vastaa sille symmetristä pistettä tietyn tason suhteen, kutsutaan kuvion heijastukseksi tässä tasossa (tai peilisymmetriaksi).

• Pisteiden A ja A" sanotaan olevan symmetrisiä tason suhteen, jos jana AA" on kohtisuorassa tähän tasoon nähden ja jakaa sen kahtia. Mitä tahansa tason pistettä (pidetään symmetrisenä itselleen tämän tason suhteen.

• Lause 1. Tasossa oleva heijastus säilyttää etäisyydet ja on siten liikettä.

• Lause 2. Liike, jossa tietyn tason kaikki pisteet ovat kiinteitä, on heijastus tässä tasossa tai identtinen kuvaus.

• Peilisymmetria määritellään määrittämällä yksi pari vastaavia pisteitä, jotka eivät ole symmetriatasossa: symmetriataso kulkee näitä pisteitä yhdistävän janan keskikohdan läpi kohtisuoraan siihen nähden.

• Figuuria kutsutaan vallankumouskuvioksi, jos siinä on sellainen suora, jonka ympäri pyöriminen yhdistää kuvion itseensä, toisin sanoen kartoittaa sen itseensä. Tällaista suoraa kutsutaan kuvion pyörimisakseliksi. Yksinkertaisimmat vallankumouksen kappaleet: pallo, oikea pyöreä sylinteri, oikea pyöreä kartio.

Erityinen käännös suoran ympäri on käännös 180 (. Käännettäessä suoran a ympäri 180 (jokainen piste A menee sellaiseen pisteeseen A "että suora a on kohtisuorassa janaan AA" ja leikkaa sen keskellä. Tällaiset pisteet A ja A "sanovat olevansa symmetrisiä akselin a suhteen. Siksi 180:n kiertoa (noin suoraa kutsutaan aksiaalisymmetriaksi avaruudessa.

Liike

Lentokoneen kartoittaminen itseensä

• Jokainen tason piste liittyy johonkin saman tason pisteeseen, ja mikä tahansa tason piste liittyy johonkin pisteeseen. Sitten he sanovat sen kartoittaa kone itseensä.

• Aksiaalinen symmetria on tason kartoitus itseensä.

• Keskisymmetria on myös tason kartoitus itseensä.

Liikkeen käsite

• Aksiaalisella symmetrialla on tärkeä ominaisuus - se on tasosta itseensä -kartoitus, joka säilyttää pisteiden välisen etäisyyden.

• Tason liike on tason kartoittamista itseensä säilyttäen etäisyydet.

• Tason keskussymmetria on myös tason kartoitus itseensä

LAUSE #1

• Liikkuessa segmentti näkyy segmentissä.

LAUSE #1

• Annettu: segmentti MN.

• Todista: 1.MN näytetään tietyssä liikkeessä M1N1 ;2.P näytetään P1:ssä;

Todiste

• I.1)MP+PN=MN(ehdosta)

• 2) koska liikkuessa etäisyys säilyy =>M1N1=MN, M1P1=MP ja N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1, joka kuuluu M1N1:een =>MN pistettä näkyy M1N1-segmentissä

• II. Olkoon P1 mielivaltainen piste M1N1, ja tietyn liikkeen piste P kartoitetaan P1:een

• Tasa-arvosuhteesta (1) ja M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P kuuluu MN:ään.

Seuraus

• Lauseesta nro 1 seuraa, että siirrettäessä kolmion kumpikin sivu kartoitetaan yhtä suureen janaan => kolmio kuvataan kolmioksi, jolla on yhtäläiset sivut, eli siirrettäessä yhtäläiseksi kolmioksi. Lauseesta nro 1 seuraa, että siirrettäessä:

• 1) suora kartoitetaan suoraksi;

• 2) palkki palkkiin;

• 3) kulma - sitä vastaava kulma.

Päällystykset ja liikkeet

• Kuva Ф on yhtä suuri kuin luku Ф1, jos kuva Ф voidaan yhdistää kuvioon Ф1. Kun kuvio Ф asetetaan kuviolle Ф1, ymmärrämme jonkinlaisen kuvan Ф kohdistamisen kuvioon Ф1. Tässä tapauksessa ei vain kuvion Ф pisteet, mutta myös mikä tahansa tason piste on kartoitettu tiettyyn tason pisteeseen, ts. peittokuva on tason kartoitus itseensä.

• Peittokuvat ovat sellaisia ​​tason kartoituksia itseensä, joilla on aksioomeina ilmaistut ominaisuudet. Niiden avulla voimme todistaa kaikki ne asetuksien ominaisuudet, jotka kuvittelemme visuaalisesti ja joita käytämme ongelmien ratkaisemisessa

Lause #2

• Päällekkäin eri pisteet kartoitetaan eri pisteisiin.

Todiste

Oletetaan, että näin ei ole, ts. tietyssä paikassa jotkin pisteet A ja B näytetään muodossa Ф2=Ф1, eli jossain määrin päällekkäin, Ф2 näytetään kohdassa Ф1. Mutta tämä on mahdotonta, koska peittokuva on näyttö, ja millä tahansa näytöllä vain yksi tason piste tulee linjaan C =>:n kanssa, kun päällekkäisyydellä segmentti näytetään yhtä suurella segmentillä. Olkoon päällekkäin janan AB päät A ja B näkyvät A1:ssä ja B1:ssä. Sitten AB kartoitetaan A1 B1 => AB=A1B1. Koska yhtäläiset segmentit ovat yhtä pitkiä, niin päällekkäisyys on tason kartoitus itseensä säilyttäen etäisyyden, ts. mikä tahansa päällekkäisyys on tason liikettä.

Lause #3

• Mikä tahansa liike on peittokuva.

Lause #3

• Annettu: kolmion ABC g-mielivaltainen liike kuvaa kolmiota A1 B1 C1

• f-peittokuva, jossa pisteet A,B,C näytetään kohdassa A1 B1 C1 .

• Todista: g on sama kuin f.

Todiste

Oletetaan, että g ei ole sama kuin f=> tasossa on ainakin yksi piste M, joka g:n liikkuessa kuvataan M1:een ja kun f on päällekkäin, M2. Koska etäisyys säilyy kartoitusten f ja g alla, jolloin AM=A1M1, AM=A1M2 ts. piste A1 on yhtä kaukana M1:stä ja M2=>A1,B1 ja C1 ovat kohtisuorassa puolittajalla M1 M2:aan nähden.Mutta tämä on mahdotonta, koska kolmion A1B1C1 kärjet eivät ole samalla suoralla, joten g osuu yhteen f:n kanssa, ts. liike g on peittokuva.

Seuraus

• Siirrettäessä mikä tahansa hahmo kartoitetaan yhtä suureksi hahmoksi.

Rinnakkaissiirto

• Olkoon a annettu vektori. Rinnakkaissiirto vektoriin a kutsutaan tason kartoittamista itseensä, jossa jokainen piste M kuvataan sellaiseen pisteeseen M1, että vektori MM1 on yhtä suuri kuin vektori a

Lause #4

• Rinnakkaiskäännös on liike, ts. tason itsekartoitus, joka säilyttää etäisyydet.

Lause #4

• Annettu: Rinnakkaissiirrolla a:lle M ja N kartoitetaan M1:een ja N1:een.

• Todista: MN=M1N1.

Todiste

• Koska MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 ja MM1=NN1 => MM1NN1-rinnakkaiskuvaus =>MN=M1N1, ts. etäisyys M:n ja N:n välillä = etäisyys M1:n ja N1:n välillä.

• Siten rinnakkaissiirto säilyttää pisteiden välisen etäisyyden ja edustaa siten liikettä.

Vuoro

Kääntämällä konetta pisteen O ympäri kulmassa a kutsutaan tason kartoitukseksi itseensä, jossa jokainen piste M kartoitetaan sellaiseen pisteeseen M1, että OM = OM1 ja kulma MOM1 on yhtä suuri kuin a. Tässä tapauksessa piste O jää paikalleen, ts. näkyy itsessään, ja kaikki muut pisteet pyörivät pisteen O ympäri samaan suuntaan - myötä- tai vastapäivään.

Lause #5

• Käännös on liike, eli etäisyyttä säilyttävä tason kartoitus itseensä.

Lause #5

• Annettu: O - pyörimiskeskus d- vastapäivään pyörimiskulma

• Todista: MN=M1N1

Todiste

• Oletetaan, että tämä rotaatio kuvaa M:n ja N:n M1:ksi ja N1:ksi.

• Kolmio OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, kulma MON=kulma M1ON1) Tästä yhtälöstä seuraa, että MN=M1N1, ts. etäisyys M:n ja N:n välillä = etäisyys M1:n ja N1:n välillä.

• Kierto säilyttää pisteiden välisen etäisyyden ja edustaa siten liikettä.

Annettu: Kulma AOB ja kulma A1O1B1.

• Annettu: Kulma AOB ja kulma A1O1B1.

• Todista, että liikkuessa kulma kartoitetaan sen samaan kulmaan.

PÄÄTÖS

Kuvataan kulma AOB kulmaan А1О1В1 annetun liikkeen aikana ja pisteet А.О.в kohdistetaan vastaavasti pisteisiin А1, О1, В1. koska etäisyydet säilyvät liikkeen aikana, niin OA \u003d O1A1, OB \u003d O1B1. Jos kulmaa AOB ei kehitetä, kolmiot AOB ja A1O1B1 ovat yhtä suuret kolmella sivulla, ja siksi kulma AOB \u003d kulma A1O1v1. Jos kulma AOB kehitetään, kehittyy kulma A1O1B1, joten ne ovat yhtä suuret.

• Tehtävä #2

PÄÄTÖS

• Kolmiot ABC ja A1B1C1 ovat yhtä suuret kolmella sivulla. Siksi on olemassa päällekkäisyys, eli liike, jossa pisteet A, B ja C kartoitetaan vastaavasti pisteisiin A1, B1 ja C1. Tämä liike on ainoa liike, jossa pisteet A, B ja C kartoitetaan pisteisiin A1B1 ja C1. .

• Tehtävä numero 3. Piirrä kolmio ABC, vektori MM1, joka ei ole yhdensuuntainen kolmion kummankaan puolen kanssa, ja vektori a, joka on yhdensuuntainen sivun AC kanssa. Muodosta kolmio A1B1C1, joka saadaan kolmiosta ABC rinnakkaissiirrolla: a) vektoriin MM1; b) vektori a.

• Annettu:

• Päätös

b) Päätös

• b) Päätös

yhteenveto muista esitelmistä

"Pusunsuunnikkaan keskiviiva"- Puolisuunnikkaan keskiviiva. A. MN on puolisuunnikkaan ABCD keskiviiva. Kolmioon voit rakentaa ... keskiviivoja. Kolmion keskiviivalla on ominaisuus … MN = ? AB. Puolisuunnikkaan keskiviivan määritelmä. Lause puolisuunnikkaan keskiviivasta. D. Jatka lausetta: MN || AB.

"Ellipsin yhtälö"- Tekijät: Gololobova O. 9. luokka Negrova O. 9. luokka Dolgova K. 9. luokka. Ellipsin määritelmä. Miten ellipsin ominaisuudet liittyvät muiden "merkittävien" käyrien ominaisuuksiin? 2. Johdimme ellipsin kanonisen yhtälön. Tutkimuksen edistyminen. Tutkimustulokset: 4. Selvitä ellipsin pääparametrit: Tarkoitus: Ellipsin pääparametrien tutkimus. 3. Rakensi ellipsin.

"Thaleen lause"- Uskotaan, että Thales oli ensimmäinen, joka tutki Auringon liikettä taivaalla. Thalesin lause. Geometrinen lause on nimetty Thaleen mukaan. Piirretään pisteen B2 läpi suora EF yhdensuuntainen suoran A1A3 kanssa. Tähtitiede. Geometria. Suunnikkaan ominaisuuden mukaan A1A2=FB2, A2A3=B2E. Milesian materialisti. Ja koska A1A2=A2A3, niin FB2=B2E. Thales tunnetaan laajalti geometriana.

"Ympyrään ja ympyrään liittyviä ongelmia"- 2. Vastaus: S=25? cm2; C=10? katso Ongelmanratkaisu. 1. Ympyrän ympärysmitta ja pinta-ala.

"säännöllisten polygonien geometria"- Mistä tahansa säännöllisestä monikulmiosta voit kuvata ympyrän ja vain yhden. Johdetaan kaava säännöllisen n-kulman kulman an laskemiseksi. Otetaan mitkä tahansa kolme monikulmion A1A2...An kärkeä, esimerkiksi A1, A2, A3. Todistakaamme nyt tällaisen ympyrän ainutlaatuisuus. Säännöllisen monikulmion keskipiste. Lause säännöllisen monikulmion keskipisteestä. Tällaisen ympyrän ainutlaatuisuus seuraa kolmion ympärillä olevan rajatun ympyrän ainutlaatuisuudesta.

"Liikegeometrian luokka 9"- Aksiaalinen. Aksiaalinen symmetria. Keski- ja aksiaalinen symmetria. Lause. Liikkeiden tyypit. Vuoro. Peittokuva. Mikä tahansa liike on peittokuva. Aksiaalinen symmetria Keskisymmetria Rinnakkaissiirto Kierto. Rinnakkaissiirto. Liike. keskussymmetria. Liikkeen käsite. Geometria luokka 9. Keski. Liikkuessa segmentti näkyy segmentissä.

Lentokoneen kartoittaminen itseensä

Määritelmä 1

Lentokoneen kartoittaminen itseensä- tämä on sellainen vastaavuus saman tason minkä tahansa pisteen tason jokaiselle pisteelle, jossa jokainen tason piste liittyy mihin tahansa pisteeseen.

Esimerkkejä tason kartoittamisesta itseensä voivat olla aksiaalinen symmetria (kuva 1a) ja keskisymmetria (kuva 1b).

Kuva 1. a) aksiaalinen symmetria; b) Keskisymmetria

Liikkeen käsite

Esittelemme nyt liikkeen määritelmän.

Määritelmä 2

Tason liike on sellainen tason kartoitus itseensä, jossa etäisyydet säilyvät (kuva 2).

Kuva 2. Liikeesimerkki

Liikkeen käsitteeseen liittyvät lauseet

Todiste.

Olkoon meille annettu segmentti $MN$. Kuvataan piste $M$ tämän tason pisteeseen $M_1$ tason tietylle liikkeelle ja piste $N$ tämän tason pisteeseen $N_1$. Otetaan janan $MN$ mielivaltainen piste $P$. Olkoon se kartoitettu tämän tason pisteeseen $\ P_1$ (kuva 3).

Kuva 3. Segmentin yhdistäminen segmenttiin liikkuessa

Koska piste $P$ kuuluu segmenttiin $MN$, yhtälö

Koska liikkeen määritelmän mukaan etäisyydet säilyvät, niin

Siten

Tästä syystä piste $P_1$ on janalla $M_1N_1$. Pisteen $P_1$ valinnan mielivaltaisuudesta johtuen saadaan, että segmentti $MN$ kartoitetaan segmenttiin $M_1N_1$ liikkeen aikana. Näiden segmenttien yhtäläisyys seuraa välittömästi liikkeen määritelmästä.

Lause on todistettu.

Lause 2

Siirrettäessä kolmio kartoitetaan yhtäläiseksi kolmioksi.

Todiste.

Olkoon meille annettu kolmio $ABC$. Lauseen 1 mukaan segmentti $AB$ menee segmenttiin $A_1B_1$, segmentti $AC$ segmenttiin $A_1C_1$, segmentti $BC$ segmenttiin $B_1C_1$ ja $(AB=A) _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. Siksi kolmioiden yhtäläisyyskriteerin III mukaan kolmio $ABC$ siirtyy sen yhtäläiseksi kolmioksi $A_1B_1C_1$.

Lause on todistettu.

Samoin sen voi todistaa säde kartoitetaan säteeseen, kulma kartoitetaan sen samaan kulmaan.

Seuraavan lauseen muodostamiseksi otamme ensin käyttöön seuraavan määritelmän.

Määritelmä 3

peittokuva kutsutaan sellaista tason liikettä, jolla on seuraavat aksioomit:

1. Jos kahden segmentin päät osuvat yhteen liikkeen aikana, itse segmentit osuvat yhteen.
2. Minkä tahansa säteen alusta alkaen voit lykätä segmenttiä, joka vastaa annettua segmenttiä ja lisäksi vain yhtä.
3. Missä tahansa puolitasossa mistä tahansa säteestä voidaan asettaa sivuun kulma, joka on yhtä suuri kuin annettu ei-laajentunut kulma, ja vain yksi.
4. Mikä tahansa luku on yhtä suuri kuin itsensä.
5. Jos kuva 1 on yhtä suuri kuin kuva 2, kuva 2 on yhtä suuri kuin kuvio 1.
6. Jos kuva 1 on yhtä suuri kuin kuvio 2 ja kuva 2 on yhtä suuri kuin kuvio 3, kuva 1 on yhtä suuri kuin kuvio 3.

Lause 3

Mikä tahansa liike on peittokuva.

Todiste.

Tarkastellaan kolmion $ABC$ liikettä $g$. Lauseen 2 mukaan, kun $g$ liikkuu, kolmio $ABC$ siirtyy samansuuruiseksi kolmioksi $A_1B_1C_1$. Tasa-arvoisten kolmioiden määritelmän mukaan on olemassa peittokuva $f$, joka yhdistää pisteet $A,B\ ja\ C$ pisteisiin $A_1, B_1\ ja\ C_1$, vastaavasti. Osoittakaamme, että $g$ on sama kuin $f$.

Oletetaan päinvastoin, että $g$ ei ole sama kuin $f$. Sitten on ainakin yksi piste $M$, joka $g$ liikkuessa menee pisteeseen $M_1$ ja kun $f$ on päällekkäin, se menee pisteeseen $M_2$. Koska etäisyydet säilytetään $f$:lle ja $g$:lle, meillä on

Toisin sanoen piste $A_1$ on yhtä kaukana pisteistä $M_1$ ja $M_2$. Samalla tavalla saadaan, että pisteet $B_1\ ja\ C_1$ ovat yhtä kaukana pisteistä $M_1$ ja $M_2$. Tästä syystä pisteet $A_1, B_1\ ja\ C_1$ ovat suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa janaan $M_1M_2$ nähden ja kulkee sen keskipisteen kautta. Tämä ei ole mahdollista, koska pisteet $A_1,B_1\ ja\C_1$ eivät ole samalla viivalla. Siksi $g$:n liike osuu yhteen $f$:n asettamisen kanssa.

Lause on todistettu.

Esimerkki tehtävästä liikkeen käsitteestä

Esimerkki 1

Todista, että liikkuessa kulma kartoitetaan sen samaan kulmaan.

Todiste.

Olkoon meille annettu kulma $AOB$. Kuvataan pisteet $A,\ O\ ja\ B$ pisteisiin $A_1,\ O_1\ ja\ B_1$ tietylle liikkeelle. Lauseen 2 avulla saadaan, että kolmio $AOB$ on kuvattu kolmioon $A_1O_1B_1$, ja nämä kolmiot ovat keskenään yhtä suuret. Siksi $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.