Tämä artikkeli käsittelee murtolukujen operaatioita. Muodostetaan ja perustellaan säännöt A B-muotoisten murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- tai eksponentioille, joissa A ja B voivat olla lukuja, numeerisia lausekkeita tai muuttujia sisältäviä lausekkeita. Lopuksi tarkastellaan esimerkkejä ratkaisuista, joissa on yksityiskohtainen kuvaus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Säännöt operaatioiden suorittamiseksi yleisen muodon numeerisilla murtoluvuilla

Yleisen muodon numeerisilla murto-osilla on osoittaja ja nimittäjä, joissa on luonnollisia lukuja tai numeerisia lausekkeita. Jos tarkastelemme sellaisia ​​murtolukuja kuin 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2 ), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , silloin on selvää, että osoittajalla ja nimittäjällä voi olla paitsi lukuja myös eri suunnitelman lausekkeita.

Määritelmä 1

On olemassa sääntöjä, joiden mukaan toiminnot suoritetaan tavallisilla murtoluvuilla. Se sopii myös yleisen muodon fraktioihin:

• Kun vähennetään murto-osia samoilla nimittäjillä, vain osoittajat lisätään, ja nimittäjä pysyy samana, nimittäin: a d ± c d \u003d a ± c d, arvot a, c ja d ≠ 0 ovat joitain numeroita tai numeerisia lausekkeita.
• Kun lisäät tai vähennät murto-osia, joilla on eri nimittäjä, on vähennettävä yhteiseen ja sitten laskettava tai vähennettävä saadut murtoluvut samoilla indikaattoreilla. Kirjaimellisesti se näyttää tältä a b ± c d = a p ± c r s , jossa arvot a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ovat reaalilukuja ja b p = d r = s. Kun p = d ja r = b, niin a b ± c d = a d ± c d b d.
• Murtolukuja kerrottaessa suoritetaan toiminto osoittajilla, minkä jälkeen nimittäjillä, jolloin saadaan a b c d \u003d a c b d, jossa a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 toimivat reaalilukuina.
• Kun jaamme murto-osan murtoluvulla, kerromme ensimmäisen toisella käänteisluvulla, eli vaihdamme osoittajan ja nimittäjän: a b: c d \u003d a b d c.

Sääntöjen perustelut

Määritelmä 2

On seuraavat matemaattiset seikat, joihin sinun tulee luottaa laskettaessa:

• murtopalkki tarkoittaa jakomerkkiä;
• luvulla jakoa käsitellään kertolaskuna sen käänteisluvulla;
• toimintojen ominaisuuden soveltaminen reaalilukujen kanssa;
• murtoluvun perusominaisuuden ja numeeristen epäyhtälöiden soveltaminen.

Heidän avullaan voit tehdä lomakkeen muunnoksia:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = ( a c ) ( b d ) - 1 = a c b d

Esimerkkejä

Edellisessä kappaleessa puhuttiin toimista murtoluvuilla. Tämän jälkeen murto-osaa on yksinkertaistettava. Tätä aihetta käsiteltiin yksityiskohtaisesti murtolukujen muuntamista käsittelevässä osiossa.

Harkitse ensin esimerkkiä murtolukujen lisäämisestä ja vähentämisestä samalla nimittäjällä.

Esimerkki 1

Kun on annettu murtoluvut 8 2 , 7 ja 1 2 , 7 , niin säännön mukaan on tarpeen lisätä osoittaja ja kirjoittaa nimittäjä uudelleen.

Päätös

Sitten saadaan murto-osa muodosta 8 + 1 2 , 7 . Suoritetun summauksen jälkeen saadaan murto-osa muotoa 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Joten 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Vastaus: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

On olemassa toinen tapa ratkaista. Aluksi siirrytään tavallisen murto-osan muotoon, jonka jälkeen suoritamme yksinkertaistamisen. Se näyttää tältä:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Esimerkki 2

Vähennetään muodon 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 murtoluvuista 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Koska samat nimittäjät on annettu, se tarkoittaa, että laskemme murto-osan, jolla on sama nimittäjä. Me ymmärrämme sen

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

On esimerkkejä murto-osien laskemisesta eri nimittäjillä. Tärkeä asia on pelkistys yhteiseksi nimittäjäksi. Ilman tätä emme voi suorittaa muita toimintoja murtoluvuilla.

Prosessi muistuttaa etäisesti pelkistämistä yhteiseksi nimittäjäksi. Toisin sanoen nimittäjästä etsitään vähiten yhteistä jakajaa, jonka jälkeen puuttuvat tekijät lisätään murtolukuihin.

Jos lisätyillä jakeilla ei ole yhteisiä tekijöitä, niiden tuotteesta voi tulla yksi.

Esimerkki 3

Harkitse esimerkkiä murtolukujen 2 3 5 + 1 ja 1 2 yhteenlaskemisesta.

Päätös

Tässä tapauksessa yhteinen nimittäjä on nimittäjien tulos. Sitten saadaan 2 · 3 5 + 1 . Sitten lisäkertoimia asetettaessa meillä on, että ensimmäiselle murtoluvulle se on 2 ja toiselle 3 5 + 1. Kertomisen jälkeen murtoluvut pelkistetään muotoon 4 2 3 5 + 1. Yleiset näyttelijät 1 2 on 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Lisäämme tuloksena saadut murtolausekkeet ja saamme sen

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Vastaus: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kun on kyse yleisen muodon murto-osista, pienin yhteinen nimittäjä ei yleensä ole totta. On kannattamatonta ottaa osoittajien tuloa nimittäjäksi. Ensin sinun on tarkistettava, onko olemassa numeroa, joka on arvoltaan pienempi kuin heidän tuotteensa.

Esimerkki 4

Tarkastellaan esimerkkiä 1 6 2 1 5 ja 1 4 2 3 5, kun niiden tulo on 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Otetaan sitten yhteiseksi nimittäjäksi 12 · 2 3 5.

Harkitse esimerkkejä yleisen muodon murtolukujen kertolaskuista.

Esimerkki 5

Tätä varten sinun on kerrottava 2 + 1 6 ja 2 · 5 3 · 2 + 1.

Päätös

Sääntöä noudattaen on tarpeen kirjoittaa uudelleen ja kirjoittaa osoittajien tulo nimittäjäksi. Saamme, että 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kun murto-osa kerrotaan, sitä voidaan yksinkertaistaa vähentämällä. Sitten 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Käyttämällä sääntöä siirtymisestä jaosta kertolaskulla käänteisluvulla, saamme annetun käänteisluvun. Tätä varten osoittaja ja nimittäjä käännetään. Katsotaanpa esimerkkiä:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Sen jälkeen heidän on suoritettava kertolasku ja yksinkertaistettava tuloksena oleva murto-osa. Tarvittaessa päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta. Me ymmärrämme sen

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Vastaus: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tätä kappaletta voidaan soveltaa, kun luku tai numeerinen lauseke voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, jolloin operaatiota tällaisella murtoluvulla pidetään erillisenä kappaleena. Esimerkiksi lauseke 1 6 7 4 - 1 3 osoittaa, että luvun 3 juuri voidaan korvata toisella 3 1 -lausekkeella. Silloin tämä tietue näyttää muodon 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 kahden murtoluvun kertolaskulta.

Toiminnon suorittaminen muuttujia sisältävillä murtoluvuilla

Ensimmäisessä artikkelissa käsitellyt säännöt soveltuvat operaatioihin, joissa murtoluvut sisältävät muuttujia. Harkitse vähennyssääntöä, kun nimittäjät ovat samat.

On tarpeen todistaa, että A , C ja D (D ei ole yhtä suuri kuin nolla) voivat olla mitä tahansa lausekkeita ja yhtälö A D ± C D = A ± C D vastaa sen kelvollisten arvojen aluetta.

On tarpeen ottaa joukko ODZ-muuttujia. Silloin A:n, C:n, D:n on otettava vastaavat arvot a 0 , c 0 ja d0. Muotoa A D ± C D oleva substituutio johtaa muotoon a 0 d 0 ± c 0 d 0 erotuksen, jossa summaussäännön mukaan saadaan muotoa a 0 ± c 0 d 0 oleva kaava. Jos korvaamme lausekkeen A ± C D , niin saadaan sama murto-osa muotoa a 0 ± c 0 d 0 . Tästä päättelemme, että valittu arvo, joka täyttää ODZ:n, A ± C D ja A D ± C D, katsotaan yhtäläisiksi.

Jokaiselle muuttujien arvolle nämä lausekkeet ovat yhtä suuret, eli niitä kutsutaan identtisesti yhtäläisiksi. Tämä tarkoittaa, että tämän lausekkeen katsotaan olevan todistettavissa oleva yhtälö muodossa A D ± C D = A ± C D .

Esimerkkejä murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä muuttujien kanssa

Kun nimittäjät ovat samat, on tarpeen vain lisätä tai vähentää osoittajia. Tätä fraktiota voidaan yksinkertaistaa. Joskus sinun on työskenneltävä murtolukujen kanssa, jotka ovat identtisiä, mutta ensi silmäyksellä tämä ei ole havaittavissa, koska joitain muunnoksia on suoritettava. Esimerkiksi x 2 3 x 1 3 + 1 ja x 1 3 + 1 2 tai 1 2 sin 2 α ja sin a cos a. Useimmiten vaaditaan alkuperäisen lausekkeen yksinkertaistamista, jotta samoja nimittäjiä voidaan nähdä.

Esimerkki 6

Laske: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Päätös

1. Laskemista varten sinun on vähennettävä murtoluvut, joilla on samat nimittäjät. Sitten saadaan, että x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Tämän jälkeen voit avata sulut vähentämällä vastaavia termejä. Saamme, että x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Koska nimittäjät ovat samat, on vain lisättävä osoittajat, jättäen nimittäjä: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Lisäys on saatu päätökseen. Voidaan nähdä, että fraktiota voidaan pienentää. Sen osoittaja voidaan taittaa summaneliökaavalla, jolloin saadaan (l g x + 2) 2 lyhennetyistä kertolaskukaavoista. Sitten saamme sen
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Annetut murtoluvut muotoa x - 1 x - 1 + x x + 1 eri nimittäjillä. Muutoksen jälkeen voit jatkaa lisäämistä.

Tarkastellaan kaksisuuntaista ratkaisua.

Ensimmäinen menetelmä on, että ensimmäisen murto-osan nimittäjälle tehdään tekijöiden laskenta neliöitä käyttäen ja sen jälkeen vähennetään. Saamme osan lomakkeesta

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Joten x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Tässä tapauksessa on tarpeen päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Toinen tapa on kertoa toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä x - 1 : llä . Näin pääsemme eroon irrationaalisuudesta ja jatkamme lisäämään murto-osaa samalla nimittäjällä. Sitten

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Vastaus: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Viimeisessä esimerkissä havaitsimme, että pelkistyminen yhteiseen nimittäjään on väistämätöntä. Tätä varten sinun on yksinkertaistettava murtolukuja. Lisäämistä tai vähentämistä varten sinun on aina etsittävä yhteinen nimittäjä, joka näyttää nimittäjien tulolta, jossa osoittajiin on lisätty lisätekijöitä.

Esimerkki 7

Laske murto-osien arvot: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Päätös

1. Nimittäjä ei vaadi monimutkaisia ​​laskelmia, joten sinun on valittava niiden tulo muodossa 3 x 7 + 2 2, sitten ensimmäiseen murto-osaan valitaan lisätekijäksi x 7 + 2 2 ja toiselle 3. Kerrottaessa saadaan murto-osa muotoa x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Voidaan nähdä, että nimittäjät esitetään tuotteena, mikä tarkoittaa, että lisämuunnokset ovat tarpeettomia. Yhteinen nimittäjä on muodon x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 tulo. Täältä x 4 on lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle, ja ln (x + 1) toiselle. Sitten vähennetään ja saadaan:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Tämä esimerkki on järkevä, kun käsitellään murtolukujen nimittäjiä. On tarpeen soveltaa neliöiden eron ja summan neliön kaavoja, koska ne mahdollistavat siirtymisen muotoon 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2. Voidaan nähdä, että murtoluvut pelkistyvät yhteiseksi nimittäjäksi. Saamme, että cos x - x cos x + x 2 .

Sitten saamme sen

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Vastaus:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Esimerkkejä murtolukujen kertomisesta muuttujilla

Murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä. Sitten voit soveltaa vähennysominaisuutta.

Esimerkki 8

Kerro murtoluvut x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Päätös

Sinun täytyy tehdä kertolasku. Me ymmärrämme sen

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 synti (2 x - x)

Numero 3 siirretään ensimmäiseen paikkaan laskennan helpottamiseksi, ja voit pienentää murtolukua x 2:lla, niin saamme muodon lausekkeen

3 x - 2 x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 synti (2 x - x)

Vastaus: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Division

Murtolukujen jako on samanlainen kuin kertolasku, koska ensimmäinen murtoluku kerrotaan toisella käänteisluvulla. Jos otamme esimerkiksi murto-osan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja jaamme luvulla 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, niin tämä voidaan kirjoittaa näin

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , korvaa sitten tuotteella muotoa x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponentointi

Siirrytään tarkastelemaan toimintaa yleisen muodon murto-osilla ja eksponentiolla. Jos on aste, jolla on luonnollinen eksponentti, toimintoa pidetään identtisten murtolukujen kertolaskuna. Mutta on suositeltavaa käyttää yleistä lähestymistapaa, joka perustuu valtuuksien ominaisuuksiin. Mikä tahansa lauseke A ja C, joissa C ei ole identtisesti yhtä suuri kuin nolla, ja mikä tahansa todellinen r ODZ:ssä muotoa A C r olevalle lausekkeelle, yhtälö A C r = A r C r on tosi. Tuloksena on potenssiin korotettu murto-osa. Harkitse esimerkiksi:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Murtolukujen toimintojen järjestys

Fraktioihin kohdistuvat toimet suoritetaan tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Käytännössä huomaamme, että lauseke voi sisältää useita murto-osia tai murto-lausekkeita. Sitten on tarpeen suorittaa kaikki toiminnot tiukassa järjestyksessä: nosta potenssiin, kerro, jaa, sitten lisää ja vähennä. Jos sulkuja on, ensimmäinen toiminto suoritetaan niissä.

Esimerkki 9

Laske 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Päätös

Koska meillä on sama nimittäjä, niin 1 - x cos x ja 1 c o s x, mutta säännön mukaan on mahdotonta vähentää, ensin suoritetaan suluissa olevat toiminnot, jonka jälkeen kertolasku ja sitten yhteenlasku. Sitten laskettaessa saamme sen

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kun lauseke korvataan alkuperäisellä, saadaan, että 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Murtolukuja kerrottaessa saamme: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Kun kaikki substituutiot on tehty, saadaan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Nyt sinun on työskenneltävä murtolukujen kanssa, joilla on erilaiset nimittäjät. Saamme:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Vastaus: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Murto-osa- luvun esitysmuoto matematiikassa. Vinoviiva ilmaisee jakotoiminnon. osoittaja murto-osia kutsutaan osingoksi, ja nimittäjä-jakaja. Esimerkiksi murtoluvussa osoittaja on 5 ja nimittäjä 7.

Oikea Murtolukua kutsutaan, jos osoittajan moduuli on suurempi kuin nimittäjän moduuli. Jos murtoluku on oikea, niin sen arvon moduuli on aina pienempi kuin 1. Kaikki muut murtoluvut ovat väärä.

Murtolukua kutsutaan sekoitettu, jos se kirjoitetaan kokonaislukuna ja murtolukuna. Tämä on sama kuin tämän luvun ja murtoluvun summa:

Murtoluvun perusominaisuus

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu, eli esim.

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Kahden murtoluvun saattamiseksi yhteiseen nimittäjään tarvitset:

1. Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä
2. Kerro toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen nimittäjällä
3. Korvaa molempien murtolukujen nimittäjät niiden tulolla

Toiminnot murtoluvuilla

Lisäys. Kahden jakeen lisäämiseksi tarvitset

1. Lisää molempiin murtolukuihin uudet osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Vähennyslasku. Jos haluat vähentää murto-osan toisesta,

1. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään
2. Vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Kertominen. Jos haluat kertoa yhden murtoluvun toisella, kerro niiden osoittajat ja nimittäjät:

Division. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerro ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla:

Nyt kun olemme oppineet lisäämään ja kertomaan yksittäisiä murtolukuja, voimme harkita monimutkaisempia rakenteita. Entä jos esimerkiksi murtolukujen yhteen-, vähennys- ja kertolasku tapahtuu yhdessä tehtävässä?

Ensinnäkin sinun on muutettava kaikki murtoluvut vääriksi. Sitten suoritamme vaaditut toiminnot peräkkäin - samassa järjestyksessä kuin tavallisille numeroille. Nimittäin:

1. Ensin suoritetaan eksponentio - päästä eroon kaikista eksponenteja sisältävistä lausekkeista;
2. Sitten - jako ja kerto;
3. Viimeinen vaihe on yhteen- ja vähennyslasku.

Tietenkin, jos lausekkeessa on hakasulkeet, toimintojen järjestys muuttuu - kaikki, mikä on suluissa, on otettava huomioon ensin. Ja muista väärät murtoluvut: sinun on valittava koko osa vasta, kun kaikki muut toiminnot on jo suoritettu.

Käännetään kaikki ensimmäisen lausekkeen murtoluvut sopimattomiksi ja suoritetaan sitten seuraavat toimet:

Etsitään nyt toisen lausekkeen arvo. Ei ole murtolukuja, joissa on kokonaislukuosa, mutta on hakasulkuja, joten suoritamme ensin yhteenlasku- ja vasta sitten jako. Huomaa, että 14 = 7 2 . Sitten:

Harkitse lopuksi kolmatta esimerkkiä. Täällä on hakasulkeet ja tutkinto - on parempi laskea ne erikseen. Kun otetaan huomioon, että 9 = 3 3 , meillä on:

Kiinnitä huomiota viimeiseen esimerkkiin. Nostaaksesi murto-osan potenssiin, sinun on nostettava erikseen osoittaja tähän potenssiin ja erikseen nimittäjä.

Voit päättää toisin. Jos muistamme tutkinnon määritelmän, ongelma pelkistyy tavanomaiseen murtolukujen kertolaskuun:

Monikerroksiset murtoluvut

Toistaiseksi olemme huomioineet vain "puhtaita" murtolukuja, kun osoittaja ja nimittäjä ovat tavallisia lukuja. Tämä on yhdenmukainen ensimmäisellä oppitunnilla annetun numeerisen murtoluvun määritelmän kanssa.

Mutta entä jos osoittajaan tai nimittäjään sijoitetaan monimutkaisempi objekti? Esimerkiksi toinen murto-osa? Tällaisia ​​rakenteita esiintyy melko usein, varsinkin kun työskennellään pitkien ilmaisujen kanssa. Tässä pari esimerkkiä:

Monikerroksisten jakeiden kanssa työskentelemiseen on vain yksi sääntö: sinun on heti päästävä eroon niistä. "Ylimääräisten" lattioiden poistaminen on melko yksinkertaista, jos muistat, että murtopalkki tarkoittaa vakiojakotoimintoa. Siksi mikä tahansa murto-osa voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Käyttämällä tätä tosiasiaa ja noudattamalla menettelyä voimme helposti pienentää minkä tahansa monikerroksisen murto-osan tavalliseksi. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Muunna monikerroksiset murtoluvut yleisiksi:

Kussakin tapauksessa kirjoitamme päämurtoluvun uudelleen korvaamalla jakoviivan jakomerkillä. Muista myös, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Saamme:

Viimeisessä esimerkissä murtoluvut pienennettiin ennen lopullista kertolaskua.

Monikerroksisten jakeiden kanssa työskentelyn erityispiirteet

Monikerroksisissa murtoluvuissa on yksi hienous, joka on aina muistettava, muuten voit saada väärän vastauksen, vaikka kaikki laskelmat olisivat oikein. Katso:

1. Osoittajassa on erillinen numero 7 ja nimittäjässä - murto-osa 12/5;
2. Osoittaja on murto-osa 7/12 ja nimittäjä yksittäinen luku 5.

Joten yhdelle levylle saimme kaksi täysin erilaista tulkintaa. Jos lasket, vastaukset ovat myös erilaisia:

Varmistaaksesi, että merkintä luetaan aina yksiselitteisesti, käytä yksinkertaista sääntöä: päämurtoluvun jakoviivan on oltava pidempi kuin sisäkkäinen rivi. Mieluiten useita kertoja.

Jos noudatat tätä sääntöä, yllä olevat murtoluvut tulee kirjoittaa seuraavasti:

Kyllä, se on luultavasti ruma ja vie liikaa tilaa. Mutta lasket oikein. Lopuksi muutama esimerkki, joissa monitasoisia murtolukuja todella esiintyy:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvot:

Joten työstetään ensimmäisen esimerkin kanssa. Muunnetaan kaikki murtoluvut vääriksi ja suoritetaan sitten yhteen- ja jakotoiminnot:

Tehdään sama toisen esimerkin kanssa. Muunna kaikki murtoluvut sopimattomiksi ja suorita vaaditut toiminnot. Jotta lukija ei kyllästyisi, jätän pois joitain ilmeisiä laskelmia. Meillä on:

Koska päämurtolukujen osoittaja ja nimittäjä sisältävät summia, monikerroksisten murtolukujen kirjoittamissääntöä noudatetaan automaattisesti. Lisäksi viimeisessä esimerkissä jätimme tarkoituksella luvun 46/1 murto-osan muotoon jaon suorittamiseksi.

Huomaan myös, että molemmissa esimerkeissä murtopalkki itse asiassa korvaa sulut: ensinnäkin löysimme summan ja vasta sitten - osamäärän.

Joku sanoo, että siirtyminen vääriin murtolukuihin toisessa esimerkissä oli selvästi tarpeeton. Ehkä asia on näin. Mutta tällä tavalla vakuutamme itsemme virheiltä, ​​koska seuraavalla kerralla esimerkki voi osoittautua paljon monimutkaisemmaksi. Valitse itse, mikä on tärkeämpää: nopeus vai luotettavuus.

Tämä osio käsittelee operaatioita tavallisilla murtoluvuilla. Jos on tarpeen suorittaa matemaattinen operaatio sekaluvuilla, riittää, että muunnetaan sekamurto satunnaiseksi, suoritetaan tarvittavat operaatiot ja tarvittaessa esitetään lopputulos uudelleen sekalukuna. Tämä toimenpide kuvataan alla.

Fraktion vähentäminen

matemaattinen operaatio. Fraktion vähentäminen

Murtoluvun \frac(m)(n) pienentämiseksi sinun on löydettävä sen osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen jakaja: gcd(m,n), ja sitten murto-osan osoittaja ja nimittäjä tällä luvulla. Jos gcd(m,n)=1, murto-osaa ei voida pienentää. Esimerkki: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Yleensä suurimman yhteisen jakajan löytäminen välittömästi on vaikea tehtävä, ja käytännössä murto-osaa pienennetään useassa vaiheessa, askel askeleelta korostaen ilmeisiä yhteisiä tekijöitä osoittajasta ja nimittäjästä. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

matemaattinen operaatio. Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Vähentääksesi kaksi murtolukua \frac(a)(b) ja \frac(c)(d) yhteiseksi nimittäjäksi, tarvitset:

• etsi nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen: M=LCM(b,d);
• kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä M / b:llä (jonka jälkeen murto-osan nimittäjä on yhtä suuri kuin luku M);
• kerro toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä M/d:llä (jonka jälkeen murto-osan nimittäjä tulee yhtä suureksi kuin luku M).

Näin ollen muunnamme alkuperäiset murtoluvut murtoluvuiksi, joilla on samat nimittäjät (joka on yhtä suuri kuin luku M).

Esimerkiksi murtoluvuilla \frac(5)(6) ja \frac(4)(9) on LCM(6,9) = 18. Sitten: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Näin ollen tuloksena olevilla murtoluvuilla on yhteinen nimittäjä.

Käytännössä nimittäjien pienimmän yhteiskerran (LCM) löytäminen ei ole aina helppoa. Siksi yhteiseksi nimittäjäksi valitaan luku, joka on yhtä suuri kuin alkuperäisten murtolukujen nimittäjien tulo. Esimerkiksi murtoluvut \frac(5)(6) ja \frac(4)(9) pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Murtolukuvertailu

matemaattinen operaatio. Murtolukuvertailu

Kahden yleisen murtoluvun vertailu:

• vertaa tuloksena olevien murtolukujen osoittajia; murto-osa, jolla on suurempi osoittaja, on suurempi.

Esimerkiksi \frac(9)(14)

Murtolukuja verrattaessa on useita erikoistapauksia:

1. Kahdesta fraktiosta samoilla nimittäjillä sitä suurempi on se murto-osa, jonka osoittaja on suurempi. Esimerkiksi \frac(3)(15)
2. Kahdesta fraktiosta samoilla osoittajilla mitä suurempi on se murto-osa, jonka nimittäjä on pienempi. Esimerkiksi \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Se murto-osa, joka samalla suurempi osoittaja ja pienempi nimittäjä, enemmän. Esimerkiksi \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Huomio! Sääntö 1 koskee kaikkia murtolukuja, jos niiden yhteinen nimittäjä on positiivinen luku. Säännöt 2 ja 3 koskevat positiivisia murtolukuja (joilla sekä osoittaja että nimittäjä ovat suurempia kuin nolla).

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

matemaattinen operaatio. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Kahden murtoluvun lisäämiseksi tarvitset:

• tuoda ne yhteiseen nimittäjään;
• lisää niiden osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Jos haluat vähentää yhdestä toisen murto-osan, tarvitset:

• tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään;
• vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Jos alkuperäisillä murtoluvuilla on alun perin yhteinen nimittäjä, niin kohta 1 (pienentäminen yhteiseksi nimittäjäksi) ohitetaan.

Sekaluvun muuntaminen vääräksi murtoluvuksi ja päinvastoin

matemaattinen operaatio. Sekaluvun muuntaminen vääräksi murtoluvuksi ja päinvastoin

Sekajakeen muuttamiseksi sopimattomaksi riittää, että koko sekafraktio lasketaan yhteen murto-osaan. Tällaisen summan tulos on virheellinen murto-osa, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kokonaisluvun osan ja murto-osan nimittäjä ja sekamurto-osuuden tulon summa, ja nimittäjä pysyy samana. Esimerkiksi 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Voit muuntaa väärän murtoluvun sekaluvuksi:

• jaa murtoluvun osoittaja sen nimittäjällä;
• kirjoita jaon loppuosa osoittajaan ja jätä nimittäjä ennalleen;
• kirjoita jaon tulos kokonaislukuosana.

Esimerkiksi murto-osa \frac(23)(4) . Jaettaessa 23:4=5,75 eli kokonaislukuosa on 5, jaon loppuosa on 23-5*4=3. Sitten sekaluku kirjoitetaan: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi

matemaattinen operaatio. Desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi

Desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi:

1. ota nimittäjäksi kymmenen n:s potenssi (tässä n on desimaalien lukumäärä);
2. osoittajaksi otetaan desimaalipilkun jälkeen oleva luku (jos alkuperäisen luvun kokonaislukuosa ei ole nolla, ota myös kaikki etunollat);
3. nollasta poikkeava kokonaislukuosa kirjoitetaan osoittajaan aivan alussa; kokonaisluvun nollaosa jätetään pois.

Esimerkki 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 desimaalia, joten nimittäjä 10 4 =10000, koska kokonaislukuosa on 0, osoittaja on desimaalipilkun jälkeinen luku ilman etunollia)

Esimerkki 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (osoittimeen kirjoitetaan desimaalipilkun jälkeen luku kaikki nollia: "0109", ja sitten lisätään alkuperäisen luvun "31" kokonaislukuosa sen eteen)

Jos desimaaliluvun kokonaislukuosa eroaa nollasta, se voidaan muuntaa sekamurtoluvuksi. Tätä varten käännämme luvun tavalliseksi murtoluvuksi ikään kuin kokonaislukuosa olisi yhtä suuri kuin nolla (pisteet 1 ja 2) ja kirjoitamme yksinkertaisesti uudelleen kokonaisluvun osa ennen murtolukua - tämä on sekaluvun kokonaislukuosa. Esimerkki:

3.014=3\frac(14)(100)

Tavallisen murtoluvun muuntamiseksi desimaaliksi riittää jakaa osoittaja nimittäjällä. Joskus saat äärettömän desimaalin. Tässä tapauksessa on tarpeen pyöristää haluttuun desimaaliin. Esimerkkejä:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\noin 0.6667

Murtolukujen kertominen ja jako

matemaattinen operaatio. Murtolukujen kertominen ja jako

Kahden yleisen murtoluvun kertomiseksi sinun on kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Jos haluat jakaa yhden yhteisen murtoluvun toisella, sinun on kerrottava ensimmäinen murto toisen käänteisluvulla ( vastavuoroinen on murtoluku, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat käänteisiä.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Jos jokin murtoluvuista on luonnollinen luku, yllä olevat kerto- ja jakosäännöt jäävät voimaan. Muista vain, että kokonaisluku on sama murto-osa, jonka nimittäjä on yksi. Esimerkki: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Toiminnot murtoluvuilla. Tässä artikkelissa analysoimme esimerkkejä, kaikki on yksityiskohtaisia ​​​​selityksineen. Tarkastellaan tavallisia murtolukuja. Jatkossa analysoimme desimaalilukuja. Suosittelen katsomaan kokonaisuuden ja opiskelemaan peräkkäin.

1. Murto-osien summa, murto-osien erotus.

Sääntö: kun lisäät murto-osia, joilla on sama nimittäjä, tuloksena on murtoluku - jonka nimittäjä pysyy samana ja sen osoittaja on yhtä suuri kuin murto-osien osoittajien summa.

Sääntö: kun lasketaan samoilla nimittäjillä olevien murto-osien eroa, saadaan murto - nimittäjä pysyy samana, ja toisen osoittaja vähennetään ensimmäisen murtoluvun osoittajasta.

Muodollinen merkintä yhtäläisten nimittäjien murtolukujen summasta ja erosta:

Esimerkkejä (1):

On selvää, että kun annetaan tavallisia murtolukuja, kaikki on yksinkertaista, mutta jos ne sekoitetaan? Ei mitään monimutkaista...

Vaihtoehto 1- voit muuntaa ne tavallisiksi ja sitten laskea ne.

Vaihtoehto 2- voit erikseen "työskennellä" kokonaisluku- ja murto-osien kanssa.

Esimerkkejä (2):

Lisää:

Ja jos kahden sekamurtoluvun ero on annettu ja ensimmäisen murtoluvun osoittaja on pienempi kuin toisen? Se voidaan tehdä myös kahdella tavalla.

Esimerkkejä (3):

* Käännetty tavallisiksi jakeiksi, laskettu ero, muutettu tuloksena oleva virheellinen jake sekaiseksi.

* Jaettu kokonaisluku- ja murto-osaan, saatiin kolme, sitten esitettiin 3 2:n ja 1:n summana, yksikkönä 11/11, sitten löydettiin ero 11/11:n ja 7/11:n välillä ja laskettiin tulos. Yllä olevien muunnosten tarkoitus on ottaa (valita) yksikkö ja esittää se murtolukuna tarvitsemallamme nimittäjällä, jolloin tästä murtoluvusta voidaan jo vähentää toinen.

Toinen esimerkki:

Johtopäätös: on olemassa universaali lähestymistapa - saman nimittäjien sekamurto-osien summan (eron) laskemiseksi ne voidaan aina muuntaa vääriksi ja suorittaa sitten tarvittavat toimet. Tämän jälkeen, jos tuloksena saamme väärän murto-osan, käännämme sen sekoitettuun osuuteen.

Yllä tarkastelimme esimerkkejä murtoluvuista, joilla on samat nimittäjät. Entä jos nimittäjät eroavat toisistaan? Tässä tapauksessa murtoluvut pienennetään samaan nimittäjään ja määritetty toimenpide suoritetaan. Murtoluvun muuttamiseen (muuntamiseen) käytetään murto-osan pääominaisuutta.

Harkitse yksinkertaisia ​​esimerkkejä:

Näissä esimerkeissä näemme heti, kuinka yksi murto-osista voidaan muuntaa yhtäläisiksi nimittäjiksi.

Jos määritämme tapoja vähentää murtolukuja yhteen nimittäjään, tätä kutsutaan MENETELMÄ YKSI.

Eli heti murto-osaa "arvioinnissa" on selvitettävä, toimiiko tällainen lähestymistapa - tarkistamme, onko suurempi nimittäjä jaollinen pienemmällä. Ja jos se jaetaan, suoritamme muunnoksen - kerromme osoittajan ja nimittäjän niin, että molempien murto-osien nimittäjät ovat yhtä suuret.

Katso nyt näitä esimerkkejä:

Tämä lähestymistapa ei koske heitä. On muitakin tapoja vähentää murtolukuja yhteiseksi nimittäjäksi, harkitse niitä.

Menetelmä SECOND.

Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä toisen nimittäjällä ja toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ensimmäisen nimittäjällä:

*Itse asiassa tuomme murtoluvut muotoon, kun nimittäjät ovat yhtä suuret. Seuraavaksi käytämme sääntöä lisätä arka samansuuruisilla nimittäjillä.

Esimerkki:

*Tätä menetelmää voidaan kutsua universaaliksi, ja se toimii aina. Ainoa negatiivinen asia on, että laskelmien jälkeen voi osoittautua murto-osa, jota on vähennettävä edelleen.

Harkitse esimerkkiä:

Voidaan nähdä, että osoittaja ja nimittäjä ovat jaollisia 5:llä:

Menetelmä KOLMAS.

Etsi nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen (LCM). Tästä tulee yhteinen nimittäjä. Mikä tämä numero on? Tämä on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen kullakin luvulla.

Katso, tässä on kaksi numeroa: 3 ja 4, on monia lukuja, jotka ovat jaollisia niillä - nämä ovat 12, 24, 36, ... Pienin niistä on 12. Tai 6 ja 15, 30, 60, 90 ovat niillä jaettavissa.... Vähintään 30. Kysymys - kuinka määrittää tämä pienin yhteinen kerrannainen?

On olemassa selkeä algoritmi, mutta usein tämä voidaan tehdä heti ilman laskelmia. Esimerkiksi yllä olevien esimerkkien (3 ja 4, 6 ja 15) mukaan algoritmia ei tarvita, otimme suuret luvut (4 ja 15), tuplasimme ne ja huomasimme, että ne ovat jaettavissa toisella numerolla, mutta numeropareja voivat olla muita, kuten 51 ja 119.

Algoritmi. Jotta voit määrittää useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen, sinun on:

- hajottaa jokainen numero SIMPLE-tekijöiksi

- kirjoita niistä SUUREMMAN hajoaminen

- kerro se muiden lukujen PUUTTUvilla kertoimilla

Harkitse esimerkkejä:

50 ja 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

suuremman luvun laajennuksessa yksi viisi puuttuu

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 ja 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

suuremman luvun laajennuksessa kaksi ja kolme puuttuvat

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Kahden alkuluvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin niiden tulo

Kysymys! Ja miksi on hyödyllistä löytää pienin yhteinen kerrannainen, koska voit käyttää toista menetelmää ja yksinkertaisesti pienentää tuloksena olevaa murto-osaa? Kyllä, voit, mutta se ei ole aina kätevää. Katso, mikä on lukujen 48 ja 72 nimittäjä, jos kerrot ne 48∙72 = 3456. Samaa mieltä, että pienempien lukujen kanssa on mukavampaa työskennellä.

Harkitse esimerkkejä:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

suuremman luvun laajennuksesta puuttuu kolminkertainen

=> LCM(51 119) = 3∙7∙17

Ja nyt käytämme ensimmäistä menetelmää:

* Katso laskelmien eroa, ensimmäisessä tapauksessa niitä on vähimmäismäärä, ja toisessa sinun on työskenneltävä erikseen paperilla, ja jopa saamasi murto-osa on vähennettävä. LCM:n löytäminen yksinkertaistaa työtä huomattavasti.

Lisää esimerkkejä:

* Toisessa esimerkissä on jo selvää, että pienin 40:llä ja 60:llä jaollinen luku on 120.

KAIKKI YHTEENSÄ! YLEINEN LASKENTALGORITMI!

- tuomme murtoluvut tavallisiin, jos on kokonaislukuosa.

- tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään (ensin katsotaan, onko yksi nimittäjä jaollinen toisella, jos se on jaollinen, niin kerrotaan tämän toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä; jos se ei ole jaollinen, toimimme käyttämällä muut edellä mainitut menetelmät).

- saatuaan murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, suoritamme toimintoja (yhteen- ja vähennyslasku).

- tarvittaessa vähennämme tulosta.

- valitse tarvittaessa koko osa.

2. Jakeiden tulo.

Sääntö on yksinkertainen. Kun murtolukuja kerrotaan, niiden osoittajat ja nimittäjät kerrotaan:

Esimerkkejä: