Tarvitset

• Kartion piirustus määritetyillä parametreilla
• Viivotin
• Lyijykynä
• Matemaattiset kaavat ja määritelmät
• Kartion korkeus
• Kartion pohjan ympyrän säde
• Kolmion pinta-alan kaava

Ohje

Piirrä kartio annetuilla parametreilla. Merkitse ympyrän keskipiste O:ksi ja kärki P. Sinun on tiedettävä kartion säde ja korkeus. Muista kartion korkeudet. Se on kohtisuora, kartion yläosasta sen pohjaan. Kartion korkeuden leikkauspiste oikean kartion pohjan kanssa on sama kuin pohjan ympyrän keskipiste. Rakenna kartion aksiaalinen leikkaus. Se on pohjan halkaisija ja kartion generaattorit, jotka kulkevat halkaisijan ja ympyrän leikkauspisteiden läpi. Merkitse tuloksena olevat pisteet A:lla ja B:llä.

Aksiaalinen leikkaus muodostuu kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta, jotka sijaitsevat samassa tasossa ja joilla on yksi yhteinen jalka. On kaksi tapaa laskea aksiaalisen leikkauksen pinta-ala. Ensimmäinen tapa on löytää tuloksena olevien kolmioiden alueet ja laskea ne yhteen. Tämä on visuaalisin tapa, mutta itse asiassa se ei eroa perinteisestä kolmion laskemisesta. Joten, sinulla on 2 suorakulmaista kolmiota, joiden yhteinen jalka on kartion h korkeus, toiset haarat ovat pohjan R ympärysmitan säteet ja hypotenuot ovat kartion generaattorit. Koska näiden kolmioiden kaikki kolme sivua ovat keskenään yhtä suuret, myös itse kolmiot osoittautuivat yhtäläisiksi kolmioiden yhtäläisyyden kolmannen ominaisuuden mukaan. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta, eli S=1/2Rh. Kahden kolmion pinta-ala on vastaavasti yhtä suuri kuin kannan ja korkeuden tulo, S = Rh.

Aksiaalisen poikkileikkauksen katsotaan useimmiten olevan, jonka korkeus on kartion korkeus. Tässä tapauksessa tämä on kolmio APV, jonka kanta on yhtä suuri kuin kartion D pohjan kehän halkaisija ja korkeus on yhtä suuri kuin kartion h korkeus. Sen pinta-ala lasketaan kolmion pinta-alan klassisen kaavan mukaan, eli tuloksena saadaan sama kaava S = 1/2Dh = Rh, missä S on kolmion pinta-ala, R on kantaympyrän säde ja h on kolmion korkeus, joka on myös kartion korkeus.

Hyödyllinen neuvo

Kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-ala lasketaan puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä sekä perussäteet, korkeus että keskiviiva.

Lähteet:

• Oppitunnin aihe "Kartion osat

Kartio on kappale, joka saadaan yhdistämällä kaikki säteet, jotka lähtevät yhdestä pisteestä, jota kutsutaan kartion huipuksi ja jotka kulkevat tasaisen pinnan läpi, jota kutsutaan kartion pohjaksi. Kartion pinta-ala on sen sivupinnan pinta-ala ja pohjan pinta-ala, joka on ympyrä.

Tarvitset

• Perustiedot stereometriasta.

Ohje

Kartion lopullinen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen pinnan ja pohjan pinta-alojen summa. Eli S \u003d P * R * R + P * R * l. No, tai muutoksen jälkeen S \u003d P * R (R + l).

Liittyvät videot

Huomautus

Pinta-ala on positiivinen arvo, ja jos saat negatiivisen arvon, olet tehnyt virheen jossain. Tarkista kaikki laskelmasi huolellisesti.

Hyödyllinen neuvo

Kun tiedät kartion alueen ja sen pohjan säteen, voit löytää sen ohjaimen pituuden, ja kun tiedät ohjaimen alueen ja pituuden, löydät sen pohjan säteen.

Lähteet:

• kuinka löytää kartion pinta vuonna 2019

Kartion osan rakentaminen ei ole niin vaikea tehtävä. Tärkeintä on noudattaa tiukkaa toimintosarjaa. Sitten tämä tehtävä on helppo tehdä, eikä se vaadi sinulta paljon vaivaa.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä;
• - ympyrä;
• - viivotin.

Ohje

Kun vastaat tähän kysymykseen, sinun on ensin päätettävä, mihin parametreihin osio on asetettu.
Olkoon tämä tason l ja tason leikkausviiva ja piste O, joka on leikkauspiste sen leikkauksen kanssa.

Rakenne on esitetty kuvassa 1. Ensimmäinen vaihe poikkileikkauksen rakentamisessa on sen halkaisijan osan keskustan läpi jatketaan l:hen kohtisuorassa tätä linjaa vastaan. Tuloksena saadaan piste L. Piirrä edelleen pisteen O kautta suora viiva LW ja rakenna kaksi suuntaa kartiota, jotka sijaitsevat pääleikkauksessa O2M ja O2C. Näiden ohjainten leikkauskohdassa on piste Q sekä jo esitetty piste W. Nämä ovat vaaditun osan kaksi ensimmäistä pistettä.

Piirrä nyt kohtisuora MC kartion BB1 pohjaan ja rakenna kohtisuoran osan O2B ja O2B1 generaattorit. Piirrä tässä osiossa suora RG pisteen t.O kautta, yhdensuuntainen BB1:n kanssa. T.R ja t.G - kaksi pistettä lisää halutusta osiosta. Jos pallon poikkileikkaus olisi tiedossa, se voitaisiin rakentaa jo tässä vaiheessa. Tämä ei kuitenkaan ole lainkaan ellipsi, vaan jotain elliptistä, jolla on symmetria segmentin QW suhteen. Siksi sinun tulee rakentaa mahdollisimman monta osion pisteitä yhdistääksesi ne tulevaisuudessa tasaisella käyrällä saadaksesi luotettavimman luonnoksen.

Muodosta mielivaltainen leikkauspiste. Piirrä tätä varten mielivaltainen halkaisija AN kartion pohjalle ja rakenna vastaavat ohjaimet O2A ja O2N. Piirrä PO:n kautta suora viiva, joka kulkee PQ:n ja WG:n läpi, kunnes se leikkaa uusien johteiden kanssa pisteissä P ja E. Nämä ovat kaksi muuta pistettä halutusta leikkauksesta. Jatkamalla samalla tavalla ja edelleen, voit mielivaltaisesti halutessasi pisteitä.

Totta, menettelyä niiden saamiseksi voidaan yksinkertaistaa hieman käyttämällä symmetriaa QW: n suhteen. Tätä varten on mahdollista piirtää RG:n suuntaisia ​​suoria SS' halutun leikkauksen tasoon, yhdensuuntaisesti RG:n kanssa, kunnes ne leikkaavat kartion pinnan. Rakenne viimeistellään pyöristämällä rakennettu polyline sointeista. Riittää rakentaa puolet tarvittavasta osasta jo mainitun symmetrian johdosta QW:n suhteen.

Liittyvät videot

Vinkki 4: Kuinka löytää katkaistun kartion aksiaalisen osan pinta-ala

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on muistettava, mikä katkaistu kartio on ja mitä ominaisuuksia sillä on. Muista piirtää. Tämä määrittää, mikä geometrinen kuvio on leikkaus. On täysin mahdollista, että tämän jälkeen ongelman ratkaiseminen ei ole enää sinulle vaikeaa.

Ohje

Pyöreä kartio on kappale, joka saadaan kiertämällä kolmiota sen jalan ympäri. Suorat linjat tulevat ylhäältä käpyjä ja sen kantaa leikkaavia kutsutaan generaattoreiksi. Jos kaikki generaattorit ovat yhtä suuria, kartio on suora. Kierroksen pohjalla käpyjä on ympyrä. Ylhäältä pohjaan pudonnut kohtisuora on korkeus käpyjä. Kierrossuoralla käpyjä korkeus on sama kuin sen akseli. Akseli on suora viiva, joka yhdistää alustan keskustaan. Jos pyöreän vaakasuora leikkaustaso käpyjä, sen ylempi kanta on ympyrä.

Koska sitä ei ole määritelty ongelman tilassa, tässä tapauksessa on annettu kartio, voimme päätellä, että tämä on suora katkaistu kartio, jonka vaakasuora leikkaus on yhdensuuntainen pohjan kanssa. Sen aksiaalinen osa, ts. pystytaso, joka kulkee ympyrän akselin läpi käpyjä, on tasakylkinen puolisuunnikas. Kaikki aksiaaliset osiot pyöreä suora käpyjä ovat keskenään tasavertaisia. Siksi löytää neliö- aksiaalinen osiot, se on löydettävä neliö- puolisuunnikkaan muotoinen, jonka pohjat ovat katkaistujen pohjan halkaisijat käpyjä, ja sivut ovat sen generaattoreita. Lyhennetty korkeus käpyjä on myös puolisuunnikkaan korkeus.

Puolisuunnikkaan pinta-ala määritetään kaavalla: S = ½(a+b) h, missä S on neliö- puolisuunnikas; a - puolisuunnikkaan alemman kannan arvo; b - sen ylemmän kannan arvo; h - puolisuunnikkaan korkeus.

Kartion kannan säde kärjen kanssa on yhtä suuri kuin 6 ja sen generatriisin pituus on 9. Pisteet ja valitaan kartion pohjan ympyrästä jakaen ympyrän kahdeksi kaareksi, joiden pituudet ovat suhteessa 1:3. Etsi kartion leikkauksen pinta-ala tason mukaan.

Ongelman ratkaisu

Tämä oppitunti näyttää kuinka rakentaa kartion osa oikein tasossa ja löytää tämän osan pinta-ala. Pääkohta tämän ongelman ratkaisemisessa on kaarien suhde, joka saadaan ehdolla: koska suhde on 1:3, voidaan selvästi määrittää, että yhden kaaren astemitta on 90 °. Ja tämä yksinkertaistaa suuresti ongelman ratkaisua. Kolmion pinta-alan kaava: puolet pohjan ja korkeuden tulosta - mahdollistaa segmenttien määrittämisen, joiden pituudet meidän on löydettävä. Pohjan pituuden selvittämiseksi käytämme Pythagoran lausetta (kolmio osoittautuu paitsi suorakaiteen muotoiseksi, myös tasakylkiseksi - kolmion jalat ovat ympyrän kannan säteet). Löydämme myös leikkauksen korkeuden käyttämällä Pythagoraan lausetta. Tiedämme jo kannan (tarvitsemme puolet siitä) ja generatrixin pituus on annettu ehdolla. On vielä löydettävä saatujen segmenttien tulo ja jaettava se kahteen osaan. Vastaus saatu.

Tämän ongelman ratkaisua suositellaan 8. luokan opiskelijoille, kun he opiskelevat aihetta "Ala" ("Pythagoraan lause", "Kolmion pinta-ala"); 11. luokan oppilaille opiskellessaan aihetta "Vallankumouksen ruumis" ("Ongelmanratkaisu. Kartio"). Tenttiin valmistautuessaan oppituntia suositellaan toistettaessa aihetta "Ala", "Vallankumouksen ruumis".

Burkovskaja Nina Dmitrievna

Matikan opettaja

Ural Technological College "Palvelu".

Ohjelman teema: Pyörimiselimet - 10 tuntia.

Oppitunnin aihe: Oikea pyöreä kartio, sen elementit. Kartion poikkileikkaukset tasossa. Kartion kehitys. Kartion pinta-ala.

Oppitunnin tarkoitus: Teoreettisen tiedon muodostuminen kartiosta kierroskappaleena, sen ominaisuuksista, tason leikkaustyypeistä ja koko pinnan pinta-alasta. Matemaattinen ajattelu, tilaesitys;

Koulutus- ja kognitiivisen toiminnan riippumattomuus.

Oppitunnin tyyppi: Yhdistetty oppitunti.

Hallintomenetelmät: Luento-käytännön oppitunti.

Oppitunnin varusteet: Matemaattinen ympäristöGeoGebra.

TUTKIEN AIKANA:

Organisaatiohetki - 1 - 2 minuuttia.

Tervehdys opiskelijat.

Merkitse poissaolevaksi.

II . Kotitehtäväkysely

1. Sylinterin sivupinnan pinta-ala;

2. Sylinterin koko pinnan pinta-ala;

3. Prismaan kaiverrettu sylinteri;

4. Prisman lähellä oleva sylinteri.

III . Uuden materiaalin selitys. Lyhyt yhteenveto.

1. Kartio - kappale, joka koostuu ympyrästä - kartion pohja, piste, joka ei ole tämän ympyrän tasossa - kartion yläosa ja kaikki segmentit, jotka yhdistävät kartion yläosan pohjan pisteisiin.

Kartio saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota jalan ympäri.

2. Mieti nyt, kuinka kartio on rakennettu. Piirrä ensin ympyrä, jonka keskipiste onOja suoraOSkohtisuorassa tämän ympyrän tasoon nähden. Yhdistämme ympyrän jokaisen pisteen segmentillä pisteen kanssaS. Näiden segmenttien muodostamaa pintaa kutsutaan kartiomaiseksi pinnaksi ja itse segmenttejä kutsutaan kartiopinnan generaattoreiksi.

3. t.S- kartioympyrän yläosa (O, OA) - kartion pohja

SA= SBovat kartiogeneraattoreita. JanaNIINon kartion korkeus. SuoraanNIIN- kartioakseli

4. a) kartion aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio

Kartion aksiaalinen leikkaus on kartion tason leikkaus, joka kulkee kartion akselin ja

sen yläosan läpi kulkee tasakylkinen kolmio.

Kartion leikkaus symmetria-akseliin nähden kohtisuorassa tasossa on ympyrä,

AB - leikkaus, joka on kohtisuorassa symmetria-akseliin nähden ja yhdensuuntainen kantaan nähden.

Ilmaisemme kartion sivupinnan alueen sen generatrixin ja pohjan säteen avulla.

Kaaren astemitta

Sektorin kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion pohjan kehän pituus.

ilmaista kautta ja sitten

, .

Kuinka selvittää kokonaispinta-ala?

Kokonaispinta-ala on sivupinnan ja pohjapinta-alan summa.

, .

Kartion tangenttitaso on taso, joka kulkee kartion generatriisin läpi ja on kohtisuorassa tämän generatriisin sisältävän aksiaalisen leikkauksen tasoon nähden..

IV . Uuden materiaalin korjaaminen:

Tehtävä: Kartion pohjan säde on 14 cm. Etsi sen keskeltä kohtisuoraan sen akseliin nähden piirretyn leikkauksen pinta-ala .

Päätös: △ MUTTA S O - suorakaiteen muotoinen ( S O  perusta), ∠ S AO = 30 0 , S O (sijoittuu 30 asteen kulmaa vasten 0 )= siis KUTEN = 20 S \u003d 2 * 12 \u003d 24. Pythagoraan O:n mukaan; S b. = Vastaus: S b. =.

Kotitehtävät §6.1 – 6.2, nro 8

Kirjallisuus

Zh. Kaidasov, V. Gusev, A. Kagazbaeva Geometria 10, 11 arvosanat. Geometrian didaktista materiaalia luokille 10, 11.

Kartion leikkauspinta-ala. Toinen kartioartikkeli esitetään sinulle. Tätä kirjoitettaessa blogi on ratkaissut kaikki tentissä mahdolliset tehtäväesimerkit (prototyypit) kartioilla. Ratkaisuprosessi on yksinkertainen (1-2 toimenpidettä), tietyllä harjoituksella ne ratkaistaan ​​suullisesti. Sinun on tiedettävä generatrixin käsite, tiedot tästä. On myös tarpeen ymmärtää, kuinka kartion osat muodostuvat.

1. Jos taso kulkee kartion kärjen kautta, leikkaus on kolmio.

*Jos taso kulkee kartion akselin läpi, leikkaus on tasakylkinen kolmio, jonka korkeus on yhtä suuri kuin kartion korkeus ja pohja, jolle tämä korkeus lasketaan, on yhtä suuri kuin pohjan halkaisija kartiosta.

2. Jos taso kulkee kohtisuorassa kartion akseliin nähden, leikkaus on ympyrä.

Näiden tehtävien ominaisuus on, että käytetään kolmion pinta-alakaavaa,. Toista kaavat ajoittain. Harkitse tehtäviä:

324453. Kartion pohjan pinta-ala on 16pi, korkeus 6. Etsi kartion aksiaalileikkauksen pinta-ala.

Kartion aksiaalinen leikkaus on kolmio, jonka kanta on yhtä suuri kuin kartion pohjan halkaisija ja korkeus on yhtä suuri kuin kartion korkeus. Merkitään halkaisija D:llä, korkeus H, kirjoitetaan kolmion pinta-alan kaava:

Korkeus tiedetään, laskemme halkaisijan. Käytämme kaavaa ympyrän pinta-alalle:

Joten halkaisija on yhtä suuri kuin 8. Laske poikkileikkausala:

Vastaus: 24

324454. Kartion pohjan pinta-ala on 18. Kartion pohjan tason suuntainen taso jakaa sen korkeuden segmenteiksi, joiden pituus on 3 ja 6, ylhäältä laskettuna. Etsi kartion poikkileikkauspinta-ala tällä tasolla.

Osio on ympyrä. Sinun on löydettävä tämän ympyrän alue.

Rakennetaan aksiaalinen osa:

Harkitse kolmioita AKL ja AOC - ne ovat samanlaisia. Tiedetään, että vastaavissa kuvioissa vastaavien elementtien suhteet ovat yhtä suuret. Harkitsemme korkeuksien ja jalkojen (säteiden) suhdetta:

OC on pohjan säde, se löytyy:

Keinot

Nyt voimme laskea poikkileikkausalan:

*Tämä on algebrallinen tapa laskea käyttämättä samanlaisten kappaleiden pinta-ala-ominaisuutta. Asiasta voisi väitellä näin:

Kaksi kartiota (alkuperäinen ja leikattu) ovat samanlaisia, joten niiden pohjat ovat samanlaisia. Samankaltaisten lukujen alueilla on riippuvuus:

Samankaltaisuuskerroin tässä tapauksessa on 1/3 (alkuperäisen kartion korkeus on 9, leikkaus 3), 3/9=1/3.

Näin ollen tuloksena olevan kartion pohjan pinta-ala on:

Vastaus: 2

323455. Kartion korkeus on 8 ja generatrixin pituus on 10. Etsi tämän kartion aksiaalileikkauksen pinta-ala.

Olkoon generatriisi L, korkeus H ja kannan säde R.

Etsi pohjan halkaisija ja laske pinta-ala käyttämällä kolmion pinta-alan kaavaa. Pythagoraan lauseen mukaan:

Olkoon generatriisi L, korkeus H, kannan säde R. Siinä se. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Yksi kuvioista, joka esiintyy ratkaistaessa geometrisia ongelmia avaruudessa, on kartio. Se, toisin kuin polyhedra, kuuluu kiertohahmojen luokkaan. Käsittelemme artikkelissa, mitä sillä tarkoitetaan geometriassa, ja tutkimme kartion eri osien ominaisuuksia.

Oletetaan, että tasossa on jokin käyrä. Se voi olla paraabeli, ympyrä, ellipsi ja niin edelleen. Ota piste, joka ei kuulu määritettyyn tasoon, ja yhdistä kaikki käyrän pisteet siihen. Tuloksena olevaa pintaa kutsutaan kartioksi tai yksinkertaisesti kartioksi.

Jos alkuperäinen käyrä on suljettu, kartiomainen pinta voidaan täyttää aineella. Tällä tavalla saatu kuvio on kolmiulotteinen kappale. Sitä kutsutaan myös kartioksi. Useita paperikartioita on esitetty alla.

Kartiomainen pinta löytyy tavallisesta elämästä. Esimerkiksi jäätelötötterillä tai raidallisella liikennekartiolla on tämä muoto, joka on suunniteltu kiinnittämään kuljettajien ja jalankulkijoiden huomio.

Kartioiden tyypit

Kuten arvata saattaa, tarkasteltavat luvut eroavat toisistaan ​​sen mukaan, minkä tyyppiselle käyrälle ne on muodostettu. On esimerkiksi pyöreä kartio tai elliptinen. Tätä käyrää kutsutaan kuvion pohjaksi. Pohjan muoto ei kuitenkaan ole ainoa ominaisuus, jonka avulla kartiot voidaan luokitella.

Niiden toinen tärkeä ominaisuus on korkeuden sijainti suhteessa alustaan. Kartion korkeus on suora jana, joka lasketaan kuvan ylhäältä pohjan tasoon ja on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan. Jos korkeus leikkaa pohjan geometrisessa keskustassa (esimerkiksi ympyrän keskellä), kartio on suora, jos kohtisuora segmentti putoaa johonkin muuhun pohjan pisteeseen tai sen ulkopuolelle, niin kuva on taipuvainen.

Kartioelementtien geometriset nimet

Yllä sanottiin, että kartiolla on pohja. Sitä rajoittaa ympyrä, jota kutsutaan kartion ohjaimeksi. Segmenttejä, jotka yhdistävät ohjaimen pisteeseen, joka ei ole pohjan tasossa, kutsutaan generaattoreiksi. Generaattorien kaikkien pisteiden joukkoa kutsutaan kuvion kartiomaiseksi tai sivupinnaksi. Pyöreässä oikeanpuoleisessa kartiossa kaikilla generaattoreilla on sama pituus.

Pistettä, jossa generaattorit leikkaavat, kutsutaan kuvion kärjeksi. Toisin kuin polyhedra, kartiolla on yksi kärki, eikä siinä ole pintaa.

Kuvion yläosan ja ympyrän keskikohdan läpi kulkevaa suoraa kutsutaan akseliksi. Akseli sisältää suoran kartion korkeuden, joten se muodostaa suoran kulman pohjan tason kanssa. Tämä tieto on tärkeä kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-alaa laskettaessa.

Pyöreä suora kartio - kiertokuva

Tarkasteltavana oleva kartio on melko symmetrinen kuvio, joka voidaan saada kolmion kiertämisen tuloksena. Oletetaan, että meillä on kolmio, jolla on suora kulma. Kartion saamiseksi riittää, että käännät tätä kolmiota yhden jalan ympäri alla olevan kuvan mukaisesti.

Voidaan nähdä, että pyörimisakseli on kartion akseli. Yksi jaloista on yhtä suuri kuin hahmon korkeus, ja toisesta jalusta tulee pohjan säde. Kolmion hypotenuusa pyörimisen seurauksena kuvaa kartiopintaa. Se on kartion generatrix.

Tällä menetelmällä pyöreän suoran kartion saamiseksi on kätevää tutkia kuvion lineaaristen parametrien: korkeuden h, pyöreän pohjan säteen r ja ohjaimen g välistä matemaattista suhdetta. Vastaava kaava seuraa suorakulmaisen kolmion ominaisuuksista. Se on lueteltu alla:

Koska meillä on yksi yhtälö ja kolme muuttujaa, tämä tarkoittaa, että pyöreän kartion parametrien ainutkertaiseksi asettamiseksi on tiedettävä mitkä tahansa kaksi suuretta.

Kartion leikkaukset tasosta, joka ei sisällä kuvion kärkeä

Kysymys kuvion osien rakentamisesta ei ole triviaali. Tosiasia on, että kartion pinnan poikkileikkauksen muoto riippuu hahmon ja sekantin suhteellisesta sijainnista.

Oletetaan, että leikkaamme kartion tason kanssa. Mikä on tämän geometrisen operaation tulos? Leikkauksen muotovaihtoehdot näkyvät alla olevassa kuvassa.

Vaaleanpunainen osa on ympyrä. Se muodostuu kuvion leikkauspisteestä tason kanssa, joka on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. Nämä ovat kohtisuorassa kuvan akseliin nähden. Leikkaustason yläpuolelle muodostettu kuvio on alkuperäisen kaltainen kartio, jonka pohjassa on pienempi ympyrä.

Vihreä osa on ellipsi. Se saadaan, jos leikkaustaso ei ole yhdensuuntainen alustan kanssa, vaan se vain leikkaa tason yläpuolelta leikattua kuviota kutsutaan elliptiseksi kaltevaksi kartioksi.

Sininen ja oranssi osa ovat parabolisia ja hyperbolisia. Kuten kuvasta voidaan nähdä, ne saadaan, jos leikkaustaso leikkaa samanaikaisesti kuvion sivupinnan ja pohjan.

Tarkastettujen kartion osien pinta-alojen määrittämiseksi on tarpeen käyttää tason vastaavan kuvan kaavoja. Esimerkiksi ympyrälle tämä on Pi kerrottuna säteen neliöllä, ja ellipsillä tämä on Pi:n tulo pienemmän ja suuren puoliakselin pituudella:

ympyrä: S \u003d pi * r 2;

ellipsi: S = pi*a*b .

Osat, jotka sisältävät kartion yläosan

Harkitse nyt vaihtoehtoja osille, jotka syntyvät, jos leikkaustaso kulkee kartion yläosan läpi. Kolme tapausta on mahdollista:

1. Osio on yksittäinen piste. Esimerkiksi taso, joka kulkee kärjen kautta ja on yhdensuuntainen kannan kanssa, antaa juuri sellaisen leikkauksen.
2. Osio on suora viiva. Tämä tilanne syntyy, kun taso tangentti kartiomaista pintaa. Leikkauksen suora on tässä tapauksessa kartion generatrix.
3. Aksiaalinen osa. Se muodostuu, kun taso sisältää paitsi kuvion yläosan, myös sen koko akselin. Tässä tapauksessa taso on kohtisuorassa pyöreään alustaan ​​nähden ja jakaa kartion kahteen yhtä suureen osaan.

On selvää, että kahden ensimmäisen tyyppisen osion pinta-alat ovat nolla. Mitä tulee 3. tyypin kartion poikkileikkausalaan, tätä asiaa käsitellään yksityiskohtaisemmin seuraavassa kappaleessa.

Aksiaalinen osa

Edellä todettiin, että kartion aksiaalinen leikkaus on kuvio, joka muodostuu, kun kartio leikkaa sen akselin kautta kulkevan tason. On helppo arvata, että tämä osa edustaa alla olevan kuvan kuvaa.

Tämä on tasakylkinen kolmio. Kartion aksiaalisen leikkauksen kärki on tämän kolmion kärki, joka muodostuu identtisten sivujen leikkauspisteestä. Jälkimmäiset ovat yhtä suuria kuin kartion generatrixin pituus. Kolmion kanta on kartion kannan halkaisija.

Kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-alan laskenta vähennetään tuloksena olevan kolmion alueen löytämiseen. Jos kannan r säde ja kartion korkeus h ovat alun perin tiedossa, niin tarkasteltavan osan pinta-ala S on yhtä suuri:

Tämä lauseke on seurausta vakiokaavan soveltamisesta kolmion pinta-alalle (puolet korkeudesta kerrottuna pohjalla).

Huomaa, että jos se on yhtä suuri kuin sen pyöreän pohjan halkaisija, kartion aksiaalinen leikkaus on tasasivuinen kolmio.

Kolmioleikkaus muodostuu, kun leikkaustaso on kohtisuorassa kartion pohjaan nähden ja kulkee sen akselin läpi. Mikä tahansa muu taso, joka on yhdensuuntainen nimetyn kanssa, antaa hyperbolin leikkauksessa. Kuitenkin, jos taso sisältää kartion kärjen ja leikkaa sen kantaa ei halkaisijan kautta, niin tuloksena oleva leikkaus on myös tasakylkinen kolmio.

Tehtävä määrittää kartion lineaariset parametrit

Näytämme kuinka käyttää aksiaalileikkauksen alueelle kirjoitettua kaavaa geometrisen ongelman ratkaisemiseen.

Tiedetään, että kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on 100 cm 2 . Tuloksena oleva kolmio on tasasivuinen. Mikä on kartion korkeus ja sen pohjan säde?

Koska kolmio on tasasivuinen, sen korkeus h on suhteessa sivun a pituuteen seuraavalla suhteella:

Ottaen huomioon, että kolmion sivu on kaksi kertaa kartion kannan säde ja korvaamalla tämän lausekkeen poikkileikkausalan kaavassa, saadaan:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Sitten kartion korkeus on:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Jää vain korvata alueen arvo ongelman tilalla ja saada vastaus:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 cm;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 cm.

Millä alueilla on tärkeää tietää tarkasteltavien osien parametrit?

Erilaisten kartioleikkausten tutkiminen ei ole vain teoreettista mielenkiintoa, vaan sillä on myös käytännön sovelluksia.

Ensinnäkin on huomattava aerodynamiikan alue, jossa kartiomaisten osien avulla on mahdollista luoda ihanteellisia sileitä muotoja kiinteistä kappaleista.

Toiseksi kartioleikkaukset ovat lentoratoja, joita pitkin avaruuskohteet liikkuvat gravitaatiokentissä. Se, mikä tarkalleen on järjestelmän kosmisten kappaleiden liikerata, määräytyy niiden massojen, absoluuttisten nopeuksien ja niiden välisten etäisyyksien suhteen.