Esittelemme kaksi uutta määritelmää. Jos? yleensä nolla, ottamalla vain positiiviset arvot, sitten suhteen raja
(jos sellainen on) kutsutaan johdannainen oikealla tai oikea johdannainen funktiosta ѓ() pisteessä?, ja jos? pyrkii nollaan, ottaen vain negatiiviset arvot, niin saman suhteen raja (jos sellainen on) on johdannainen vasemmalla tai vasen derivaatta. Oikealla oleva johdannainen on merkitty symbolilla ja vasemmalla oleva johdannainen symbolilla.
Jos derivaatta oikealla ja derivaatta vasemmalla ovat yhtä suuret, niin funktiolla on ilmeisesti derivaatta 0:ssa sanan tavallisessa merkityksessä.
Yksinkertaisimmat esimerkit funktioista, joilla on jossain vaiheessa oikea ja vasen derivaatta, jotka eivät täsmää toistensa kanssa, antavat meille funktioita, joiden kuvaajat ovat katkoviivoja.
Todellakin, olkoon 1 , 2 , … , k, … , s jokin määrä eri pisteitä akselilla. Muodostetaan katkoviiva siten, että sen kärkien abskissat ovat x 1 , 2 , … , k, … , s (kuva 12). Funktiolla ѓ(), jonka graafi on tämä moniviiva *), ei ole derivaattia pisteissä 1 , 2 , … , k, … , s .
*) On selvää, että jokainen x-akseliin nähden kohtisuorassa oleva suora leikkaa polylinjan enintään yhdessä pisteessä, ja moniviiva on jonkin yksiarvoisen funktion kuvaaja.
Tämän todistamiseksi tarkastelemme jotakin pistettä Q, jonka abskissa on k. Tämän pisteen läheisyydessä olevan funktion kuvaaja on kuvan 2 mukaisessa muodossa. 13.
Minkä tahansa suoran kohdalla sekantti joissakin sen pisteissä ja siten tangentti (tämän sekantin raja-asemana) osuvat yhteen itse suoran kanssa; täten sekantin kulma ja näin ollen suoran tangentin kulma akselin kanssa on sama kuin itse suoran kulma x-akselin kanssa.
Merkitään suoran AQ kulmaa akselin kanssa b:n kautta ja suoran QB kulmaa akselin kanssa c:n kautta. Piirrämme sekantin pisteen Q ja Q:n vasemmalla ja oikealla puolella olevien pisteiden M 1 ja M 2 kautta. Vasen sekantti osuu linjaan AQ ja oikea - linjaan QB.
On selvää, että jos tarkastellaan Q:ta kosketuspisteenä, niin sekantilla on kaksi raja-asemaa, tai kuten joskus sanotaan, käyrällä tässä kohdassa on oikea tangentti, joka on linjassa QB, ja vasen tangentti, osuu yhteen suoran AQ kanssa. Akselin ja vasemman tangentin välinen kulma on ilmeisesti 6 ja akselin ja oikean tangentin välinen kulma on c. Koska b ja c ovat erilaisia, niin
Siten pisteessä Q suorallamme ei ole tarkkaa tangenttia, ja koska derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti akselin kanssa, vasemmanpuoleinen derivaatta ei ole yhtä suuri kuin oikeanpuoleinen derivaatta. ei ole olemassa pisteessä Q.
Tarkastellaan toista esimerkkiä funktioista, joissa on erilaisia johdannaisia vasemmalla ja oikealla. Vaaditaan funktion derivaatan löytäminen
Funktio määritellään ilmeisesti välillä -1??+1. Sen kaavio on esitetty kuvassa. 14. Käyrä päättyy pisteisiin M(-1, +1) ja N(+1, +1), koska ||>1:lle funktiota ei ole määritelty.
Löydämme derivaatan pisteestä x:
Olettaen x=0, löydämme derivaatan arvon pisteestä O(0, 0):
Rajan löytämiseksi kerromme sekä osoittajan että nimittäjän
Koska otetaan huomioon neliöjuuren aritmeettinen (positiivinen) arvo, niin 2 =?, jos? x> 0, mutta 2 = -?, jos?<0.
Joten jos? > 0, niin
mitä jos?<0, то
Näemme, että vasemmalla oleva derivaatta ei ole yhtä suuri kuin oikeanpuoleinen derivaatta, ja siksi funktiollamme ei ole derivaattia. Piste (0, 0) on kulmapiste, jossa käyrällä ei ole määriteltyä tangenttia.
Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet kaavojen sijasta abrakadabra, tyhjennä välimuisti. Kuinka se tehdään selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme saadaksesi hyödyllisimmän resurssin
Kuvittele suora tie, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuoraan tietä pitkin ja pystysuoraan, tieviiva on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:
Akseli on tietty nollakorkeus, elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.
Tällaista tietä eteenpäin liikuttaessa liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liikkuen abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liikkuu ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Mikä tämä arvo voisi olla? Hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Tien eri osuuksilla, kulkiessamme eteenpäin (abskissaa pitkin) yhden kilometrin, nousemme tai laskemme eri määrän metrejä merenpinnan suhteen (ordinaatta pitkin).
Merkitsemme edistymistä eteenpäin (lue "delta x").
Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on suuruusmuutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, koon muutos.
Tärkeää: lauseke on yksi entiteetti, yksi muuttuja. Älä koskaan revi pois "deltaa" "x":stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.
Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien linjaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Tietysti, . Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.
Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirron jälkeen olimme korkealla, niin silloin. Jos päätepiste osoittautui alhaisemmaksi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.
Takaisin "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka osoittaa kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa liikuttaessa eteenpäin etäisyysyksikköä kohti:
Oletetaan, että jollain polun osuudella kilometriä eteenpäin tie nousee km. Silloin jyrkkyys tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie vajoaa kilometriä eteneessään m? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.
Mieti nyt mäen huippua. Jos otat osuuden alkua puoli kilometriä huipulle ja loppu - puoli kilometriä sen jälkeen, huomaat, että korkeus on melkein sama.
Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Paljon voi muuttua vain muutaman kilometrin päässä. Pienempiä alueita on harkittava riittävän ja tarkemman jyrkkyyden arvioimiseksi. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen metrin liikuttaessa, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos pylväs on keskellä tietä, voimme yksinkertaisesti liukua sen läpi. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!
Tosielämässä etäisyyden mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti oli äärettömän pieni, eli modulo-arvo on pienempi kuin mikään numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Ja niin edelleen. Jos haluamme kirjoittaa, että arvo on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että se voidaan jakaa.
Käsite äärettömän pienen vastakohta on äärettömän suuri (). Olet luultavasti kohdannut sen jo työskennellessäsi epätasa-arvojen parissa: tämä luku on moduuliltaan suurempi kuin mikään luku, jota voit ajatella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä enemmän. Ja äärettömyys on vielä enemmän kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuret ja äärettömän pienet ovat käänteisiä toisilleen, eli at ja päinvastoin: at.
Nyt takaisin tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömän pienelle osalle, eli:
Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä myös korkeuden muutos on äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että äärettömän pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat esimerkiksi täysin tavallisen luvun. Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kaksi kertaa niin suuri kuin toinen.
Miksi tämä kaikki? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa ralliin, mutta opettelemme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.
Johdannaisen käsite
Funktion derivaatta on funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde argumentin äärettömällä inkrementillä.
Lisäys matematiikassa sitä kutsutaan muutokseksi. Kutsutaan kuinka paljon argumentti () on muuttunut liikkuessaan akselia pitkin argumentin lisäys ja ilmaistaan kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut, kun akselia pitkin etäisyys eteenpäin liikkuu, kutsutaan funktion lisäys ja on merkitty.
Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain vedolla oikeasta yläkulmasta: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:
Kuten analogisesti tien kanssa, tässä, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.
Mutta onko derivaatta yhtä suuri kuin nolla? Tietysti. Jos esimerkiksi ajat tasaisella vaakasuoralla tiellä, jyrkkyys on nolla. Itse asiassa korkeus ei muutu ollenkaan. Joten derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:
koska tällaisen funktion inkrementti on nolla mille tahansa.
Otetaan esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:
Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.
Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituus tulee äärettömän pieneksi. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (ei taipu, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen
Tämä voidaan ymmärtää seuraavasti: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa korkeuttamme merkityksettömästi.
On myös puhtaasti algebrallinen selitys: ylhäältä vasemmalla funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten olemme jo aiemmin havainneet, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.
Sama pätee laaksoon (alue, jossa funktio pienenee vasemmalla ja kasvaa oikealla):
Hieman lisää lisäyksistä.
Muutamme siis argumentin arvoksi. Mistä arvosta muutetaan? Mikä hänestä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.
Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisää koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Minne argumentti menee, sinne menee funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:
Harjoittele lisäysten etsimistä:
- Etsi funktion lisäys pisteestä, jonka argumentin lisäys on yhtä suuri kuin.
- Sama funktiolle pisteessä.
Ratkaisut:
Eri kohdissa, samalla argumentin lisäyksellä, funktion kasvu on erilainen. Tämä tarkoittaa, että kunkin pisteen derivaatalla on omansa (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys eri kohdissa on erilainen). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:
Virtatoiminto.
Tehofunktiota kutsutaan funktioksi, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).
Ja - missä tahansa määrin: .
Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:
Etsitään sen derivaatta kohdasta. Muista johdannaisen määritelmä:
Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?
Lisäys on. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Siksi:
Johdannainen on:
Johdannainen on:
b) Tarkastellaan nyt neliöfunktiota (): .
Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:
Meillä on siis toinen sääntö:
c) Jatkamme loogista sarjaa: .
Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoin: avaa ensimmäinen hakasulke summan kuution lyhennetyn kertolaskukaavan avulla tai jakaa koko lauseke tekijöiksi käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista tavoista.
Sain siis seuraavan:
Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:
Saamme: .
d) Samanlaiset säännöt voidaan saada suurille tehoille:
e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:
| (2) |
Voit muotoilla säännön sanoilla: "aste tuodaan eteenpäin kertoimena ja sitten pienenee".
Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:
- (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);
trigonometriset funktiot.
Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:
Kun ilmaisu.
Todistuksen opit instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne, sinun on läpäistävä tentti hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:
Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kaavion piste on punkturoitu. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on.Tämä on juuri se "pyrkimys".
Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimella. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä kokeessa.
Joten kokeillaan: ;
Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!
jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdelukua on.
a) Tarkastellaan funktiota. Kuten tavallista, löydämme sen lisäyksen:
Käännetään sinien ero tuloksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""):.
Nyt johdannainen:
Tehdään vaihto: . Sitten äärettömän pienelle se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:
Ja nyt muistamme sen ilmauksella. Ja myös, mitä jos äärettömän pieni arvo voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).
Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:
Nämä ovat perusjohdannaisia ("taulukko"). Tässä ne ovat yhdessä listassa:
Myöhemmin lisäämme niihin muutaman, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.
Harjoitella:
- Etsi funktion derivaatta pisteessä;
- Etsi funktion derivaatta.
Ratkaisut:
Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.
Matematiikassa on sellainen funktio, jonka derivaatta mille tahansa on yhtä suuri kuin itse funktion arvo samalle. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio
Tämän funktion kanta - vakio - on ääretön desimaaliluku, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.
Sääntö on siis:
Se on erittäin helppo muistaa.
No, emme mene pitkälle, harkitsemme heti käänteisfunktiota. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:
Meidän tapauksessamme kanta on numero:
Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi" ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.
Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .
Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:
Esimerkkejä:
- Etsi funktion derivaatta.
- Mikä on funktion derivaatta?
Vastaukset: Eksponentti ja luonnollinen logaritmi ovat funktioita, jotka ovat derivaatan suhteen ainutlaatuisen yksinkertaisia. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on eri derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.
Erottamisen säännöt
Mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...
Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.
Vain ja kaikki. Mikä on toinen sana tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.
Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:
Sääntöjä on yhteensä 5.
Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.
Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.
Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .
Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.
Esimerkkejä.
Etsi funktioiden johdannaiset:
- pisteessä;
- pisteessä;
- pisteessä;
- pisteessä.
Ratkaisut:
Tuotteen johdannainen
Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:
Johdannainen:
Esimerkkejä:
- Etsi derivaatat funktioista ja;
- Etsi funktion derivaatta pisteessä.
Ratkaisut:
Eksponentiaalifunktion johdannainen
Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).
Joten missä on joku numero.
Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:
Tätä varten käytämme yksinkertaista sääntöä: . Sitten:
No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.
Tapahtui?
Tässä, tarkista itse:
Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.
Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:
Vastaukset:
Logaritmisen funktion derivaatta
Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:
Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmista, jolla on eri kanta, esimerkiksi:
Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:
Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:
Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:
Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ei kokeesta löydy lähes koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.
Monimutkaisen funktion johdannainen.
Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi näyttää vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".
Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen komposiittiesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet päinvastaisessa järjestyksessä.
Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi teemme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toisen toiminnon sillä, mitä tapahtui ensimmäisen seurauksena.
Voimme hyvinkin tehdä samat toimet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.
Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .
Ensimmäisessä esimerkissä .
Toinen esimerkki: (sama). .
Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).
Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:
Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottelu on hyvin samanlainen kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa
muutamme muuttujia ja saamme funktion.
No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:
Toinen esimerkki:
Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:
Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:
Kaikki näyttää olevan yksinkertaista, eikö?
Tarkastetaan esimerkeillä:
JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ
Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:
Perusjohdannaiset:
Erottamisen säännöt:
Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:
Summan johdannainen:
Johdannainen tuote:
Osamäärän johdannainen:
Monimutkaisen funktion johdannainen:
Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:
- Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
- Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
- Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.
No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.
Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!
Nyt se tärkein asia.
Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.
Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...
Minkä vuoksi?
Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituutin budjetille pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.
En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...
Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.
Mutta tämä ei ole pääasia.
Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...
Mutta ajattele itse...
Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?
TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.
Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.
Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.
Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.
Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.
Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!
Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.
Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.
Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:
- Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin -
- Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 ruplaa
Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.
Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.
Tiivistettynä...
Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.
"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia taitoja. Tarvitset molemmat.
Etsi ongelmia ja ratkaise!
On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?
Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys
Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:
Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.
Muuten se voidaan kirjoittaa näin:
Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:
funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.
Johdannan fyysinen merkitys: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.
Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:
Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:
Sääntö yksi: ota vakio pois
Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .
Esimerkki. Lasketaan derivaatta:
Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta
Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.
Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.
Etsi funktion derivaatta:
Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta
Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:
Esimerkki: etsi funktion derivaatta:
Ratkaisu: 
Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.
Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:
Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastelemme ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerromme sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.
Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen
Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:
Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä se kuulostaa, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.
Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Lyhyessä ajassa autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman ohjauksen ja käsittelemään tehtäviä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.
Kun henkilö on ottanut ensimmäiset itsenäiset askeleet matemaattisen analyysin tutkimuksessa ja alkaa kysyä epämiellyttäviä kysymyksiä, ei ole enää niin helppoa päästä eroon lauseesta, jonka mukaan "kaalista löytyi differentiaalilaskenta". Siksi on aika päättää ja ratkaista syntymän mysteeri johdannaistaulukot ja differentiointisäännöt. Aloitettu artikkelissa johdannaisen merkityksestä, jota suosittelen lämpimästi opiskelemaan, koska siellä mietimme juuri derivaatan käsitettä ja aloimme klikata aiheeseen liittyviä tehtäviä. Samalla oppitunnilla on selkeä käytännönläheisyys, lisäksi
alla käsitellyt esimerkit voidaan periaatteessa hallita puhtaasti muodollisesti (esimerkiksi kun ei ole aikaa / halua syventyä johdannaisen olemukseen). On myös erittäin toivottavaa (mutta ei taaskaan välttämätöntä) pystyä löytämään johdannaisia "tavanomaisella" menetelmällä - ainakin kahden perusluokan tasolla: Kuinka löytää kompleksisen funktion derivaatta? ja derivaatta.
Mutta ilman jotain, mikä on nyt ehdottomasti välttämätöntä, se on ilman toimintorajoja. Sinun täytyy YMMÄRTÄ, mikä raja on, ja pystyä ratkaisemaan ne, ainakin keskitasolla. Ja kaikki johdannaisen takia
funktio pisteessä määritellään kaavalla:
Muistutan teitä nimityksistä ja termeistä: he kutsuvat argumentin lisäys;
– funktion lisäys;
- nämä ovat YKSI symboleja ("deltaa" ei voi "revitä" pois "X":stä tai "Y:stä").
Ilmeisesti on "dynaaminen" muuttuja, on vakio ja rajan laskemisen tulos 
- numero (joskus - "plus" tai "miinus" ääretön).
Voit ottaa huomioon MITÄ tahansa arvoa, johon kuuluu verkkotunnuksia funktio, jolla on derivaatta.
Huomautus: lauseke "jossa johdannainen on" - yleensä merkittävä.! Joten esimerkiksi piste, vaikka se tulee funktion verkkotunnukseen, mutta derivaatta
ei ole olemassa siellä. Siksi kaava
ei sovelleta tässä kohdassa
ja lyhennetty sanamuoto ilman varausta olisi väärin. Samanlaiset tosiasiat pätevät myös muille funktioille, joissa on "katkoja" kaaviossa, erityisesti arcsinille ja arkosiinille.
Siten korvaamisen jälkeen saamme toisen työkaavan:
Kiinnitä huomiota salakavalaan seikkaan, joka voi hämmentää teekannua: tässä rajassa "x", joka on itsenäinen muuttuja, toimii ylimääräisenä, ja "dynamiikka" määräytyy jälleen lisäyksen mukaan. Rajalaskennan tulos
on johdannainen funktio.
Edellä olevan perusteella muotoilemme ehdot kahdelle tyypilliselle ongelmalle:
- Löytö derivaatta pisteessä käyttämällä johdannaisen määritelmää.
- Löytö johdannainen funktio käyttämällä johdannaisen määritelmää. Tämä versio, havaintoni mukaan, esiintyy paljon useammin ja siihen kiinnitetään päähuomio.
Perusteellinen ero tehtävien välillä on, että ensimmäisessä tapauksessa on löydettävä numero (valinnaisesti ääretön), ja toisessa
toiminto . Lisäksi johdannaista ei välttämättä ole ollenkaan.
Miten ?
Tee suhde ja laske raja.
Missä teki johdannaisten ja eriyttämissääntöjen taulukko ? Yhdellä rajalla
Vaikuttaa taikalta, mutta
todellisuus - taikausko ja ei petoksia. Oppitunnilla Mikä on johdannainen? Aloin pohtia konkreettisia esimerkkejä, joissa määritelmää käyttäen löysin lineaarisen ja toisen asteen funktion derivaatat. Kognitiivisen lämmittelyn vuoksi jatkamme häiritsemistä johdannainen taulukko, hiomalla algoritmia ja teknisiä ratkaisuja:
Itse asiassa on todistettava tehofunktion derivaatan erikoistapaus, joka yleensä esiintyy taulukossa: .
Ratkaisu on teknisesti muotoiltu kahdella tavalla. Aloitetaan ensimmäisestä, jo tutusta lähestymistavasta: tikkaat alkavat plankista ja derivaattafunktio alkaa derivaatalla pisteessä.
Harkitse jotakin (konkreettista) pistettä, joka kuuluu verkkotunnuksia funktio, jolla on derivaatta. Aseta lisäys tässä vaiheessa (ei tietenkään pidemmälle o / o - z) ja muodosta vastaava funktion lisäys:
Lasketaan raja:
Epävarmuus 0:0 eliminoidaan standarditekniikalla, jota pidetään jo ensimmäisellä vuosisadalla eKr. moninkertaistaa
osoittaja ja nimittäjä per adjoint lauseke 
:
Tekniikkaa tällaisen rajan ratkaisemiseksi käsitellään yksityiskohtaisesti johdantotunnilla. toimintojen rajoista.
Koska MIKÄ tahansa välin piste voidaan valita
Sitten korvaamalla saamme:
Iloitkaamme vielä kerran logaritmeista:
Etsi funktion derivaatta käyttämällä derivaatan määritelmää
Ratkaisu: Pohditaanpa erilaista lähestymistapaa saman tehtävän pyörittämiseen. Se on täsmälleen sama, mutta suunnittelun kannalta järkevämpi. Ajatuksena on päästä eroon
alaindeksi ja käytä kirjainta kirjaimen sijaan.
Harkitse mielivaltaista pistettä, joka kuuluu verkkotunnuksia funktio (intervalli) ja aseta sen lisäys. Ja tässä muuten, kuten useimmissa tapauksissa, voit tehdä ilman varauksia, koska logaritminen funktio on differentioitavissa missä tahansa määrittelyalueen kohdassa.
Sitten vastaava funktion lisäys on:
Etsitään johdannainen:
Suunnittelun yksinkertaisuutta tasapainottaa hämmennys, joka voi
ilmaantuu aloittelijoille (eikä vain). Olemmehan tottuneet siihen, että kirjain “X” muuttuu rajassa! Mutta täällä kaikki on toisin: - antiikkipatsas ja - elävä vierailija, joka kävelee reippaasti pitkin museon käytävää. Eli "x" on "kuin vakio".
Kommentoin epävarmuuden poistamista askel askeleelta:
(1)
Käyttämällä logaritmin ominaisuutta
.
(2) Jaa osoittaja suluissa olevalla nimittäjällä.
(3) Nimittäjässä kerromme ja jaamme keinotekoisesti "x":llä niin, että
hyödynnä ihmeellistä 
, kun taas as äärettömän pieni suorittaa.
Vastaus: Johdannaisen määritelmän mukaan:
Tai lyhyesti:
Ehdotan itsenäisesti kahden muun taulukkokaavan rakentamista:
Etsi derivaatta määritelmän mukaan
Tässä tapauksessa käännetty lisäys on heti kätevä vähentää yhteiseksi nimittäjäksi. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa (ensimmäinen menetelmä).
Etsi derivaatta määritelmän mukaan
Ja tässä kaikki on vähennettävä merkittävään rajaan. Ratkaisu kehystetään toisella tavalla.
Samoin joukko muita taulukkojohdannaiset. Täydellinen luettelo löytyy koulun oppikirjasta tai esimerkiksi Fichtenholtzin 1. osasta. En näe paljon järkeä kirjoittaa uudelleen kirjoista ja erilaistumissääntöjen todisteista - niitäkin syntyy
kaava .
Siirrytään tosielämän tehtäviin: Esimerkki 5
Etsi funktion derivaatta 
, käyttämällä derivaatan määritelmää
Ratkaisu: käytä ensimmäistä tyyliä. Tarkastellaan jotakin pistettä, joka kuuluu, ja asetetaan argumentin lisäys siihen. Sitten vastaava funktion lisäys on:
Ehkä jotkut lukijat eivät ole vielä täysin ymmärtäneet periaatetta, jonka mukaan lisäys tulisi tehdä. Otamme pisteen (luvun) ja löydämme siitä funktion arvon: 
, eli funktioon
"x" tulee korvata. Nyt otamme
Muodostettu funktion lisäys on hyödyllistä yksinkertaistaa välittömästi. Mitä varten? Helpota ja lyhennä lisärajan ratkaisua.
Käytämme kaavoja, avaamme sulkeita ja vähennämme kaikkea, mitä voidaan vähentää:
Kalkkuna on perattu, ei ongelmia paistin kanssa:
Lopulta: 
Koska laaduksi voidaan valita mikä tahansa reaaliluku, teemme korvauksen ja saamme 
.
Vastaus: 
määritelmän mukaan.
Tarkistamista varten löydämme johdannaisen sääntöjen avulla
erot ja taulukot:
Oikea vastaus on aina hyödyllistä ja miellyttävää tietää etukäteen, joten on parempi mielessään tai luonnoksessa erottaa ehdotettu toiminto "nopeasti" heti ratkaisun alussa.
Etsi funktion derivaatta derivaatan määritelmän mukaan
Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tulos on pinnalla:
Takaisin tyyliin 2: Esimerkki 7
Otetaan heti selvää, mitä pitäisi tapahtua. Tekijä: monimutkaisen funktion erilaistumissääntö:
Päätös: harkitse mielivaltaista pistettä, joka kuuluu, aseta argumentin lisäys siihen ja tee lisäys
Etsitään johdannainen:
(1) Käytämme trigonometristä kaavaa
(2) Sinin alla avaamme sulut, kosinin alle annamme samanlaisia termejä.
(3) Sinin alla vähennämme termejä, kosinin alla jaamme osoittajan nimittäjätermillä termillä.
(4) Sinin omituisuuden vuoksi otamme pois "miinuksen". Kosinuksen alla
osoittavat, että termi .
(5) Kerromme keinotekoisesti käytettävän nimittäjän ensimmäinen ihana raja. Siten epävarmuus eliminoituu, kampaamme tuloksen.
Vastaus: määritelmän mukaan Kuten näette, tarkasteltavan ongelman päävaikeus perustuu
itse rajan monimutkaisuus + pakkauksen lievä omaperäisyys. Käytännössä kohdataan molemmat suunnittelutavat, joten kuvailen molempia lähestymistapoja mahdollisimman yksityiskohtaisesti. Ne ovat samanarvoisia, mutta silti minun subjektiivisen vaikutelmani mukaan nukkejen on tarkoituksenmukaisempaa pysyä 1. vaihtoehdossa "X nolla".
Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta
Tämä on itsenäisen päätöksen tehtävä. Näyte on muotoiltu samassa hengessä kuin edellinen esimerkki.
Analysoidaan harvinaisempaa versiota ongelmasta:
Etsi funktion derivaatta pisteessä käyttämällä derivaatan määritelmää.
Ensinnäkin, minkä pitäisi olla lopputulos? Numero Laske vastaus tavallisella tavalla:
Päätös: Selvyyden kannalta tämä tehtävä on paljon yksinkertaisempi, koska kaavassa sen sijaan
pidetään tiettynä arvona.
Asetamme pisteen lisäyksen ja muodostamme funktion vastaavan lisäyksen:
Laske derivaatta pisteessä:
Käytämme erittäin harvinaista kaavaa tangenttien erolle 
ja jo monennen kerran vähennämme ratkaisun ensimmäiseen
hämmästyttävä raja:
Vastaus: derivaatan määritelmän mukaan pisteessä.
Tehtävä ei ole niin vaikea ratkaista ja "yleisesti" - riittää naulojen vaihtamiseen tai yksinkertaisesti suunnittelumenetelmästä riippuen. Tässä tapauksessa et tietenkään saa lukua, vaan johdannaisfunktiota.
Esimerkki 10 Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta 
pisteessä
Tämä on tee-se-itse-esimerkki.
Lopullinen bonustehtävä on tarkoitettu ensisijaisesti matemaattista analyysia syvällisesti opiskeleville opiskelijoille, mutta se ei haittaa kaikkia muitakaan:
Onko funktio erotettavissa 
pisteessä?
Ratkaisu: On selvää, että paloittain annettu funktio on jatkuva pisteessä, mutta onko se siellä differentioituva?
Ratkaisualgoritmi, ei vain palokohtaisille funktioille, on seuraava:
1) Etsi vasemmanpuoleinen derivaatta annetusta pisteestä: .
2) Etsi oikeanpuoleinen derivaatta annetusta pisteestä: .
3) Jos yksipuoliset derivaatat ovat äärellisiä ja yhtyvät:
, niin funktio on differentioituva pisteessä ja
geometrisesti tässä on yhteinen tangentti (katso oppitunnin teoreettinen osa Johdannan määritelmä ja merkitys).
Jos vastaanotetaan kaksi eri arvoa: 
(joista yksi voi olla ääretön), silloin funktio ei ole differentioituva jossakin pisteessä.
Jos molemmat yksipuoliset derivaatat ovat yhtä suuria kuin ääretön
(vaikka niillä on eri merkit), funktiolla ei ole
on differentioituva pisteessä, mutta graafille on olemassa ääretön derivaatta ja yhteinen pystytangentti (katso oppitunnin esimerkki 5Normaali yhtälö) .
Johdannaisen käsite
Anna toiminnon f(x) määritellään tietyllä aikavälillä x. Annetaan argumentin arvo pisteessä x 0 X satunnainen lisäys Δ x niin että pointti x0 + Δ x kuului myös x. Sitten vastaava funktion f(x) lisäys tulee olemaan Δ klo = f(x0 + Δ x) - f(x0).
Määritelmä 1.F(x) funktion derivaatta pisteessä x0 kutsutaan rajaksi funktion lisäyksen suhteen tässä kohdassa argumentin lisäykseen kohdassa Δ x 0 (jos tämä raja on olemassa).
Funktion derivaatan osoittamiseen käytetään symboleja sinä (x0) tai f‘(x0):
Jos jossain vaiheessa x0 raja (4.1) on ääretön:
sitten he sanovat sen siinä vaiheessa x0 toiminto f(x) Sillä on ääretön derivaatta.
Jos toiminto f(x) on derivaatta jokaisessa joukon pisteessä x, sitten johdannainen f"(x) on myös argumentin funktio X, päätetty x.
Derivaatan geometrisen merkityksen selventämiseksi tarvitsemme funktion kaavion tangentin määritelmän tietyssä pisteessä.
Määritelmä 2.Tangentti funktion kuvaajaan y = f(x) pisteessä M MN, kun piste N pyrkii johonkin pisteeseen M käyrää pitkin f(x).
Anna pointin M käyrällä f(x) vastaa argumentin arvoa x0, ja pointti N- argumentin arvo x0 + Δ x(Kuva 4.1). Tangentin määritelmästä seuraa, että sen olemassaolo pisteessä x0 on välttämätöntä, että on olemassa raja, joka on yhtä suuri kuin akselin tangentin kaltevuuskulma Härkä. Kolmiosta MNA seuraa sitä
Jos funktion derivaatta f(x) pisteessä x0 on olemassa, niin saamme (4.1) mukaan
Tästä seuraa selvä johtopäätös, että johdannainen f‘(x0) yhtä suuri kuin kaltevuus (kaltevuuskulman tangentti Ox-akselin positiiviseen suuntaan) tangentti funktion y kuvaajalle = f(x) sisään kohta M(x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus määritetään kaavasta (4.2):
Johdannan fyysinen merkitys
Oletetaan, että funktio l = f(t) kuvaa materiaalin pisteen liikkeen lakia suorassa reittiriippuvuutena l ajasta t. Sitten ero Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - on aikavälillä Δ kuljettu matka t ja suhde Δ l/Δ t- keskinopeus ajan myötä Δ t. Sitten raja 
määrittelee pisteen hetkellinen nopeus tällä hetkellä t polun johdannaisena ajan suhteen.
Tietyssä mielessä funktion johdannainen klo = f(x) voidaan tulkita myös funktion muutosnopeudeksi: mitä suurempi arvo f‘(x), mitä suurempi on käyrän tangentin kaltevuuskulma, sitä jyrkempi kuvaaja on f(x) ja toiminto kasvaa nopeammin.
Oikea ja vasen johdannaiset
Analogisesti funktion yksipuolisten rajojen käsitteiden kanssa esitellään funktion oikean ja vasemman derivaatan käsitteet pisteessä.
Määritelmä 3.Oikea vasen) johdannainen funktio klo = f(x) pisteessä x0 kutsutaan suhteen (4.1) oikeaksi (vasemmaksi) rajaksi Δ x 0, jos tämä raja on olemassa.
Seuraavaa symboliikkaa käytetään merkitsemään yksipuolisia johdannaisia:
Jos toiminto f(x) on pisteessä x0 derivaatta, siinä on vasen ja oikea derivaatta, jotka ovat samat.
Otetaan esimerkki funktiosta, jolla on yksipuolisia derivaattoja pisteessä, jotka eivät ole keskenään samanarvoisia. se f(x) = |x|. Todellakin, pisteessä x = 0 meillä on f'+(0) = 1, f'-(0) = -1 (kuva 4.2) ja f'+(0) ≠f'-(0), ts. funktiolla ei ole derivaattia at X = 0.
Toimintoa funktion derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen; kutsutaan funktiota, jolla on derivaatta pisteessä erottuva.
Yhteys funktion differentiaalisuuden ja jatkuvuuden välillä pisteessä saadaan aikaan seuraavalla lauseella.
LAUSE 1 . Jos funktio on differentioituva pisteessä x 0 , niin se on myös jatkuva siinä pisteessä.
Päinvastoin ei pidä paikkaansa: funktio f(x), joka on jatkuva jossakin pisteessä, ei välttämättä ole derivaatta kyseisessä pisteessä. Tällainen esimerkki on funktio klo = |x|; se on jatkuva pisteessä x= 0, mutta sillä ei ole derivaattia tässä vaiheessa.
Siten vaatimus funktion differentiaatiosta on vahvempi kuin jatkuvuuden vaatimus, koska toinen seuraa automaattisesti ensimmäisestä.
Funktion kaavion tangentin yhtälö tietyssä pisteessä
Kuten kohdassa 3.9 mainittiin, pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M(x0, klo 0) kaltevuudella k on muotoa
Anna toiminnon klo = f(x). Sitten koska sen johdannainen jossain vaiheessa M(x0, klo 0) on tämän funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä M, sitten seuraa, että funktion kaavion tangentin yhtälö f(x) on tässä vaiheessa muodossa
⇐ Edellinen19202122232425262728Seuraava ⇒
y on funktio y = y(x)
C = vakio, vakion derivaatta (y') on 0
y = C => y' = 0
esimerkki: y = 5, y' = 0
Jos y on tyypin y = x n funktio, derivaatan kaava on:
y = x n => y' = nx n-1
esimerkki: y = x 3 y' = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4
Yllä olevasta kaavasta voidaan sanoa, että funktion y = x = x 1 derivaatalle y', että:
jos y = x niin y'=1
y \u003d f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...
Tämä kaava edustaa funktion johdannaista, joka on funktioiden summa.
Esimerkki: Jos meillä on kaksi funktiota f(x) = x 2 + x + 1 ja g(x) = x 5 + 7 ja y = f(x) + g(x), niin y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1
Jos funktio on kahden funktion tulo, derivaattakaava näyttää tältä:
y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)
Jos f(x) = C(C on vakio) ja y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)
y = Cf(x) => y' = C.f"(x)
Kaavat derivaatan laskemiseksi
| y= | y' = |
|
y = ln x => y' = 1/x
y = e x => y' = e x
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tg x => y' = 1 / cos 2 x
y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x
| y = arcsin x | => | y' = |
| y = arccos x | => | y' = |
VASTAUS: meillä on kaksi funktiota h(x) = x 10 ja g(x) = 4,15 + cos x
funktio f(x) on h(x) jaettuna g(x:llä).
Funktioiden differentiaalilaskenta
h "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - sin x \u003d -sin x
Lisää johdannaisista matematiikan foorumin sivuilla
Johdannaisista käsittelevä foorumi
Mikä on johdannainen
Johdannaisen käsite
Derivaata on matemaattisen analyysin tärkein käsite. Se luonnehtii muutosta argumentin funktiossa x jossain vaiheessa. Lisäksi itse derivaatta on argumentin funktio x
Johdannainen funktio pisteessä kutsutaan rajaksi (jos se on olemassa ja on äärellinen) funktion inkrementin ja argumentin lisäyksen suhteen, edellyttäen että jälkimmäinen pyrkii nollaan.
Yleisimmät ovat seuraavat johdannainen merkintä :
Esimerkki 1 Hyödyntää johdannaisen määritelmä, etsi funktion derivaatta
Ratkaisu. Johdannaisen määritelmästä seuraa seuraava kaavio sen laskemiseksi.
Annetaan argumentille inkrementti (delta) ja etsitään funktion inkrementti:
Etsitään funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:
Lasketaan tämän suhteen raja sillä ehdolla, että argumentin inkrementti pyrkii nollaan, eli ongelman ehdossa vaadittavaan derivaatta:
Johdannan fyysinen merkitys
Vastaanottaja johdannaisen käsite johti Galileo Galilein tutkimusta kappaleiden vapaan pudotuksen laista ja laajemmassa mielessä pisteen epätasaisen suoraviivaisen liikkeen hetkellisen nopeuden ongelmasta.
Vapaasti putoavan kappaleen liike on kuitenkin selvästi epätasaista. Nopeus v syksy lisääntyy jatkuvasti. Eikä keskinopeus enää riitä luonnehtimaan kulkunopeutta polun eri osilla. Tämä ominaisuus on mitä tarkempi, sitä lyhyempi aikaväli.
Funktiojohdannainen
Siksi otetaan käyttöön seuraava käsite: suoraviivaisen liikkeen hetkellinen nopeus (tai nopeus tietyllä ajanhetkellä t) kutsutaan keskinopeusrajoitukseksi:
(edellyttäen, että tämä raja on olemassa ja se on rajallinen).
Joten käy ilmi, että hetkellinen nopeus on funktion lisäyksen suhteen raja s(t) argumentin lisäykseen t at Tämä on johdannainen, joka yleensä kirjoitetaan seuraavasti:.
.
Määritetyn ongelman ratkaisu on johdannaisen fyysinen merkitys . Siis funktion derivaatta y=f(x) pisteessä x funktion lisäyksen rajaa (jos se on olemassa ja se on äärellinen) kutsutaan argumentin lisäykselle, jos jälkimmäinen pyrkii nollaan.
Esimerkki 2 Etsi funktion derivaatta
Ratkaisu. Johdannaisen määritelmästä seuraa seuraava kaavio sen laskemiseksi.
Vaihe 1. Kasvatetaan argumenttia ja etsitään
Vaihe 2. Etsi funktion lisäys:
Vaihe 3. Etsi funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde:
Vaihe 4. Laske tämän suhteen rajana , eli derivaatta:
Eikö sinulla ole aikaa syventyä ratkaisuun? Voit tilata työpaikan!
Derivaatan geometrinen merkitys
Jos on olemassa
sitten suora viiva, jossa on kaltevuus
pisteen läpi kulkemista kutsutaan sekantin raja-asemaksi HERRA klo (tai klo).
Tangentti funktion kuvaajalle pisteessä M kutsutaan sekantin raja-asemaksi HERRA, tai, joka on sama kohteelle .
Määritelmästä seuraa, että tangentin olemassaololle riittää, että on olemassa raja
,
lisäksi raja on yhtä suuri kuin akselin tangentin kaltevuuskulma.
Tehdään nyt tangentin tarkka määritelmä.
Tangentti funktion kuvaajaa pisteessä kutsutaan suoraksi, joka kulkee pisteen läpi ja jolla on kaltevuus, ts. suora, jonka yhtälö
Tästä määritelmästä seuraa, että funktion derivaatta yhtä suuri kuin tämän funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä, jossa on abskissa x. Tämä on derivaatan geometrinen merkitys:
missä on x-akselin tangentin kaltevuuskulma, ts. tangentin kaltevuus.
Esimerkki 3 Etsi funktion derivaatta ja tämän derivaatan arvo osoitteessa .
Ratkaisu. Käytetään esimerkissä 1 esitettyä kaaviota.
Rajamerkin alla olevaa lauseketta ei ole määritelty kohdassa (muodon epävarmuus 0/0), joten muunnamme sen poistamalla osoittajan irrationaalisuudesta ja vähentämällä sitten murtolukua:
Etsitään derivaatan arvo osoitteesta:
Sivun yläreunassa
Tee testi johdannaisista, differentiaalista ja niiden sovelluksesta
Koko lohko "Johdannainen"
Tämän johdannon avulla voit:
- ymmärtää yksinkertaisten tehtävien ydin johdannaisen avulla;
- ratkaise nämä hyvin yksinkertaiset tehtävät onnistuneesti;
— valmistaudu vakavampiin oppitunteihin johdannaisesta.
Ensinnäkin miellyttävä yllätys.
Derivaatan tiukka määritelmä perustuu rajojen teoriaan, ja asia on melko monimutkainen. Se on järkyttävää. Mutta johdannaisen käytännön soveltaminen ei yleensä vaadi niin laajaa ja syvää tietoa!
Useimpien tehtävien onnistuneeseen suorittamiseen koulussa ja yliopistossa riittää tieto vain muutama termi- ymmärtää tehtävän ja vain muutama sääntö- ratkaista se. Ja siinä se. Tämä tekee minut onnelliseksi.
Tutustutaanko toisiimme?)
Termit ja nimitykset.
Alkeismatematiikassa on monia matemaattisia operaatioita. Yhteen-, vähennys-, kerto-, eksponentio-, logaritmi- jne. Jos näihin operaatioihin lisätään vielä yksi operaatio, alkeismatematiikka nousee korkeammaksi. Tämä uusi operaatio on ns erilaistuminen. Tämän toiminnon määritelmää ja merkitystä käsitellään erillisillä oppitunneilla.
Tässä on tärkeää ymmärtää, että differentiaatio on vain funktion matemaattinen operaatio. Otamme minkä tahansa funktion ja muutamme sen tiettyjen sääntöjen mukaan. Tuloksena on uusi toiminto. Tätä uutta toimintoa kutsutaan: johdannainen.
Erilaistuminen— toiminta funktioon.
Johdannainen on tämän toiminnan tulos.
Aivan kuten esim. summa on lisäyksen tulos. Tai yksityinen on jakautumisen tulos.
Termit tuntemalla voit ainakin ymmärtää tehtävät.) Sanamuoto on seuraava: löytää funktion derivaatta; ota johdannainen; erottaa toiminnon; laske johdannainen jne. Se on kaikki sama. Tietenkin on monimutkaisempia tehtäviä, joissa derivaatan löytäminen (differentiointi) on vain yksi vaihe tehtävän ratkaisemisessa.
Johdannainen on merkitty viivalla funktion yläpuolella oikeassa yläkulmassa. Kuten tämä: y' tai f"(x) tai S"(t) ja niin edelleen.
lukea y veto, ef veto x:stä, es veto te:stä, no ymmärrät sen...)
Alkuluku voi myös merkitä tietyn funktion derivaatta, esimerkiksi: (2x+3)', (x 3 )’ , (sinx)' jne.
Usein derivaatta merkitään differentiaaleilla, mutta emme käsittele tällaista merkintää tällä oppitunnilla.
Oletetaan, että olemme oppineet ymmärtämään tehtävät. Ei ole enää mitään jäljellä - opetella ratkaisemaan ne.) Muistutan vielä kerran: derivaatan löytäminen on funktion muunnos tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä on yllättävän vähän.
Löytääksesi funktion derivaatan sinun tarvitsee tietää vain kolme asiaa. Kolme pilaria, joilla kaikki erilaistuminen lepää. Tässä on kolme valasta:
1. Johdannaisten taulukko (differentiointikaavat).
2. Erottelusäännöt.
3. Monimutkaisen funktion derivaatta.
Aloitetaan järjestyksessä. Tässä oppitunnissa tarkastelemme johdannaistaulukkoa.
Johdannaistaulukko.
Maailmalla on ääretön määrä toimintoja. Tämän sarjan joukossa on toimintoja, jotka ovat tärkeimpiä käytännön sovelluksen kannalta. Nämä toiminnot ovat kaikkien luonnonlakien mukaisia. Näistä toiminnoista, kuten tiilistä, voit rakentaa kaikki muut. Tätä funktioluokkaa kutsutaan perustoiminnot. Juuri näitä toimintoja tutkitaan koulussa - lineaarinen, neliö, hyperbola jne.
Toimintojen eriyttäminen "tyhjästä", ts. derivaatan määritelmän ja rajojen teorian perusteella - melko aikaa vievä asia. Ja matemaatikotkin ovat ihmisiä, kyllä, kyllä!) Joten he yksinkertaistivat elämäänsä (ja meitä). He laskivat ennen meitä alkeisfunktioiden derivaattoja. Tuloksena on johdannaistaulukko, jossa kaikki on valmiina.)
Tässä se on, tämä levy suosituimpiin toimintoihin. Vasemmalla on perusfunktio, oikealla sen derivaatta.
Suosittelen kiinnittämään huomiota tämän johdannaistaulukon kolmanteen funktioryhmään. Potenssifunktion derivaatta on yksi yleisimmistä kaavoista, ellei yleisin! Onko vihje selkeä?) Kyllä, on toivottavaa tietää johdannaistaulukko ulkoa. Muuten, tämä ei ole niin vaikeaa kuin miltä se saattaa näyttää. Yritä ratkaista lisää esimerkkejä, itse taulukko muistetaan!)
Kuten ymmärrät, derivaatan taulukkoarvon löytäminen ei ole vaikein tehtävä. Siksi tällaisissa tehtävissä on usein lisäsiruja. Joko tehtävän muotoilussa tai alkuperäisessä funktiossa, jota ei näytä olevan taulukossa ...
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:
1. Etsi funktion y = x derivaatta 3
Taulukossa ei ole tällaista toimintoa. Mutta tehofunktiosta on yleinen johdannainen (kolmas ryhmä). Meidän tapauksessamme n=3. Joten korvaamme kolminkertaisen n:n sijaan ja kirjoitamme tuloksen huolellisesti:
(x 3) ' = 3 x 3-1 = 3x 2
Siinä kaikki.
Vastaus: y' = 3x 2
2. Etsi funktion y = sinx derivaatan arvo pisteestä x = 0.
Tämä tehtävä tarkoittaa, että sinun on ensin löydettävä sinin derivaatta ja korvattava sitten arvo x = 0 tähän samaan johdannaiseen. Se on siinä järjestyksessä! Muuten tapahtuu, että ne korvaavat välittömästi nollan alkuperäiseen funktioon ... Meitä pyydetään etsimään ei alkuperäisen funktion arvoa, vaan arvoa sen johdannainen. Haluan muistuttaa, että derivaatta on jo uusi funktio.
Levyltä löydämme sinin ja sitä vastaavan derivaatan:
y' = (sinx)' = cosx
Korvaa derivaatan nolla:
y"(0) = cos 0 = 1
Tämä on vastaus.
3. Erottele toiminto:
Mikä inspiroi?) Johdannaisten taulukossa ei ole edes läheistä tällaista funktiota.
Haluan muistuttaa, että funktion erottaminen on yksinkertaisesti tämän funktion derivaatan löytämistä. Jos unohdat alkeellisen trigonometrian, funktiomme derivaatan löytäminen on melko hankalaa.
Johdannainen, perusmääritelmät ja käsitteet.
Taulukko ei auta...
Mutta jos näemme, että tehtävämme on kaksoiskulman kosini, sitten kaikki paranee heti!
Kyllä kyllä! Muista, että muunnos alkuperäisen toiminnon ennen eroamista ihan hyväksyttävää! Ja se sattuu helpottamaan elämää paljon. Kaksoiskulman kosinin kaavan mukaan:
Nuo. hankala tehtävämme on vain y = cox. Ja tämä on taulukkotoiminto. Saamme heti:
Vastaus: y' = -sin x.
Esimerkki edistyneille valmistuneille ja opiskelijoille:
4. Etsi funktion derivaatta:
Johdannaisessa taulukossa ei tietenkään ole tällaista funktiota. Mutta jos muistat alkeellisen matematiikan, toimintoja, joilla on voimia… Silloin on täysin mahdollista yksinkertaistaa tätä funktiota. Kuten tämä:
Ja x kymmenesosan potenssilla on jo taulukkofunktio! Kolmas ryhmä, n = 1/10. Suoraan kaavan mukaan ja kirjoita:
Siinä kaikki. Tämä on vastaus.
Toivon, että ensimmäisen erotteluvalaan - johdannaistaulukon - kanssa kaikki on selvää. Jäljelle jää kahden jäljellä olevan valaan käsittely. Seuraavalla oppitunnilla opimme eriyttämisen säännöt.
Seuraava sivu: Kuinka löytää johdannainen? Erottamisen säännöt. >>>>
Aihe. Johdannainen. Derivaatan geometrinen ja mekaaninen merkitys
Jos tämä raja on olemassa, funktion sanotaan olevan differentioituva jossakin pisteessä. Funktion derivaatta merkitään (kaava 2).
- Derivaatan geometrinen merkitys. Harkitse funktiokaaviota. Kuvasta 1 voidaan nähdä, että kaava 3) voidaan kirjoittaa kahdelle funktion kaavion pisteelle A ja B. Siinä - sekantin AB kaltevuuskulma.
Siten erosuhde on yhtä suuri kuin sekantin kaltevuus. Jos kiinnitämme pisteen A ja siirrämme pistettä B sitä kohti, niin se pienenee loputtomasti ja lähestyy arvoa 0, ja sekantti AB lähestyy tangenttia AC. Siksi erosuhteen raja on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus pisteessä A. Tästä seuraa johtopäätös.
Funktion derivaatta pisteessä on kyseisen funktion kaavion tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä. Tämä on derivaatan geometrinen merkitys.
- Tangenttiyhtälö . Johdetaan funktion kaavion tangentin yhtälö pisteessä. Yleisessä tapauksessa suoran ja kaltevuuden yhtälö on muotoa: . Löytääksemme b, käytämme sitä tosiasiaa, että tangentti kulkee pisteen A kautta: . Tämä tarkoittaa: . Kun tämä lauseke korvataan b:llä, saadaan tangenttiyhtälö (kaava 4).
