On tarpeen löytää x:n numeeriset arvot, joissa useat rationaaliset epäyhtälöt muuttuvat samanaikaisesti todellisiksi numeerisiksi epäyhtälöiksi. Tällaisissa tapauksissa sanomme, että meidän on ratkaistava rationaalinen epäyhtälöjärjestelmä yhdellä tuntemattomalla x:llä.

Rationaalisten epätasa-arvojen järjestelmän ratkaisemiseksi on löydettävä kaikki ratkaisut jokaiseen järjestelmän eriarvoisuuteen. Silloin kaikkien löydettyjen ratkaisujen yhteinen osa on järjestelmän ratkaisu.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

(x -1) (x - 5) (x - 7)< 0,

Ensin ratkaistaan ​​eriarvoisuus

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Intervallimenetelmää (kuva 1) soveltamalla havaitaan, että epäyhtälön (2) ratkaisujen joukko koostuu kahdesta intervallista: (-, 1) ja (5, 7).

Kuva 1

Nyt ratkaistaan ​​eriarvoisuus

Intervallimenetelmällä (kuva 2) havaitaan, että epäyhtälön (3) kaikkien ratkaisujen joukko koostuu myös kahdesta intervallista: (2, 3) ja (4, +).

Nyt on löydettävä epäyhtälöiden (2) ja (3) ratkaisun yhteinen osa. Piirretään koordinaattiakseli x ja merkitään siihen löydetyt ratkaisut. Nyt on selvää, että epäyhtälöiden (2) ja (3) ratkaisemisen yhteinen osa on väli (5, 7) (kuva 3).

Tästä johtuen epäyhtälöjärjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko on väli (5, 7).

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

x2 - 6x + 10< 0,

Ratkaistaan ​​ensin epätasa-arvo

x 2 - 6x + 10< 0.

Täysi neliömenetelmää käyttämällä voimme kirjoittaa sen

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Siksi epäyhtälö (2) voidaan kirjoittaa muodossa

(x - 3) 2 + 1< 0,

mikä osoittaa, ettei siihen ole ratkaisua.

Nyt et voi ratkaista eriarvoisuutta

koska vastaus on jo selvä: järjestelmällä (1) ei ole ratkaisua.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

Harkitse ensin ensimmäistä epäyhtälöä; meillä on

1 < 0, < 0.

Käytämme merkkikäyrää ratkaisuja tähän epäyhtälöön: x< -2; 0 < x < 2.

Ratkaiskaamme nyt annetun järjestelmän toinen epäyhtälö. Meillä on x 2-64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Merkittyämme ensimmäisen ja toisen epäyhtälön löydetyt ratkaisut yhteiselle reaaliviivalle (kuva 6), löydämme sellaiset välit, joissa nämä ratkaisut ovat samat (ratkaisusuppressio): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

Muutamme järjestelmän ensimmäisen epätasa-arvon:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0 tai x (x - 10) (x + 10) 0

(koska parittomien potenssien tekijät voidaan korvata vastaavilla ensimmäisen asteen tekijöillä); intervallimenetelmällä löydämme ratkaisut viimeiselle epäyhtälölle: -10 x 0, x 10.

Harkitse järjestelmän toista epätasa-arvoa; meillä on

Löydämme (kuva 8) x -9; 3< x < 15.

Yhdistämällä löydetyt ratkaisut saadaan (kuva 9) x 0; x > 3.

Esimerkki: Etsi kokonaislukuratkaisut epäyhtälöjärjestelmälle:

x + y< 2,5,

Ratkaisu: Tuodaan järjestelmä muotoon

Kun lisätään ensimmäinen ja toinen epäyhtälö, saadaan y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

mistä -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Välitysmenetelmä- Tämä on universaali tapa ratkaista melkein kaikki koulualgebran kurssilla esiintyvät epätasa-arvot. Se perustuu seuraaviin funktioiden ominaisuuksiin:

1. Jatkuva funktio g(x) voi muuttaa etumerkkiä vain siinä kohdassa, jossa se on yhtä kuin 0. Graafisesti tämä tarkoittaa, että jatkuvan funktion kuvaaja voi siirtyä puolitasolta toiselle vain, jos se ylittää x- akseli (muistamme, että minkä tahansa OX-akselilla (abskissa-akseli) olevan pisteen ordinaatit ovat yhtä kuin nolla, eli funktion arvo tässä pisteessä on 0):

Näemme, että kaaviossa esitetty funktio y=g(x) ylittää OX-akselin pisteissä x= -8, x=-2, x=4, x=8. Näitä pisteitä kutsutaan funktion nolliksi. Ja samoissa kohdissa funktio g(x) muuttaa etumerkkiä.

2. Funktio voi myös muuttaa etumerkkiä nimittäjän nollien kohdalla - yksinkertaisin esimerkki tunnetusta funktiosta:

Näemme, että funktio vaihtaa etumerkkiä nimittäjän juuressa, pisteessä, mutta ei katoa missään vaiheessa. Siten, jos funktio sisältää murtoluvun, se voi muuttaa etumerkkiä nimittäjän juurissa.

2. Funktio ei kuitenkaan aina vaihda etumerkkiä osoittajan tai nimittäjän juuressa. Esimerkiksi funktio y=x 2 ei muuta etumerkkiä pisteessä x=0:

Koska yhtälöllä x 2 \u003d 0 on kaksi yhtä suurta juurta x \u003d 0, pisteessä x \u003d 0 funktio muuttuu ikään kuin kahdesti arvoksi 0. Tällaista juuria kutsutaan toisen kerrannaismäärän juureksi.

Toiminto muuttaa etumerkkiä osoittajan nollassa, mutta ei muuta etumerkkiä nimittäjän nollassa: , koska juuri on toisen kerrannaismäärän juuri, eli parillisen monikertaisuuden juuri:

Tärkeä! Parillisen monikertaisuuden juurissa funktio ei vaihda etumerkkiä.

Huomautus! Minkä tahansa epälineaarinen algebran koulukurssin epäyhtälö ratkaistaan ​​pääsääntöisesti intervallimenetelmällä.

Tarjoan sinulle yksityiskohtaisen, jota seuraamalla voit välttää virheitä milloin epälineaaristen epäyhtälöiden ratkaiseminen.

1. Ensin sinun täytyy tuoda epätasa-arvo muotoon

P(x)V0,

missä V on epätasa-arvomerkki:<,>,≤ tai ≥. Tätä varten tarvitset:

a) siirrä kaikki termit epäyhtälön vasemmalle puolelle,

b) etsi tuloksena olevan lausekkeen juuret,

c) kertoi epäyhtälön vasen puoli

d) kirjoita samat tekijät kuin tutkinto.

Huomio! Viimeinen toimenpide on suoritettava, jotta ei tehdä virhettä juurien moninkertaisuuden kanssa - jos tuloksena on kerroin parillisessa asteessa, niin vastaavalla juurella on parillinen monikerta.

2. Laita löydetyt juuret numeroriville.

3. Jos epäyhtälö on tiukka, niin numeerisen akselin juuria osoittavat ympyrät jätetään "tyhjiksi", jos epäyhtälö ei ole tiukka, niin ympyrät maalataan päälle.

4. Valitsemme parillisen moninkertaisuuden juuret - niistä P(x) merkki ei muutu.

5. Määritä merkki P(x) raon oikealla puolella. Tee tämä ottamalla mielivaltainen arvo x 0, joka on suurempi kuin suurin juuri, ja korvaa se in P(x).

Jos P(x 0)>0 (tai ≥0), niin oikeanpuoleiseen väliin laitetaan "+"-merkki.

Jos P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Kun kuljetaan pisteen läpi, joka merkitsee parillisen monikertaisuuden juuria, etumerkki EI muutu.

7. Katsomme jälleen alkuperäisen epäyhtälön etumerkkiä ja valitsemme tarvitsemamme merkin välit.

8. Huomio! Jos epäyhtälömme EI OLE tiukka, niin tarkastamme tasa-arvon ehdon nollaan erikseen.

9. Kirjoita vastaus muistiin.

Jos alkuperäinen epäyhtälön nimittäjässä on tuntematon, sitten siirrämme myös kaikki termit vasemmalle ja vähennämme epäyhtälön vasen puoli muotoon

(missä V on epätasa-arvomerkki:< или >)

Tällainen tiukka eriarvoisuus vastaa epätasa-arvoa

EI tiukka muodon epätasa-arvo

on sama kuin järjestelmä:

Käytännössä, jos funktiolla on muoto , toimitaan seuraavasti:

1. Etsi osoittajan ja nimittäjän juuret.
2. Laitamme ne akselille. Kaikki piirit jätetään tyhjiksi. Sitten, jos epäyhtälö ei ole tiukka, maalataan osoittajan juuret päälle ja nimittäjän juuret jätetään aina tyhjiksi.
3. Seuraavaksi noudatamme yleistä algoritmia:
4. Valitsemme parillisen monikertaisuuden juuret (jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat juuret, niin lasketaan kuinka monta kertaa samat juuret esiintyvät). Parillisen moninkertaisuuden juurissa ei tapahdu merkkimuutosta.
5. Löydämme oikeanpuoleisimman välin merkin.
6. Laitoimme kylttejä.
7. Epätasa-arvoisen epätasa-arvon tapauksessa tasa-arvon ehto, tasa-arvon ehto nollaan, tarkistetaan erikseen.
8. Valitsemme tarvittavat välit ja erikseen seisovat juuret.
9. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ymmärtääkseen paremmin algoritmi epäyhtälöiden ratkaisemiseksi intervallimenetelmällä, katso VIDEO Oppitunti, jossa esimerkkiä analysoidaan yksityiskohtaisesti epäyhtälön ratkaisu intervallimenetelmällä.

Jatkamme analysointitapoja ratkaista epäyhtälöt, joiden koostumuksessa on yksi muuttuja. Olemme jo tutkineet lineaarista ja neliöllistä epäyhtälöä, jotka ovat rationaalisten epäyhtälöiden erikoistapauksia. Tässä artikkelissa selvennämme, minkä tyyppiset epäyhtälöt ovat rationaalisia, kerromme sinulle, mihin tyyppeihin ne on jaettu (kokonaisluku ja murtoluku). Sen jälkeen näytämme kuinka ratkaista ne oikein, annamme tarvittavat algoritmit ja analysoimme tiettyjä ongelmia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationaalisen tasa-arvon käsite

Kun eriarvoisuuksien ratkaisemisen aihetta opiskellaan koulussa, rationaaliset eriarvoisuudet otetaan heti mukaan. He hankkivat ja hiovat taitojaan työskennellä tämäntyyppisten ilmaisujen kanssa. Muotoilkaamme tämän käsitteen määritelmä:

Määritelmä 1

Rationaalinen epäyhtälö on muuttujien epäyhtälö, joka sisältää rationaalisia lausekkeita molemmissa osissa.

Huomaa, että määritelmä ei vaikuta muuttujien määrään millään tavalla, mikä tarkoittaa, että niitä voi olla mielivaltaisen paljon. Siksi rationaaliset epäyhtälöt 1, 2, 3 tai useammalla muuttujalla ovat mahdollisia. Useimmiten joudutaan käsittelemään lausekkeita, joissa on vain yksi, harvemmin kaksi muuttujaa, ja epäyhtälöjä, joissa on suuri määrä muuttujia, ei yleensä huomioida koulukurssin puitteissa ollenkaan.

Näin ollen voimme oppia rationaalisen eriarvoisuuden tarkastelemalla sen merkintää. Sekä oikealla että vasemmalla puolella tulee olla rationaalisia lausekkeita. Tässä on joitain esimerkkejä:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Ja tässä on epäyhtälö muotoa 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Kaikki rationaaliset epäyhtälöt jaetaan kokonaislukuihin ja murtolukuihin.

Määritelmä 2

Kokonaislukuinen rationaalinen yhtälö koostuu kokonaislukujen rationaalisista lausekkeista (molemmissa osissa).

Määritelmä 3

Murto-rationaalinen tasa-arvo- tämä on yhtälö, joka sisältää murtolausekkeen yhdessä tai molemmissa osissaan.

Esimerkiksi muotoa 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ja 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 olevat epäyhtälöt ovat murto-rationaalinen ja 0,5 x ≤ 3 (2–5 v) ja 1: x + 3 > 0-kokonainen.

Olemme analysoineet, mitä rationaaliset epätasa-arvot ovat ja tunnistaneet niiden päätyypit. Voimme siirtyä yleiskatsaukseen siitä, kuinka ne ratkaistaan.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisuja kokonaislukujen rationaaliseen epätasa-arvoon r(x)< s (x) , joka sisältää vain yhden muuttujan x . Jossa r(x) ja s(x) ovat mitä tahansa kokonaislukuja rationaalisia lukuja tai lausekkeita, ja epäyhtälömerkki voi olla erilainen. Tämän tehtävän ratkaisemiseksi meidän on muutettava se ja saatava vastaava tasa-arvo.

Aloitetaan siirtämällä lauseke oikealta puolelta vasemmalle. Saamme seuraavat:

muotoa r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Tiedämme sen r(x) − s(x) on kokonaislukuarvo, ja mikä tahansa kokonaislukulauseke voidaan muuntaa polynomiksi. Muutetaan r(x) − s(x) kohdassa h(x) . Tämä lauseke on identtinen yhtä suuri polynomi. Ottaen huomioon, että r (x) − s (x) ja h (x) omaavat samat mahdolliset x:n arvot, voimme siirtyä epäyhtälöihin h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , joka vastaa alkuperäistä.

Usein tällainen yksinkertainen muunnos riittää ratkaisemaan epäyhtälön, koska tuloksena voi olla lineaarinen tai neliöllinen epäyhtälö, jonka arvoa ei ole vaikea laskea. Katsotaanpa näitä asioita.

Esimerkki 1

Kunto: ratkaise kokonaisluvun rationaalinen epäyhtälö x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Päätös

Aloitetaan siirtämällä lauseke oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 - 1 ≤ 0

Nyt kun olemme suorittaneet kaikki operaatiot polynomeilla vasemmalla, voimme siirtyä lineaariseen epäyhtälöön 3 x − 2 ≤ 0, joka vastaa ehdossa annettua. Sen ratkaiseminen on helppoa:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Vastaus: x ≤ 2 3 .

Esimerkki 2

Kunto: löytää ratkaisu eriarvoisuuteen (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Päätös

Siirrämme lausekkeen vasemmalta puolelta oikealle ja suoritamme lisämuunnoksia käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja.

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Muutostemme tuloksena saimme epäyhtälön, joka on totta kaikille x:n arvoille, joten mikä tahansa reaaliluku voi olla ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön.

Vastaus: mikä tahansa todellinen luku.

Esimerkki 3

Kunto: ratkaise eriarvoisuutta x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.

Päätös

Emme siirrä mitään oikealta puolelta, koska siellä on 0 . Aloitetaan heti muuntamalla vasen puoli polynomiksi:

x + 6 + 2 x 3 - 2 x 3 - 2 x 2 + 10 x > 0 - 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Olemme johtaneet alkuperäistä vastaavan neliöllisen epäyhtälön, joka voidaan helposti ratkaista useilla menetelmillä. Käytetään graafista menetelmää.

Aloitetaan laskemalla neliötrinomin juuret − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d, - 2, u003d 6

Nyt kaavioon merkitsemme kaikki tarvittavat nollat. Koska johtava kerroin on pienempi kuin nolla, kaavion paraabelin haarat näyttävät alaspäin.

Tarvitsemme paraabelialueen, joka sijaitsee abskissa-akselin yläpuolella, koska epäyhtälössä on >-merkki. Haluttu väli on (− 0 , 5 , 6) Siksi tämä arvoalue on tarvitsemamme ratkaisu.

Vastaus: (− 0 , 5 , 6) .

On myös monimutkaisempia tapauksia, joissa vasemmalla saadaan kolmannen tai korkeamman asteen polynomi. Tällaisen epäyhtälön ratkaisemiseksi on suositeltavaa käyttää intervallimenetelmää. Ensin lasketaan kaikki polynomin juuret h(x), mikä tehdään useimmiten ottamalla huomioon polynomi.

Esimerkki 4

Kunto: laskea (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Päätös

Aloitetaan, kuten aina, siirtämällä lauseke vasemmalle puolelle, jonka jälkeen on tarpeen avata sulut ja vähentää vastaavia termejä.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Muutosten tuloksena saimme alkuperäistä vastaavan yhtälön, jonka vasemmalla puolella on kolmannen asteen polynomi. Käytämme intervallimenetelmää sen ratkaisemiseen.

Ensin lasketaan polynomin juuret, jolle meidän on ratkaistava kuutioyhtälö x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Onko sillä rationaaliset juuret? Ne voivat olla vain vapaan termin jakajien joukossa, ts. numeroiden joukossa ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Korvaamme ne vuorotellen alkuperäiseen yhtälöön ja selvitämme, että luvut 1, 2 ja 3 ovat sen juuria.

Siis polynomi x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 voidaan kuvata tuotteeksi (x - 1) (x - 2) (x - 3) ja eriarvoisuutta x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6< 0 voidaan esittää muodossa (x - 1) (x - 2) (x - 3)< 0 . Tällaisella epäyhtälöllä meidän on sitten helpompi määrittää merkit intervalleista.

Seuraavaksi suoritetaan intervallimenetelmän loput vaiheet: piirretään numeroviiva ja pisteet sille koordinaatilla 1 , 2 , 3 . Ne jakavat suoran 4 väliin, joissa on tarpeen määrittää merkit. Varjostamme aukot miinuksella, koska alkuperäisellä epäyhtälöllä on etumerkki < .

Tarvitsemme vain valmiin vastauksen: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

Vastaus: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Joissakin tapauksissa suorita siirtymä epäyhtälöstä r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) - h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , missä h(x)– polynomi, joka on suurempi kuin 2, ei ole sopiva. Tämä ulottuu tapauksiin, joissa on helpompi esittää r(x) − s(x) lineaaristen binomien ja neliötrinomien tulona kuin kertoa h(x) erillisiksi tekijöiksi. Katsotaanpa tätä ongelmaa.

Esimerkki 5

Kunto: löytää ratkaisu eriarvoisuuteen (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).

Päätös

Tämä epäyhtälö koskee kokonaislukuja. Jos siirrämme lauseketta oikealta puolelta vasemmalle, avaamme sulut ja suoritamme termien pelkistyksen, saamme x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Sellaisen epäyhtälön ratkaiseminen ei ole helppoa, koska täytyy etsiä neljännen asteen polynomin juuria. Sillä ei ole rationaalista juuria (esimerkiksi 1 , − 1 , 19 tai − 19 eivät sovi), ja muita juuria on vaikea etsiä. Emme siis voi käyttää tätä menetelmää.

Mutta on myös muita ratkaisuja. Jos siirrämme lausekkeet alkuperäisen epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, voimme suorittaa yhteisen tekijän hakasulkeuksen x 2 - 2 x - 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Olemme saaneet alkuperäistä vastaavan epäyhtälön, ja sen ratkaisu antaa meille vaaditun vastauksen. Etsi vasemmalta puolelta lausekkeen nollat, joille ratkaisemme toisen asteen yhtälöt x 2 − 2 x − 1 = 0 ja x 2 − 2 x − 19 = 0. Niiden juuret ovat 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Siirrytään yhtälöön x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , joka voidaan ratkaista intervallimenetelmällä:

Kuvan mukaan vastaus on -∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Vastaus: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Lisätään, että joskus ei ole mahdollista löytää kaikkia polynomin juuria h(x), siksi emme voi esittää sitä lineaaristen binomien ja neliötrinomien tulona. Ratkaise sitten epäyhtälö muotoa h (x)< 0 (≤ , >, ≥) emme voi, siksi on myös mahdotonta ratkaista alkuperäistä rationaalista epäyhtälöä.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava murto-osan rationaaliset epäyhtälöt muotoa r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , missä r (x) ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita, x on muuttuja. Ainakin yksi määritetyistä lausekkeista on murtoluku. Ratkaisualgoritmi tässä tapauksessa on seuraava:

1. Määritämme muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueen.
2. Siirretään lauseke epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle ja tuloksena oleva lauseke r(x) − s(x) edustettuna murtolukuna. Sillä välin missä p(x) ja q(x) ovat kokonaislukulausekkeita, jotka ovat lineaaristen binomien, hajoamattomien neliötrinomien tuloja sekä potenssien, joilla on luonnollinen eksponentti.
3. Seuraavaksi ratkaistaan ​​tuloksena oleva epäyhtälö intervallimenetelmällä.
4. Viimeinen vaihe on jättää ratkaisun aikana saadut pisteet pois x-muuttujan hyväksyttävien arvojen alueelta, jonka määritimme alussa.

Tämä on algoritmi murto-rationaalisen epäyhtälön ratkaisemiseksi. Suurin osa siitä on selvää, pieniä selityksiä tarvitaan vain kohtaan 2. Siirsimme lauseketta oikealta puolelta vasemmalle ja saimme r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , ja kuinka se sitten saatetaan muotoon p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Ensin määritetään, voidaanko tietty muunnos aina suorittaa. Teoreettisesti tällainen mahdollisuus on aina olemassa, koska mikä tahansa rationaalinen lauseke voidaan muuntaa rationaaliseksi murtoluvuksi. Tässä on murto-osa, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja. Muistetaan algebran peruslause ja Bezoutin lause ja määritetään, että mikä tahansa n:nnen asteen polynomi, joka sisältää yhden muuttujan, voidaan muuntaa lineaaristen binomien tuloksi. Siksi teoriassa voimme aina muuttaa lausekkeen tällä tavalla.

Käytännössä polynomien faktorointi on usein melko vaikea tehtävä, varsinkin jos aste on korkeampi kuin 4. Jos emme pysty suorittamaan laajennusta, emme pysty ratkaisemaan tätä epätasa-arvoa, mutta tällaisia ​​​​ongelmia ei yleensä tutkita koulukurssin puitteissa.

Seuraavaksi meidän on päätettävä, onko tuloksena oleva epäyhtälö p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalentti suhteessa r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ja alkuperäiseen. On mahdollista, että se voi osoittautua epätasaiseksi.

Epätasa-arvon vastaavuus varmistetaan, kun hyväksyttävien arvojen alue p(x)q(x) vastaa lausekkeen aluetta r(x) − s(x). Tällöin ei tarvitse noudattaa murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisuohjeiden viimeistä kappaletta.

Mutta vaihteluväli p(x)q(x) voi olla leveämpi kuin r(x) − s(x) esimerkiksi vähentämällä murtolukuja. Esimerkki olisi siirtyminen arvosta x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 arvoon x x - 1 x + 3 . Tai tämä voi tapahtua, kun lisäät samanlaisia ​​termejä, esimerkiksi täällä:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 - 1 x + 3

Tällaisissa tapauksissa algoritmin viimeinen vaihe lisätään. Suorittamalla sen pääset eroon muuttujan ylimääräisistä arvoista, jotka syntyvät kelvollisten arvojen alueen laajentumisen vuoksi. Otetaan muutama esimerkki selventääksemme, mistä puhumme.

Esimerkki 6

Kunto: löytää ratkaisuja rationaaliseen yhtälöön x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Päätös

Toimimme yllä olevan algoritmin mukaisesti. Ensin määritämme hyväksyttävien arvojen alueen. Tässä tapauksessa sen määrää epäyhtälöjärjestelmä x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , jonka ratkaisu on joukko (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Sen jälkeen meidän on muutettava se niin, että on kätevää käyttää intervallimenetelmää. Ensinnäkin tuomme algebralliset murtoluvut alimpaan yhteiseen nimittäjään (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Puristamme osoittajan lausekkeen soveltamalla summan neliön kaavaa:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Tuloksena olevan lausekkeen kelvollisten arvojen alue on (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Näemme, että se on samanlainen kuin se, joka määriteltiin alkuperäiselle tasa-arvolle. Päättelemme, että epäyhtälö x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, mikä tarkoittaa, että emme tarvitse algoritmin viimeistä vaihetta.

Käytämme intervallimenetelmää:

Näemme ratkaisun ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) , joka on ratkaisu alkuperäiseen rationaaliseen epäyhtälöön x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Vastaus: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Esimerkki 7

Kunto: laske ratkaisu x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Päätös

Määritämme sallittujen arvojen alueen. Tämän epäyhtälön tapauksessa se on yhtä suuri kuin kaikki reaaliluvut paitsi −2 , −1 , 0 ja 1 .

Siirrämme lausekkeet oikealta puolelta vasemmalle:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Tuloksen perusteella kirjoitamme:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Lausekkeelle - 1 x - 1 kelvollisten arvojen alue on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi yhtä. Näemme, että arvoalue on laajentunut: − 2 , − 1 ja 0 . Joten meidän on suoritettava algoritmin viimeinen vaihe.

Koska olemme tulleet epäyhtälöön -1 x -1 > 0, voimme kirjoittaa sen ekvivalentin 1 x -1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Suljemme pois pisteet, jotka eivät sisälly alkuperäisen yhtäläisyyden hyväksyttävien arvojen alueelle. Meidän on jätettävä pois (− ∞ , 1) luvut − 2 , − 1 ja 0 . Siten rationaalisen epäyhtälön x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ratkaisu on arvot (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Vastaus: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Lopuksi annamme vielä yhden esimerkin ongelmasta, jossa lopullinen vastaus riippuu sallittujen arvojen vaihteluvälistä.

Esimerkki 8

Kunto: etsi ratkaisu epäyhtälölle 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Päätös

Ehdossa määritellyn epäyhtälön sallittujen arvojen pinta-ala määräytyy järjestelmällä x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja, koska

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Tämä tarkoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ei ole ratkaisua, koska muuttujalla ei ole sellaisia ​​arvoja, joille se käydä järkeen.

Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

>>Matematiikka: Rationaaliset eriarvoisuudet

Rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x on muodon epäyhtälö - rationaaliset lausekkeet, ts. algebralliset lausekkeet, jotka koostuvat luvuista ja muuttujasta x käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja nostotoimintoja luonnolliseen potenssiin. Tietenkin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa muulla kirjaimella, mutta matematiikassa x-kirjain on useimmiten parempi.

Rationaalisia epäyhtälöitä ratkaistaessa käytetään kolmea sääntöä, jotka on muotoiltu edellä kohdassa 1. Näiden sääntöjen avulla tietty rationaalinen epäyhtälö muunnetaan yleensä muotoon / (x) > 0, missä / (x) on algebrallinen murto-osa (tai polynomi). Jaa seuraavaksi murto-osan f (x) osoittaja ja nimittäjä muotoa x - a oleviksi tekijöiksi (jos tämä tietysti on mahdollista) ja käytä intervallimenetelmää, jonka jo mainitsimme yllä (katso esimerkki 3 edellisestä). kohta).

Esimerkki 1 Ratkaise epäyhtälö (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Päätös. Tarkastellaan lauseketta f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Se muuttuu 0:ksi kohdissa 1,-1,2; merkitse nämä kohdat numeroviivalle. Numeroviiva on jaettu osoitetuilla pisteillä neljään väliin (kuva 6), joista jokaisessa lauseke f (x) säilyttää vakiomerkin. Tämän tarkistamiseksi suoritamme neljä argumenttia (jokaiselle näille intervalleille erikseen).

Ota mikä tahansa piste x väliltä (2, Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 oikealla puolella, pisteen 1 oikealla puolella ja pisteen 2 oikealla puolella. Tämä tarkoittaa, että x > -1, x > 1, x > 2 (kuva 7). Mutta sitten x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 ja siten f (x)> 0 (kolmen positiivisen rationaalisen epäyhtälön tulona lukuja). Eli epäyhtälö f (x ) > 0.

Ota mikä tahansa piste x väliltä (1,2). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen 1 oikealla puolella, pisteen 1 oikealla puolella, mutta pisteen 2 vasemmalla puolella. Näin ollen x\u003e -1, x\u003e 1, mutta x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ota mikä tahansa piste x väliltä (-1,1). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 oikealla puolella, pisteen 1 vasemmalla ja pisteen 2 vasemmalla puolella. Joten x > -1, mutta x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (kahden negatiivisen ja yhden positiivisen luvun tulona). Joten välillä (-1,1) epäyhtälö f (x)> 0 pätee.

Ota lopuksi mikä tahansa piste x avoimesta säteestä (-oo, -1). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 vasemmalla puolella, pisteen 1 vasemmalla puolella ja pisteen 2 vasemmalla puolella. Tämä tarkoittaa, että x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Tehdään yhteenveto. Lausekkeen f (x) etumerkit valituilla aikaväleillä ovat kuvan 1 mukaiset. 11. Olemme kiinnostuneita niistä, joissa epäyhtälö f (x) > 0 toteutuu. 11, toteamme, että epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy välillä (-1, 1) tai avoimella säteellä
Vastaus: -1 < х < 1; х > 2.

Esimerkki 2 Ratkaise epätasa-arvo
Päätös. Kuten edellisessä esimerkissä, otamme tarvittavat tiedot kuvasta. 11, mutta kahdella muutoksella verrattuna esimerkkiin 1. Ensinnäkin, koska olemme kiinnostuneita siitä, mitkä x:n arvot täyttävät epäyhtälön f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Toiseksi olemme tyytyväisiä myös niihin pisteisiin, joissa yhtälö f (x) = 0. Nämä ovat pisteet -1, 1, 2, ne merkitään kuvioon tummilla ympyröillä ja sisällytetään vastaukseen. Kuvassa Kuvassa 12 on esitetty geometrinen malli vasteesta, josta ei ole vaikea siirtyä analyyttiseen tietueeseen.
Vastaus:
ESIMERKKI 3. Ratkaise epätasa-arvo
Päätös. Otetaan tekijöihin epäyhtälön vasemmalla puolella olevan algebrallisen murtoluvun fx osoittaja ja nimittäjä. Osoittimessa on x 2 - x \u003d x (x - 1).

Murtoluvun nimittäjään sisältyvän neliötrinomin x 2 - bx ~ 6 kertoimella löydämme sen juuret. Yhtälöstä x 2 - 5x - 6 \u003d 0 löydämme x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. (käytimme kaavaa neliötrinomin laskemiseen: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Näin ollen olemme muuntaneet annetun epäyhtälön muotoon

Harkitse ilmaisua:

Tämän murtoluvun osoittaja muuttuu 0:ksi pisteissä 0 ja 1 ja muuttuu 0:ksi pisteissä -1 ja 6. Merkitään nämä pisteet numeroviivalle (kuva 13). Numeerinen suora jaetaan annetuilla pisteillä viiteen intervalliin, ja jokaisella välillä lauseke fx) säilyttää vakiomerkin. Väittelemällä samalla tavalla kuin esimerkissä 1, tulemme siihen tulokseen, että lausekkeen fx) etumerkit valituilla aikaväleillä ovat kuvan 1 mukaiset. 13. Meitä kiinnostaa missä epäyhtälö f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 vastausta: -1

Esimerkki 4 Ratkaise epätasa-arvo

Päätös. Rationaalisia epäyhtälöitä ratkottaessa halutaan yleensä jättää epäyhtälön oikealle puolelle vain luku 0. Siksi epäyhtälö muunnetaan muotoon

Edelleen:

Kokemus osoittaa, että jos epäyhtälön oikealla puolella on vain luku 0, on helpompi järkeillä, kun sekä osoittajalla että nimittäjällä sen vasemmalla puolella on positiivinen alkukerroin. Ja mitä meillä on? Meillä on kaikki murto-osan nimittäjä tässä mielessä järjestyksessä (johtava kerroin eli kerroin kohdassa x 2, on 6 - positiivinen luku), mutta kaikki ei ole järjestyksessä osoittajassa - vanhempi kerroin (kerroin kohdassa x) on - 4 (negatiivinen luku) Kertomalla epäyhtälön molemmat puolet -1:llä ja muuttamalla epätasa-arvon merkki päinvastaiseksi, saadaan ekvivalentti epäyhtälö

Otetaan tekijöihin algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Osoittimessa kaikki on yksinkertaista:
Murtoluvun nimittäjään sisältyvän neliön trinomin kertominen

(käytimme jälleen kaavaa neliötrinomin laskemiseen).
Näin ollen olemme vähentäneet annetun epäyhtälön muotoon

Harkitse ilmaisua

Tämän murtoluvun osoittaja muuttuu pisteessä 0:ksi ja pisteissä nimittäjä. Merkitsemme nämä pisteet numeroviivalle (kuva 14), joka jaetaan annetuilla pisteillä neljään väliin ja jokaisella välillä lauseke f (x) säilyttää vakiomerkin (nämä merkit on esitetty kuvassa 14). Olemme kiinnostuneita niistä intervalleista, joilla epäyhtälö fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä muunnosimme annetun epäyhtälön ekvivalentiksi epäyhtälöksi muotoa f (x) > 0 tai f (x)<0,где
Tässä tapauksessa tekijöiden lukumäärä murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä voi olla mikä tahansa. Sitten numeroviivalle merkittiin pisteet a, b, c, e. ja määritti lausekkeen f (x) etumerkit valituilla aikaväleillä. Huomasimme, että valittujen intervallien oikealla puolella epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy, jolloin lausekkeen f (x) merkit vuorottelevat intervalleilla (ks. kuva 16a). Tämä vuorottelu on havainnollistettu kätevästi aaltoilevan käyrän avulla, joka piirretään oikealta vasemmalle ja ylhäältä alas (kuva 166). Niillä aikaväleillä, joissa tämä käyrä (jota kutsutaan joskus merkkikäyräksi) sijaitsee x-akselin yläpuolella, epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy; missä tämä käyrä sijaitsee x-akselin alapuolella, epäyhtälö f (x)< 0.

Esimerkki 5 Ratkaise epätasa-arvo

Päätös. Meillä on

(molemmat edellisen epätasa-arvon osat kerrottiin 6:lla).
Käytä intervallimenetelmää merkitsemällä pisteet numeroviivalle (näissä pisteissä epäyhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja häviää) ja pisteet (näissä pisteissä osoitetun murtoluvun nimittäjä häviää). Yleensä pisteet merkitään kaavamaisesti ottaen huomioon niiden seuraamisjärjestyksen (kumpi oikealle, kumpi vasemmalle) eikä mittakaavaan erityisesti kiinnitetä huomiota. Se on selvää Luvuilla tilanne on monimutkaisempi.Ensimmäinen arvio osoittaa, että molemmat luvut ovat hieman suurempia kuin 2,6, josta on mahdotonta päätellä kumpi annetuista luvuista on suurempi ja mikä pienempi. Oletetaan (satunnaisesti), että Sitten
Se osoittautui oikeaksi epätasa-arvoksi, mikä tarkoittaa, että arvauksemme vahvistettiin: itse asiassa
Niin,

Merkitsemme ilmoitetut 5 pistettä ilmoitetussa järjestyksessä numeroriville (kuva 17a). Järjestä ilmaisun merkit
saaduilla aikaväleillä: aivan oikealla - merkki + ja sitten merkit vuorottelevat (kuva 176). Piirretään merkkikäyrä ja valitaan (varjostuksella) ne intervallit, joilla meitä kiinnostava epäyhtälö f(x) > 0 täyttyy (kuva 17c). Lopuksi otetaan huomioon, että kyseessä on ei-tiukka epäyhtälö f (x) > 0, mikä tarkoittaa, että meitä kiinnostavat myös ne kohdat, joissa lauseke f (x) katoaa. Nämä ovat murtoluvun f (x) osoittajan juuret, ts. pisteitä merkitsemme ne kuvassa. 17 tummissa ympyröissä (ja tietysti sisällytä vastaukseen). Tässä nyt kuva. 17c antaa täydellisen geometrisen mallin annetun epäyhtälön ratkaisuille.

Oppitunnin teema "Rationaalisen epätasa-arvon järjestelmien ratkaiseminen"

Luokka 10

Oppitunnin tyyppi: haku

Tarkoitus: löytää tapoja ratkaista epäyhtälöitä moduulilla, soveltaa intervallimenetelmää uudessa tilanteessa.

Oppitunnin tavoitteet:

Tarkistaa taidot ratkaista rationaalisia eriarvoisuuksia ja niiden järjestelmiä; - näyttää opiskelijoille mahdollisuudet käyttää intervallimenetelmää epäyhtälöiden ratkaisemisessa moduulin avulla;

Opeta ajattelemaan loogisesti;

Kehitä työsi itsearviointitaitoa;

Opi ilmaisemaan ajatuksesi

Opi puolustamaan näkemystäsi järkevästi;

Muodostaa opiskelijoihin positiivinen motiivi oppimiseen;

Kehitä opiskelijoiden itsenäisyyttä.

Tuntien aikana

minä Ajan järjestäminen(1 minuutti)

Hei, tänään jatkamme aiheen "rationaalisen epätasa-arvon järjestelmä" tutkimista, käytämme tietojamme ja taitojamme uudessa tilanteessa.

Kirjoita ylös oppitunnin "Rationaalisten epätasa-arvojärjestelmien ratkaiseminen" päivämäärä ja aihe. Tänään kutsun sinut matkalle matematiikan teitä pitkin, jossa sinua odottavat testit, voimankoe. Sinulla on työpöydälläsi tiekartat tehtävineen, itsearvioinnin rahtikirja, jonka luovutat minulle (lähettäjälle) matkan päätteeksi.

Matkan mottona on aforismi "Tien hallitsee se, joka kävelee, ja se, joka ajattelee matematiikkaa". Ota tietomatkatavarasi mukaasi. Käynnistä ajatusprosessi ja mene. Matkalla meitä seuraa maantieradio.Kappale musiikin ääniä (1 min). Sitten jyrkkä piippaus.

II. Tietojen testauksen vaihe. Ryhmätyö."matkatavaroiden tarkastus"

Tässä on ensimmäinen testi "matkatavaroiden tarkastus", joka testaa tietosi aiheesta

Nyt sinut jaetaan 3 tai 4 hengen ryhmiin. Jokaisella on työpöytänsä pöydällä. Jaa nämä tehtävät keskenään, ratkaise ne, kirjoita valmiit vastaukset yhteiselle arkille. 3 hengen ryhmä valitsee mitkä tahansa 3 tehtävää. Jokainen, joka suorittaa kaikki tehtävät, ilmoittaa siitä opettajalle. Minä tai avustajani tarkistamme vastaukset ja jos ainakin yksi vastaus on väärä, palautetaan ryhmälle arkki uudelleentarkistusta varten.. (lapset eivät näe vastauksia, heille vain kerrotaan, missä tehtävässä vastaus on väärä).Ensimmäinen ryhmä, joka suorittaa kaikki tehtävät ilman virheitä, voittaa. Eteenpäin voittoon.

Musiikki on erittäin hiljaista.

Jos kaksi tai kolme ryhmää lopettaa työn samaan aikaan, toinen toisen ryhmän tyypeistä auttaa opettajaa tarkistamaan. Vastaukset arkille opettajan kanssa (4 kpl).

Työ pysähtyy, kun voittajaryhmä ilmestyy.

Älä unohda täyttää itsearvioinnin tarkistuslistaa. Ja mennään pidemmälle.

Arkki, jossa on tehtävä "matkatavaroiden turvatarkastus"

1) 3)

2) 4)

III. Tiedon päivittämisen ja uuden tiedon löytämisen vaihe. "Eureka"

Tarkastus osoitti, että sinulla on runsaasti tietoa.

Mutta tien päällä on kaikenlaisia ​​tilanteita, joskus kekseliäisyyttä tarvitaan, ja jos unohdat ottaa sen mukaan, niin katsotaan.

Olet oppinut ratkaisemaan rationaalisen epäyhtälön järjestelmiä intervallimenetelmällä. Tänään tarkastellaan, minkä ongelmien ratkaisuun on suositeltavaa käyttää tätä menetelmää. Mutta ensin muistetaan, mikä moduuli on.

1. Jatka lauseita "Luvun moduuli on yhtä suuri kuin itse luku, jos ..."(suullisesti)

"Luvun moduuli on yhtä suuri kuin vastakkainen luku, jos..."

2. Olkoon A(X) x:n polynomi

Jatka tallennusta:

Vastaus:

Kirjoita lausekkeen A (x) vastainen lauseke

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2-4x + 2

A(x)= -A(x)=

Opiskelija kirjoittaa taululle, kaverit muistivihkoon.

3. Yritetään nyt löytää tapa ratkaista neliöllinen epäyhtälö moduulin kanssa

Mitä ehdotuksia sinulla on tämän eriarvoisuuden ratkaisemiseksi?

Kuuntele poikien ehdotuksia.

Jos ehdotuksia ei ole, kysy kysymys: "Onko mahdollista ratkaista tämä epätasa-arvo eriarvoisuusjärjestelmillä?"

Opiskelija tulee ulos ja päättää.

IV. Uuden tiedon ensisijaisen konsolidoinnin vaihe, ratkaisualgoritmin laatiminen. Matkatavaroiden täydennys.

(Työ 4 hengen ryhmissä).

Nyt ehdotan, että täydennät matkatavarasi. Työskentelet ryhmissä.Jokaiselle ryhmälle annetaan 2 tehtäväkorttia.

Ensimmäiselle kortille sinun on kirjoitettava järjestelmät taululle esitettyjen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi ja kehitettävä algoritmi tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi, sinun ei tarvitse ratkaista sitä.

Ryhmien ensimmäinen kortti on erilainen, toinen sama

Mitä tapahtui?

Jokaisen taulun yhtälön alle on kirjoitettava joukko järjestelmiä.

4 opiskelijaa tulee ulos ja kirjoittaa järjestelmiä. Tällä kertaa keskustelemme algoritmista luokan kanssa.

v. Tiedon konsolidoinnin vaihe."Kotimatkalla".

Matkatavarat täydennetty, nyt on aika palata. Ratkaise nyt itsenäisesti mikä tahansa ehdotetuista epäyhtälöistä moduulilla laaditun algoritmin mukaisesti.

Sinun kanssasi tiellä on jälleen tieradio.

Laita hiljainen taustamusiikki päälle. Opettaja tarkistaa suunnittelun ja tarvittaessa neuvoo.

Tehtävät taululla.

Työ on saatu päätökseen. Tarkista vastaukset (ne ovat taulun takana), täytä itsearvioinnin rahtikirja.

Kotitehtävien asettaminen.

Kirjoita kotitehtäväsi muistiin (kirjoita vihkoon eriarvoisuudet, joita et tehnyt tai teit virheillä, lisäksi halutessasi oppikirjan sivulle 373 nro 84 (a))

VI. Rentoutumisvaihe.

Kuinka hyödyllinen tämä matka oli sinulle?

Mitä olet oppinut?

Tee yhteenveto. Laske kuinka monta pistettä kukin teistä ansaitsi.(lapset nimeävät lopputuloksen).Luovuta itsearviointilomakkeet lähettäjälle, eli minulle.

Haluan päättää oppitunnin vertauksella.

"Viisas mies käveli, ja häntä kohtasi kolme ihmistä, jotka kantoivat kärryjä, joissa oli kiviä rakentamista varten kuuman auringon alla. Viisas pysähtyi ja kysyi jokaiselta kysymyksen. Hän kysyi ensimmäiseltä: "Mitä sinä teit koko päivän?", ja hän vastasi virnistettynä kantaneensa kirottuja kiviä koko päivän. Viisas kysyi toiselta: "Mitä teit koko päivän?", ja hän vastasi: "Tein työni tunnollisesti", ja kolmas hymyili, hänen kasvonsa loistivat ilosta ja nautinnosta: "Ja minä osallistuin rakentamiseen temppelistä!"

Oppitunti on ohi.

Itsearviointilomake

Sukunimi, etunimi, luokka		Pisteiden määrä
Työskentele ryhmässä eriarvoisuuksien tai eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisemiseksi.	2 pistettä, jos se suoritetaan oikein ilman ulkopuolista apua; 1 piste, jos se suoritetaan oikein ulkopuolisen avun kanssa; 0 pistettä, jos et suorittanut tehtävää 1 lisäpiste ryhmävoitosta