Gaussin menetelmällä on useita haittoja: on mahdotonta tietää, onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ennen kuin kaikki Gaussin menetelmässä tarvittavat muunnokset on suoritettu; Gaussin menetelmä ei sovellu kirjainkertoimien järjestelmiin.

Harkitse muita menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Nämä menetelmät käyttävät matriisin asteen käsitettä ja pelkistävät minkä tahansa yhteisjärjestelmän ratkaisun sellaisen järjestelmän ratkaisuksi, johon Cramerin sääntö pätee.

Esimerkki 1 Etsi seuraavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu pelkistetyn homogeenisen järjestelmän perusratkaisujen ja epähomogeenisen järjestelmän erityisratkaisun avulla.

1. Teemme matriisin A ja järjestelmän lisätty matriisi (1)

2. Tutustu järjestelmään (1) yhteensopivuuden vuoksi. Tätä varten löydämme matriisien rivit A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jos käy ilmi , niin järjestelmä (1) yhteensopimaton. Jos saamme sen , tämä järjestelmä on johdonmukainen ja me ratkaisemme sen. (Johdonmukaisuustutkimus perustuu Kronecker-Capellin lauseeseen).

a. Löydämme rA.

Löytää rA, tarkastelemme peräkkäin matriisin ensimmäisen, toisen jne. kertaluvun nollasta poikkeavia sivuja A ja heitä ympäröivät alaikäiset.

M1=1≠0 (1 on otettu matriisin vasemmasta yläkulmasta MUTTA).

Reunustava M1 tämän matriisin toinen rivi ja toinen sarake. . Jatkamme rajaa M1 toinen rivi ja kolmas sarake..gif" width="37" height="20 src=">. Nyt rajataan nollasta poikkeava sivu М2′ toinen tilaus.

Meillä on: (koska kaksi ensimmäistä saraketta ovat samat)

(koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia).

Näemme sen rA=2, ja on matriisin perusmolli A.

b. Löydämme .

Riittävän perustason sivuaine М2′ matriiseja A reunustaa vapaiden jäsenten sarakkeella ja kaikilla riveillä (meillä on vain viimeinen rivi).

. Tästä seuraa, että М3′′ jää matriisin perusmolliksi https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kuten М2′- matriisin perusmolli A järjestelmät (2) , silloin tämä järjestelmä vastaa järjestelmää (3) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (2) (for М2′ on matriisin A kahdella ensimmäisellä rivillä).

(3)

Koska perus-molli on https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Tässä järjestelmässä kaksi vapaata tuntematonta ( x2 ja x4 ). Niin FSR järjestelmät (4) koostuu kahdesta ratkaisusta. Niiden löytämiseksi annamme ilmaisia ​​tuntemattomia (4) arvot ensin x2=1 , x4=0 , ja sitten - x2=0 , x4=1 .

klo x2=1 , x4=0 saamme:

.

Tämä järjestelmä on jo olemassa ainoa asia ratkaisu (se voidaan löytää Cramerin säännöllä tai millä tahansa muulla menetelmällä). Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan:

Hänen päätöksensä tulee olemaan x1= -1 , x3 = 0 . Arvot huomioiden x2 ja x4 , jonka olemme antaneet, saamme järjestelmän ensimmäisen perusratkaisun (2) : .

Nyt laitetaan sisään (4) x2=0 , x4=1 . Saamme:

.

Ratkaisemme tämän järjestelmän käyttämällä Cramerin lausetta:

.

Saamme järjestelmän toisen perusratkaisun (2) : .

Ratkaisut β1 , β2 ja meikkaamaan FSR järjestelmät (2) . Sitten sen yleinen ratkaisu on

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tässä C1 , C2 ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

4. Etsi sellainen yksityinen päätös heterogeeninen järjestelmä(1) . Kuten kappaleessa 3 , järjestelmän sijaan (1) harkitse vastaavaa järjestelmää (5) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (1) .

(5)

Siirrämme vapaat tuntemattomat oikealle puolelle x2 ja x4.

(6)

Annetaan tuntemattomia ilmaiseksi x2 ja x4 mielivaltaiset arvot, esim. x2=2 , x4=1 ja liitä ne (6) . Otetaan systeemi

Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (koska sen määräävä tekijä М2′0). Ratkaisemalla sen (käyttäen Cramer-lausetta tai Gaussin menetelmää) saamme x1=3 , x3=3 . Kun otetaan huomioon vapaiden tuntemattomien arvot x2 ja x4 , saamme erityinen ratkaisu epähomogeeniselle järjestelmälle(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nyt on jäljellä kirjoittaa epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu α(1) : se on yhtä suuri kuin summa yksityinen päätös tämä järjestelmä ja sen pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Se tarkoittaa: (7)

6. Tutkimus. Tarkistaaksesi, oletko ratkaissut järjestelmän oikein (1) , tarvitsemme yleisen ratkaisun (7) korvata sisään (1) . Jos jokaisesta yhtälöstä tulee identiteetti ( C1 ja C2 tulee tuhota), niin ratkaisu löytyy oikein.

Me korvaamme (7) esimerkiksi vain järjestelmän viimeisessä yhtälössä (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saamme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Missä -1 = -1. Meillä on identiteetti. Teemme tämän kaikkien muiden järjestelmän yhtälöiden kanssa (1) .

Kommentti. Todentaminen on yleensä melko hankalaa. Voimme suositella seuraavaa "osittaista varmennusta": järjestelmän kokonaisratkaisussa (1) anna joitain arvoja mielivaltaisille vakioille ja korvaa tuloksena saatu tietty ratkaisu vain hylättyihin yhtälöihin (eli niihin yhtälöihin (1) joita ei sisälly (5) ). Jos saat identiteetit, niin todennäköisemmin, järjestelmän ratkaisu (1) löydetty oikein (mutta tällainen tarkistus ei anna täyttä takuuta oikeellisuudesta!). Esimerkiksi jos sisään (7) laittaa C2=- 1 , C1 = 1, niin saamme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Korvaamalla järjestelmän (1) viimeiseen yhtälöön, meillä on: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , eli –1=–1. Meillä on identiteetti.

Esimerkki 2 Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) , joka ilmaisee tärkeimmät tuntemattomat ilmaisina.

Päätös. Kuten sisällä esimerkki 1, muodostaa matriiseja A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> näistä matriiseista. Jätetään nyt vain ne järjestelmän yhtälöt (1) , joiden kertoimet sisältyvät tähän perus-molliin (eli meillä on kaksi ensimmäistä yhtälöä) ja tarkastelemme niistä koostuvaa järjestelmää, joka vastaa järjestelmää (1).

Siirretään vapaat tuntemattomat näiden yhtälöiden oikealle puolelle.

järjestelmä (9) ratkaisemme Gaussin menetelmällä, pitäen oikeat osat vapaina jäseninä.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Vaihtoehto 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Vaihtoehto 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Vaihtoehto 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Vaihtoehto 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogeeniset lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Oppituntien sisällä Gaussin menetelmä ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät yhteisellä ratkaisulla mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä oli eri kuin nolla.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden mukaan materiaali saattaa tuntua tylsältä ja tavalliselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikoiden jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikki järjestelmäyhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on aivan selvää Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea ns triviaali päätös . Triviaali niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa bespontovoe. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ... Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Päätös: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se porrastettuun muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että vapaan jäsenen pystypalkkia ja nollasaraketta ei tarvitse kirjoittaa tänne - koska mitä tahansa teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on vain triviaali ratkaisu, jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa 3 kpl).

Lämmitämme ja viritämme radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? muistamme rationaalisen menetelmän satunnaisesti pienentää matriisin lukuja. Muuten joudut teurastamaan suuria ja usein purevia kaloja. Esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Nollat ​​ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmän matriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun ilmestyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Päätös: kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiseen riviin kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti sanottuna en muuttanut päätöstä - se tapahtui. Jos teet muunnoksia mallissa, niin lineaarinen riippuvuus rivit ilmestyvät hieman myöhemmin.

(3) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin merkki on muutettu.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuivat portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askeleita", on ilmainen.

Ilmaisemme perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yhteinen päätös:

Triviaaliratkaisu sisältyy yleiskaavaan, eikä sitä tarvitse kirjoittaa erikseen.

Varmistus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaan: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille saadaan oikeutettu nolla.

Tämä voitaisiin hiljaa lopettaa, mutta homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on usein esitettävä vektorimuodossa kautta perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä. Unohda tilapäisesti analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jonka avasin hieman artikkelissa matriisin arvo. Terminologiaa ei tarvitse varjostaa, kaikki on melko yksinkertaista.

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu ja jokin perusratkaisujärjestelmä järjestelmälle

Päätös etsi laskimella. Ratkaisualgoritmi on sama kuin lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden järjestelmissä.
Toimimalla vain riveillä löydämme matriisin arvon, perusmollin; julistamme riippuvaisia ​​ja vapaita tuntemattomia ja löydämme yleisen ratkaisun.

Ensimmäinen ja toinen rivi ovat suhteellisia, yksi niistä poistetaan:

.
Riippuvat muuttujat - x 2, x 3, x 5, vapaat - x 1, x 4. Ensimmäisestä yhtälöstä 10x 5 = 0 löydämme x 5 = 0, niin
; .
Yleinen ratkaisu näyttää tältä:

Löydämme perusratkaisujärjestelmän, joka koostuu (n-r) ratkaisuista. Meidän tapauksessamme n=5, r=3, siis perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia. Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivien alkioista koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 2. Riittää, kun annetaan vapaat tuntemattomat x 1 ja x 4 arvoa toisen asteen determinantin riveistä, joka eroaa nollasta, ja laske x 2 , x 3 , x 5 . Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on .
Ensimmäinen ratkaisu on siis: , toinen - .
Nämä kaksi päätöstä muodostavat perustavanlaatuisen päätösjärjestelmän. Huomaa, että perusjärjestelmä ei ole ainutlaatuinen (muita determinantteja kuin nolla voidaan muodostaa niin monta kuin haluat).

Esimerkki 2. Etsi yleinen ratkaisu ja järjestelmän perusratkaisujärjestelmä
Päätös.



,
tästä seuraa, että matriisin sijoitus on 3 ja on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä ei ole vapaita tuntemattomia, ja siksi sillä on ainutlaatuinen ratkaisu - triviaali.

Harjoittele . Tutki ja ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Esimerkki 4

Harjoittele . Löydä yleiset ja erityiset ratkaisut jokaiseen järjestelmään.
Päätös. Kirjoitamme järjestelmän päämatriisin:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Tuomme matriisin kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisin rivin kertominen nollasta poikkeavalla luvulla ja sen lisääminen järjestelmän toiselle riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toiseen yhtälöön, mikä ei muuta ratkaisua järjestelmästä.
Kerro 2. rivi arvolla (-5). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Kerro toinen rivi arvolla (6). Kerro 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:
Etsi matriisin sijoitus.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Korostettu molli on korkein (mahdollisista alaväreistä) ja ei ole nolla (se on yhtä suuri kuin käänteislävistäjän elementtien tulo), joten rang(A) = 2.
Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1, x 2, mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1, x 2 ovat riippuvaisia ​​(perus) ja x 3, x 4, x 5 ovat vapaita.
Muunnamme matriisin jättäen vain perusmollin vasemmalle.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Tuntemattomien eliminointimenetelmällä löydämme ei-triviaali ratkaisu:
Saimme suhteita, jotka ilmaisevat riippuvia muuttujia x 1 ,x 2 - vapaat x 3 ,x 4 ,x 5, eli löysimme yhteinen päätös:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Löydämme perusratkaisujärjestelmän, joka koostuu (n-r) ratkaisuista.
Tässä tapauksessa n=5, r=2, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu 3 ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia.
Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivien alkioista koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 3.
Riittää, kun annetaan vapaille tuntemattomille x 3 ,x 4 ,x 5 arvot 3. kertaluvun nollasta poikkeavan determinantin riveistä ja lasketaan x 1 ,x 2 .
Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on identiteettimatriisi.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tehtävä. Etsi perusratkaisujoukko homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Jopa koulussa jokainen meistä opiskeli yhtälöitä ja varmasti yhtälöjärjestelmiä. Mutta monet ihmiset eivät tiedä, että on olemassa useita tapoja ratkaista ne. Tänään analysoimme yksityiskohtaisesti kaikkia menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, jotka koostuvat useammasta kuin kahdesta yhtälöstä.

Tarina

Nykyään tiedetään, että yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemisen taito sai alkunsa muinaisesta Babylonista ja Egyptistä. Tasa-arvot tavanomaisessa muodossaan ilmestyivät kuitenkin yhtäläisyysmerkin "=" ilmestymisen jälkeen, jonka englantilainen matemaatikko Record otti käyttöön vuonna 1556. Muuten, tämä merkki valittiin syystä: se tarkoittaa kahta rinnakkaista yhtä suurta segmenttiä. Oikeastaan ​​ei ole parempaa esimerkkiä tasa-arvosta.

Nykyaikaisten tuntemattomien ja astemerkkien kirjainmerkintöjen perustaja on ranskalainen matemaatikko, mutta hänen nimitykset erosivat merkittävästi nykyisestä. Hän merkitsi esimerkiksi tuntemattoman luvun neliötä kirjaimella Q (lat. "quadratus") ja kuutiota kirjaimella C (lat. "cubus"). Nämä merkinnät näyttävät nyt hankalalta, mutta silloin se oli ymmärrettävin tapa kirjoittaa lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä.

Silloisten ratkaisumenetelmien haittana oli kuitenkin se, että matemaatikot pitivät vain positiivisia juuria. Ehkä tämä johtuu siitä, että negatiivisilla arvoilla ei ollut käytännön hyötyä. Tavalla tai toisella, italialaiset matemaatikot Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Rafael Bombelli olivat ensimmäisiä, jotka pohtivat negatiivisia juuria 1500-luvulla. Ja moderni näkemys, pääratkaisumenetelmä (diskriminantin kautta), syntyi vasta 1600-luvulla Descartesin ja Newtonin työn ansiosta.

1700-luvun puolivälissä sveitsiläinen matemaatikko Gabriel Cramer löysi uuden tavan helpottaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemista. Tämä menetelmä nimettiin myöhemmin hänen mukaansa ja käytämme sitä tähän päivään asti. Mutta puhumme Cramerin menetelmästä hieman myöhemmin, mutta toistaiseksi keskustelemme lineaarisista yhtälöistä ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi järjestelmästä erillään.

Lineaariset yhtälöt

Lineaariset yhtälöt ovat yksinkertaisimpia yhtälöitä, joissa on muuttuja (muuttujia). Ne luokitellaan algebrallisiksi. kirjoita yleisessä muodossa seuraavasti: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ja n * x n \u003d b. Tarvitsemme niiden esityksen tässä muodossa, kun käännämme järjestelmiä ja matriiseja edelleen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Tämän termin määritelmä on seuraava: se on joukko yhtälöitä, joilla on yhteisiä tuntemattomia ja yhteinen ratkaisu. Yleensä koulussa kaikki ratkaistiin järjestelmillä, joissa oli kaksi tai jopa kolme yhtälöä. Mutta on olemassa järjestelmiä, joissa on vähintään neljä komponenttia. Mietitään ensin, kuinka ne kirjoitetaan muistiin, jotta ne on kätevä ratkaista myöhemmin. Ensinnäkin lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät näyttävät paremmilta, jos kaikki muuttujat kirjoitetaan x-muodossa sopivalla indeksillä: 1,2,3 ja niin edelleen. Toiseksi kaikki yhtälöt tulee viedä kanoniseen muotoon: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Kaikkien näiden toimien jälkeen voimme alkaa puhua siitä, kuinka löytää ratkaisu lineaarisille yhtälöjärjestelmille. Matriisit ovat erittäin hyödyllisiä tähän.

matriiseja

Matriisi on taulukko, joka koostuu riveistä ja sarakkeista, ja niiden leikkauskohdassa ovat sen elementit. Nämä voivat olla joko tiettyjä arvoja tai muuttujia. Useimmiten elementtien osoittamiseksi niiden alle sijoitetaan alaindeksit (esimerkiksi 11 tai 23). Ensimmäinen indeksi tarkoittaa rivin numeroa ja toinen sarakkeen numeroa. Matriiseilla, kuten myös muilla matemaattisilla elementeillä, voit suorittaa erilaisia ​​​​toimintoja. Näin voit:

2) Kerro matriisi jollakin luvulla tai vektorilla.

3) Transponoi: muuta matriisirivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi.

4) Kerro matriisit, jos niistä yhden rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen sarakkeiden lukumäärä.

Keskustelemme kaikista näistä tekniikoista yksityiskohtaisemmin, koska niistä on meille hyötyä tulevaisuudessa. Matriisien vähentäminen ja lisääminen on erittäin helppoa. Koska otamme samankokoisia matriiseja, yhden taulukon jokainen elementti vastaa toisen taulukon kutakin elementtiä. Joten lisäämme (vähennämme) nämä kaksi elementtiä (on tärkeää, että ne ovat samoissa paikoissa matriiseissaan). Kun kerrot matriisin luvulla tai vektorilla, sinun on yksinkertaisesti kerrottava jokainen matriisin elementti tällä numerolla (tai vektorilla). Transponointi on erittäin mielenkiintoinen prosessi. Joskus on erittäin mielenkiintoista nähdä se tosielämässä, esimerkiksi tabletin tai puhelimen asentoa muuttaessa. Työpöydän kuvakkeet ovat matriisia, ja kun muutat sijaintia, se transponoituu ja levenee, mutta pienenee korkeudeltaan.

Analysoidaan tällaista prosessia: Vaikka siitä ei ole meille hyötyä, on silti hyödyllistä tietää se. Voit kertoa kaksi matriisia vain, jos yhden taulukon sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen taulukon rivien lukumäärä. Otetaan nyt yhden matriisin rivin alkiot ja toisen vastaavan sarakkeen elementit. Kerromme ne keskenään ja sitten lisäämme ne (eli esimerkiksi elementtien a 11 ja a 12 tulo b 12:lla ja b 22:lla on yhtä suuri kuin: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Näin saadaan yksi taulukon elementti ja se täytetään edelleen vastaavalla menetelmällä.

Nyt voimme alkaa pohtia, kuinka lineaarinen yhtälöjärjestelmä ratkaistaan.

Gaussin menetelmä

Tämä aihe alkaa koulusta. Tiedämme hyvin käsitteen "kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä" ja tiedämme kuinka ratkaista ne. Mutta entä jos yhtälöiden lukumäärä on enemmän kuin kaksi? Tämä auttaa meitä

Tämä menetelmä on tietysti kätevä käyttää, jos teet matriisin järjestelmästä. Mutta et voi muuttaa sitä ja ratkaista sitä puhtaassa muodossaan.

Joten, kuinka lineaaristen Gaussin yhtälöiden järjestelmä ratkaistaan ​​tällä menetelmällä? Muuten, vaikka tämä menetelmä on nimetty hänen mukaansa, se löydettiin muinaisina aikoina. Gauss ehdottaa seuraavaa: operaatioiden suorittaminen yhtälöillä, jotta koko joukko lopulta pelkistyy porrastettuun muotoon. Eli on välttämätöntä, että ylhäältä alas (jos sijoitetaan oikein) ensimmäisestä yhtälöstä viimeiseen yksi tuntematon vähenee. Toisin sanoen meidän on varmistettava, että saamme esimerkiksi kolme yhtälöä: ensimmäisessä - kolme tuntematonta, toisessa - kaksi, kolmannessa - yksi. Sitten viimeisestä yhtälöstä löydämme ensimmäisen tuntemattoman, korvaamme sen arvon toisella tai ensimmäisellä yhtälöllä ja etsimme sitten loput kaksi muuttujaa.

Cramer menetelmä

Tämän menetelmän hallitsemiseksi on elintärkeää hallita matriisien yhteen- ja vähennystaidot, ja sinun on myös osattava löytää determinantteja. Siksi, jos teet kaiken tämän huonosti tai et tiedä miten, sinun on opittava ja harjoitettava.

Mikä on tämän menetelmän ydin ja kuinka se tehdään niin, että saadaan lineaarinen Cramer-yhtälöjärjestelmä? Kaikki on hyvin yksinkertaista. Meidän on rakennettava matriisi lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän numeerisista (melkein aina) kertoimista. Tätä varten otamme yksinkertaisesti numerot tuntemattomien eteen ja laitamme ne taulukkoon siinä järjestyksessä, jossa ne on kirjoitettu järjestelmään. Jos numeroa edeltää "-"-merkki, kirjoitamme negatiivisen kertoimen. Joten, olemme koonneet ensimmäisen matriisin tuntemattomien kertoimista, ilman yhtäläisyysmerkkien jälkeisiä lukuja (luonnollisesti yhtälö tulisi pelkistää kanoniseen muotoon, kun vain luku on oikealla ja kaikki tuntemattomat kertoimet vasemmalla). Sitten sinun on luotava useita lisää matriiseja - yksi jokaiselle muuttujalle. Tätä varten ensimmäisessä matriisissa vuorostaan ​​korvaamme jokaisen sarakkeen kertoimilla numerosarakkeella yhtäläisyysmerkin jälkeen. Siten saamme useita matriiseja ja sitten löydämme niiden determinantit.

Kun olemme löytäneet tekijät, asia on pieni. Meillä on alkumatriisi, ja tuloksena on useita eri muuttujia vastaavia matriiseja. Saadaksemme järjestelmän ratkaisut jaamme tuloksena olevan taulukon determinantin alkutaulukon determinantilla. Tuloksena oleva luku on yhden muuttujan arvo. Samalla tavalla löydämme kaikki tuntemattomat.

Muut menetelmät

On olemassa useita muita menetelmiä ratkaisun saamiseksi lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin. Esimerkiksi ns. Gauss-Jordan menetelmä, jolla etsitään ratkaisuja toisen asteen yhtälöjärjestelmälle ja joka liittyy myös matriisien käyttöön. On myös Jacobin menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Se on helpoin sovittaa tietokoneeseen ja sitä käytetään tietotekniikassa.

Vaikeita tapauksia

Monimutkaisuus syntyy yleensä, kun yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä. Silloin voidaan varmuudella sanoa, että joko järjestelmä on epäjohdonmukainen (eli sillä ei ole juuria) tai sen ratkaisujen määrä pyrkii äärettömään. Jos meillä on toinen tapaus, meidän on kirjoitettava lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu. Se sisältää vähintään yhden muuttujan.

Johtopäätös

Tässä tullaan loppuun. Tehdään yhteenveto: olemme analysoineet, mitä järjestelmä ja matriisi ovat, oppineet löytämään yleisen ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle. Lisäksi mietittiin muita vaihtoehtoja. Selvitimme, kuinka lineaarinen yhtälöjärjestelmä ratkaistaan: Gaussin menetelmä ja Puhuimme vaikeista tapauksista ja muista tavoista löytää ratkaisuja.

Itse asiassa tämä aihe on paljon laajempi, ja jos haluat ymmärtää sitä paremmin, suosittelemme lukemaan erikoisempaa kirjallisuutta.

Jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden mukaan materiaali saattaa tuntua tylsältä ja tavalliselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikoiden jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikki järjestelmäyhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on aivan selvää Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea ns triviaali päätös . Triviaali niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa bespontovoe. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ... Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Päätös: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se porrastettuun muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että vapaan jäsenen pystypalkkia ja nollasaraketta ei tarvitse kirjoittaa tänne - koska mitä tahansa teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on vain triviaali ratkaisu, jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa 3 kpl).

Lämmitämme ja viritämme radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Algoritmin korjaamiseksi lopuksi analysoidaan lopullinen tehtävä:

Esimerkki 7

Ratkaise homogeeninen järjestelmä, kirjoita vastaus vektorimuodossa.

Päätös: kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon:

(1) Ensimmäisen rivin merkki on muutettu. Jälleen kerran kiinnitän huomiota toistuvasti käytettyyn tekniikkaan, jonka avulla voit yksinkertaistaa huomattavasti seuraavaa toimintaa.

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin 2. ja 3. riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla lisättiin 4. riville.

(3) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä on poistettu.

Tuloksena saadaan standardi askelmatriisi, ja ratkaisu jatkuu uurrettua rataa pitkin:

– perusmuuttujat;
ovat vapaita muuttujia.

Ilmaisemme perusmuuttujat vapaina muuttujina. Toisesta yhtälöstä:

- korvaa 1. yhtälö:

Joten yleinen ratkaisu on:

Koska tarkasteltavassa esimerkissä on kolme vapaata muuttujaa, perusjärjestelmä sisältää kolme vektoria.

Korvataan kolminkertaiset arvot yleisratkaisuun ja saada vektori, jonka koordinaatit täyttävät jokaisen homogeenisen järjestelmän yhtälön. Ja vielä kerran, toistan, että on erittäin toivottavaa tarkistaa jokainen vastaanotettu vektori - se ei vie niin paljon aikaa, mutta se säästää sata prosenttia virheistä.

Kolminkertaiselle arvolle etsi vektori

Ja lopuksi kolminkertaiseksi saamme kolmannen vektorin:

Vastaus: , missä

Ne, jotka haluavat välttää murto-osia, voivat harkita kolmosia ja saat vastauksen vastaavassa muodossa:

Murtoluvuista puheen ollen. Katsotaanpa tehtävässä saatua matriisia ja kysy kysymys - onko mahdollista yksinkertaistaa lisäratkaisua? Loppujen lopuksi täällä ilmaistiin ensin perusmuuttuja murtolukuina, sitten perusmuuttuja murtolukuina, ja minun on sanottava, että tämä prosessi ei ollut helpoin eikä miellyttävin.

Toinen ratkaisu:

Ideana on kokeilla valitse muut perusmuuttujat. Katsotaanpa matriisia ja huomataan kaksi matriisia kolmannessa sarakkeessa. Joten miksi ei saada nollaa huipulle? Tehdään vielä yksi perusmuunnos: