Luottamusväli tuli meille tilastoalalta. Tämä on tietty alue, jonka avulla voidaan arvioida tuntematon parametri korkea tutkinto luotettavuus. Helpoin tapa selittää tämä on esimerkin avulla.

Oletetaan, että sinun on tutkittava jokin satunnaismuuttuja, esimerkiksi palvelimen vastausnopeus asiakkaan pyyntöön. Aina kun käyttäjä kirjoittaa tietyn sivuston osoitteen, palvelin vastaa eri nopeudella. Siten tutkitulla vasteajalla on satunnainen luonne. Joten tässä se on luottamusväli avulla voit määrittää tämän parametrin rajat, ja sitten on mahdollista väittää, että palvelin on 95% todennäköisyydellä laskemallamme alueella.

Tai sinun täytyy selvittää, kuinka monet ihmiset tietävät tavaramerkki yritykset. Luottamusväliä laskettaessa voidaan esimerkiksi sanoa, että 95 %:n todennäköisyydellä kuluttajien osuus asiasta tietävän on 27-34 %.

Läheisesti tähän termiin liittyy luottamustaso. Se edustaa todennäköisyyttä, että haluttu parametri sisältyy luottamusväliin. Tämä arvo määrittää, kuinka suuri haluttu alueemme on. Miten suurempi arvo se hyväksyy, mitä kapeammaksi luottamusväli tulee, ja päinvastoin. Yleensä se on asetettu arvoon 90%, 95% tai 99%. Arvo 95 % on suosituin.

Tähän indikaattoriin vaikuttaa myös havaintojen varianssi ja sen määritelmä perustuu oletukseen, että tutkittava piirre tottelee tätä väitettä tunnetaan myös Gaussin laina. Hänen mukaansa sellainen jatkuvan kaikkien todennäköisyyksien jakauma Satunnaismuuttuja, jota voidaan kuvata todennäköisyystiheydellä. Jos oletus noin normaalijakauma osoittautui virheelliseksi, arvio voi olla väärä.

Selvitetään ensin, kuinka lasketaan luottamusväli Tässä kaksi tapausta on mahdollista. Dispersio (satunnaismuuttujan leviämisaste) voi olla tiedossa tai ei. Jos se tiedetään, luottamusvälimme lasketaan seuraavalla kaavalla:

xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - merkki,

t on Laplace-jakaumataulukon parametri,

σ on dispersion neliöjuuri.

Jos varianssia ei tunneta, se voidaan laskea, jos tiedämme kaikki halutun ominaisuuden arvot. Tätä varten käytetään seuraavaa kaavaa:

σ2 = х2ср - (хр)2, missä

х2ср - tutkittavan ominaisuuden neliöiden keskiarvo,

(xsr)2 on tämän määritteen neliö.

Kaava, jolla luottamusväli lasketaan tässä tapauksessa, muuttuu hieman:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - näytekeskiarvo,

α - merkki,

t on parametri, joka löytyy Studentin jakaumataulukosta t \u003d t (ɣ; n-1),

sqrt(n) on näytteen kokonaiskoon neliöjuuri,

s on varianssin neliöjuuri.

Harkitse tätä esimerkkiä. Oletetaan, että 7 mittauksen tulosten perusteella tutkittavaksi piirteeksi määritettiin 30 ja otosvarianssiksi 36. On tarpeen löytää 99 %:n todennäköisyydellä luottamusväli, joka sisältää todellisen arvon mitattu parametri.

Määritetään ensin, mikä t on yhtä suuri kuin: t \u003d t (0,99; 7-1) \u003d 3,71. Yllä olevaa kaavaa käyttämällä saamme:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3,71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Varianssin luottamusväli lasketaan sekä tunnetun keskiarvon tapauksessa että silloin, kun matemaattisesta odotuksesta ei ole tietoa ja vain varianssin puolueettoman pisteestimaatin arvo tiedetään. Emme anna tässä kaavoja sen laskemiseen, koska ne ovat melko monimutkaisia ​​ja haluttaessa ne löytyvät aina verkosta.

Huomaamme vain, että luottamusväli on kätevä määrittää Excel-ohjelmalla tai verkkopalvelulla, jota kutsutaan niin.

Yksi tilastollisten ongelmien ratkaisumenetelmistä on luottamusvälin laskenta. Sitä käytetään edullisena vaihtoehtona pisteestimaatiolle, kun otoskoko on pieni. On huomattava, että luottamusvälin laskentaprosessi on melko monimutkainen. Mutta Excel-ohjelman työkalujen avulla voit yksinkertaistaa sitä jonkin verran. Selvitetään kuinka tämä tehdään käytännössä.

Tätä menetelmää käytetään erilaisten tilastollisten suureiden intervalliestimointiin. Tämän laskennan päätehtävä on päästä eroon pisteestimaatin epävarmuustekijöistä.

Excelissä on kaksi päävaihtoehtoa laskelmien tekemiseen tällä menetelmällä: kun varianssi tunnetaan ja kun se on tuntematon. Ensimmäisessä tapauksessa funktiota käytetään laskelmiin LUOTTAMINEN NORMI, ja toisessa LUOTTA.OPISKELIJA.

Tapa 1: CONFIDENCE NORM -toiminto

Operaattori LUOTTAMINEN NORMI, joka viittaa tilastolliseen funktioryhmään, ilmestyi ensimmäisen kerran Excel 2010:ssä. Tämän ohjelman aikaisemmat versiot käyttävät sen vastinetta LUOTTAMUS. Tämän operaattorin tehtävänä on laskea perusjoukon keskiarvon normaalijakauma oleva luottamusväli.

Sen syntaksi on seuraava:

CONFIDENCE NORM(alfa, standardi_dev, koko)

"Alfa" on argumentti, joka osoittaa merkitsevyystason, jota käytetään luottamustason laskemiseen. Luottamustaso on yhtä suuri kuin seuraava lauseke:

(1 - "Alfa")*100

"Standardipoikkeama" on argumentti, jonka ydin käy selväksi nimestä. Tämä on ehdotetun otoksen keskihajonta.

"Koko" on argumentti, joka määrittää otoksen koon.

Kaikki tämän operaattorin argumentit vaaditaan.

Toiminto LUOTTAMUS on täsmälleen samat argumentit ja mahdollisuudet kuin edellisellä. Sen syntaksi on:

LUOTTAMINEN(alfa, standardi_kehittäjä, koko)

Kuten näet, erot ovat vain operaattorin nimessä. Tämä ominaisuus on säilytetty Excel 2010:ssä ja uudemmissa versioissa erityisessä luokassa yhteensopivuussyistä. "Yhteensopivuus". Excel 2007:n ja sitä vanhemmissa versioissa se on tilastooperaattoreiden pääryhmässä.

Luottamusvälin raja määritetään seuraavan muodon kaavalla:

X+(-)LUOTTAMISNORM

Missä X on otoskeskiarvo, joka sijaitsee valitun alueen keskellä.

Katsotaanpa nyt, kuinka luottamusväli lasketaan tietyn esimerkin avulla. Suoritettiin 12 testiä, jotka johtivat erilaisiin tuloksiin, jotka on lueteltu taulukossa. Tämä on kokonaisuutemme. Keskihajonta on 8. Meidän on laskettava luottamusväli 97 %:n luottamustasolla.

1. Valitse solu, jossa tietojen käsittelyn tulos näytetään. Napsauttamalla painiketta "Lisää toiminto".



2. Näkyy Toimintovelho. Siirry luokkaan "tilastollinen" ja korosta nimi "LUOTTAMINEN.NORM.". Napsauta sen jälkeen painiketta OK.



3. Argumentit-ikkuna avautuu. Sen kentät vastaavat luonnollisesti argumenttien nimiä.
   Aseta kohdistin ensimmäiseen kenttään - "Alfa". Tässä meidän on määritettävä merkitystaso. Kuten muistamme, luottamustasomme on 97%. Samalla sanoimme, että se lasketaan tällä tavalla:

   (1-luottamustaso)/100

   Eli korvaamalla arvon saamme:

   Yksinkertaisilla laskelmilla selviää, että väite "Alfa" on yhtä suuri 0,03 . Syötä tämä arvo kenttään.

   Kuten tiedät, keskihajonta on yhtä suuri kuin 8 . Siksi kentällä "Standardipoikkeama" kirjoita vain se numero.

   Kentällä "Koko" sinun on syötettävä suoritettujen testien elementtien lukumäärä. Kuten muistamme, he 12 . Mutta jotta kaava automatisoituu eikä sitä muokata joka kerta, kun uusi testi suoritetaan, asetetaan tämä arvo ei tavalliseksi numeroksi, vaan operaattorilla TARKISTAA. Joten asetamme kohdistimen kenttään "Koko" ja napsauta sitten kolmiota, joka sijaitsee kaavapalkin vasemmalla puolella.

   Näkyviin tulee luettelo äskettäin käytetyistä toiminnoista. Jos operaattori TARKISTAA olet käyttänyt äskettäin, sen pitäisi olla tässä luettelossa. Tässä tapauksessa sinun tarvitsee vain napsauttaa sen nimeä. Muussa tapauksessa, jos et löydä sitä, siirry asiaan "Lisää ominaisuuksia...".



4. Näyttää jo tutulta meille Toimintovelho. Siirtyminen takaisin ryhmään "tilastollinen". Valitsemme nimen sieltä "TARKISTAA". Napsauta painiketta OK.



5. Näkyviin tulee yllä olevan operaattorin argumenttiikkuna. Tämä toiminto on suunniteltu laskemaan niiden solujen lukumäärä määritetyllä alueella, jotka sisältävät numeerisia arvoja. Sen syntaksi on seuraava:

   COUNT(arvo1, arvo2,…)

   Argumenttiryhmä "Arvot" on viittaus alueelle, jolla haluat laskea numeerisilla tiedoilla täytettyjen solujen määrän. Yhteensä tällaisia ​​argumentteja voi olla jopa 255, mutta meidän tapauksessamme tarvitsemme vain yhden.

   Aseta kohdistin kenttään "Arvo1" ja pitämällä hiiren vasenta painiketta painettuna valitse arkilta alue, joka sisältää populaatiomme. Sen jälkeen sen osoite näkyy kentässä. Napsauta painiketta OK.



6. Sen jälkeen sovellus suorittaa laskutoimituksen ja näyttää tuloksen solussa, jossa se itse on. Meidän tapauksessamme kaava osoittautui tältä:

   LUOTTAMISNORMIA(0,03;8;LASKE(B2:B13))

   Laskelmien kokonaistulos oli 5,011609 .



7. Mutta siinä ei vielä kaikki. Kuten muistamme, luottamusvälin raja lasketaan lisäämällä ja vähentämällä laskennan tuloksen keskimääräinen otosarvo LUOTTAMINEN NORMI. Tällä tavalla lasketaan luottamusvälin oikea ja vasen raja. Itse näytekeskiarvo voidaan laskea käyttämällä operaattoria KESKIVERTO.

   Tämä operaattori on suunniteltu laskemaan valitun lukualueen aritmeettinen keskiarvo. Sillä on seuraava melko yksinkertainen syntaksi:

   KESKIARVO(numero1, numero2,…)

   Perustelu "Määrä" voi olla joko yksi numeerinen arvo tai viittaus soluihin tai jopa kokonaisiin alueisiin, jotka sisältävät ne.

   Valitse siis solu, jossa keskiarvon laskenta näytetään, ja napsauta painiketta "Lisää toiminto".



8. avautuu Toimintovelho. Takaisin kategoriaan "tilastollinen" ja valitse nimi luettelosta "KESKIVERTO". Kuten aina, napsauta painiketta OK.



9. Argumentit-ikkuna avautuu. Aseta kohdistin kenttään "Numero 1" ja valitse koko arvoalue painamalla hiiren vasenta painiketta. Kun koordinaatit ovat näkyvissä kentässä, napsauta painiketta OK.



10. Sen jälkeen KESKIVERTO tulostaa laskennan tuloksen arkkielementtiin.



11. Laskemme luottamusvälin oikean rajan. Tee tämä valitsemalla erillinen solu, laita merkki «=» ja lisää niiden taulukkoelementtien sisältö, joissa funktioiden laskennan tulokset sijaitsevat KESKIVERTO ja LUOTTAMINEN NORMI. Suorittaaksesi laskennan, paina -painiketta Tulla sisään. Meidän tapauksessamme saimme seuraavan kaavan:

    Laskennan tulos: 6,953276



12. Samalla tavalla laskemme luottamusvälin vasemman rajan, vain tällä kertaa laskennan tuloksesta KESKIVERTO vähennä operaattorin laskennan tulos LUOTTAMINEN NORMI. Osoittautuu seuraavan tyyppisen esimerkkimme kaava:

    Laskennan tulos: -3,06994



13. Yritimme kuvata yksityiskohtaisesti kaikki luottamusvälin laskemisen vaiheet, joten kuvailimme jokaista kaavaa yksityiskohtaisesti. Mutta voit yhdistää kaikki toiminnot yhteen kaavaan. Luottamusvälin oikean rajan laskenta voidaan kirjoittaa seuraavasti:

    KESKIARVO(B2:B13)+LUOTTAMINEN(0,03,8,LASKE(B2:B13))



14. Samanlainen vasemman reunan laskenta näyttäisi tältä:

    KESKIARVO(B2:B13)-LUOTTAMINEN.NORM.(0,03,8,LASKE(B2:B13))

Tapa 2: LUOTTAA.OPPILAS-toiminto

Lisäksi Excelissä on toinen toiminto, joka liittyy luottamusvälin laskemiseen - LUOTTA.OPISKELIJA. Se on ilmestynyt vasta Excel 2010:n jälkeen. Tämä operaattori laskee perusjoukon luottamusvälin Studentin jakauman avulla. On erittäin kätevää käyttää sitä, kun varianssia ja vastaavasti keskihajontaa ei tunneta. Operaattorin syntaksi on:

LUOTETTU.OPPILAS(alfa,vakiokehittäjä,koko)

Kuten näette, operaattoreiden nimet säilyivät tässä tapauksessa ennallaan.

Katsotaanpa, kuinka lasketaan luottamusvälin rajat tuntemattomalla keskihajonnalla käyttämällä esimerkkiä samasta populaatiosta, jota tarkastelimme edellisessä menetelmässä. Luottamustaso, kuten viime kerralla, otamme 97%.

1. Valitse solu, jossa laskenta suoritetaan. Napsauta painiketta "Lisää toiminto".



2. Avatussa Toimintovelho mene luokkaan "tilastollinen". Valitse nimi "LUOTTAA. OPISKELIJA". Napsauta painiketta OK.



3. Määritetyn operaattorin argumenttiikkuna käynnistetään.

   Kentällä "Alfa", koska luottamustaso on 97%, kirjoitamme luvun muistiin 0,03 . Toisella kerralla emme viivyttele tämän parametrin laskentaperiaatteissa.

   Aseta sen jälkeen kohdistin kenttään "Standardipoikkeama". Tällä kertaa tämä indikaattori on meille tuntematon ja se on laskettava. Tämä tehdään käyttämällä erityistä toimintoa - STDEV.B. Kutsuaksesi tämän operaattorin ikkunaa, napsauta kaavapalkin vasemmalla puolella olevaa kolmiota. Jos emme löydä haluttua nimeä avautuvasta luettelosta, siirry kohtaan "Lisää ominaisuuksia...".



4. juoksee Toimintovelho. Siirtyy luokkaan "tilastollinen" ja merkitse nimi "STDEV.B". Napsauta sitten painiketta OK.



5. Argumentit-ikkuna avautuu. operaattorin tehtävä STDEV.B on näytteenoton keskihajonnan määritelmä. Sen syntaksi näyttää tältä:

   STDEV.V(numero1,numero2,…)

   On helppo arvata, että väite "Määrä" on valintaelementin osoite. Jos valinta on sijoitettu yhteen taulukkoon, voit antaa linkin tälle alueelle käyttämällä vain yhtä argumenttia.

   Aseta kohdistin kenttään "Numero 1" ja kuten aina, pitämällä hiiren vasenta painiketta painettuna, valitse sarja. Kun koordinaatit ovat kentällä, älä kiirehdi painamaan painiketta OK koska tulos on väärä. Ensin meidän on palattava operaattoriargumenttien ikkunaan LUOTTA.OPISKELIJA esittää viimeisen argumentin. Voit tehdä tämän napsauttamalla sopivaa nimeä kaavapalkissa.



6. Jo tutun funktion argumenttiikkuna avautuu uudelleen. Aseta kohdistin kenttään "Koko". Napsauta jälleen meille jo tuttua kolmiota siirtyäksesi operaattorien valintaan. Kuten ymmärrät, tarvitsemme nimen "TARKISTAA". Koska käytimme tätä funktiota edellisen menetelmän laskelmissa, se on tässä luettelossa, joten napsauta sitä. Jos et löydä sitä, noudata ensimmäisessä menetelmässä kuvattua algoritmia.



7. Argumenttien ikkunaan pääseminen TARKISTAA, aseta kohdistin kenttään "Numero 1" ja valitse kokoelma pitämällä hiiren painiketta painettuna. Napsauta sitten painiketta OK.



8. Tämän jälkeen ohjelma laskee ja näyttää luottamusvälin arvon.



9. Rajojen määrittämiseksi meidän on jälleen laskettava otoskeskiarvo. Mutta ottaen huomioon, että laskenta-algoritmi käyttää kaavaa KESKIVERTO sama kuin edellisessä menetelmässä, eikä edes tulos ole muuttunut, emme käsittele tätä yksityiskohtaisesti toista kertaa.



10. Laskennan tulosten laskeminen yhteen KESKIVERTO ja LUOTTA.OPISKELIJA, saamme luottamusvälin oikean rajan.



11. Vähentäminen operaattorin laskentatuloksista KESKIVERTO laskennan tulos LUOTTA.OPISKELIJA, meillä on luottamusvälin vasen raja.



12. Jos laskenta on kirjoitettu yhteen kaavaan, oikean reunan laskenta meidän tapauksessamme näyttää tältä:

    KESKIARVO(B2:B13)+OPPILASLUOTTAMUS(0,03,STDV(B2:B13),LASKEMINEN(B2:B13))



13. Vastaavasti vasemman reunan laskentakaava näyttää tältä:

    KESKIARVO(B2:B13)-OPPILASLUOTTAMINEN(0,03,STDV(B2:B13),LASKE(B2:B13))

Kuten näet, Excel-ohjelman työkalut mahdollistavat merkittävästi luottamusvälin ja sen rajojen laskemisen helpottamiseksi. Näihin tarkoituksiin käytetään erillisiä operaattoreita näytteille, joiden varianssi on tunnettu ja tuntematon.

Ja muut. Ne kaikki ovat arvioita teoreettisista vastineistaan, jotka voitaisiin saada, jos ei olisi otosta, vaan yleinen populaatio. Mutta valitettavasti yleinen väestö on erittäin kallista ja usein poissa.

Intervalliarvioinnin käsite

Kaikissa näytearvioissa on hajontaa, koska on satunnaismuuttuja, joka riippuu tietyn näytteen arvoista. Siksi luotettavampia tilastollisia päätelmiä varten ei pitäisi tietää vain pisteestimaatti, vaan myös intervalli, mikä suurella todennäköisyydellä γ (gamma) kattaa arvioidun indikaattorin θ (theta).

Muodollisesti nämä ovat kaksi tällaista arvoa (tilastot) T1(X) ja T2(X), mitä T1< T 2 , joille tietyllä todennäköisyystasolla γ ehto täyttyy:

Lyhyesti sanottuna se on todennäköistä γ tai enemmän todellinen arvo on pisteiden välissä T1(X) ja T2(X), joita kutsutaan ala- ja ylärajoiksi luottamusväli.

Yksi luottamusvälien muodostamisen edellytyksistä on sen maksimikapea, ts. sen tulee olla mahdollisimman lyhyt. Halu on melko luonnollista, koska. tutkija yrittää paikantaa halutun parametrin löydön tarkemmin.

Tästä seuraa, että luottamusvälin tulee kattaa jakauman enimmäistodennäköisyydet. ja itse pisteet ovat keskellä.

Toisin sanoen todennäköisyys poikkeaa (todellisen indikaattorin estimaatista) ylöspäin on yhtä suuri kuin poikkeaman todennäköisyys alaspäin. On myös huomattava, että vinossa jakaumassa oikeanpuoleinen intervalli ei ole sama kuin vasemmanpuoleinen intervalli.

Yllä oleva kuva osoittaa selvästi, että mitä suurempi luottamustaso, sitä laajempi väli - suora suhde.

Tämä oli pieni johdatus tuntemattomien parametrien intervalliarvioinnin teoriaan. Jatketaan matemaattisten odotusten luottamusrajojen löytämistä.

Matemaattisen odotuksen luottamusväli

Jos alkuperäiset tiedot jaetaan, keskiarvo on normaaliarvo. Tämä seuraa säännöstä, että normaaliarvojen lineaarisella yhdistelmällä on myös normaalijakauma. Siksi todennäköisyyksien laskemiseen voisimme käyttää normaalijakauman lain matemaattista laitteistoa.

Tämä edellyttää kuitenkin kahden parametrin - odotusarvon ja varianssin - tuntemista, joita ei yleensä tunneta. Voit toki käyttää arvioita parametrien sijasta (aritmeettinen keskiarvo ja ), mutta silloin keskiarvon jakauma ei ole aivan normaali, vaan se litistyy hieman. Irlannin kansalainen William Gosset pani taitavasti merkille tämän tosiasian, kun hän julkaisi löytönsä Biometrica-lehden maaliskuussa 1908. Salassapitosyistä Gosset allekirjoitti Studentin kanssa. Näin syntyi Studentin t-jakauma.

Normaali datajakauma, jota K. Gauss käytti tähtitieteellisten havaintojen virheiden analysoinnissa, on kuitenkin erittäin harvinainen maanpäällisessä elämässä, ja sen toteaminen on melko vaikeaa (suureen tarkkuuteen tarvitaan noin 2 tuhatta havaintoa). Siksi on parasta luopua normaalisuusoletuksesta ja käyttää menetelmiä, jotka eivät riipu alkuperäisen datan jakautumisesta.

Herää kysymys: mikä on aritmeettisen keskiarvon jakauma, jos se lasketaan tuntemattoman jakauman tiedoista? Vastauksen antaa todennäköisyysteoriassa hyvin tunnettu Keskirajalause(CPT). Matematiikassa siitä on useita versioita (formulaatioita on jalostettu vuosien varrella), mutta ne kaikki karkeasti sanottuna päätyvät väitteeseen, että suuren määrän riippumattomien satunnaismuuttujien summa noudattaa normaalijakauman lakia.

Aritmeettista keskiarvoa laskettaessa käytetään satunnaismuuttujien summaa. Tästä käy ilmi, että aritmeettisella keskiarvolla on normaalijakauma, jossa odotusarvo on alkuperäisen datan odotusarvo ja varianssi on .

Älykkäät ihmiset osaavat todistaa CLT:n, mutta me varmistamme tämän Excelissä tehdyn kokeen avulla. Simuloitetaan 50 tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan otos (Excelin RANDOMBETWEEN-funktiolla). Sitten tehdään 1000 tällaista näytettä ja lasketaan jokaiselle aritmeettinen keskiarvo. Katsotaanpa niiden jakautumista.

Voidaan nähdä, että keskiarvon jakauma on lähellä normaalilakia. Jos näytteiden tilavuudesta ja niiden määrästä tehdään vielä suurempi, samankaltaisuus on vielä parempi.

Nyt kun olemme itse todenneet CLT:n validiteetin, voimme :n avulla laskea aritmeettisen keskiarvon luottamusvälit, jotka kattavat todellisen keskiarvon tai matemaattisen odotuksen tietyllä todennäköisyydellä.

Ylä- ja alarajan määrittäminen edellyttää normaalijakauman parametrien tuntemista. Yleensä niitä ei käytetä, joten arvioita käytetään: aritmeettinen keskiarvo ja näytteen varianssi. Jälleen tämä menetelmä antaa hyvän likiarvon vain suurille näytteille. Kun näytteet ovat pieniä, on usein suositeltavaa käyttää Studentin jakaumaa. Älä usko! Studentin jakauma keskiarvolle tapahtuu vain silloin, kun alkuperäisellä tiedolla on normaalijakauma, eli melkein ei koskaan. Siksi on parempi asettaa välittömästi vähimmäispalkki vaaditun tiedon määrälle ja käyttää asymptoottisesti oikeita menetelmiä. He sanovat, että 30 havaintoa riittää. Ota 50 - et voi mennä pieleen.

T 1.2 ovat luottamusvälin ala- ja ylärajat

– näyte aritmeettinen keskiarvo

s0– näytteen keskihajonta (harhaanjohtava)

n - otoskoko

γ – luottamustaso (yleensä 0,9, 0,95 tai 0,99)

c γ = Φ -1 ((1+γ)/2) on normaalin normaalijakaumafunktion käänteisluku. Yksinkertaisesti sanottuna tämä on standardivirheiden lukumäärä aritmeettisesta keskiarvosta ala- tai ylärajaan (ilmoitetut kolme todennäköisyyttä vastaavat arvoja 1,64, 1,96 ja 2,58).

Kaavan ydin on, että aritmeettinen keskiarvo otetaan ja siitä jätetään tietty määrä ( γ:n kanssa) standardivirheet ( s 0 /√n). Kaikki tiedetään, ota ja laske.

Ennen PC-tietokoneiden massakäyttöä normaalijakaumafunktion ja sen käänteisfunktion arvojen saamiseksi he käyttivät . Niitä käytetään edelleen, mutta tehokkaampaa on kääntyä valmiiden Excel-kaavojen puoleen. Kaikki yllä olevan kaavan elementit ( , ja ) voidaan laskea helposti Excelissä. Mutta on myös valmis kaava luottamusvälin laskemiseen - LUOTTAMINEN NORMI. Sen syntaksi on seuraava.

CONFIDENCE NORM(alfa, standardi_dev, koko)

alfa– merkitsevyystaso tai luottamustaso, joka yllä olevassa merkinnässä on 1-γ, ts. todennäköisyys, että matemaattinenodotus on luottamusvälin ulkopuolella. Kun luottamustaso on 0,95, alfa on 0,05 ja niin edelleen.

standardi_pois on näytetietojen keskihajonta. Sinun ei tarvitse laskea keskivirhettä, Excel jakaa n:n juurella.

koko– näytteen koko (n).

CONFIDENCE.NORM-funktion tulos on toinen termi luottamusvälin laskentakaavasta, ts. puoliväli. Vastaavasti alempi ja ylempi piste ovat keskiarvo ± saatu arvo.

Näin ollen on mahdollista rakentaa universaali algoritmi aritmeettisen keskiarvon luottamusvälien laskemiseen, joka ei riipu lähtötietojen jakaumasta. Universaalisuuden hinta on sen asymptoottisuus, ts. tarve käyttää suhteellisen suuria näytteitä. Nykytekniikan aikakaudella oikean datamäärän kerääminen ei kuitenkaan yleensä ole vaikeaa.

Tilastollisten hypoteesien testaus luottamusvälillä

(moduuli 111)

Yksi tärkeimmistä tilastoissa ratkaistavista ongelmista on. Lyhyesti sanottuna sen olemus on tämä. Oletetaan esimerkiksi, että yleisen väestön odotus on yhtä suuri kuin jokin arvo. Sitten muodostetaan näytekeskiarvojakauma, jota voidaan tarkkailla tietyllä odotuksella. Seuraavaksi tarkastellaan missä tässä ehdollisessa jakaumassa todellinen keskiarvo sijaitsee. Jos se ylittää sallitut rajat, tällaisen keskiarvon ilmestyminen on erittäin epätodennäköistä, ja yhdellä kokeen toistolla se on melkein mahdotonta, mikä on ristiriidassa esitetyn hypoteesin kanssa, joka hylätään onnistuneesti. Jos keskiarvo ei ylitä kriittistä tasoa, hypoteesia ei hylätä (mutta sitä ei myöskään todisteta!).

Joten luottamusvälien avulla, meidän tapauksessamme odotukselle, voit myös testata joitain hypoteeseja. Se on erittäin helppo tehdä. Oletetaan, että jonkin otoksen aritmeettinen keskiarvo on 100. Testataan hypoteesia, jonka mukaan odotusarvo on esimerkiksi 90. Eli jos esitämme kysymyksen primitiivisesti, se kuulostaa tältä: voiko olla niin, että otoksen todellisella arvolla. keskiarvo on 90, havaittu keskiarvo oli 100?

Tähän kysymykseen vastaamiseksi tarvitaan lisätietoja keskihajonnasta ja otoksen koosta. Oletetaan, että keskihajonta on 30 ja havaintojen määrä on 64 (juuren erottamiseksi helposti). Tällöin keskiarvon standardivirhe on 30/8 tai 3,75. 95 %:n luottamusvälin laskemiseksi sinun on jätettävä sivuun kaksi standardivirhettä keskiarvon (tarkemmin 1,96) molemmille puolille. Luottamusväli on noin 100 ± 7,5 tai 92,5 - 107,5.

Lisäperustelut ovat seuraavat. Jos testattu arvo osuu luottamusväliin, se ei ole ristiriidassa hypoteesin kanssa, koska mahtuu satunnaisten vaihteluiden rajoihin (todennäköisyydellä 95 %). Jos testattava piste on luottamusvälin ulkopuolella, niin tällaisen tapahtuman todennäköisyys on hyvin pieni, joka tapauksessa alle hyväksyttävän tason. Tästä syystä hypoteesi hylätään, koska se on ristiriidassa havaitun tiedon kanssa. Meidän tapauksessamme odotushypoteesi on luottamusvälin ulkopuolella (testattu arvo 90 ei sisälly väliin 100±7,5), joten se tulee hylätä. Vastaamalla yllä olevaan primitiiviseen kysymykseen, pitäisi sanoa: ei, se ei voi, joka tapauksessa, tämä tapahtuu erittäin harvoin. Usein tämä viittaa tiettyyn hypoteesin virheellisen hylkäämisen todennäköisyyteen (p-taso), eikä tiettyä tasoa, jonka mukaan luottamusväli rakennettiin, vaan siitä lisää toisella kerralla.

Kuten näet, keskiarvon (tai matemaattisen odotuksen) luottamusvälin rakentaminen ei ole vaikeaa. Tärkeintä on saada kiinni olemuksesta, ja sitten asiat etenevät. Käytännössä useimmat käyttävät 95 %:n luottamusväliä, joka on noin kahden standardivirheen levyinen keskiarvon molemmin puolin.

Tässä kaikki tältä erää. Kaikki parhaat!

Tästä artikkelista opit:

Mitä luottamusväli?

Mikä on pointti 3 sigma sääntöä?

Miten tätä tietämystä voidaan soveltaa käytännössä?

Nykyään suureen tuotevalikoimaan, myyntiohjeisiin, työntekijöihin, toimintoihin jne. liittyvän tiedon liiallisen määrän vuoksi, pääasiaa on vaikea erottaa, johon kannattaa ensinnäkin kiinnittää huomiota ja pyrkiä hallitsemaan. Määritelmä luottamusväli ja analyysi todellisten arvojen rajojen ylittämisestä - tekniikka, joka auttaa tunnistamaan tilanteet, trendeihin vaikuttavia. Pystyt kehittämään positiivisia tekijöitä ja vähentämään negatiivisten vaikutusta. Tätä tekniikkaa käytetään monissa tunnetuissa maailman yrityksissä.

Siellä on ns hälytykset", mikä ilmoittaa esimiehille toteamalla, että seuraava arvo tiettyyn suuntaan meni pidemmälle luottamusväli. Mitä tämä tarkoittaa? Tämä on signaali siitä, että jokin epätyypillinen tapahtuma on tapahtunut, mikä voi muuttaa nykyistä trendiä tähän suuntaan. Tämä on signaali sille selvittääksesi sen tilanteessa ja ymmärtää, mikä siihen vaikutti.

Harkitse esimerkiksi useita tilanteita. Olemme laskeneet myyntiennusteen ennusterajoilla 100 hyödyketuotteelle vuodelle 2011 kuukausittain ja todellisen myynnin maaliskuussa:

1. "Auringonkukkaöljyn" osalta ne ylittivät ennusteen ylärajan eivätkä pudonneet luottamusvälille.
2. "Kuivahiiva" ylitti ennusteen alarajan.
3. "Kaurapuurossa" ylitti ylärajan.

Muiden tavaroiden osalta toteutunut myynti oli ennakoitujen rajojen sisällä. Nuo. myynti oli odotusten mukaista. Joten tunnistimme 3 tuotetta, jotka menivät rajojen yli, ja aloimme selvittää, mikä vaikutti rajojen yli menemiseen:

1. Auringonkukkaöljyn myötä astuimme uuteen kauppaverkostoon, mikä toi meille lisämyyntiä, mikä johti ylärajan ylittymiseen. Tämän tuotteen osalta ennuste kannattaa laskea uudelleen vuoden loppuun asti ottaen huomioon tämän ketjun myynnin ennuste.
2. Dry Yeastille auto juuttui tulliin ja 5 päivän sisällä oli pulaa, mikä vaikutti myynnin laskuun ja alarajan yli menemiseen. Saattaa olla syytä selvittää syyn syy ja yrittää olla toistamatta tätä tilannetta.
3. Kaurapuurolle käynnistettiin myynnin edistäminen, joka johti myynnin merkittävään kasvuun ja johti ennusteen ylittymiseen.

Tunnistamme 3 tekijää, jotka vaikuttivat ennusteen ylittymiseen. Niitä voi olla elämässä paljon enemmänkin Ennustamisen ja suunnittelun tarkkuuden parantamiseksi, ne tekijät, jotka johtavat siihen, että todellinen myynti voi ylittää ennusteen, kannattaa nostaa esille ja rakentaa ennusteet ja suunnitelmat niistä erikseen. Ota sitten huomioon niiden vaikutus tärkeimpään myyntiennusteeseen. Voit myös säännöllisesti arvioida näiden tekijöiden vaikutuksia ja muuttaa tilannetta parempaan suuntaan vähentämällä negatiivisten tekijöiden vaikutusta ja lisäämällä positiivisten tekijöiden vaikutusta.

Luottamusvälillä voimme:

1. Korosta kohteita, joihin kannattaa kiinnittää huomiota, koska näillä alueilla on tapahtunut tapahtumia, jotka voivat vaikuttaa trendin muutos.
2. Määritä tekijät jotka todella tekevät eron.
3. Hyväksyä painotettu päätös(esimerkiksi hankinnoista, suunnittelusta jne.).

Katsotaanpa nyt, mikä luottamusväli on ja kuinka se lasketaan Excelissä esimerkin avulla.

Mikä on luottamusväli?

Luottamusväli on ennusteen rajat (ylempi ja alempi), joiden sisällä tietyllä todennäköisyydellä (sigma) saada todelliset arvot.

Nuo. laskemme ennusteen - tämä on tärkein vertailukohtamme, mutta ymmärrämme, että todelliset arvot eivät todennäköisesti ole 100% yhtä suuria kuin ennusteemme. Ja kysymys herää missä määrin voi saada todellisia arvoja, jos nykyinen trendi jatkuu? Ja tämä kysymys auttaa meitä vastaamaan luottamusvälin laskeminen, eli - ennusteen ylä- ja alarajat.

Mikä on annettu todennäköisyyssigma?

Laskettaessa voimme aseta todennäköisyys osumia todelliset arvot annetuissa ennusterajoissa. Kuinka tehdä se? Tätä varten asetamme sigman arvon ja jos sigma on yhtä suuri:

3 sigmaa- silloin todennäköisyys osua seuraavaan todelliseen arvoon luottamusvälillä on 99,7 % tai 300-1, tai on 0,3 % todennäköisyys ylittää rajat.

2 sigmaa- silloin todennäköisyys osua seuraavaan arvoon rajojen sisällä on ≈ 95,5 %, ts. kertoimet ovat noin 20-1 tai on 4,5 %:n mahdollisuus mennä ulos rajoista.

1 sigma- silloin todennäköisyys on ≈ 68,3 %, ts. todennäköisyys on noin 2:1, tai on 31,7 %:n mahdollisuus, että seuraava arvo putoaa luottamusvälin ulkopuolelle.

Me muotoilimme 3 Sigma-sääntö,joka sanoo sen osuman todennäköisyys toinen satunnainen arvo luottamusväliin tietyllä arvolla Kolme sigmaa on 99,7 %.

Suuri venäläinen matemaatikko Chebyshev osoitti lauseen, jonka mukaan on 10% mahdollisuus ylittää ennusteen rajat annetulla kolmen sigman arvolla. Nuo. todennäköisyys putoaa 3 sigman luottamusvälille on vähintään 90 %, kun taas yritys laskea ennuste ja sen rajat "silmällä" on täynnä paljon merkittävämpiä virheitä.

Kuinka itsenäisesti laskea luottamusväli Excelissä?

Tarkastellaanpa Excelin luottamusvälin laskentaa (eli ennusteen ylä- ja alarajaa) esimerkin avulla. Meillä on aikasarja - myynti kuukausittain 5 vuoden ajalta. Katso liitetiedosto.

Laskemme ennusteen rajat:

1. Myyntiennuste().
2. Sigma - keskihajonta ennustemallit todellisista arvoista.
3. Kolme sigmaa.
4. Luottamusväli.

1. Myyntiennuste.

=(RC[-14] (tiedot aikasarjoissa)-RC[-1] (mallin arvo))^2(neliö)

3. Summaa kullekin kuukaudelle poikkeamaarvot vaiheesta 8 Sum((Xi-Ximod)^2), ts. Lasketaan yhteen tammikuu, helmikuu... joka vuosi.

Käytä tätä varten kaavaa =SUMIF()

SUMIF(taulukko jaksojen lukumäärällä syklin sisällä (kuukausille 1 - 12); viittaus jakson numeroon jaksossa; viittaus taulukkoon, jossa on lähtötietojen ja syklin arvojen välisen eron neliöt jaksot)

4. Laske standardipoikkeama kullekin jaksolle 1-12 (vaihe 10 liitetiedostossa).

Tätä varten erotamme vaiheessa 9 lasketusta arvosta juuri ja jaamme tämän syklin jaksojen lukumäärällä miinus 1 = ROOT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Käytetään Excelin kaavoja =ROOT(R8 (viittaus (Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (viittaus taulukkoon, jossa on jaksonumerot); O8 (viittaus tiettyyn syklin numeroon, jota tarkastelemme taulukossa))-1))

Käyttämällä Excel-kaavaa = COUNTIF laskemme luvun n

Laskemalla todellisten tietojen keskihajonnan ennustemallista, saimme kunkin kuukauden sigma-arvon - vaihe 10 liitetiedostossa.

3. Laske 3 sigmaa.

Vaiheessa 11 asetamme sigmien lukumäärän - esimerkissämme "3" (vaihe 11 liitetiedostossa):

Myös käytännön sigma-arvot:

1,64 sigma - 10 %:n mahdollisuus ylittää raja (1 mahdollisuus 10:stä);

1,96 sigma - 5 %:n mahdollisuus mennä rajojen ulkopuolelle (1 mahdollisuus 20:stä);

2,6 sigma - 1 %:n mahdollisuus mennä rajojen ulkopuolelle (1:100 mahdollisuus).

5) Laskemme kolme sigmaa, tätä varten kerromme kunkin kuukauden "sigma"-arvot "3":lla.

3. Määritä luottamusväli.

1. Ennusteen yläraja- myyntiennuste ottaen huomioon kasvun ja kausivaihtelun + (plus) 3 sigmaa;
2. Alempi ennusteen raja- myyntiennuste ottaen huomioon kasvun ja kausivaihtelun - (miinus) 3 sigmaa;

Pitkän ajanjakson luottamusvälin laskemisen helpottamiseksi (katso liitetiedosto), käytämme Excel-kaavaa =Y8+VHAKU(W8;$U$8:$V$19;2;0), missä

Y8- myyntiennuste;

W8- sen kuukauden numero, jolle otamme 3 sigman arvon;

Nuo. Ennusteen yläraja= "myyntiennuste" + "3 sigmaa" (esimerkissä VLOOKUP(kuukauden numero; taulukko 3 sigma-arvolla; sarake, josta poimitaan sigma-arvo, joka on yhtä suuri kuin kuukauden numero vastaavalla rivillä; 0)).

Alempi ennusteen raja= "myyntiennuste" miinus "3 sigmaa".

Joten, olemme laskeneet luottamusvälin Excelissä.

Nyt meillä on ennuste ja vaihteluväli rajoilla, joiden sisällä todelliset arvot putoavat tietyllä todennäköisyyssigmalla.

Tässä artikkelissa tarkastelimme, mitä sigma ja kolmen sigman sääntö ovat, kuinka määrittää luottamusväli ja mihin tätä tekniikkaa voidaan käyttää käytännössä.

Tarkkoja ennusteita ja menestystä sinulle!

Miten Forecast4AC PRO voi auttaa sinualuottamusväliä laskettaessa?:

Forecast4AC PRO laskee automaattisesti ennusteen ylä- tai alarajat yli 1000 aikasarjalle samanaikaisesti;

Kyky analysoida ennusteen rajoja verrattuna kaavion ennusteeseen, trendiin ja todelliseen myyntiin yhdellä näppäimen painalluksella;

Forcast4AC PRO -ohjelmassa on mahdollista asettaa sigma-arvo väliltä 1-3.

Liity meihin!

Lataa ilmaisia ​​ennustamis- ja liiketoimintatiedon sovelluksia:

• Novo Forecast Lite- Automaattinen ennusteen laskeminen sisään excel.
• 4analytics- ABC-XYZ-analyysi ja päästöjen analysointi Excel.
• Qlik Sense Työpöytä ja QlikViewPersonal Edition - BI-järjestelmät tietojen analysointiin ja visualisointiin.

Testaa maksullisten ratkaisujen ominaisuuksia:

• Novo Forecast PRO- ennustaminen Excelissä suurille tietotaulukoille.

Usein arvioijan on analysoitava sen segmentin kiinteistömarkkinoita, jossa arviointikohde sijaitsee. Jos markkinat ovat kehittyneet, voi olla vaikeaa analysoida koko esitettävien objektien joukkoa, joten analysointiin käytetään otosta objekteista. Tämä näyte ei ole aina homogeeninen, joskus se on puhdistettava äärimmäisistä - liian korkeista tai liian alhaisista markkinatarjouksista. Tätä tarkoitusta varten sitä sovelletaan luottamusväli. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on tehdä vertaileva analyysi kahdesta menetelmästä luottamusvälin laskentaan ja valita paras laskentavaihtoehto työskennellessäsi eri näytteiden kanssa estimatica.pro-järjestelmässä.

Luottamusväli - lasketaan otoksen perusteella, attribuutin arvojen väli, joka tunnetulla todennäköisyydellä sisältää yleisen populaation arvioidun parametrin.

Luottamusvälin laskemisen tarkoitus on rakentaa sellainen intervalli näytetietojen perusteella, jotta voidaan tietyllä todennäköisyydellä väittää, että estimoidun parametrin arvo on tällä välillä. Toisin sanoen luottamusväli tietyllä todennäköisyydellä sisältää arvioidun suuren tuntemattoman arvon. Mitä leveämpi väli, sitä suurempi on epätarkkuus.

Luottamusvälin määrittämiseen on erilaisia ​​menetelmiä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kahta tapaa:

• mediaanin ja keskihajonnan kautta;
• t-tilaston kriittisen arvon (Student's-kerroin) kautta.

Erilaisten CI:n laskentamenetelmien vertailevan analyysin vaiheet:

1. muodostaa tietonäyte;

2. käsittelemme sen tilastollisilla menetelmillä: laskemme keskiarvon, mediaanin, varianssin jne.;

3. laskemme luottamusvälin kahdella tavalla;

4. Analysoi puhdistetut näytteet ja saadut luottamusvälit.

Vaihe 1. Datan otanta

Otos muodostettiin käyttämällä estimatica.pro-järjestelmää. Otokseen sisältyi 91 tarjousta 1-huoneen asuntojen myyntiin 3. hintavyöhykkeellä suunnittelutyypillä "Hruštšov".

Taulukko 1. Ensimmäinen näyte

	Hinta 1 neliömetri, c.u.

Kuva 1. Alkuperäinen näyte

Vaihe 2. Ensimmäisen näytteen käsittely

Näytteen käsittely tilastollisilla menetelmillä edellyttää seuraavien arvojen laskemista:

1. Aritmeettinen keskiarvo

2. Mediaani - näytettä kuvaava luku: tasan puolet otoselementeistä on suurempia kuin mediaani, toinen puoli on pienempi kuin mediaani

(näytteelle, jossa on pariton määrä arvoja)

3. Alue - ero näytteen enimmäis- ja vähimmäisarvojen välillä

4. Varianssi - käytetään tietojen vaihtelun tarkempaan arvioimiseen

5. Otoksen keskihajonta (jäljempänä RMS) on yleisin säätöarvojen hajaantumisen osoitin aritmeettisen keskiarvon ympärillä.

6. Variaatiokerroin - heijastaa säätöarvojen hajonta-astetta

7. värähtelykerroin - heijastaa otoksessa olevien hintojen ääriarvojen suhteellista vaihtelua keskiarvon ympärillä

Taulukko 2. Alkuperäisen otoksen tilastolliset indikaattorit

Aineiston homogeenisuutta kuvaava variaatiokerroin on 12,29 %, mutta värähtelykerroin on liian suuri. Näin ollen voidaan todeta, että alkuperäinen näyte ei ole homogeeninen, joten siirrytään luottamusvälin laskemiseen.

Vaihe 3. Luottamusvälin laskenta

Menetelmä 1. Laskenta mediaanin ja keskihajonnan avulla.

Luottamusväli määritetään seuraavasti: minimiarvo - keskihajonta vähennetään mediaanista; maksimiarvo - keskihajonta lisätään mediaaniin.

Siten luottamusväli (47179 CU; 60689 CU)

Riisi. 2. Arvot luottamusvälillä 1.

Menetelmä 2. Luottamusvälin rakentaminen t-tilaston kriittisen arvon (opiskelijakerroin) avulla

S.V. Gribovsky kirjassa "Matemaattiset menetelmät omaisuuden arvon arvioimiseksi" kuvaa menetelmän luottamusvälin laskemiseksi Studentin kertoimen avulla. Tällä menetelmällä laskettaessa estimaattorin on itse asetettava merkitsevyystaso ∝, joka määrittää todennäköisyyden, jolla luottamusväli rakennetaan. Yleisesti käytetään merkitsevyystasoja 0,1; 0,05 ja 0,01. Ne vastaavat luottamustodennäköisyyksiä 0,9; 0,95 ja 0,99. Tällä menetelmällä matemaattisen odotuksen ja varianssin todellisia arvoja pidetään käytännössä tuntemattomina (mikä on lähes aina totta käytännön arviointiongelmia ratkaistaessa).

Luottamusvälin kaava:

n - näytteen koko;

t-tilaston (opiskelijajakaumien) kriittinen arvo merkitsevyystasolla ∝, vapausasteiden lukumäärä n-1, joka määritetään erityisillä tilastotaulukoilla tai MS Excelillä (→"Tilasto"→ STUDRASPOBR);

∝ - merkitsevyystaso, otamme ∝=0,01.

Riisi. 2. Arvot luottamusvälillä 2.

Vaihe 4. Luottamusvälin laskemistapojen analyysi

Kaksi luottamusvälin laskentamenetelmää - mediaanin ja Studentin kertoimen kautta - johtivat intervallien erilaisiin arvoihin. Vastaavasti saatiin kaksi erilaista puhdistettua näytettä.

Taulukko 3. Kolmen otoksen tilastolliset indikaattorit.

Indikaattori	Alkuperäinen näyte	1 vaihtoehto	Vaihtoehto 2
Tarkoittaa
Dispersio
Coef. muunnelmat
Coef. värähtelyjä
Vanhojen kohteiden lukumäärä, kpl.

Tehtyjen laskelmien perusteella voidaan sanoa, että eri menetelmillä saatujen luottamusvälien arvot leikkaavat toisiaan, joten voit käyttää mitä tahansa laskentamenetelmiä arvioijan harkinnan mukaan.

Uskomme kuitenkin, että estimatica.pro-järjestelmässä työskennellessä on suositeltavaa valita menetelmä luottamusvälin laskentaan markkinoiden kehitysasteesta riippuen:

• jos markkinat eivät ole kehittyneet, käytä laskentamenetelmää mediaanin ja keskihajonnan kautta, koska käytöstä poistettujen kohteiden määrä on tässä tapauksessa pieni;
• jos markkinat kehittyvät, käytä laskentaa t-tilaston kriittisen arvon (Student's-kertoimen) kautta, koska on mahdollista muodostaa suuri alkuotos.

Artikkelin valmistelussa käytettiin:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Matemaattiset menetelmät omaisuuden arvon määrittämiseen. Moskova, 2014

2. Tiedot estimatica.pro-järjestelmästä