1. Lineaarinen murtofunktio ja sen kuvaaja

Funktiota, jonka muoto on y = P(x) / Q(x), jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja, kutsutaan murto-rationaaliseksi funktioksi.

Olet luultavasti jo perehtynyt rationaalilukujen käsitteeseen. samalla lailla rationaaliset toiminnot ovat funktioita, jotka voidaan esittää kahden polynomin osamääränä.

Jos murto-osainen rationaalinen funktio on kahden lineaarisen funktion osamäärä - ensimmäisen asteen polynomit, ts. katselutoiminto

y = (ax + b) / (cx + d), niin sitä kutsutaan murto-lineaariseksi.

Huomaa, että funktiossa y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (muuten funktiosta tulee lineaarinen y = ax/d + b/d) ja että a/c ≠ b/d (muuten funktio on vakio ). Lineaarinen murtolukufunktio määritellään kaikille reaaliluvuille, paitsi x = -d/c. Lineaaristen murtolukufunktioiden kuvaajat eivät poikkea muodoltaan graafista, jonka tiedät y = 1/x. Kutsutaan käyrää, joka on funktion y = 1/x kuvaaja hyperbolia. Kun x:n absoluuttinen arvo kasvaa rajattomasti, funktio y = 1/x pienenee rajattomasti absoluuttisesti ja kaavion molemmat haarat lähestyvät abskissa-akselia: oikea lähestyy ylhäältä ja vasen alhaalta. Hyperbolin haarojen lähestymiä viivoja kutsutaan sen oksiksi asymptootteja.

Esimerkki 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Päätös.

Valitaan kokonaislukuosa: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Nyt on helppo nähdä, että tämän funktion kuvaaja saadaan funktion y = 1/x graafista seuraavilla muunnoksilla: siirrytään 3 yksikkösegmenttiä oikealle, venytetään Oy-akselia pitkin 7 kertaa ja siirretään 2 yksikkösegmenttiä ylöspäin.

Mikä tahansa murtoluku y = (ax + b) / (cx + d) voidaan kirjoittaa samalla tavalla korostaen "koko osaa". Tästä johtuen kaikkien lineaaristen murto-osien funktioiden kuvaajat ovat eri tavoin koordinaattiakseleita pitkin siirrettyjä ja Oy-akselia pitkin venytettyjä hyperboleja.

Jonkin mielivaltaisen lineaarisen murto-osan funktion kaavion piirtämiseksi ei ole lainkaan tarpeen muuttaa tämän funktion määrittelevää murto-osaa. Koska tiedämme, että graafi on hyperbola, riittää, kun löytää suorat, joihin sen haarat lähestyvät - hyperbola-asymptootit x = -d/c ja y = a/c.

Esimerkki 2

Etsi funktion y = (3x + 5)/(2x + 2) kaavion asymptootit.

Päätös.

Funktiota ei ole määritelty, kun x = -1. Siten viiva x = -1 toimii pystysuorana asymptootina. Löytääksesi vaakasuuntaisen asymptootin, selvitetään, mitä funktion y(x) arvot lähestyvät, kun argumentin x absoluuttinen arvo kasvaa.

Tätä varten jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä x:llä:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kuten x → ∞, murto-osa pyrkii olemaan 3/2. Siten vaaka-asymptootti on suora y = 3/2.

Esimerkki 3

Piirrä funktio y = (2x + 1)/(x + 1).

Päätös.

Valitsemme murto-osan "koko osan":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nyt on helppo nähdä, että tämän funktion kuvaaja saadaan funktion y = 1/x kaaviosta seuraavilla muunnoksilla: 1 yksikön siirtyminen vasemmalle, symmetrinen näyttö Ox:n suhteen ja siirto. 2 yksikön välein ylöspäin Oy-akselia pitkin.

Määritelmän alue D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Arvoalue E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Leikkauspisteet akselien kanssa: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktio kasvaa kullakin määritelmäalueen aikavälillä.

Vastaus: kuva 1.

2. Murto-rationaalinen funktio

Tarkastellaan murto-rationaalista funktiota muotoa y = P(x) / Q(x), missä P(x) ja Q(x) ovat polynomeja, joiden aste on suurempi kuin ensimmäinen.

Esimerkkejä tällaisista rationaalisista funktioista:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) tai y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jos funktio y = P(x) / Q(x) on kahden ensimmäisen astetta korkeamman polynomin osamäärä, niin sen graafi on yleensä monimutkaisempi ja sitä voi joskus olla vaikea rakentaa tarkasti , kaikilla yksityiskohdilla. Usein kuitenkin riittää, että käytetään samankaltaisia ​​tekniikoita kuin ne, joihin olemme jo tutustuneet edellä.

Olkoon murto oikea (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1 - 1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Ilmeisesti murto-osan rationaalisen funktion kuvaaja voidaan saada alkeisosien kuvaajien summana.

Murtolukujen rationaalisten funktioiden piirtäminen

Harkitse useita tapoja piirtää murto-rationaalinen funktio.

Esimerkki 4

Piirrä funktio y = 1/x 2 .

Päätös.

Käytämme funktion y \u003d x 2 kuvaajaa kaavion y \u003d 1 / x 2 piirtämiseen ja käytämme kaavioiden "jakamismenetelmää".

Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Arvoalue E(y) = (0; +∞).

Akseleiden kanssa ei ole leikkauspisteitä. Toiminto on tasainen. Kasvaa kaikelle x:lle väliltä (-∞; 0), pienenee x:lle arvosta 0 arvoon +∞.

Vastaus: kuva 2.

Esimerkki 5

Piirrä funktio y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Päätös.

Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Tässä käytimme factoring-, vähennys- ja vähennystekniikkaa lineaariseksi funktioksi.

Vastaus: kuva 3.

Esimerkki 6

Piirrä funktio y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Päätös.

Määritelmäalue on D(y) = R. Koska funktio on parillinen, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Ennen piirtämistä muutetaan lauseke uudelleen korostamalla kokonaislukuosa:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Huomaa, että kokonaislukuosan valinta murto-rationaalisen funktion kaavassa on yksi tärkeimmistä kaavioita piirrettäessä.

Jos x → ±∞, niin y → 1, eli suora y = 1 on vaakasuora asymptootti.

Vastaus: kuva 4.

Esimerkki 7

Tarkastellaan funktiota y = x/(x 2 + 1) ja yritä löytää sen suurin arvo, ts. korkein kohta kaavion oikealla puolella. Tämän kaavion luomiseksi tarkasti tämän päivän tieto ei riitä. On selvää, että käyrämme ei voi "kiivetä" kovin korkealle, koska nimittäjä alkaa nopeasti "ohittaa" osoittajan. Katsotaan, voiko funktion arvo olla yhtä suuri kuin 1. Tätä varten sinun on ratkaistava yhtälö x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Tällä yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Joten oletuksemme on väärä. Jotta voit löytää funktion suurimman arvon, sinun on selvitettävä, mille suurimmalle A:lle yhtälö A \u003d x / (x 2 + 1) on ratkaisu. Korvataan alkuperäinen yhtälö toisen asteen yhtälöllä: Ax 2 - x + A \u003d 0. Tällä yhtälöllä on ratkaisu, kun 1 - 4A 2 ≥ 0. Täältä löydämme suurimman arvon A \u003d 1/2.

Vastaus: Kuva 5, max y(x) = ½.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä miten funktiokaavioita rakennetaan?
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Rakenna toiminto

Tuomme huomionne funktiokaavioiden piirtämiseen verkossa palvelun, johon kaikki oikeudet kuuluvat yritykselle Desmos. Käytä vasenta saraketta funktioiden syöttämiseen. Voit kirjoittaa manuaalisesti tai käyttämällä ikkunan alareunassa olevaa virtuaalista näppäimistöä. Voit suurentaa kaavioikkunaa piilottamalla sekä vasemman sarakkeen että virtuaalisen näppäimistön.

Online-kartoituksen edut

• Visuaalinen näyttö esitellyistä toiminnoista
• Erittäin monimutkaisten kaavioiden rakentaminen
• Epäsuorasti määriteltyjen kaavioiden piirtäminen (esim. ellipsi x^2/9+y^2/16=1)
• Mahdollisuus tallentaa kaavioita ja saada niihin linkki, joka on kaikkien Internetissä käytettävissä
• Skaalaussäätö, viivan väri
• Kyky piirtää kaavioita pisteiden mukaan, vakioiden käyttö
• Useiden funktioiden kuvaajien rakentaminen samanaikaisesti
• Piirtäminen napakoordinaateissa (käytä r:tä ja θ(\theta))

Meillä on helppo rakentaa monimutkaisia ​​kaavioita verkossa. Rakentaminen valmistuu välittömästi. Palvelulla on kysyntää funktioiden leikkauspisteiden etsimiseen, graafien näyttämiseen niiden edelleen siirtämistä varten Word-dokumenttiin kuvituksena tehtävien ratkaisuun, funktiokaavioiden käyttäytymisominaisuuksien analysointiin. Paras selain kaavioiden työskentelyyn sivuston tällä sivulla on Google Chrome. Muita selaimia käytettäessä oikeaa toimintaa ei taata.

Kun ymmärrät todella, mikä funktio on (sinun on ehkä luettava oppitunti useammin kuin kerran), pystyt ratkaisemaan funktioiden ongelmia varmemmin.

Tällä oppitunnilla analysoimme, kuinka ratkaistaan ​​pääasialliset funktioongelmat ja funktiokaaviot.

Kuinka saada funktion arvo

Mietitäänpä tehtävää. Funktio annetaan kaavalla "y \u003d 2x - 1"

1. Laske " y"Kun" x \u003d 15 "
2. Etsi arvo " x", jossa arvo " y "on yhtä suuri kuin" −19".

Laskeaksesi " y":lla" x \u003d 15"Riittää, että funktioon korvataan vaadittu numeerinen arvo "x":n sijaan.

Ratkaisumerkintä näyttää tältä:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Löytääkseen "x"tunnetun" y:n mukaan, on tarpeen korvata "y":n sijasta numeerinen arvo funktiokaavassa.

Eli nyt päinvastoin etsitään "x"Korvaamme funktiossa" y \u003d 2x - 1 "Y:n sijasta numero" −19".

−19 = 2x − 1

Olemme saaneet lineaarisen yhtälön tuntemattomalla "x":llä, joka ratkaistaan ​​lineaaristen yhtälöiden ratkaisusääntöjen mukaisesti.

Muistaa!

Älä unohda yhtälöiden siirtosääntöä.

Siirrettäessä yhtälön vasemmalta puolelta oikealle (ja päinvastoin), kirjain tai numero vaihtuu etumerkiksi vastapäätä.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Kuten lineaarisen yhtälön ratkaisemisessa, tuntemattoman löytämiseksi meidän on nyt kerrottava sekä vasen että oikea puoli kohtaan "−1" vaihtaaksesi etumerkin.

-2x = 18 | (-1)
2x = -18

Jaetaan nyt sekä vasen että oikea puoli "2":lla löytääksemme "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Kuinka tarkistaa, onko yhtäläisyys totta funktiolle

Mietitäänpä tehtävää. Funktio saadaan kaavasta "f(x) = 2 − 5x".

Onko yhtälö "f(−2) = −18" totta?

Tarkistaaksesi, onko yhtälö totta, sinun on korvattava numeerinen arvo "x = −2" funktioon " f (x) \u003d 2 - 5x"Ja verrattava siihen, mitä tapahtuu laskelmissa.

Tärkeä!

Kun korvaat negatiivisen luvun "x", muista merkitä se suluissa.

Ei oikein

oikein

Laskelmien avulla saatiin "f(−2) = 12".

Tämä tarkoittaa, että "f(-2) = -18" funktiolle "f(x) = 2 - 5x" ei ole kelvollinen yhtälö.

Kuinka tarkistaa, kuuluuko piste funktion kuvaajaan

Tarkastellaan funktiota "y \u003d x 2 −5x + 6"

On selvitettävä, kuuluuko piste koordinaatteineen (1; 2) tämän funktion kuvaajaan.

Tätä tehtävää varten ei tarvitse piirtää tiettyä funktiota.

Muistaa!

Sen selvittämiseksi, kuuluuko piste funktioon, riittää, että korvaa sen koordinaatit funktioon (koordinaatti akselilla "x" sijaan "x"Ja koordinaatti akselilla" Oy "y" sijasta).

Jos tämä onnistuu todellista tasa-arvoa, joten piste kuuluu funktioon.

Palataan tehtäväämme. Korvaa funktiossa "y \u003d x 2 - 5x + 6" pisteen koordinaatit (1; 2).

"x" korvaamme "1" sijaan. Sen sijaan "y"Substitute" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (oikein)

Olemme saaneet oikean yhtälön, mikä tarkoittaa, että piste, jolla on koordinaatit (1; 2), kuuluu annettuun funktioon.

Tarkastetaan nyt piste koordinaateilla (0; 1) . Kuuluuko hän
funktiot "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Korvataan "x":n sijaan "0". Sen sijaan "y"Substitute" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (väärin)

Tässä tapauksessa emme saaneet oikeaa tasa-arvoa. Tämä tarkoittaa, että piste, jonka koordinaatit (0; 1) ei kuulu funktioon " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Kuinka saada funktiopisteen koordinaatit

Voit ottaa pisteen koordinaatit mistä tahansa funktiokaaviosta. Sitten sinun on varmistettava, että kun funktiokaavassa koordinaatit korvataan, saadaan oikea yhtäläisyys.

Tarkastellaan funktiota "y(x) = −2x + 1". Olemme jo rakentaneet sen aikataulun edellisellä oppitunnilla.

Etsitään funktion " y (x) \u003d -2x + 1" kaaviosta, joka on yhtä suuri kuin" y" x \u003d 2.

Tätä varten piirrä arvosta " 2"akselilla" Ox kohtisuora funktion kuvaajaan nähden. Piirrä kohtisuoran ja funktion kuvaajan leikkauspisteestä toinen kohtisuora akseliin "Oy".

Tuloksena oleva arvo " −3"akselilla" Oy"Ja on haluttu arvo" y».

Varmistetaan, että otimme oikein pisteen koordinaatit x = 2:lle
funktiossa "y(x) = −2x + 1".

Tätä varten korvaamme x \u003d 2 funktion "y (x) \u003d -2x + 1" kaavaan. Jos piirretään kohtisuora oikein, pitäisi myös päätyä y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Laskettaessa saimme myös y = −3.

Tämä tarkoittaa, että saimme koordinaatit oikein funktion kaaviosta.

Tärkeä!

Muista tarkistaa kaikki pisteen koordinaatit funktiokaaviosta korvaamalla "x":n arvot funktioon.

Kun funktioon korvataan numeerinen arvo "x", tuloksena tulee olla sama arvo" y", jonka sait kaaviosta.

Kun hankit pisteiden koordinaatit funktion kaaviosta, on erittäin todennäköistä, että teet virheen, koska kohtisuoran piirtäminen akseleihin nähden suoritetaan "silmällä".

Vain arvojen korvaaminen funktiokaavalla antaa tarkat tulokset.

Tietoa perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat yhtä tärkeää kuin kertotaulukon tunteminen. Ne ovat kuin perustus, kaikki perustuu niihin, kaikki on rakennettu heistä ja kaikki laskeutuu heille.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät perusfunktiot, annamme niiden kaaviot ja annamme ne ilman johtamista ja todisteita. perusfunktioiden ominaisuudet kaavan mukaan:

• funktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla, vertikaaliset asymptootit (katso tarvittaessa artikkelin funktion katkaisupisteiden luokittelu);
• parillinen ja pariton;
• kuperuus (kuperuus ylöspäin) ja koveruus (kuperuus alaspäin) -välit, käännepisteet (katso tarvittaessa artikkelifunktio kupera, kuperasuunta, taivutuspisteet, kupera ja taivutusehdot);
• vinot ja vaakasuuntaiset asymptootit;
• funktioiden yksittäiset pisteet;
• joidenkin funktioiden erityisominaisuudet (esimerkiksi trigonometristen funktioiden pienin positiivinen jakso).

Jos olet kiinnostunut tai, voit mennä näihin teorian osiin.

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), n:nnen asteen juuri, potenssifunktio, eksponentiaalinen, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Sivulla navigointi.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio on annettu kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C on jokin reaaliluku. Vakiofunktio antaa jokaiselle riippumattoman muuttujan x todelliselle arvolle saman riippuvan muuttujan y arvon - arvon С. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka kulkee pisteen läpi, jonka koordinaatit (0,C) . Esitetään esimerkiksi kaavioita vakiofunktioista y=5 , y=-2 ja , jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa.

Vakiofunktion ominaisuudet.

• Määritelmäalue: koko joukko reaalilukuja.
• Vakiofunktio on tasainen.
• Arvoalue: joukko, joka koostuu yhdestä luvusta C .
• Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).
• Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.
• Asymptoottia ei ole.
• Funktio kulkee koordinaattitason pisteen (0,C) läpi.

N:nnen asteen juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla , jossa n on yhtä suurempi luonnollinen luku.

N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan n:nnestä juurifunktiosta juurieksponentin n parillisille arvoille.

Esimerkiksi annamme kuvan, jossa on kuvia funktioiden kaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juuren funktioiden kaavioilla on samanlainen muoto indikaattorin muille arvoille.

Parillisen n:n asteen juuren ominaisuudet.

N:nnen asteen juuri, n on pariton luku.

N:nnen asteen juurifunktio ja juurin n pariton eksponentti määritetään koko reaalilukujoukolle. Esitämme esimerkiksi funktioiden kuvaajia ja , musta, punainen ja sininen käyrät vastaavat niitä.

Muilla juurieksponentin parittomilla arvoilla funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Parittoman n:n n:nnen asteen juuren ominaisuudet.

Virtatoiminto.

Tehofunktio annetaan muodon kaavalla.

Harkitse potenssifunktion kuvaajien tyyppiä ja potenssifunktion ominaisuuksia eksponentin arvosta riippuen.

Aloitetaan potenssifunktiolla, jossa on kokonaislukueksponentti a . Tässä tapauksessa potenssifunktioiden kuvaajien muoto ja funktioiden ominaisuudet riippuvat parillisesta tai parittomasta eksponenttista sekä sen etumerkistä. Siksi tarkastelemme ensin potenssifunktioita eksponentin a parittomille positiivisille arvoille, sitten parillisille positiivisille, sitten parittomille negatiivisille eksponenteille ja lopuksi parillisille negatiivisille a.

Murto- ja irrationaalisilla eksponenteilla varustettujen potenssifunktioiden ominaisuudet (sekä tällaisten potenssifunktioiden kuvaajien tyyppi) riippuvat eksponentin a arvosta. Käsittelemme niitä ensinnäkin, kun a on nollasta yhteen, toiseksi, kun a on suurempi kuin yksi, kolmanneksi, kun a on miinus yhdestä nollaan, ja neljänneksi, kun a on pienempi kuin miinus yksi.

Tämän alaosan lopuksi kuvaamme täydellisyyden vuoksi potenssifunktiota, jonka eksponentti on nolla.

Potenssifunktio parittisella positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on pariton positiivinen eksponentti, eli a=1,3,5,… .

Alla olevassa kuvassa on kaavioita tehofunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä a=1 on lineaarinen funktio y=x.

Parittoman positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio jopa positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on parillinen positiivinen eksponentti, eli a=2,4,6,… .

Otetaan esimerkkinä potenssifunktioiden kuvaajat - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva. Kohta a=2 meillä on neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöllinen paraabeli.

Parillisen positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parittoman negatiivisen eksponentin kanssa.

Katso eksponenttifunktion kaavioita eksponentin parittomille negatiivisille arvoille, eli arvolle \u003d -1, -3, -5, ....

Kuvassa on esimerkkinä eksponentiaalisten funktioiden kaavioita - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä on a=-1 käänteinen suhteellisuus, jonka kaavio on hyperbeli.

Parittoman negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio, jossa on parillinen negatiivinen eksponentti.

Jatketaan tehofunktioon a=-2,-4,-6,….

Kuvassa on kaavioita potenssifunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva.

Parillisen negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Potenssifunktio, jolla on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti, jonka arvo on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi.

Huomautus! Jos a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä potenssifunktion alueena. Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukona potenssifunktioiden alueita, joilla on positiivinen murtoluku. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jossa on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a , ja .

Esitämme tehofunktioiden kaaviot a=11/12 (musta viiva), a=5/7 (punainen viiva), (sininen viiva), a=2/5 (vihreä viiva).

Potenssifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi.

Harkitse tehofunktiota, jolla on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a , ja .

Esitetään kaavojen antamien potenssifunktioiden kuvaajat (musta, punainen, sininen ja vihreä viivat).

>

Muille eksponentin a arvoille funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Tehofunktion ominaisuudet kohteelle .

Potenssifunktio, jonka todellinen eksponentti on suurempi kuin miinus yksi ja pienempi kuin nolla.

Huomautus! Jos a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä . Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukkona potenssifunktioiden alueita murto-osien negatiivisilla eksponenteilla. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Siirrymme tehofunktioon , jossa .

Saadaksemme hyvän käsityksen tehofunktioiden kaaviotyypeistä annamme esimerkkejä funktioiden kaavioista (musta, punainen, sininen ja vihreä käyrä).

Potenttifunktion ominaisuudet eksponentti a , .

Potenssifunktio, jonka reaalieksponentti ei ole kokonaisluku, joka on pienempi kuin miinus yksi.

Annetaan esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista for , ne on kuvattu mustilla, punaisilla, sinisillä ja vihreillä viivoilla.

Potenttifunktion ominaisuudet, jonka negatiivinen eksponentti on pienempi kuin miinus yksi.

Kun a=0 ja meillä on funktio - tämä on suora, josta piste (0; 1) jätetään pois (lausekkeelle 0 0 sovittiin, ettei se anna mitään merkitystä).

Eksponentti funktio.

Yksi perusfunktioista on eksponentiaalinen funktio.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta, jossa ja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen. Selvitetään se.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta ottaa arvon nollasta yhteen, eli .

Esitämme esimerkiksi eksponentiaalisen funktion kaaviot, kun a = 1/2 - sininen viiva, a = 5/6 - punainen viiva. Eksponentiaalisen funktion kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille välin kantaarvon arvoille.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on pienempi kuin yksi.

Siirrytään tapaukseen, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi, eli .

Esittelemme kuvaajia eksponentiaalisista funktioista - sininen viiva ja - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, eksponentiaalisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on suurempi kuin yksi.

Logaritminen funktio.

Seuraava perusalkeisfunktio on logaritminen funktio , jossa , . Logaritminen funktio määritetään vain argumentin positiivisille arvoille, eli .

Logaritmisen funktion kuvaaja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen.

Aloitetaan tapauksesta, jolloin .

Esitämme esimerkiksi logaritmisen funktion kaaviot, kun a = 1/2 - sininen viiva, a = 5/6 - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka eivät ylitä yhtä, logaritmisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Logaritmisen funktion ominaisuudet, joiden kanta on pienempi kuin yksi.

Jatketaan tapaukseen, jossa logaritmisen funktion kanta on suurempi kuin yksi ().

Esitetään logaritmisten funktioiden kaavioita - sininen viiva, - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, logaritmisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Sellaisen logaritmisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on suurempi kuin yksi.

Trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Kaikki trigonometriset funktiot (sini, kosini, tangentti ja kotangentti) ovat perusalkeisfunktioita. Nyt tarkastelemme niiden kaavioita ja luettelemme niiden ominaisuudet.

Trigonometrisilla funktioilla on käsite jaksotus(funktioarvojen toistuminen argumentin eri arvoille, jotka eroavat toisistaan ​​jakson arvon perusteella , jossa T on piste), joten trigonometristen funktioiden ominaisuuksien luetteloon on lisätty kohde "pienin positiivinen ajanjakso". Lisäksi jokaiselle trigonometriselle funktiolle ilmoitamme argumentin arvot, joissa vastaava funktio katoaa.

Nyt käsitellään kaikki trigonometriset funktiot järjestyksessä.

Sinifunktio y = sin(x) .

Piirretään sinifunktion kaavio, sitä kutsutaan "sinifunktioksi".

Sinifunktion y = sinx ominaisuudet.

Kosinifunktio y = cos(x) .

Kosinifunktion kaavio (jota kutsutaan "kosiniksi") näyttää tältä:

Kosinifunktion ominaisuudet y = cosx .

Tangenttifunktio y = tg(x) .

Tangenttifunktion kaavio (jota kutsutaan "tangentoidiksi") näyttää tältä:

Funktioominaisuudet tangentti y = tgx .

Kotangenttifunktio y = ctg(x) .

Piirretään kaavio kotangenttifunktiosta (jota kutsutaan "kotangentoidiksi"):

Kotangenttifunktion ominaisuudet y = ctgx .

Käänteiset trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Käänteiset trigonometriset funktiot (arksini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti) ovat perusalkeisfunktioita. Usein etuliitteen "kaari" vuoksi käänteisiä trigonometrisiä funktioita kutsutaan kaarifunktioiksi. Nyt tarkastelemme niiden kaavioita ja luettelemme niiden ominaisuudet.

Arksifunktio y = arcsin(x) .

Piirretään arsinifunktio:

Funktioominaisuudet arkotangentti y = arcctg(x) .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. koulutusinstituutiot.
• Vygodsky M.Ya. Perusmatematiikan käsikirja.
• Novoselov S.I. Algebra ja alkeisfunktiot.
• Tumanov S.I. Algebra. Opas itseopiskeluun.

Katsotaanpa, kuinka funktiota tutkitaan kaavion avulla. Osoittautuu, että katsomalla kaaviota voit selvittää kaiken, mikä kiinnostaa meitä, nimittäin:

• toiminnon laajuus
• toimintoalue
• funktion nollia
• nousun ja laskun jaksot
• korkeat ja matalat kohdat
• segmentin funktion suurin ja pienin arvo.

Selvennetään terminologiaa:

Abskissa on pisteen vaakakoordinaatti.
Ordinate- pystysuora koordinaatti.
abskissa- vaaka-akseli, jota useimmiten kutsutaan akseliksi.
Y-akseli- pystyakseli tai akseli.

Perustelu on itsenäinen muuttuja, josta funktion arvot riippuvat. Useimmiten ilmoitettu.
Toisin sanoen me itse valitsemme , korvaamme funktiokaavassa ja saamme .

Verkkotunnus funktiot - niiden (ja vain niiden) argumentin arvojen joukko, joille funktio on olemassa.
Merkitään: tai .

Kuvassamme funktion alue on segmentti. Tälle segmentille piirretään funktion kaavio. Vain täällä tämä toiminto on olemassa.

Toimintoalue on joukko arvoja, jotka muuttuja ottaa. Kuvassamme tämä on segmentti - pienimmästä suurimpaan arvoon.

Toimintojen nollia- pisteet, joissa funktion arvo on nolla, eli . Kuvassamme nämä ovat pisteet ja .

Toimintoarvot ovat positiivisia missä . Kuvassamme nämä ovat intervallit ja .
Toimintojen arvot ovat negatiivisia missä . Meillä on tämä aikaväli (tai väli) alkaen -.

Tärkeimmät käsitteet - lisäävät ja vähentävät toimintoja jossain setissä. Joukkona voit ottaa segmentin, intervallin, intervalliliiton tai koko numeroviivan.

Toiminto lisääntyy

Toisin sanoen mitä enemmän , sitä enemmän , eli kaavio menee oikealle ja ylöspäin.

Toiminto vähenee joukossa jos jollekin ja joukkoon kuuluminen merkitsee epätasa-arvoa .

Pienevälle funktiolle suurempi arvo vastaa pienempää arvoa. Kaavio kulkee oikealle ja alas.

Kuvassamme funktio kasvaa intervalleilla ja pienenee intervalleilla ja .

Määritellään mikä on funktion maksimi- ja minimipisteet.

Maksimipiste- tämä on määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on suurempi kuin kaikissa tarpeeksi lähellä olevissa pisteissä.
Toisin sanoen maksimipiste on sellainen piste, funktion arvo, jossa lisää kuin naapureissa. Tämä on paikallinen "kukkula" kartalla.

Kuvassamme - maksimipiste.

Matala kohta- määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on pienempi kuin kaikissa sitä riittävän lähellä olevissa pisteissä.
Eli minimipiste on sellainen, että funktion arvo siinä on pienempi kuin viereisissä. Kaaviossa tämä on paikallinen "reikä".

Kuvassamme - minimipiste.

Pointti on raja. Se ei ole määritelmäalueen sisäinen piste, eikä siksi sovi maksimipisteen määritelmään. Loppujen lopuksi hänellä ei ole naapureita vasemmalla. Samalla tavalla kaaviossamme ei voi olla minimipistettä.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan yhteisesti funktion ääripisteet. Meidän tapauksessamme tämä on ja .

Mutta entä jos sinun on löydettävä esim. funktion minimi leikkauksessa? Tässä tapauksessa vastaus on: koska funktion minimi on sen arvo minimipisteessä.

Vastaavasti funktiomme maksimi on . Se saavutetaan kohdassa .

Voimme sanoa, että funktion ääripäät ovat yhtä suuria ja .

Joskus tehtävissä sinun täytyy löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot tietyllä segmentillä. Ne eivät välttämättä sovi yhteen äärimmäisyyksien kanssa.

Meidän tapauksessamme pienin funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion minimi ja on sen kanssa sama. Mutta sen suurin arvo tällä segmentillä on yhtä suuri kuin . Se saavutetaan segmentin vasemmassa päässä.

Joka tapauksessa janan jatkuvan funktion suurimmat ja pienimmät arvot saavutetaan joko janan ääripisteissä tai päissä.