Potenttifunktion tarkastelun helpottamiseksi tarkastelemme neljää erillistä tapausta: potenssifunktio, jossa on luonnollinen eksponentti, potenssifunktio, jossa on kokonaisluku, potenssifunktio, jossa on rationaalinen eksponentti, ja potenssifunktio irrationaalisen eksponentin kanssa.
Tehofunktio luonnollisella eksponentilla
Aluksi otamme käyttöön tutkinnon käsitteen luonnollisella eksponentilla.
Määritelmä 1
Luonnollisen eksponentin $n$ reaaliluvun $a$ potenssi on luku, joka on yhtä suuri kuin $n$ tekijöiden tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin luku $a$.
Kuva 1.
$a$ on tutkinnon perusta.
$n$ - eksponentti.
Tarkastellaan nyt potenssifunktiota, jolla on luonnollinen eksponentti, sen ominaisuuksia ja kuvaaja.
Määritelmä 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ kutsutaan potenssifunktioksi, jolla on luonnollinen eksponentti.
Lisämukavuuden vuoksi harkitse erikseen potenssifunktiota, jossa on parillinen eksponentti $f\left(x\right)=x^(2n)$ ja potenssifunktiota parittoman eksponentin kanssa $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.
Luonnollisen parillisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ on parillinen funktio.
Laajuus -- $ \
Funktio pienenee muodossa $x\in (-\infty ,0)$ ja kasvaa muodossa $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $
Funktio on konveksi koko määritelmäalueella.
Käyttäytyminen laajuuden päissä:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Kaavio (kuva 2).
Kuva 2. Kuvaaja funktiosta $f\left(x\right)=x^(2n)$
Luonnollisen parittoman eksponentin potenssifunktion ominaisuudet
Määritelmäalue on kaikki reaaliluvut.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ on pariton funktio.
$f(x)$ on jatkuva koko määritelmäalueella.
Alue on kaikki reaalilukuja.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funktio on kovera arvolle $x\in (-\infty ,0)$ ja kupera arvolle $x\in (0,+\infty)$.
Kaavio (kuva 3).
Kuva 3. Kuvaaja funktiosta $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Potenttifunktio kokonaislukueksponentilla
Aluksi otamme käyttöön asteen käsitteen kokonaislukueksponentilla.
Määritelmä 3
Reaaliluvun $a$ aste, jossa on kokonaislukueksponentti $n$, määritetään kaavalla:
Kuva 4
Tarkastellaan nyt potenssifunktiota, jossa on kokonaislukueksponentti, sen ominaisuuksia ja kuvaajaa.
Määritelmä 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ kutsutaan potenssifunktioksi, jossa on kokonaislukueksponentti.
Jos aste on suurempi kuin nolla, niin päästään luonnollisen eksponentin potenssifunktion tapaukseen. Olemme jo keskustelleet siitä edellä. Kohdalle $n=0$ saadaan lineaarinen funktio $y=1$. Jätämme sen pohdinnan lukijalle. On vielä tarkasteltava negatiivisen kokonaislukueksponentin potenssifunktion ominaisuuksia
Negatiivisen kokonaislukueksponentin potenssifunktion ominaisuudet
Alue on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jos eksponentti on parillinen, funktio on parillinen, jos se on pariton, niin funktio on pariton.
$f(x)$ on jatkuva koko määritelmäalueella.
Arvoalue:
Jos eksponentti on parillinen, niin $(0,+\infty)$, jos pariton, niin $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jos eksponentti on pariton, funktio pienenee muodossa $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Parillisen eksponentin kohdalla funktio pienenee muodossa $x\in (0,+\infty)$. ja kasvaa muodossa $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ koko verkkotunnuksessa
1. Tehofunktio, sen ominaisuudet ja graafi;
2. Muutokset:
Rinnakkaissiirto;
Symmetria koordinaattiakselien suhteen;
Symmetria alkuperästä;
Symmetria suoralla y = x;
Venyttely ja kutistuminen koordinaattiakseleita pitkin.
3. Eksponentiaalinen funktio, sen ominaisuudet ja graafi, vastaavat muunnokset;
4. Logaritminen funktio, sen ominaisuudet ja graafi;
5. Trigonometrinen funktio, sen ominaisuudet ja graafi, vastaavat muunnokset (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Funktio: y = x\n - sen ominaisuudet ja kaavio.
Tehofunktio, sen ominaisuudet ja kuvaaja
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x jne. Kaikki nämä toiminnot ovat tehofunktion, eli funktion, erikoistapauksia y = xp, jossa p on annettu reaaliluku.
Potenssifunktion ominaisuudet ja kuvaaja riippuvat olennaisesti todellisen eksponentin potenssin ominaisuuksista ja erityisesti arvoista, joille x ja s käydä järkeen xp. Jatketaanpa samanlaiseen tarkasteluun eri tapauksista riippuen
eksponentti s.
- Indeksi p = 2n on parillinen luonnollinen luku.
y=x2n, missä n on luonnollinen luku ja sillä on seuraavat ominaisuudet:
- määritelmäalue on kaikki reaaliluvut, eli joukko R;
- arvojoukko - ei-negatiiviset luvut, eli y on suurempi tai yhtä suuri kuin 0;
- toiminto y=x2n jopa, koska x 2n = (-x) 2n
- toiminto pienenee aikavälillä x< 0 ja kasvaa välissä x > 0.
Funktiokaavio y=x2n on samassa muodossa kuin esimerkiksi funktion kuvaaja y=x4.
2. Ilmaisin p = 2n - 1- pariton luonnollinen luku
Tässä tapauksessa tehotoiminto y = x2n-1, jossa on luonnollinen luku, on seuraavat ominaisuudet:
- määritelmäalue - joukko R;
- arvojoukko - joukko R;
- toiminto y = x2n-1 outoa koska (- x) 2n-1= x 2n-1;
- funktio kasvaa koko reaaliakselilla.
Funktiokaavio y = x2n-1 y=x3.
3. Ilmaisin p = -2n, missä n- luonnollinen luku.
Tässä tapauksessa tehotoiminto y = x-2n = 1/x2n sillä on seuraavat ominaisuudet:
- arvojoukko - positiiviset luvut y>0;
- funktio y = 1/x2n jopa, koska 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- funktio kasvaa välillä x0.
Funktion y kuvaaja = 1/x2n on samassa muodossa kuin esimerkiksi funktion y kuvaajalla = 1/x2.
4. Ilmaisin p = -(2n-1), missä n- luonnollinen luku.
Tässä tapauksessa tehotoiminto y=x-(2n-1) sillä on seuraavat ominaisuudet:
- määritelmäalue on joukko R, paitsi x = 0;
- arvojoukko - joukko R, paitsi y = 0;
- toiminto y=x-(2n-1) outoa koska (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- toiminto pienenee intervalleilla x< 0 ja x > 0.
Funktiokaavio y=x-(2n-1) on samassa muodossa kuin esimerkiksi funktion kuvaaja y = 1/x3.
