Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

Esimerkiksi:

Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

Numerot, joilla luku on jaollinen (12:lla se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan numeron jakajat. Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun a jälkeä jättämättä. Kutsutaan luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi tekijää komposiitti .

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat luvut: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12. Näiden kahden luvun yhteinen jakaja a ja b on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b.

yhteinen moninkertainen useita lukuja kutsutaan luvuksi, joka on jaollinen kullakin näistä luvuista. Esimerkiksi, luvuilla 9, 18 ja 45 on 180:n yhteinen kerrannainen. Mutta 90 ja 360 ovat myös niiden yhteiset kerrannaiset. Kaikista jcommon kerrannaisista löytyy aina pienin, tässä tapauksessa se on 90. Tämä luku on ns. vähitenyhteinen moninkertainen (LCM).

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritelty.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Ominaisuudet.

Kommutatiivisuus:

Assosiatiivisuus:

Erityisesti, jos ja ovat koprime-lukuja , niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n. Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m,n osuu yhteen LCM( m,n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-funktio. Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g(n).

Mitä seuraa alkulukujen jakautumislaista.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen.

NOC( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1 ,..., p k ovat erilaisia ​​alkulukuja ja d 1,...,dk ja e 1,...,ek ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole hajotuksessa).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-laajennus sisältää kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät ainakin yhteen numerolaajennuksista. a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen laskeminen voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- siirrä suurin laajennus halutun tuotteen tekijöihin (annetuista suurimman joukon tekijöiden tulo) ja lisää sitten kertoimet muiden lukujen laajennuksesta, jotka eivät esiinny ensimmäisessä numerossa tai ovat siinä pienempi määrä kertoja;

- alkutekijöiden tuloksena saatava tulo on annettujen lukujen LCM.

Kaikilla kahdella tai useammalla luonnollisella luvulla on oma LCM. Jos luvut eivät ole toistensa kerrannaisia ​​tai niillä ei ole samoja kertoimia laajennuksessa, niin niiden LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Luvun 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), jolloin tulokseksi saadaan pienin luku, joka on jaollinen 21:llä ja 28:lla.

Suurimman luvun 30 alkutekijöitä täydennettiin kertoimella 5 luvusta 25, tuloksena saatu tulo 150 on suurempi kuin suurin luku 30 ja on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä. Tämä on pienin mahdollinen tuote (150, 250, 300...), jonka kaikki annetut luvut ovat kerrannaisia.

Luvut 2,3,11,37 ovat alkulukuja, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

sääntö. Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut yhdessä.

Toinen vaihtoehto:

Tarvitset useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämiseen:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, ​​esimerkiksi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita muistiin jokaisen näiden luvun alkujakajat (kertoimet);

4) valitse kustakin niistä suurin aste, joka löytyy näiden lukujen kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä tehot.

Esimerkki. Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Ratkaisu. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjoitamme kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Kuinka löytää LCM (pienin yhteinen kerrannainen)

Kahden kokonaisluvun yhteinen kerrannainen on kokonaisluku, joka on tasaisesti jaollinen molemmilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä.

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen on pienin kaikista kokonaisluvuista, joka on jaollinen tasaisesti ja ilman jäännöstä molemmilla annetuilla luvuilla.

Menetelmä 1. Voit löytää LCM:n vuorostaan ​​jokaiselle annetulle luvulle kirjoittamalla nousevaan järjestykseen kaikki luvut, jotka saadaan kertomalla ne luvulla 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Esimerkki numeroille 6 ja 9.
Kerromme luvun 6 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 6, 12, 18 , 24, 30
Kerromme luvun 9 peräkkäin luvulla 1, 2, 3, 4, 5.
Saamme: 9, 18 , 27, 36, 45
Kuten näet, numeroiden 6 ja 9 LCM on 18.

Tämä menetelmä on kätevä, kun molemmat luvut ovat pieniä ja ne on helppo kertoa kokonaislukujonolla. On kuitenkin tapauksia, joissa sinun on löydettävä LCM kaksinumeroisille tai kolminumeroisille numeroille, ja myös silloin, kun alkulukuja on kolme tai jopa enemmän.

Menetelmä 2. Löydät LCM:n jakamalla alkuperäiset luvut alkutekijöiksi.
Hajottamisen jälkeen on välttämätöntä yliviivata samat luvut tuloksena olevasta alkutekijöiden sarjasta. Ensimmäisen luvun jäljellä olevat luvut ovat toisen luvun kertoimia, ja toisen luvun loput luvut ovat ensimmäisen kertoimia.

Esimerkki numeroille 75 ja 60.
Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 alkutekijöiksi:
75 = 3 * 5 * 5 ja
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kuten näet, tekijät 3 ja 5 esiintyvät molemmilla riveillä. Henkisesti "rajaamme" ne pois.
Kirjataan muistiin loput tekijät, jotka sisältyvät kunkin numeron laajennukseen. Hajottaessamme lukua 75, jätimme luvun 5 ja luvun 60 jaottelemme 2 * 2
Joten määrittääksemme LCM:n numeroille 75 ja 60, meidän on kerrottava loput luvut 75:n laajennuksesta (tämä on 5) 60:llä ja luvut, jotka jäävät luvun 60 laajennuksesta (tämä on 2 * 2 ) kerrotaan 75:llä. Eli ymmärtämisen helpottamiseksi sanomme, että kerromme "ristikkäin".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Näin löysimme LCM:n numeroille 60 ja 75. Tämä on luku 300.

Esimerkki. Määritä LCM numeroille 12, 16, 24
Tässä tapauksessa toimintamme ovat hieman monimutkaisempia. Mutta ensin, kuten aina, hajotamme kaikki luvut alkutekijöiksi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM:n määrittämiseksi oikein valitsemme kaikista luvuista pienimmän (tämä on luku 12) ja käymme sen kertoimet peräkkäin läpi ja ylitämme ne, jos ainakin yhdellä muista numeroriveistä on sama kertoimella, jota ei ole vielä ylitetty. ulos.

Vaihe 1 . Näemme, että 2 * 2 esiintyy kaikissa numerosarjoissa. Ylitämme ne.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Vaihe 2. Numeron 12 alkutekijöissä jää jäljelle vain luku 3. Mutta se on läsnä luvun 24 alkutekijöissä. Yliviivataan numero 3 molemmilta riveiltä, ​​kun taas luvulle 16 ei odoteta toimenpiteitä .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kuten näette, kun hajotimme numeroa 12, "viivasimme" kaikki luvut yli. Joten NOC:n löytö on valmis. Jää vain laskea sen arvo.
Luvulle 12 otamme loput tekijät luvusta 16 (lähin nousevassa järjestyksessä)
12 * 2 * 2 = 48
Tämä on NOC

Kuten näette, tässä tapauksessa LCM:n löytäminen oli hieman vaikeampaa, mutta kun sinun on löydettävä se kolmelle tai useammalle numerolle, tällä menetelmällä voit tehdä sen nopeammin. Molemmat tavat löytää LCM ovat kuitenkin oikeita.

Määritelmä. Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja (gcd) nämä numerot.

Etsitään lukujen 24 ja 35 suurin yhteinen jakaja.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan koprime.

Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan koprime jos niiden suurin yhteinen jakaja (gcd) on 1.

Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.

Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen (eli kaksi kakkosta).
Jäljelle jää kertoimet 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.

Löytää suurin yhteinen jakaja

2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;
3) etsi jäljellä olevien tekijöiden tulo.

Jos kaikki annetut luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen jakaja annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska se jakaa kaikki muut luvut: 45, 75 ja 180.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)

Määritelmä. Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM) luonnolliset luvut a ja b ovat pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 yksinkertaisiksi tekijöiksi: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitamme näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvät tekijät ja lisäämme niihin puuttuvat tekijät 2 ja 2 toisen luvun laajennuksesta (eli yhdistämme tekijät).
Saadaan viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi myös kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaanottaja löytää pienin yhteinen kerrannainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Huomaa, että jos jokin näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen olisi 60, koska se on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

Pythagoras (VI vuosisadalla eKr.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Lukua, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen jakajien summa (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydelliseksi luvuksi. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää alkulukujen tulona, ​​eli alkuluvut ovat kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että luonnollisten lukujen sarjan alkuluvut esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjassa, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Herää kysymys: onko viimeinen (suurin) alkuluku olemassa? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (3. vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli kaksituhatta vuotta matematiikan pääoppikirja, että alkulukuja on äärettömän monta, eli jokaisen alkuluvun takana on parillinen. suurempi alkuluku.
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku, ja sitten ylitti yhden kautta kaikki luvun 2 jälkeen (luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli 4, 6, 8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki numerot 3:n jälkeen yliviivattiin (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.). lopulta vain alkuluvut jäivät yliviivaamatta.

Opiskelijoille annetaan paljon matemaattisia tehtäviä. Niiden joukossa on hyvin usein tehtäviä, joilla on seuraava muotoilu: arvoja on kaksi. Kuinka löytää annettujen lukujen pienin yhteinen kerrannainen? Tällaisten tehtävien suorittaminen on välttämätöntä, sillä hankittuja taitoja käytetään eri nimittäjien murtolukujen käsittelyyn. Artikkelissa analysoimme kuinka LCM ja peruskäsitteet löydetään.

Ennen kuin löydät vastauksen kysymykseen LCM:n löytämisestä, sinun on määritettävä termi useita. Useimmiten tämän käsitteen sanamuoto on seuraava: jonkin arvon A kerrannainen on luonnollinen luku, joka on jaollinen A:lla ilman jäännöstä. Joten 4, 8, 12, 16, 20 ja niin edelleen, aina vaadittu raja.

Tässä tapauksessa tietyn arvon jakajien lukumäärää voidaan rajoittaa, ja kerrannaisia ​​on äärettömän monta. Sama arvo on myös luonnonarvoilla. Tämä on indikaattori, joka jaetaan niillä ilman jäännöstä. Kun olet käsitellyt tiettyjen indikaattoreiden pienimmän arvon käsitettä, siirrytään sen löytämiseen.

NOC:n löytäminen

Kahden tai useamman eksponentin pienin kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on täysin jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

On olemassa useita tapoja löytää tällainen arvo. Harkitsemme seuraavia menetelmiä:

1. Jos luvut ovat pieniä, kirjoita riville kaikki sillä jaolliset. Jatka tätä, kunnes löydät jotain yhteistä heistä. Tietueessa ne on merkitty kirjaimella K. Esimerkiksi lukujen 4 ja 3 pienin kerrannainen on 12.
2. Jos nämä ovat suuria tai sinun on löydettävä kerrannainen kolmelle tai useammalle arvolle, sinun tulee tässä käyttää erilaista tekniikkaa, joka sisältää lukujen jakamisen alkutekijöiksi. Aseta ensin suurin ilmoitetuista, sitten kaikki loput. Jokaisella niistä on oma kertoimien lukumäärä. Esimerkkinä hajotetaan 20 (2*2*5) ja 50 (5*5*2). Jos kyseessä on pienempi niistä, alleviivaa tekijät ja lisää suurimpaan. Tuloksena on 100, joka on yllä olevien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
3. Kun löydetään 3 numeroa (16, 24 ja 36), periaatteet ovat samat kuin kahdessa muussa. Laajennamme kutakin niistä: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Vain kaksi kakkosta luvun 16 laajennuksesta ei sisältynyt suurimman dekompositioon, ne lasketaan yhteen ja saadaan 144, joka on pienin tulos aiemmin ilmoitetuille numeerisille arvoille.

Nyt tiedämme, mikä on yleinen tekniikka pienimmän arvon löytämiseksi kahdelle, kolmelle tai useammalle arvolle. On kuitenkin olemassa myös yksityisiä tapoja, auttaa etsimään NOC:ita, jos edelliset eivät auta.

Kuinka löytää GCD ja NOC.

Yksityiset etsintätavat

Kuten kaikissa matemaattisissa osissa, LCM:ien löytämisessä on erityistapauksia, jotka auttavat tietyissä tilanteissa:

• jos yksi luvuista on jaollinen toisilla ilman jäännöstä, niin näiden lukujen pienin kerrannainen on yhtä suuri (NOC 60 ja 15 on yhtä suuri kuin 15);
• Koalkilukuilla ei ole yhteisiä alkujakajia. Niiden pienin arvo on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo. Siten numeroille 7 ja 8 tämä on 56;
• Sama sääntö pätee muihinkin tapauksiin, mukaan lukien erikoistapauksiin, joista voi lukea erikoiskirjallisuudesta. Tähän tulisi sisältyä myös yhdistelmälukujen hajoamistapaukset, joista on tehty erillisiä artikkeleita ja jopa väitöskirjoja.

Erikoistapaukset ovat harvinaisempia kuin tavalliset esimerkit. Mutta heidän ansiostaan ​​voit oppia työskentelemään eriasteisten monimutkaisten osien kanssa. Tämä koskee erityisesti murtolukuja., jossa on eri nimittäjiä.

Joitain esimerkkejä

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä, joiden ansiosta voit ymmärtää pienimmän moninkertaisen löytämisen periaatteen:

1. Löydämme LCM:n (35; 40). Asetamme ensin 35 = 5 * 7, sitten 40 = 5 * 8. Lisäämme 8 pienimpään numeroon ja saamme NOC 280:n.
2. NOC (45; 54). Asettelemme kukin niistä: 45 = 3 * 3 * 5 ja 54 = 3 * 3 * 6. Lisäämme luvun 6 45:een. Saamme NOC:n yhtä suureksi kuin 270.
3. No, viimeinen esimerkki. Niitä on 5 ja 4. Niille ei ole yksinkertaisia ​​kerrannaisia, joten pienin yhteinen kerrannainen on tässä tapauksessa heidän tulonsa, joka on 20.

Esimerkkien ansiosta voit ymmärtää, kuinka NOC sijaitsee, mitkä ovat vivahteet ja mitä tällaisten manipulaatioiden merkitys on.

NOC:n löytäminen on paljon helpompaa kuin miltä se aluksi näyttää. Tätä varten käytetään sekä yksinkertaista laajennusta että yksinkertaisten arvojen kertomista toisiinsa.. Kyky työskennellä tämän matematiikan osan kanssa auttaa matemaattisten aiheiden jatkotutkimuksessa, erityisesti monimutkaisia ​​​​jakeita.

Älä unohda ratkaista esimerkkejä ajoittain eri menetelmillä, tämä kehittää loogista laitetta ja antaa sinun muistaa useita termejä. Opi menetelmät tällaisen indikaattorin löytämiseksi ja pystyt työskentelemään hyvin muiden matemaattisten osien kanssa. Hyvää matematiikan opiskelua!

Video

Tämä video auttaa sinua ymmärtämään ja muistamaan, kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen.

Alla esitetty materiaali on loogista jatkoa teorialle artikkelista otsikon LCM - pienin yhteinen kerrannainen, määritelmä, esimerkit, LCM:n ja GCD:n välinen suhde. Täällä puhumme aiheesta pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen, ja kiinnitä erityistä huomiota esimerkkien ratkaisemiseen. Osoitetaan ensin, kuinka kahden luvun LCM lasketaan näiden lukujen GCD:nä. Harkitse seuraavaksi pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämistä laskemalla luvut alkutekijöiksi. Sen jälkeen keskitymme kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseen ja kiinnitämme huomiota myös negatiivisten lukujen LCM:n laskemiseen.

Sivulla navigointi.

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Yksi tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu LCM:n ja GCD:n väliseen suhteeseen. LCM:n ja GCD:n välinen suhde mahdollistaa kahden positiivisen kokonaisluvun pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisen tunnetun suurimman yhteisen jakajan kautta. Vastaavalla kaavalla on muoto LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Harkitse esimerkkejä LCM:n löytämisestä yllä olevan kaavan mukaan.

Esimerkki.

Etsi kahdesta luvusta 126 ja 70 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä a=126, b=70. Käytetään kaavalla ilmaistua LCM:n ja GCD:n välistä suhdetta LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Eli ensin on löydettävä lukujen 70 ja 126 suurin yhteinen jakaja, jonka jälkeen voidaan laskea näiden lukujen LCM kirjoitetun kaavan mukaan.

Etsi gcd(126, 70) käyttämällä Euklidin algoritmia: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , joten gcd(126, 70)=14 .

Nyt löydämme vaaditun pienimmän yhteisen kerrannaisen: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastaus:

LCM(126, 70) = 630 um.

Esimerkki.

Mikä on LCM(68, 34)?

Ratkaisu.

Koska 68 on tasaisesti jaollinen luvulla 34 , jolloin gcd(68, 34)=34 . Nyt lasketaan pienin yhteinen kerrannainen: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastaus:

LCM(68,34)=68.

Huomaa, että edellinen esimerkki sopii seuraavaan sääntöön LCM:n löytämiseksi positiivisille kokonaisluvuille a ja b: jos luku a on jaollinen b:llä, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on a .

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöihin

Toinen tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu lukujen laskemiseen alkutekijöiksi. Jos teemme näiden lukujen kaikkien alkutekijöiden tulon, jonka jälkeen jätämme tästä tulosta pois kaikki yleiset alkutekijät, jotka esiintyvät näiden lukujen laajennuksissa, niin tuloksena oleva tulo on yhtä suuri kuin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ilmoitettu sääntö LCM:n löytämiseksi seuraa tasa-arvosta LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Todellakin, lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksiin osallistuvien tekijöiden tulo. Gcd(a, b) puolestaan ​​on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo (joka on kuvattu osiossa gcd:n löytäminen käyttämällä lukujen alkutekijöitä hajottamista ).

Otetaan esimerkki. Kerro meille, että 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Laske näiden laajennusten kaikkien tekijöiden tulo: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyt jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat läsnä sekä luvun 75 laajennuksessa että luvun 210 laajennuksessa (sellaiset tekijät ovat 3 ja 5), ​​jolloin tuote saa muotoa 2 3 5 5 7 . Tämän tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen 75 ja 210 pienin yhteinen kerrannainen, eli LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Esimerkki.

Kun olet laskenut luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi, etsi näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Jaetaan luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi:

Saamme 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Tehdään nyt tulo kaikista tekijöistä, jotka vaikuttavat näiden lukujen laajentumiseen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat samanaikaisesti läsnä molemmissa laajennuksissa (tällaista tekijää on vain yksi - tämä on luku 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tällä tavalla, LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastaus:

LCM(441; 700) = 44 100.

Sääntö LCM:n löytämiseksi käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi voidaan muotoilla hieman eri tavalla. Jos lisäämme puuttuvat tekijät luvun b laajennuksesta luvun a hajotuksen tekijöihin, niin tuloksena olevan tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen.

Otetaan esimerkiksi kaikki samat luvut 75 ja 210, niiden laajennukset alkutekijöiksi ovat seuraavat: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Tekijöihin 3, 5 ja 5 luvun 75 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 7 luvun 210 laajennuksesta, saadaan tulo 2 3 5 5 7 , jonka arvo on LCM(75 , 210) .

Esimerkki.

Etsi lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Ensin saadaan lukujen 84 ja 648 hajotus alkutekijöiksi. Ne näyttävät tältä 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Tekijöihin 2 , 2 , 3 ja 7 luvun 84 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja 3 luvun 648 laajennuksesta , saadaan tulo 2 2 2 3 3 3 3 7 , joka on yhtä suuri kuin 4 536 . Siten lukujen 84 ja 648 haluttu pienin yhteinen kerrannainen on 4536.

Vastaus:

LCM(84,648)=4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää etsimällä peräkkäin kahden luvun LCM. Muista vastaava lause, joka antaa tavan löytää kolmen tai useamman luvun LCM.

Lause.

Olkoon positiiviset kokonaisluvut a 1 , a 2 , …, a k, näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen m k löytyy peräkkäisestä laskelmasta m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

Harkitse tämän lauseen soveltamista esimerkissä, jossa löydetään neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkki.

Etsi neljän luvun 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Ensin löydämme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Tätä varten määritämme euklidisen algoritmin avulla gcd(140, 9) , meillä on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , joten gcd( 140, 9) = 1 , mistä LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1 = 1 260 . Eli m 2 = 1 260 .

Nyt löydämme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Lasketaan se komennolla gcd(1 260, 54) , jonka myös määrittää Euklidin algoritmi: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sitten gcd(1 260, 54) = 18, josta LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. Eli m 3 \u003d 3 780.

Jäi etsimään m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Tätä varten löydämme GCD(3 780, 250) käyttämällä Euklidin algoritmia: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Siksi gcd(3 780, 250)=10 , josta gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Eli m 4 \u003d 94 500.

Joten alkuperäisen neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen on 94 500.

Vastaus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Monissa tapauksissa kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen löydetään kätevästi käyttämällä annettujen lukujen alkutekijöitä. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä. Usean luvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tulo, joka muodostuu seuraavasti: toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään kaikkiin ensimmäisen luvun laajennuksesta, puuttuvat tekijät kolmas luku lisätään saatuihin tekijöihin ja niin edelleen.

Harkitse esimerkkiä pienimmän yhteiskerran löytämisestä käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi.

Esimerkki.

Etsi viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Ensin saadaan näiden lukujen laajennukset alkutekijöihin: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 alkutekijät) ja 143=11 13 .

Löytääksesi näiden lukujen LCM, ensimmäisen luvun 84 tekijöihin (ne ovat 2 , 2 , 3 ja 7 ) sinun on lisättävä puuttuvat tekijät toisen luvun 6 laajennuksesta. Luvun 6 laajennus ei sisällä puuttuvia tekijöitä, koska ensimmäisen luvun 84 laajennuksessa ovat jo mukana sekä 2 että 3 . Lisätään tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 puuttuvat tekijät 2 ja 2 kolmannen luvun 48 laajennuksesta, saadaan joukko kertoimia 2, 2, 2, 2, 3 ja 7. Tähän joukkoon ei tarvitse lisätä tekijöitä seuraavassa vaiheessa, koska se sisältää jo 7. Lopuksi tekijöihin 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 11 ja 13 luvun 143 laajennuksesta. Saamme tuotteen 2 2 2 2 3 7 11 13 , joka on yhtä suuri kuin 48 048 .