Ohje

Valitse radikaaliluku sellainen tekijä, jonka poistaminen alta juuri kelvollinen lauseke - muuten toiminto menettää . Esimerkiksi jos merkin alla juuri jonka eksponentti on kolme (kuutiojuuri) on arvoinen määrä 128, niin merkin alta voidaan ottaa pois esim. määrä 5. Samaan aikaan juuri määrä 128 on jaettava viidellä kuutiolla: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jos merkin alla on murtoluku juuri ei ole ristiriidassa ongelman ehtojen kanssa, se on mahdollista tässä muodossa. Jos tarvitset yksinkertaisempaa vaihtoehtoa, jaa radikaalilauseke ensin sellaisiin kokonaislukutekijöihin, joista yhden kuutiojuuri on kokonaisluku määrä m. Esimerkki: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Käytä valitaksesi juuriluvun tekijät, jos luvun potenssia ei voida laskea mielessäsi. Tämä pätee erityisesti juuri m eksponentin ollessa suurempi kuin kaksi. Jos sinulla on Internet-yhteys, voit tehdä laskelmia Google- ja Nigma-hakukoneiden sisäänrakennetuilla laskimilla. Esimerkiksi, jos sinun on löydettävä suurin kokonaislukukerroin, joka voidaan ottaa pois kuution etumerkistä juuri jos numero on 250, mene sitten Googlen verkkosivustolle ja kirjoita kysely "6 ^ 3" tarkistaaksesi, onko mahdollista ottaa pois merkin alta juuri kuusi. Hakukone näyttää tuloksen, joka on 216. Valitettavasti 250:tä ei voi jakaa ilman jäännöstä tällä määrä. Kirjoita sitten kysely 5^3. Tuloksena on 125, ja tämä mahdollistaa 250:n jakamisen tekijöiksi 125 ja 2, mikä tarkoittaa sen poistamista merkistä juuri määrä 5 lähtee sieltä määrä 2.

Lähteet:

• kuinka saada se pois juuren alta
• Tuotteen neliöjuuri

Ota pois alta juuri yksi tekijöistä on välttämätön tilanteissa, joissa sinun on yksinkertaistettava matemaattista lauseketta. On tapauksia, joissa on mahdotonta suorittaa tarvittavia laskelmia laskimen avulla. Esimerkiksi jos numeroiden sijaan käytetään muuttujien kirjaimia.

Ohje

Jaa radikaalilauseke yksinkertaisiksi tekijöiksi. Katso mitkä tekijät toistuvat saman määrän kertoja indikaattoreissa juuri, tai enemmän. Esimerkiksi sinun on otettava luvun a juuri neljänteen potenssiin. Tässä tapauksessa luku voidaan esittää muodossa a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikaattori juuri tässä tapauksessa vastaa tekijä a3. Se on otettava pois merkistä.

Pura syntyneiden juurijuurten juuri erikseen, mikäli mahdollista. uuttaminen juuri on algebrallinen operaatio, joka on käänteinen eksponentiolle. uuttaminen juuri mielivaltainen potenssi luvusta, etsi luku, joka nostettuna tähän mielivaltaiseen potenssiin johtaa tiettyyn numeroon. Jos uuttaminen juuri ei voida tuottaa, jätä radikaali ilmaisu merkin alle juuri niin kuin se on. Yllä olevien toimien seurauksena teet poiston alta merkki juuri.

Liittyvät videot

Huomautus

Ole varovainen kirjoittaessasi radikaalia lauseketta tekijöiksi - virhe tässä vaiheessa johtaa vääriin tuloksiin.

Hyödyllinen neuvo

Juuria poimittaessa on kätevää käyttää erityisiä taulukoita tai logaritmisen juuritaulukoita - tämä vähentää merkittävästi oikean ratkaisun löytämiseen kuluvaa aikaa.

Lähteet:

• juurenpoistomerkki vuonna 2019

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamista tarvitaan monilla matematiikan aloilla, mukaan lukien korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisu, differentiointi ja integrointi. Tämä käyttää useita menetelmiä, mukaan lukien tekijöiden jakaminen. Tämän menetelmän soveltamiseksi sinun on löydettävä ja otettava yhteinen tekijä takana suluissa.

Ohje

Yhteisen tekijän poistaminen suluissa- yksi yleisimmistä hajotusmenetelmistä. Tätä tekniikkaa käytetään yksinkertaistamaan pitkien algebrallisten lausekkeiden rakennetta, ts. polynomit. Yleinen voi olla luku, yksi tai binomi, ja sen löytämiseen käytetään kertolaskuominaisuutta.

Luku. Katso tarkasti kunkin polynomin kertoimia nähdäksesi, voidaanko ne jakaa samalla luvulla. Esimerkiksi lausekkeessa 12 z³ + 16 z² - 4, ilmeinen on tekijä 4. Muuntamisen jälkeen saat 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Toisin sanoen tämä luku on kaikkien kertoimien vähiten yhteinen kokonaislukujakaja.

Mononominen Määritä, onko sama muuttuja polynomin jokaisessa ehdossa. Oletetaan, että näin on, katso nyt kertoimia, kuten edellisessä tapauksessa. Esimerkki: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Tämän polynomin jokainen elementti sisältää muuttujan z. Lisäksi kaikki kertoimet ovat 3:n kerrannaisia. Siksi yhteinen tekijä on monomiaalinen 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomiaalinen.For suluissa yleistä tekijä kahdesta , muuttuja ja luku, joka on yleinen polynomi. Siksi jos tekijä-binomi ei ole ilmeinen, niin sinun on löydettävä vähintään yksi juuri. Korosta polynomin vapaa termi, tämä on kerroin ilman muuttujaa. Käytä nyt korvausmenetelmää vapaan termin kaikkien kokonaislukujakajien yhteiseen lausekkeeseen.

Tarkastellaan: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Tarkista, onko jokin kokonaislukujakajista 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Etsi z1 yksinkertaisesti korvaamalla = 1 ja z2 = 2, niin suluissa binomiaalit (z - 1) ja (z - 2) voidaan ottaa pois. Jos haluat löytää jäljellä olevan lausekkeen, käytä peräkkäistä jakoa sarakkeeseen.

Ympyrässä hän osoitti, kuinka neliöjuuria voidaan erottaa sarakkeesta. Voit laskea juuren mielivaltaisella tarkkuudella, löytää niin monta numeroa kuin haluat sen desimaalimuodossa, vaikka se osoittautuisi irrationaaliseksi. Algoritmi muisti, mutta kysymyksiä jäi. Ei ollut selvää, mistä menetelmä tuli ja miksi se antaa oikean tuloksen. Tätä ei ollut kirjoissa, tai ehkä etsin vain vääristä kirjoista. Tämän seurauksena, kuten monet asiat, joita tiedän ja voin tehdä tänään, toin sen esiin itse. Jaan tietoni täällä. Muuten, en vieläkään tiedä, missä algoritmin perustelut annetaan)))

Joten ensin kerron sinulle esimerkin avulla "miten järjestelmä toimii" ja sitten selitän, miksi se todella toimii.

Otetaan numero (numero on otettu "katosta", tuli vain mieleen).

1. Jaamme sen numerot pareiksi: ne, jotka ovat desimaalipilkun vasemmalla puolella, ryhmittelemme kaksi oikealta vasemmalle ja oikealle - kaksi vasemmalta oikealle. Saamme .

2. Poimimme neliöjuuren ensimmäisestä vasemmanpuoleisesta numeroryhmästä - meidän tapauksessamme on (on selvää, että tarkkaa juuria ei välttämättä saada erotettua, otamme luvun, jonka neliö on mahdollisimman lähellä numeroamme, jonka muodostaa ensimmäinen numeroryhmä, mutta ei ylitä sitä). Meidän tapauksessamme tämä on numero. Kirjoitamme vastauksena - tämä on juuren suurin numero.

3. Nostamme luvun, joka on jo vastauksessa - tämä on - neliöity ja vähennämme ensimmäisestä numeroryhmästä vasemmalla - numerosta. Meidän tapauksessamme se jää

4. Määritämme seuraavan kahden numeron ryhmän oikealle: . Vastauksessa jo oleva luku kerrotaan luvulla , saamme .

5. Katso nyt tarkasti. Meidän on lisättävä yksi numero oikealla olevaan numeroon ja kerrottava numero : llä, eli samalla määrätyllä numerolla. Tuloksen tulee olla mahdollisimman lähellä , mutta ei enempää kuin tämä luku. Meidän tapauksessamme tämä on numero, kirjoitamme sen vastauksena viereen, oikealle. Tämä on neliöjuuremme desimaalimerkinnän seuraava numero.

6. Kun tuote vähennetään arvosta , saadaan .

7. Seuraavaksi toistetaan tutut toiminnot: annamme seuraavan numeroryhmän oikealle, kerromme tuloksena olevaan numeroon> asetamme yhden numeron oikealle siten, että sillä kerrottuna saadaan pienempi luku, mutta lähinnä sitä - tämä on numero - seuraava numero juuren desimaalimuodossa.

Laskelmat kirjoitetaan seuraavasti:

Ja nyt luvattu selitys. Algoritmi perustuu kaavaan

Kommentit: 50

1. 2 Anton:

   Liian sotkuinen ja hämmentävä. Pura kaikki ja numeroi ne. Plus: selitä, missä kussakin toiminnossa korvaamme tarvittavat arvot. En ole koskaan aiemmin laskenut juuria sarakkeessa - selvitin sen vaikein omin voimin.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23 on tällä hetkellä kirjoitettu oikealle, nämä ovat kaksi ensimmäistä (vasemmalla) jo vastaanotettua juuren numeroa, jotka ovat vastauksessa. Kerromme 2:lla algoritmin mukaan. Toistamme kohdassa 4 kuvatut vaiheet.

4. 7zzz:

   virhe kohdassa "6. 167:stä vähennämme tulon 43 * 3 = 123 (129 nada), saamme 38.
   ei ole selvää, kuinka pilkun jälkeen tuli 08 ...

5. 9 Fedotov Aleksanteri:

   Ja vielä esilaskin aikakaudella meille opetettiin koulussa paitsi neliön, myös sarakkeen kuutiojuuren poimiminen, mutta tämä on työläämpää ja vaivalloista työtä. Oli helpompi käyttää Bradis-taulukoita tai diasääntöä, joita opimme jo lukiossa.

6. 10 :

   Alexander, olet oikeassa, voit poimia sarakkeeseen ja juuret suuria asteita. Aion kirjoittaa vain siitä, kuinka kuutiojuuri löydetään.

7. 12 Sergei Valentinovich:

   Rakas Elizabeth Alexandrovna! 70-luvun lopulla kehitin järjestelmän neliöiden automaattiseen (eli ei valinnaiseen) laskemiseen. root Felixin lisäyskoneessa. Jos kiinnostuit, voin lähettää kuvauksen.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((neliöjuuren purkaminen sarakkeeksi)))
   Algoritmi yksinkertaistuu, jos käyttää tietojenkäsittelytieteessä opittua 2. lukujärjestelmää, mutta siitä on hyötyä myös matematiikassa. A.N. Kolmogorov mainitsi tämän algoritmin suosituissa koululaisille tarkoitetuissa luennoissa. Hänen artikkelinsa löytyy "Chebyshev-kokoelmasta" (Mathematical Journal, etsi linkki siihen Internetistä)
   Tilaisuutta varten sano:
   G. Leibniz kiirehti aikoinaan ajatukseen siirtyä 10. numerojärjestelmästä binäärijärjestelmään sen yksinkertaisuuden ja aloittelijoille (nuorempien koululaisten) saavutettavuuden vuoksi. Mutta vakiintuneiden perinteiden rikkominen on kuin linnoituksen porttien rikkomista otsalla: se on mahdollista, mutta se on turhaa. Joten käy ilmi, kuten vanhoina aikoina eniten lainatun parrakasfilosofin mukaan: kaikkien kuolleiden sukupolvien perinteet tukahduttavat elävien tietoisuuden.

   Nähdään ensi kerralla.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergei Valentinovich, kyllä, olen kiinnostunut ... ((

   Lyön vetoa, että tämä on Felix-muunnelma babylonialaisesta menetelmästä neliön hevosen erottamiseksi peräkkäisillä approksimaatioilla. Newtonin menetelmä (tangenttimenetelmä) ohitti tämän algoritmin.

   Olenko tehnyt virheen ennusteessa?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Kyllä, binäärialgoritmin pitäisi olla yksinkertaisempi, se on melko selvää.

    Tietoja Newtonin menetelmästä. Ehkä se on, mutta se on silti mielenkiintoista

11. 20 Cyril:

    Kiitos paljon. Mutta algoritmia ei edelleenkään ole olemassa, ei tiedetä, mistä se tuli, mutta tulos on oikea. KIITOS PALJON! Tätä on etsitty pitkään

12. 21 Aleksanteri:

    Ja miten tulee käymään juuren erottaminen luvusta, jossa toinen ryhmä vasemmalta oikealle on hyvin pieni? esimerkiksi kaikkien suosikkinumero on 4 398 046 511 104. ensimmäisen vähennyksen jälkeen on mahdotonta jatkaa kaikkea algoritmin mukaan. Selittäisitkö Kiitos.

13. 22 Aleksei:

    Kyllä, tiedän tämän tavan. Muistan lukeneeni sen jonkin vanhan painoksen kirjasta "Algebra". Sitten hän analogisesti päätteli itse, kuinka kuutiojuuri voidaan poimia samassa sarakkeessa. Mutta siellä se on jo monimutkaisempaa: jokaista numeroa ei enää määritetä yhdessä (kuten neliössä), vaan kahdella vähennyksellä, ja jopa siellä joka kerta, kun pitkiä lukuja on kerrottava.

14. 23 Artem:

    Esimerkissä 56789.321 neliöjuuren ottaminen on kirjoitusvirheitä. Numeroryhmä 32 on osoitettu kahdesti numeroille 145 ja 243, numerossa 2388025 toinen 8 on korvattava luvulla 3. Sitten viimeinen vähennysluku kirjoitetaan seuraavasti: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Lisäksi jakamalla jäännös vastauksen kaksinkertaisella arvolla (ilman pilkkua), saadaan lisämäärä merkitseviä numeroita (47975/(2*238305) = 0,100658819…), joka tulee lisätä vastaukseen (√56789.321). = 238.305… = 238.305100659).

15. 24 Sergei:

    Ilmeisesti algoritmi tuli Isaac Newtonin kirjasta "Yleinen aritmetiikka tai kirja aritmeettisesta synteesistä ja analyysistä". Tässä ote siitä:

    JUURISTA

    Jos haluat erottaa neliöjuuren luvusta, sinun tulee ensin laittaa piste sen numeroiden päälle ykkösestä alkaen yksiköistä. Sitten osamäärään tai juureen on kirjoitettava luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin ensimmäistä pistettä edeltäviä lukuja tai lukuja tai lähimpänä niitä. Kun tämä neliö on vähennetty, juuren jäljellä olevat numerot löydetään peräkkäin jakamalla jäännös kahdella juuren jo erotetun osan arvolla ja vähentämällä joka kerta neliön loppuosasta viimeinen löydetty numero ja sen kymmenkertainen tulo nimetty jakaja.

16. 25 Sergei:

    Korjaa kirjan otsikko "Yleinen aritmetiikka tai kirja aritmeettisesta synteesistä ja analyysistä"

17. 26 Aleksanteri:

    Kiitos mielenkiintoisesta sisällöstä. Mutta tämä menetelmä näyttää minusta hieman monimutkaisemmalta kuin se on tarpeen esimerkiksi koulupojalle. Käytän yksinkertaisempaa menetelmää, joka perustuu toisen asteen funktion laajentamiseen käyttämällä kahta ensimmäistä derivaatta. Sen kaava on:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 missä
    A1 on kokonaisluku, jonka neliö on lähinnä x:ää;
    A2 on murto-osa osoittajassa x-A1, nimittäjässä 2*A1.
    Suurimmalle osalle koulukurssilla kohdatuista luvuista tämä riittää sadasosan tarkkuuden saamiseksi.
    Jos tarvitset tarkempaa tulosta, ota
    A3 on murto-osa, osoittajassa A2 neliöitynä, nimittäjässä 2 * A1 + 1.
    Tietenkin tarvitset kokonaislukujen neliötaulukon soveltamista varten, mutta tämä ei ole ongelma koulussa. Tämän kaavan muistaminen on melko yksinkertaista.
    Minua kuitenkin hämmentää se, että sain A3:n empiirisesti laskentataulukkokokeilujen tuloksena, enkä oikein ymmärrä miksi tällä termillä on tällainen muoto. Ehkä voit neuvoa?

18. 27 Aleksanteri:

    Kyllä, olen myös pohtinut näitä näkökohtia, mutta paholainen on yksityiskohdissa. Kirjoitat:
    "koska a2 ja b eroavat jo melkoisesti." Kysymys on kuinka vähän.
    Tämä kaava toimii hyvin toisen kymmenen luvuilla ja paljon huonommin (ei sadasosiin asti, vain kymmenesosiin asti) ensimmäisen kymmenen luvuilla. Miksi näin tapahtuu, on jo vaikea ymmärtää ilman johdannaisia.

19. 28 Aleksanteri:

    Selitän, missä näen ehdottamani kaavan edun. Se ei vaadi numeroiden epäluonnollista jakamista numeropareihin, mikä, kuten kokemus osoittaa, suoritetaan usein virheellisesti. Sen merkitys on ilmeinen, mutta analyysiin perehtyneelle henkilölle se on triviaali. Toimii hyvin numeroissa 100-1000, yleisin koulussa.

20. 29 Aleksanteri:

    Muuten, kaivelin hieman ja löysin kaavassani tarkan lausekkeen A3:lle:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Meidän aikanamme tietotekniikan laaja käyttö, kysymys neliön hevosen poimimisesta numerosta käytännön näkökulmasta ei ole sen arvoista. Mutta matematiikan ystäville tietysti kiinnostavat erilaiset vaihtoehdot tämän ongelman ratkaisemiseksi. Koulun opetussuunnitelmassa tämän laskentamenetelmän ilman lisärahoitusta tulisi tapahtua samalla tavalla kuin kertolasku ja jako sarakkeessa. Laskenta-algoritmin ei tulisi olla vain ulkoa, vaan myös ymmärrettävä. Klassinen menetelmä, joka on tässä materiaalissa esitetty keskustelulle olemuksen paljastamisen kanssa, täyttää täysin yllä olevat kriteerit.
    Alexanderin ehdottaman menetelmän merkittävä haittapuoli on kokonaislukujen neliötaulukon käyttö. Millä enemmistöllä koulukurssilla esiintyvistä luvuista se on rajoitettu, kirjoittaja on vaiti. Mitä tulee kaavaan, se tekee minuun kaiken kaikkiaan vaikutuksen laskennan suhteellisen suuren tarkkuuden vuoksi.

22. 31 Aleksanteri:

    30 vasil stryzhak
    En missannut mitään. Neliöiden taulukon oletetaan olevan jopa 1000. Minun koulussani se yksinkertaisesti opetettiin ulkoa koulussa ja se oli kaikissa matematiikan oppikirjoissa. Nimesin tämän intervallin nimenomaisesti.
    Mitä tulee tietotekniikkaan, sitä ei käytetä pääasiassa matematiikan tunneilla, ellei laskimen käytöstä ole erityistä aihetta. Laskimet on nyt rakennettu laitteisiin, joiden käyttö kokeessa on kielletty.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, kiitos selvennyksestä! Ajattelin, että ehdotettuun menetelmään on teoriassa välttämätöntä muistaa tai käyttää kaikkien kaksinumeroisten lukujen neliötaulukkoa. Sitten radikaaliluvuille, jotka eivät sisälly väliin 100 - 10000, voit käyttää tapa lisätä tai vähentää niitä tarvittavalla määrällä tilauksia siirtämällä pilkkua.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 Aleksanteri:

    ENSIMMÄINEN OHJELMANI NEUVOSTOKONEEN "ISKRA 555" KIELELLÄ "YAMB" ON kirjoitettu POISTAMINEN NELIÖJUURISTA NUMEROSTA UUTTAMISEN SARAKEALGORITMIIN MUKAAN! ja nyt unohdin kuinka purkaa se manuaalisesti!

Tarkastellaan tätä algoritmia esimerkin avulla. Etsitään

1. vaihe. Jaamme juuren alla olevan luvun kahdeksi numeroksi (oikealta vasemmalle):

2. vaihe. Poimimme neliöjuuren ensimmäisestä kasvosta, eli luvusta 65, saamme luvun 8. Ensimmäisen pinnan alle kirjoitetaan luvun 8 neliö ja vähennetään. Määritämme toisen pinnan (59) jäännökselle:

(numero 159 on ensimmäinen jäännös).

3. vaihe. Tuplaamme löydetyn juuren ja kirjoitamme tuloksen vasemmalle:

4. vaihe. Erottelemme loppuosassa (159) yhden numeron oikealla, vasemmalla saamme kymmenien lukumäärän (se on yhtä kuin 15). Sitten jaetaan 15 juuren kaksinkertaistetulla ensimmäisellä numerolla, eli 16:lla, koska 15 ei ole jaollinen 16:lla, niin osamäärään saadaan nolla, jonka kirjoitamme juuren toiseksi numeroksi. Joten osamäärässä saimme luvun 80, jonka tuplaamme uudelleen ja puramme seuraavan pinnan

(numero 15901 on toinen jäännös).

5. vaihe. Erottelemme toisessa jäännöksessä yhden numeron oikealta ja jaamme tuloksena olevan luvun 1590 luvulla 160. Tulos (luku 9) kirjoitetaan juuren kolmantena numerona ja annetaan numerolle 160. Saatu luku 1609 kerrotaan 9:llä. ja löydämme seuraavan jäännöksen (1420):

Lisätoiminnot suoritetaan algoritmissa ilmoitetussa järjestyksessä (juuri voidaan poimia vaaditulla tarkkuudella).

Kommentti. Jos juurilauseke on desimaaliluku, niin sen kokonaislukuosa jaetaan kahdeksi numeroksi oikealta vasemmalle, murto-osa jaetaan kahdeksi numeroksi vasemmalta oikealle ja juuri erotetaan määritetyn algoritmin mukaan.

DIDAKTINEN MATERIAALI

1. Ota luvun neliöjuuri: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Mikä on neliöjuuri?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä käsite on hyvin yksinkertainen. Luonnollista, sanoisin. Matemaatikot yrittävät löytää reaktion jokaiseen toimintaan. On yhteen- ja vähennyslaskua. On kertolaskua ja on jakoa. On neliöintiä... Joten on myös neliöjuuren erottaminen! Siinä kaikki. Tämä toiminta ( ottaen neliöjuuren) matematiikassa on merkitty tällä kuvakkeella:

Itse kuvaketta kutsutaan kauniiksi sanaksi " radikaali".

Kuinka poimia juuri? On parempi harkita esimerkkejä.

Mikä on luvun 9 neliöjuuri? Ja mikä luku neliöllä antaa meille 9? 3 neliötä antaa meille 9! Nuo:

Mikä on nollan neliöjuuri? Ei ongelmaa! Minkä luvun nolla neliö antaa? Kyllä, hän itse antaa nollan! Keinot:

Sai kiinni mikä on neliöjuuri? Sitten mietitään esimerkkejä:

Vastaukset (sekaisin): 6; yksi; 4; yhdeksän; 5.

Päätetty? Todellakin, se on paljon helpompaa!

Mutta... Mitä ihminen tekee, kun hän näkee jonkin tehtävän, jolla on juuret?

Ihminen alkaa kaipaamaan... Hän ei usko juurien yksinkertaisuuteen ja keveyteen. Vaikka hän näyttää tietävän mikä on neliöjuuri...

Tämä johtuu siitä, että henkilö on jättänyt huomioimatta useita tärkeitä kohtia juuria tutkiessaan. Sitten nämä villitteet kostavat raa'asti kokeita ja kokeita ...

Kohta yksi. Juuret täytyy tunnistaa silmästä!

Mikä on luvun 49 neliöjuuri? Seitsemän? Oikein! Mistä tiesit, että niitä on seitsemän? Tuli seitsemän ja sai 49? oikein! Huomatkaa että irrota juuri 49:stä meidän piti tehdä käänteinen toimenpide - neliö 7! Ja varmista, ettemme missaa. Tai he voivat jättää väliin...

Siinä piilee vaikeus juurien uuttaminen. Neliöinti mikä tahansa numero on mahdollista ilman ongelmia. Kerro luku itsellään sarakkeessa - ja siinä kaikki. Mutta varten juurien uuttaminen näin yksinkertaista ja ongelmatonta tekniikkaa ei ole olemassa. tilille noukkia vastaa ja tarkista, onko neliöity osuma.

Tämä monimutkainen luova prosessi - vastauksen valinta - yksinkertaistuu huomattavasti, jos muistaa suosittujen lukujen neliöt. Kuin kertotaulukko. Jos sinun täytyy esimerkiksi kertoa 4 kuudella - et lisää neljää kuusi kertaa, vai mitä? Vastaus tulee heti näkyviin 24. Vaikka kaikilla ei ole sitä, kyllä...

Ilmaiseen ja onnistuneeseen juurityöskentelyyn riittää, että tietää numeroiden neliöt 1-20. siellä ja takaisin. Nuo. sinun pitäisi pystyä nimeämään helposti sekä esimerkiksi 11 neliö että 121:n neliöjuuri. Tämän muistamiseen on kaksi tapaa. Ensimmäinen on neliötaulukon oppiminen. Tämä auttaa paljon esimerkeillä. Toinen on ratkaista lisää esimerkkejä. On hienoa muistaa neliötaulukko.

Eikä laskureita! Vain vahvistusta varten. Muuten hidastut armottomasti kokeen aikana ...

Niin, mikä on neliöjuuri Ja miten poimi juuret– Minusta se on ymmärrettävää. Otetaan nyt selvää MISTÄ voit poimia ne.

Kohta kaksi. Root, en tunne sinua!

Mistä luvuista voit ottaa neliöjuuret? Kyllä, melkein mikä tahansa. On helpompi ymmärtää mitä se on kielletty purkaa ne.

Yritetään laskea tämä juuri:

Tätä varten sinun on poimittava numero, joka neliössä antaa meille -4. Me valitsemme.

Mitä ei ole valittu? 2 2 antaa +4. (-2) 2 antaa jälleen +4! Siinä kaikki... Ei ole olemassa lukuja, jotka neliöitynä antaisivat meille negatiivisen luvun! Vaikka tiedän numerot. Mutta en kerro.) Mene yliopistoon ja ota selvää.

Sama tarina on minkä tahansa negatiivisen luvun kanssa. Tästä johtopäätös:

Lauseke, jossa negatiivinen luku on neliöjuuren merkin alla - ei ole järkeä! Tämä on kielletty toimenpide. Yhtä kiellettyä kuin nollalla jakaminen. Pidä tämä tosiasia mielessä! Tai toisin sanoen:

Et voi poimia neliöjuuria negatiivisista luvuista!

Mutta kaikesta muusta - voit. On esimerkiksi mahdollista laskea

Ensi silmäyksellä tämä on erittäin vaikeaa. Poimi murto-osia, mutta neliötä... Älä huoli. Kun käsittelemme juurien ominaisuuksia, tällaiset esimerkit pelkistetään samaan neliötaulukkoon. Elämästä tulee helpompaa!

Okei murtoluvut. Mutta kohtaamme silti ilmaisuja, kuten:

Se on okei. Aivan sama. Kahden neliöjuuri on luku, joka neliöitynä antaa meille kakkosen. Vain numero on täysin epätasainen ... Tässä se on:

Mielenkiintoista kyllä, tämä murto-osa ei lopu koskaan... Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaaleiksi. Neliöjuurissa tämä on yleisin asia. Muuten, tästä syystä juuria sisältäviä lausekkeita kutsutaan irrationaalinen. On selvää, että niin äärettömän murto-osan kirjoittaminen koko ajan on hankalaa. Siksi äärettömän murto-osan sijaan he jättävät sen näin:

Jos esimerkkiä ratkaiseessasi saat jotain, jota ei voi purkaa, kuten:

sitten jätetään se sellaiseksi. Tämä on vastaus.

Sinun on ymmärrettävä selvästi, mitä kuvakkeiden alla on

Tietenkin, jos luvun juuri otetaan sileä, sinun on tehtävä niin. Tehtävän vastaus muodossa esim

aika täydellinen vastaus.

Ja tietysti sinun on tiedettävä likimääräiset arvot muistista:

Tämä tieto auttaa paljon arvioimaan tilannetta monimutkaisissa tehtävissä.

Kohta kolme. Kaikkein ovelin.

Suurin hämmennys työssä juurien kanssa tulee juuri tästä muotista. Hän on se, joka epäilee itseään... Hoidetaan tämä villitys kunnolla!

Aluksi poimimme jälleen neliöjuuren niiden neljästä. Mitä, olenko jo saanut sinut tämän juuren kanssa?) Ei mitään, nyt se on mielenkiintoista!

Mikä luku antaa 4:n neliössä? No, kaksi, kaksi - kuulen tyytymättömiä vastauksia ...

Oikein. Kaksi. Mutta myös miinus kaksi antaa 4 neliön ... Sillä välin vastaus

oikein ja vastaus

pahin virhe. Kuten tämä.

Joten mikä on sopimus?

Todellakin, (-2) 2 = 4. Ja neljän neliöjuuren määritelmän mukaan miinus kaksi varsin sopiva ... Tämä on myös neliöjuuri neljästä.

Mutta! Matematiikan koulukurssilla on tapana harkita neliöjuuria vain ei-negatiiviset luvut! Eli nolla ja kaikki positiivisia. Jopa erityinen termi keksittiin: numerosta a- Tämä ei-negatiivinen numero, jonka neliö on a. Negatiiviset tulokset poimittaessa aritmeettista neliöjuurta yksinkertaisesti hylätään. Koulussa kaikki neliöjuuret - aritmeettinen. Vaikka sitä ei ole erikseen mainittu.

Okei, se on ymmärrettävää. On vielä parempi olla sotkematta negatiivisilla tuloksilla... Se ei ole vielä hämmennystä.

Hämmennys alkaa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä. Sinun on esimerkiksi ratkaistava seuraava yhtälö.

Yhtälö on yksinkertainen, kirjoitamme vastauksen (kuten opetetaan):

Tämä vastaus (muuten aivan oikein) on vain lyhennetty merkintä kaksi vastaukset:

Lopeta stop! Hieman korkeammalle kirjoitin, että neliöjuuri on luku aina ei negatiivinen! Ja tässä on yksi vastauksista - negatiivinen! Häiriö. Tämä on ensimmäinen (mutta ei viimeinen) ongelma, joka aiheuttaa epäluottamusta juuria kohtaan... Ratkaistaan ​​tämä ongelma. Kirjoita vastaukset muistiin (puhtaasti ymmärryksen vuoksi!) näin:

Sulut eivät muuta vastauksen olemusta. Erotin juuri suluilla merkkejä alkaen juuri. Nyt on selvästi nähtävissä, että juuri itse (suluissa) on edelleen ei-negatiivinen luku! Ja merkit ovat yhtälön ratkaisun tulos. Loppujen lopuksi, kun ratkaisemme yhtälön, meidän on kirjoitettava kaikki x, joka, kun se korvataan alkuperäisellä yhtälöllä, antaa oikean tuloksen. Viiden juuri (positiivinen!) sopii yhtälöihimme sekä plus- että miinusmerkillä.

Kuten tämä. Jos sinä ota vain neliöjuuri mistä tahansa sinusta aina saada yksi ei-negatiivinen tulos. Esimerkiksi:

Koska se - aritmeettinen neliöjuuri.

Mutta jos ratkaiset jonkin toisen asteen yhtälön, kuten:

sitten aina se käy ilmi kaksi vastaus (plussilla ja miinuksilla):

Koska se on yhtälön ratkaisu.

Toivoa, mikä on neliöjuuri osuit oikein pisteilläsi. Nyt on vielä selvitettävä, mitä juurille voidaan tehdä, mitkä ovat niiden ominaisuudet. Ja mitkä ovat muotit ja vedenalaiset laatikot ... anteeksi, kivet!)

Kaikki tämä - seuraavilla tunneilla.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Fakta 1.
\(\bullet\) Ota jokin ei-negatiivinen luku \(a\) (eli \(a\geqslant 0\) ). Sitten (aritmeettinen) neliöjuuri luvusta \(a\) kutsutaan sellainen ei-negatiivinen luku \(b\), jonka neliöitäessä saamme luvun \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama as )\quad a=b^2\] Määritelmästä seuraa, että \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Nämä rajoitukset ovat tärkeä edellytys neliöjuuren olemassaololle ja ne tulee muistaa!
Muista, että mikä tahansa luku neliötettynä antaa ei-negatiivisen tuloksen. Eli \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mikä on \(\sqrt(25)\)? Tiedämme, että \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Koska määritelmän mukaan meidän on löydettävä ei-negatiivinen luku, \(-5\) ei ole sopiva, joten \(\sqrt(25)=5\) (koska \(25=5^2\) ).
Arvon \(\sqrt a\) löytämistä kutsutaan luvun \(a\) neliöjuuren ottamiseksi, ja lukua \(a\) kutsutaan juurilausekkeeksi.
\(\bullet\) Määritelmän perusteella lausekkeet \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. ei ole järkeä.

Fakta 2.
Nopeita laskelmia varten on hyödyllistä oppia luonnollisten lukujen neliötaulukko \(1\) - \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Mitä neliöjuurilla voidaan tehdä?
\(\bullet\) Neliöjuurien summa tai erotus EI OLE SAMASUURI summan tai erotuksen neliöjuuren kanssa, ts. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jos sinun on siis laskettava esimerkiksi \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sinun on ensin löydettävä arvot \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja laske ne sitten yhteen. Siten, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jos arvoja \(\sqrt a\) tai \(\sqrt b\) ei löydy lisättäessä \(\sqrt a+\sqrt b\), tällaista lauseketta ei muunneta enempää ja se pysyy sellaisenaan. Esimerkiksi summasta \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) löydämme \(\sqrt(49)\) - tämä on \(7\) , mutta \(\sqrt 2\) ei voi olla muunnetaan millään tavalla, siksi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisäksi tätä ilmaisua ei valitettavasti voida yksinkertaistaa millään tavalla.\(\bullet\) Neliöjuurien tulo/osamäärä on yhtä suuri kuin tulon/osamäärän neliöjuuri, ts. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (edellyttäen, että yhtäläisyyden molemmat osat ovat järkeviä)
Esimerkki: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Näitä ominaisuuksia käyttämällä on kätevää löytää suurten lukujen neliöjuuret kertomalla ne.
Harkitse esimerkkiä. Etsi \(\sqrt(44100)\) . Koska \(44100:100=441\) , sitten \(44100=100\cdot 441\) . Jaotuvuuskriteerin mukaan luku \(441\) on jaollinen luvulla \(9\) (koska sen numeroiden summa on 9 ja on jaollinen 9:llä), joten \(441:9=49\) , eli \(441=9\ cdot 49\) .
Näin ollen saimme: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Katsotaanpa toista esimerkkiä: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näytetään, kuinka neliöjuuren alle syötetään numeroita käyttämällä esimerkkiä lausekkeesta \(5\sqrt2\) (lyhenne lausekkeesta \(5\cdot \sqrt2\) ). Koska \(5=\sqrt(25)\) , niin \ Huomaa myös, että esim.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miksi niin? Selitetään esimerkillä 1). Kuten jo ymmärsit, emme voi jotenkin muuntaa numeroa \(\sqrt2\) . Kuvittele, että \(\sqrt2\) on jokin luku \(a\) . Vastaavasti lauseke \(\sqrt2+3\sqrt2\) on vain \(a+3a\) (yksi numero \(a\) plus kolme muuta samaa numeroa \(a\) ). Ja tiedämme, että tämä on yhtä suuri kuin neljä tällaista lukua \(a\) , eli \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Usein sanotaan "juurta ei voi purkaa", kun juuren (radikaalin) merkistä \(\sqrt () \ \) ei ole mahdollista päästä eroon jonkun luvun arvoa löydettäessä. Voit esimerkiksi juurtaa luvun \(16\), koska \(16=4^2\) , joten \(\sqrt(16)=4\) . Mutta juuren erottaminen luvusta \(3\) eli \(\sqrt3\) on mahdotonta, koska ei ole sellaista lukua, joka neliössä antaisi \(3\) .
Tällaiset luvut (tai lausekkeet sellaisilla numeroilla) ovat irrationaalisia. Esimerkiksi numerot \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. ovat irrationaalisia.
Irrationaalisia ovat myös luvut \(\pi\) (luku "pi", suunnilleen yhtä suuri kuin \(3,14\) ), \(e\) (tätä lukua kutsutaan Euler-luvuksi, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Huomaa, että mikä tahansa luku on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Ja yhdessä kaikki rationaaliset ja kaikki irrationaaliset luvut muodostavat joukon nimeltä joukko todellisia (todellisia) lukuja. Tämä joukko on merkitty kirjaimella \(\mathbb(R)\) .
Tämä tarkoittaa, että kaikkia tällä hetkellä tuntemiamme lukuja kutsutaan reaaliluvuiksi.

Fakta 5.
\(\bullet\) Reaaliluvun moduuli \(a\) on ei-negatiivinen luku \(|a|\) yhtä suuri kuin etäisyys reaaliluvun pisteestä \(a\) \(0\) linja. Esimerkiksi \(|3|\) ja \(|-3|\) ovat yhtä kuin 3, koska etäisyydet pisteistä \(3\) ja \(-3\) \(0\) ovat sama ja yhtä suuri kuin \(3 \) .
\(\bullet\) Jos \(a\) on ei-negatiivinen luku, niin \(|a|=a\) .
Esimerkki: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jos \(a\) on negatiivinen luku, niin \(|a|=-a\) .
Esimerkki: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
He sanovat, että negatiivisille luvuille moduuli "syö" miinuksen, ja positiiviset luvut sekä numero \(0\) moduuli jättää ennalleen.
MUTTA tämä sääntö koskee vain numeroita. Jos sinulla on tuntematon \(x\) (tai jokin muu tuntematon) moduulimerkin alla, esimerkiksi \(|x|\) , josta emme tiedä onko se positiivinen, yhtä suuri kuin nolla vai negatiivinen, niin emme voi päästä eroon moduulista. Tässä tapauksessa tämä lauseke pysyy seuraavana: \(|x|\) . \(\bullet\) Seuraavat kaavat ovat voimassa: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( edellyttäen ) a\geqslant 0\] Usein tehdään seuraava virhe: sanotaan, että \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) ovat sama asia. Tämä on totta vain, kun \(a\) on positiivinen luku tai nolla. Mutta jos \(a\) on negatiivinen luku, tämä ei ole totta. Riittää, kun pohditaan tällaista esimerkkiä. Otetaan numero \(-1\) \(a\) sijaan. Silloin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mutta lauseketta \((\sqrt (-1))^2\) ei ole ollenkaan (koska se on mahdotonta juurimerkin alle laita negatiiviset luvut!).
Siksi kiinnitämme huomiosi siihen tosiasiaan, että \(\sqrt(a^2)\) ei ole yhtä suuri kuin \((\sqrt a)^2\) ! Esimerkki: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), koska \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Koska \(\sqrt(a^2)=|a|\) , sitten \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (lauseke \(2n\) tarkoittaa parillista lukua)
Toisin sanoen, kun poimitaan juuri luvusta, joka on jossain määrin, tämä aste puolitetaan.
Esimerkki:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (huomaa, että jos moduulia ei ole asetettu, niin käy ilmi, että luvun juuri on yhtä suuri kuin \(-25) \) ; mutta muistamme , joka juuren määritelmän mukaan ei voi olla: juurta poimittaessa tulee aina saada positiivinen luku tai nolla)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (koska mikä tahansa luku parilliseen potenssiin ei ole negatiivinen)

Fakta 6.
Kuinka verrata kahta neliöjuurta?
\(\bullet\) Tosi neliöjuurille: jos \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsimerkki:
1) vertaa \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Ensin muunnamme toisen lausekkeen muotoon \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Siten vuodesta \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Minkä kokonaislukujen välissä on \(\sqrt(50)\) ?
Koska \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vertaa \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletetaan \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(tasattu) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisää yksi molemmille puolille))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((neliöi molemmat osat))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(tasattu)\] Näemme, että olemme saaneet väärän epätasa-arvon. Siksi oletuksemme oli väärä ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Huomaa, että tietyn luvun lisääminen epäyhtälön molemmille puolille ei vaikuta sen etumerkkiin. Epäyhtälön molempien puolten kertominen/jako positiivisella luvulla ei myöskään muuta sen etumerkkiä, mutta kertominen/jako negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön etumerkin!
Yhtälön/epäyhtälön molemmat puolet voidaan neliöidä VAIN JOS molemmat puolet eivät ole negatiivisia. Esimerkiksi edellisen esimerkin epäyhtälössä voit neliöttää molemmat puolet, epäyhtälössä \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Huomaa tämä \[\begin(tasattu) &\sqrt 2\noin 1,4\\ &\sqrt 3\noin 1,7 \end(tasattu)\] Näiden numeroiden likimääräisen merkityksen tunteminen auttaa sinua vertailemaan lukuja! \(\bullet\) Jotta juuri (jos se erotetaan) jostakin suuresta luvusta, jota ei ole neliötaulukossa, voidaan erottaa, sinun on ensin määritettävä, minkä "satojen" välillä se on, sitten minkä "kymmenien" välillä. ja määritä sitten tämän luvun viimeinen numero. Näytämme esimerkin avulla, miten se toimii.
Ota \(\sqrt(28224)\) . Tiedämme, että \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja niin edelleen. Huomaa, että \(28224\) on välillä \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) on välillä \(100\) ja \(200\) .
Määritetään nyt, minkä "kymmenien" välissä lukumme on (eli esimerkiksi välillä \(120\) ja \(130\) ). Neliötaulukosta tiedämme myös, että \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne., sitten \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Joten näemme, että \(28224\) on välillä \(160^2\) ja \(170^2\) . Siksi numero \(\sqrt(28224)\) on välillä \(160\) ja \(170\) .
Yritetään määrittää viimeinen numero. Muistetaan mitä yksinumeroiset luvut neliöitettäessä antavat lopussa \ (4 \) ? Nämä ovat \(2^2\) ja \(8^2\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) päättyy joko numeroon 2 tai 8. Tarkistetaan tämä. Etsi \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tästä syystä \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Jotta matematiikan tentti voitaisiin ratkaista riittävästi, on ensinnäkin tarpeen tutkia teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä on melko yksinkertaista. Kuitenkin sellaisen lähteen löytäminen, jossa matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on itse asiassa melko vaikea tehtävä. Koulukirjoja ei aina voi pitää käsillä. Ja matematiikan tentin peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetistä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää, ei vain kokeeseen osallistuville?

1. Koska se laajentaa näköalojasi. Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä kaikille, jotka haluavat saada vastauksia monenlaisiin maailman tuntemiseen liittyviin kysymyksiin. Luonnossa kaikki on järjestettyä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteeseen, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älyä. Opiskellessaan matematiikan tentin viitemateriaaleja sekä ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia ihminen oppii ajattelemaan ja päättelemään loogisesti, muotoilemaan ajatuksia oikein ja selkeästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikkia koulutusmateriaalien systematisointiin ja esittämiseen liittyvää lähestymistapaamme.