FERMATIN SUUREN LAUSEN HISTORIA
Suuri tapaus

Kerran paahtoleipien valmistusta käsittelevän postituslistan uudenvuoden numerossa mainitsin välinpitämättömästi, että 1900-luvun lopulla oli yksi suurenmoinen tapahtuma, jota monet eivät huomanneet - niin sanottu Fermatin viimeinen lause todistettiin vihdoin. Tässä yhteydessä sain saapuneiden kirjeiden joukosta kaksi vastausta tytöiltä (yksi heistä on muistaakseni yhdeksäsluokkalainen Vika Zelenogradista), jotka yllättyivät tästä tosiasiasta.

Ja olin yllättynyt siitä, kuinka innokkaasti tytöt ovat kiinnostuneita modernin matematiikan ongelmista. Siksi uskon, että paitsi tytöt, myös kaiken ikäiset pojat - lukiolaisista eläkeläisiin - ovat myös kiinnostuneita suuren lauseen historian oppimisesta.

Fermatin lauseen todistaminen on hieno tapahtuma. Ja siitä lähtien ei ole tapana vitsailla sanalla "suuri", niin minusta näyttää siltä, ​​että jokaisen itseään kunnioittavan puhujan (ja meidän kaikkien, kun sanomme puhujia) on yksinkertaisesti velvollisuus tuntea lauseen historia.

Jos niin tapahtui, ettet pidä matematiikasta niin paljon kuin minä, niin katso joitain syvennyksiä yksityiskohtaisesti pintapuolisella silmäyksellä. Ymmärsin, että kaikki postituslistamme lukijat eivät ole kiinnostuneita vaeltamaan matematiikan erämaassa, yritin olla antamatta mitään kaavoja (paitsi Fermatin lauseen yhtälöä ja paria hypoteesia) ja yksinkertaistaa joidenkin tiettyjen kysymysten kattavuutta. niin paljon kuin mahdollista.

Kuinka Fermat haudutti puuroa

Ranskalainen lakimies ja 1600-luvun osa-aikainen suuri matemaatikko Pierre Fermat (1601-1665) esitti yhden omituisen lausunnon lukuteorian alalta, joka myöhemmin tuli tunnetuksi Fermat'n suurena (tai suurena) lauseena. Tämä on yksi tunnetuimmista ja ilmiömäisimmistä matemaattisista teoreemoista. Luultavasti jännitys sen ympärillä ei olisi ollut niin voimakasta, jos Diophantus Aleksandrialaisen (3. vuosisadalla jKr.) kirjassa "Aritmetiikka", jota Fermat usein opiskeli tehden muistiinpanoja sen leveille reunuksille ja jonka hänen poikansa Samuel ystävällisesti säilytti jälkipolville. , suunnilleen seuraavaa suuren matemaatikon merkintää ei löytynyt:

"Minulla on hyvin hätkähdyttävä todiste, mutta se on liian suuri mahtumaan marginaaleihin."

Juuri tämä merkintä aiheutti myöhemmän suurenmoisen sekasorron lauseen ympärillä.

Joten kuuluisa tiedemies sanoi, että hän oli todistanut lauseensa. Esitetään itseltämme kysymys: todistiko hän todella sen vai valehteliko hän korvia? Vai onko olemassa muita versioita, jotka selittävät tuon marginaalisen merkinnän ilmestymisen, joka ei antanut monille seuraavien sukupolvien matemaatikoille nukkua rauhassa?

Suuren lauseen historia on yhtä kiehtovaa kuin seikkailu ajassa. Fermat totesi vuonna 1636, että muodon yhtälö x n + y n =z n ei ole ratkaisuja kokonaislukuina eksponentti n>2. Tämä on itse asiassa Fermatin viimeinen lause. Tässä näennäisesti yksinkertaisessa matemaattisessa kaavassa universumi on peittänyt uskomattoman monimutkaisuuden. Skotlantilaissyntyinen amerikkalainen matemaatikko Eric Temple Bell jopa ehdotti kirjassaan The Final Problem (1961), että ehkä ihmiskunta lakkaisi olemasta ennen kuin se voisi todistaa Fermatin viimeisen lauseen.

On hieman outoa, että lause jostain syystä myöhästyi, koska tilanne oli kauan myöhässä, koska sen erikoistapaus arvolle n = 2 - toinen kuuluisa matemaattinen kaava - Pythagoraan lause, syntyi kaksikymmentäkaksi vuosisataa aikaisemmin. Toisin kuin Fermatin lauseessa, Pythagoraan lauseessa on ääretön määrä kokonaislukuratkaisuja, esimerkiksi sellaiset Pythagoraan kolmiot: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Suuren lauseen oireyhtymä

Kuka vain ei yrittänyt todistaa Fermatin lausetta. Jokainen aloitteleva opiskelija piti velvollisuutenaan soveltaa suurta lausetta, mutta kukaan ei kyennyt todistamaan sitä. Aluksi se ei toiminut sataan vuoteen. Sitten vielä sata. Ja kauemmas. Matemaatikoiden keskuudessa alkoi kehittyä massaoireyhtymä: "Kuinka se on? Fermat todisti sen, mutta entä jos en osaa, vai mitä?" - ja jotkut heistä hulluivat tällä perusteella sanan täydessä merkityksessä.

Riippumatta siitä, kuinka paljon lausetta testattiin, se osoittautui aina todeksi. Tunsin yhden energisen ohjelmoijan, joka oli pakkomielle ajatukseen suuren lauseen kumoamisesta yrittämällä löytää ainakin yksi ratkaisu (vastaesimerkki) iteroimalla kokonaislukuja käyttämällä nopeaa tietokonetta (tuohon aikaan yleisemmin tietokoneeksi kutsuttu). Hän uskoi yrityksensä menestykseen ja sanoi mielellään: "Vähän lisää - ja sensaatio puhkeaa!" Luulen, että planeettamme eri osissa oli huomattava määrä tällaisia ​​rohkeita etsijöitä. Hän ei tietenkään löytänyt ratkaisua. Eikä mikään tietokone, edes upealla nopeudella, voisi koskaan testata lausetta, koska kaikki tämän yhtälön muuttujat (mukaan lukien eksponentit) voivat kasvaa äärettömään.

Lause vaatii todisteita

Matemaatikot tietävät, että jos lausetta ei todisteta, siitä voi seurata mitä tahansa (joko tosi tai epätosi), kuten se teki joidenkin muiden hypoteesien kanssa. Esimerkiksi eräässä kirjeessään Pierre Fermat ehdotti, että muotoa 2 n +1 olevat luvut (niin sanotut Fermat-luvut) ovat välttämättä alkulukuja (eli niillä ei ole kokonaislukujakijoita ja ne ovat jaettavissa vain itsellään ja yksi ilman jäännöstä), jos n on kahden potenssi (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 jne.). Fermatin hypoteesi kesti yli sata vuotta – kunnes Leonhard Euler osoitti vuonna 1732, että

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Sitten, melkein 150 vuotta myöhemmin (1880), Fortune Landry laski seuraavan Fermat-luvun:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Kuinka he voisivat löytää näiden suurten lukujen jakajat ilman tietokoneiden apua - Jumala vain tietää. Euler puolestaan ​​esitti hypoteesin, että yhtälöllä x 4 + y 4 + z 4 =u 4 ei ole ratkaisuja kokonaislukuina. Noin 250 vuotta myöhemmin, vuonna 1988, Naum Elkis Harvardista onnistui kuitenkin havaitsemaan (jo tietokoneohjelmaa käyttäen), että

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Siksi Fermatin viimeinen lause vaati todisteita, muuten se oli vain hypoteesi, ja saattoi hyvinkin olla, että jossain loputtomissa numeerisissa kentissä Suuren Lauseen yhtälön ratkaisu hävisi.

1700-luvun virtuoosisin ja tuottelias matemaatikko, Leonard Euler, jonka arkistoa ihmiskunta on selvittänyt lähes vuosisadan ajan, todisti Fermatin lauseen tehoille 3 ja 4 (tai pikemminkin hän toisti Pierre Fermatin itsensä kadonneet todisteet) ; hänen seuraajansa lukuteoriassa Legendre (ja itsenäisesti Dirichlet) - tutkintoon 5; Ontuva - tutkintoon 7. Mutta yleisesti ottaen lause jäi todistamatta.

1. maaliskuuta 1847 Pariisin tiedeakatemian kokouksessa kaksi erinomaista matemaatikkoa - Gabriel Lame ja Augustin Cauchy - ilmoittivat saapuneensa Suuren lauseen todistuksen päätökseen ja järjestäneet kilpailun julkaisivat oman työnsä. todisteet osissa. Heidän kaksintaistelunsa kuitenkin keskeytettiin, koska sama virhe havaittiin heidän todistuksessaan, johon saksalainen matemaatikko Ernst Kummer huomautti.

1900-luvun alussa (1908) varakas saksalainen liikemies, filantrooppi ja tiedemies Paul Wolfskel testamentti satatuhatta markkaa jokaiselle, joka esittää täydellisen todisteen Fermatin lauseesta. Jo ensimmäisenä vuonna Göttingenin tiedeakatemian Wolfskellin testamentin julkaisemisen jälkeen se tulvi tuhansia matematiikan ystävien todisteita, ja tämä virta ei pysähtynyt vuosikymmeniin, mutta kuten voitte kuvitella, ne kaikki sisälsivät virheitä . He sanovat, että akatemia valmisteli seuraavan sisällön mukaisia ​​lomakkeita:

Arvoisa ________________________________!
Todistuksessasi Fermat'n lauseesta ____ sivulla ____ rivillä ylhäältä
Kaavasta löytyi seuraava virhe:___________________________________:,

Ne lähetettiin epäonnisille palkinnon hakijoille.

Tuolloin matemaatikoiden piirissä ilmestyi puolihalvettava lempinimi - fermisti. Tällä nimellä annettiin jokainen itsevarma nousujohteinen, jolla ei ollut tietoa, mutta jolla oli enemmän kunnianhimoa yrittää kiireesti kätensä suuren lauseen todistamisessa, ja sitten, huomaamatta omia virheitään, löi ylpeänä rintaansa, julistaa äänekkäästi: "Minä todisti ensimmäisen Fermat'n lauseen! Jokainen maanviljelijä, vaikka hän olikin kymmentuhannes, piti itseään ensimmäisenä - tämä oli naurettavaa. Suuren lauseen yksinkertainen ulkoasu muistutti fermistejä helposta saalista niin paljon, että he eivät olleet ollenkaan nolostuneet siitä, etteivät edes Euler ja Gauss kyenneet selviytymään siitä.

(Fermistejä, kummallista kyllä, on edelleen olemassa. Vaikka yksi heistä ei uskonut todistaneensa lausetta kuin klassinen fermisti, mutta viime aikoihin asti hän yritti - hän kieltäytyi uskomasta minua, kun kerroin hänelle, että Fermatin lause oli jo tehty todistettu).

Tehokkaimmat matemaatikot, ehkä toimistojensa hiljaisuudessa, yrittivät myös varovasti lähestyä tätä raskasta tankoa, mutta eivät puhuneet siitä ääneen, jotteivät he leimautuisi fermisteiksi ja siten eivät vahingoittaisi heidän korkeaa auktoriteettiaan.

Siihen mennessä eksponentin n lauseen todistus ilmestyi<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Outo hypoteesi

1900-luvun puoliväliin saakka Suuren lauseen historiassa ei havaittu suuria edistysaskeleita. Mutta pian matemaattisessa elämässä tapahtui mielenkiintoinen tapahtuma. Vuonna 1955 28-vuotias japanilainen matemaatikko Yutaka Taniyama esitti lausunnon aivan toiselta matematiikan alueelta, nimeltään Taniyama-hypoteesi (alias Taniyama-Shimura-Weilin hypoteesi), joka, toisin kuin Fermatin myöhässä oleva lause, oli edellä on aika.

Taniyaman arvelussa sanotaan: "jokaista elliptistä käyrää vastaa tietty modulaarinen muoto." Tämä lausunto tuon ajan matemaatikoille kuulosti suunnilleen yhtä absurdilta kuin meille väite: "jokaista puuta vastaa tietty metalli." On helppo arvata, kuinka normaali ihminen voi suhtautua tällaiseen lausuntoon - hän ei yksinkertaisesti ota sitä vakavasti, mikä tapahtui: matemaatikot jättivät hypoteesin yksimielisesti huomiotta.

Pientä selitystä. Elliptiset käyrät, jotka tunnettiin pitkään, ovat kaksiulotteisia (sijaitsevat tasossa). 1800-luvulla löydetyillä modulaarisilla funktioilla on neliulotteinen muoto, joten emme voi edes kuvitella niitä kolmiulotteisilla aivoillamme, mutta voimme kuvata niitä matemaattisesti; lisäksi modulaariset muodot ovat hämmästyttäviä siinä mielessä, että niissä on mahdollisimman suuri symmetria - niitä voidaan kääntää (siirtää) mihin tahansa suuntaan, peilata, fragmentteja voidaan vaihtaa, kiertää äärettömän monella tavalla - ja niiden ulkonäkö ei muutu. Kuten näette, elliptisillä käyrillä ja modulaarisilla muodoilla on vähän yhteistä. Taniyaman hypoteesi väittää, että näiden kahden täysin erilaisen toisiaan vastaavien matemaattisten objektien kuvaavat yhtälöt voidaan laajentaa samaksi matemaattiseksi sarjaksi.

Taniyaman hypoteesi oli liian paradoksaalinen: se yhdisti täysin erilaisia ​​käsitteitä - melko yksinkertaisia ​​litteitä käyriä ja käsittämättömiä neliulotteisia muotoja. Tämä ei ole tullut kenellekään mieleen. Kun kansainvälisessä matemaattisessa symposiumissa Tokiossa syyskuussa 1955 Taniyama osoitti useita vastaavuuksia elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen välillä, kaikki näkivät tämän pelkkänä hauskana sattumana. Taniyaman vaatimattomaan kysymykseen: onko jokaiselle elliptiselle käyrälle mahdollista löytää vastaava modulaarinen funktio, kunnianarvoisa ranskalainen Andre Weil, joka tuolloin oli yksi maailman parhaista lukuteorian asiantuntijoista, antoi melko diplomaattisen vastauksen, mitä he sanovat. , jos utelias Taniyama ei jätä innostusta, niin ehkä hänellä on onni ja hänen uskomaton hypoteesinsa vahvistuu, mutta tämä ei saa tapahtua pian. Yleensä, kuten monet muutkin merkittävät löydöt, Taniyaman hypoteesi jätettiin aluksi huomiotta, koska he eivät olleet vielä kasvaneet siihen - melkein kukaan ei ymmärtänyt sitä. Vain yksi Taniyaman kollega, Goro Shimura, tunsi hyvin lahjakkaan ystävänsä, tunsi intuitiivisesti, että hänen hypoteesinsa oli oikea.

Kolme vuotta myöhemmin (1958) Yutaka Taniyama teki itsemurhan (samuraiperinteet ovat kuitenkin vahvoja Japanissa). Terveen järjen näkökulmasta - käsittämätön teko, varsinkin kun ottaa huomioon, että hän meni pian naimisiin. Nuorten japanilaisten matemaatikoiden johtaja aloitti itsemurhaviestinsä seuraavasti: "Eilen en ajatellut itsemurhaa. Viime aikoina olen usein kuullut muilta, että olen henkisesti ja fyysisesti väsynyt. Itse asiassa en vieläkään ymmärrä miksi teen. tämä...” ja niin edelleen kolmella arkilla. On tietysti sääli, että tämä oli mielenkiintoisen henkilön kohtalo, mutta kaikki nerot ovat vähän outoja - siksi he ovat neroja (jostain syystä tulivat mieleen Arthur Schopenhauerin sanat: "tavallisessa elämässä neroudesta on yhtä paljon hyötyä kuin kaukoputkesta teatterissa). Hypoteesi on hylätty. Kukaan ei osannut todistaa sitä.

Kymmenen vuoden ajan Taniyaman hypoteesia tuskin mainittiin. Mutta 70-luvun alussa siitä tuli suosittu - sen tarkastivat säännöllisesti kaikki, jotka ymmärsivät sen - ja se vahvistettiin aina (kuten itse asiassa Fermatin lause), mutta kuten ennenkin, kukaan ei pystynyt todistamaan sitä.

Hämmästyttävä yhteys näiden kahden hypoteesin välillä

Toiset 15 vuotta on kulunut. Vuonna 1984 matematiikan elämässä tapahtui yksi avaintapahtuma, joka yhdisti ylelliset japanilaiset arvelut Fermatin viimeiseen lauseeseen. Saksalainen Gerhard Frey esitti uteliaan lausunnon, joka muistuttaa lausetta: "Jos Taniyaman olettamus todistetaan, niin siten Fermatin viimeinen lause todistetaan." Toisin sanoen Fermatin lause on seuraus Taniyaman oletuksesta. (Frey, käyttäen nerokkaita matemaattisia muunnoksia, pelkisti Fermatin yhtälön elliptisen käyräyhtälön muotoon (sama, joka esiintyy Taniyaman hypoteesissa), enemmän tai vähemmän perusteli oletuksensa, mutta ei pystynyt todistamaan sitä). Ja vain puolitoista vuotta myöhemmin (1986) Kalifornian yliopiston professori Kenneth Ribet osoitti selvästi Freyn lauseen.

Mitä nyt tapahtui? Nyt kävi ilmi, että koska Fermatin lause on jo täsmälleen seuraus Taniyaman oletuksesta, tarvitsee vain todistaa jälkimmäinen, jotta legendaarisen Fermatin lauseen valloittajan laakerit murskattaisiin. Mutta hypoteesi osoittautui vaikeaksi. Lisäksi matemaatikot tulivat vuosisatojen kuluessa allergisiksi Fermatin lauseelle, ja monet heistä päättivät, että olisi myös lähes mahdotonta selviytyä Taniyaman arveluista.

Fermatin hypoteesin kuolema. Lauseen synty

Taas on kulunut 8 vuotta. Eräs edistyksellinen englantilainen matematiikan professori Princetonin yliopistosta (New Jersey, USA), Andrew Wiles, luuli löytäneensä todisteen Taniyaman oletukselle. Jos nero ei ole kalju, niin yleensä sekava. Wiles on epäsiisti, joten näyttää nerolta. Historiaan pääseminen on tietysti houkuttelevaa ja erittäin toivottavaa, mutta Wiles, kuten todellinen tiedemies, ei imarreltunut itseensä, tajuten, että tuhannet fermistit ennen häntä näkivät myös aavemaisia ​​todisteita. Siksi ennen kuin hän esitteli todisteensa maailmalle, hän tarkasti sen itse huolellisesti, mutta ymmärsi, että hänellä voi olla subjektiivista harhaa, hän otti tarkistuksiin myös muita, esimerkiksi tavallisten matemaattisten tehtävien varjolla hän heitti toisinaan erilaisia ​​​​fragmentteja. hänen todistuksestaan ​​älykkäille jatko-opiskelijoille. Wiles myönsi myöhemmin, ettei kukaan muu kuin hänen vaimonsa tiennyt, että hän oli työskennellyt todistaakseen Suuren lauseen.

Ja niin pitkien tarkastusten ja tuskallisten pohdiskelujen jälkeen Wiles lopulta keräsi rohkeutta tai kenties, kuten hän itse ajatteli, ylimielisyyttä, ja 23. kesäkuuta 1993 Cambridgessa pidetyssä lukuteorian matemaattisessa konferenssissa hän ilmoitti suuresta saavutuksestaan.

Se oli tietysti sensaatio. Kukaan ei odottanut tällaista ketteryyttä vähän tunnetulta matemaatikolta. Sitten lehdistö tuli mukaan. Kaikkia kiusasi polttava kiinnostus. Ohut kaavat, kuin kauniin kuvan vedot, ilmestyivät yleisön uteliaiden silmien eteen. Todelliset matemaatikothan he ovat sellaisia ​​- he katsovat kaikenlaisia ​​yhtälöitä eivätkä näe niissä numeroita, vakioita ja muuttujia, vaan he kuulevat musiikkia, kuten Mozart katsoi musikaalista sauvaa. Kuten kirjaa lukiessamme, katsomme kirjaimia, mutta emme näytä huomaavan niitä, vaan huomaamme heti tekstin merkityksen.

Todistuksen esittäminen näytti onnistuneelta - siinä ei löytynyt virheitä - kukaan ei kuullut ainuttakaan väärää huomautusta (vaikka useimmat matemaatikot vain tuijottivat häntä kuin ekaluokkalaiset integraalia eivätkä ymmärtäneet mitään). Kaikki päättivät, että oli tapahtunut laajamittainen tapahtuma: Taniyaman hypoteesi ja siten Fermatin viimeinen lause todistettiin. Mutta noin kaksi kuukautta myöhemmin, muutama päivä ennen kuin Wilesin todisteen käsikirjoituksen oli määrä tulla liikkeelle, sen todettiin olevan epäjohdonmukainen (Katz, Wilesin kollega, huomautti, että yksi päättely perustui "Eulerin järjestelmään", mutta mitä Wilesin rakentama, ei ollut sellainen järjestelmä), vaikka yleisesti ottaen Wilesin tekniikoita pidettiin mielenkiintoisina, tyylikkäinä ja innovatiivisina.

Wiles analysoi tilanteen ja päätti hävinneensä. Voidaan kuvitella, kuinka hän tunsi kaikella olemisellaan mitä se tarkoittaa "suuresta naurettavaan yksi askel". "Halusin astua Historiaan, mutta sen sijaan liityin klovnien ja koomikkojen - ylimielisten maanviljelijöiden - joukkoon" - suunnilleen tällaiset ajatukset uuvuttivat hänet tuona tuskallisena elämänkautena. Hänelle, vakavalle matemaatikolle, se oli tragedia, ja hän heitti todisteensa taka-alalle.

Mutta hieman yli vuotta myöhemmin, syyskuussa 1994, pohtiessaan tuota todistuksen pullonkaulaa yhdessä kollegansa Taylorin kanssa Oxfordista, jälkimmäinen sai yhtäkkiä ajatuksen, että "Euler-järjestelmä" voitaisiin muuttaa Iwasawa-teoriaksi (osio lukuteoriasta). Sitten he yrittivät käyttää Iwasawa-teoriaa ilman "Euler-järjestelmää", ja he kaikki tulivat yhteen. Todistuksen korjattu versio toimitettiin tarkistettavaksi, ja vuotta myöhemmin ilmoitettiin, että kaikki siinä oli täysin selvää, ilman yhtäkään virhettä. Kesällä 1995 yhdessä johtavista matemaattisista aikakauslehdistä - "Annals of Mathematics" - julkaistiin täydellinen todiste Taniyaman oletuksesta (siis Fermatin suuri (suuri) teoreema), joka vei koko numeron - yli sata arkkia. Todistus on niin monimutkainen, että vain muutama kymmenkunta ihmistä ympäri maailmaa voisi ymmärtää sen kokonaisuudessaan.

Niinpä koko maailma ymmärsi 1900-luvun lopulla, että sen 360. elinvuotena Fermatin viimeinen lause, joka itse asiassa oli ollut hypoteesi koko tämän ajan, oli tullut todistetuksi lauseeksi. Andrew Wiles todisti Fermatin suuren (suuri) lauseen ja astui historiaan.

Luuletko todistavasi lauseen...

Löytäjän onni menee aina jollekin yksin - juuri hän murtaa viimeisellä vasaran iskulla tiedon kovan pähkinän. Mutta ei voida sivuuttaa monia aikaisempia iskuja, jotka ovat muodostaneet halkeaman Suureen lauseeseen vuosisatojen ajan: Euler ja Gauss (aikansa matematiikan kuninkaat), Evariste Galois (joka onnistui vahvistamaan ryhmien ja kenttien teorian lyhyessä 21. -vuotinen elämä, jonka teokset tunnustettiin loistaviksi vasta hänen kuolemansa jälkeen), Henri Poincaré (ei vain outojen modulaaristen muotojen, vaan myös konvencionalismin perustaja - filosofinen suuntaus), David Gilbert (yksi 1900-luvun vahvimmista matemaatikoista) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor ja muut todellisia tiedemiehiä(En pelkää näitä sanoja).

Fermatin viimeisen lauseen todistus voidaan asettaa 1900-luvun saavutusten, kuten tietokoneen, ydinpommin ja avaruuslennon, kanssa. Vaikka sitä ei niin laajasti tunnetakaan, koska se ei tunkeudu hetkellisten kiinnostuksen kohteidemme alueelle, kuten televisioon tai sähkölamppuun, se oli supernovan välähdys, joka, kuten kaikki muuttumattomat totuudet, tulee aina loistamaan ihmiskunta.

Voit sanoa: "Ajattele vain, todistit jonkinlaisen lauseen, kuka sitä tarvitsee?". Oikeudenmukainen kysymys. David Gilbertin vastaus sopii juuri tähän. Milloin kysymykseen: "mikä on tieteen tärkein tehtävä nyt?", Hän vastasi: "saalis kärpänen kuun toiselta puolelta", häneltä kysyttiin perustellusti: "mutta kuka sitä tarvitsee?", hän vastasi näin:" Kukaan ei tarvitse sitä. Mutta ajattele kuinka monia tärkeitä ja vaikeita ongelmia on ratkaistava tämän saavuttamiseksi. "Ajattele kuinka monta ongelmaa ihmiskunta on pystynyt ratkaisemaan 360 vuoden aikana ennen Fermatin lauseen todistamista. Sen todisteita etsiessään lähes puolet modernista matematiikasta Meidän on myös otettava huomioon, että matematiikka on tieteen avantgarde (ja muuten ainoa tieteistä, joka on rakennettu ilman yhtä virhettä), ja kaikki tieteelliset saavutukset ja keksinnöt alkavat tästä. .

* * *

Ja nyt palataan tarinamme alkuun, muistetaan Pierre Fermatin kirjoitus Diophantuksen oppikirjan marginaaleista ja kysytään jälleen kerran itseltämme: osoittiko Fermat todella lauseensa? Emme tietenkään voi tietää tätä varmasti, ja kuten joka tapauksessa, täällä syntyy erilaisia ​​versioita:

Versio 1: Fermat todisti lauseensa. (Kysymykseen: "Onko Fermatilla täsmälleen sama todiste teoreemaansa?" Andrew Wiles huomautti: "Fermat ei voinut olla niin todiste. Tämä on todiste 1900-luvulta. "Ymmärrämme, että 1600-luvulla matematiikka ei tietenkään ollut sama kuin 1900-luvun lopussa - tuolloin d, tieteiden kuningatar Artagnan ei silti heillä on ne löydöt (modulaariset muodot, Taniyaman lauseet , Frey jne.), jotka vain tekivät mahdolliseksi todistaa Fermatin viimeinen lause. Voidaan tietysti olettaa: mitä helvettiä ei ole leikkiä - mitä jos Fermat arvaisi toisin Tämä versio, vaikkakin todennäköinen, on useimpien matemaatikoiden mukaan käytännössä mahdotonta);
Versio 2: Pierre de Fermat'sta näytti, että hän oli todistanut lauseensa, mutta hänen todistuksessaan oli virheitä. (Toisin sanoen Fermat itse oli myös ensimmäinen fermatisti);
Versio 3: Fermat ei todistanut lausettaan, vaan valehteli marginaaleissa.

Jos toinen kahdesta viimeisestä versiosta on oikea, mikä on todennäköisintä, voidaan tehdä yksinkertainen johtopäätös: hienoja ihmisiä, vaikka he ovat mahtavia, he voivat myös tehdä virheitä tai joskus he eivät välitä valehtelemisesta(Periaatteessa tämä johtopäätös on hyödyllinen niille, jotka ovat taipuvaisia ​​luottamaan täysin epäjumaliinsa ja muihin ajatusten hallitsijoihin). Siksi, kun luet arvovaltaisten ihmispoikien teoksia tai kuuntelet heidän säälittävää puhetta, sinulla on täysi oikeus epäillä heidän lausuntojaan. (Huomatkaa että epäillä ei ole hylkäämistä).

Artikkelimateriaalien uusintapainos on mahdollista vain pakollisilla linkeillä sivustolle (Internetissä - hyperlinkki) ja kirjoittajalle

Koska harvat ihmiset tuntevat matemaattista ajattelua, puhun suurimmasta tieteellisestä löydöstä - Fermatin viimeisen lauseen alkeellisesta todistuksesta - ymmärrettävimmällä koulukielellä.

Todistus löydettiin tietylle tapaukselle (alkupotenssille n>2), johon (ja tapaukseen n=4) kaikki tapaukset, joissa on yhdistetty n, voidaan helposti pelkistää.

Joten meidän on todistettava, että yhtälöllä A^n=C^n-B^n ei ole ratkaisua kokonaislukuina. (Tässä ^-merkki tarkoittaa astetta.)

Todistus suoritetaan lukujärjestelmässä, jossa on yksinkertainen kanta n. Tässä tapauksessa kussakin kertotaulukossa viimeisiä numeroita ei toisteta. Tavallisessa desimaalijärjestelmässä tilanne on toinen. Esimerkiksi kun luku 2 kerrotaan sekä 1:llä että 6:lla, molemmat tulot - 2 ja 12 - päätyvät samoihin numeroihin (2). Ja esimerkiksi luvun 2 seitsenkertaisessa järjestelmässä kaikki viimeiset numerot ovat erilaisia: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, viimeisillä numeroilla 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Tämän ominaisuuden ansiosta mikä tahansa luku A, joka ei pääty nollaan (ja Fermatin yhtälössä, lukujen A viimeinen numero, hyvin tai B, sen jälkeen, kun yhtälö on jaettu lukujen A, B, C yhteisellä jakajalla ei ole yhtä suuri kuin nolla), voit valita tekijän g siten, että luvulla Ag on mielivaltaisen pitkä loppu, kuten 000...001. Juuri sellaisella luvulla g kerrotaan kaikki Fermatin yhtälön kantaluvut A, B, C. Samalla tehdään yksipäätteestä riittävän pitkä, eli kaksi numeroa pidempi kuin luvun U=A+B-C lopussa olevien nollien luku (k).

Luku U ei ole nolla - muuten C \u003d A + B ja A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Se on itse asiassa koko Fermatin tasa-arvon valmistelu lyhyttä ja lopullista tutkimusta varten. Ainoa asia, joka meidän on vielä tehtävä: kirjoitamme uudelleen Fermatin yhtälön oikea puoli - C ^ n-B ^ n - käyttämällä koulun laajennuskaavaa: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P tai aP. Ja koska jatkossa operoimme (kertomme ja lisäämme) vain numeroiden A, B, C (k + 2)-numeropäiden numeroilla, voimme jättää niiden pääosat huomiotta ja yksinkertaisesti hylätä ne (jätä vain yksi tosiasia muistissa: Fermatin yhtälön vasen puoli on VOIMA).

Ainoa mainitsemisen arvoinen asia on lukujen a ja P viimeiset numerot. Fermatin alkuperäisessä yhtälössä luku P päättyy numeroon 1. Tämä seuraa Fermatin pienen lauseen kaavasta, joka löytyy hakuteoksista. Ja kun Fermat-yhtälö on kerrottu luvulla g ^ n, luku P kerrotaan luvulla g n-1:n potenssiin, joka Fermatin pienen lauseen mukaan myös päättyy numeroon 1. Näin uudessa Fermatissa ekvivalentti yhtälö, luku P päättyy 1:een. Ja jos A päättyy 1:een, niin myös A^n päättyy 1:een, ja siksi myös luku a päättyy 1:een.

Joten meillä on lähtötilanne: numeroiden A, a, P viimeiset numerot A, a, P" päättyvät numeroon 1.

No, sitten alkaa suloinen ja kiehtova operaatio, jota kutsutaan mieluiten "myllyksi": ottamalla huomioon seuraavat numerot "", a """ ja niin edelleen, numerot a, laskemme yksinomaan "helposti" että ne ovat myös yhtä suuri kuin nolla! Laitoin "helppo" lainausmerkkeihin, koska ihmiskunta ei löytänyt avainta tähän "helppoon" 350 vuoteen! Ja avain osoittautui todella yllättävän ja mykistävän primitiiviseksi: luku P on esitettävä muodossa P = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Toiseen termiin tässä summassa ei kannata kiinnittää huomiota - jatkotodistuksessahan hylkäsimme kaikki luvun (k + 2) jälkeiset luvut luvuissa (ja tämä yksinkertaistaa analyysiä huomattavasti)! Joten kun pään osanumerot on hylätty, Fermatin yhtälö saa muotoa: ...1=aq^(n-1), missä a ja q eivät ole lukuja, vaan vain numeroiden a ja q päätteet! (En ota käyttöön uutta merkintää, koska se vaikeuttaa lukemista.)

Viimeinen filosofinen kysymys jää: miksi luku P voidaan esittää muodossa P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Vastaus on yksinkertainen: koska mikä tahansa kokonaisluku P, jonka lopussa on 1, voidaan esittää tässä muodossa ja identtisesti. (Voit ajatella sitä monella muullakin tavalla, mutta meidän ei tarvitse.) Todellakin, P=1:lle vastaus on ilmeinen: P=1^(n-1). P=hn+1:lle luku q=(n-h)n+1, joka on helppo varmistaa ratkaisemalla yhtälö [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 kaksiarvoisella loppuja. Ja niin edelleen (mutta meillä ei ole tarvetta lisälaskelmille, koska tarvitsemme vain lukujen esityksen muodossa P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! No, filosofia on ohi, voit siirtyä laskelmiin toisen luokan tasolla, ellet vain muista vielä kerran Newtonin binomiaalikaavaa.

Esitetään siis luku a"" (luvussa a=a""n+1) ja lasketaan sen avulla luku q"" (luvussa q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), tai...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], josta q""=a"".

Ja nyt Fermatin tasa-arvon oikea puoli voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), jossa luvun D arvo ei kiinnosta meitä.

Ja nyt tulemme ratkaisevaan johtopäätökseen. Luku a "" n + 1 on luvun A kaksinumeroinen pääte, ja SIINÄ se määrittää yksinkertaisen lemman mukaan yksiselitteisesti asteen A ^ n KOLMANNEN numeron. Ja lisäksi Newtonin binomiaalin laajennuksesta
(a "" n + 1) ^ n, koska jokainen laajennuksen termi (paitsi ensimmäinen, jota sää ei voi enää muuttaa!) on yhdistetty SIMPLE-tekijällä n (luvun kanta!), se on selvä, että tämä kolmas numero on yhtä suuri kuin "" . Mutta kertomalla Fermatin yhtäläisyys g ^ n:llä, muutimme luvun A viimeistä ykköstä edeltävän k + 1 -luvun 0:ksi. Ja siksi "" \u003d 0 !!!

Näin ollen saimme syklin valmiiksi: ottamalla käyttöön a"", huomasimme, että q""=a"", ja lopuksi a""=0!

No, täytyy vielä todeta, että suoritettuaan täysin samanlaiset laskelmat ja sitä seuraavat k-numerot saadaan lopullinen yhtäläisyys: luvun a (k + 2)-numeropääte eli C-B, - aivan kuten luku A, on yhtä suuri kuin 1. Mutta silloin C-A-B:n (k+2):s numero on yhtä suuri kuin nolla, kun taas se EI ole nolla!!!

Tässä on itse asiassa kaikki todisteet. Ymmärtääksesi sen, sinulla ei tarvitse olla korkeakoulutusta ja lisäksi ammattimatemaatikot. Ammattilaiset ovat kuitenkin hiljaa...

Koko todistuksen luettava teksti löytyy täältä:

Arvostelut

Hei Victor. Pidin ansioluettelostasi. "Älä anna kuolla ennen kuolemaa" kuulostaa tietysti hyvältä. Rehellisesti sanottuna olin järkyttynyt tapaamisesta Proosassa Fermatin lauseen kanssa! Kuuluuko hän tänne? Siellä on tieteellisiä, populaaritieteellisiä ja teekannusivustoja. Muuten kiitos kirjallisesta työstäsi.
Terveisin, Anya.

Rakas Anya, melko tiukasta sensuurista huolimatta Prose antaa sinun kirjoittaa KAIKESTA. Fermatin lauseella tilanne on seuraava: suuret matemaattiset foorumit kohtelevat fermatisteja vinosti, töykeästi ja kaiken kaikkiaan parhaansa mukaan. Pienillä venäjän, englannin ja ranskan foorumeilla esitin kuitenkin todisteen viimeisen version. Kukaan ei ole vielä esittänyt vasta-argumentteja, ja olen varma, että kukaan ei esitä (todiste on tarkastettu erittäin huolellisesti). Lauantaina julkaisen filosofisen huomautuksen lauseesta.
Proosassa ei ole juuri lainkaan boureja, ja jos et viihdy heidän kanssaan, ne irtoavat melko pian.
Lähes kaikki teokseni esitetään proosaksi, joten laitoin myös todisteen tänne.
Nähdään myöhemmin,

Tiedosto FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Ukrainan todistus nro 27312

LYHYT TODISTUS FERMATIN SUURESTA LAUSESTA

Fermatin viimeinen lause muotoillaan seuraavasti: Diofantiiniyhtälö (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

MUTTA n + V n = C n * /1/

missä n- positiivisella kokonaisluvulla, joka on suurempi kuin kaksi, ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina A , B , FROM .

TODISTE

Fermatin viimeisen lauseen muotoilusta seuraa: jos n on positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin kaksi, edellyttäen, että kaksi kolmesta luvusta MUTTA , AT tai FROM ovat positiivisia kokonaislukuja, yksi näistä luvuista ei ole positiivinen kokonaisluku.

Rakennamme todistuksen aritmeettisen peruslauseen pohjalta, jota kutsutaan "lauseeksi tekijöiden jakamisen ainutlaatuisuudesta" tai "teoreemaksi kokonaislukujen tekijöiden jakamisen ainutlaatuisuudesta". Parittomat ja parilliset eksponentit mahdollisia n . Harkitse molempia tapauksia.

1. Tapaus yksi: Eksponentti n - pariton numero.

Tässä tapauksessa lauseke /1/ muunnetaan tunnettujen kaavojen mukaan seuraavasti:

MUTTA n + AT n = FROM n /2/

me uskomme tuon A ja B ovat positiivisia kokonaislukuja.

Numerot MUTTA , AT ja FROM on oltava suhteellisen alkulukuja.

Yhtälöstä /2/ seuraa, että annetuille lukuarvoille A ja B tekijä ( A + B ) n , FROM.

Sanotaan vaikka numero FROM - positiivinen kokonaisluku. Hyväksytyt ehdot ja aritmeettisen peruslauseen huomioon ottaen ehto :

FROM n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

missä on kerroin D n D

Yhtälöstä /3/ seuraa:

Yhtälö /3/ tarkoittaa myös, että numero [ C n = A n + B n ] edellyttäen, että numero FROM ( A + B ) n. Tiedetään kuitenkin, että:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

Näin ollen:

on murtoluku, joka on pienempi kuin yksi. /6/

Murtoluku.

n

Parittomille eksponenteille n >2 määrä:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Yhtälön /2/ analyysistä seuraa, että parittomalla eksponentilla n määrä:

FROM n = MUTTA n + AT n = (A+B)

koostuu kahdesta määrätystä algebrallisesta tekijästä ja mille tahansa eksponentin arvolle n algebrallinen tekijä pysyy ennallaan ( A + B ).

Siten Fermatin viimeisellä lauseella ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina parittomille eksponenteille n >2.

2. Tapaus kaksi: Eksponentti n - tasaluku .

Fermatin viimeisen lauseen olemus ei muutu, jos yhtälö /1/ kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

A n = C n - B n /7/

Tässä tapauksessa yhtälö /7/ muunnetaan seuraavasti:

A n = C n - B n = ( FROM +B)∙(C n-1 + C n-2 B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Hyväksymme sen FROM ja AT- kokonaislukuja.

Yhtälöstä /8/ seuraa, että annetuille lukuarvoille B ja C tekijä (C+ B ) on sama arvo mille tahansa eksponentin arvolle n , joten se on luvun jakaja A .

Sanotaan vaikka numero MUTTA on kokonaisluku. Hyväksytyt ehdot ja aritmeettisen peruslauseen huomioon ottaen ehto :

MUTTA n = C n - B n =(C+ B ) n ∙ D n , / 9/

missä on kerroin D n on oltava kokonaisluku ja siten luku D on myös oltava kokonaisluku.

Yhtälöstä /9/ seuraa:

/10/

Yhtälö /9/ tarkoittaa myös, että numero [ MUTTA n = FROM n - B n ] edellyttäen, että numero MUTTA- kokonaisluku, jonka on oltava jaollinen luvulla (C+ B ) n. Tiedetään kuitenkin, että:

FROM n - B n < (С+ B ) n /11/

Näin ollen:

on murtoluku, joka on pienempi kuin yksi. /12/

Murtoluku.

Tästä seuraa, että eksponentin parittomalla arvolla n Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä /1/ ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina.

Tasaisilla eksponenteilla n >2 määrä:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Siten Fermatin viimeisellä lauseella ei ole ratkaisua positiivisilla kokonaisluvuilla ja parillisella eksponentilla n >2.

Yleinen johtopäätös seuraa yllä olevasta: Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä /1/ ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina A, B ja FROM edellyttäen, että eksponentti n>2.

LISÄSYYT

Siinä tapauksessa, että eksponentti n – parillinen luku, algebrallinen lauseke ( C n - B n ) jaettu algebrallisiin tekijöihin:

C 2 - B 2 \u003d(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C6 - B6 =(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C 8 - B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Annetaan esimerkkejä numeroina.

ESIMERKKI 1: B = 11; C = 35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) = 2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633 .

ESIMERKKI 2: B = 16; C = 25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) (881) = 3 2 ∙ 41 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Yhtälöiden /13/, /14/, /15/ ja /16/ ja niitä vastaavien numeeristen esimerkkien analyysistä seuraa:

Tietylle eksponentille n , jos se on parillinen luku, numero MUTTA n = C n - B n hajoaa hyvin määritellyksi määräksi hyvin määriteltyjä algebrallisia tekijöitä;

Mihin tahansa tutkintoon n , jos se on parillinen luku, algebrallisessa lausekkeessa ( C n - B n ) kertoimia on aina ( C - B ) ja ( C + B ) ;

Jokainen algebrallinen tekijä vastaa hyvin määriteltyä numeerista tekijää;

Annetuille numeroarvoille AT ja FROM numeeriset tekijät voivat olla alkulukuja tai yhdistettyjä numeerisia tekijöitä;

Jokainen yhdistetty numeerinen tekijä on alkulukujen tulo, jotka puuttuvat osittain tai kokonaan muista yhdistetyistä numeerisista tekijöistä;

Alkulukujen arvo komposiittisten numeeristen tekijöiden koostumuksessa kasvaa näiden tekijöiden kasvaessa;

Suurinta algebrallista tekijää vastaavan suurimman numeerisen komposiittitekijän koostumus sisältää suurimman alkuluvun potenssiin, joka on pienempi kuin eksponentti n(useimmiten ensimmäisessä asteessa).

JOHTOPÄÄTÖKSET: lisäperustelut tukevat johtopäätöstä, että Fermatin viimeisellä lauseella ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina.

mekaniikkainsinööri

Kyselyn "Fermatin lause" suosiosta päätellen lyhyt todiste, tämä matemaattinen ongelma kiinnostaa todella monia. Tämän lauseen esitti ensimmäisen kerran Pierre de Fermat vuonna 1637 aritmeettisen kopion reunalla, jossa hän väitti, että hänellä oli ratkaisu, joka oli liian suuri mahtumaan reunaan.

Ensimmäinen onnistunut todistus julkaistiin vuonna 1995, Andrew Wilesin täydellinen todistus Fermat'n lauseesta. Sitä on kuvattu "järkeväksi edistykseksi" ja se johti Wilesin saamaan Abel-palkinnon vuonna 2016. Vaikka Fermatin lauseen todistus on kuvattu suhteellisen lyhyesti, se osoitti myös suuren osan modulaarisuuslauseesta ja avasi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin ja tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseksi. Nämä saavutukset ovat vieneet matematiikkaa 100 vuotta tulevaisuuteen. Fermat'n pienen lauseen todistus tänään ei ole jotain epätavallista.

Ratkaisematon ongelma kiihdytti algebrallisen lukuteorian kehitystä 1800-luvulla ja etsimään todisteita modulaarisuuslauseesta 1900-luvulla. Tämä on yksi matematiikan historian merkittävimmistä teoreemoista, ja siihen asti kunnes Fermatin viimeinen lause jako oli täysin todistettu, se oli Guinnessin ennätysten kirjassa "vaikeimpana matemaattisena ongelmana", jonka yksi piirre on että sillä on eniten epäonnistuneita todisteita.

Historiallinen viittaus

Pythagoraan yhtälöllä x 2 + y 2 = z 2 on ääretön määrä positiivisia kokonaislukuratkaisuja x:lle, y:lle ja z:lle. Näitä ratkaisuja kutsutaan Pythagoraan kolminaisuuksiksi. Vuoden 1637 tienoilla Fermat kirjoitti kirjan reunaan, että yleisemmällä yhtälöllä a n + b n = c n ei ole ratkaisuja luonnollisissa luvuissa, jos n on kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2. Vaikka Fermat itse väitti löytäneensä ratkaisun ongelmaansa, hän teki niin. älä jätä mitään yksityiskohtia sen todisteista. Fermatin lauseen alkeistodistus, jonka sen luoja väitti, oli pikemminkin hänen kerskaileva keksintönsä. Suuren ranskalaisen matemaatikon kirja löydettiin 30 vuotta hänen kuolemansa jälkeen. Tämä yhtälö, jota kutsutaan Fermatin viimeiseksi lauseeksi, jäi ratkaisematta matematiikassa kolme ja puoli vuosisataa.

Lauseesta tuli lopulta yksi matematiikan merkittävimmistä ratkaisemattomista ongelmista. Yritykset todistaa tämä aiheuttivat merkittävän kehityksen lukuteoriassa, ja ajan myötä Fermatin viimeinen lause tuli tunnetuksi ratkaisemattomana matematiikan ongelmana.

Lyhyt todisteiden historia

Jos n = 4, kuten Fermat itse on osoittanut, riittää todistamaan lauseen indekseille n, jotka ovat alkulukuja. Kahden seuraavan vuosisadan aikana (1637-1839) olettamus todistettiin vain alkuluvuille 3, 5 ja 7, vaikka Sophie Germain päivitti ja osoitti lähestymistavan, joka soveltui koko alkulukuluokkaan. 1800-luvun puolivälissä Ernst Kummer laajensi tätä ja todisti lauseen kaikille säännöllisille alkuluvuille, jolloin epäsäännölliset alkuluvut analysoitiin yksitellen. Kummerin työhön perustuen ja pitkälle kehitettyä tietokonetutkimusta muut matemaatikot pystyivät laajentamaan lauseen ratkaisua tavoitteenaan kattaa kaikki pääeksponentit neljään miljoonaan asti, mutta todisteita kaikille eksponenteille ei vieläkään ollut saatavilla (eli matemaatikot yleensä katsottiin lauseen ratkaisuksi mahdottomaksi, äärimmäisen vaikeaksi tai saavuttamattomaksi nykytiedolla).

Shimuran ja Taniyaman työ

Vuonna 1955 japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama epäilivät, että elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen, kahden hyvin erilaisen matematiikan haaran, välillä oli yhteys. Se tunnettiin tuolloin Taniyama-Shimura-Weil-oletuksena ja (lopulta) modulaarisuuslauseena, ja se oli olemassa yksinään ilman ilmeistä yhteyttä Fermatin viimeiseen lauseeseen. Sitä itsessään pidettiin laajalti tärkeänä matemaattisena lauseena, mutta sitä pidettiin (kuten Fermatin lauseen) mahdoton todistaa. Samaan aikaan Fermatin viimeisen lauseen todistus (jakamalla ja soveltamalla monimutkaisia ​​matemaattisia kaavoja) saatiin päätökseen vasta puoli vuosisataa myöhemmin.

Vuonna 1984 Gerhard Frey huomasi ilmeisen yhteyden näiden kahden aiemmin toisiinsa liittymättömän ja ratkaisemattoman ongelman välillä. Ken Ribet julkaisi vuonna 1986 täydellisen vahvistuksen siitä, että nämä kaksi lausetta olivat läheisesti yhteydessä toisiinsa. Hän perustui Jean-Pierre Serran osittaiseen todisteeseen, joka todisti kaikki paitsi yhden osan, joka tunnetaan nimellä "epsilon-hypoteesi". Yksinkertaisesti sanottuna nämä Freyn, Serran ja Riben teokset osoittivat, että jos modulaarisuuslause voitaisiin todistaa ainakin semistable-luokan elliptisten käyrien osalta, niin myös Fermatin viimeisen lauseen todistus löydettäisiin ennemmin tai myöhemmin. Mitä tahansa ratkaisua, joka voi olla ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, voidaan käyttää myös modulaarisuuslauseen kanssa ristiriidassa. Siksi, jos modulaarisuuslause osoittautui oikeaksi, ei määritelmän mukaan voi olla ratkaisua, joka on ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, mikä tarkoittaa, että se olisi pitänyt todistaa pian.

Vaikka molemmat lauseet olivat vaikeita matematiikan ongelmia, joita pidettiin ratkaisemattomina, kahden japanilaisen työ oli ensimmäinen ehdotus siitä, kuinka Fermatin viimeistä lausetta voitaisiin laajentaa ja todistaa kaikille luvuille, ei vain joihinkin. Tärkeää tutkimusaiheen valinneille tutkijoille oli se, että toisin kuin Fermatin viimeinen lause, modulaarisuuslause oli tärkein aktiivinen tutkimusalue, jolle todiste kehitettiin, eikä vain historiallinen omituisuus, joten siihen käytetty aika. sen työ voisi olla perusteltua ammatillisesta näkökulmasta. Yleinen yksimielisyys oli kuitenkin, että Taniyama-Shimura-hypoteesin ratkaiseminen osoittautui tarpeettomaksi.

Fermatin viimeinen lause: Wilesin todiste

Saatuaan tietää, että Ribet oli osoittanut Freyn teorian oikeaksi, englantilainen matemaatikko Andrew Wiles, joka oli lapsuudesta asti ollut kiinnostunut Fermatin viimeisestä lauseesta ja jolla oli kokemusta elliptisistä käyristä ja viereisistä alueista, päätti yrittää todistaa Taniyama-Shimura-oletuksen keinona todistaa. Fermatin viimeinen lause. Vuonna 1993, kuusi vuotta tavoitteensa ilmoittamisen jälkeen, työskennellessään salaa lauseen ratkaisemisen ongelman parissa, Wiles onnistui todistamaan asiaan liittyvän olettamuksen, joka puolestaan ​​auttaisi häntä todistamaan Fermatin viimeisen lauseen. Wilesin asiakirja oli kooltaan ja laajuudeltaan valtava.

Hänen alkuperäisen paperinsa yhdestä osasta löydettiin virhe vertaisarvioinnin aikana, ja se vaati vielä vuoden yhteistyötä Richard Taylorin kanssa lauseen ratkaisemiseksi yhdessä. Tämän seurauksena Wilesin viimeinen todistus Fermatin viimeisestä lauseesta ei odottanut kauan. Vuonna 1995 se julkaistiin paljon pienemmässä mittakaavassa kuin Wilesin edellinen matemaattinen työ, mikä osoittaa, että hän ei erehtynyt aiemmissa johtopäätöksissään lauseen todistamisen mahdollisuudesta. Wilesin saavutus julkistettiin laajasti suositussa lehdistössä ja suosituksi kirjoissa ja televisio-ohjelmissa. Muut matemaatikot, jotka rakensivat Wilesin työhön vuosina 1996-2001, todistivat loput Taniyama-Shimura-Weylin arvelun osat, jotka on nyt todistettu ja tunnetaan modulaarisuuslauseena. Saavutuksestaan ​​Wiles on palkittu ja saanut lukuisia palkintoja, mukaan lukien vuoden 2016 Abel-palkinnon.

Wilesin todistus Fermatin viimeisestä lauseesta on erityinen tapaus ratkaista elliptisten käyrien modulaarisuuslause. Tämä on kuitenkin tunnetuin tapaus niin laajamittaisesta matemaattisesta operaatiosta. Riben lauseen ratkaisemisen ohella brittiläinen matemaatikko sai myös todisteen Fermatin viimeisestä lauseesta. Nykyaikaiset matemaatikot pitivät Fermatin viimeistä lausetta ja modulaarisuuslausetta lähes yleisesti todistamattomina, mutta Andrew Wiles pystyi todistamaan tiedemaailmalle, että jopa tutkijat voivat olla väärässä.

Wiles ilmoitti löydöstään ensimmäisen kerran keskiviikkona 23. kesäkuuta 1993 Cambridgen luennossa nimeltä "Modulaariset muodot, elliptiset käyrät ja Galois'n esitykset". Syyskuussa 1993 kuitenkin havaittiin, että hänen laskelmissaan oli virhe. Vuotta myöhemmin, 19. syyskuuta 1994, Wiles, jota hän kutsui "työelämänsä tärkeimmäksi hetkeksi", törmäsi paljastukseen, jonka ansiosta hän pystyi korjaamaan ongelman ratkaisun siihen pisteeseen, että se voisi tyydyttää matemaattisen yhteisön.

Työnkuvaus

Andrew Wilesin todistus Fermatin lauseesta käyttää monia algebrallisen geometrian ja lukuteorian tekniikoita, ja sillä on monia seurauksia näillä matematiikan aloilla. Hän käyttää myös modernin algebrallisen geometrian standardirakenteita, kuten kaaviokategoriaa ja Iwasawa-teoriaa, sekä muita 1900-luvun menetelmiä, jotka eivät olleet Pierre de Fermat'n käytettävissä.

Kaksi todistetta sisältävää paperia ovat 129 sivua pitkiä ja kirjoitettu seitsemän vuoden aikana. John Coates kuvaili tätä löytöä yhdeksi lukuteorian suurimmista saavutuksista, ja John Conway kutsui sitä 1900-luvun suureksi matemaattiseksi saavutukseksi. Wiles, todistaakseen Fermatin viimeisen lauseen todistamalla modulaarisuuslauseen puoliperäisten elliptisten käyrien erikoistapaukselle, kehitti tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseen ja avasi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin. Fermatin viimeisen lauseen ratkaisemisesta hänet valittiin ritariksi ja hän sai muita palkintoja. Kun tiedettiin, että Wiles oli voittanut Abel-palkinnon, Norjan tiedeakatemia kuvaili hänen saavutustaan ​​"ihanaksi ja alkeelliseksi todisteeksi Fermatin viimeisestä lauseesta".

Millainen se oli

Yksi henkilöistä, jotka tarkastelivat Wilesin alkuperäistä käsikirjoitusta lauseen ratkaisun kanssa, oli Nick Katz. Katsauksensa aikana hän esitti britille useita selventäviä kysymyksiä, jotka saivat Wilesin myöntämään, että hänen työssään on selvästi aukko. Todistuksen eräässä kriittisessä osassa tehtiin virhe, joka antoi arvion tietyn ryhmän järjestyksestä: Kolyvaginin ja Flachin menetelmän laajentamiseen käytetty Euler-järjestelmä oli epätäydellinen. Virhe ei kuitenkaan tehnyt hänen työstään hyödytöntä - jokainen osa Wilesin työstä oli sinänsä erittäin merkittävä ja innovatiivinen, kuten myös monet hänen työssään luomistaan ​​kehityssuunnista ja menetelmistä, jotka vaikuttivat vain yhteen osaan käsikirjoitus. Tässä vuonna 1993 julkaistussa alkuperäisessä artikkelissa ei kuitenkaan ollut todistetta Fermatin viimeisestä lauseesta.

Wiles käytti lähes vuoden yrittäessään löytää uudelleen ratkaisun lauseeseen ensin yksin ja sitten yhteistyössä entisen oppilaansa Richard Taylorin kanssa, mutta kaikki näytti olevan turhaa. Vuoden 1993 loppuun mennessä oli levinnyt huhuja, että Wilesin todiste oli epäonnistunut testauksessa, mutta epäonnistumisen vakavuutta ei tiedetty. Matemaatikot alkoivat painostaa Wilesiä paljastamaan työnsä yksityiskohdat, oli se sitten tehty tai ei, jotta laajempi matemaatikoiden yhteisö voisi tutkia ja käyttää mitä tahansa, mitä hän pystyi saavuttamaan. Sen sijaan, että Wiles olisi nopeasti korjannut virheensä, hän löysi vain lisää vaikeita puolia Fermatin viimeisen lauseen todistuksesta ja tajusi lopulta, kuinka vaikeaa se oli.

Wiles kertoo, että aamulla 19. syyskuuta 1994 hän oli luovuttamassa ja luovuttamassa, ja hän oli melkein suostunut epäonnistumaan. Hän oli valmis julkaisemaan keskeneräiset teoksensa, jotta muut voisivat rakentaa sen pohjalle ja löytää missä hän oli väärässä. Englantilainen matemaatikko päätti antaa itselleen viimeisen mahdollisuuden ja analysoi lauseen viimeisen kerran yrittääkseen ymmärtää tärkeimmät syyt siihen, miksi hänen lähestymistapansa ei toiminut, kun hän yhtäkkiä tajusi, että Kolyvagin-Flak -lähestymistapa ei toimisi ennen kuin hän yhdistää enemmän ja enemmän todistusprosessiin Iwasawan teoriaa saamalla se toimimaan.

Lokakuun 6. päivänä Wiles pyysi kolmea kollegaa (mukaan lukien Fultins) harkitsemaan uutta työtään, ja 24. lokakuuta 1994 hän lähetti kaksi käsikirjoitusta - "Modulaariset elliptiset käyrät ja Fermatin viimeinen lause" ja "Joidenkin Hecken algebroiden renkaan teoreettiset ominaisuudet". ", joista toinen Wiles kirjoitti yhdessä Taylorin kanssa ja osoitti, että tietyt ehdot täyttyivät pääartikkelin korjatun vaiheen perustelemiseksi.

Nämä kaksi artikkelia tarkistettiin ja julkaistiin lopulta kokotekstipainoksessa toukokuussa 1995 Annals of Mathematicsissa. Andrew'n uudet laskelmat analysoitiin laajasti ja lopulta hyväksyttiin tiedeyhteisössä. Näissä töissä vahvistettiin modulaarisuuslause puoliperäisille elliptisille käyrälle - viimeinen askel kohti Fermatin viimeisen lauseen todistamista, 358 vuotta sen luomisen jälkeen.

Suuren ongelman historia

Tämän lauseen ratkaisemista on pidetty matematiikan suurimmana ongelmana vuosisatojen ajan. Vuosina 1816 ja 1850 Ranskan tiedeakatemia tarjosi palkinnon Fermat'n viimeisen lauseen yleisestä todistuksesta. Vuonna 1857 Akatemia myönsi Kummerille 3 000 frangia ja kultamitalin ideaalisten lukujen tutkimuksesta, vaikka hän ei hakenut palkintoa. Brysselin akatemia tarjosi hänelle toisen palkinnon vuonna 1883.

Wolfskel-palkinto

Vuonna 1908 saksalainen teollisuusmies ja amatöörimatemaatikko Paul Wolfskehl testamentti Göttingenin tiedeakatemialle 100 000 kultamarkkaa (suuri määrä) Fermatin viimeisen lauseen täydellisestä todistuksesta. Akatemia julkaisi 27. kesäkuuta 1908 yhdeksän palkintosääntöä. Nämä säännöt edellyttivät muun muassa, että todiste julkaistaan ​​vertaisarvioidussa lehdessä. Palkinto myönnettiin vasta kaksi vuotta julkaisun jälkeen. Kilpailun oli määrä päättyä 13. syyskuuta 2007 - noin vuosisadan alkamisen jälkeen. 27. kesäkuuta 1997 Wiles sai Wolfschelin palkintorahat ja sitten vielä 50 000 dollaria. Maaliskuussa 2016 hän sai Norjan hallitukselta 600 000 euroa osana Abel-palkintoa "hämmästyttävästä todistuksesta Fermatin viimeisestä lauseesta puolisopivien elliptisten käyrien modulaarisuusoletuksen avulla, mikä avaa uuden aikakauden lukuteoriassa". Se oli nöyrän englantilaisen maailmanvoitto.

Ennen Wilesin todistetta Fermatin lausetta, kuten aiemmin mainittiin, pidettiin ehdottoman ratkaisemattomana vuosisatojen ajan. Wolfskell-komitealle esitettiin eri aikoina tuhansia virheellisiä todisteita, jotka käsittivät noin 10 jalkaa (3 metriä) kirjeenvaihtoa. Vain palkinnon ensimmäisenä olemassaolovuonna (1907-1908) jätettiin 621 hakemusta lauseen ratkaisemiseksi, vaikka 1970-luvulle mennessä niiden määrä oli laskenut noin 3-4 hakemukseen kuukaudessa. Wolfschelin arvioijan F. Schlichtingin mukaan suurin osa todisteista perustui kouluissa opetettuihin alkeellisiin menetelmiin ja usein esiteltiin "ihmisinä, joilla on tekninen tausta mutta epäonnistunut ura". Matematiikan historioitsija Howard Avesin mukaan Fermatin viimeinen lause teki eräänlaisen ennätyksen - se on lause, jolla on eniten virheellisiä todisteita.

Fermatin laakerit menivät japanilaisille

Kuten aiemmin keskusteltiin, noin 1955, japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama löysivät mahdollisen yhteyden kahden näennäisesti täysin erilaisen matematiikan haaran - elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen - välillä. Tuloksena oleva modulaarisuuslause (tunnetaan silloin Taniyama-Shimura-oletuksena) sanoo, että jokainen elliptinen käyrä on modulaarinen, mikä tarkoittaa, että se voidaan yhdistää ainutlaatuiseen modulaariseen muotoon.

Teoria hylättiin alun perin epätodennäköisenä tai erittäin spekulatiivisena, mutta se otettiin vakavammin, kun lukuteoreetikko André Weil löysi todisteita japanilaisten johtopäätösten tueksi. Tämän seurauksena hypoteesia on usein kutsuttu Taniyama-Shimura-Weil-hypoteesiksi. Siitä tuli osa Langlands-ohjelmaa, joka on luettelo tärkeistä hypoteeseista, jotka on todistettava tulevaisuudessa.

Jopa vakavan tarkastelun jälkeen nykyaikaiset matemaatikot ovat tunnustaneet arvelun erittäin vaikeaksi tai ehkä mahdottomaksi todistaa. Nyt tämä lause odottaa Andrew Wilesiä, joka voisi yllättää koko maailman ratkaisullaan.

Fermatin lause: Perelmanin todistus

Yleisestä myytistä huolimatta venäläisellä matemaatikko Grigory Perelmanilla ei kaikesta neroudesta huolimatta ole mitään tekemistä Fermatin lauseen kanssa. Tämä ei kuitenkaan vähennä hänen lukuisia ansioitaan tiedeyhteisölle.

TIETEEN JA TEKNOLOGIAN UUTISET

UDC 51:37; 517.958

A.V. Konovko, Ph.D.

Venäjän valtion palokunnan EMERCOM akatemia SUURI TEOREEMIMALA ON TODISTETTU. TAI EI?

Useaan vuosisatoon ei ole pystytty todistamaan, että yhtälö xn+yn=zn arvolle n>2 on ratkaisematon rationaalisissa ja siten kokonaislukuissa. Tämä ongelma syntyi ranskalaisen asianajajan Pierre Fermat'n alaisuudessa, joka samaan aikaan oli ammattimaisesti mukana matematiikassa. Hänen ratkaisunsa on ansioitunut amerikkalaisen matematiikan opettajan Andrew Wilesin ansioksi. Tämä tunnustus kesti vuosina 1993-1995.

SUUREN FERMAN LAUSE ON TODISTETTU. VAI EI?

Tarkastellaan Fermatin viimeisen lauseen todistamisen dramaattista historiaa. Kesti lähes neljäsataa vuotta. Pierre Fermat kirjoitti vähän. Hän kirjoitti tiivistetyllä tyylillä. Lisäksi hän ei julkaissut tutkimuksiaan. Väite, että yhtälö xn+yn=zn on ratkaisematon joukoissa rationaalisten lukujen ja kokonaislukujen, jos n>2 osallistui Fermatin kommenttiin, jonka mukaan hän on todellakin löytänyt merkittävän todisteen tälle väitteelle. Tämä todistaminen ei saavuttanut jälkeläisiä. Myöhemmin tätä väitettä kutsuttiin Fermat'n viimeiseksi lauseeksi. Maailman parhaat matemaatikot rikkoivat tämän lauseen ilman tulosta. 70-luvulla ranskalainen matemaatikko, Pariisin tiedeakatemian jäsen Andre Veil esitti uusia lähestymistapoja ratkaisuun. 23. kesäkuuta 1993 , Cambridgen lukuteoriakonferenssissa Princetonin yliopiston matemaatikko Andrew Whiles ilmoitti, että Fermatin viimeinen lause on todistettu. Voitto oli kuitenkin aikaista.

Vuonna 1621 ranskalainen kirjailija ja matemaatikko Claude Gaspard Bache de Meziriac julkaisi Diophantuksen kreikkalaisen tutkielman Aritmetiikka latinalaisella käännöksellä ja kommenteilla. Ylellinen, epätavallisen leveillä marginaaleilla, "Aritmetiikka", joutui 20-vuotiaan Fermatin käsiin ja siitä tuli monien vuosien ajan hänen hakuteoksensa. Sen reunoihin hän jätti 48 huomautusta, jotka sisälsivät hänen löytämiään faktoja numeroiden ominaisuuksista. Täällä, aritmeettisen marginaalilla, muotoiltiin Fermatin suuri lause: "On mahdotonta hajottaa kuutiota kahdeksi kuutioksi tai bikvadraattia kahdeksi bikvadratuuriksi tai yleensä kahta suurempaa potenssia kahdeksi potenssiksi, joilla on sama eksponentti; Pidin tätä todella upeana todisteena, joka ei tilanpuutteen vuoksi mahdu näihin kenttiin. Muuten, latinaksi se näyttää tältä: "Cubum autem in duos cubos, autato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Suuri ranskalainen matemaatikko Pierre Fermat (1601-1665) kehitti menetelmän pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseksi, loi uuden menetelmän tangenteille ja ääriarvoille. Hänestä tuli Descartesin ohella analyyttisen geometrian luoja, yhdessä Pascalin kanssa hän seisoi todennäköisyysteorian alkulähteillä, infinitesimaalimenetelmän alalla hän antoi yleissäännön differentiaatiolle ja osoitti yleisesti potenssifunktion integroinnin säännön. ... Mutta mikä tärkeintä, yksi tärkeimmistä salaperäisistä ja dramaattisimmista tarinoista, jotka koskaan järkyttivät matematiikkaa - tarina Fermatin viimeisen lauseen todistuksesta. Nyt tämä lause ilmaistaan ​​yksinkertaisen lauseen muodossa: yhtälö xn + yn = zn arvolle n>2 on ratkaisematon rationaalisena ja siten kokonaislukuna. Muuten, tapaukselle n = 3 keskiaasialainen matemaatikko Al-Khojandi yritti todistaa tämän lauseen 10. vuosisadalla, mutta hänen todisteensa ei ole säilynyt.

Etelä-Ranskasta kotoisin oleva Pierre Fermat suoritti lakitutkinnon ja oli vuodesta 1631 Toulousen kaupungin parlamentin (eli korkeimman oikeuden) neuvonantajana. Parlamentin seinien sisällä vietetyn työpäivän jälkeen hän opetti matematiikan ja sukelsi välittömästi täysin eri maailmaan. Raha, arvovalta, julkinen tunnustus - kaikella tällä ei ollut hänelle merkitystä. Tiede ei koskaan tullut hänelle tuloksi, ei muuttunut käsityöksi, pysyen aina vain jännittävänä mielenpelinä, jota vain harvat ymmärtävät. Heidän kanssaan hän jatkoi kirjeenvaihtoaan.

Fermat ei koskaan kirjoittanut tieteellisiä artikkeleita tavallisessa merkityksessämme. Ja hänen kirjeenvaihdossaan ystävien kanssa on aina haastetta, jopa eräänlaista provokaatiota, eikä suinkaan akateemista esittelyä ongelmasta ja sen ratkaisusta. Siksi monet hänen kirjeistään tunnettiin myöhemmin nimellä: haaste.

Ehkä siksi hän ei koskaan ymmärtänyt aikomustaan ​​kirjoittaa erityinen essee lukuteoriasta. Ja sillä välin se oli hänen suosikki matematiikan alansa. Juuri hänelle Fermat omisti kirjainsa inspiroiduimmat rivit. "Aritmetiikalla", hän kirjoitti, "on oma alansa, kokonaislukujen teoria. Eukleides käsitteli tätä teoriaa vain vähän, eivätkä hänen seuraajansa kehittäneet sitä riittävästi (elleivät ne sisältyneet Diophantuksen teoksiin, jotka meillä on Aritmetiikan on siksi kehitettävä ja uudistettava sitä."

Miksi Fermat itse ei pelännyt ajan tuhoa? Hän kirjoitti vähän ja aina hyvin ytimekkäästi. Mutta mikä tärkeintä, hän ei julkaissut töitään. Hänen elinaikanaan niitä levitettiin vain käsikirjoitusmuodossa. Siksi ei ole yllättävää, että Fermatin tulokset lukuteoriasta ovat tulleet meille hajanaisessa muodossa. Mutta Bulgakov oli luultavasti oikeassa: suuret käsikirjoitukset eivät pala! Fermatin työt jäivät. Ne jäivät hänen kirjeisiinsä ystävilleen: Lyonin matematiikan opettaja Jacques de Billylle, rahapajan työntekijälle Bernard Frenickel de Bessylle, Marsennisille, Descartesille, Blaise Pascalille... Diophantuksen "Aritmetiikka" jäi hänen huomautuksineen marginaaleihin, jotka Fermatin kuoleman jälkeen , kirjattu yhdessä Baschen kommenttien kanssa Diophantuksen uuteen painokseen, jonka vanhin poika Samuel julkaisi vuonna 1670. Vain itse todistetta ei ole säilytetty.

Kaksi vuotta ennen kuolemaansa Fermat lähetti ystävälleen Karkavylle testamenttikirjeen, joka tuli matematiikan historiaan otsikolla "Yhteenveto lukutieteen uusista tuloksista". Tässä kirjeessä Fermat todisti kuuluisan väitteensä tapaukselle n = 4. Mutta sitten häntä ei todennäköisesti kiinnostanut itse väite, vaan hänen löytämänsä todistusmenetelmä, jota Fermat itse kutsui äärettömäksi tai määrittelemättömäksi syntyperäksi.

Käsikirjoitukset eivät pala. Mutta ilman Samuelin omistautumista, joka kokosi kaikki matemaattiset luonnoksensa ja pienet tutkielmansa isänsä kuoleman jälkeen ja julkaisi ne sitten vuonna 1679 otsikolla "Sekalaiset matemaattiset teokset", oppineiden matemaatikoiden olisi pitänyt löytää ja löytää paljon uudelleen. Mutta jopa niiden julkaisemisen jälkeen suuren matemaatikon ongelmat olivat lepotilassa yli seitsemänkymmentä vuotta. Ja tämä ei ole yllättävää. Siinä muodossa, jossa ne ilmestyivät lehdistössä, P. Fermat'n lukuteoreettiset tulokset ilmestyivät asiantuntijoiden eteen vakavien ongelmien muodossa, jotka eivät suinkaan aina olleet selkeitä nykyaikaisille, lähes ilman todisteita ja viitteitä niiden välisistä sisäisistä loogisista yhteyksistä. Ehkä johdonmukaisen, hyvin harkitun teorian puuttuessa on vastaus kysymykseen, miksi Fermat itse ei aikonut julkaista kirjaa lukuteoriasta. Seitsemänkymmentä vuotta myöhemmin L. Euler kiinnostui näistä teoksista, ja tämä oli todella heidän toinen syntymänsä...

Matematiikka on maksanut kalliisti Fermatin erikoisesta tavasta esittää tulokset, ikään kuin se olisi tarkoituksella jättänyt niiden todisteet pois. Mutta jos Fermat jo väitti todistaneensa tämän tai toisen lauseen, niin myöhemmin tämä lause väistämättä todistettiin. Suuren lauseen kanssa oli kuitenkin hankaluuksia.

Mysteeri kiihottaa aina mielikuvitusta. Mona Lisan salaperäinen hymy valloitti kokonaisia ​​maanosia; Suhteellisuusteoriasta, avaimena aika-avaruusyhteyksien arvoitukseen, on tullut vuosisadan suosituin fysikaalinen teoria. Ja voimme turvallisesti sanoa, että ei ollut toista sellaista matemaattista ongelmaa, joka olisi yhtä suosittu kuin ne olivat __93

Pelastuspalvelun tieteelliset ja koulutukselliset ongelmat

mikä Fermatin lause. Yritykset todistaa se johtivat laajan matematiikan haaran - algebrallisten lukujen teorian - luomiseen, mutta (valitettavasti!) Lause itse jäi todistamatta. Vuonna 1908 saksalainen matemaatikko Wolfskel testamentti 100 000 markkaa jokaiselle, joka pystyi todistamaan Fermatin lauseen. Se oli valtava summa siihen aikaan! Yhdessä hetkessä oli mahdollista tulla paitsi kuuluisaksi myös upean rikkaaksi! Siksi ei ole yllättävää, että jopa Venäjän, kaukana Saksasta, keskenään kilpailevat koululaiset ryntäsivät todistamaan suuren lauseen. Mitä voimme sanoa ammattimatemaatikoista! Mutta turhaan! Ensimmäisen maailmansodan jälkeen rahan arvo heikkeni, ja pseudotodisteita sisältävien kirjeiden virta alkoi kuivua, vaikka se ei tietenkään koskaan pysähtynyt kokonaan. Sanotaan, että kuuluisa saksalainen matemaatikko Edmund Landau valmisteli painettuja lomakkeita jaettavaksi Fermatin lauseen todisteiden tekijöille: "Sivulla on virhe ..., rivillä ... on virhe." (Apulaisprofessorin tehtäväksi annettiin löytää virhe.) Tämän lauseen todistukseen liittyi niin paljon kummallisuuksia ja anekdootteja, että niistä saattoi tehdä kirjan. Viimeinen anekdootti näyttää etsivä A. Marininan "Sattumalta", joka kuvattiin ja välitettiin maan televisioruuduille tammikuussa 2000. Siinä maanmiehensä todistaa lauseen, jota kaikki suuret edeltäjänsä eivät ole todistaneet, ja vaatii siitä Nobelin. Kuten tiedät, dynamiitin keksijä jätti testamentissaan huomiotta matemaatikot, joten todisteen kirjoittaja saattoi lunastaa vain Fieldsin kultamitalin, korkeimman kansainvälisen palkinnon, jonka matemaatikot itse hyväksyivät vuonna 1936.

Erinomaisen venäläisen matemaatikon A.Yan klassisessa työssä. Khinchin, omistettu Fermatin suurelle lauseelle, antaa tietoa tämän ongelman historiasta ja kiinnittää huomiota menetelmään, jota Fermat voisi käyttää lauseensa todistamiseen. Esitetään todistus tapaukselle n = 4 ja lyhyt katsaus muihin tärkeisiin tuloksiin.

Mutta siihen mennessä, kun dekkaria kirjoitettiin, ja vielä enemmän, kun se kuvattiin, lauseen yleinen todiste oli jo löydetty. 23. kesäkuuta 1993 Cambridgessa pidetyssä lukuteoriaa käsittelevässä konferenssissa Princetonin matemaatikko Andrew Wiles ilmoitti, että Fermatin viimeisen lauseen todistus oli saatu. Mutta ei ollenkaan niin kuin Fermat itse "lupasi". Andrew Wilesin polku ei suinkaan perustunut alkeismatematiikan menetelmiin. Hän oli mukana niin sanotussa elliptisten käyrien teoriassa.

Saadakseen käsityksen elliptisistä käyristä on tarkasteltava kolmannen asteen yhtälön antamaa tasokäyrää

Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

Kaikki tällaiset käyrät on jaettu kahteen luokkaan. Ensimmäiseen luokkaan kuuluvat ne käyrät, joissa on kärjet (kuten esimerkiksi puolikuutioinen paraabeli y2 = a2-X, jossa on kärkipiste (0; 0)), itseleikkauspisteet (kuten karteesinen arkki x3 + y3-3axy = 0 , pisteessä (0; 0)), sekä käyrät, joille polynomi Ax, y) on esitetty muodossa

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

missä ^(x, y) ja ^(x, y) ovat pienempien asteiden polynomeja. Tämän luokan käyriä kutsutaan kolmannen asteen rappeutuneiksi käyriksi. Toinen käyrien luokka muodostuu ei-degeneroituneista käyristä; kutsumme niitä elliptisiksi. Näitä ovat esimerkiksi Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Jos polynomin (1) kertoimet ovat rationaalilukuja, niin elliptinen käyrä voidaan muuntaa ns. kanoniseen muotoon

y2 = x3 + ax + b. (2)

Vuonna 1955 japanilainen matemaatikko Y. Taniyama (1927-1958) onnistui elliptisten käyrien teorian puitteissa muotoilemaan arvelun, joka tasoitti tietä Fermatin lauseen todistukselle. Mutta sitten Taniyama tai hänen kollegansa eivät epäillyt tätä. Lähes 20 vuoden ajan tämä hypoteesi ei herättänyt vakavaa huomiota ja tuli suosituksi vasta 1970-luvun puolivälissä. Taniyaman arvelun mukaan mikä tahansa elliptinen

rationaalisilla kertoimilla varustettu käyrä on modulaarinen. Toistaiseksi hypoteesin muotoilu ei kuitenkaan kerro huolelliselle lukijalle juuri mitään. Siksi joitain määritelmiä tarvitaan.

Jokaiseen elliptiseen käyrään voidaan liittää tärkeä numeerinen ominaisuus - sen erottaja. Kanonisessa muodossa (2) annetulle käyrälle erottaja A määritetään kaavalla

A \u003d - (4a + 27b2).

Olkoon E jokin yhtälön (2) antama elliptinen käyrä, jossa a ja b ovat kokonaislukuja.

Harkitse vertailua alkuluvulle p

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

missä a ja b ovat jäännökset sen jälkeen, kun kokonaisluvut a ja b on jaettu p:llä, ja merkitään np:llä tämän kongruenssin ratkaisujen lukumäärä. Luvut pr ovat erittäin hyödyllisiä tutkittaessa kysymystä muotoa (2) olevien yhtälöiden ratkaistavuudesta kokonaislukuina: jos jokin pr on yhtä suuri kuin nolla, yhtälöllä (2) ei ole kokonaislukuratkaisuja. Luvut pr on kuitenkin mahdollista laskea vain harvoissa tapauksissa. (Samalla tiedetään, että p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

Tarkastellaan niitä alkulukuja p, jotka jakavat elliptisen käyrän (2) diskriminantin A. Voidaan todistaa, että tällaiselle p:lle polynomi x3 + ax + b voidaan kirjoittaa kahdella tavalla:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

jossa a, ß, y ovat jäännöksiä p:llä jakamisen jälkeen. Jos kaikelle käyrän diskriminanttia jakavalle alkupäälle p toteutuu ensimmäinen kahdesta ilmoitetusta mahdollisuudesta, niin elliptisen käyrän sanotaan olevan semistoituva.

Diskriminantin jakavat alkuluvut voidaan yhdistää ns. elliptisen käyrän johtimeksi. Jos E on puolistabiili käyrä, niin sen johdin N on annettu kaavalla

jossa kaikkien A:n jakavien alkulukujen p > 5 eksponentti eP on yhtä suuri kuin 1. Eksponentit 82 ja 83 lasketaan erityisellä algoritmilla.

Pohjimmiltaan tämä on kaikki mitä tarvitaan todisteen olemuksen ymmärtämiseksi. Taniyaman olettamus sisältää kuitenkin vaikean ja meidän tapauksessamme keskeisen modulaarisuuden käsitteen. Sen vuoksi unohdetaan hetkeksi elliptiset käyrät ja harkitaan ylemmän puolitason kompleksisen argumentin z analyyttistä funktiota f (eli funktiota, joka voidaan esittää potenssisarjalla).

Merkitään H:lla ylempi kompleksinen puolitaso. Olkoon N luonnollinen luku ja k kokonaisluku. Tason N painon k modulaarinen parabolinen muoto on ylempään puolitasoon määritelty analyyttinen funktio f(z), joka tyydyttää suhteen

f = (cz + d)kf (z) (5)

mille tahansa kokonaisluvulle a, b, c, d, jolloin ae - bc = 1 ja c on jaollinen N:llä. Lisäksi oletetaan, että

lim f (r + it) = 0,

missä r on rationaalinen luku, ja se

Tason N painoisten k modulaaristen kärkimuotojen tilaa merkitään Sk(N). Voidaan osoittaa, että sillä on äärellinen ulottuvuus.

Seuraavassa olemme erityisen kiinnostuneita painon 2 modulaarisista kupumuodoista. Pienelle N:lle tilan S2(N) mitta on esitetty taulukossa 1. 1. Erityisesti

Avaruuden mitat S2(N)

pöytä 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Ehdosta (5) seuraa, että % + 1) = jokaiselle muodolle f ∈ S2(N). Siksi f on jaksollinen funktio. Tällainen funktio voidaan esittää muodossa

Kutsumme modulaarista huippumuotoa A^) varsinaiseksi S2(N):ssä, jos sen kertoimet ovat kokonaislukuja, jotka täyttävät suhteet:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 yksinkertaiselle p:lle, joka ei jaa lukua N; (kahdeksan)

(ap) N:n jakavalle alkuluvulle p;

atp = jos (m, n) = 1.

Muotoilemme nyt määritelmän, jolla on keskeinen rooli Fermatin lauseen todistuksessa. Elliptistä käyrää, jossa on rationaaliset kertoimet ja johtime N, kutsutaan modulaariseksi, jos sellainen ominaismuoto on olemassa

f(z) = ^anq" g S2(N),

että ap = p - pr lähes kaikille alkuluvuille p. Tässä np on vertailuratkaisujen lukumäärä (3).

On vaikea uskoa ainakin yhden sellaisen käyrän olemassaoloa. On melko vaikea kuvitella, että on olemassa funktio A(r), joka täyttää luetellut tiukat rajoitukset (5) ja (8), joka laajenee sarjaksi (7), jonka kertoimet liittyisivät käytännössä laskemattomiin lukuihin Pr, on aika vaikeaa. Mutta Taniyaman rohkea hypoteesi ei millään tavalla kyseenalaistanut niiden olemassaoloa, ja ajan myötä kertynyt empiirinen materiaali vahvisti loistavasti sen pätevyyden. Kahden vuosikymmenen lähes täydellisen unohduksen jälkeen Taniyaman hypoteesi sai toisen tuulen ranskalaisen matemaatikon, Pariisin tiedeakatemian jäsenen André Weilin teoksissa.

Vuonna 1906 syntyneestä A. Weilistä tuli lopulta yksi matemaatikoiden ryhmän perustajista, jotka toimivat salanimellä N. Bourbaki. Vuodesta 1958 A. Weil on toiminut professorina Princeton Institute for Advanced Studyssa. Ja hänen kiinnostuksensa abstraktia algebrallista geometriaa kohtaan kuuluu samaan ajanjaksoon. Seitsemänkymmentäluvulla hän siirtyi elliptisiin funktioihin ja Taniyaman arveluihin. Elliptisille funktioille omistettu monografia käännettiin täällä, Venäjällä. Hän ei ole yksin intohimonsa kanssa. Vuonna 1985 saksalainen matemaatikko Gerhard Frei ehdotti, että jos Fermatin lause on epätosi, eli jos on olemassa sellainen kokonaislukujen a, b, c kolmiosa, että "+ bn = c" (n > 3), niin elliptinen käyrä.

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

ei voi olla modulaarinen, mikä on ristiriidassa Taniyaman oletuksen kanssa. Frey itse ei pystynyt todistamaan tätä väitettä, mutta amerikkalainen matemaatikko Kenneth Ribet sai todisteen pian. Toisin sanoen Ribet osoitti, että Fermatin lause on seuraus Taniyaman oletuksesta.

Hän muotoili ja todisti seuraavan lauseen:

Lause 1 (Ribet). Olkoon E elliptinen käyrä, jonka rationaalisilla kertoimilla on diskriminantti

ja kapellimestari

Oletetaan, että E on modulaarinen ja anna

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

on vastaava tason ominaismuoto N. Kiinnitetään alkuluku £, ja

p: eP \u003d 1; - "8 p

Sitten on parabolinen muoto

/(r) = 2 dnqn e N)

kokonaislukukertoimilla, että erot ja -dn ovat jaollisia I:llä kaikille 1:lle< п<ад.

On selvää, että jos tämä lause todistetaan jollekin eksponentille, niin se todistetaan kaikille eksponenteille, jotka ovat n:n kerrannaisia. Koska jokainen kokonaisluku n > 2 on jaollinen joko 4:llä tai parittolla alkuluvulla, voimme siksi rajoittua tapaus, jossa eksponentti on joko 4 tai pariton alkuluku. Kun n = 4, Fermatin lauseen alkeistodistus sai ensin Fermat itse ja sitten Euler. Siten yhtälön tutkiminen riittää

a1 + b1 = c1, (12)

jossa eksponentti I on pariton alkuluku.

Nyt Fermatin lause voidaan saada yksinkertaisilla laskelmilla (2).

Lause 2. Taniyaman arvelu puolisoitettaville elliptisille käyrälle edellyttää Fermatin viimeistä lausetta.

Todiste. Oletetaan, että Fermat'n lause on epätosi, ja olkoon vastaava vastaesimerkki (kuten edellä, tässä I on pariton alkuluku). Sovelletaan lause 1 elliptiseen käyrään

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Yksinkertaiset laskelmat osoittavat, että tämän käyrän johdin on annettu kaavalla

Vertaamalla kaavoja (11) ja (13) näemme, että N = 2. Siksi Lauseen 1 mukaan on olemassa parabolinen muoto

makaa avaruudessa 82(2). Mutta suhteesta (6) tämä tila on nolla. Siksi dn = 0 kaikille n:lle. Samalla a^ = 1. Ero ar - dl = 1 ei siis ole jaollinen I:llä, ja päädymme ristiriitaan. Siten lause on todistettu.

Tämä lause tarjosi avaimen Fermatin viimeisen lauseen todistukseen. Ja silti hypoteesi itse jäi vielä todistamatta.

Andrew Wiles kiirehti 23. kesäkuuta 1993 julkistettuaan todisteen Taniyaman arveluista puoliperäisistä elliptisistä käyristä, jotka sisältävät muotoa (8) olevat käyrät. Matemaatikoille oli liian aikaista juhlia voittoa.

Lämmin kesä loppui nopeasti, sateinen syksy jäi taakse, talvi tuli. Wiles kirjoitti ja kirjoitti uudelleen todistuksensa lopullisen version, mutta huolelliset kollegat löysivät hänen työssään yhä enemmän epätarkkuuksia. Ja niin joulukuun alussa 1993, muutama päivä ennen kuin Wilesin käsikirjoituksen oli määrä tulla painoon, hänen todistuksessaan löydettiin jälleen vakavia aukkoja. Ja sitten Wiles tajusi, että päivässä tai kahdessa hän ei voinut enää korjata mitään. Tämä vaati ison remontin. Teoksen julkaisua jouduttiin lykkäämään. Wiles kääntyi Taylorin puoleen saadakseen apua. "Työ virheiden parissa" kesti yli vuoden. Lopullinen versio Taniyaman arvelun todisteesta, jonka Wiles kirjoitti yhteistyössä Taylorin kanssa, ilmestyi vasta kesällä 1995.

Toisin kuin sankari A. Marinina, Wiles ei vaatinut Nobel-palkintoa, mutta siitä huolimatta ... hänet olisi pitänyt huomata jollain palkinnolla. Sitäkö vain? Wiles oli tuolloin jo viisikymppinen, ja Fieldsin kultamitalit jaetaan tiukasti neljänkymmenen vuoden ikään asti, kun taas luovan toiminnan huippua ei ole vielä ylitetty. Ja sitten he päättivät perustaa Wilesille erikoispalkinnon - Kenttäkomitean hopeamerkin. Tämä kunniamerkki annettiin hänelle seuraavassa matematiikan kongressissa Berliinissä.

Kaikista ongelmista, jotka enemmän tai vähemmän todennäköisesti syrjäyttävät Fermatin viimeisen lauseen, lähimmän pallojen pakkauksen ongelmalla on suurin mahdollisuus. Pallien lähimmän pakkaamisen ongelma voidaan muotoilla ongelmaksi, kuinka taloudellisesti pinota appelsiinipyramidi. Nuoret matemaatikot perivät tämän ongelman Johannes Kepleriltä. Ongelma syntyi vuonna 1611, kun Kepler kirjoitti lyhyen esseen "Kuusikulmaisista lumihiutaleista". Keplerin kiinnostus aineen hiukkasten järjestykseen ja itseorganisoitumiseen sai hänet keskustelemaan toisesta aiheesta - tiheimmästä hiukkasten pakkauksesta, jossa ne vievät pienimmän tilavuuden. Jos oletetaan, että hiukkaset ovat pallojen muodossa, on selvää, että riippumatta siitä, kuinka ne sijaitsevat avaruudessa, niiden väliin jää väistämättä rakoja, ja kysymys on rakojen tilavuuden minimoimisesta. Teoksessa on esimerkiksi todettu (mutta ei todistettu), että tällainen muoto on tetraedri, jonka sisällä olevat koordinaattiakselit määräävät perusortogonaalisuuskulman 109o28" eikä 90o. Tämä ongelma on erittäin tärkeä alkuainehiukkaselle. fysiikka, kristallografia ja muut luonnontieteen osat.

Kirjallisuus

1. Weil A. Elliptiset funktiot Eisensteinin ja Kroneckerin mukaan. - M., 1978.

2. Solovjov Yu.P. Taniyaman arvelu ja Fermatin viimeinen lause // Soros Educational Journal. - Nro 2. - 1998. - S. 78-95.

3. Singh S. Fermatin viimeinen lause. Maailman parhaita mieliä 358 vuoden ajan askarruttaneen mysteerin historia / Per. englannista. Yu.A. Danilova. Moskova: MTsNMO. 2000. - 260 s.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Kvaternionien ja kolmiulotteisten rotaatioiden algebra // Nykyinen lehti nro 1(1), 2008. - S. 75-80.