Harmoninen värähtely on jonkin suuren jaksoittaisen muutoksen ilmiö, jossa riippuvuus argumentista on luonteeltaan sini- tai kosinifunktio. Esimerkiksi määrä, joka vaihtelee ajassa seuraavasti, vaihtelee harmonisesti:

missä x on muuttuvan suuren arvo, t on aika, muut parametrit ovat vakioita: A on värähtelyjen amplitudi, ω on värähtelyjen syklinen taajuus, on värähtelyjen koko vaihe, on värähtelyn alkuvaihe värähtelyt.

Yleistetty harmoninen värähtely differentiaalimuodossa

(Jokainen tämän differentiaaliyhtälön ei-triviaali ratkaisu on harmoninen värähtely syklisellä taajuudella)

Värähtelytyypit

Vapaat värähtelyt tapahtuvat järjestelmän sisäisten voimien vaikutuksesta sen jälkeen, kun järjestelmä on poistettu tasapainosta. Jotta vapaat värähtelyt olisivat harmonisia, on välttämätöntä, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä), eikä siinä saa olla energiahäviötä (jälkimmäinen aiheuttaisi vaimennusta).

Pakotetut värähtelyt suoritetaan ulkoisen jaksollisen voiman vaikutuksesta. Jotta ne olisivat harmonisia, riittää, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä), ja ulkoinen voima itse muuttuu ajan myötä harmonisena värähtelynä (eli tämän voiman aikariippuvuus on sinimuotoinen) .

Harmoninen värähtelyyhtälö

antaa vaihtelevan arvon S riippuvuuden ajasta t; tämä on vapaiden harmonisten värähtelyjen yhtälö eksplisiittisessä muodossa. Värähtelyyhtälö ymmärretään kuitenkin yleensä tämän yhtälön eri tietueeksi, differentiaalimuodossa. Varmuuden vuoksi otamme yhtälön (1) muodossa

Erota se kahdesti ajan suhteen:

Voidaan nähdä, että seuraava suhde pätee:

jota kutsutaan vapaiden harmonisten värähtelyjen yhtälöksi (differentiaalimuodossa). Yhtälö (1) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön (2). Koska yhtälö (2) on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, tarvitaan kaksi alkuehtoa täydellisen ratkaisun saamiseksi (eli yhtälöön (1) sisältyvien vakioiden A ja   määrittämiseksi); esimerkiksi värähtelevän järjestelmän sijainti ja nopeus, kun t = 0.

Matemaattinen heiluri on oskillaattori, joka on mekaaninen järjestelmä, joka koostuu materiaalipisteestä, joka sijaitsee painottomalla, venymättömällä kierteellä tai painottomalla sauvalla tasaisessa gravitaatiovoimien kentässä. Matemaattisen heilurin, jonka pituus on l, liikkumattomasti riippuvassa tasaisessa gravitaatiokentässä vapaan pudotuksen kiihtyvyydellä g, pienten ominaisvärähtelyjen jakso on yhtä suuri kuin

eikä se riipu heilurin amplitudista ja massasta.

Fyysinen heiluri on oskillaattori, joka on jäykkä kappale, joka värähtelee minkä tahansa voimien kentässä pisteen ympärillä, joka ei ole tämän kappaleen massakeskipiste, tai kiinteän akselin ympäri, joka on kohtisuorassa voimien suuntaa vastaan ​​ja joka ei kulje voiman läpi. tämän kehon massakeskipiste.

Harmoniset värähtelyt ovat värähtelyjä, joissa fysikaalinen suure muuttuu ajan kuluessa harmonisen (sinimuotoisen, kosinin) lain mukaan. Harmoninen värähtelyyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
tai
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - poikkeama tasapainoasennosta hetkellä t
A - värähtelyamplitudi, A:n mitta on sama kuin X:n mitta
ω - syklinen taajuus, rad/s (radiaania sekunnissa)
φ - alkuvaihe, rad
t - aika, s
T - värähtelyjakso, s
f - värähtelytaajuus, Hz (Hertz)
π - vakio suunnilleen yhtä suuri kuin 3,14, 2π = 6,28

Värähtelyjakso, taajuus hertseinä ja syklinen taajuus liittyvät toisiinsa suhteilla.
ω=2πf, T=2π/ω, f=1/T, f=ω/2π
Muista nämä suhteet, sinun on ymmärrettävä seuraava.
Jokainen parametreistä ω, f, T määrittää muut yksiselitteisesti. Värähtelyjen kuvaamiseen riittää, että käytetään yhtä näistä parametreista.

Periodi T on yhden vaihtelun aika, sitä on kätevä käyttää vaihtelukaavioiden piirtämiseen.
Syklinen taajuus ω - käytetään värähtelyyhtälöiden kirjoittamiseen, mahdollistaa matemaattisten laskelmien suorittamisen.
Taajuus f - värähtelyjen määrä aikayksikköä kohti, käytetään kaikkialla. Hertseinä mittaamme radioiden viritettyjen taajuuksien sekä matkapuhelinten kantaman. Kielien värähtelytaajuutta mitataan hertseinä soittimia viritettäessä.

Lauseketta (ωt+φ) kutsutaan värähtelyvaiheeksi ja φ:n arvoa alkuvaiheeksi, koska se on yhtä suuri kuin värähtelyvaihe hetkellä t=0.

Sini- ja kosinifunktiot kuvaavat suorakulmaisen kolmion sivujen suhdetta. Siksi monet eivät ymmärrä, kuinka nämä toiminnot liittyvät harmonisiin värähtelyihin. Tämä suhde osoitetaan tasaisesti pyörivällä vektorilla. Tasaisesti pyörivän vektorin projektio saa aikaan harmonisia värähtelyjä.
Alla olevassa kuvassa on esimerkki kolmesta harmonisesta värähtelystä. Taajuudeltaan sama, mutta vaiheelta ja amplitudilta erilainen.

vaihtelut kutsutaan liikkeiksi tai prosesseiksi, joille on ominaista tietty toisto ajassa. Värähtelyprosessit ovat yleisiä luonnossa ja tekniikassa, esimerkiksi kellon heilurin heilautus, vaihtosähkövirta jne. Heilurin värähteleessä sen massakeskipisteen koordinaatti muuttuu, vaihtovirralla jännite ja virta piirissä vaihdella. Värähtelyjen fyysinen luonne voi olla erilainen, joten erotetaan mekaaniset, sähkömagneettiset jne. värähtelyt. Erilaisia ​​värähtelyprosesseja kuvataan kuitenkin samoilla ominaisuuksilla ja samoilla yhtälöillä. Tästä syntyy toteutettavuus yhtenäinen lähestymistapa värähtelyjen tutkimukseen erilainen fyysinen luonne.

Fluktuaatioita kutsutaan vapaa, jos ne on tehty vain järjestelmän elementtien välillä vaikuttavien sisäisten voimien vaikutuksesta, sen jälkeen kun ulkoiset voimat ovat saaneet järjestelmän pois tasapainosta ja jättäneet sen itselleen. Vapaa värinä aina vaimennettuja värähtelyjä koska energiahäviöt ovat väistämättömiä todellisissa järjestelmissä. Idealisoidussa tapauksessa, jossa järjestelmässä ei ole energiahäviötä, vapaita värähtelyjä (jatkuvat niin kauan kuin halutaan) kutsutaan ns. oma.

Yksinkertaisin tyyppi vapaat vaimentamattomat värähtelyt ovat harmoniset värähtelyt - vaihtelut, joissa vaihteleva arvo muuttuu ajan myötä sini (kosinin) lain mukaan. Luonnossa ja tekniikassa kohdattavat värähtelyt ovat usein luonteeltaan lähellä harmonisia.

Harmonisia värähtelyjä kuvataan yhtälöllä, jota kutsutaan harmonisten värähtelyjen yhtälöksi:

missä MUTTA- vaihteluiden amplitudi, vaihtelevan arvon maksimiarvo X; - luonnollisten värähtelyjen pyöreä (syklinen) taajuus; - värähtelyn alkuvaihe tietyllä hetkellä t= 0; - värähtelyn vaihe ajanhetkellä t. Värähtelyn vaihe määrittää värähtelevän suuren arvon tietyllä hetkellä. Koska kosini vaihtelee +1:stä -1:een, niin X voi ottaa arvot + A ennen - MUTTA.

Aika T, jota varten järjestelmä suorittaa yhden täydellisen värähtelyn, kutsutaan värähtelyjakso. Aikana T värähtelyvaihetta kasvatetaan 2:lla π , eli

Missä . (14.2)

Värähtelyjakson käänteisluku

eli täydellisten värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan värähtelytaajuudeksi. Vertaamalla (14.2) ja (14.3) saadaan

Taajuuden yksikkö on hertsi (Hz): 1 Hz on taajuus, jolla yksi täydellinen värähtely tapahtuu 1 sekunnissa.

Järjestelmiä, joissa voi esiintyä vapaita värähtelyjä, kutsutaan oskillaattorit . Mitä ominaisuuksia järjestelmällä tulee olla, jotta siinä voi esiintyä vapaita värähtelyjä? Mekaanisessa järjestelmässä on oltava vakaan tasapainon asema, joka tulee näkyviin poistuttaessa palauttaa voiman kohti tasapainoa. Tämä asema vastaa, kuten tiedetään, järjestelmän potentiaalienergian minimiä. Tarkastellaan useita värähteleviä järjestelmiä, jotka täyttävät luetellut ominaisuudet.

Ajan muutokset sinimuotoisen lain mukaan:

missä X- vaihtelevan suuren arvo ajanhetkellä t, MUTTA- amplitudi, ω - pyöreä taajuus, φ on värähtelyjen alkuvaihe, ( φt + φ ) on värähtelyjen kokonaisvaihe. Samalla arvot MUTTA, ω ja φ - pysyvä.

Mekaanisille värähtelyille, joilla on värähtelevä arvo X ovat erityisesti siirtymä ja nopeus, sähköisille värähtelyille - jännite ja virran voimakkuus.

Harmonisilla värähtelyillä on erityinen paikka kaikentyyppisten värähtelyjen joukossa, koska tämä on ainoa värähtelytyyppi, jonka muoto ei vääristy kulkiessaan minkään homogeenisen väliaineen läpi, eli harmonisten värähtelyjen lähteestä etenevät aallot ovat myös harmonisia. Mikä tahansa ei-harmoninen värähtely voidaan esittää erilaisten harmonisten värähtelyjen summana (integraalina) (harmonisten värähtelyjen spektrin muodossa).

Energiamuutokset harmonisten värähtelyjen aikana.

Värähtelyprosessissa tapahtuu potentiaalienergian siirtymä Wp kineettiseksi vk ja päinvastoin. Maksimipoikkeaman asennossa tasapainoasennosta potentiaalienergia on maksimi, liike-energia on nolla. Kun palaamme tasapainoasentoon, värähtelevän kappaleen nopeus kasvaa ja sen mukana myös liike-energia kasvaa saavuttaen maksimin tasapainoasennossa. Potentiaalienergia putoaa sitten nollaan. Kaulan lisäliikettä tapahtuu nopeuden pienentyessä, joka laskee nollaan, kun taipuma saavuttaa toisen maksiminsa. Potentiaalinen energia kasvaa tässä alkuperäiseen (maksimi) arvoonsa (kitkan puuttuessa). Siten kineettisten ja potentiaalisten energioiden värähtelyt tapahtuvat kaksinkertaisella taajuudella (verrattuna itse heilurin värähtelyihin) ja ovat vastavaiheessa (eli niiden välillä on vaihesiirto, joka on yhtä suuri kuin π ). Kokonaisvärähtelyenergia W pysyy muuttumattomana. Elastisen voiman vaikutuksesta värähtelevälle kappaleelle se on yhtä suuri kuin:

missä v m- kehon maksiminopeus (tasapainoasennossa), x m = MUTTA- amplitudi.

Väliaineen kitkan ja vastuksen vuoksi vapaat värähtelyt vaimentuvat: niiden energia ja amplitudi pienenevät ajan myötä. Siksi käytännössä ei käytetä vapaita, vaan pakotettuja värähtelyjä useammin.

vaihtelut kutsutaan sellaisia ​​prosesseja, joissa järjestelmä toistuvasti kulkee tasapainoasennon läpi suuremmalla tai pienemmällä taajuudella.

Värähtelyluokitus:

a) luonnostaan (mekaaniset, sähkömagneettiset, pitoisuuden vaihtelut, lämpötila jne.);

b) muodossa (yksinkertainen = harmoninen; kompleksinen, jotka ovat yksinkertaisten harmonisten värähtelyjen summa);

sisään) jaksollisuusasteen mukaan = jaksollinen (järjestelmän ominaisuudet toistuvat tiukasti määritellyn ajanjakson (periodin) jälkeen) ja jaksollinen;

G) suhteessa aikaan (vaimentamaton = vakioamplitudi; vaimennettu = laskeva amplitudi);

G) energiaa – vapaa (yksittäinen energian syöttö järjestelmään ulkopuolelta = yksittäinen ulkoinen toiminta); pakotettu (moninkertainen (jaksollinen) energian syöttö järjestelmään ulkopuolelta = jaksollinen ulkoinen vaikutus); itsevärähtelyt (vaimentamattomat värähtelyt, jotka johtuvat järjestelmän kyvystä säädellä jatkuvasta lähteestä tulevan energian virtausta).

Edellytykset värähtelyjen esiintymiselle.

a) värähtelevän järjestelmän läsnäolo (heiluri jousituksella, jousiheiluri, värähtelypiiri jne.);

b) Ulkoisen energialähteen läsnäolo, joka pystyy saattamaan järjestelmän pois tasapainosta vähintään kerran;

c) kvasielastisen palautusvoiman ilmaantuminen järjestelmään (eli voima, joka on verrannollinen siirtymään);

d) Inertian (inertiaelementin) läsnäolo järjestelmässä.

Tarkastellaan havainnollistavana esimerkkinä matemaattisen heilurin liikettä. Matemaattinen heiluri kutsutaan pienikokoiseksi kappaleeksi, joka on ripustettu ohuelle venymättömälle langalle, jonka massa on mitätön verrattuna rungon massaan. Tasapainoasennossa, kun heiluri roikkuu luotiviivalla, painovoima tasapainotetaan langan kireyden voimalla.
. Kun heiluri poikkeaa tasapainoasennosta tietyn kulman verran α painovoimalla on tangentiaalinen komponentti F=- mg sinα. Miinusmerkki tässä kaavassa tarkoittaa, että tangentiaalinen komponentti on suunnattu heilurin taipuman vastakkaiseen suuntaan. Hän on palauttava voima. Pienillä kulmilla α (luokkaa 15-20 o) tämä voima on verrannollinen heilurin siirtymään, ts. on kvasielastinen ja heilurin värähtelyt ovat harmonisia.

Kun heiluri on taipunut, se nousee tietylle korkeudelle, ts. hänelle annetaan tietty määrä potentiaalista energiaa ( E hiki = mgh). Kun heiluri siirtyy tasapainoasentoon, tapahtuu potentiaalienergian muutos liike-energiaksi. Sillä hetkellä, kun heiluri ohittaa tasapainoasennon, potentiaalienergia on nolla ja liike-energia on suurin. Johtuen massan läsnäolosta m(massa on fysikaalinen suure, joka määrää aineen inertia- ja painovoimaominaisuudet) heiluri ohittaa tasapainoasennon ja poikkeaa vastakkaiseen suuntaan. Jos järjestelmässä ei ole kitkaa, heiluri jatkaa värähtelyä loputtomiin.

Harmonisen värähtelyn yhtälöllä on muoto:

x(t) = x m cos (ω 0 t +φ 0 ),

missä X- kehon siirtyminen tasapainoasennosta;

x m (MUTTA) on värähtelyamplitudi, eli suurin siirtymämoduuli,

ω 0 - syklinen (tai pyöreä) värähtelytaajuus,

t- aika.

Arvo kosinimerkin alla φ = ω 0 t + φ 0 nimeltään vaihe harmoninen värähtely. Vaihe määrittää siirtymän tietyllä hetkellä t. Vaihe ilmaistaan ​​kulmayksiköinä (radiaaneina).

klo t= 0 φ = φ 0 , Siksi φ 0 nimeltään alkuvaihe.

Aikajaksoa, jonka jälkeen tietyt värähtelyjärjestelmän tilat toistuvat, kutsutaan värähtelyjakso T.

Fysikaalista määrää, joka on käänteinen värähtelyjaksolle, kutsutaan värähtelytaajuus:
. Värähtelytaajuus ν näyttää kuinka monta värähtelyä tapahtuu aikayksikköä kohden. Taajuusyksikkö - hertsi (Hz) - yksipyörä sekunnissa.

Värähtelytaajuus ν liittyvät sykliseen taajuuteen ω ja värähtelyjakso T suhteet:
.

Toisin sanoen ympyrätaajuus on täydellisten värähtelyjen lukumäärä, jotka tapahtuvat 2π aikayksikössä.

Graafisesti harmoniset värähtelyt voidaan esittää riippuvuutena X alkaen t ja vektorikaavioiden menetelmä.

Vektorikaavioiden menetelmän avulla voit visualisoida kaikki harmonisten värähtelyjen yhtälöön sisältyvät parametrit. Todellakin, jos amplitudivektori MUTTA asetettu kulmaan φ akselille X, sitten sen projektio akselille X on yhtä suuri kuin: x = Acos(φ ) . Injektio φ ja on alkuvaihe. Jos vektori MUTTA laitetaan pyörimään kulmanopeudella ω 0, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjen ympyrätaajuus, silloin vektorin pään projektio liikkuu akselia pitkin X ja ota arvot alkaen -A ennen +A, ja tämän projektion koordinaatti muuttuu ajan myötä lain mukaan: x(t) = MUTTAcos(ω 0 t+ φ) . Aika, joka kuluu amplitudivektorilta yhden täydellisen kierroksen tekemiseen, on yhtä suuri kuin jakso T harmonisia värähtelyjä. Vektorin kierrosten lukumäärä sekunnissa on yhtä suuri kuin värähtelytaajuus ν .