mekaaninen järjestelmä

Mekaaninen järjestelmä - joukko materiaalipisteitä:- liikkuu klassisen mekaniikan lakien mukaan; ja - vuorovaikutuksessa toistensa kanssa ja kehon kanssa, jotka eivät sisälly tähän sarjaan.

Paino

Massa ilmenee luonnossa monin tavoin.

Passiivinen gravitaatiomassa osoittaa, millä voimalla keho on vuorovaikutuksessa ulkoisten gravitaatiokenttien kanssa - itse asiassa tämä massa on perusta massan mittaamiseen punnitsemalla nykyaikaisessa metrologiassa.

Aktiivinen gravitaatiomassa näyttää millaisen gravitaatiokentän tämä kappale itse luo - gravitaatiomassat näkyvät universaalin painovoiman laissa.

inertiamassa luonnehtii kappaleiden inertiaa ja esiintyy yhdessä Newtonin toisen lain formulaatioista. Jos mielivaltainen voima vinertiaalisessa vertailujärjestelmässä kiihdyttää samalla tavalla erilaisia ​​alun perin liikkumattomia kappaleita, niille annetaan sama inertiamassa.

Gravitaatio- ja inertiamassat ovat keskenään yhtä suuret (korkealla tarkkuudella - noin 10 -13 - kokeellisesti ja useimmissa fysikaalisissa teorioissa, mukaan lukien kaikki kokeellisesti vahvistetut - täsmälleen), siksi siinä tapauksessa, että emme puhu "uudesta fysiikka", puhua vain massasta määrittelemättä kumpaa ne tarkoittavat.

Klassisessa mekaniikassa kappalejärjestelmän massa on yhtä suuri kuin sen muodostavien kappaleiden massojen summa. Relativistisessa mekaniikassa massa ei ole additiivinen fysikaalinen suure, eli järjestelmän massa ei yleensä ole yhtä suuri kuin komponenttien massojen summa, vaan sisältää sitoutumisenergian ja riippuu hiukkasten suhteellisen liikkeen luonteesta. toisilleen

Massan keskipiste - ( mekaniikassa) geometrinen piste, joka kuvaa kappaleen tai hiukkasjärjestelmän liikettä kokonaisuutena. Se ei ole identtinen painopisteen käsitteen kanssa (vaikkakin useimmiten sama).

Klassisessa mekaniikassa materiaalipistejärjestelmän massakeskipisteen (hitauskeskuksen) sijainti määritetään seuraavasti:

missä on massakeskuksen sädevektori, on sädevektori i-järjestelmän piste, -massa i- piste.

Jatkuvan massajakauman tapauksessa:

missä on järjestelmän kokonaismassa, on tilavuus, on tiheys. Massakeskus kuvaa siis massan jakautumista kappaleen tai hiukkasjärjestelmän yli.

Voidaan osoittaa, että jos systeemi ei koostu aineellisista pisteistä, vaan laajennetuista kappaleista, joilla on massoja , niin tällaisen järjestelmän massakeskipisteen sädevektori on suhteessa massakeskipisteiden sädevektoreihin kehorelaation avulla. :

Toisin sanoen laajennetuissa kappaleissa pätee kaava, joka rakenteeltaan vastaa materiaalipisteille käytetyn kaavan kanssa.

Mekaniikassa!!!

Massakeskuksen käsitettä käytetään laajalti mekaniikassa ja fysiikassa.

Jäykän kappaleen liikettä voidaan pitää massakeskuksen liikkeen ja kappaleen pyörivän liikkeen massakeskipisteensä ympärillä superpositiona. Tässä tapauksessa massakeskus liikkuu samalla tavalla kuin kappale, jolla on sama massa, mutta kooltaan äärettömän pieni (ainepiste) liikkuisi. Jälkimmäinen tarkoittaa erityisesti, että kaikki Newtonin lait ovat sovellettavissa kuvaamaan tätä liikettä. Monissa tapauksissa voidaan jättää huomiotta kehon mitat ja muoto kokonaan ja ottaa huomioon vain sen massakeskuksen liike.

Usein on kätevää tarkastella suljetun järjestelmän liikettä massakeskukseen liittyvässä vertailukehyksessä. Tällaista vertailujärjestelmää kutsutaan massakeskipistejärjestelmäksi (C-järjestelmä) tai inertiakeskusjärjestelmäksi. Siinä suljetun järjestelmän kokonaisliikemäärä pysyy aina nollana, mikä antaa meille mahdollisuuden yksinkertaistaa sen liikkeen yhtälöitä.

Homogeenisten hahmojen massakeskukset

Segmentillä on keskiosa.

Monikulmiot (sekä kiinteät litteät hahmot että metallikehykset):

Suuntaviiva on diagonaalien leikkauspiste.

Kolmiolla on mediaanien leikkauspiste ( sentroidi).

Säännöllisen monikulmion keskipisteen kiertosymmetria on.

Puoliympyrässä on piste, joka jakaa kohtisuoran säteen suhteessa 4:3π ympyrän keskustasta.

Liikkeen määrä = liikemäärä

Järjestelmän liikemäärä (järjestelmän liikemäärä).

Momentum (kehon vauhti) on fyysinen vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin kehon massan ja sen nopeuden tulo:

Momentum (momentum) on yksi kehon tai kehojärjestelmän liikkeen perusominaisuuksista.

Kirjoitamme Newtonin II lain eri muodossa ottaen huomioon, että kiihtyvyys Sitten

Voiman ja sen vaikutusajan tulo on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän lisäys (kuva 1):

Missä on voiman liikemäärä, joka osoittaa, että voiman vaikutuksen tulos ei riipu vain sen arvosta, vaan myös sen vaikutuksen kestosta.

Kuva 1

Järjestelmän liikkeen määrä (impulssi) on vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän kaikkien pisteiden liikemäärien (impulssien) geometrinen summa (päävektori)(kuva 2):

Piirustuksesta voidaan nähdä, että riippumatta järjestelmän pisteiden nopeuksista (elleivät nämä nopeudet ole yhdensuuntaisia) vektori voi saada mitä tahansa arvoa ja jopa osoittautua nollaksi, kun monikulmio rakennetaan vektorit sulkeutuvat. Näin ollen on mahdotonta täysin arvioida järjestelmän liikkeen luonnetta sen suuruuden perusteella.

Kuva 2

Etsitään kaava, jonka avulla on paljon helpompi laskea arvo ja ymmärtää sen merkitys.

Tasa-arvosta

seuraa sitä

Kun otetaan molempien osien aikaderivaata, saadaan

Täältä löydämme sen

järjestelmän liikkeen määrä (liikemäärä) on yhtä suuri kuin koko järjestelmän massan ja sen massakeskuksen nopeuden tulo . Tätä tulosta on erityisen kätevä käyttää laskettaessa jäykkien kappaleiden liikemäärää.

Kaavasta voidaan nähdä, että jos kappale (tai järjestelmä) liikkuu siten, että massakeskus pysyy paikallaan, niin kappaleen liikemäärä on nolla. Esimerkiksi kappaleen liikemäärä, joka pyörii sen massakeskipisteen kautta kulkevan kiinteän akselin ympäri, on nolla.

Jos kappaleen liike on monimutkaista, arvo ei kuvaa liikkeen pyörivää osaa massakeskuksen ympärillä. Esimerkiksi vierivälle pyörälle riippumatta siitä, kuinka pyörä pyörii massakeskipisteensä ympäri Kanssa.

Täten, liikkeen määrä luonnehtii vain järjestelmän translaatioliikettä. Monimutkaisen liikkeen tapauksessa suure luonnehtii vain järjestelmän liikkeen translaatioosaa yhdessä massakeskuksen kanssa.

Pääkohta stv dv järjestelmän izheniya (vauhti).

Järjestelmän liikemäärän (tai kulmamomentin) päämomentti suhteessa annettuun keskustaan O kutsutaan suureksi, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän kaikkien pisteiden liikesuureiden momenttien geometrinen summa suhteessa tähän keskustaan.

Samalla tavalla määritetään järjestelmän liikesuureiden momentit suhteessa koordinaattiakseleihin:

Tässä tapauksessa ne ovat samanaikaisesti vektorin projektioita koordinaattiakseleille.

Aivan kuten järjestelmän liikemäärä on sen translaatioliikkeen ominaisuus, järjestelmän liikemäärän päämomentti on järjestelmän pyörimisliikkeen ominaisuus.

Kuva 6

Ymmärtää määrän mekaanisen merkityksen L 0 ja sinulla on tarvittavat kaavat tehtävien ratkaisemiseen, laskemme kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen kulmamomentin (kuva 6) Tässä tapauksessa, kuten tavallista, vektorin määritelmä sen ennusteiden määrittely.

Etsitään ensin sovelluksille tärkein kaava, joka määrää määrän L z eli Pyörivän kappaleen kulmamomentti pyörimisakselin ympäri.

Jokaiselle kehon pisteelle, joka on etäisyyden päässä pyörimisakselista, nopeus. Siksi tähän kohtaan. Sitten koko keholle saadaan yhteinen tekijä ω pois suluista

Suluissa oleva arvo on kappaleen hitausmomentti akselin ympäri z. Lopulta löydämme

Täten, pyörivän kappaleen kineettinen momentti pyörimisakselin ympäri on yhtä suuri kuin kappaleen tämän akselin ympärillä olevan hitausmomentin tulo kappaleen kulmanopeudella.

Jos järjestelmä koostuu useista kappaleista, jotka pyörivät saman akselin ympäri, niin ilmeisesti niitä tulee olemaan

On helppo nähdä analogia kaavojen ja: liikkeen määrä on yhtä suuri kuin massan (arvo, joka kuvaa kehon inertiaa translaatioliikkeen aikana) ja nopeuden tuloa; kineettinen momentti on yhtä suuri kuin hitausmomentin (arvo, joka luonnehtii kappaleen hitausmomenttia pyörimisliikkeen aikana) tulo kulmanopeudella.

Tarkastellaan uudelleen samaa ainepisteiden järjestelmää. Muodostetaan sädevektori seuraavan säännön mukaan:

missä on järjestelmän kyseisen materiaalipisteen sädevektori ja sen massa.

Sädevektori määrittää sijainnin avaruudessa hitauskeskus (massakeskiö) järjestelmät.

Ei ole ollenkaan välttämätöntä, että jokin aineellinen piste on järjestelmän massakeskipisteessä.

Esimerkki. Etsitään kahdesta pienestä pallosta koostuvan järjestelmän massakeskus - materiaalipisteet, jotka on liitetty toisiinsa painottomalla sauvalla (kuva 3.29). Tätä kehojärjestelmää kutsutaan käsipainoiksi.

Riisi. 3.29. Massapainokeskus

Kuvasta se on selvää

Korvaamalla näihin yhtälöihin massakeskuksen sädevektorin lauseke

Tästä seuraa, että massakeskipiste on pallojen keskipisteiden läpi kulkevalla suoralla linjalla. Etäisyydet l 1 ja l 2 pallojen välissä ja massakeskipisteessä ovat vastaavasti samat

Massakeskus on lähempänä palloa, jonka massa on suurempi, kuten suhteesta voidaan nähdä:

Määritetään nopeus, jolla järjestelmän inertiakeskus liikkuu. Erottelemme molemmat osat ajan suhteen:

Tuloksena olevan lausekkeen osoittaja oikealla puolella sisältää kaikkien pisteiden impulssien summan, eli järjestelmän impulssin. Nimittäjä on järjestelmän kokonaismassa

Olemme havainneet, että hitauskeskuksen nopeus on suhteessa järjestelmän liikemäärään ja sen kokonaismassaan samalla suhteella, joka pätee aineelliselle pisteelle:

Video 3.11. Kahden samanlaisen jousen yhdistämän kärryn massakeskipisteen liike.

Suljetun järjestelmän massakeskus liikkuu aina vakionopeudella, koska tällaisen järjestelmän liikemäärä säilyy.

Jos nyt erotetaan järjestelmän liikemäärän lauseke ajan suhteen ja otetaan huomioon, että järjestelmän liikemäärän derivaatta on ulkoisten voimien resultantti, niin saadaan järjestelmän massakeskuksen liikeyhtälö yleisesti:

Se on selvää

Järjestelmän massakeskus liikkuu täsmälleen samalla tavalla kuin aineellinen piste, jonka massa on yhtä suuri kuin järjestelmän kaikkien hiukkasten massa, liikkuisi kaikkien järjestelmään kohdistuvien ulkoisten voimien vektorisumman vaikutuksesta.

Jos on olemassa ainepistejärjestelmä, jonka sisäinen sijainti ja liike eivät kiinnosta meitä, meillä on oikeus pitää sitä aineellisena pisteenä, jonka inertiakeskuksen sädevektorin koordinaatit ja massa on yhtä suuri kuin järjestelmän aineellisten pisteiden massojen summa.

Jos yhdistämme materiaalipisteiden (hiukkasten) suljetun järjestelmän massakeskukseen referenssijärjestelmän (se on ns. painopistejärjestelmä), silloin kaikkien hiukkasten kokonaisliikemäärä tällaisessa järjestelmässä on nolla. Siten massajärjestelmän keskellä suljettu hiukkasjärjestelmä kokonaisena on levossa, ja siinä on vain hiukkasten liikettä suhteessa massakeskukseen. Siksi suljetussa järjestelmässä tapahtuvien sisäisten prosessien ominaisuudet paljastuvat selvästi.

Siinä tapauksessa, että järjestelmä on kappale, jolla on jatkuva massajakauma, massakeskuksen määritelmä pysyy olennaisesti samana. Ympäröimme mielivaltaisen pisteen kehossamme pienellä tilavuudella. Tämän tilavuuden sisältämä massa on yhtä suuri kuin , jossa on kehon aineen tiheys, joka ei välttämättä ole vakio tilavuuteen nähden. Kaikkien tällaisten perusmassojen summa on nyt korvattu integraalilla koko kehon tilavuudella, joten kehon massakeskipisteen asemalle saadaan lauseke

Jos kappaleen aine on homogeeninen, sen tiheys on vakio ja se voidaan ottaa pois integraalimerkin alta, jolloin se pienenee osoittajassa ja nimittäjässä. Sitten kappaleen massakeskuksen sädevektorin lauseke saa muodon

missä on kehon tilavuus.

Ja jatkuvan massajakauman tapauksessa väite pitää paikkansa

Jäykän kappaleen massakeskus liikkuu samalla tavalla kuin aineellinen piste, jonka massa on yhtä suuri kuin kappaleen massa, liikkuisi kaikkien kehoon kohdistuvien ulkoisten voimien vektorisumman vaikutuksesta.

Esimerkki. Jos ammus räjähtää jossain vaiheessa parabolisella liikeradalla, sirpaleet lentävät pitkin erilaisia ​​lentoratoja, mutta sen massakeskus jatkaa liikkumistaan ​​parabolia pitkin.

On olemassa monia erilaisia ​​rakenteita ja rakenteita, joita katsoessa ihmettelee, kuinka ne säilyttävät tasapainon. Ehkä tunnetuin niistä on kuuluisa Pisan kalteva torni, joka rakennettiin vuonna 1360 ja joka on säilyttänyt tahattoman kaltevuuden. Miksi Pisan kalteva torni säilyttää tasapainonsa? Salaisuus on yksinkertainen. Tornin massakeskipisteen pystysuora projektio on sen pohjalla. Tämä koskee kaikkia muitakin rakennuksia. Lisäksi, jos esine ripustetaan pisteestä, joka on sama kuin massakeskipiste, myös ripustettu esine säilyttää tasapainon. Eri esineistä on myös mahdollista koota mitä omituisimman muotoisia rakenteita, jotka ovat tasapainossa, jos massakeskuksen sijainti lasketaan oikein. Yritetään selvittää, kuinka laskea erilaisten litteiden lukujen massakeskipisteen koordinaatit.

Oletetaan, että päätät tehdä uudenvuoden seppeleen, joka koostuu erilaisista muodoista, mukaan lukien nuolen muoto. Ensin sinun on leikattava tasakylkinen kolmio paksusta paperista uudenvuoden kuviolla. Sitten sinun on tehtävä leikkaus, myös tasakylkisen kolmion muodossa, jotta tuloksena olevan hahmon massakeskus on pisteessä AT(katso kuva). Etsitään koordinaatit x c ja yc tämän kuvion massakeskipiste suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä yOx.

Tasaisten kuvioiden massakeskipisteen sijainti tunnetaan: kolmion massakeskipiste on sen mediaanien leikkauspisteessä, suorakulmion massakeskipiste on sen diagonaalien leikkauspisteessä, kolmion keskipiste ympyrän massa on sama kuin sen keskusta. Kolmiosta lähtien ACD- tasakylkinen, sen symmetrian perusteella suoran suhteen OA, seuraa sitä x c = 0.

Koordinaattien laskemiseen yc käytetään seuraavaa kaavaa:

missä S ∆ACD ja SΔBCD- kolmioiden alueet ACD ja BCD, a y c 1 ja y c 2 ovat vastaavasti niiden massakeskipisteiden koordinaatit. Sitten:

Ottaen huomioon, että massakeskuksen on oltava pisteessä B, saamme:

|OB | = ½ |OA |. Tämä on pointti B- segmentin keskikohta |OA|.

Ehdotetun menetelmän mukaan suosittelemme ratkaisemaan ongelman:

Laske sädeympyrän massakeskipisteen koordinaatit R leikkausympyrän säteellä r(katso kuva). Määritä, mikä säteiden suhteen tulisi olla R ja r niin, että kuvion massakeskus on pisteessä B. Analysoi tulos.

Ohje

On pidettävä mielessä, että massakeskuksen sijainti riippuu suoraan siitä, kuinka sen massa jakautuu kehon tilavuuteen. Massakeskus ei välttämättä ole edes kehossa itse, esimerkki tällaisesta esineestä on homogeeninen rengas, jossa massakeskipiste sijaitsee sen geometrisessa keskustassa. Eli -. Laskelmissa massakeskusta voidaan pitää matemaattisena pisteenä, johon kehon koko massa on keskittynyt.

Täällä R.ts.m. on massakeskuksen sädevektori, mi on i:nnen pisteen massa, ri on järjestelmän i:nnen pisteen sädevektori. Käytännössä monissa tapauksissa on helppo löytää massakeskipiste, jos esineellä on tietty tiukka geometrinen muoto. Esimerkiksi homogeeniselle sauvalle se on täsmälleen keskellä. Suunnikkaalle se on lävistäjien leikkauspisteessä, kolmiossa se on piste ja säännöllisen monikulmion massakeskipiste on pyörimissymmetrian keskipisteessä.

Monimutkaisemmilla kappaleilla laskentatehtävä tulee monimutkaisemmaksi, tässä tapauksessa on tarpeen jakaa objekti homogeenisiin tilavuuksiin. Jokaiselle niistä erikseen massakeskipisteet, jonka jälkeen löydetyt arvot korvataan vastaaviin kaavoihin ja lopullinen arvo löydetään.

Käytännössä massakeskipisteen (painopisteen) määrittämisen tarve liittyy yleensä suunnittelutyöhön. Esimerkiksi laivaa suunniteltaessa on tärkeää varmistaa sen vakavuus. Jos painopiste on liian korkealla, se voi kaatua. Kuinka laskea vaadittu parametri niin monimutkaiselle esineelle kuin laiva? Tätä varten löydetään sen yksittäisten elementtien ja kokoonpanojen painopisteet, minkä jälkeen löydetyt arvot lasketaan yhteen ottaen huomioon niiden sijainti. Suunnittelussa painopiste pyritään yleensä sijoittamaan mahdollisimman alas, joten painavimmat yksiköt sijaitsevat aivan pohjassa.

Lähteet:

• Massan keskipiste
• Fysiikan ongelmien ratkaiseminen

Massakeskus on kehon tärkein geometrinen ja tekninen ominaisuus. Ilman sen koordinaattien laskemista on mahdotonta kuvitella suunnittelua koneenrakennuksessa, rakennus- ja arkkitehtuuriongelmien ratkaisemista. Massakeskipisteen koordinaattien tarkka määritys tehdään integraalilaskulla.

Ohje

Sinun tulee aina aloittaa alusta ja siirtyä vähitellen monimutkaisempiin tilanteisiin. Jatketaan siitä, että määritetään jatkuvan tasaisen kuvion D massakeskipiste, johon ρ on vakio ja jakautuu tasaisesti rajoissaan. Argumentti x siirtyy a:sta b:hen, y c:stä d:hen. Jaa kuvio pystysuoralla (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) ja vaakasuuntaisella viivalla (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) alkeissuorakulmioiksi, joiden kantat ∆хi=xi-x(i-1) ja korkeudet ∆yj=yj-y(j-1) (ks. kuva 1). Etsi tässä tapauksessa alkeissegmentin ∆хi keskikohta ξi=(1/2) ja korkeus ∆yj muodossa ηj=(1/2). Koska tiheys jakautuu tasaisesti, alkeissuorakulmion massakeskipiste osuu yhteen sen geometrisen keskipisteen kanssa. Eli Хцi=ξi, Yцi=ηj.

Tasaisen kuvion massa M (jos sitä ei tunneta), laske pinta-alan tulona. Korvaa alkeisalue arvolla ds=∆хi∆yj=dxdy. Esitä ∆mij muodossa dM=ρdS=ρdxdy ja saa sen massa kuvan kaavalla. 2a. Oletetaan pienin askelin, että ∆mij keskittyy materiaalipisteeseen, jonka koordinaatit Хцi=ξi, Yцi=ηj. Tehtävistä tiedetään, että materiaalipistejärjestelmän jokainen massakeskipisteen koordinaatti on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on staattisten massamomenttien mν summa suhteessa vastaavaan akseliin ja on yhtä suuri kuin näiden massojen summa. Massan staattinen momentti mν suhteessa 0x-akseliin on yν*mν ja suhteessa 0y xν*mν.

Käytä tätä tarkasteltavana olevaan tilanteeseen ja hanki staattisten momenttien Jx ja Jy likimääräiset arvot muodossa Viimeiseen lausekkeeseen sisältyvät summat ovat integraaleja. Siirry niistä rajoihin kohdassa ∆хν→0 ∆yν→0 ja kirjoita lopulliset muistiin (ks. kuva 2b). Etsi massakeskipisteen koordinaatit jakamalla vastaava tilastollinen momentti kuvan M kokonaismassalla.

Metodologia tilakuvion G massakeskipisteen koordinaattien saamiseksi eroaa vain siinä, että syntyy kolmoisintegraalit ja staattiset momentit huomioidaan suhteessa koordinaattitasoihin. Emme saa unohtaa, että tiheys ei välttämättä ole vakio, eli ρ(x,y,z)≠const. Siksi viimeisellä ja yleisimmällä on muoto (ks. kuva 3).

Lähteet:

• Piskunov N.S. Differentiaali- ja integraalilaskenta. T.2., M.: 1976, 576 s., ill.

Newtonin vuonna 1666 löytämä ja vuonna 1687 julkaistu universaali gravitaatiolaki sanoo, että kaikki kappaleet, joilla on massa, vetävät toisiaan puoleensa. Matemaattinen muotoilu sallii paitsi todeta kehon keskinäisen vetovoiman tosiasian, myös mitata sen vahvuutta.

Ohje

Jo ennen Newtonia monet spekuloivat universaalin painovoiman olemassaolosta. Heille oli alusta asti selvää, että minkä tahansa kahden kappaleen välisen vetovoiman täytyy riippua niiden massasta ja heiketä etäisyyden myötä. Johannes Kepler, joka kuvasi ensimmäisenä aurinkokunnan elliptiset kiertoradat, uskoi, että aurinko vetää puoleensa voimalla, joka on kääntäen verrannollinen etäisyyteen.

Lopuksi universaalin gravitaatiolaki muotoillaan seuraavasti: mitkä tahansa kaksi kappaletta, joilla on massa, vetäytyvät toisiaan puoleensa ja niiden vetovoima on yhtä suuri kuin

F = G* ((m1*m2)/R^2),

missä m1 ja m2 - kappaleiden massat, R - etäisyys, G - gravitaatiovakio.

Jos painovoimaan osallistuvalla kappaleella on suunnilleen pallomainen muoto, etäisyys R ei tulisi mitata sen pinnasta, vaan massakeskipisteestä. Saman massan omaava materiaalipiste, joka sijaitsee täsmälleen keskellä, synnyttäisi täsmälleen saman vetovoiman.

Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että esimerkiksi laskettaessa voimaa, jolla Maa vetää puoleensa sen päällä seisovaa, etäisyys R ei ole nolla, vaan säde. Itse asiassa se on yhtä suuri kuin maan keskipisteen ja ihmisen painopisteen välinen etäisyys, mutta tämä ero voidaan jättää huomiotta tarkkuuden menettämättä.

Gravitaatio vetovoima on aina molemminpuolinen: Maa ei vain houkuttele ihmistä, vaan se puolestaan ​​​​vetää maata. Koska planeetalla on valtava ero ihmisen massojen välillä, tämä on huomaamaton. Samoin avaruusalusten lentoratoja laskettaessa jätetään yleensä huomiotta se tosiasia, että avaruusalus vetää puoleensa planeettoja ja komeettoja.

Jos vuorovaikutuksessa olevien esineiden massat ovat kuitenkin vertailukelpoisia, niiden keskinäinen vetovoima tulee kaikkien osallistujien havaittavaksi. Esimerkiksi fysiikan näkökulmasta ei ole aivan oikein väittää, että Kuu kiertää maata. Todellisuudessa Kuu ja Maa pyörivät yhteisen massakeskuksen ympärillä. Koska planeettamme on paljon suurempi kuin luonnollinen, tämä keskus sijaitsee sen sisällä, mutta ei silti ole sama kuin itse Maan keskusta.

Liittyvät videot

Lähteet:

• Siistiä fysiikkaa uteliaille - universaalin painovoiman laki

Matematiikka ja fysiikka ovat ehkä hämmästyttävimmät tieteet, joita ihmisellä on saatavilla. Kuvaamalla maailmaa tarkasti määritellyillä ja laskettavissa olevilla laeilla tiedemiehet voivat "kynän kärjessä" saada arvoja, joita ensi silmäyksellä näyttää mahdottomalta mitata.

Ohje

Yksi fysiikan peruslaeista on painovoimalaki. Se sanoo, että kaikki kappaleet vetoavat toisiinsa voimalla, joka on yhtä suuri kuin F=G*m1*m2/r^2. Tässä tapauksessa G on tietty vakio (se osoitetaan suoraan laskennan aikana), m1 ja m2 ovat kappaleiden massat ja r on niiden välinen etäisyys.

massa- Maa-alueet voidaan laskea kokeen perusteella. Heilurin ja sekuntikellon avulla voit laskea vapaan pudotuksen kiihtyvyyden g (askel jätetään pois epäolennaisena), joka on 10 m / s ^ 2. Newtonin toisen lain mukaan F voidaan esittää muodossa m*a. Siksi Maahan vetoavalle kappaleelle: m2*a2=G*m1*m2/r^2, missä m2 on kappaleen massa, m1 on Maan massa, a2=g. Muutosten jälkeen (m2:n pienennys molemmissa osissa, m1:n siirto vasemmalle ja a2:n siirto oikealle) yhtälö saa seuraavan muodon: m1=(ar)^2/G. Arvon korvaus antaa m1=6*10^27

Kuun massan laskeminen perustuu sääntöön: kappaleista järjestelmän massakeskipisteeseen ovat kääntäen verrannollisia kappaleiden massoihin. Tiedetään, että Maa ja Kuu kiertävät tietyn pisteen (Cm) ympäri ja etäisyydet keskuksista tähän pisteeseen ovat 1/81,3. Näin ollen Ml \u003d Mz / 81,3 \u003d 7,35 * 10 ^ 25.

Lisälaskelmat perustuvat Kepplerin kolmanteen lakiin, jonka mukaan (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, missä T on taivaankappaleen kierrosjakso. kehon ympärillä aurinko, L on etäisyys jälkimmäiseen, M1, M2 ja Mc ovat kahden taivaankappaleen ja vastaavasti massat. Kokoamalla yhtälöitä kahdelle järjestelmälle (+ kuu - / maa - kuu), voit nähdä, että yhtälön yksi osa osoittautuu yhteiseksi, mikä tarkoittaa, että toinen voidaan rinnastaa.

Laskentakaava yleisimmässä muodossa on Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml) Taivaankappaleiden massat on laskettu teoreettisesti; Calculus tai käytännön menetelmiä käytetään L:n laskemiseen. Tarvittavien arvojen yksinkertaistamisen ja korvaamisen jälkeen yhtälö saa muotoa: Ms / Ms + Ml \u003d 329,390. Näin ollen Ms \u003d 3,3 * 10^33.

Kineettinen energia on mekaanisen järjestelmän energiaa, joka riippuu sen kunkin pisteen liikenopeudesta. Toisin sanoen kineettinen energia on ero kokonaisenergian ja tarkasteltavan järjestelmän lepoenergian välillä, se osa järjestelmän kokonaisenergiasta, joka johtuu liikkeestä. Kineettinen energia on jaettu energiaa translaatio- ja pyörimisliike. Kineettisen energian SI-yksikkö on joule.

Ohje

Translaatioliikkeen tapauksessa kaikilla järjestelmän (kappaleen) pisteillä on sama liikenopeus, joka on yhtä suuri kuin kehon massakeskuksen liikenopeus. Tässä tapauksessa kineettinen järjestelmä Tpost on yhtä suuri kuin:
Tpost = ? (mk Vс2)/2,
missä mk on kappaleen massa, Vc on massakeskipiste, joten translaatiokappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin kappaleen massan ja massakeskuksen nopeuden neliön tulo jaettuna kahdella. Tässä tapauksessa kinetiikan arvo ei riipu liikkeestä.

Insinöörikäytännössä tapahtuu, että on tarpeen laskea monimutkaisen litteän hahmon painopisteen koordinaatit, joka koostuu yksinkertaisista elementeistä, joiden painopisteen sijainti tunnetaan. Tämä tehtävä on osa tehtävää määrittää...

Palkkien ja tankojen komposiittipoikkileikkausten geometriset ominaisuudet. Usein tällaisia ​​kysymyksiä kohtaavat lävistysmeistien suunnittelijat määritettäessä painekeskipisteen koordinaatteja, eri ajoneuvojen lastaussuunnitelmien kehittäjät kuormia asetettaessa, metallirakenteiden suunnittelijat valitessaan elementtien osia ja tietysti opiskelijat opiskellessaan. tieteenalat "Teoreettinen mekaniikka" ja "Materiaalien lujuus".

Alkeishahmojen kirjasto.

Symmetrisissä tasokuvioissa painopiste on sama kuin symmetriakeskus. Symmetrinen alkeisobjektien ryhmä sisältää: ympyrän, suorakulmion (mukaan lukien neliön), suunnikkaan (mukaan lukien rombi), säännöllisen monikulmion.

Yllä olevassa kuvassa esitetyistä kymmenestä hahmosta vain kaksi on peruskuvioita. Eli käyttämällä kolmioita ja ympyräsektoreita voit yhdistää melkein minkä tahansa käytännön kiinnostavan kuvion. Mikä tahansa mielivaltainen käyrä voidaan jakaa osiin ja korvata ympyrän kaarilla.

Loput kahdeksan hahmoa ovat yleisimpiä, minkä vuoksi ne sisällytettiin tällaiseen kirjastoon. Luokittelussamme nämä elementit eivät ole peruselementtejä. Suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikkaan voidaan muodostaa kahdesta kolmiosta. Kuusikulmio on neljän kolmion summa. Ympyrän segmentti on ympyrän sektorin ja kolmion välinen ero. Ympyrän rengassektori on näiden kahden sektorin välinen ero. Ympyrä on ympyrän sektori, jonka kulma on α=2*π=360˚. Puoliympyrä on vastaavasti ympyrän sektori, jonka kulma on α=π=180˚.

Yhdistelmäkuvion painopisteen koordinaattien laskenta Excelissä.

Tietoa on aina helpompi välittää ja havaita esimerkkiä pohtimalla kuin tutkia asiaa puhtaasti teoreettisin laskelmin. Harkitse ratkaisua ongelmaan "Kuinka löytää painopiste?" tämän tekstin alla olevassa kuvassa näkyvän yhdistelmähahmon esimerkissä.

Yhdistelmäosa on suorakulmio (jossa on mitat a1 = 80 mm, b1 \u003d 40 mm), johon lisättiin tasakylkinen kolmio vasempaan yläkulmaan (jalustan koolla a2 =24 mm ja korkeus h2 \u003d 42 mm) ja josta leikattiin puoliympyrä oikeasta yläkulmasta (keskitetty pisteeseen, jossa on koordinaatit x03 = 50 mm ja y03 = 40 mm, säde r3 = 26 mm).

Autamme sinua laskennassa, otamme ohjelman mukaan MS Excel tai ohjelma Oo Calc . Jokainen heistä selviytyy helposti tehtävästämme!

Soluissa, joissa on keltainen täyttö on mahdollista ylimääräinen alustava laskelmat .

Soluissa, joissa on vaaleankeltainen täyttö, laskemme tulokset.

Sininen fontti on alkutiedot .

Musta fontti on keskitason laskennan tulokset .

Punainen fontti on lopullinen laskennan tulokset .

Aloitamme ongelman ratkaisemisen - alamme etsiä osan painopisteen koordinaatteja.

Alkutiedot:

1. Yhdistelmäosan muodostavien perushahmojen nimet syötetään vastaavasti

soluun D3: Suorakulmio

soluun E3: Kolmio

soluun F3: Puoliympyrä

2. Tässä artikkelissa esitellyn "alkufiguurien kirjaston" avulla määritämme yhdistelmäleikkauksen elementtien painopisteiden koordinaatit xci ja yci millimetreinä suhteessa mielivaltaisesti valittuihin akseleihin 0x ja 0y ja kirjoita

soluun D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

soluun D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

soluun E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

soluun E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

soluun F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

soluun F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Laske elementtien pinta-ala F 1 , F 2 , F3 mm2, käyttämällä jälleen kaavoja osiosta "Alkulukujen kirjasto"

solussa D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

solussa E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

solussa F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Kolmannen elementin - puoliympyrän - pinta-ala on negatiivinen, koska tämä aukko on tyhjä tila!

Painopisteen koordinaattien laskeminen:

4. Määritä lopullisen kuvan kokonaispinta-ala F0 mm2

yhdistetyssä solussa D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Laske yhdistelmäkuvion staattiset momentit Sx ja Sy mm3 suhteessa valittuihin akseleihin 0x ja 0y

yhdistetyssä solussa D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

yhdistetyssä solussa D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Ja lopuksi laskemme komposiittiosan painopisteen koordinaatit Xc ja Yc millimetreinä valitussa koordinaatistossa 0x - 0y

yhdistetyssä solussa D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

yhdistetyssä solussa D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx/F0

Ongelma on ratkaistu, laskenta Excelissä on valmis - osan painopisteen koordinaatit, jotka on koottu kolmella yksinkertaisella elementillä, löytyvät!

Johtopäätös.

Artikkelin esimerkki valittiin hyvin yksinkertaiseksi, jotta monimutkaisen osan painopisteen laskentamenetelmä olisi helpompi ymmärtää. Menetelmä perustuu siihen, että mikä tahansa monimutkainen kuvio tulee jakaa yksinkertaisiin elementteihin, joiden painopisteiden sijainti on tiedossa, ja lopulliset laskelmat tulee tehdä koko leikkaukselle.

Jos osa koostuu valssatuista profiileista - kulmista ja kanavista, niitä ei tarvitse jakaa suorakulmioiksi ja neliöiksi leikatuilla pyöreillä "π / 2" - sektoreilla. Näiden profiilien painopisteiden koordinaatit on annettu GOST-taulukoissa, eli sekä kulma että kanava ovat peruselementtejä komposiittiosien laskelmissa (ei ole järkevää puhua I-palkeista, putkista , tangot ja kuusikulmiot - nämä ovat keskellä symmetrisiä osia).

Koordinaattiakselien sijainti kuvion painopisteen sijainnissa ei tietenkään vaikuta! Valitse siksi koordinaattijärjestelmä, joka yksinkertaistaa laskelmia. Jos esimerkiksi pyörittäisin esimerkissämme koordinaattijärjestelmää 45˚ myötäpäivään, niin suorakulmion, kolmion ja puoliympyrän painopisteiden koordinaattien laskeminen muuttuisi uudeksi erilliseksi ja hankalaksi laskentavaiheeksi, jota et voi tehdä ” päässäsi".

Alla esitetty Excel-laskentatiedosto ei ole tässä tapauksessa ohjelma. Pikemminkin se on luonnos laskimesta, algoritmista, mallista, joka seuraa jokaisessa tapauksessa. luo oma kaavasarjasi kirkkaan keltaisella täytteellä varustetuille soluille.

Joten nyt tiedät kuinka löytää minkä tahansa osan painopiste! Satunnaisten monimutkaisten komposiittiosien kaikkien geometristen ominaisuuksien täydellistä laskelmaa tarkastellaan yhdessä seuraavista artikkeleista otsikon "" alla. Seuraa uutisia blogissa.

varten vastaanottaminen tiedot uusien artikkeleiden julkaisemisesta ja varten työohjelmien tiedostojen lataaminen Pyydän teitä tilaamaan ilmoitukset artikkelin lopussa olevasta ikkunasta tai sivun yläreunassa olevasta ikkunasta.

Kun olet syöttänyt sähköpostiosoitteesi ja napsauttanut "Vastaanota artikkeliilmoitukset" -painiketta ÄLÄ UNOHDA VAHVISTA TILAUS klikkaamalla linkkiä kirjeessä, joka tulee heti sinulle määritettyyn postiin (joskus - kansioon « Roskaposti » )!

Muutama sana lasista, kolikosta ja kahdesta haarukasta, jotka on kuvattu "kuvakekuvassa" artikkelin alussa. Monet teistä ovat varmasti tuttuja tämän "tempun", joka herättää ihailevia katseita lapsilta ja tietämättömiltä aikuisilta. Tämän artikkelin aihe on painopiste. Se on hän ja tukipiste, joka leikkii tietoisuudellamme ja kokemuksellamme, yksinkertaisesti huijaa mieltämme!

"Haarukat + kolikko" -järjestelmän painopiste on aina päällä korjattu etäisyys pystysuoraan alaspäin kolikon reunasta, joka puolestaan ​​on tukipiste. Tämä on vakaan tasapainon asema! Jos ravistat haarukoita, käy heti selväksi, että järjestelmä pyrkii ottamaan entisen vakaan asennon! Kuvittele heiluri - ankkuripiste (= kolikon tukipiste lasin reunassa), heilurin sauvan akseli (= meidän tapauksessamme akseli on virtuaalinen, koska kahden haarukan massa on erotettu avaruuden eri suuntiin) ja paino akselin alaosassa (= koko "haarukka" -järjestelmän painopiste + kolikko"). Jos alat poiketa heiluria pystysuorasta mihin tahansa suuntaan (eteenpäin, taaksepäin, vasemmalle, oikealle), se palaa väistämättä alkuperäiseen asentoonsa painovoiman vaikutuksesta. vakaa tasapainotila(sama tapahtuu haarukoidemme ja kolikoiden kanssa)!

Joka ei ymmärtänyt, mutta haluaa ymmärtää - selvitä se itse. On erittäin mielenkiintoista "tavoita" itseäsi! Lisään, että sama vakaan tasapainon käyttöperiaate on toteutettu myös Roly-Get Up -lelussa. Vain tämän lelun painopiste sijaitsee tukipisteen yläpuolella, mutta tukipinnan puolipallon keskikohdan alapuolella.

Kommenttisi ovat aina tervetulleita, hyvät lukijat!

Kysyä, KUNNITTAA tekijän teos, lataa tiedosto TILAUKSEN JÄLKEEN artikkeliilmoituksia varten.