Tällä oppitunnilla opimme hajottamaan neliötrinomit lineaarisiksi tekijöiksi. Tätä varten on muistettava Vietan lause ja sen käänteinen. Tämä taito auttaa meitä hajottamaan neliötrinomit nopeasti ja kätevästi lineaarisiksi tekijöiksi ja myös yksinkertaistamaan lausekkeista koostuvien murtolukujen pelkistämistä.
Joten takaisin toisen asteen yhtälöön, jossa .
Se, mitä meillä on vasemmalla, kutsutaan neliötrinomiksi.
Lause on totta: Jos ovat neliötrinomin juuret, niin identiteetti on tosi
Missä on johtava kerroin, ovat yhtälön juuret.
Joten meillä on neliöyhtälö - neliötrinomi, jossa toisen yhtälön juuria kutsutaan myös toisen asteen trinomin juuriksi. Siksi, jos meillä on neliötrinomin juuret, tämä trinomi jaetaan lineaarisiin tekijöihin.
Todiste:
Tämän tosiasian todistaminen suoritetaan käyttämällä Vieta-lausetta, jota tarkastelimme aiemmilla oppitunneilla.
Muistetaan mitä Vietan lause kertoo meille:
Jos ovat neliön trinomin juuret, joille , Sitten .
Tämä lause sisältää seuraavan väitteen, että .
Näemme, että Vietan lauseen mukaan, eli korvaamalla nämä arvot yllä olevaan kaavaan, saadaan seuraava lauseke
Q.E.D.
Muista, että todistimme lauseen, että jos ovat neliötrinomin juuret, niin hajoaminen on pätevä.
Muistetaan nyt esimerkki toisen asteen yhtälöstä, johon valitsimme juuret Vietan lauseen avulla. Tästä tosiasiasta voimme saada seuraavan yhtäläisyyden todistetun lauseen ansiosta:
Tarkastetaan nyt tämän tosiasian oikeellisuus yksinkertaisesti laajentamalla sulkuja:
Näemme, että olemme kertoneet oikein, ja mikä tahansa trinomi, jos sillä on juuret, voidaan laskea tämän lauseen mukaisesti lineaarisiksi tekijöiksi kaavan mukaan
Tarkastetaan kuitenkin, onko tällainen tekijöiden jakaminen mahdollista jollekin yhtälölle:
Otetaan esimerkiksi yhtälö. Ensin tarkistetaan erottajan merkki
Ja muistamme, että oppimamme lauseen täyttämiseksi D:n on oltava suurempi kuin 0, joten tässä tapauksessa tekijöihin jako tutkitun lauseen mukaan on mahdotonta.
Siksi muotoilemme uuden lauseen: jos neliötrinomilla ei ole juuria, sitä ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin.
Joten, olemme tarkastelleet Vieta-lausetta, mahdollisuutta hajottaa neliötrinomi lineaarisiksi tekijöiksi, ja nyt ratkaisemme useita ongelmia.
Tehtävä 1
Tässä ryhmässä ratkaisemme ongelman päinvastoin kuin esitetty. Meillä oli yhtälö, ja löysimme sen juuret, jotka hajosivat tekijöiksi. Tässä tehdään päinvastoin. Oletetaan, että meillä on toisen asteen yhtälön juuret
Käänteinen ongelma on tämä: kirjoita toisen asteen yhtälö niin, että ne olivat sen juuret.
On 2 tapaa ratkaista tämä ongelma.
Koska ovat siis yhtälön juuret 
on toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat numeroita. Avataan nyt sulut ja tarkistetaan:
Tämä oli ensimmäinen tapa, jolla loimme annetuilla juurilla toisen asteen yhtälön, jolla ei ole muita juuria, koska millä tahansa toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi juuria.
Tämä menetelmä sisältää käänteisen Vieta-lauseen käytön.
Jos ovat yhtälön juuret, ne täyttävät ehdon, että .
Vähennetylle toisen asteen yhtälölle 
, , eli tässä tapauksessa , ja .
Näin ollen olemme luoneet toisen asteen yhtälön, jolla on annetut juuret.
Tehtävä #2
Sinun on vähennettävä murto-osaa.
Meillä on trinomi osoittajassa ja trinomi nimittäjässä, ja trinomit voidaan kertoa tai olla kertomatta. Jos sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan, niiden joukossa voi olla yhtä suuria tekijöitä, joita voidaan vähentää.
Ensinnäkin on tarpeen kertoa osoittaja.
Ensin sinun on tarkistettava, voidaanko tämä yhtälö faktoroida, löytää erottaja . Koska , niin etumerkki riippuu tulosta ( täytyy olla pienempi kuin 0), tässä esimerkissä eli annetulla yhtälöllä on juuret.
Ratkaisussa käytämme Vieta-lausetta:
Tässä tapauksessa, koska olemme tekemisissä juurien kanssa, on melko vaikeaa yksinkertaisesti poimia juuria. Mutta näemme, että kertoimet ovat tasapainossa, eli jos oletetaan, että , ja korvataan tämä arvo yhtälöön, niin saadaan seuraava järjestelmä: eli 5-5=0. Näin ollen olemme valinneet yhden tämän toisen asteen yhtälön juurista.
Etsimme toista juuria korvaamalla yhtälöjärjestelmässä jo tunnetun, esim. ts. .
Siten olemme löytäneet toisen asteen yhtälön molemmat juuret ja voimme korvata niiden arvot alkuperäiseen yhtälöön kertoaksemme sen:
Muista alkuperäinen ongelma, meidän piti vähentää murto-osaa.
Yritetään ratkaista ongelma korvaamalla osoittaja .
Ei pidä unohtaa, että tässä tapauksessa nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin 0, ts.
Jos nämä ehdot täyttyvät, olemme vähentäneet alkuperäisen murtoluvun muotoon .
Tehtävä #3 (tehtävä parametrilla)
Millä parametrin arvoilla on toisen asteen yhtälön juurien summa
Jos tämän yhtälön juuret ovat olemassa, niin 
, kysymys kuuluu milloin.
Neliötrinomien kertolasku on yksi niistä koulutehtävistä, jotka jokaisella on ennemmin tai myöhemmin. Kuinka tehdä se? Mikä on neliötrinomin tekijöiden laskemisen kaava? Käydään se läpi vaihe vaiheelta esimerkkien avulla.
Yleinen kaava
Neliötrinomien tekijöihin jako suoritetaan ratkaisemalla toisen asteen yhtälö. Tämä on yksinkertainen tehtävä, joka voidaan ratkaista useilla menetelmillä - etsimällä diskriminantti Vieta-lauseen avulla on myös graafinen tapa ratkaista se. Kaksi ensimmäistä menetelmää opiskellaan lukiossa.
Yleinen kaava näyttää tältä:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Tehtävän suoritusalgoritmi
Neliötrinomien kertomista varten sinun on tunnettava Witin lause, oltava käsillä ratkaisuohjelma, osattava löytää ratkaisu graafisesti tai etsiä toisen asteen yhtälön juuria diskriminanttikaavan kautta. Jos neliötrinomi on annettu ja se on otettava huomioon, toimintojen algoritmi on seuraava:
1) Yhdistä alkuperäinen lauseke nollaan yhtälön saamiseksi.
2) Anna samanlaiset termit (tarvittaessa).
3) Etsi juuret millä tahansa tunnetulla menetelmällä. Graafista menetelmää käytetään parhaiten, jos tiedetään etukäteen, että juuret ovat kokonaislukuja ja pieniä lukuja. On muistettava, että juurien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälön maksimiaste, eli toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.
4) Korvaava arvo X lausekkeeseen (1).
5) Kirjoita neliötrinomien kertoimet muistiin.
Esimerkkejä
Harjoittelu antaa sinun lopulta ymmärtää, kuinka tämä tehtävä suoritetaan. Esimerkit havainnollistavat neliötrinomin kertoimia:
sinun täytyy laajentaa ilmaisua:
Käytämme algoritmiamme:
1) x 2 -17x+32=0
2) samankaltaisia termejä vähennetään
3) Vieta-kaavan mukaan tälle esimerkille on vaikea löytää juuria, joten on parempi käyttää lauseketta diskriminantille:
D = 289-128 = 161 = (12,69) 2
4) Korvaa hajoamisen pääkaavassa löytämämme juuret:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Sitten vastaus on:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)
Tarkastetaan, vastaavatko diskriminantin löytämät ratkaisut Vieta-kaavoja:
14,845 . 2,155=32
Näihin juuriin sovelletaan Vietan lausetta, ne löytyivät oikein, mikä tarkoittaa, että myös saamamme tekijöiden jako on oikea.
Samalla tavalla laajennamme 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
Edellisessä tapauksessa ratkaisut olivat ei-kokonaislukuja, vaan reaalilukuja, jotka on helppo löytää edessä olevalla laskimella. Harkitse nyt monimutkaisempaa esimerkkiä, jossa juuret ovat monimutkaisia: kerro x 2 + 4x + 9. Vieta-kaavan mukaan juuria ei löydy, ja diskriminantti on negatiivinen. Juuret ovat monimutkaisella tasolla.
D = -20
Tämän perusteella saamme juuri meitä kiinnostavat juuret -4 + 2i * 5 1/2 ja -4-2i * 5 1/2, koska (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Halutun laajennuksen saamme korvaamalla juuret yleiseen kaavaan.
Toinen esimerkki: sinun on kerrottava lauseke 23x 2 -14x + 7.
Meillä on yhtälö 23x2 -14x+7 =0
D = -448
Joten juuret ovat 14+21,166i ja 14-21,166i. Vastaus tulee olemaan:
23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Otetaan esimerkki, joka voidaan ratkaista ilman erottimen apua.
Olkoon tarpeen hajottaa toisen asteen yhtälö x 2 -32x + 255. On selvää, että se voidaan ratkaista myös diskriminantilla, mutta tässä tapauksessa on nopeampaa löytää juuret.
x 1 = 15
x2=17
Keinot x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Etsi toisen asteen yhtälön juurten summa ja tulo. Käyttämällä kaavoja (59.8) yllä olevan yhtälön juurille saadaan
(ensimmäinen yhtälö on ilmeinen, toinen saadaan yksinkertaisen laskelman jälkeen, jonka lukija suorittaa itsenäisesti; on kätevää käyttää kaavaa kahden luvun summan kertomiseksi niiden erolla).
Seuraavat
Vietan lause. Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin vastakkaisella etumerkillä, ja niiden tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.
Pelkistymättömän toisen asteen yhtälön tapauksessa tulee korvata kaavan (60.1) lausekkeet kaavoilla (60.1) ja ottaa muoto
Esimerkki 1. Laadi toisen asteen yhtälö sen juurien perusteella:
Ratkaisu, a) Yhtälöllä on muoto
Esimerkki 2. Etsi yhtälön juurien neliösumma ratkaisematta itse yhtälöä.
Ratkaisu. Juurien summa ja tulo tunnetaan. Esitämme neliöjuurten summan muodossa
ja saada
Vietan kaavoista on helppo saada kaava
ilmaisee sääntöä neliötrinomin kertomisesta.
Todellakin kirjoitamme kaavat (60.2) muotoon
Nyt meillä on
joka sinun täytyy saada.
Yllä oleva Vieta-kaavojen johdannainen on lukijalle tuttu lukion algebrakurssilta. Toinen johtaminen voidaan antaa käyttämällä Bezoutin lausetta ja polynomin tekijöitä (§§ 51, 52).
Olkoon yhtälön juuret sitten yleissäännön (52.2) mukaan yhtälön vasemmalla puolella oleva trinomi kertoimella:
Laajentamalla tämän identtisen yhtälön oikealla puolella olevia suluja saadaan
ja vertaamalla kertoimia yhtä suurella potenssilla saamme Vieta-kaavat (60.1).
Tämän johtamisen etuna on, että sitä voidaan soveltaa myös korkeamman asteen yhtälöihin, jotta yhtälön kertoimille saadaan lausekkeita sen juurien perusteella (itsensä juuria löytämättä!). Esimerkiksi jos pelkistetyn kuutioyhtälön juuret
olemus on, että yhtälön (52.2) mukaan löydämme
(meidän tapauksessamme avaamalla sulut tasa-arvon oikealla puolella ja keräämällä kertoimet eri asteilla, saamme
Tällä oppitunnilla opimme hajottamaan neliötrinomit lineaarisiksi tekijöiksi. Tätä varten on muistettava Vietan lause ja sen käänteinen. Tämä taito auttaa meitä hajottamaan neliötrinomit nopeasti ja kätevästi lineaarisiksi tekijöiksi ja myös yksinkertaistamaan lausekkeista koostuvien murtolukujen pelkistämistä.
Joten takaisin toisen asteen yhtälöön, jossa .
Se, mitä meillä on vasemmalla, kutsutaan neliötrinomiksi.
Lause on totta: Jos ovat neliötrinomin juuret, niin identiteetti on tosi
Missä on johtava kerroin, ovat yhtälön juuret.
Joten meillä on neliöyhtälö - neliötrinomi, jossa toisen yhtälön juuria kutsutaan myös toisen asteen trinomin juuriksi. Siksi, jos meillä on neliötrinomin juuret, tämä trinomi jaetaan lineaarisiin tekijöihin.
Todiste:
Tämän tosiasian todistaminen suoritetaan käyttämällä Vieta-lausetta, jota tarkastelimme aiemmilla oppitunneilla.
Muistetaan mitä Vietan lause kertoo meille:
Jos ovat neliön trinomin juuret, joille , Sitten .
Tämä lause sisältää seuraavan väitteen, että .
Näemme, että Vietan lauseen mukaan, eli korvaamalla nämä arvot yllä olevaan kaavaan, saadaan seuraava lauseke
Q.E.D.
Muista, että todistimme lauseen, että jos ovat neliötrinomin juuret, niin hajoaminen on pätevä.
Muistetaan nyt esimerkki toisen asteen yhtälöstä, johon valitsimme juuret Vietan lauseen avulla. Tästä tosiasiasta voimme saada seuraavan yhtäläisyyden todistetun lauseen ansiosta:
Tarkastetaan nyt tämän tosiasian oikeellisuus yksinkertaisesti laajentamalla sulkuja:
Näemme, että olemme kertoneet oikein, ja mikä tahansa trinomi, jos sillä on juuret, voidaan laskea tämän lauseen mukaisesti lineaarisiksi tekijöiksi kaavan mukaan
Tarkastetaan kuitenkin, onko tällainen tekijöiden jakaminen mahdollista jollekin yhtälölle:
Otetaan esimerkiksi yhtälö. Ensin tarkistetaan erottajan merkki
Ja muistamme, että oppimamme lauseen täyttämiseksi D:n on oltava suurempi kuin 0, joten tässä tapauksessa tekijöihin jako tutkitun lauseen mukaan on mahdotonta.
Siksi muotoilemme uuden lauseen: jos neliötrinomilla ei ole juuria, sitä ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin.
Joten, olemme tarkastelleet Vieta-lausetta, mahdollisuutta hajottaa neliötrinomi lineaarisiksi tekijöiksi, ja nyt ratkaisemme useita ongelmia.
Tehtävä 1
Tässä ryhmässä ratkaisemme ongelman päinvastoin kuin esitetty. Meillä oli yhtälö, ja löysimme sen juuret, jotka hajosivat tekijöiksi. Tässä tehdään päinvastoin. Oletetaan, että meillä on toisen asteen yhtälön juuret
Käänteinen ongelma on tämä: kirjoita toisen asteen yhtälö niin, että ne olivat sen juuret.
On 2 tapaa ratkaista tämä ongelma.
Koska ovat siis yhtälön juuret on toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat numeroita. Avataan nyt sulut ja tarkistetaan:
Tämä oli ensimmäinen tapa, jolla loimme annetuilla juurilla toisen asteen yhtälön, jolla ei ole muita juuria, koska millä tahansa toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi juuria.
Tämä menetelmä sisältää käänteisen Vieta-lauseen käytön.
Jos ovat yhtälön juuret, ne täyttävät ehdon, että .
Vähennetylle toisen asteen yhtälölle , , eli tässä tapauksessa , ja .
Näin ollen olemme luoneet toisen asteen yhtälön, jolla on annetut juuret.
Tehtävä #2
Sinun on vähennettävä murto-osaa.
Meillä on trinomi osoittajassa ja trinomi nimittäjässä, ja trinomit voidaan kertoa tai olla kertomatta. Jos sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan, niiden joukossa voi olla yhtä suuria tekijöitä, joita voidaan vähentää.
Ensinnäkin on tarpeen kertoa osoittaja.
Ensin sinun on tarkistettava, voidaanko tämä yhtälö faktoroida, löytää erottaja . Koska , niin etumerkki riippuu tulosta ( täytyy olla pienempi kuin 0), tässä esimerkissä eli annetulla yhtälöllä on juuret.
Ratkaisussa käytämme Vieta-lausetta:
Tässä tapauksessa, koska olemme tekemisissä juurien kanssa, on melko vaikeaa yksinkertaisesti poimia juuria. Mutta näemme, että kertoimet ovat tasapainossa, eli jos oletetaan, että , ja korvataan tämä arvo yhtälöön, niin saadaan seuraava järjestelmä: eli 5-5=0. Näin ollen olemme valinneet yhden tämän toisen asteen yhtälön juurista.
Etsimme toista juuria korvaamalla yhtälöjärjestelmässä jo tunnetun, esim. ts. .
Siten olemme löytäneet toisen asteen yhtälön molemmat juuret ja voimme korvata niiden arvot alkuperäiseen yhtälöön kertoaksemme sen:
Muista alkuperäinen ongelma, meidän piti vähentää murto-osaa.
Yritetään ratkaista ongelma korvaamalla osoittaja .
Ei pidä unohtaa, että tässä tapauksessa nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin 0, ts.
Jos nämä ehdot täyttyvät, olemme vähentäneet alkuperäisen murtoluvun muotoon .
Tehtävä #3 (tehtävä parametrilla)
Millä parametrin arvoilla on toisen asteen yhtälön juurien summa
Jos tämän yhtälön juuret ovat olemassa, niin , kysymys kuuluu milloin.
Neliötrinomi on muotoa ax^2+bx+c oleva polynomi, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitakin lukuja ja a ei ole nolla.
Itse asiassa ensimmäinen asia, joka meidän on tiedettävä, jotta voimme kertoa huonoonnisesta trinomista, on lause. Se näyttää tältä: "Jos x1 ja x2 ovat neliötrinomin ax^2+bx+c juuria, niin ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)". Tietysti tälle lauseelle on myös todiste, mutta se vaatii jonkin verran teoreettista tietoa (jos poistamme tekijän a polynomista ax^2+bx+c, saamme ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Vietten lauseen mukaan x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, joten b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), joten ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Joskus opettajat pakottavat sinut oppimaan todisteen, mutta jos se on ei vaadita, suosittelen muistamaan lopullinen kaava.
2 askelta
Otetaan esimerkkinä trinomi 3x^2-24x+21. Ensimmäinen asia, joka meidän on tehtävä, on rinnastaa trinomi nollaan: 3x^2-24x+21=0. Tuloksena olevan toisen asteen yhtälön juuret ovat vastaavasti trinomin juuret.
3 askelta
Ratkaise yhtälö 3x^2-24x+21=0. a = 3, b = -24, c = 21. Joten, päätetään. Kuka ei tiedä kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä, katso ohjeitani kahdella tapaa ratkaista ne käyttämällä samaa yhtälöä esimerkkinä. Saimme juuret x1=7, x2=1.
4 askelta
Nyt kun meillä on trinomiaaliset juuret, voimme turvallisesti korvata ne kaavalla =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
saamme: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Voit päästä eroon termistä a laittamalla sen sulkeisiin: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
tuloksena saamme: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Huomaa: jokainen saaduista kertoimista ((x-7), (3x-3) on ensimmäisen asteen polynomeja. Siinä koko laajennus =) Jos epäilet saamaasi vastausta, voit aina tarkistaa sen kertomalla hakasulut.
5 askelta
Ratkaisun varmistus. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Nyt tiedämme varmasti, että ratkaisumme on oikea! Toivottavasti ohjeistani on jollekin apua =) Onnea opintoihin!
- Meidän tapauksessamme yhtälössä D > 0 ja saimme kumpikin 2 juuria. Jos se olisi D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Jos neliötrinomilla ei ole juuria, sitä ei voida hajottaa tekijöiksi, jotka ovat ensimmäisen asteen polynomeja.
