Monet jakajat

Harkitse seuraavaa ongelmaa: etsi luvun 140 jakaja. On selvää, että luvulla 140 ei ole yksi jakaja, vaan useita. Tällaisissa tapauksissa tehtävällä sanotaan olevan joukko ratkaisuja. Etsitään ne kaikki. Ensinnäkin jaamme tämän luvun alkutekijöihin:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nyt voimme helposti kirjoittaa kaikki jakajat. Aloitetaan yksinkertaisilla jakajilla, eli niillä, jotka ovat läsnä yllä olevassa laajennuksessa:

Sitten kirjoitetaan ne, jotka saadaan kertomalla alkujakajia pareittain:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Sitten - ne, jotka sisältävät kolme yksinkertaista jakajaa:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Lopuksi älkäämme unohtako yksikköä ja itse hajotettavaa lukua:

Kaikki löytämämme jakajat muodostavat joukko luvun 140 jakajat, joka kirjoitetaan aaltosulkeilla:

Luku 140 = jakajien joukko

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Havaintokyvyn helpottamiseksi olemme kirjoittaneet jakajat tähän ( asettaa elementtejä) nousevassa järjestyksessä, mutta yleisesti ottaen tämä ei ole välttämätöntä. Lisäksi esittelemme lyhenteen. "Luvun 140 jakajajoukon" sijaan kirjoitamme "D (140)". Täten,

Vastaavasti voidaan löytää minkä tahansa muun luonnollisen luvun jakajajoukko. Esimerkiksi hajoamisesta

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

saamme:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Kaikkien jakajien joukosta tulisi erottaa alkujakajien joukko, jotka numeroille 140 ja 105 ovat vastaavasti yhtä suuret:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

On korostettava, että luvun 140 hajotuksessa alkutekijöiksi kaksi on läsnä kahdesti, kun taas joukossa PD(140) se on vain yksi. Joukko PD(140) on pohjimmiltaan kaikki vastaukset ongelmaan: "Etsi luvun 140 alkutekijä". On selvää, että samaa vastausta ei pidä toistaa useammin kuin kerran.

Fraktion vähentäminen. Suurin yhteinen jakaja

Harkitse murto-osaa

Tiedämme, että tätä murtolukua voidaan vähentää luvulla, joka on sekä osoittajan (105) että nimittäjän (140) jakaja. Katsotaanpa joukkoja D(105) ja D(140) ja kirjoitetaan niiden yhteiset alkiot.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Joukkojen D(105) ja D(140) yhteiset alkiot =

Viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa lyhyemmin, nimittäin:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Tässä erityinen kuvake "∩" ("pussi reikä alaspäin") osoittaa vain, että kahdesta sen vastakkaisille puolille kirjoitetusta joukosta tulee valita vain yhteiset elementit. Merkintä "D (105) ∩ D (140)" on " Risteys sarjat Te alkaen 105 ja Te alkaen 140.

[Huomaa matkan varrella, että voit suorittaa erilaisia ​​binääritoimintoja joukoilla, melkein kuin numeroiden kanssa. Toinen yleinen binääritoiminto on liitto, joka ilmaistaan ​​kuvakkeella "∪" ("pussi reikä ylöspäin"). Kahden joukon liitto sisältää kaikki kummankin joukon elementit:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Joten saimme selville, että murto-osa

voidaan vähentää mihin tahansa sarjaan kuuluvista numeroista

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

eikä sitä voi vähentää millään muulla luonnollisella luvulla. Tässä on kaikki mahdolliset tavat vähentää (paitsi epämiellyttävä vähennys yhdellä):

On selvää, että on käytännöllisintä pienentää murtolukua luvulla, jos mahdollista, suuremmalla. Tässä tapauksessa se on numero 35, jonka sanotaan olevan suurin yhteinen jakaja (GCD) numerot 105 ja 140. Tämä kirjoitetaan muodossa

gcd(105, 140) = 35.

Käytännössä kuitenkin, jos meille annetaan kaksi numeroa ja meidän on löydettävä niiden suurin yhteinen jakaja, meidän ei tarvitse rakentaa yhtään joukkoa. Riittää, kun lasket molemmat luvut alkutekijöiksi ja alleviivaat ne tekijöistä, jotka ovat yhteisiä molemmille tekijöille, esimerkiksi:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Kertomalla alleviivatut luvut (missä tahansa laajennuksissa), saamme:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Tietenkin on mahdollista, että alleviivattuja tekijöitä on enemmän kuin kaksi:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Tästä se on selvää

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Erityismaininnan ansaitsee tilanne, kun yhteisiä tekijöitä ei ole ollenkaan eikä ole mitään korostettavaa, esim.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Tässä tapauksessa,

gcd(42, 55) = 1.

Kutsutaan kahta luonnollista lukua, joiden gcd on yhtä suuri kuin yksi koprime. Jos teet murto-osan sellaisista luvuista, esim.

niin tällainen murto-osa on vähentymätön.

Yleisesti ottaen murtolukujen pienentämissääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

		a/ gcd( a, b)
		b/ gcd( a, b)

Tässä oletetaan, että a ja b ovat luonnollisia lukuja ja kaikki murtoluvut ovat positiivisia. Jos nyt annamme miinusmerkin tämän yhtälön molemmille puolille, saamme vastaavan säännön negatiivisille murtoluvuille.

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Vähiten yhteinen kerrannainen

Oletetaan, että haluat laskea kahden murtoluvun summan:

Tiedämme jo kuinka nimittäjät jaetaan alkutekijöiksi:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Tästä hajotuksesta seuraa välittömästi, että murtolukujen saattamiseksi yhteiseen nimittäjään riittää kertomaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 2∙ 2:lla (toisen nimittäjän korostamattomien alkutekijöiden tulo) ja toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 3:lla (ensimmäisen nimittäjän alleviivaamattomat "tulo" -alkutekijät). Tämän seurauksena molempien murtolukujen nimittäjistä tulee yhtä suuria lukuja, jotka voidaan esittää seuraavasti:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

On helppo nähdä, että molemmat alkuperäiset nimittäjät (sekä 105 että 140) ovat luvun 420 jakajia, ja luku 420 puolestaan ​​on molempien nimittäjien kerrannainen - eikä vain kerrannainen, se on vähiten yhteinen kerrannainen (NOC) numerot 105 ja 140. Tämä kirjoitetaan näin:

LCM(105; 140) = 420.

Kun tarkastellaan tarkemmin lukujen 105 ja 140 laajenemista, huomaamme, että

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Samoin mielivaltaisille luonnollisille luvuille b ja d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Tehdään nyt murtolukujemme summaus:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Huomautus. Joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä, mikä luvun neliö on. Numeron neliö a soitti numeroon a kerrottuna itsestään, eli a∙a. (Kuten näet, se on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jossa on sivu a).

Luonnollisten lukujen jaollisuuden merkit.

Kutsutaan lukuja, jotka ovat jaollisia kahdella ilman jäännöstäjopa .

Kutsutaan lukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia kahdellaouto .

2:lla jaollinen merkki

Jos luonnollisen luvun tietue päättyy parilliseen numeroon, tämä luku on jaollinen 2:lla ilman jäännöstä, ja jos luvun tietue päättyy parittomaan numeroon, tämä luku ei ole jaollinen 2:lla ilman jäännöstä.

Esimerkiksi numerot 60 , 30 8 , 8 4 ovat jaollisia ilman jäännöstä 2:lla ja luvut 5:llä1 , 8 5 , 16 7 eivät ole jaollisia kahdella ilman jäännöstä.

3:lla jaollinen merkki

Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin luku on myös jaollinen kolmella; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen kolmella, niin luku ei ole jaollinen kolmella.

Selvitetään esimerkiksi, onko luku 2772825 jaollinen kolmella. Tätä varten laskemme tämän luvun numeroiden summan: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - on jaollinen 3:lla . Joten luku 2772825 on jaollinen kolmella.

Viidellä jaollinen merkki

Jos luonnollisen luvun tietue päättyy numeroon 0 tai 5, niin tämä luku on jaollinen ilman jäännöstä 5:llä. Jos luvun tietue päättyy eri numeroon, niin luku ilman jäännöstä ei ole jaollinen 5:llä.

Esimerkiksi numerot 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ovat jaollisia ilman jäännöstä 5:llä ja luvut 1:llä7 , 37 8 , 9 1 älä jaa.

9:llä jaollinen merkki

Jos luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä, niin luku on myös jaollinen 9:llä; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen 9:llä, niin luku ei ole jaollinen 9:llä.

Selvitetään esimerkiksi, onko luku 5402070 jaollinen 9:llä. Tätä varten laskemme tämän luvun numeroiden summan: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ei ole jaollinen 9. Tämä tarkoittaa, että luku 5402070 ei ole jaollinen 9:llä.

10:llä jaollinen merkki

Jos luonnollisen luvun tietue päättyy numeroon 0, niin tämä luku on jaollinen 10:llä ilman jäännöstä. Jos luonnollisen luvun tietue päättyy toiseen numeroon, se ei ole jaollinen 10:llä ilman jäännöstä.

Esimerkiksi numerot 40 , 17 0 , 1409 0 ovat jaollisia ilman jäännöstä 10:llä ja luvut 1:llä7 , 9 3 , 1430 7 - älä jaa.

Sääntö suurimman yhteisen jakajan (gcd) löytämiseksi.

Jotta voit löytää useiden luonnollisten lukujen suurimman yhteisen jakajan, sinun on:

2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;

3) etsi muiden tekijöiden tulo.

Esimerkki. Etsitään GCD (48;36). Käytetään sääntöä.

1. Jaamme luvut 48 ja 36 alkutekijöiksi.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Luvun 48 laajennuksen sisältämistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly luvun 36 laajennukseen.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

On tekijät 2, 2 ja 3.

3. Kerro loput kertoimet ja saa 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Sääntö pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytämiseksi.

Jotta voit löytää useiden luonnollisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen, sinun on:

1) hajottaa ne alkutekijöiksi;

2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;

3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;

4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Esimerkki. Etsitään LCM (75;60). Käytetään sääntöä.

1. Jaamme luvut 75 ja 60 alkutekijöiksi.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Kirjoita muistiin luvun 75 laajennukseen sisältyvät tekijät: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Lisää niihin puuttuvat tekijät luvun 60 hajotuksesta, ts. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Etsi saatujen tekijöiden tulo

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Ratkaistaan ​​ongelma. Meillä on kahdenlaisia ​​evästeitä. Jotkut ovat suklaata ja jotkut ovat tavallisia. Suklaapaloja on 48 ja yksinkertaisia ​​36. Näistä keksistä tulee tehdä mahdollisimman paljon lahjoja ja ne kaikki tulee käyttää.

Ensin kirjoitetaan kaikki näiden kahden luvun jakajat, koska molempien lukujen on oltava jaollisia lahjojen lukumäärällä.

Saamme

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Etsitään jakajista ne yhteiset, jotka ovat sekä ensimmäisellä että toisella luvulla.

Yhteiset jakajat ovat: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Suurin yhteinen jakaja kaikista on 12. Tätä lukua kutsutaan lukujen 36 ja 48 suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.

Tuloksen perusteella voimme päätellä, että kaikista evästeistä voidaan tehdä 12 lahjaa. Yksi tällainen lahja sisältää 4 suklaakeksiä ja 3 tavallista keksiä.

Suurimman yhteisen jakajan löytäminen

• Suurinta luonnollista lukua, jolla kaksi lukua a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä, kutsutaan näiden lukujen suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.

Joskus lyhennettä GCD käytetään merkinnän lyhentämiseen.

Joidenkin lukuparien suurin yhteinen jakaja on yksi. Tällaisia ​​numeroita kutsutaan koprimilukuja. Esimerkiksi numerot 24 ja 35. Onko GCD =1.

Kuinka löytää suurin yhteinen jakaja

Suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen jakajia.

Voit tehdä toisin. Kerro ensin molemmat luvut alkutekijöiksi.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nyt ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan kaikki ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen. Meidän tapauksessamme nämä ovat kaksi kakkosta.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Jäljelle jäävät tekijät 2, 2 ja 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja.

Tämä sääntö voidaan laajentaa koskemaan kolmea, neljää ja niin edelleen. numeroita.

Yleinen kaavio suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi

• 1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
• 2. Yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen.
• 3. Laske jäljellä olevien tekijöiden tulo.

Jotta voit oppia löytämään kahden tai useamman luvun suurimman yhteisen jakajan, sinun on ymmärrettävä, mitä luonnolliset, alkuluvut ja kompleksiluvut ovat.

Luonnollinen luku on mikä tahansa luku, jota käytetään kokonaislukujen laskemiseen.

Jos luonnollinen luku voidaan jakaa vain itsellään ja yhdellä, sitä kutsutaan alkuluvuksi.

Kaikki luonnolliset luvut voidaan jakaa itsellään ja yhdellä, mutta ainoa parillinen alkuluku on 2, kaikki muut alkuluvut voidaan jakaa kahdella. Siksi vain parittomat luvut voivat olla alkulukuja.

Alkulukuja on paljon, niistä ei ole täydellistä luetteloa. GCD:n löytämiseksi on kätevää käyttää erityisiä taulukoita tällaisilla numeroilla.

Useimmat luonnolliset luvut voidaan jakaa ei vain yhdellä, vaan myös muilla luvuilla. Joten esimerkiksi luku 15 voidaan jakaa 3:lla ja 5:llä. Kaikkia niitä kutsutaan luvun 15 jakajiksi.

Siten minkä tahansa A:n jakaja on luku, jolla se voidaan jakaa ilman jäännöstä. Jos luvulla on enemmän kuin kaksi luonnollista jakajaa, sitä kutsutaan yhdistelmäksi.

Numerolla 30 on jakajia kuten 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Voit nähdä, että luvuilla 15 ja 30 on samat jakajat 1, 3, 5, 15. Näiden kahden luvun suurin yhteinen jakaja on 15.

Näin ollen lukujen A ja B yhteinen jakaja on luku, jolla voit jakaa ne kokonaan. Maksimi voidaan katsoa enimmäismääräksi, jolla ne voidaan jakaa.

Ongelmien ratkaisemiseksi käytetään seuraavaa lyhennettyä merkintää:

GCD (A; B).

Esimerkiksi GCD (15; 30) = 30.

Luonnollisen luvun kaikkien jakajien kirjoittamiseen käytetään merkintää:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Tässä esimerkissä luonnollisilla luvuilla on vain yksi yhteinen jakaja. Niitä kutsutaan vastaavasti koprimeiksi, yksikkö on niiden suurin yhteinen jakaja.

Kuinka löytää lukujen suurin yhteinen jakaja

Useiden numeroiden GCD:n löytämiseksi tarvitset:

Etsi jokaisen luonnollisen luvun kaikki jakajat erikseen, eli jaa ne tekijöiksi (alkuluvuiksi);

Valitse kaikki samat tekijät annetuille numeroille;

Kerro ne yhteen.

Esimerkiksi lukujen 30 ja 56 suurimman yhteisen jakajan laskemiseksi kirjoitat seuraavaa:

Jotta et joutuisi sekaannukseen , on kätevää kirjoittaa kertoimet pystysarakkeilla. Viivan vasemmalle puolelle sinun on asetettava osinko ja oikealle - jakaja. Osingon alle tulee ilmoittaa tuloksena oleva osamäärä.

Oikeassa sarakkeessa on siis kaikki ratkaisuun tarvittavat tekijät.

Identtiset jakajat (löytyneet tekijät) voidaan alleviivata mukavuuden vuoksi. Ne tulee kirjoittaa uudelleen ja kertoa ja suurin yhteinen jakaja kirjoittaa ylös.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

On todella helppoa löytää lukujen suurin yhteinen jakaja. Pienellä harjoittelulla voit tehdä sen lähes automaattisesti.

Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja nämä numerot. Merkitse GCD(a, b).

Harkitse GCD:n löytämistä kahden luonnollisen luvun 18 ja 60 esimerkin avulla:

1 Jaetaan luvut alkutekijöiksi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Poista ensimmäisen luvun laajennuksesta kaikki tekijät, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen, saamme 2×3×3 .

3 Kerrotaan loput alkutekijät yliviivauksen jälkeen ja saadaan lukujen suurin yhteinen jakaja: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Huomaa, että sillä ei ole väliä, että ensimmäisestä tai toisesta numerosta ylitämme tekijät, tulos on sama:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 ja 432

Jaetaan luvut alkutekijöiksi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Poista ensimmäisestä numerosta, jonka tekijät eivät ole toisessa ja kolmannessa numerossa, saamme:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD( 324 , 111 , 432 )=3

GCD:n etsiminen Euklidesin algoritmilla

Toinen tapa löytää suurin yhteinen jakaja käyttämällä Eukleideen algoritmi. Euklidesin algoritmi on tehokkain tapa löytää GCD, sen avulla sinun on jatkuvasti löydettävä loput numerojaosta ja käytettävä sitä toistuva kaava.

Toistuva kaava GCD:lle, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), jossa a mod b on jakojäännös a:lla b:llä.

Eukleideen algoritmi

Esimerkki: Etsi numeroiden suurin yhteinen jakaja 7920 ja 594

Etsitään GCD( 7920 , 594 ) Euclid-algoritmin avulla laskemme jaon loppuosan laskimen avulla.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Tuloksena saamme GCD( 7920 , 594 ) = 198

Vähiten yhteinen kerrannainen

Löytääksesi yhteisen nimittäjän, kun lisäät ja vähennät murtolukuja eri nimittäjillä, sinun on tiedettävä ja osattava laskea vähiten yhteinen kerrannainen(NOC).

Luvun "a" kerrannainen on luku, joka itse on jaollinen luvulla "a" ilman jäännöstä.

Numerot, jotka ovat 8:n kerrannaisia ​​(eli nämä luvut jaetaan 8:lla ilman jäännöstä): nämä ovat luvut 16, 24, 32 ...

9:n kerrannaiset: 18, 27, 36, 45…

Tietyllä luvulla a on äärettömän monta kertaa, toisin kuin saman luvun jakajat. Jakajat - äärellinen luku.

Kahden luonnollisen luvun yhteinen kerrannainen on luku, joka on tasan jaollinen molemmilla näillä luvuilla..

Vähiten yhteinen kerrannainen Kahden tai useamman luonnollisen luvun (LCM) on pienin luonnollinen luku, joka on itse jaollinen kullakin näistä luvuista.

Kuinka löytää NOC

LCM voidaan löytää ja kirjoittaa kahdella tavalla.

Ensimmäinen tapa löytää LCM

Tätä menetelmää käytetään yleensä pienille määrille.

1. Kirjoitamme jokaisen numeron kerrannaiset riville, kunnes on kerrannainen, joka on sama molemmille numeroille.
2. Numeron "a" kerrannainen on merkitty isolla kirjaimella "K".

Esimerkki. Etsi LCM 6 ja 8.

Toinen tapa löytää LCM

Tätä menetelmää on kätevä käyttää kolmen tai useamman numeron LCM:n etsimiseen.

Identtisten tekijöiden lukumäärä lukujen laajennuksissa voi olla erilainen.

Pienemmän luvun (pienemmät luvut) laajennuksessa alleviivaa tekijät, jotka eivät sisältyneet suuremman luvun laajennukseen (esimerkissämme se on 2) ja lisää nämä tekijät suuremman luvun laajennukseen.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Kirjaa tuloksena oleva työ vastaukseksi.
Vastaus: LCM (24, 60) = 120

Voit myös formalisoida pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämisen seuraavasti. Etsitään LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kuten voimme nähdä lukujen laajennuksesta, kaikki 12:n tekijät sisältyvät luvun 24 laajennukseen (suurin luvuista), joten lisäämme LCM:ään vain yhden 2:n luvun 16 laajennuksesta.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Vastaus: LCM (12, 16, 24) = 48

Erityistapaukset NOC:iden löytämiseksi

Jos yksi luvuista on tasan jaollinen toisilla, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tämä luku.

Esimerkiksi LCM(60, 15) = 60
Koska koprime-luvuilla ei ole yhteisiä alkujakajia, niiden pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Sivustollamme voit myös käyttää erityistä laskinta löytääksesi vähiten yleisimmän kerran verkosta ja tarkistaaksesi laskelmasi.

Jos luonnollinen luku on jaollinen vain 1:llä ja itsellään, sitä kutsutaan alkuluvuksi.

Mikä tahansa luonnollinen luku on aina jaollinen 1:llä ja itsellään.

Luku 2 on pienin alkuluku. Tämä on ainoa parillinen alkuluku, loput alkuluvut ovat parittomia.

Alkulukuja on monia, ja ensimmäinen niistä on luku 2. Viimeistä alkulukua ei kuitenkaan ole. "Opiskelua varten" -osiossa voit ladata alkulukutaulukon aina 997 asti.

Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

• luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;
• 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

Lukuja, joilla luku on tasan jaollinen (12:lle nämä ovat 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan luvun jakajiksi.

Luonnollisen luvun a jakaja on sellainen luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun "a" ilman jäännöstä.

Luonnollista lukua, jossa on enemmän kuin kaksi tekijää, kutsutaan yhdistelmäluvuksi.

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat numeroita: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12.

Kahden annetun luvun "a" ja "b" yhteinen jakaja on luku, jolla molemmat annetut luvut "a" ja "b" jaetaan ilman jäännöstä.

Suurin yhteinen jakaja(GCD) kahdesta annetusta luvusta "a" ja "b" on suurin luku, jolla molemmat luvut "a" ja "b" ovat jaollisia ilman jäännöstä.

Lyhyesti sanottuna lukujen "a" ja "b" suurin yhteinen jakaja kirjoitetaan seuraavasti:

Esimerkki: gcd (12; 36) = 12 .

Ratkaisutietueen lukujen jakajat on merkitty isolla kirjaimella "D".

Numeroilla 7 ja 9 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia ​​numeroita kutsutaan koprimilukuja.

Koprime-luvut ovat luonnollisia lukuja, joilla on vain yksi yhteinen jakaja - luku 1. Niiden GCD on 1.

Kuinka löytää suurin yhteinen jakaja

Kahden tai useamman luonnollisen luvun gcd:n löytämiseksi tarvitset:

• hajottaa lukujen jakajat alkutekijöiksi;

Laskelmat kirjoitetaan kätevästi pystypalkilla. Kirjoita rivin vasemmalle puolelle ensin osinko, oikealle - jakaja. Edelleen vasemmassa sarakkeessa kirjoitamme ylös yksityisen arvot.

Selitetäänpä heti esimerkillä. Otetaan luvut 28 ja 64 alkutekijöiksi.

Alleviivaa samat alkutekijät molemmissa luvuissa.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Etsimme identtisten alkutekijöiden tulon ja kirjoitamme vastauksen muistiin;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Vastaus: GCD (28; 64) = 4

Voit järjestää GCD:n sijainnin kahdella tavalla: sarakkeessa (kuten yllä) tai "riville".

Ensimmäinen tapa kirjoittaa GCD

Etsi GCD 48 ja 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Toinen tapa kirjoittaa GCD

Nyt kirjoitetaan GCD-hakuratkaisu riville. Etsi GCD 10 ja 15.

Tietosivultamme löydät myös suurimman yhteisen jakajan verkosta käyttämällä apuohjelmaa laskelmien tarkistamiseen.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen löytäminen, menetelmät, esimerkit LCM:n löytämisestä.

Alla esitetty materiaali on loogista jatkoa teorialle artikkelista otsikon LCM - Vähiten yleinen moninkertainen, määritelmä, esimerkit, LCM:n ja GCD:n välinen suhde. Täällä puhutaan pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen, ja kiinnitä erityistä huomiota esimerkkien ratkaisemiseen. Osoitetaan ensin, kuinka kahden luvun LCM lasketaan näiden numeroiden GCD:nä. Harkitse seuraavaksi pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämistä laskemalla luvut alkutekijöiksi. Sen jälkeen keskitymme kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseen ja kiinnitämme huomiota myös negatiivisten lukujen LCM:n laskemiseen.

Sivulla navigointi.

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Yksi tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu LCM:n ja GCD:n väliseen suhteeseen. LCM:n ja GCD:n välinen suhde mahdollistaa kahden positiivisen kokonaisluvun pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisen tunnetun suurimman yhteisen jakajan kautta. Vastaavalla kaavalla on muoto LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Harkitse esimerkkejä LCM:n löytämisestä yllä olevan kaavan mukaan.

Etsi kahdesta luvusta 126 ja 70 pienin yhteinen kerrannainen.

Tässä esimerkissä a=126 , b=70 . Käytetään LCM:n linkkiä GCD:hen, joka ilmaistaan ​​kaavalla LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Eli ensin on löydettävä lukujen 70 ja 126 suurin yhteinen jakaja, jonka jälkeen voidaan laskea näiden lukujen LCM kirjoitetun kaavan mukaan.

Etsi gcd(126, 70) käyttämällä Euklidin algoritmia: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , joten gcd(126, 70)=14 .

Nyt löydämme vaaditun pienimmän yhteiskerran: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Mikä on LCM(68, 34)?

Koska 68 on tasan jaollinen luvulla 34 , niin gcd(68, 34)=34 . Nyt lasketaan pienin yhteinen kerrannainen: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Huomaa, että edellinen esimerkki sopii seuraavaan sääntöön LCM:n löytämiseksi positiivisille kokonaisluvuille a ja b: jos luku a on jaollinen b:llä, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on a .

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi

Toinen tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu lukujen laskemiseen alkutekijöiksi. Jos teemme näiden lukujen kaikkien alkutekijöiden tulon, jonka jälkeen jätämme tästä tulosta pois kaikki yleiset alkutekijät, jotka esiintyvät näiden lukujen laajennuksissa, niin tuloksena oleva tulo on yhtä suuri kuin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ilmoitettu sääntö LCM:n löytämiseksi seuraa yhtälöstä LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Todellakin, lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksiin osallistuvien tekijöiden tulo. Gcd(a, b) on puolestaan ​​yhtä kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo (joka on kuvattu osiossa gcd:n löytäminen käyttämällä lukujen alkutekijöitä jakamista ).

Otetaan esimerkki. Kerro meille, että 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Laske näiden laajennusten kaikkien tekijöiden tulo: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyt jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat läsnä sekä luvun 75 laajennuksessa että luvun 210 laajennuksessa (sellaiset tekijät ovat 3 ja 5), ​​jolloin tuote saa muotoa 2 3 5 5 7 . Tämän tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen 75 ja 210 pienin yhteinen kerrannainen, eli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Kun olet laskenut luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi, etsi näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Jaetaan luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi:

Saamme 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Tehdään nyt tulo kaikista tekijöistä, jotka vaikuttavat näiden lukujen laajentumiseen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat samanaikaisesti läsnä molemmissa laajennuksissa (tällaista tekijää on vain yksi - tämä on luku 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Joten LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .

LCM(441; 700) = 44 100.

Sääntö LCM:n löytämiseksi käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi voidaan muotoilla hieman eri tavalla. Jos luvun b laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään luvun a laajennuksen tekijöihin, niin tuloksena olevan tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen.

Otetaan esimerkiksi kaikki samat luvut 75 ja 210, niiden laajennukset alkutekijöiksi ovat seuraavat: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Tekijöihin 3, 5 ja 5 luvun 75 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 7 luvun 210 laajennuksesta, saadaan tulo 2 3 5 5 7 , jonka arvo on LCM(75 , 210) .

Etsi lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Ensin saadaan lukujen 84 ja 648 hajotus alkutekijöiksi. Ne näyttävät tältä 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Tekijöihin 2 , 2 , 3 ja 7 luvun 84 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja 3 luvun 648 laajennuksesta , saadaan tulo 2 2 2 3 3 3 3 7 , joka on yhtä suuri kuin 4 536 . Siten lukujen 84 ja 648 haluttu pienin yhteinen kerrannainen on 4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää etsimällä peräkkäin kahden luvun LCM. Muista vastaava lause, joka antaa tavan löytää kolmen tai useamman luvun LCM.

Olkoon positiiviset kokonaisluvut a 1 , a 2 , …, a k, näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen m k löytyy peräkkäisestä laskelmasta m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

Harkitse tämän lauseen soveltamista esimerkissä, jossa löydetään neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi neljän luvun 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Ensin löydämme m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Tätä varten määritämme euklidisen algoritmin avulla gcd(140, 9) , meillä on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , joten gcd( 140, 9) = 1, josta LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Eli m 2 = 1 260 .

Nyt löydämme m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) . Lasketaan se gcd(1 260, 54) :n avulla, joka myös määräytyy Euklidisen algoritmin avulla: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sitten gcd(1 260, 54) = 18, josta LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. Eli m 3 \u003d 3 780.

Jäljelle jää löytää m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Tätä varten löydämme GCD(3 780, 250) käyttämällä Euklidin algoritmia: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Siksi gcd(3 780, 250) = 10, joten LCM(3 780, 250) = 3 780 250:gcd(3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500. Eli m 4 \u003d 94 500.

Joten alkuperäisen neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen on 94 500.

LCM(140; 9; 54; 250) = 94500.

Monissa tapauksissa kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen löydetään kätevästi käyttämällä annettujen lukujen alkutekijöitä. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä. Usean luvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tulo, joka muodostuu seuraavasti: toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään kaikkiin ensimmäisen luvun laajennuksesta peräisin oleviin tekijöihin, puuttuvat tekijät ensimmäisen luvun laajennuksesta. kolmas luku lisätään saatuihin tekijöihin ja niin edelleen.

Harkitse esimerkkiä pienimmän yhteiskerran löytämisestä käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi.

Etsi viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 pienin yhteinen kerrannainen.

Ensin saadaan näiden lukujen hajotukset alkutekijöiksi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 on alkuluku, se osuu yhteen sen hajoamisen kanssa alkutekijöiksi) ja 143=11 13 .

Löytääksesi näiden lukujen LCM, ensimmäisen luvun 84 tekijöihin (ne ovat 2 , 2 , 3 ja 7) sinun on lisättävä puuttuvat tekijät toisen luvun 6 laajennuksesta. Luvun 6 laajennus ei sisällä puuttuvia tekijöitä, koska ensimmäisen luvun 84 laajennuksessa ovat jo mukana sekä 2 että 3 . Lisätään tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 puuttuvat tekijät 2 ja 2 kolmannen luvun 48 laajennuksesta, saadaan joukko kertoimia 2, 2, 2, 2, 3 ja 7. Tähän joukkoon ei tarvitse lisätä tekijöitä seuraavassa vaiheessa, koska se sisältää jo 7. Lopuksi tekijöihin 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 11 ja 13 luvun 143 laajennuksesta. Saamme tuotteen 2 2 2 2 3 7 11 13, joka on yhtä suuri kuin 48 048.

Siksi LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48048.

Vähiten yhteisen negatiivisten lukujen löytäminen

Joskus on tehtäviä, joissa sinun on löydettävä lukujen pienin yhteinen kerrannainen, joista yksi, useita tai kaikki luvut ovat negatiivisia. Näissä tapauksissa kaikki negatiiviset luvut on korvattava niiden vastakkaisilla luvuilla, minkä jälkeen tulee löytää positiivisten lukujen LCM. Tämä on tapa löytää negatiivisten lukujen LCM. Esimerkiksi LCM(54, -34)=LCM(54, 34) ja LCM(-622, -46, -54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Voimme tehdä tämän, koska a:n kerrannaisten joukko on sama kuin −a:n kerrannaisten joukko (a ja −a ovat vastakkaisia ​​lukuja). Todellakin, olkoon b jokin a:n kerrannainen, silloin b on jaollinen a:lla, ja jaollisuuden käsite väittää sellaisen kokonaisluvun q olemassaolon, että b=a q . Mutta yhtälö b=(−a)·(−q) on myös totta, mikä saman jaollisuuskäsitteen nojalla tarkoittaa, että b on jaollinen −a:lla, eli b on −a:n kerrannainen. Myös käänteinen väite on totta: jos b on jokin −a:n kerrannainen, niin b on myös a:n kerrannainen.

Etsi negatiivisten lukujen −145 ja −45 pienin yhteinen kerrannainen.

Korvataan negatiiviset luvut −145 ja −45 niiden vastakkaisilla luvuilla 145 ja 45 . Meillä on LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Kun olet määrittänyt gcd(145, 45)=5 (esimerkiksi Euclid-algoritmia käyttämällä), laskemme LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Siten negatiivisten kokonaislukujen −145 ja −45 pienin yhteinen kerrannainen on 1,305 .

www.cleverstudents.ru

Jatkamme divisioonan opiskelua. Tällä oppitunnilla tarkastelemme käsitteitä, kuten GCD ja NOC.

GCD on suurin yhteinen jakaja.

NOC on pienin yhteinen kerrannainen.

Aihe on melko tylsä, mutta se on ymmärrettävä. Ilman tämän aiheen ymmärtämistä et pysty työskentelemään tehokkaasti murtolukujen kanssa, jotka ovat todellinen este matematiikassa.

Suurin yhteinen jakaja

Määritelmä. Suurin yhteinen numeroiden jakaja a ja b a ja b jaettu ilman jäännöstä.

Ymmärtääksemme tämän määritelmän hyvin, korvaamme muuttujien sijaan a ja b mikä tahansa kaksi numeroa esimerkiksi muuttujan sijaan a korvaa luku 12 ja muuttujan sijaan b numero 9. Yritetään nyt lukea tämä määritelmä:

Suurin yhteinen numeroiden jakaja 12 ja 9 on suurin luku, jolla 12 ja 9 jaettu ilman jäännöstä.

Määritelmästä käy selvästi ilmi, että puhumme numeroiden 12 ja 9 yhteisestä jakajasta, ja tämä jakaja on suurin kaikista olemassa olevista jakajista. Tämä suurin yhteinen jakaja (gcd) on löydettävä.

Kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi käytetään kolmea menetelmää. Ensimmäinen menetelmä on melko aikaa vievä, mutta sen avulla voit ymmärtää aiheen olemuksen hyvin ja tuntea sen koko merkityksen.

Toinen ja kolmas menetelmä ovat melko yksinkertaisia ​​ja mahdollistavat GCD:n nopean löytämisen. Harkitsemme kaikkia kolmea menetelmää. Ja mitä soveltaa käytännössä - sinä valitset.

Ensimmäinen tapa on löytää kaikki mahdolliset kahden luvun jakajat ja valita niistä suurin. Tarkastellaan tätä menetelmää seuraavassa esimerkissä: Etsi lukujen 12 ja 9 suurin yhteinen jakaja.

Ensin etsitään kaikki mahdolliset luvun 12 jakajat. Tätä varten jaamme 12 kaikkiin jakajiin välillä 1-12. Jos jakaja antaa meille mahdollisuuden jakaa 12 ilman jäännöstä, korostamme sen sinisellä ja tee sopiva selitys suluissa.

12: 1 = 12
(12 jaettuna 1:llä ilman jäännöstä, joten 1 on luvun 12 jakaja)

12: 2 = 6
(12 jaettuna 2:lla ilman jäännöstä, joten 2 on luvun 12 jakaja)

12: 3 = 4
(12 jaettuna 3:lla ilman jäännöstä, joten 3 on luvun 12 jakaja)

12: 4 = 3
(12 jaettuna 4:llä ilman jäännöstä, joten 4 on luvun 12 jakaja)

12:5 = 2 (2 jäljellä)
(12:ta ei jaeta viidellä ilman jäännöstä, joten 5 ei ole luvun 12 jakaja)

12: 6 = 2
(12 jaettuna 6:lla ilman jäännöstä, joten 6 on luvun 12 jakaja)

12: 7 = 1 (5 jäljellä)
(12:ta ei jaeta 7:llä ilman jäännöstä, joten 7 ei ole luvun 12 jakaja)

12: 8 = 1 (4 jäljellä)
(12:ta ei jaeta 8:lla ilman jäännöstä, joten 8 ei ole luvun 12 jakaja)

12:9 = 1 (3 jäljellä)
(12:ta ei jaeta 9:llä ilman jäännöstä, joten 9 ei ole luvun 12 jakaja)

12: 10 = 1 (2 jäljellä)
(12:ta ei jaeta 10:llä ilman jäännöstä, joten 10 ei ole luvun 12 jakaja)

12:11 = 1 (1 jäljellä)
(12:ta ei jaeta luvulla 11 ilman jäännöstä, joten 11 ei ole luvun 12 jakaja)

12: 12 = 1
(12 jaettuna 12:lla ilman jäännöstä, joten 12 on luvun 12 jakaja)

Etsitään nyt luvun 9 jakajat. Voit tehdä tämän tarkistamalla kaikki jakajat välillä 1 - 9

9: 1 = 9
(9 jaettuna 1:llä ilman jäännöstä, joten 1 on luvun 9 jakaja)

9: 2 = 4 (1 jäljellä)
(9 ei ole jaettu kahdella ilman jäännöstä, joten 2 ei ole 9:n jakaja)

9: 3 = 3
(9 jaettuna 3:lla ilman jäännöstä, joten 3 on 9:n jakaja)

9: 4 = 2 (1 jäljellä)
(9 ei ole jaettu 4:llä ilman jäännöstä, joten 4 ei ole 9:n jakaja)

9:5 = 1 (4 jäljellä)
(9 ei ole jaettu viidellä ilman jäännöstä, joten 5 ei ole 9:n jakaja)

9: 6 = 1 (3 jäljellä)
(9 ei jakanut 6:lla ilman jäännöstä, joten 6 ei ole 9:n jakaja)

9:7 = 1 (2 jäljellä)
(9 ei ole jaettu luvulla 7 ilman jäännöstä, joten 7 ei ole 9:n jakaja)

9:8 = 1 (1 jäljellä)
(9 ei ole jaettu luvulla 8 ilman jäännöstä, joten 8 ei ole 9:n jakaja)

9: 9 = 1
(9 jaettuna 9:llä ilman jäännöstä, joten 9 on luvun 9 jakaja)

Kirjoita nyt molempien lukujen jakajat. Sinisellä korostetut numerot ovat jakajia. Kirjoitetaan ne ulos:

Kun olet kirjoittanut jakajat, voit heti määrittää, mikä niistä on suurin ja yleisin.

Määritelmän mukaan lukujen 12 ja 9 suurin yhteinen jakaja on luku, jolla 12 ja 9 ovat tasan jaollisia. Suurin ja yhteinen lukujen 12 ja 9 jakaja on luku 3

Sekä luku 12 että numero 9 ovat jaollisia kolmella ilman jäännöstä:

Joten gcd (12 ja 9) = 3

Toinen tapa löytää GCD

Harkitse nyt toista tapaa löytää suurin yhteinen jakaja. Tämän menetelmän ydin on hajottaa molemmat luvut alkutekijöiksi ja kertoa yhteiset luvut.

Esimerkki 1. Etsi GCD numeroista 24 ja 18

Laitetaan ensin molemmat luvut alkutekijöiksi:

Nyt kerromme niiden yhteiset tekijät. Yhteisiä tekijöitä voidaan alleviivata, jotta se ei menisi hämmentymään.

Tarkastellaan luvun 24 hajotusta. Sen ensimmäinen tekijä on 2. Etsimme samaa tekijää luvun 18 hajottelusta ja näemme, että se on myös siellä. Korostamme molemmat:

Jälleen tarkastellaan luvun 24 hajotusta. Sen toinen tekijä on myös 2. Etsimme samaa tekijää luvun 18 hajotuksesta ja näemme, että se ei ole siellä toista kertaa. Silloin emme korosta mitään.

Numeron 24 laajennuksen kaksi seuraavaa puuttuu myös luvun 18 laajennuksesta.

Siirrymme viimeiseen tekijään luvun 24 hajotuksessa. Tämä on tekijä 3. Etsimme samaa tekijää luvun 18 hajotuksessa ja näemme, että se on myös siellä. Korostamme molempia kolmea:

Joten lukujen 24 ja 18 yhteiset tekijät ovat tekijät 2 ja 3. GCD:n saamiseksi nämä tekijät on kerrottava:

Joten gcd (24 ja 18) = 6

Kolmas tapa löytää GCD

Harkitse nyt kolmatta tapaa löytää suurin yhteinen jakaja. Tämän menetelmän ydin on siinä, että suurimman yhteisen jakajan etsittävät luvut jaetaan alkutekijöiksi. Sitten ensimmäisen luvun hajotuksesta poistetaan tekijät, jotka eivät sisälly toisen luvun hajotukseen. Ensimmäisen laajennuksen loput luvut kerrotaan ja saavat GCD:n.

Etsitään esimerkiksi GCD numeroille 28 ja 16 tällä tavalla. Ensinnäkin jaamme nämä luvut alkutekijöiksi:

Meillä on kaksi laajennusta: ja

Nyt poistamme ensimmäisen luvun laajennuksesta tekijät, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen. Toisen numeron laajennus ei sisällä seitsemää. Poistamme sen ensimmäisestä laajennuksesta:

Nyt kerrotaan loput tekijät ja saadaan GCD:

Luku 4 on lukujen 28 ja 16 suurin yhteinen jakaja. Molemmat luvut ovat jaollisia 4:llä ilman jäännöstä:

Esimerkki 2 Etsi GCD numeroista 100 ja 40

Lasketaan luku 100

Lasketaan luku 40

Meillä on kaksi laajennusta:

Nyt poistamme ensimmäisen luvun laajennuksesta tekijät, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen. Toisen numeron laajennus ei sisällä yhtä viitestä (on vain yksi viisi). Poistamme sen ensimmäisestä hajotuksesta

Kerro loput luvut:

Saimme vastauksen 20. Luku 20 on siis lukujen 100 ja 40 suurin yhteinen jakaja. Nämä kaksi lukua ovat jaollisia 20:llä ilman jäännöstä:

GCD (100 ja 40) = 20.

Esimerkki 3 Etsi lukujen 72 ja 128 gcd

Lasketaan luku 72

Lasketaan luku 128

2×2×2×2×2×2×2

Nyt poistamme ensimmäisen luvun laajennuksesta tekijät, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen. Toisen luvun laajennus ei sisällä kahta triplettiä (ei ole ollenkaan). Poistamme ne ensimmäisestä laajennuksesta:

Saimme vastauksen 8. Luku 8 on siis lukujen 72 ja 128 suurin yhteinen jakaja. Nämä kaksi lukua ovat jaollisia 8:lla ilman jäännöstä:

GCD (72 ja 128) = 8

GCD:n etsiminen useille numeroille

Suurin yhteinen jakaja löytyy useille luvuille, ei vain kahdelle. Tätä varten suurimman yhteisen jakajan etsittävät luvut jaetaan alkutekijöiksi, jolloin löydetään näiden lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo.

Etsitään esimerkiksi GCD numeroille 18, 24 ja 36

Lasketaan numero 18

Lasketaan numero 24

Lasketaan numero 36

Saimme kolme laajennusta:

Nyt valitsemme ja alleviivaamme näiden numeroiden yhteiset tekijät. Yhteiset tekijät on sisällytettävä kaikkiin kolmeen numeroon:

Näemme, että yhteiset tekijät numeroille 18, 24 ja 36 ovat tekijät 2 ja 3. Kerromalla nämä tekijät saadaan etsimämme GCD:

Saimme vastauksen 6. Luku 6 on siis lukujen 18, 24 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Nämä kolme lukua ovat jaollisia 6:lla ilman jäännöstä:

GCD (18, 24 ja 36) = 6

Esimerkki 2 Etsi gcd numeroille 12, 24, 36 ja 42

Lasketaan jokainen luku kertoimella. Sitten löydämme näiden lukujen yhteisten tekijöiden tulon.

Lasketaan numero 12

Lasketaan numero 42

Meillä on neljä laajennusta:

Nyt valitsemme ja alleviivaamme näiden numeroiden yhteiset tekijät. Yhteiset tekijät on sisällytettävä kaikkiin neljään numeroon:

Näemme, että yhteiset tekijät luvuille 12, 24, 36 ja 42 ovat tekijät 2 ja 3. Kerromalla nämä tekijät saadaan etsimämme GCD:

Saimme vastauksen 6. Luku 6 on siis lukujen 12, 24, 36 ja 42 suurin yhteinen jakaja. Nämä luvut ovat jaollisia 6:lla ilman jäännöstä:

gcd(12, 24, 36 ja 42) = 6

Edellisestä oppitunnista tiedämme, että jos jokin luku jaetaan toisella ilman jäännöstä, sitä kutsutaan tämän luvun kerrannaiseksi.

Osoittautuu, että kerrannainen voi olla yhteinen useille luvuille. Ja nyt olemme kiinnostuneita kahden luvun kerrannaisesta, vaikka sen tulisi olla mahdollisimman pieni.

Määritelmä. Lukujen vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). a ja b- a ja b a ja numero b.

Määritelmä sisältää kaksi muuttujaa a ja b. Korvataan nämä muuttujat millä tahansa kahdella numerolla. Esimerkiksi muuttujan sijaan a korvaa numero 9 ja muuttujan sijaan b korvataan luku 12. Yritetään nyt lukea määritelmä:

Lukujen vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). 9 ja 12 - on pienin luku, joka on luvun kerrannainen 9 ja 12 . Toisin sanoen se on niin pieni luku, joka on jaollinen luvulla ilman jäännöstä 9 ja numerossa 12 .

Määritelmästä on selvää, että LCM on pienin luku, joka on jaollinen ilman jäännöstä 9:llä ja 12:lla. Tämä LCM on löydettävä.

On kaksi tapaa löytää pienin yhteinen monikerta (LCM). Ensimmäinen tapa on kirjoittaa muistiin kahden luvun ensimmäiset kerrannaiset ja sitten valita näistä kerrannaisista sellainen luku, joka on yhteinen sekä luvuille että pienille. Sovelletaan tätä menetelmää.

Ensinnäkin, etsitään luvun 9 ensimmäiset kerrannaiset. Löytääksesi luvun 9 kerrannaiset, sinun on kerrottava tämä yhdeksän vuorotellen luvuilla 1-9. Saat vastaukset luvun 9 kerrannaisina. , aloitetaan. Useita korostetaan punaisella:

Nyt löydämme luvun 12 kerrannaiset. Tätä varten kerromme 12 vuorotellen kaikilla luvuilla 1-12.