\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selitetään se helpommin. Esimerkiksi \(\log_(2)(8)\) on yhtä suuri kuin potenssi \(2\) on nostettava, jotta saadaan \(8\). Tästä on selvää, että \(\log_(2)(8)=3\).

Esimerkkejä:		\(\log_(5)(25)=2\)		koska \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		koska \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		koska \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentti ja logaritmin kanta

Jokaisella logaritmilla on seuraava "anatomia":

Logaritmin argumentti kirjoitetaan yleensä sen tasolla ja kanta kirjoitetaan alaindeksillä lähempänä logaritmin etumerkkiä. Ja tämä merkintä luetaan näin: "kahdeskymmenesviiden logaritmi viiden kantaan."

Miten logaritmi lasketaan?

Logaritmin laskemiseksi sinun on vastattava kysymykseen: missä määrin kantaa tulisi nostaa argumentin saamiseksi?

Esimerkiksi, laske logaritmi: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mihin potenssiin \(4\) on nostettava, jotta saadaan \(16\)? Ilmeisesti toinen. Siksi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mihin tehoon \(\sqrt(5)\) on nostettava, jotta saadaan \(1\)? Ja mikä aste tekee mistä tahansa numerosta yksikön? Nolla tietysti!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mihin tehoon \(\sqrt(7)\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(7)\)? Ensimmäisessä - mikä tahansa numero ensimmäisessä asteessa on yhtä suuri kuin itsensä.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mihin tehoon \(3\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(3)\)? Tiedämme, että se on murtoluku, ja siksi neliöjuuri on \(\frac(1)(2)\) potenssi.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esimerkki : Laske logaritmi \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Ratkaisu :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Meidän on löydettävä logaritmin arvo, merkitään se x:llä. Käytetään nyt logaritmin määritelmää: \(\log_(a)(c)=b\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mitkä linkit \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaksi, koska molemmat numerot voidaan esittää kahdella: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasemmalla käytämme asteominaisuuksia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Perusteet ovat yhtä suuret, siirrymme indikaattoreiden tasa-arvoon
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kerro yhtälön molemmat puolet \(\frac(2)(5)\)
		Tuloksena oleva juuri on logaritmin arvo

Vastaus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miksi logaritmi keksittiin?

Tämän ymmärtämiseksi ratkaistaan ​​yhtälö: \(3^(x)=9\). Yhdistä vain \(x\), jotta tasa-arvo toimii. Tietenkin \(x=2\).

Ratkaise nyt yhtälö: \(3^(x)=8\. Mikä on x yhtä suuri? Siitä on kysymys.

Nerokkain sanoo: "X on hieman vähemmän kuin kaksi." Miten tämä luku oikein kirjoitetaan? Vastatakseen tähän kysymykseen he keksivät logaritmin. Hänen ansiostaan ​​vastaus tähän voidaan kirjoittaa muodossa \(x=\log_(3)(8)\).

Haluan korostaa, että \(\log_(3)(8)\), samoin kuin mikä tahansa logaritmi on vain luku. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta se on lyhyt. Koska jos haluaisimme kirjoittaa sen desimaalilukuna, se näyttäisi tältä: \(1.892789260714.....\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(4^(5x-4)=10\)

Ratkaisu :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) ei voi pelkistää samaan kantaan. Joten tässä et voi tehdä ilman logaritmia. Käytetään logaritmin määritelmää: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Käännä yhtälö niin, että x on vasemmalla
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Ennen meitä. Siirrä \(4\) oikealle. Älä pelkää logaritmia, vaan käsittele sitä tavallisena numerona.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jaa yhtälö 5:llä
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tässä on juuremme. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta vastausta ei valita.

Vastaus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimaali- ja luonnonlogaritmit

Kuten logaritmin määritelmässä todetaan, sen kanta voi olla mikä tahansa positiivinen luku paitsi yksi \((a>0, a\neq1)\). Ja kaikkien mahdollisten perusteiden joukossa on kaksi, jotka esiintyvät niin usein, että logaritmille keksittiin erityinen lyhyt merkintätapa niiden kanssa:

Luonnollinen logaritmi: logaritmi, jonka kanta on Eulerin luku \(e\) (suunnilleen \(2,7182818…\)), ja logaritmi kirjoitetaan muodossa \(\ln(a)\).

Tuo on, \(\ln(a)\) on sama kuin \(\log_(e)(a)\)

Desimaalilogaritmi: Logaritmi, jonka kantaluku on 10, kirjoitetaan \(\lg(a)\).

Tuo on, \(\lg(a)\) on sama kuin \(\log_(10)(a)\), jossa \(a\) on jokin luku.

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritmeilla on monia ominaisuuksia. Yksi niistä on nimeltään "Peruslogaritminen identiteetti" ja näyttää tältä:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä. Katsotaan kuinka tämä kaava ilmestyi tarkalleen.

Muista logaritmin lyhyt määritelmä:

jos \(a^(b)=c\), niin \(\log_(a)(c)=b\)

Eli \(b\) on sama kuin \(\log_(a)(c)\). Sitten voimme kirjoittaa \(\log_(a)(c)\) \(b\) sijasta kaavaan \(a^(b)=c\) . Kävi ilmi, että \(a^(\log_(a)(c))=c\) - tärkein logaritminen identiteetti.

Löydät loput logaritmien ominaisuudet. Niiden avulla voit yksinkertaistaa ja laskea lausekkeiden arvot logaritmeilla, joita on vaikea laskea suoraan.

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(36^(\log_(6)(5))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(25\)

Kuinka kirjoittaa luku logaritmina?

Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa logaritmi on vain numero. Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa logaritmiksi. Tiedämme esimerkiksi, että \(\log_(2)(4)\) on yhtä kuin kaksi. Sitten voit kirjoittaa \(\log_(2)(4)\) kahden sijaan.

Mutta \(\log_(3)(9)\) on myös yhtä suuri kuin \(2\), joten voit kirjoittaa myös \(2=\log_(3)(9)\) . Vastaavasti \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. Eli se käy ilmi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Siten, jos tarvitsemme, voimme kirjoittaa nämä kaksi logaritmina millä tahansa kantalla missä tahansa (jopa yhtälössä, jopa lausekkeessa, jopa epäyhtälössä) - kirjoitamme vain neliön kantaluvun argumentiksi.

Se on sama kolminkertaisen kanssa - se voidaan kirjoittaa muodossa \(\log_(2)(8)\), tai \(\log_(3)(27)\) tai \(\log_(4)( 64) \) ... Kirjoita tähän kuution kanta argumentiksi:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljällä:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinuksella yksi:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja yhdellä kolmanneksella:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mikä tahansa luku \(a\) voidaan esittää logaritmina, jonka kanta on \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(1\)

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava – mitään vakavaa logaritmista ongelmaa ei voida ratkaista ilman niitä. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: log a x ja kirjaudu a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. Hirsi a x+loki a y= loki a (x · y);
2. Hirsi a x-loki a y= loki a (x : y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

loki 6 4 + loki 6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.

Perusteet ovat jälleen samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kuten näette, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - kokeessa tarjotaan samanlaisia ​​ilmaisuja täysin vakavissaan (joskus - käytännössä ilman muutoksia).

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. voit syöttää luvut ennen logaritmin etumerkkiä itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meillä on:

[Kuvan kuvateksti]

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Anna logaritmin lokikirjautua a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtäläisyys on totta:

[Kuvan kuvateksti]

Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

[Kuvan kuvateksti]

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

[Kuvan kuvateksti]

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

[Kuvan kuvateksti]

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n tulee väitteen eksponentti. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan logaritmiksi perusidentiteetiksi.

Todellakin, mitä tapahtuu, jos numero b nosta valtaan niin, että b tässä määrin antaa numeron a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentista. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Jos joku ei ole perillä, tämä oli todellinen tehtävä kokeesta :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a tästä perustasta itse on yhtä suuri kuin yksi.
2. Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Luonnollisen logaritmin, graafin, määritelmäalueen, arvojoukon, peruskaavojen, derivaatan, integraalin, laajennuksen potenssisarjassa ja funktion ln x esittämisen kompleksilukujen avulla pääominaisuudet on annettu.

Määritelmä

luonnollinen logaritmi on funktio y = ln x, käänteinen eksponenttiin, x \u003d e y , ja joka on logaritmi luvun e kantaan: ln x = log e x.

Luonnollista logaritmia käytetään laajalti matematiikassa, koska sen derivaatalla on yksinkertaisin muoto: (ln x)′ = 1/x.

Perustuu määritelmät, luonnollisen logaritmin kanta on luku e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktion y = kuvaaja ln x.

Luonnollisen logaritmin kuvaaja (funktiot y = ln x) saadaan eksponentin kuvaajasta peiliheijastuksella suoran y = x ympäriltä.

Luonnollinen logaritmi määritellään x:n positiivisille arvoille. Se kasvaa monotonisesti määrittelyalueellaan.

Kuten x → 0 luonnollisen logaritmin raja on miinus ääretön ( - ∞ ).

Kuten x → + ∞, luonnollisen logaritmin raja on plus ääretön ( + ∞ ). Suurella x:llä logaritmi kasvaa melko hitaasti. Mikä tahansa potenssifunktio x a, jolla on positiivinen eksponentti a, kasvaa nopeammin kuin logaritmi.

Luonnollisen logaritmin ominaisuudet

Määritelmäalue, arvojoukko, ääriarvot, lisäys, vähennys

Luonnollinen logaritmi on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Luonnollisen logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

ln x arvoja

log 1 = 0

Luonnollisten logaritmien peruskaavat

Käänteisfunktion määritelmästä johtuvat kaavat:

Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset

Peruskorvauskaava

Mikä tahansa logaritmi voidaan ilmaista luonnollisina logaritmeina käyttämällä kantamuutoskaavaa:

Näiden kaavojen todistukset on esitetty "Logaritmi"-osiossa.

Käänteinen funktio

Luonnollisen logaritmin käänteisluku on eksponentti.

Jos sitten

Jos sitten .

Johdannainen ln x

Luonnollisen logaritmin johdannainen:
.
Moduulin x luonnollisen logaritmin derivaatta:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Kaavojen johtaminen >>>

Integraali

Integraali lasketaan integroimalla osien mukaan:
.
Niin,

Lausekkeet kompleksilukuina

Tarkastellaan kompleksisen muuttujan z funktiota:
.
Ilmaistaan ​​kompleksimuuttuja z moduulin kautta r ja argumentti φ :
.
Käyttämällä logaritmin ominaisuuksia saamme:
.
Tai
.
Argumenttia φ ei ​​ole yksiselitteisesti määritelty. Jos laitamme
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama luku eri n:lle.

Siksi luonnollinen logaritmi kompleksisen muuttujan funktiona ei ole yksiarvoinen funktio.

Power-sarjan laajennus

Laajennus tapahtuu:

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia valmistuneita. Perinteisesti logaritmien aihetta pidetään monimutkaisena, käsittämättömänä ja pelottavana. Erityisesti - yhtälöt logaritmeilla.

Tämä ei todellakaan ole totta. Ehdottomasti! Etkö usko? Hyvä. Nyt noin 10-20 minuutin ajan sinä:

1. Ymmärrä mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponentiaaliyhtälöitä. Vaikka et ole kuullutkaan niistä.

3. Opi laskemaan yksinkertaisia ​​logaritmeja.

Lisäksi tätä varten sinun tarvitsee vain tietää kertotaulukko ja kuinka luku nostetaan potenssiin ...

Tunnen sinun epäilevän... No, pidä aikaa! Mennä!

Ratkaise ensin mielessäsi seuraava yhtälö:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.