On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi neliötä a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -t 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen potenssi, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri kuin;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat - negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Toimivallan jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai sijoittamalla ne murtoluvun muotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

Tai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac(a^5)(a^3)$. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö pätee myös numeroihin, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista erittäin hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssilukuja sisältävien murtolukujen kanssa

1. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastaus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastaus: $\frac(2x)(1)$ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3.a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

9. Jaa (h 3 - 1)/d 4 luvulla (d n + 1)/h.

Kuinka moninkertaistaa voimat? Mitkä voimat voidaan moninkertaistaa ja mitkä ei? Kuinka kerrot luvun potenssilla?

Algebrassa voit löytää potenssien tulon kahdessa tapauksessa:

1) jos tutkinnoilla on sama peruste;

2) jos asteilla on samat indikaattorit.

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kantaluvun on pysyttävä samana ja eksponentit on lisättävä:

Kun asteet kerrotaan samoilla indikaattoreilla, kokonaisindikaattori voidaan ottaa pois suluista:

Mieti, kuinka voit moninkertaistaa konkreettisten esimerkkien avulla.

Eksponentin yksikköä ei kirjoiteta, mutta kertoessaan asteita ne ottavat huomioon:

Kerrottaessa asteiden lukumäärä voi olla mikä tahansa. On muistettava, että et voi kirjoittaa kertomerkkiä ennen kirjainta:

Lausekkeissa eksponentio suoritetaan ensin.

Jos sinun on kerrottava luku potenssilla, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja vasta sitten - kertominen:

www.algebraclass.ru

Yhteen-, vähennys-, kerto- ja potenssien jako

Tehtyjen yhteen- ja vähennyslasku

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi neliötä a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4t 2b 6 \u003d -t 2b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen potenssi, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri kuin;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat − negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Toimivallan jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai sijoittamalla ne murtoluvun muotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac $. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö pätee myös numeroihin, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista erittäin hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssilukuja sisältävien murtolukujen kanssa

1. Pienennä eksponenteja $\frac $:ssa Vastaus: $\frac $.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac$. Vastaus: $\frac $ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3.a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

asteen ominaisuudet

Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteen ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Rationaalisilla mittareilla varustettuja tutkintoja ja niiden ominaisuuksia käsitellään luokan 8 tunneilla.

Eksponentilla, jossa on luonnollinen eksponentti, on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voit yksinkertaistaa laskelmia eksponentiesimerkeissä.

Kiinteistö nro 1
Voimien tuote

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit lisätään.

a m a n \u003d a m + n, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämä tehojen ominaisuus vaikuttaa myös kolmen tai useamman potenssin tuloon.

Yksinkertaista ilmaisu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Esitä tutkinnona.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Esitä tutkinnona.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Huomaa, että mainitussa ominaisuudessa oli kyse vain voimien kertomisesta samoilla perusteilla.. Se ei koske niiden lisäämistä.

Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5 . Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kiinteistö nro 2
Yksityiset tutkinnot

Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

Kirjoita osamäärä potenssina
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Laskea.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Käytämme osittaisten asteiden ominaisuutta.
3 8: t = 3 4

Vastaus: t = 3 4 = 81

Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.

Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo asteominaisuuksien avulla.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Huomaa, että kiinteistö 2 käsitteli vain toimivallan jakoa samoilla perusteilla.

Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1 . Tämä on ymmärrettävää, jos lasket (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kiinteistö nro 3
Eksponentointi

Kun potenssi nostetaan potenssiksi, potenssin kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.

(a n) m \u003d a n m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Huomaa, että ominaisuutta nro 4, kuten muitakin asteen ominaisuuksia, sovelletaan myös käänteisessä järjestyksessä.

(a n b n) = (a b) n

Toisin sanoen, jos haluat kertoa asteet samoilla eksponenteilla, voit kertoa kantakannat ja jättää eksponentin ennalleen.

Esimerkki. Laskea.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Esimerkki. Laskea.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Monimutkaisemmissa esimerkeissä voi olla tapauksia, joissa kertominen ja jako on suoritettava potenssien kanssa, joilla on eri kanta ja eri eksponentti. Tässä tapauksessa suosittelemme toimimaan seuraavasti.

Esimerkiksi 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Esimerkki desimaaliluvun eksponentioinnista.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = neljä

Ominaisuudet 5
Osamäärän potenssi (murtoluvut)

Nostaaksesi osamäärän potenssiin voit nostaa osinkoa ja jakajaa erikseen tähän potenssiin ja jakaa ensimmäisen tuloksen toisella.

(a: b) n \u003d a n: b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja, b ≠ 0, n on mikä tahansa luonnollinen luku.

Esimerkki. Ilmaise lauseke osapotenssina.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.

Asteet ja juuret

Toimintoja voimilla ja juurilla. Tutkinto negatiivisella ,

nolla ja murtoluku indikaattori. Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä.

Operaatiot asteilla.

1. Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, niiden indikaattorit lasketaan yhteen:

olen · a n = a m + n.

2. Jaettaessa asteita samalla kantalla, niiden indikaattorit vähennetty .

3. Kahden tai useamman tekijän tuloaste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo.

4. Suhteen aste (murto-osa) on yhtä suuri kuin osingon (osoittaja) ja jakajan (nimittäjä) asteiden suhde:

(a/b) n = a n/bn.

5. Kun aste nostetaan potenssiin, niiden indikaattorit kerrotaan:

Kaikki yllä olevat kaavat luetaan ja suoritetaan molempiin suuntiin vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

ESIMERKKI (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operaatiot juurilla. Kaikissa alla olevissa kaavoissa symboli tarkoittaa aritmeettinen juuri(radikaalilauseke on positiivinen).

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan juurien suhde:

3. Kun nostat juuria potenssiin, riittää korotus tähän potenssiin juurinumero:

4. Jos lisäät juuren astetta m kertaa ja samanaikaisesti nostat juuren numeron m -asteeseen, juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennät juuren astetta m kertaa ja poimit samalla radikaaliluvusta m:nnen asteen juuren, juuren arvo ei muutu:

Tutkinnon käsitteen laajentaminen. Toistaiseksi olemme tarkastelleet asteita vain luonnollisella indikaattorilla; mutta operaatiot voimilla ja juurilla voivat myös johtaa negatiivinen, nolla ja murto-osa indikaattoreita. Kaikki nämä eksponentit vaativat lisämäärittelyn.

Aste negatiivisella eksponentilla. Jonkin negatiivisen (kokonaisluvun) eksponentin omaavan luvun potenssi määritellään jaettuna saman luvun potenssilla, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin negatiivisen eksponentin itseisarvo:

Nyt kaava olen : a n = a m-n voidaan käyttää paitsi m, enemmän kuin n, mutta myös klo m, vähemmän kuin n .

ESIMERKKI a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Jos haluamme kaavan olen : a n = olen — n oli reilua m = n, tarvitsemme nolla-asteen määritelmän.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, aste on 1.

ESIMERKKEJÄ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi reaaliluvun a potenssiin m / n, sinun on erotettava n:nnen asteen juuri tämän luvun a m:n potenssista:

Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä. Tällaisia ​​ilmaisuja on useita.

missä a ≠ 0 , ei ole olemassa.

Todellakin, jos oletamme niin x on tietty luku, jakotoiminnon määritelmän mukaisesti meillä on: a = 0· x, eli a= 0, mikä on ristiriidassa ehdon kanssa: a ≠ 0

— mikä tahansa numero.

Todellakin, jos oletamme, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin jokin luku x, niin jakooperaation määritelmän mukaan meillä on: 0 = 0 x. Mutta tämä tasa-arvo pätee mikä tahansa numero x, joka oli todistettava.

0 0 — mikä tahansa numero.

Ratkaisu. Harkitse kolmea päätapausta:

1) x = 0 – tämä arvo ei täytä tätä yhtälöä

2) milloin x> 0 saamme: x/x= 1, ts. 1 = 1, josta seuraa,

mitä x- mikä tahansa numero; mutta ottaa se huomioon

meidän tapaus x> 0, vastaus on x > 0 ;

Säännöt potenssien kertomisesta eri perusteilla

TUTKINTO rationaalisella INDIKAATTORILLA,

TEHOTOIMINTO IV

§ 69. Toimivallan moninkertaistaminen ja jakaminen samoilla perusteilla

Lause 1. Potenssien kertomiseksi samoilla kantakantoilla riittää, että lisäät eksponentit ja jätetään kanta ennalleen, eli

Todiste. Tutkinnon määritelmän mukaan

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Olemme tarkastelleet kahden voiman tulosta. Itse asiassa todistettu ominaisuus pätee mille tahansa määrälle tehoja samoilla perusteilla.

Lause 2. Jakamaan potenssit samoilla perusteilla, kun osingon indikaattori on suurempi kuin jakajan indikaattori, riittää, että jakajan indikaattori vähennetään osingon indikaattorista ja jätetään kanta ennalleen, eli klo t > n

(a =/= 0)

Todiste. Muista, että yhden luvun jakamisen osamäärä on luku, joka jakajalla kerrottuna antaa osingon. Todista siis kaava , missä a =/= 0, se on kuin kaavan todistamista

Jos t > n , sitten numero t - s on luonnollista; siis lauseen 1 mukaan

Lause 2 on todistettu.

Huomaa, että kaava

olemme osoittaneet vain sillä oletuksella, että t > n . Siksi todistetun perusteella ei ole vielä mahdollista tehdä esimerkiksi seuraavia johtopäätöksiä:

Lisäksi emme ole vielä tarkastelleet asteita negatiivisilla eksponenteilla, emmekä vielä tiedä mitä merkitystä lausekkeelle 3 voidaan antaa - 2 .

Lause 3. Potentin nostamiseksi potenssiksi riittää kertoa eksponentit, jolloin eksponentin kanta jää ennalleen, tuo on

Todiste. Käyttämällä tutkinnon määritelmää ja tämän osan lausetta 1 saamme:

Q.E.D.

Esimerkiksi (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Suullinen.) Määritä X yhtälöistä:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Muokattu) Yksinkertaista:

520. (Muokattu) Yksinkertaista:

521. Esitä nämä lausekkeet asteina, joilla on sama kanta:

1) 32 ja 64; 3) 85 ja 163; 5) 4 100 ja 32 50;

2) -1000 ja 100; 4) -27 ja -243; 6) 81 75 8 200 ja 3 600 4 150.

Tehokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c On n-luvun potenssi a kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osan aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a mn.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

Esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Kun juuria nostetaan potenssiin, riittää juurinumeron nostaminen tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan korottaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

Esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa a jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi a.

Jokaisesta aritmeettisesta operaatiosta tulee joskus liian vaivalloista tallennettavaksi, ja sitä yritetään yksinkertaistaa. Se oli aiemmin sama lisäystoiminnon kanssa. Ihmisten oli tarpeen suorittaa toistuvia samantyyppisiä lisäyksiä, esimerkiksi laskea sadan persialaisen maton hinta, joiden hinta on 3 kultakolikkoa jokaista kohden. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Kookkuuden vuoksi merkintätapaa arveltiin pienentää arvoon 3 * 100 = 300. Itse asiassa merkintä "kolme kertaa sata" tarkoittaa, että sinun on otettava sata kolminkertaista ja lisää ne yhteen. Kertominen juurtui, saavutti yleisen suosion. Mutta maailma ei seiso paikallaan, ja keskiajalla tuli tarpeelliseksi suorittaa samantyyppinen kertolasku. Muistan vanhan intialaisen arvoituksen viisasta, joka pyysi vehnänjyviä seuraavan määrän palkkiona tehdystä työstä: shakkilaudan ensimmäisestä solusta hän pyysi yhden jyvän, toisesta - kaksi, kolmannesta - neljä, viides - kahdeksan ja niin edelleen. Näin ilmestyi ensimmäinen potenssien kertolasku, koska jyvien lukumäärä oli yhtä suuri kuin kaksi soluluvun potenssilla. Esimerkiksi viimeisessä solussa olisi 2*2*2*…*2 = 2^63 grains, mikä vastaa 18 merkin pituista lukua, mikä itse asiassa on arvoituksen tarkoitus.

Potensseiksi nostamisen operaatio juurtui melko nopeasti, ja myös asteiden yhteen-, vähennys-, jako- ja kertolasku tuli nopeasti tarpeelliseksi. Jälkimmäistä kannattaa harkita tarkemmin. Voimien lisäämiskaavat ovat yksinkertaisia ​​ja helppo muistaa. Lisäksi on erittäin helppo ymmärtää, mistä ne tulevat, jos tehooperaatio korvataan kertolaskulla. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä alkeisterminologia. Lauseke a ^ b (lue "a b:n potenssiin") tarkoittaa, että luku a tulee kertoa itsestään b kertaa, ja "a" kutsutaan asteen kantapääksi ja "b" on eksponentti. Jos potenssien kantaluvut ovat samat, kaavat johdetaan yksinkertaisesti. Tarkka esimerkki: etsi lausekkeen 2^3 * 2^4 arvo. Jotta tiedät, mitä pitäisi tapahtua, sinun tulee selvittää vastaus tietokoneelta ennen ratkaisun aloittamista. Kun syötät tämän lausekkeen mihin tahansa online-laskimeen, hakukoneeseen, kirjoitat "potenssien kertominen eri perusteilla ja samalla" tai matemaattiseen pakettiin, tulos on 128. Kirjoita nyt tämä lauseke: 2^3 = 2*2*2, ja 2^4 = 2*2*2*2. Osoittautuu, että 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Osoittautuu, että potenssien tulo, joilla on sama kanta, on yhtä suuri kuin kanta, joka on korotettu potenssiin, joka on yhtä suuri kuin kahden edellisen potenssin summa.

Saatat ajatella, että tämä on onnettomuus, mutta ei: mikä tahansa muu esimerkki voi vain vahvistaa tämän säännön. Yleisesti ottaen kaava näyttää siis tältä: a^n * a^m = a^(n+m) . On myös sääntö, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi. Tässä tulee muistaa negatiivisten potenssien sääntö: a^(-n) = 1 / a^n. Eli jos 2^3 = 8, niin 2^(-3) = 1/8. Tätä sääntöä käyttämällä voimme todistaa yhtälön a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) voidaan pienentää ja pysyy yhtenä. Tästä johdetaan sääntö, että samoilla kantakantoilla olevien potenssien osamäärä on yhtä suuri kuin tämä kanta siinä määrin kuin osingon ja jakajan osamäärä: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Esimerkki: Yksinkertaista lauseke 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Kertominen on kommutatiivinen operaatio, joten kertolaskujen eksponentit on ensin lisättävä: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Seuraavaksi sinun tulee käsitellä negatiivisen asteen jakoa. Jakajan eksponentti on vähennettävä osinkoeksponentista: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. osoittautuu, että negatiivisella asteella jakaminen on identtinen samanlaisella positiivisella eksponentilla kertomisen kanssa. Lopullinen vastaus on siis 8.

On esimerkkejä, joissa ei-kanoninen voimien kertominen tapahtuu. Voimien kertominen eri perusteilla on usein paljon vaikeampaa ja joskus jopa mahdotonta. On annettava useita esimerkkejä erilaisista mahdollisista lähestymistavoista. Esimerkki: yksinkertaista lauseke 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. On selvää, että potenssien kerroin on eri kanta. Mutta on huomattava, että kaikki emäkset ovat kolminkertaisen eri tehoja. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Käytä sääntöä (a^n) ^m = a^(n*m) , sinun tulee kirjoittaa lauseke uudelleen sopivampaan muotoon: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Vastaus: 3^11. Tapauksissa, joissa on erilaisia ​​emäksiä, sääntö a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n toimii yhtäläisille indikaattoreille. Esimerkiksi 3^3 * 7^3 = 21^3. Muuten, kun on olemassa erilaisia ​​emäksiä ja indikaattoreita, on mahdotonta tehdä täydellistä kertolaskua. Joskus voit osittain yksinkertaistaa tai turvautua tietotekniikan apuun.

Matematiikan tutkinnon käsite esitellään jo 7. luokalla algebratunnilla. Ja tulevaisuudessa, koko matematiikan opiskelun ajan, tätä käsitettä käytetään aktiivisesti eri muodoissaan. Tutkinnot ovat melko vaikea aihe, joka vaatii arvojen muistamista ja kykyä laskea oikein ja nopeasti. Nopeampaa ja parempaa matematiikan tutkintojen työskentelyä varten he keksivät tutkinnon ominaisuudet. Ne auttavat vähentämään suuria laskelmia, muuttamaan valtavan esimerkin jossain määrin yhdeksi luvuksi. Ominaisuuksia ei ole niin paljon, ja ne kaikki on helppo muistaa ja soveltaa käytännössä. Siksi artikkelissa käsitellään tutkinnon pääominaisuuksia sekä sitä, missä niitä sovelletaan.

asteen ominaisuudet

Tarkastellaan 12 asteen ominaisuutta, mukaan lukien saman kantavuuden potenssien ominaisuudet, ja annamme esimerkin jokaisesta ominaisuudesta. Jokainen näistä ominaisuuksista auttaa sinua ratkaisemaan astetta koskevia ongelmia nopeammin ja säästää sinua lukuisista laskentavirheistä.

1. omaisuus.

Monet ihmiset usein unohtavat tämän ominaisuuden, tekevät virheitä edustaen lukua nollaasteen nollana.

2. omaisuus.

3. omaisuus.

On muistettava, että tätä ominaisuutta voidaan käyttää vain kertomalla lukuja, se ei toimi summan kanssa! Emmekä saa unohtaa, että tämä ja seuraavat ominaisuudet pätevät vain tehoihin, joilla on sama kanta.

4. omaisuus.

Jos nimittäjässä oleva luku nostetaan negatiiviseen potenssiin, vähennettäessä nimittäjän aste otetaan suluissa, jotta etumerkki korvataan oikein jatkolaskutoimissa.

Ominaisuus toimii vain jakamalla, ei vähennettäessä!

5. omaisuus.

6. omaisuus.

Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös päinvastoin. Yksikkö jaettuna luvulla jossain määrin on tämä luku negatiivisella potenssilla.

7. kiinteistö.

Tätä ominaisuutta ei voi soveltaa summaan ja erotukseen! Kun summaa tai erotusta korotetaan potenssiin, käytetään lyhennettyjä kertolaskuja, ei potenssin ominaisuuksia.

8. kiinteistö.

9. kiinteistö.

Tämä ominaisuus toimii mille tahansa murto-asteelle, jonka osoittaja on yksi, kaava on sama, vain juuren aste muuttuu asteen nimittäjästä riippuen.

Myös tätä ominaisuutta käytetään usein käänteisessä järjestyksessä. Minkä tahansa luvun potenssin juuri voidaan esittää luvun potenssilla yhden jaettuna juuren potenssilla. Tämä ominaisuus on erittäin hyödyllinen tapauksissa, joissa luvun juuria ei poimita.

10. kiinteistö.

Tämä ominaisuus ei toimi vain neliöjuuren ja toisen asteen kanssa. Jos juuren aste ja tämän juuren korotusaste ovat samat, niin vastaus on radikaali lauseke.

11. kiinteistö.

Sinun on kyettävä näkemään tämä omaisuus ajoissa sitä ratkaiseessasi, jotta säästyisit suurilta laskelmilta.

12. kiinteistö.

Jokainen näistä ominaisuuksista kohtaa sinut useammin kuin kerran tehtävissä, se voidaan antaa puhtaassa muodossaan tai se voi vaatia joitain muunnoksia ja muiden kaavojen käyttöä. Siksi oikean ratkaisun saamiseksi ei riitä vain ominaisuuksien tunteminen, sinun on harjoitettava ja yhdistettävä loput matemaattiset tiedot.

Asteiden soveltaminen ja niiden ominaisuudet

Niitä käytetään aktiivisesti algebrassa ja geometriassa. Matematiikan tutkinnoilla on erillinen, tärkeä paikka. Niiden avulla ratkaistaan ​​eksponentiaaliyhtälöitä ja epäyhtälöitä, ja potenssit monimutkaistavat usein matematiikan muihin osiin liittyviä yhtälöitä ja esimerkkejä. Eksponentit auttavat välttämään suuria ja pitkiä laskelmia, on helpompi pienentää ja laskea eksponenteja. Mutta työskennelläksesi suurilla voimilla tai suurten lukujen tehoilla sinun on tiedettävä tutkinnon ominaisuuksien lisäksi myös asiantunteva työskentely emästen kanssa, kyettävä hajottamaan ne tehtäväsi helpottamiseksi. Mukavuuden vuoksi sinun tulee myös tietää potenssiin korotettujen numeroiden merkitys. Tämä vähentää ratkaisemiseen kuluvaa aikaa, koska pitkiä laskelmia ei tarvita.

Asteen käsitteellä on erityinen rooli logaritmeissa. Koska logaritmi on pohjimmiltaan luvun potenssi.

Lyhennetyt kertolaskut ovat toinen esimerkki valtuuksien käytöstä. Ne eivät voi käyttää asteiden ominaisuuksia, ne hajotetaan erityissääntöjen mukaan, mutta jokaisessa lyhennetyssä kertolaskukaavassa on poikkeuksetta asteita.

Tutkintoja käytetään aktiivisesti myös fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Kaikki käännökset SI-järjestelmään tehdään asteilla, ja jatkossa tehtäviä ratkaistaessa käytetään asteen ominaisuuksia. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään aktiivisesti kahden potenssia laskemisen helpottamiseksi ja numeroiden havaitsemisen yksinkertaistamiseksi. Jatkolaskutoimitukset mittayksiköiden muunnoksille tai tehtävien laskennat, aivan kuten fysiikassa, tapahtuvat asteen ominaisuuksien avulla.

Asteet ovat hyödyllisiä myös tähtitieteessä, jossa asteen ominaisuuksien käyttöä löytyy harvoin, mutta itse asteita käytetään aktiivisesti erilaisten suureiden ja etäisyyksien kirjaamisen lyhentämiseen.

Asteita käytetään myös jokapäiväisessä elämässä laskettaessa pinta-aloja, tilavuuksia, etäisyyksiä.

Tutkintojen avulla kirjoitetaan erittäin suuria ja erittäin pieniä arvoja millä tahansa tieteenalalla.

eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt

Tutkinto-ominaisuuksilla on erityinen paikka juuri eksponentiaalisissa yhtälöissä ja epäyhtälöissä. Nämä tehtävät ovat hyvin yleisiä sekä koulun kursseilla että tenteissä. Ne kaikki ratkaistaan ​​käyttämällä tutkinnon ominaisuuksia. Tuntematon on aina itse asteessa, joten, kun tiedetään kaikki ominaisuudet, ei ole vaikeaa ratkaista tällaista yhtälöä tai epäyhtälöä.