Matematiikka 1. Mistä sana matematiikka tulee? 2. Kuka keksi matematiikan? 3. Pääteemat. 4. Määritelmä 5. Etymologia Viimeisellä dialla.

Mistä sana tulee (siirry edelliseen diaan) Matematiikka kreikasta - tutkimus, tiede) on rakenteita, järjestystä ja suhteita koskeva tiede, joka perustuu historiallisesti esineiden laskenta-, mittaus- ja muodonkuvaustoimintoihin. Matemaattisia objekteja luodaan idealisoimalla todellisten tai muiden matemaattisten objektien ominaisuudet ja kirjoittamalla nämä ominaisuudet muodollisella kielellä.

Kuka keksi matematiikan (siirry valikkoon) Ensimmäinen matemaatikko on yleensä nimeltään Thales of Miletos, joka asui VI vuosisadalla. eKr e. , yksi niin sanotusta Kreikan seitsemästä viisaasta. Oli miten oli, hän oli ensimmäinen, joka rakensi koko tietopohjan tästä aiheesta, joka on jo pitkään muodostunut hänen tuntemassaan maailmassa. Ensimmäisen meille tulleen matematiikan tutkielman kirjoittaja oli kuitenkin Eukleides (III vuosisata eKr.). Häntäkin on ansaittu pidetty tämän tieteen isänä.

Pääaiheet (siirry valikkoon) Matematiikan ala sisältää vain ne tieteet, joissa tarkastellaan joko järjestystä tai mittaa, eikä sillä ole ollenkaan väliä ovatko nämä numeroita, lukuja, tähtiä, ääniä vai mitä tahansa muuta, jossa tämä mitta löytyy. Siten täytyy olla jotain yleistä tiedettä, joka selittää kaiken, mikä liittyy järjestykseen ja mittaan, ilman, että se astuu mihinkään tiettyyn aiheeseen, ja tätä tiedettä ei tule kutsua vieraalla, vaan vanhalla, jo yleisellä nimellä Yleisen matematiikan.

Määritelmä (siirry valikkoon) Nykyaikainen analyysi perustuu klassiseen matemaattiseen analyysiin, jota pidetään yhtenä kolmesta matematiikan pääalueesta (algebran ja geometrian ohella). Samaan aikaan termiä "matemaattinen analyysi" klassisessa merkityksessä käytetään pääasiassa opetussuunnitelmissa ja materiaaleissa. Angloamerikkalaisen perinteen mukaan klassinen matemaattinen analyysi vastaa kurssiohjelmia nimellä "calculus"

Etymologia (siirry valikkoon) Sana "matematiikka" tulee muusta kreikasta. , joka tarkoittaa opiskelua, tietoa, tiedettä jne. -Kreikka, tarkoittaa alun perin vastaanottavaista, menestyvää, myöhemmin opiskeluun liittyvää, myöhemmin matematiikkaa. Erityisesti latinaksi se tarkoittaa matematiikan taidetta. Termi on muu -kreikka. tämän sanan nykyisessä merkityksessä "matematiikka" löytyy jo Aristoteleen (4. vuosisata eKr.) teoksista, "The Book of Selected Lyhyesti yhdeksästä muusasta ja seitsemästä vapaasta taiteesta" (1672)

Matematiikka tieteenä kvantitatiivisista suhteista ja todellisuuden tilamuodoista tutkii ympärillämme olevaa maailmaa, luonnon- ja sosiaalisia ilmiöitä. Mutta toisin kuin muut tieteet, matematiikka tutkii niiden erityisominaisuuksia, irtaantuen muista. Joten geometria tutkii esineiden muotoa ja kokoa ottamatta huomioon niiden muita ominaisuuksia: väriä, massaa, kovuutta jne. Yleensä matemaattiset esineet (geometrinen kuvio, numero, arvo) ovat ihmismielen luomia ja ne ovat olemassa vain ihmisen ajattelussa, merkeissä ja symboleissa, jotka muodostavat matemaattisen kielen.

Matematiikan abstraktisuus mahdollistaa sen soveltamisen monilla aloilla, se on tehokas työkalu luonnon ymmärtämiseen.

Tiedon muodot jaetaan kahteen ryhmään.

ensimmäinen ryhmä muodostavat aistinvaraisen kognition muotoja, jotka suoritetaan erilaisten aistielinten avulla: näkö, kuulo, haju, kosketus, maku.

Co. toinen ryhmä sisältää abstraktin ajattelun muotoja, ensisijaisesti käsitteitä, lausuntoja ja päätelmiä.

Sensorisen kognition muodot ovat Tunne, käsitys ja edustus.

Jokaisella esineellä ei ole yhtä, vaan monia ominaisuuksia, ja tunnemme ne aistimusten avulla.

Tunne- tämä on heijastus aineellisen maailman esineiden tai ilmiöiden yksittäisistä ominaisuuksista, jotka suoraan (eli tällä hetkellä) vaikuttavat aisteihimme. Nämä ovat tuntemuksia punaisista, lämpimistä, pyöreistä, vihreistä, makeista, sileistä ja muista esineiden yksilöllisistä ominaisuuksista [Getmanova, s. 7].

Yksittäisistä aistimuksista muodostuu havainto koko kohteesta. Esimerkiksi omenan havainto koostuu sellaisista tuntemuksista: pallomainen, punainen, makea ja hapan, tuoksuva jne.

Havainto on kokonaisvaltainen heijastus ulkoisesta materiaalista, joka vaikuttaa suoraan aisteihimme [Getmanova, s. kahdeksan]. Esimerkiksi kuva lautasesta, kupista, lusikasta tai muista astioista; joen kuva, jos purjehdimme sitä pitkin tai olemme sen rannoilla; metsän kuva, jos olemme nyt tulleet metsään jne.

Havainnot, vaikka ne ovatkin aistillinen heijastus todellisuudesta mielessämme, ovat suurelta osin riippuvaisia ​​ihmisen kokemuksesta. Esimerkiksi biologi näkee niityn yhdellä tavalla (hän ​​näkee erityyppisiä kasveja), mutta turisti tai taiteilija näkee sen täysin eri tavalla.

Esitys- tämä on aistillinen kuva esineestä, jota emme tällä hetkellä havaitse, mutta jonka olemme havainneet aiemmin muodossa tai toisessa [Getmanova, s. kymmenen]. Voimme esimerkiksi kuvitella visuaalisesti tuttavien kasvot, huoneemme talossa, koivun tai sienen. Nämä ovat esimerkkejä lisääntyminen esitykset, kuten olemme nähneet nämä esineet.

Esitys voi olla luova, mukaan lukien fantastinen. Esittelemme kauniin Prinsessa Joutsenen eli Tsaari Saltanin tai Kultaisen Kukon ja monia muita hahmoja A.S.:n saduista. Pushkin, jota emme ole koskaan nähneet emmekä tule koskaan näkemään. Nämä ovat esimerkkejä luovasta esityksestä sanallisen kuvauksen sijaan. Kuvittelemme myös Snow Maidenin, Joulupukin, merenneidon jne.

Aistitiedon muodot ovat siis aistimuksia, havaintoja ja esityksiä. Heidän avullaan opimme kohteen ulkoiset näkökohdat (sen ominaisuudet, mukaan lukien ominaisuudet).

Abstraktin ajattelun muotoja ovat käsitteet, lausunnot ja johtopäätökset.

Käsitteet. Käsitteiden laajuus ja sisältö

Käsitettä "käsite" käytetään yleensä viittaamaan kokonaiseen luokkaan mielivaltaisia ​​esineitä, joilla on tietty tunnusomainen (erotteleva, olennainen) ominaisuus tai koko joukko sellaisia ​​ominaisuuksia, ts. ominaisuuksia, jotka ovat ainutlaatuisia kyseisen luokan jäsenille.

Logiikan näkökulmasta käsite on ajattelun erityinen muoto, jolle on tunnusomaista seuraavat: 1) käsite on erittäin organisoidun aineen tuote; 2) käsite heijastaa aineellista maailmaa; 3) käsite esiintyy tietoisuudessa yleistyksen välineenä; 4) käsitteellä nimenomaan ihmisen toimintaa; 5) käsitteen muodostuminen ihmisen mielessä on erottamaton sen ilmaisemisesta puheen, kirjoittamisen tai symbolin kautta.

Kuinka käsitys mistä tahansa todellisuusobjektista syntyy mieleemme?

Tietyn konseptin muodostusprosessi on asteittainen prosessi, jossa voidaan nähdä useita peräkkäisiä vaiheita. Harkitse tätä prosessia käyttämällä yksinkertaisinta esimerkkiä - numeron 3 käsitteen muodostumista lapsilla.

1. Kognitoinnin ensimmäisessä vaiheessa lapset tutustuvat erilaisiin tiettyihin sarjoihin käyttämällä aihekuvia ja näyttäen erilaisia ​​kolmen elementin sarjoja (kolme omenaa, kolme kirjaa, kolme kynää jne.). Lapset eivät vain näe kaikkia näitä sarjoja, vaan he voivat myös koskettaa (koskettaa) esineitä, joista nämä sarjat muodostuvat. Tämä "näkemisen" prosessi luo lapsen mieleen erityisen todellisuuden heijastusmuodon, jota kutsutaan havainto (tuntemus).

2. Poistetaan esineet (esineet), jotka muodostavat kunkin joukon, ja kehotetaan lapsia selvittämään, oliko kullekin joukolle jotain yhteistä. Esineiden määrä kussakin sarjassa piti jäädä lasten mieleen, että kaikkialla oli "kolme". Jos näin on, niin lasten mieliin on luotu uusi muoto - ajatus numerosta kolme.

3. Seuraavassa vaiheessa lasten tulee ajatuskokeilun perusteella nähdä, että sanassa "kolme" ilmaistu ominaisuus luonnehtii mitä tahansa muodon eri elementtien joukkoa (a; b; c). Siten tällaisten sarjojen olennainen yhteinen piirre erotetaan: "on kolme elementtiä". Nyt voimme sanoa, että lasten mielissä muodostui käsite numero 3.

konsepti- tämä on erityinen ajattelun muoto, joka heijastaa esineiden tai tutkimusobjektien olennaisia ​​(erottelevia) ominaisuuksia.

Käsitteen kielellinen muoto on sana tai sanaryhmä. Esimerkiksi "kolmio", "numero kolme", ​​"piste", "suora viiva", "tasakylkinen kolmio", "kasvi", "havupuu", "Jenisei-joki", "pöytä" jne.

Matemaattisilla käsitteillä on useita ominaisuuksia. Pääasia on, että matemaattisia objekteja, joista on tarpeen muodostaa käsite, ei ole todellisuudessa. Matemaattiset kohteet ovat ihmisen mielen luomia. Nämä ovat ihanteellisia esineitä, jotka heijastavat todellisia esineitä tai ilmiöitä. Esimerkiksi geometriassa tutkitaan esineiden muotoa ja kokoa ottamatta huomioon niiden muita ominaisuuksia: väriä, massaa, kovuutta jne. Kaikesta tästä he ovat hajamielisiä, abstrakteja. Siksi geometriassa sanan "objekti" sijaan he sanovat "geometrinen kuvio". Abstraktion tuloksena ovat myös sellaiset matemaattiset käsitteet kuin "luku" ja "arvo".

Pääpiirteet minkä tahansa käsitteet ovat seuraavat: 1) äänenvoimakkuutta; 2) sisältö; 3) käsitteiden väliset suhteet.

Kun he puhuvat matemaattisesta käsitteestä, he tarkoittavat yleensä koko joukkoa (joukkoa) yhdellä termillä (sanalla tai sanaryhmällä) merkittyjä esineitä. Joten, kun puhutaan neliöstä, ne tarkoittavat kaikkia geometrisia muotoja, jotka ovat neliöitä. Uskotaan, että kaikkien neliöiden joukko on käsitteen "neliö" soveltamisala.

Käsitteen laajuus kutsutaan joukko esineitä tai esineitä, joihin tätä käsitettä voidaan soveltaa.

Esimerkiksi 1) "rinnakkaiskuvan" käsitteen soveltamisala on joukko sellaisia ​​nelikulmioita, kuten varsinaiset suuntaviivat, rombit, suorakulmiot ja neliöt; 2) "yksinumeroisen luonnollisen luvun" käsitteen soveltamisala on joukko - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Kaikilla matemaattisilla esineillä on tiettyjä ominaisuuksia. Esimerkiksi neliöllä on neljä sivua, neljä suoraa kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin lävistäjät, diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla. Voit määrittää sen muut ominaisuudet, mutta objektin ominaisuuksien joukossa on niitä olennainen (erotteleva) ja ei-välttämätön.

Kiinteistö on ns välttämätön (erotteleva) esineelle, jos se on ominaista tälle esineelle ja ilman sitä sitä ei voi olla olemassa; omaisuutta kutsutaan merkityksetön esineelle, jos se voi olla olemassa ilman sitä.

Esimerkiksi neliön kohdalla kaikki yllä luetellut ominaisuudet ovat välttämättömiä. Ominaisuus "sivu AD on vaakasuora" on epäolennainen neliön ABCD (kuva 1) kannalta. Jos tätä neliötä käännetään, sivu AD on pystysuora.

Harkitse esimerkkiä esikouluikäisille visuaalisen materiaalin avulla (kuva 2):

Kuvaile hahmoa.

Pieni musta kolmio. Riisi. 2

Iso valkoinen kolmio.

Miten luvut ovat samanlaisia?

Miten luvut eroavat toisistaan?

Väri, koko.

Mitä kolmiolla on?

3 sivua, 3 kulmaa.

Siten lapset saavat selville "kolmion" käsitteen olennaiset ja ei-olennaiset ominaisuudet. Olennaiset ominaisuudet - "on kolme sivua ja kolme kulmaa", ei-olennaiset ominaisuudet - väri ja koko.

Tässä konseptissa heijastuneiden esineen tai esineen kaikkien olennaisten (erottelevien) ominaisuuksien kokonaisuutta kutsutaan käsitteen sisältö .

Esimerkiksi käsitteelle "rinnakkaiskuvaus" sisältö on joukko ominaisuuksia: siinä on neljä sivua, siinä on neljä kulmaa, vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret, diagonaalit leikkauspisteissä ovat jaettu puoliksi.

Käsitteen tilavuuden ja sisällön välillä on yhteys: jos käsitteen tilavuus kasvaa, sen sisältö pienenee ja päinvastoin. Joten esimerkiksi käsitteen "tasakylkinen kolmio" soveltamisala on osa käsitteen "kolmio" soveltamisalaa, ja käsitteen "tasakylkinen kolmio" sisältö sisältää enemmän ominaisuuksia kuin käsitteen "kolmio" sisältö, koska tasakylkisellä kolmiolla ei ole vain kaikkia kolmion ominaisuuksia, vaan myös muita, jotka ovat ominaisia ​​vain tasakylkisille kolmioille ("kaksi sivua ovat yhtä suuret", "kaksi kulmaa ovat yhtä suuret", "kaksi mediaania ovat yhtä suuret" jne.).

Käsitteet on jaettu yksittäinen, yhteinen ja luokat.

Kutsutaan käsitettä, jonka tilavuus on 1 yksi konsepti .

Esimerkiksi käsitteet: "Jenisei-joki", "Tuvan tasavalta", "Moskovan kaupunki".

Kutsutaan käsitteitä, joiden tilavuus on suurempi kuin 1 yleistä .

Esimerkiksi käsitteet: "kaupunki", "joki", "nelikulmio", "luku", "monikulmio", "yhtälö".

Tutkiessaan minkä tahansa tieteen perusteita lapset muodostavat yleensä yleisiä käsitteitä. Esimerkiksi ala-asteella oppilaat tutustuvat sellaisiin käsitteisiin kuin "luku", "luku", "yksinumeroiset luvut", "kaksinumeroiset luvut", "moninumeroiset luvut", "murto", "osuus". ”, "yhdistys", "termi" , "summa", "vähennys", "vähennetty", "vähennetty", "ero", "kerto", "kerroin", "tulo", "jako", "jaettavissa", "jakaja", "osamäärä", "pallo, sylinteri, kartio, kuutio, suuntaissärmiö, pyramidi, kulma, kolmio, nelikulmio, neliö, suorakulmio, monikulmio, ympyrä , "ympyrä", "käyrä", "polyline", "segmentti" , "segmentin pituus", "säde", "suora viiva", "piste", "pituus", "leveys", "korkeus", "kehä", "kuvioalue", "tilavuus", "aika", " nopeus", "massa", "hinta", "hinta" ja monet muut. Kaikki nämä käsitteet ovat yleisiä käsitteitä.

Matematiikka on tiede reaalimaailman määrällisistä suhteista ja tilamuodoista. Tieteen ja tekniikan vaatimusten läheisessä yhteydessä matematiikan tutkimien määrällisten suhteiden ja tilamuotojen kanta laajenee jatkuvasti, joten edellä oleva määritelmä on ymmärrettävä yleisimmässä mielessä.

Matematiikan opiskelun tarkoituksena on lisätä yleistä näkemystä, ajattelukulttuuria, tieteellisen maailmankuvan muodostumista.

Matematiikan itsenäisen aseman ymmärtäminen erikoistieteenä tuli mahdolliseksi melko suuren tosiasiallisen aineiston kertymisen jälkeen ja syntyi ensimmäisen kerran antiikin Kreikassa 6-5-luvulla eKr. Tästä alkoi alkeismatematiikan aika.

Tänä aikana matemaattinen tutkimus käsitteli vain melko rajoitettua määrää peruskäsitteitä, jotka syntyivät talouselämän yksinkertaisimmista vaatimuksista. Samaan aikaan matematiikan tieteenä laadullinen parantaminen on jo käynnissä.

Nykyaikaista matematiikkaa verrataan usein suurkaupunkiin. Tämä on erinomainen vertailu, sillä matematiikassa, kuten suuressa kaupungissa, on jatkuva kasvu- ja kehitysprosessi. Uusia alueita ilmaantuu matematiikassa, uusia tyylikkäitä ja syviä teorioita rakennetaan, kuten uusien kaupunginosien ja rakennusten rakentaminen. Mutta matematiikan edistyminen ei rajoitu kaupungin ilmeen muuttamiseen uuden rakentamisen vuoksi. Meidän on vaihdettava vanha. Vanhat teoriat sisältyvät uusiin, yleisempiin; vanhojen rakennusten perustuksia on vahvistettava. Uusia katuja on rakennettava yhteyksien luomiseksi matemaattisen kaupungin kaukaisten korttelien välille. Mutta tämä ei riitä - arkkitehtoninen suunnittelu vaatii huomattavia ponnisteluja, koska matematiikan eri alojen monimuotoisuus ei vain pilaa tieteen kokonaisvaikutelmaa, vaan häiritsee myös tieteen ymmärtämistä kokonaisuutena luomalla yhteyksiä sen eri osien välille.

Usein käytetään toista vertailua: matematiikkaa verrataan suureen haarautuneeseen puuhun, joka järjestelmällisesti antaa uusia versoja. Jokainen puun haara on yksi tai toinen matematiikan alue. Oksien määrä ei pysy ennallaan, kun uudet oksat kasvavat, kasvavat yhdessä ensin kasvaen erikseen, osa oksista kuivuu ilman ravitsevia mehuja. Molemmat vertailut ovat onnistuneita ja kuvaavat erittäin hyvin todellista tilannetta.

Kauneuden kysynnällä on epäilemättä tärkeä rooli matemaattisten teorioiden rakentamisessa. On sanomattakin selvää, että käsitys kauneudesta on hyvin subjektiivinen ja siitä on usein melko rumia ajatuksia. Ja silti täytyy hämmästyä se yksimielisyys, jonka matemaatikot asettavat "kauneuden" käsitteeseen: tulosta pidetään kauniina, jos pienestä määrästä ehtoja on mahdollista saada yleinen johtopäätös, joka liittyy monenlaisiin esineisiin. Matemaattista johdannaista pidetään kauniina, jos siinä on mahdollista todistaa yksinkertaisella ja lyhyellä päättelyllä jokin merkittävä matemaattinen tosiasia. Matemaatikon kypsyys, hänen lahjakkuutensa arvaa, kuinka kehittynyt hänen kauneustajunsa on. Esteettisesti täydelliset ja matemaattisesti täydelliset tulokset on helpompi ymmärtää, muistaa ja käyttää; on helpompi tunnistaa heidän suhteensa muihin tiedon alueisiin.

Matematiikasta on aikamme tullut tieteellinen tieteenala, jolla on monia tutkimusalueita, valtava määrä tuloksia ja menetelmiä. Matematiikka on nyt niin hienoa, ettei yksi henkilö voi kattaa sitä kaikilta osin, ei ole mahdollisuutta olla siinä universaali asiantuntija. Yhteyksien katoaminen sen eri suuntien välillä on varmasti negatiivinen seuraus tämän tieteen nopeasta kehityksestä. Kaikkien matematiikan haarojen kehityksen pohjalla on kuitenkin yhteinen asia - kehityksen alkuperä, matematiikan puun juuret.

Eukleideen geometria ensimmäisenä luonnontieteen teoriana

• Kolmannella vuosisadalla eKr. Aleksandriassa ilmestyi samanniminen Eukleideen kirja "Alkujen" venäjänkielisessä käännöksessä. Latinalaisesta nimestä "alku" tuli termi "alkeisgeometria". Vaikka Eukleideen edeltäjien kirjoitukset eivät ole tulleet meille, voimme muodostaa jonkinlaisen mielipiteen näistä kirjoituksista Euklidesin elementeistä. "Aluissa" on jaksoja, jotka liittyvät loogisesti hyvin vähän muihin osioihin. Niiden ulkonäkö selittyy vain sillä, että ne esiteltiin perinteen mukaisesti ja kopioivat Eukleideen edeltäjien "alkuja".

  Euclid's Elements koostuu 13 kirjasta. Kirjat 1-6 ovat omistettu planimetrialle, kirjat 7-10 aritmeettisista ja mittaamattomista suureista, jotka voidaan rakentaa kompassin ja suoraviivan avulla. Kirjat 11-13 oli omistettu stereometrialle.

  "Alku" alkaa 23 määritelmän ja 10 aksiooman esittelyllä. Ensimmäiset viisi aksioomia ovat "yleisiä käsitteitä", loput ovat "postulaatteja". Kaksi ensimmäistä postulaattia määrittävät toimet ihanteellisen hallitsijan avulla, kolmas - ihanteellisen kompassin avulla. Neljäs, "kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria keskenään", on redundantti, koska se voidaan päätellä muista aksioomista. Viimeinen, viides postulaatti kuului: "Jos suora putoaa kahdelle suoralle ja muodostaa sisäisiä yksipuolisia kulmia alle kahden suoran summana, niin näiden kahden suoran rajattomasti jatkuessa ne leikkaavat sivu, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraa."

  Eukleideen viisi "yleistä käsitettä" ovat pituuksien, kulmien, pinta-alojen, tilavuuksien mittaamisen periaatteet: "samat ovat yhtä suuret keskenään", "jos yhtäläiset lisätään yhtäläisiin, summat ovat keskenään yhtä suuret". "jos yhtäläiset vähennetään yhtäläisistä, jäännökset ovat keskenään yhtä suuria", "toistensa kanssa yhdistäminen on keskenään yhtä suuri", "kokonaisuus on suurempi kuin osa".

  Sitten tuli kritiikki Eukleideen geometriaa kohtaan. Euklidista kritisoitiin kolmesta syystä: siitä, että hän otti huomioon vain sellaiset geometriset suureet, jotka voidaan muodostaa kompassin ja suoraviivan avulla; geometrian ja aritmetian hajottamiseksi ja kokonaislukujen osoittamiseksi sen, mitä hän oli jo osoittanut geometrisille suureille, ja lopuksi Eukleideen aksioomille. Viides postulaatti, Eukleideen vaikein postulaatti, on saanut eniten kritiikkiä. Monet pitivät sitä tarpeettomana ja että se voidaan ja pitäisi johtaa muista aksioomista. Toiset uskoivat, että se pitäisi korvata yksinkertaisemmalla ja havainnollistavammalla, vastaavalla: "Suoran ulkopuolisen pisteen kautta heidän tasoonsa voidaan vetää enintään yksi suora, joka ei leikkaa tätä suoraa."

  Geometrian ja aritmetiikan välisen kuilun kritiikki johti luvun käsitteen laajentamiseen reaalilukuksi. Kiistat viidennestä postulaatista johtivat siihen, että 1800-luvun alussa N.I. Lobachevsky, J. Bolyai ja K.F. Gauss rakensivat uuden geometrian, jossa kaikki Eukleideen geometrian aksioomat täyttyivät, lukuun ottamatta viidettä postulaattia. Se korvattiin päinvastaisella lauseella: "Tasossa suoran ulkopuolisen pisteen kautta voidaan vetää useampi kuin yksi suora, joka ei leikkaa annettua." Tämä geometria oli yhtä johdonmukainen kuin Eukleideen geometria.

  Ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré rakensi Lobatševskin planimetriamallin euklidiselle tasolle vuonna 1882.

  Piirrä vaakasuora viiva euklidiselle tasolle. Tätä suoraa kutsutaan absoluuttiseksi (x). Euklidisen tason pisteet, jotka sijaitsevat absoluutin yläpuolella, ovat Lobatševskin tason pisteitä. Lobatševskin kone on avoin puolitaso, joka sijaitsee absoluutin yläpuolella. Ei-euklidiset segmentit Poincarén mallissa ovat ympyrän kaaria, joiden keskipiste on absoluuttinen tai suorasegmentti, joka on kohtisuorassa absoluuttiseen nähden (AB, CD). Lobatševskin tason kuvio on absoluutin (F) yläpuolella olevan avoimen puolitason kuva. Ei-euklidinen liike on yhdistelmä äärellisestä määrästä inversioita, jotka on keskitetty absoluuttiseen ja aksiaaliseen symmetriaan, joiden akselit ovat kohtisuorassa absoluuttiseen nähden. Kaksi ei-euklidista segmenttiä ovat yhtä suuret, jos toinen niistä voidaan muuntaa toiseksi ei-euklidisella liikkeellä. Nämä ovat Lobatševskin planimetrian aksiomaatiikan peruskäsitteitä.

  Kaikki Lobatševskin planimetrian aksioomit ovat johdonmukaisia. "Ei-euklidinen viiva on puoliympyrä, jonka päät ovat absoluuttissa, tai säde, jonka alkupiste on absoluutissa ja kohtisuorassa absoluuttiseen." Näin ollen Lobatševskin yhdensuuntaisuusaksiooman väite pätee paitsi jollekin suoralle a ja pisteelle A, jotka eivät ole tällä suoralla, vaan myös mille tahansa suoralle a ja mille tahansa pisteelle A, joka ei ole sillä.

  Lobatševskin geometrian taakse syntyi muita johdonmukaisia ​​geometrioita: projektiiivinen geometria erottui euklidisesta, kehittyi moniulotteinen euklidinen geometria, syntyi Riemannilainen geometria (yleinen avaruusteoria mielivaltaisen pituuksien mittauslain kanssa) jne. Figuurien tieteestä yhdessä kolmiulotteisessa kuvassa Euklidinen avaruus, geometria 40 - 50 vuoden ajan on muuttunut joukoksi erilaisia ​​teorioita, jotka ovat vain jossain määrin samanlaisia ​​kuin sen esi-isä - Eukleideen geometria.

  Nykyaikaisen matematiikan muodostumisen päävaiheet. Modernin matematiikan rakenne

• Akateemikko A.N. Kolmogorov tunnistaa neljä jaksoa matematiikan kehityksessä Kolmogorov A.N. - Matematiikka, matemaattinen tietosanakirja, Moskova, Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988: matematiikan synty, alkeismatematiikka, muuttujien matematiikka, moderni matematiikka.

  Alkeisen matematiikan kehittymisen aikana lukuteoria kasvaa vähitellen aritmetiikasta. Algebra luodaan kirjaimellisena laskentana. Ja muinaisten kreikkalaisten luomasta alkeisgeometrian esitysjärjestelmästä - Eukleideen geometriasta - kahdelle vuosituhannelle eteenpäin tuli malli matemaattisen teorian deduktiivisesta rakentamisesta.

  1600-luvulla luonnontieteen ja tekniikan vaatimukset johtivat menetelmien luomiseen, jotka mahdollistavat liikkeen matemaattisen tutkimuksen, suureiden muuttumisen prosessit ja geometristen kuvioiden muuntamisen. Muuttujien käytöllä analyyttisessä geometriassa sekä differentiaali- ja integraalilaskennan luomisella alkaa muuttujien matematiikan kausi. 1600-luvun suuria löytöjä ovat Newtonin ja Leibnizin esittämä käsite äärettömästä suuresta, perustan luominen infinitesimaalien suureiden analysoinnille (matemaattinen analyysi).

  Toiminnan käsite tulee esiin. Toiminnasta tulee pääasiallinen tutkimuskohde. Funktion tutkiminen johtaa matemaattisen analyysin peruskäsitteisiin: raja, derivaatta, differentiaali, integraali.

  Tähän aikaan kuuluu myös R. Descartesin loistava idea koordinaattien menetelmästä. Luodaan analyyttinen geometria, joka mahdollistaa geometristen kohteiden tutkimisen algebran ja analyysin menetelmin. Toisaalta koordinaattimenetelmä avasi mahdollisuuden algebrallisten ja analyyttisten tosiasioiden geometriseen tulkintaan.

  Matematiikan jatkokehitys johti 1800-luvun alussa ongelman muotoilemiseen mahdollisten määrällisten suhteiden ja tilamuotojen tutkimisesta melko yleisestä näkökulmasta.

  Matematiikan ja luonnontieteen välinen yhteys on yhä monimutkaisempi. Uusia teorioita syntyy ja ne syntyvät paitsi luonnontieteen ja tekniikan vaatimusten seurauksena, myös matematiikan sisäisen tarpeen seurauksena. Merkittävä esimerkki tällaisesta teoriasta on N. I. Lobachevskyn kuvitteellinen geometria. Matematiikan kehitys 1800- ja 1900-luvuilla antaa meille mahdollisuuden liittää se nykyajan matematiikan aikakauteen. Itse matematiikan kehitys, eri tieteenalojen matematisointi, matemaattisten menetelmien tunkeutuminen monille käytännön toiminnan alueille, tietotekniikan kehitys ovat johtaneet uusien matemaattisten tieteenalojen syntymiseen, esimerkiksi operaatiotutkimukseen, peliteoriaan, matemaattinen taloustiede ja muut.

  Tärkeimmät menetelmät matemaattisessa tutkimuksessa ovat matemaattiset todisteet - tiukka looginen päättely. Matemaattinen ajattelu ei rajoitu loogiseen päättelyyn. Matemaattista intuitiota tarvitaan ongelman oikeaan muotoiluun, sen ratkaisutavan valinnan arvioimiseen.

  Matematiikassa tutkitaan esineiden matemaattisia malleja. Sama matemaattinen malli voi kuvata todellisten ilmiöiden ominaisuuksia, jotka ovat kaukana toisistaan. Joten sama differentiaaliyhtälö voi kuvata väestönkasvun ja radioaktiivisen materiaalin hajoamisprosesseja. Matemaatikkolle ei ole tärkeää tarkasteltavien esineiden luonne, vaan niiden välillä vallitsevat suhteet.

  Matematiikassa on kahdenlaisia ​​päättelyjä: deduktio ja induktio.

  Induktio on tutkimusmenetelmä, jossa tiettyjen lähtökohtien perusteella rakennetaan yleinen johtopäätös.

  Deduktio on päättelymenetelmä, jonka avulla yleisistä lähtökohdista seuraa tietty luonteeltaan johtopäätös.

  Matematiikalla on tärkeä rooli luonnontieteiden, tekniikan ja humanististen tieteiden tutkimuksessa. Syy matematiikan tunkeutumiseen eri tiedonhaaroihin on se, että se tarjoaa hyvin selkeitä malleja ympäröivän todellisuuden tutkimiseen, toisin kuin muiden tieteiden tarjoamat vähemmän yleiset ja epämääräisemmät mallit. Ilman modernia matematiikkaa, jossa on kehittynyt looginen ja laskentalaitteisto, edistyminen ihmisen toiminnan eri aloilla olisi mahdotonta.

  Matematiikka ei ole vain tehokas työkalu sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen ja universaali tieteen kieli, vaan myös osa yhteistä kulttuuria.

  Matemaattisen ajattelun peruspiirteet

• Tässä asiassa erityisen kiinnostava on A. Ya Khinchinin antama matemaattisen ajattelun ominaisuus, tai pikemminkin sen erityinen historiallinen muoto - matemaattisen ajattelun tyyli. Paljastaen matemaattisen ajattelun tyylin olemuksen, hän nostaa esiin neljä kaikille aikakausille yhteistä ominaisuutta, jotka erottavat tämän tyylin selvästi muiden tieteiden ajattelutyyleistä.

  Ensinnäkin matemaatikolle on ominaista loogisen päättelyn dominanssi, joka on tuotu rajaan. Matemaatikko, joka unohtaa tämän suunnitelman, ainakin väliaikaisesti, menettää kykynsä ajatella tieteellisesti kokonaan. Tällä matemaattisen ajattelun tyylin omituisella piirteellä on sinänsä paljon arvoa. Ilmeisesti sen avulla voit mahdollisimman suuressa määrin seurata ajatusvirran oikeellisuutta ja takaa virheitä vastaan; toisaalta se pakottaa ajattelijan pitämään silmiensä edessä analyysin aikana käytettävissä olevien mahdollisuuksien kokonaisuus ja pakottaa hänet ottamaan huomioon niistä jokaisen ilman, että hän jättää väliin (sellaiset laiminlyönnit ovat täysin mahdollisia ja itse asiassa usein havaittavia muissa ajattelutyyleissä).

  Toiseksi ytimekkyys, ts. tietoinen halu löytää aina lyhin looginen polku, joka johtaa tiettyyn päämäärään, kaiken sen armoton hylkääminen, mikä on ehdottoman välttämätöntä väitteen moitteettoman pätevyyden kannalta. Hyvä tyylinen matemaattinen essee, ei siedä mitään "vettä", ei koristelua, heikentäen röyhkeyttämisen loogista jännitystä, häiriötekijöitä sivuun; äärimmäinen niukka, ajatuksen ankara ankaruus ja sen esittäminen ovat matemaattisen ajattelun olennainen piirre. Tämä ominaisuus on arvokas ei vain matemaattiselle, vaan myös muille vakavalle pohdinnalle. Lakonismi, halu olla sallimatta mitään ylimääräistä, auttaa sekä ajattelijaa että hänen lukijaansa tai kuuntelijaansa keskittymään täysin tiettyyn ajatuskulkuun ilman, että toissijaiset ideat häiritsevät ja menettämättä suoraa yhteyttä pääajattelun linjaan.

  Tieteen valovoimat pääsääntöisesti ajattelevat ja ilmaisevat itseään ytimekkäästi kaikilla tiedon aloilla, vaikka heidän ajatuksensa luo ja esittelee täysin uusia ideoita. Mikä majesteettinen vaikutelma on esimerkiksi fysiikan suurimpien tekijöiden: Newtonin, Einsteinin, Niels Bohrin ajatuksen ja puheen jalo nirsus! Ehkä on vaikea löytää silmiinpistävämpää esimerkkiä siitä, kuinka syvällinen vaikutus sen tekijöiden ajattelutavalla voi olla tieteen kehitykseen.

  Matematiikan kannalta ajatuksen ytimellisyys on kiistaton laki, joka on kanonisoitu vuosisatojen ajan. Kaikki yritykset kuormittaa esitystä ei välttämättä välttämättömillä (vaikka miellyttävillä ja kuuntelijoille kiehtovilla) kuvilla, häiriötekijöillä, puheilla asetetaan oikeutettuun epäilyyn etukäteen ja aiheuttaa automaattisesti kriittistä valppautta.

  Kolmanneksi perustelujen kulun selkeä erottelu. Jos esimerkiksi väitettä todistettaessa on tarkasteltava neljää mahdollista tapausta, joista jokainen voidaan jakaa useiksi osatapauksiksi, niin jokaisella päättelyhetkellä matemaatikon on selvästi muistettava, missä tapauksessa ja alitapauksessa hänen omansa. ajatus on nyt hankittu ja mitä tapauksia ja alitapauksia hänen on vielä harkittava. Kaikenlaisilla haaroittuneilla luetteloilla matemaatikon täytyy joka hetki olla tietoinen yleiskäsitteestä, jota varten hän luettelee sen komponenttilajikäsitteet. Tavallisessa, ei-tieteellisessä ajattelussa havaitsemme tällaisissa tapauksissa hyvin usein hämmennystä ja hyppyjä, jotka johtavat hämmennykseen ja päättelyvirheisiin. Usein käy niin, että ihminen alkaa luetella yhden suvun lajeja ja sitten kuuntelijoille (ja usein itselleenkin) huomaamattomasti päättelyn riittämätöntä loogista erottuvuutta käyttäen hyppäsi toiseen sukuun ja päätyy väitteeseen, että molemmat suvut on nyt luokiteltu; kuuntelijat tai lukijat eivät tiedä, missä kulkee ensimmäisen ja toisen lajin lajien välinen raja.

  Tehdäkseen tällaisten sekaannusten ja hyppyjen mahdottomaksi matemaatikot ovat pitkään käyttäneet laajasti yksinkertaisia ​​ulkoisia käsitteiden ja tuomioiden numerointimenetelmiä, joita joskus (mutta paljon harvemmin) käytetään muissa tieteissä. Ne mahdolliset tapaukset tai ne yleiset käsitteet, jotka olisi otettava huomioon tässä perustelussa, numeroidaan uudelleen etukäteen; kussakin tällaisessa tapauksessa myös ne alitapaukset, joiden katsotaan sisältävän sen, numeroidaan uudelleen (joskus eron vuoksi käyttämällä jotakin muuta numerointijärjestelmää). Ennen jokaista kappaletta, jossa uuden alitapauksen käsittely alkaa, laitetaan tälle alitapaukselle hyväksytty nimitys (esimerkiksi: II 3 - tämä tarkoittaa, että toisen tapauksen kolmannen alitapauksen tarkastelu alkaa tästä tai kolmannen alitapauksen kuvaus toisen tyypin tyyppi, jos puhumme luokittelusta). Ja lukija tietää, että kunnes hän löytää uuden numeerisen rubriikin, kaikki esitetty koskee vain tätä tapausta ja alitapausta. On sanomattakin selvää, että tällainen numerointi on vain ulkoinen väline, erittäin hyödyllinen, mutta ei mitenkään pakollinen, ja että asian ydin ei ole siinä, vaan siinä selkeässä argumentoinnin tai luokittelun jaossa, jota se sekä stimuloi että merkitsee. itsestään.

  Neljänneksi symbolien, kaavojen, yhtälöiden tarkka tarkkuus. Toisin sanoen "jokaisella matemaattisella symbolilla on tiukasti määritelty merkitys: sen korvaaminen toisella symbolilla tai sen järjestäminen toiseen paikkaan johtaa yleensä tämän lausunnon merkityksen vääristymiseen ja joskus täydelliseen tuhoutumiseen."

  Erotessaan matemaattisen ajattelutavan pääpiirteet A.Ya. Khinchin huomauttaa, että matematiikalla (erityisesti muuttujien matematiikalla) on luonteeltaan dialektinen luonne, ja siksi se edistää dialektisen ajattelun kehitystä. Itse asiassa matemaattisen ajattelun prosessissa on vuorovaikutusta visuaalisen (konkreettisen) ja käsitteellisen (abstraktin) välillä. "Emme voi ajatella viivoja", Kant kirjoitti, "piirtämättä sitä henkisesti, emme voi ajatella kolmea ulottuvuutta itsellemme piirtämättä kolmea toisiaan vastaan ​​kohtisuoraa viivaa yhdestä pisteestä."

  Konkreettisen ja abstraktin vuorovaikutus "johti" matemaattisen ajattelun uusien ja uusien käsitteiden ja filosofisten kategorioiden kehittymiseen. Muinaisessa matematiikassa (vakioiden matematiikassa) nämä olivat "luku" ja "avaruus", jotka alun perin heijastuivat aritmeettiseen ja euklidiseen geometriaan ja myöhemmin algebraan ja erilaisiin geometrisiin järjestelmiin. Muuttujien matematiikka "perustui" käsitteisiin, jotka kuvastivat aineen liikettä - "äärellinen", "ääretön", "jatkuvuus", "diskreetti", "ääretön pieni", "johdannainen" jne.

  Jos puhumme nykyisestä historiallisesta vaiheesta matemaattisen tiedon kehityksessä, niin se on linjassa filosofisten kategorioiden jatkokehityksen kanssa: todennäköisyysteoria "hallitsee" mahdollisen ja satunnaisen kategoriat; topologia - suhteiden ja jatkuvuuden luokat; katastrofiteoria - hyppyluokka; ryhmäteoria - symmetrian ja harmonian luokat jne.

  Matemaattisessa ajattelussa ilmaistaan ​​muodoltaan samankaltaisten loogisten yhteyksien muodostamisen päämallit. Sen avulla suoritetaan siirtyminen yksiköstä (esimerkiksi tietyistä matemaattisista menetelmistä - aksiomaattisista, algoritmisista, konstruktivista, joukkoteoreettisista ja muista) erityiseen ja yleiseen yleistettyihin deduktiivisiin rakenteisiin. Menetelmien ja matematiikan aineen yhtenäisyys määrittää matemaattisen ajattelun erityispiirteet, antaa meille mahdollisuuden puhua erityisestä matemaattisesta kielestä, joka ei vain heijasta todellisuutta, vaan myös syntetisoi, yleistää ja ennustaa tieteellistä tietoa. Matemaattisen ajattelun voima ja kauneus piilee sen logiikan äärimmäisessä selkeydessä, rakenteiden eleganssissa ja abstraktien taitavassa rakentamisessa.

  Pohjimmiltaan uusia henkisen toiminnan mahdollisuuksia avautui tietokoneen keksimisen ja konematematiikan luomisen myötä. Matematiikan kielessä on tapahtunut merkittäviä muutoksia. Jos klassisen laskennallisen matematiikan kieli koostui luonnon jatkuvien prosessien kuvaamiseen keskittyneistä algebran, geometrian ja analyysin kaavoista, joita tutkittiin ensisijaisesti mekaniikassa, tähtitiedossa, fysiikassa, niin sen moderni kieli on algoritmien ja ohjelmien kieli, mm. vanha kaavojen kieli erityistapauksena.

  Nykyaikaisen laskennallisen matematiikan kieli on tulossa yhä universaalimmaksi, ja se pystyy kuvaamaan monimutkaisia ​​(moniparametrisia) järjestelmiä. Samalla haluan korostaa, että vaikka matemaattinen kieli olisi kuinka täydellinen elektronisen laskentatekniikan tehostettuna, se ei katkaise siteitä monipuoliseen "elävään", luonnolliseen kieleen. Lisäksi puhuttu kieli on keinotekoisen kielen perusta. Tässä suhteessa tutkijoiden viimeaikainen löytö on kiinnostava. Asia on siinä, että aymara-intiaanien muinainen kieli, jota puhuu noin 2,5 miljoonaa ihmistä Boliviassa ja Perussa, osoittautui erittäin käteväksi tietotekniikan kannalta. Jo vuonna 1610 italialainen jesuiittalähetyssaarnaaja Ludovico Bertoni, joka laati ensimmäisen Aymara-sanakirjan, pani merkille sen tekijöiden nerouden, joka saavutti korkean loogisen puhtauden. Esimerkiksi aymarassa ei ole epäsäännöllisiä verbejä eikä poikkeuksia muutamiin selkeisiin kielioppisääntöihin. Näiden aymaran kielen ominaisuuksien ansiosta bolivialainen matemaatikko Ivan Guzman de Rojas pystyi luomaan samanaikaisen tietokonekäännösjärjestelmän mistä tahansa ohjelmaan sisältyvästä viidestä eurooppalaisesta kielestä, jonka "siltana" on aymara-kieli. Asiantuntijat arvostivat suuresti bolivialaisen tiedemiehen luomaa tietokonetta "Aymara". Yhteenvetona tämän osan kysymyksestä matemaattisen ajattelutavan olemuksesta, on huomattava, että sen pääsisältö on luonnon ymmärtäminen.

  Aksiomaattinen menetelmä

• Aksiomatiikka on tärkein tapa rakentaa teoria antiikista nykypäivään, mikä vahvistaa sen universaalisuuden ja kaiken sovellettavuuden.

  Matemaattisen teorian rakentaminen perustuu aksiomaattiseen menetelmään. Tieteellinen teoria perustuu joihinkin alkuehtoihin, joita kutsutaan aksioomiksi, ja kaikki muut teorian määräykset saadaan aksioomien loogisina seurauksina.

  Aksiomaattinen menetelmä ilmestyi antiikin Kreikassa, ja sitä käytetään tällä hetkellä melkein kaikissa teoreettisissa tieteissä ja ennen kaikkea matematiikassa.

  Verrattaessa kolmea tietyssä suhteessa toisiaan täydentävää geometriaa: Euklidinen (parabolinen), Lobatševski (hyperbolinen) ja Riemannin (elliptinen), on huomattava, että eräiden yhtäläisyuksien ohella pallogeometrian välillä on suuri ero. käsi, ja toisaalta Eukleideen ja Lobatševskin geometriat.

  Perimmäinen ero modernin geometrian välillä on se, että se kattaa nyt äärettömän määrän erilaisten kuvitteellisten tilojen "geometriat". On kuitenkin huomattava, että kaikki nämä geometriat ovat tulkintoja euklidisesta geometriasta ja perustuvat aksiomaattiseen menetelmään, jota Euklides käytti ensimmäisenä.

  Tutkimuksen pohjalta aksiomaattista menetelmää on kehitetty ja käytetty laajasti. Erikoistapauksena tämän menetelmän soveltamisesta on stereometrian jäljitysmenetelmä, joka mahdollistaa osien monitahoisen rakentamisen ja eräiden muiden sijaintiongelmien ratkaisemisen.

  Aksiomaattisesta menetelmästä, joka kehitettiin ensin geometriassa, on nyt tullut tärkeä matematiikan, fysiikan ja mekaniikan tutkimusväline. Parhaillaan kehitetään ja tutkitaan aksiomaattista teorian rakentamismenetelmää syvemmälle.

  Tieteellisen teorian aksiomaattinen rakentamismenetelmä koostuu peruskäsitteiden korostamisesta, teorioiden aksioomien muotoilusta ja kaikki muut väitteet johdetaan loogisella tavalla niiden pohjalta. Tiedetään, että yksi käsite täytyy selittää muiden avulla, jotka puolestaan ​​​​määritetään joidenkin hyvin tunnettujen käsitteiden avulla. Siten päädymme peruskäsitteisiin, joita ei voida määritellä muiden termein. Näitä käsitteitä kutsutaan peruskäsitteiksi.

  Kun todistamme väitteen, lauseen, tukeudumme oletuksiin, jotka katsotaan jo todistetuiksi. Mutta nämä oletukset myös todistettiin, ne piti perustella. Lopulta joudumme todistamattomiin väitteisiin ja hyväksymme ne ilman todisteita. Näitä väitteitä kutsutaan aksioomiksi. Aksioomijoukon tulee olla sellainen, että siihen luottaen voidaan todistaa lisäväitteitä.

  Kun pääkäsitteet on erotettu ja aksioomit muotoiltu, johdetaan lauseet ja muut käsitteet loogisella tavalla. Tämä on geometrian looginen rakenne. Aksioomat ja peruskäsitteet muodostavat planimetrian perustan.

  Koska kaikille geometrioille on mahdotonta antaa yhtä määritelmää peruskäsitteille, geometrian peruskäsitteet tulisi määritellä minkä tahansa luonteisiksi objekteiksi, jotka täyttävät tämän geometrian aksioomit. Siten geometrisen järjestelmän aksiomaattisessa rakentamisessa lähdemme tietystä aksioomajärjestelmästä tai aksiomatiikasta. Nämä aksioomit kuvaavat geometrisen järjestelmän peruskäsitteiden ominaisuuksia, ja voimme esittää peruskäsitteet minkä tahansa luonteisen objektin muodossa, jolla on aksioomissa määritellyt ominaisuudet.

  Kun ensimmäiset geometriset lauseet on muotoiltu ja todistettu, on mahdollista todistaa joitain lauseita (lauseita) toisten avulla. Pythagoraan ja Demokritoksen ansioksi luetaan monien lauseiden todisteet.

  Hippokrates Khiokselta saa kunnian ensimmäisen systemaattisen geometrian kurssin laatimisesta määritelmien ja aksioomien perusteella. Tätä kurssia ja sen myöhempiä käsittelyjä kutsuttiin "elementeiksi".

  Aksiomaattinen menetelmä tieteellisen teorian rakentamiseksi

• Deduktiivisen tai aksiomaattisen tieteen rakentamismenetelmän luominen on yksi matemaattisen ajattelun suurimmista saavutuksista. Se vaati monen sukupolven tiedemiesten työtä.

  Deduktiivisen esitysjärjestelmän huomionarvoinen piirre on tämän rakenteen yksinkertaisuus, jonka ansiosta sitä voidaan kuvata muutamalla sanalla.

  Deduktiivinen esitysjärjestelmä supistetaan seuraavasti:

  1) peruskäsitteiden luetteloon,

  2) määritelmien esittämiseen,

  3) aksioomien esittämiseen,

  4) lauseiden esittämiseen,

  5) näiden lauseiden todistukseen.

  Aksiooma on väite, joka hyväksytään ilman todisteita.

  Lause on lause, joka seuraa aksioomista.

  Todistus on olennainen osa deduktiivista järjestelmää, se on päättely, joka osoittaa, että väitteen totuus seuraa loogisesti aikaisempien lauseiden tai aksioomien totuutta.

  Deduktiivisen järjestelmän sisällä ei voida ratkaista kahta kysymystä: 1) peruskäsitteiden merkityksestä, 2) aksioomien totuudesta. Mutta tämä ei tarkoita, että nämä kysymykset olisivat yleensä ratkaisemattomia.

  Luonnontieteellinen historia osoittaa, että tietyn tieteen aksiomaattisen rakentamisen mahdollisuus ilmenee vain tämän tieteen melko korkealla kehitystasolla suuren tosiasiallisen aineiston perusteella, mikä mahdollistaa pääasiallisen selkeän tunnistamisen. tämän tieteen tutkimien kohteiden välillä vallitsevia yhteyksiä ja suhteita.

  Esimerkki matemaattisen tieteen aksiomaattisesta rakenteesta on alkeisgeometria. Geometrian aksioomajärjestelmän selitti Eukleides (noin 300 eKr.) teoksensa "Alku" ja sen merkitys on vertaansa vailla. Tämä järjestelmä on suurelta osin säilynyt tähän päivään asti.

  Peruskäsitteet: piste, viiva, taso peruskuvat; olla välissä, kuulua, liikkua.

  Alkeisgeometriassa on 13 aksioomia, jotka on jaettu viiteen ryhmään. Viidennessä ryhmässä on yksi aksiooma yhdensuuntauksista (Euklidisen V-postulaatti): tason pisteen kautta voidaan vetää vain yksi suora, joka ei leikkaa tätä suoraa. Tämä on ainoa aksiooma, joka aiheutti todisteiden tarpeen. Yritykset todistaa viides postulaatti työllistivät matemaatikoita yli 2 tuhatta vuotta, aina 1800-luvun ensimmäiselle puoliskolle, ts. siihen hetkeen asti, jolloin Nikolai Ivanovitš Lobatševski osoitti kirjoituksissaan näiden yritysten täydellisen toivottomuuden. Tällä hetkellä viidennen postulaatin todistamattomuus on tiukasti todistettu matemaattinen tosiasia.

  Aksiooma rinnakkaisesta N.I. Lobatševski korvasi aksiooman: Olkoon suora ja suoran ulkopuolella oleva piste annetussa tasossa. Tämän pisteen kautta annetulle suoralle voidaan vetää ainakin kaksi yhdensuuntaista suoraa.

  Uudesta aksioomijärjestelmästä N.I. Lobatševski päätteli moitteettomalla loogisella tarkkuudella yhtenäisen lausejärjestelmän, joka muodostaa ei-euklidisen geometrian sisällön. Molemmat Eukleideen ja Lobatševskin geometriat ovat samanarvoisia loogisina järjestelminä.

  Kolme suurta matemaatikkoa 1800-luvulla lähes samanaikaisesti, toisistaan ​​riippumatta, päätyivät samoihin tuloksiin viidennen postulaatin todistamattomuudesta ja ei-euklidisen geometrian luomisesta.

  Nikolai Ivanovitš Lobatševski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Matemaattinen todiste

• Matemaattisen tutkimuksen päämenetelmä on matemaattinen todistus - tiukka looginen päättely. Objektiivisen välttämättömyyden vuoksi huomauttaa Venäjän tiedeakatemian kirjeenvaihtajajäsen L.D. Kudrjavtsev Kudrjavtsev L.D. - Moderni matematiikka ja sen opetus, Moskova, Nauka, 1985, looginen päättely (joka luonteeltaan, jos oikein on myös tiukkaa) on matematiikan menetelmä, matematiikkaa ei voi ajatella ilman niitä. On huomattava, että matemaattinen ajattelu ei rajoitu loogiseen päättelyyn. Ongelman oikeaan muotoilemiseen, sen tietojen arvioimiseen, niistä merkittävien valitsemiseen ja sen ratkaisumenetelmän valintaan tarvitaan myös matemaattista intuitiota, jonka avulla voidaan ennakoida haluttu tulos ennen se saadaan, hahmotella tutkimuksen polku uskottavan päättelyn avulla. Mutta tarkasteltavan tosiasian paikkansapitävyyttä ei todisteta tarkistamalla sitä useilla esimerkeillä, ei suorittamalla useita kokeita (millä sinänsä on suuri rooli matemaattisessa tutkimuksessa), vaan puhtaasti loogisella tavalla. muodollisen logiikan lait.

  Uskotaan, että matemaattinen todiste on lopullinen totuus. Puhtaan logiikkaan perustuva päätös ei yksinkertaisesti voi olla väärä. Mutta tieteen kehittyessä ja matemaatikoiden edessä olevat tehtävät ovat yhä monimutkaisempia.

  "Olemme siirtyneet aikakauteen, jolloin matemaattisesta laitteesta on tullut niin monimutkainen ja hankala, että ensi silmäyksellä on mahdotonta sanoa, onko havaittu ongelma totta vai ei", uskoo Keith Devlin Stanfordin yliopistosta, Kaliforniasta, USA:sta. Hän mainitsee esimerkkinä "yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelun", joka muotoiltiin jo vuonna 1980, mutta täydellistä tarkkaa näyttöä ei ole vielä esitetty. Todennäköisesti lause on totta, mutta tästä on mahdotonta sanoa varmaa.

  Tietokoneratkaisua ei myöskään voida kutsua tarkaksi, koska sellaisissa laskelmissa on aina virhe. Vuonna 1998 Hales ehdotti tietokoneavusteista ratkaisua Keplerin lauseeseen, joka muotoiltiin vuonna 1611. Tämä lause kuvaa tiheimmän pallojen pakkauksen avaruudessa. Todistus esitettiin 300 sivulla ja sisälsi 40 000 riviä konekoodia. 12 arvioijaa tarkisti ratkaisua vuoden ajan, mutta he eivät koskaan saavuttaneet 100 %:n luottamusta todisteen oikeellisuuteen, ja tutkimus lähetettiin tarkistettavaksi. Tämän seurauksena se julkaistiin vasta neljän vuoden kuluttua ja ilman arvioijien täydellistä todistusta.

  Kaikki uusimmat laskelmat sovelletuista ongelmista tehdään tietokoneella, mutta tutkijat uskovat, että paremman luotettavuuden vuoksi matemaattiset laskelmat tulisi esittää ilman virheitä.

  Todistusteoria on kehitetty logiikassa ja sisältää kolme rakenteellista komponenttia: teesin (mitä on tarkoitus todistaa), argumentit (joukko tosiasioita, yleisesti hyväksyttyjä käsitteitä, lakeja jne. asiaankuuluvan tieteen alalla) ja demonstraation (menettely itse todisteiden käyttöönotto; johdonmukainen johtopäätösketju, kun n:nnestä päätelmästä tulee yksi n+1:nnen päätelmän premissoista). Todistussäännöt erotetaan, mahdolliset loogiset virheet ilmoitetaan.

  Matemaattisella todistuksella on paljon yhteistä muodollisen logiikan periaatteiden kanssa. Lisäksi päättelyn ja operaatioiden matemaattiset säännöt toimivat ilmeisesti yhtenä perustana logiikan todistusmenettelyn kehittämisessä. Erityisesti muodollisen logiikan muodostumishistorian tutkijat uskovat, että aikoinaan, kun Aristoteles otti ensimmäiset askeleet luodakseen logiikan lakeja ja sääntöjä, hän kääntyi matematiikan ja juridisen toiminnan harjoittamiseen. Näistä lähteistä hän löysi materiaalia suunnitellun teorian loogisille rakenteille.

  Todistuksen käsite menetti 1900-luvulla tiukan merkityksensä, mikä tapahtui joukkoteoriaan piiloutuneiden loogisten paradoksien löytämisen yhteydessä ja erityisesti K. Gödelin formalisoinnin epätäydellisyyttä koskevien lauseiden tuomien tulosten yhteydessä.

  Ensinnäkin tämä vaikutti itse matematiikkaan, jonka yhteydessä uskottiin, että termillä "todistus" ei ole tarkkaa määritelmää. Mutta jos tällainen mielipide (joka pätee edelleen) vaikuttaa itse matematiikkaan, niin he päätyvät siihen tulokseen, että todistetta ei pitäisi hyväksyä logiikkamatemaattisessa, vaan psykologisessa mielessä. Lisäksi samanlainen näkemys löytyy itse Aristoteleelta, joka uskoi, että todistaminen tarkoittaa sellaisen päättelyn suorittamista, joka vakuuttaisi meidät siinä määrin, että sitä käyttämällä saamme muut vakuuttumaan jonkin asian oikeellisuudesta. Löydämme tietyn sävyn psykologisesta lähestymistavasta A.E. Yesenin-Volpinissa. Hän vastustaa jyrkästi totuuden hyväksymistä ilman todisteita yhdistäen sen uskon tekoon ja kirjoittaa edelleen: "Kutsun tuomion todistamista rehelliseksi menetelmäksi, joka tekee tästä tuomiosta kiistattoman." Yesenin-Volpin raportoi, että hänen määritelmänsä on vielä selkeytettävä. Samanaikaisesti, eikö todisteiden luonnehdinta "rehellisenä menetelmänä" petä vetoamista moraali-psykologiseen arviointiin?

  Samaan aikaan joukkoteoreettisten paradoksien löytäminen ja Godelin teoreemien ilmaantuminen vain vaikuttivat intuitionistien, erityisesti konstruktivistisen suunnan, ja D. Hilbertin harjoittaman matemaattisen todistusteorian kehitykseen.

  Joskus uskotaan, että matemaattinen todistus on universaali ja edustaa ihanteellista versiota tieteellisestä todisteesta. Se ei kuitenkaan ole ainoa menetelmä, vaan näyttöön perustuvia menettelyjä ja operaatioita on muitakin. On vain totta, että matemaattisella todistuksella on paljon yhteistä luonnontieteessä toteutetun muodollisen loogisen todistuksen kanssa ja että matemaattisella todistuksella on tiettyjä erityispiirteitä, samoin kuin tekniikoiden-operaatioiden joukko. Tähän pysähdymme jättäen pois yleisen asian, joka tekee sen liittyvän muihin todisteiden muotoihin, eli laajentamatta algoritmia, sääntöjä, virheitä jne. kaikissa vaiheissa (myös tärkeimmissä). todistusprosessi.

  Matemaattinen todistus on päättely, jonka tehtävänä on perustella väitteen totuus (tietysti matemaattisessa, eli johdettavuudessa, merkityksessä).

  Todistuksessa käytetty sääntöjoukko muodostui matemaattisen teorian aksiomaattisten rakenteiden syntymisen myötä. Tämä toteutui selkeimmin ja täydellisemmin Eukleideen geometriassa. Hänen "periaatteistaan" tuli eräänlainen mallistandardi matemaattisen tiedon aksiomaattiselle organisoinnille, ja ne pysyivät pitkään sellaisina matemaatikoille.

  Tietyn sekvenssin muodossa esitettyjen lausuntojen on taattava johtopäätös, joka loogisen toiminnan sääntöjen mukaisesti katsotaan todistetuksi. On korostettava, että tietty päättely on todiste vain jonkin aksiomaattisen järjestelmän suhteen.

  Matemaattista todistusta karakterisoitaessa erotetaan kaksi pääpiirrettä. Ensinnäkin se tosiasia, että matemaattinen todistus sulkee pois kaiken viittauksen empiiriseen näyttöön. Koko menettely päätelmän totuuden perustelemiseksi suoritetaan hyväksytyn aksiomaatiikan puitteissa. Akateemikko A.D. Aleksandrov korostaa tässä suhteessa. Voit mitata kolmion kulmat tuhansia kertoja ja varmistaa, että ne ovat yhtä suuret kuin 2d. Mutta matematiikka ei todista mitään. Todistat sen hänelle, jos päätät yllä olevan väitteen aksioomista. Toistetaan. Tässä matematiikka on lähellä skolastiikan menetelmiä, joka myös hylkää pohjimmiltaan kokeellisesti annettujen faktojen argumentoinnin.

  Esimerkiksi kun segmenttien yhteensopimattomuus havaittiin, tätä lausetta todistettaessa vetoomus fysikaaliseen kokeeseen suljettiin pois, koska ensinnäkin "yhteensopimattomuuden" käsitteellä ei ole fyysistä merkitystä, ja toiseksi matemaatikot eivät voineet, abstraktiota käsiteltäessä tuoda avuksi materiaali-konkreettiset laajennukset, mitattavissa sensoris-visuaalisella laitteella. Erityisesti neliön sivun ja diagonaalin yhteensopimattomuus todistetaan kokonaislukujen ominaisuuden perusteella käyttämällä Pythagoraan lausetta hypotenuusan neliön (vastaavasti lävistäjän) yhtäläisyydestä neliön neliöiden summaan. jalat (suoran kolmion kaksi sivua). Tai kun Lobatševski etsi vahvistusta geometrialleen viitaten tähtitieteellisten havaintojen tuloksiin, hän suoritti tämän vahvistuksen puhtaasti spekulatiivisen luonteen avulla. Cayley-Kleinin ja Beltramin tulkinnat ei-euklidisesta geometriasta sisälsivät myös tyypillisesti matemaattisia objekteja fyysisten objektien sijaan.

  Matemaattisen todistuksen toinen piirre on sen korkein abstraktisuus, jossa se eroaa muiden tieteiden todistusmenettelyistä. Ja jälleen, kuten matemaattisen objektin käsitteen tapauksessa, kyse ei ole vain abstraktioasteesta, vaan sen luonteesta. Tosiasia on, että todisteet saavuttavat korkean abstraktiotason monissa muissa tieteissä, esimerkiksi fysiikassa, kosmologiassa ja tietysti filosofiassa, koska olemisen ja ajattelun perimmäisistä ongelmista tulee jälkimmäisen aihe. Matematiikka puolestaan ​​erottuu siitä, että täällä toimivat muuttujat, joiden merkitys on abstraktiossa kaikista erityisistä ominaisuuksista. Muista, että muuttujat ovat määritelmän mukaan merkkejä, joilla ei sinänsä ole merkityksiä ja ne saavat jälkimmäisen vain, kun tiettyjen objektien nimet korvataan niiden tilalla (yksittäiset muuttujat) tai kun tietyt ominaisuudet ja suhteet ilmaistaan ​​(predikaattimuuttujat), tai lopuksi. , tapauksissa, joissa muuttuja korvataan merkityksellisellä lauseella (ehdotusmuuttuja).

  Huomattu ominaisuus määrää matemaattisessa todistuksessa käytettyjen merkkien äärimmäisen abstraktisuuden luonteen sekä lausunnot, jotka muuttujien sisällyttämisen vuoksi rakenteeseensa muuttuvat väitteiksi.

  Todistusmenettely, joka logiikassa määritellään demonstraatioksi, etenee päättelysääntöjen pohjalta, joiden perusteella siirtyminen todistetusta väitteestä toiseen tapahtuu muodostaen johdonmukaisen päättelyketjun. Yleisimmät ovat kaksi sääntöä (korvaus ja päätelmien johtaminen) ja deduktiolause.

  korvaussääntö. Matematiikassa substituutio määritellään tietyn joukon jokaisen alkion a korvaamiseksi jollakin toisella saman joukon alkiolla F(a). Matemaattisessa logiikassa korvaussääntö muotoillaan seuraavasti. Jos lauselaskennan tosikaava M sisältää kirjaimen, esimerkiksi A, niin korvaamalla se missä tahansa se esiintyy mielivaltaisella kirjaimella D, saadaan kaava, joka on myös tosi kuin alkuperäinen. Tämä on mahdollista ja hyväksyttävää juuri siksi, että lauseiden laskennassa abstraktiotaan lauseiden (kaavojen) merkityksestä... Vain arvot "tosi" tai "epätosi" otetaan huomioon. Esimerkiksi kaavassa M: A--> (BUA) korvaamme lausekkeen (AUB) A:n tilalle, jolloin saadaan uusi kaava (AUB) -->[(BU(AUB) ]).

  Päätelmien tekemisen sääntö vastaa ehdollisesti kategorisen syllogismin modus ponens (myönteinen muoto) rakennetta formaalilogiikassa. Se näyttää tältä:

  a .

  Annettu lause (a-> b) ja annettu myös a. Siitä seuraa b.

  Esimerkiksi: Jos sataa, niin jalkakäytävä on märkä, sataa (a), joten jalkakäytävä on märkä (b). Matemaattisessa logiikassa tämä syllogismi kirjoitetaan seuraavasti (a-> b) a-> b.

  Päätelmä määritetään pääsääntöisesti erottamalla implikaatiota. Jos annetaan implikaatio (a-> b) ja sen antecedentti (a), niin meillä on oikeus lisätä perusteluihin (todistus) myös tämän implikaation (b) seuraus. Syllogismi on pakottavaa, muodostaen deduktiivisten todistuskeinojen arsenaalin, toisin sanoen täyttää täysin matemaattisen päättelyn vaatimukset.

  Tärkeä rooli matemaattisessa todistuksessa on deduktiolauseella - useiden lauseiden yleisnimillä, jonka menettely mahdollistaa implikaatioiden todistettavuuden: A-> B, kun lauseesta on looginen johtaminen. kaava B kaavasta A. Lauselaskennan yleisimmässä versiossa (klassisessa, intuitionistisessa ja muun tyyppisessä matematiikassa) deduktiolause sanoo seuraavaa. Jos annetaan premissijärjestelmä G ja premissi A, josta sääntöjen mukaan voidaan johtaa B G, A B (- johdettavuuden merkki), niin tästä seuraa, että vain G:n premissistä voidaan saada lause A --> B.

  Olemme tarkastelleet tyyppiä, joka on suora todiste. Samanaikaisesti logiikassa käytetään myös ns. epäsuoraa näyttöä, on olemassa ei-suoria todisteita, jotka toteutetaan seuraavan kaavan mukaan. Heillä ei ole useista syistä johtuen (tutkimuskohteen saavuttamattomuus, sen olemassaolon todellisuuden menetys jne.) mahdollisuutta suorittaa suoraa todistetta minkä tahansa väitteen, opinnäytetyön totuudesta, he rakentavat vastakohdan. He ovat vakuuttuneita siitä, että vastakohta johtaa ristiriitaisuuksiin ja on siksi väärä. Sitten antiteesin virheellisyydestä tehdään - poissuljetun keskikohdan (a v) lain perusteella - johtopäätös teesin totuudesta.

  Matematiikassa yksi epäsuoran todisteen muodoista on laajalti käytössä - todiste ristiriidalla. Se on erityisen arvokas ja itse asiassa välttämätön matematiikan peruskäsitteiden ja säännösten hyväksymisessä, esimerkiksi todellisen äärettömyyden käsite, jota ei voi ottaa käyttöön millään muulla tavalla.

  Ristiriitaisen todistamisen toiminta esitetään matemaattisessa logiikassa seuraavasti. Annettu kaavojen G sarja ja A:n negaatio (G , A). Jos tämä merkitsee B:tä ja sen negaatiota (G , A B, ei-B), niin voimme päätellä, että A:n totuus seuraa kaavojen G sekvenssistä. Toisin sanoen teesin totuus seuraa antiteesin virheellisyydestä .

  Viitteet:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, oppikirja, Moskova, 2002;

  2. L.D. Kudrjavtsev, Moderni matematiikka ja sen opetus, Moskova, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Objektiiviset mallit ja subjektiiviset päätökset, Moskova, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, "Matematiikka? - Se on hauskaa! ”, Tekijän painos, 1989;

  5. P.K. Rashevsky, Riemannin geometria ja tensorianalyysi, Moskova, 3. painos, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot, Moskova, Higher School, 1977;

  7. Maailmanlaajuinen Enternet-verkko.

MATEMATIIKKA on tiede reaalimaailman määrällisistä suhteista ja tilamuodoista; Kreikan sana (matematice) tulee kreikan sanasta (mathema), joka tarkoittaa "tietoa", "tiedettä".

Matematiikka syntyi muinaisina aikoina ihmisten käytännön tarpeista. Sen sisältö ja luonne ovat muuttuneet historian aikana ja muuttuvat edelleen. Positiivista kokonaislukua koskevista pääaineideoista sekä ajatuksesta suorasta janasta kahden pisteen lyhin etäisyys matematiikka on kulkenut pitkän matkan kehitykseen ennen kuin siitä on tullut abstrakti tiede, jolla on erityisiä tutkimusmenetelmiä.

Nykyaikainen käsitys tilamuodoista on hyvin laaja. Se sisältää kolmiulotteisen avaruuden geometristen esineiden (viiva, ympyrä, kolmio, kartio, sylinteri, pallo jne.) lisäksi myös lukuisia yleistyksiä - moniulotteisen ja äärettömän ulottuvuuden käsitteet sekä niissä olevat geometriset kohteet , ja paljon enemmän. Samalla tavalla kvantitatiivisia suhteita ilmaistaan ​​nykyään paitsi positiivisilla kokonaisluvuilla tai rationaalisilla luvuilla, myös kompleksiluvut, vektorit, funktiot jne. Tieteen ja tekniikan kehitys pakottaa matematiikan jatkuvasti laajentamaan käsityksiään tilamuodoista ja määrällisistä suhteista.

Matematiikan käsitteet irrotetaan tietyistä ilmiöistä ja objekteista; ne saadaan abstraktion tuloksena tietylle ilmiö- ja esinealueelle ominaisista laadullisista ominaisuuksista. Tämä seikka on erittäin tärkeä matematiikan sovelluksille. Numero 2 ei liity erottamattomasti mihinkään tiettyyn aihesisältöön. Se voi viitata kahteen omenaan, kahteen kirjaan tai kahteen ajatukseen. Se pätee yhtä hyvin kaikkiin näihin ja lukemattomiin muihin esineisiin. Samalla tavalla pallon geometriset ominaisuudet eivät muutu, koska se on valmistettu lasista, teräksestä tai steariinista. Tietenkin esineen ominaisuuksista abstraktio heikentää tietoamme tietystä esineestä, sen ominaisista materiaaliominaisuuksista. Samanaikaisesti tämä abstraktio yksittäisten esineiden erityisominaisuuksista antaa käsitteille yhteisyyden, mahdollistaa matematiikan soveltamisen aineellisen luonteensa monimuotoisimpiin ilmiöihin. Näin ollen samoja matematiikan lakeja, samaa matemaattista laitteistoa voidaan soveltaa varsin tyydyttävästi luonnonilmiöiden, teknisten sekä taloudellisten ja sosiaalisten prosessien kuvaukseen.

Käsitteiden abstraktisuus ei ole matematiikan yksinomainen piirre; kaikki tieteelliset ja yleiset käsitteet sisältävät abstraktion elementin tiettyjen asioiden ominaisuuksista. Mutta matematiikassa abstraktioprosessi menee pidemmälle kuin luonnontieteissä; matematiikassa eri tasojen abstraktion konstruointiprosessia käytetään laajalti. Kyllä, konsepti ryhmiä syntyi abstrahoitumalla joistakin lukujen kokonaisuuden ominaisuuksista ja muista abstrakteista käsitteistä. Matematiikalle on ominaista myös menetelmä, jolla sen tulokset saadaan. Jos luonnontieteilijä turvautuu jatkuvasti kokemukseen todistaakseen kantansa, niin matemaatikko todistaa tuloksensa vain loogisen päättelyn avulla. Matematiikassa yhtäkään tulosta ei voida pitää todistettuna ennen kuin se tarvitsee loogisen todisteen, ja tämä vaikka erikoiskokeet vahvistaisivat tämän tuloksen. Samaan aikaan matemaattisten teorioiden todenperäisyyttä testataan myös käytännössä, mutta tämä verifiointi on luonteeltaan erikoista: matematiikan peruskäsitteet muodostuvat niiden pitkäaikaisen kiteytymisen tuloksena erityisistä käytännön vaatimuksista; itse logiikan säännöt kehitettiin vasta vuosituhansien seurannan jälkeen luonnon prosessien kulkua; matematiikan lauseiden ja tehtävien muotoileminen syntyy myös käytännön vaatimuksista. Matematiikka syntyi käytännön tarpeista, ja sen yhteydet käytäntöön monipuolistuivat ja syvenevät ajan myötä.

Periaatteessa matematiikkaa voidaan soveltaa kaikentyyppisten liikkeiden, monenlaisten ilmiöiden tutkimiseen. Todellisuudessa sen rooli tieteellisen ja käytännön toiminnan eri aloilla ei ole sama. Matematiikan rooli on erityisen suuri modernin fysiikan, kemian, monien tekniikan alojen kehityksessä, yleensä niiden ilmiöiden tutkimuksessa, joissa jopa merkittävä abstraktio niiden erityisistä laadullisista ominaisuuksista mahdollistaa kvantitatiivisen ja spatiaalisen varsin tarkasti vangitsemisen. niille ominaisia ​​malleja. Esimerkiksi matemaattinen tutkimus taivaankappaleiden liikkeistä, joka perustuu merkittäviin abstraktioihin niiden todellisista piirteistä (esim. kappaleita pidetään aineellisina pisteinä), on johtanut ja johtaa täydelliseen yhteensopivuuteen niiden todellisen liikkeen kanssa. Tällä perusteella on mahdollista paitsi ennustaa etukäteen taivaan ilmiöitä (pimennykset, planeettojen paikat jne.), vaan myös ennustaa planeettojen olemassaoloa, joita ei ole havaittu aiemmin (tällä tavalla Pluto löydettiin vuonna 1930 , Neptunus vuonna 1846). Pienempi, mutta silti merkittävä paikka on matematiikalla sellaisissa tieteissä kuin taloustiede, biologia ja lääketiede. Näissä tieteissä tutkittujen ilmiöiden laadullinen omaperäisyys on niin suuri ja vaikuttaa niiden kulkuun niin voimakkaasti, että matemaattisella analyysillä voi toistaiseksi olla vain toissijainen rooli. Erityisen tärkeä yhteiskunta- ja biologiatieteiden kannalta on matemaattiset tilastot. Myös itse matematiikka kehittyy luonnontieteen, tekniikan ja taloustieteen vaatimusten vaikutuksesta. Jo viime vuosina on syntynyt useita matemaattisia tieteenaloja, jotka ovat syntyneet käytännön pyyntöjen perusteella: informaatioteoria, peliteoria jne.

On selvää, että siirtyminen ilmiöiden kognition vaiheesta seuraavaan, tarkempaan, asettaa uusia vaatimuksia matematiikalle ja johtaa uusien käsitteiden, uusien tutkimusmenetelmien luomiseen. Siten tähtitieteen vaatimukset, jotka siirtyivät puhtaasti kuvailevasta tiedosta täsmälliseen tietoon, johtivat peruskäsitteiden kehittämiseen. trigonometria: 2. vuosisadalla eKr antiikin kreikkalainen tiedemies Hipparkhos kokosi nykyaikaisia ​​sinitaulukoita vastaavia sointutaulukoita; antiikin kreikkalaiset tiedemiehet 1. vuosisadalla Menelaus ja 2. vuosisadalla Claudius Ptolemaios loivat perustan pallomainen trigonometria. Valmistuksen, navigoinnin, tykistöjen jne. kehityksen herättämä lisääntynyt kiinnostus liikkeen tutkimukseen johti 1600-luvulla käsitteiden luomiseen. matemaattinen analyysi, uuden matematiikan kehitystä. Matemaattisten menetelmien laaja käyttöönotto luonnonilmiöiden (ensisijaisesti tähtitieteellisten ja fysikaalisten) tutkimuksessa ja tekniikan (erityisesti konetekniikan) kehittyminen johti 1700- ja 1800-luvuilla teoreettisen mekaniikan ja teorian nopeaan kehitykseen. differentiaaliyhtälöt. Aineen molekyylirakennetta koskevien ideoiden kehittyminen aiheutti nopean kehityksen todennäköisyysteoria. Tällä hetkellä voimme jäljittää uusien matemaattisen tutkimuksen alueiden syntymistä monien esimerkkien kautta. Erityisen huomionarvoisia ovat saavutukset laskennallinen matematiikka ja tietotekniikka ja niiden tuottamat muunnokset monilla matematiikan aloilla.

Historiallinen essee. Matematiikan historiassa voidaan hahmotella neljä ajanjaksoa, joilla on olennaisesti laadullisia eroja. Näitä ajanjaksoja on vaikea erottaa tarkasti toisistaan, koska jokainen myöhempi kehittyi edellisen sisällä ja siksi oli varsin merkittäviä siirtymävaiheita, jolloin uusia ideoita oli juuri ilmaantunut, eivätkä ne olleet vielä tulleet ohjaaviksi itse matematiikassa tai sen sovelluksissa.

1) Matematiikan syntykausi itsenäisenä tieteenalana; tämän ajanjakson alku on kadonnut historian syvyyksiin; Se jatkui noin 6-5 vuosisataa eaa. e.

2) Perusmatematiikan jakso, vakioiden matematiikka; se kesti suunnilleen 1600-luvun loppuun asti, jolloin uuden, "korkeamman" matematiikan kehitys meni melko pitkälle.

3) Muuttujien matematiikan jakso; jolle on ominaista matemaattisen analyysin luominen ja kehittäminen, niiden liikkeen prosessien tutkiminen, kehitys.

4) Modernin matematiikan aika; jolle on ominaista mahdollisten määrällisten suhteiden ja tilamuotojen tietoinen ja systemaattinen tutkiminen. Geometriassa ei tutkita vain todellista kolmiulotteista avaruutta, vaan myös sen kaltaisia ​​tilamuotoja. Matemaattisessa analyysissä otetaan huomioon muuttujat, jotka eivät riipu vain numeerisesta argumentista, vaan myös jostakin suorasta (funktiosta), joka johtaa käsitteisiin toiminnallisuus ja operaattori. Algebra muuttui mielivaltaisten elementtien algebrallisten operaatioiden teoriaksi. Jos vain olisi mahdollista suorittaa nämä toiminnot niille. Tämän ajanjakson alku voidaan luonnollisesti lukea 1800-luvun ensimmäisestä puoliskosta.

Muinaisessa maailmassa matemaattinen tieto oli alun perin olennainen osa pappien ja valtion virkamiesten tietämystä. Näiden tietojen varasto, kuten voidaan päätellä jo salattujen Babylonian savitaulujen ja egyptiläisten matemaattiset papyrukset, oli suhteellisen suuri. On näyttöä siitä, että tuhat vuotta ennen muinaista kreikkalaista tiedemiestä Pythagorasta Mesopotamiassa ei vain tunnettu Pythagoraan teoria, vaan myös kaikkien kokonaislukusivuisten suorakulmaisten kolmioiden löytämisen ongelma ratkaistiin. Suurin osa tuon ajan asiakirjoista on kuitenkin sääntökokoelmia yksinkertaisimpien aritmeettisten operaatioiden suorittamiseen sekä kuvioiden pinta-alojen ja kappaleiden tilavuuksien laskemiseen. Erilaisia ​​taulukoita on myös säilytetty näiden laskelmien helpottamiseksi. Kaikissa käsikirjoissa sääntöjä ei ole muotoiltu, vaan ne selitetään usein esimerkkein. Matematiikan muuttaminen formalisoiduksi tieteeksi, jossa on hyvin muodostettu deduktiivinen rakennusmenetelmä, tapahtui muinaisessa Kreikassa. Samassa paikassa matemaattinen luovuus lakkasi olemasta nimetön. Käytännöllinen aritmetiikka ja geometria antiikin Kreikassa oli korkea kehitystaso. Kreikkalaisen geometrian alkuun liittyy Thales of Miletos (7. vuosisadan loppu eKr. - 6. vuosisadan alku eKr.) nimeen, joka toi ensisijaista tietoa Egyptistä. Pythagoras of Samoksen koulussa (6. vuosisata eKr.) tutkittiin lukujen jaollisuutta, laskettiin yhteen yksinkertaisimmat progressiot, tutkittiin täydellisiä lukuja, otettiin huomioon erilaisia ​​keskiarvoja (aritmeettisia, geometrisia, harmonisia), Pythagoraan lukuja. löydettiin jälleen (kokonaislukujen kolminkertaiset, jotka voivat olla suorakulmaisen kolmion sivuja). 5-6-luvulla eKr. antiikin kuuluisat ongelmat syntyivät - ympyrän neliöinti, kulman kolminleikkaus, kuution kaksinkertaistaminen, ensimmäiset irrationaaliset luvut rakennettiin. Ensimmäinen systemaattinen geometrian oppikirja liitetään Hippokrateen Khiosin (5. vuosisadan 2. puolisko) ansioksi. Samaan aikaan platonisen koulukunnan merkittävä menestys, joka liittyy yrityksiin selittää rationaalisesti maailmankaikkeuden aineen rakennetta, kuuluu kaikkien säännöllisten polyhedrien etsimiseen. 5. ja 4. vuosisatojen rajalla eKr. Demokritos ehdotti atomistisiin ideoihin perustuvaa menetelmää kappaleiden tilavuuksien määrittämiseksi. Tätä menetelmää voidaan pitää infinitesimaalisen menetelmän prototyyppinä. 4. vuosisadalla eKr. Eudoxus of Cnidus kehitti mittasuhteiden teorian. 3. vuosisadalle eKr. on ominaista matemaattisen luovuuden suurin intensiteetti. (ns. Aleksandrian aikakauden ensimmäinen vuosisata). 3. vuosisadalla eKr. sellaiset matemaatikot kuin Eukleides, Arkhimedes, Apollonius Pergalainen, Eratosthenes työskentelivät; myöhemmin - Heron (1. vuosisadalla jKr.) Diophantus (3. vuosisadalla). "Elementeissään" Euclid keräsi ja alistettiin lopulliselle loogiselle käsittelylle saavutuksia geometrian alalla; samalla hän loi perustan lukuteorialle. Archimedesin tärkein ansio geometriassa oli erilaisten alueiden ja tilavuuksien määrittäminen. Diophantus tutki pääasiassa yhtälöiden ratkaisua rationaalisissa positiivisissa luvuissa. 300-luvun lopulla kreikkalaisen matematiikan rappeutuminen alkoi.

Matematiikka saavutti merkittävän kehityksen muinaisessa Kiinassa ja Intiassa. Kiinalaisille matemaatikoille on ominaista korkea tekniikka laskelmien suorittamisessa ja kiinnostus yleisten algebrallisten menetelmien kehittämiseen. 2.-1. vuosisadalla eKr. Matematiikka yhdeksässä kirjassa on kirjoitettu. Se sisältää samat tekniikat neliöjuuren erottamiseksi, joita esitetään myös nykyaikaisessa koulussa: menetelmät lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi, Pythagoraan lauseen aritmeettinen muotoilu.

Intian matematiikan, joka kukoisti 5.-1100-luvuilla, ansioksi luetaan nykyaikainen desimaalinumerointi sekä nolla osoittamaan tietyn luokan yksiköiden puuttumista ja paljon laajemman algebran kehittämisen ansiota kuin Diophantus, joka ei toimi vain positiivisilla rationaaliluvuilla, vaan myös negatiivisilla ja irrationaalisilla luvuilla.

Arabien valloitukset johtivat siihen, että Keski-Aasiasta Iberian niemimaalle tutkijat käyttivät arabian kieltä 800-1400-luvuilla. Keski-Aasialainen tiedemies al-Khwarizmi esitti 800-luvulla algebran itsenäisenä tieteenä. Tänä aikana monet geometriset ongelmat saivat algebrallisen muotoilun. Syyrialainen al-Battani esitteli trigonometriset funktiot sini, tangentti ja kotangentti.Samarkandin tiedemies al-Kashi (1400-luku) otti käyttöön desimaalimurtoluvut ja esitti systemaattisen esityksen, muotoili Newtonin binomiaalikaavan.

Olennaisesti uusi aikakausi matematiikan kehityksessä alkoi 1600-luvulla, jolloin ajatus liikkeestä, muutoksesta tuli selvästi matematiikkaan. Muuttujien ja niiden välisten suhteiden huomioiminen johti funktioiden, johdannaisten ja integraalien Differentiaalilaskennan, Integraalilaskennan käsitteisiin, uuden matemaattisen tieteenalan - matemaattisen analyysin - syntymiseen.

1700-luvun lopusta 1800-luvun alkuun matematiikan kehityksessä havaittiin useita olennaisesti uusia piirteitä. Näistä tunnusomaisinta oli kiinnostus useiden matematiikan perusteiden asioiden kriittiseen tarkistamiseen. Infinitesimaalien epämääräiset käsitteet on korvattu rajan käsitteeseen liittyvillä tarkoilla formulaatioilla.

Algebrassa 1800-luvulla selvitettiin kysymys mahdollisuudesta ratkaista algebrallisia yhtälöitä radikaaleissa (norjalainen tiedemies N. Abel, ranskalainen tiedemies E. Galois).

1800- ja 1900-luvuilla matematiikan numeeriset menetelmät kasvoivat itsenäiseksi haaraksi - laskennalliseksi matematiikaksi. Tärkeitä sovelluksia uudelle tietokonetekniikalle löysi 1800- ja 1900-luvuilla kehittynyt matematiikan haara - matemaattinen logiikka.

Materiaalin on laatinut matematiikan opettaja Leshchenko O.V.