Luvun a kokonaislukueksponenteista siirtyminen rationaaliseen eksponenttiin viittaa itsestään. Alla määritellään aste rationaalisella eksponentilla, ja teemme sen siten, että kaikki kokonaislukueksponentin asteen ominaisuudet säilyvät. Tämä on välttämätöntä, koska kokonaisluvut ovat osa rationaalilukuja.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista, ja jokainen murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murtolukuna. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun asteen merkitys a murto-osan kanssa m/n, missä m on kokonaisluku ja n-luonnollinen. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murto-eksponentilla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtäläisyyden ja kuinka määritimme n:nnen asteen juuren, on loogista hyväksyä, jos tiedoilla m, n ja a ilmaisussa on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetaan m, n ja a lausekkeessa on järkeä, sitten luvun teho a murto-osan kanssa m/n kutsutaan juureksi n aste a siinä määrin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jää vain kuvailla minkä alla m, n ja a ilmaisussa on järkeä. Riippuen asetetuista rajoituksista m, n ja a on kaksi päälähestymistapaa.

1. Helpoin tapa on asettaa rajoitus a, hyväksyy a≥0 positiiviselle m ja a>0 negatiiviselle m(koska klo m≤0 tutkinnon 0 m ei määritetty). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun aste a murto-osan kanssa m/n , missä m on kokonaisuus ja n on luonnollinen luku, jota kutsutaan juuriksi n- joukosta a siinä määrin m, tuo on, .

Myös nollan murto-aste määritellään sillä ainoalla varoituksella, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n , missä m on positiivinen kokonaisluku, ja n on luonnollinen luku, joka määritellään .
Kun astetta ei ole määritelty, eli luvun nolla, jolla on murto-osa negatiivinen eksponentti, ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määritelmällä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a ja jotakin m ja n ilmaus on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0. Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murtoluvulla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

2. Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murtoluvulla m/n koostuu juuren parillisten ja parittomien eksponentien erillisestä huomioimisesta. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehdon: luvun potenssin a, jonka indikaattori on pelkistetty tavallinen murtoluku, pidetään luvun potenssina a, jonka indikaattori on vastaava redusoitumaton murto-osa (tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murtoluku, sitten mille tahansa luonnolliselle luvulle k tutkinto korvataan alustavasti .

Tasaiseksi n ja positiivinen m ilmaisu on järkevä kaikille ei-negatiivisille a(negatiivisen luvun parillisen asteen juurilla ei ole järkeä), negatiivisella m määrä a on silti oltava eri kuin nolla (muuten se on jako nollalla). Ja oudoksi n ja positiivinen m määrä a voi olla mikä tahansa (parittoman asteen juuri on määritelty mille tahansa reaaliluvulle) ja negatiiviselle m määrä a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nollalla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Päästää m/n- redusoitumaton murto-osa m on kokonaisuus ja n- luonnollinen luku. Minkä tahansa pienennettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan arvolla . aste a redusoitumattomalla murto-eksponentilla m/n- se on varten

o mikä tahansa todellinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja outoa luonnollista n, esimerkiksi, ;

o mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku a, negatiivinen kokonaisluku m ja outoa n, esimerkiksi, ;

o mikä tahansa ei-negatiivinen luku a, positiivinen kokonaisluku m ja jopa n, esimerkiksi, ;

o mitään positiivista a, negatiivinen kokonaisluku m ja jopa n, esimerkiksi, ;

o muissa tapauksissa astetta ei ole määritelty murto-eksponentilla, koska esimerkiksi asteita ei ole määritelty .a-merkinnöille emme liitä mitään merkitystä, määrittelemme nolla-asteen positiivisille murto-eksponenteille m/n Miten , negatiivisille murtolukueksponenteille luvun nollan astetta ei ole määritelty.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnitetään huomiota siihen, että murto-eksponentti voidaan kirjoittaa desimaalimurtolukuna tai sekalukuna, esim. . Tällaisten lausekkeiden arvojen laskemiseksi sinun on kirjoitettava eksponentti tavallisena murto-osana ja käytettävä sitten asteen määritelmää murto-osalla. Näitä esimerkkejä varten meillä on ja

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

Khasyanova T.G.,

matematiikan opettaja

Esitetty materiaali on hyödyllinen matematiikan opettajille opiskellessaan aihetta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla".

Esitellyn materiaalin tarkoitus: paljastaa kokemukseni tieteenalan "Matematiikka" työohjelman aiheesta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla".

Oppitunnin metodologia vastaa sen tyyppiä - oppitunti uuden tiedon tutkimisessa ja ensisijaisessa vahvistamisessa. Perustiedot ja -taidot päivitettiin aiemmin hankitun kokemuksen perusteella; uuden tiedon ensisijainen muistaminen, yhdistäminen ja soveltaminen. Uuden materiaalin konsolidointi ja soveltaminen tapahtui testaamieni vaihtelevan monimutkaisuuden ongelmien ratkaisemisena, mikä antoi positiivisen tuloksen aiheen hallitsemisessa.

Oppitunnin alussa asetin oppilaille seuraavat tavoitteet: kasvattava, kehittävä, kasvattava. Oppitunnilla käytin erilaisia ​​toimintatapoja: frontaalinen, yksilöllinen, höyrysauna, itsenäinen, testi. Tehtävät oli eriytetty ja niiden avulla oli mahdollista tunnistaa jokaisessa oppitunnin vaiheessa tiedon assimilaatioaste. Tehtävien määrä ja monimutkaisuus vastaavat opiskelijoiden ikäominaisuuksia. Kokemukseni mukaan kotitehtävät, jotka ovat samankaltaisia ​​kuin luokkahuoneessa ratkaistavissa tehtävissä, antavat sinun lujittaa hankitut tiedot ja taidot turvallisesti. Oppitunnin lopussa suoritettiin reflektointi ja yksittäisten opiskelijoiden työtä arvioitiin.

Tavoitteet on saavutettu. Opiskelijat tutkivat tutkinnon käsitettä ja ominaisuuksia rationaalisella eksponentilla, oppivat käyttämään näitä ominaisuuksia käytännön ongelmien ratkaisussa. Itsenäisen työn arvosanat ilmoitetaan seuraavalla oppitunnilla.

Uskon, että matematiikan opettajat voivat soveltaa matematiikan tuntien johtamiseen käyttämäni metodologiaa.

Oppitunnin aihe: Tutkinto rationaalisella mittarilla

Oppitunnin tarkoitus:

Opiskelijoiden tieto- ja taitokompleksin hallitsemisen tason tunnistaminen ja sen perusteella tiettyjen ratkaisujen soveltaminen koulutusprosessin parantamiseksi.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelmat: muodostaa opiskelijoiden keskuudessa uutta tietoa peruskäsitteistä, säännöistä, laeista tutkinnon määrittämiseksi rationaalisella indikaattorilla, kyky soveltaa itsenäisesti tietoa standardiolosuhteissa, muuttuneissa ja epätyypillisissä olosuhteissa;

kehitetään: ajatella loogisesti ja toteuttaa luovia kykyjä;

kasvattajat: herättää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, täydentää sanastoa uusilla termeillä, saada lisätietoa ympäröivästä maailmasta. Kasvata kärsivällisyyttä, sinnikkyyttä, kykyä voittaa vaikeudet.

Ajan järjestäminen

Perustietojen päivittäminen

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

2. Kun potenssit jaetaan samoilla kantakantoilla, eksponentit vähennetään ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

3. Kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan ja kanta pysyy samana:

Esimerkiksi,

4. Tuloksen aste on yhtä suuri kuin tekijöiden potenssien tulo:

Esimerkiksi,

5. Osamäärän aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan potenssien osamäärä:

Esimerkiksi,

Ratkaisuharjoitukset

Etsi lausekkeen arvo:

Ratkaisu:

Tässä tapauksessa mitään luonnollisen eksponentin asteen ominaisuuksista ei voida soveltaa eksplisiittisesti, koska kaikilla asteilla on eri kanta. Kirjoitetaan muutama tutkinto eri muodossa:

(tulon aste on yhtä suuri kuin tekijöiden asteiden tulo);

(kun kerrotaan potenssit samalla kantalla, eksponentit lisätään ja kanta pysyy samana; kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan, mutta kanta pysyy samana).

Sitten saamme:

Tässä esimerkissä käytettiin asteen neljää ensimmäistä ominaisuutta luonnollisella eksponentilla.

Aritmeettinen neliöjuuri
on ei-negatiivinen luku, jonka neliö ona,
. klo
- ilmaisu
ei määritelty, koska ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on yhtä suuri kuin negatiivinen lukua.

Matemaattinen sanelu(8-10 min.)

Vaihtoehto

II. Vaihtoehto

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

1. Etsi lausekkeen arvo

a)

b)

2. Laske

a)

b)

AT)

2. Laske

a)

b)

sisään)

Itsetestaus(kantotaululla):

Vastausmatriisi:

№ vaihtoehto/tehtävä

Tehtävä 1

Tehtävä 2

Vaihtoehto 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

sisään)

Vaihtoehto 2

a) 1.5

b)

a)

b)

klo 4

II Uuden tiedon muodostuminen

Harkitse ilmaisun merkitystä, missä - positiivinen luku– murtoluku ja m-kokonaisluku, n-luonnollinen (n>1)

Määritelmä: luvun a›0 aste rationaalisen eksponentin kanssar = , m-koko, n-luonnollinen ( n›1) numeroon soitetaan.

Niin:

Esimerkiksi:

Huomautuksia:

1. Jokaiselle positiiviselle a:lle ja mille tahansa rationaaliselle r:lle, luku positiivisesti.

2. Milloin
luvun rationaalinen tehoaei määritelty.

Ilmaisuja kuten
ei ole järkeä.

3.Jos positiivinen murtoluku
.

Jos murto-osa negatiivinen luku siis -ei ole järkeä.

Esimerkiksi: - ei ole järkeä.

Tarkastellaan rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia.

Olkoon a>0, в>0; r, s - mitkä tahansa rationaaliluvut. Sitten asteella, jolla on mikä tahansa rationaalinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidointi. Uusien taitojen ja kykyjen muodostuminen.

Tehtäväkortit toimivat pienissä ryhmissä testin muodossa.

Lausekkeet, lausekkeiden muuntaminen

Voimalausekkeet (ilmaisut potenssien kanssa) ja niiden muunnos

Tässä artikkelissa puhumme ilmaisujen muuntamisesta voimilla. Ensinnäkin keskitymme muunnoksiin, jotka suoritetaan kaikenlaisilla lausekkeilla, mukaan lukien teholausekkeet, kuten avaavat sulut, vähentävät samanlaisia ​​termejä. Ja sitten analysoimme muunnoksia, jotka ovat ominaisia ​​nimenomaan astelausekkeille: työskentely kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämällä asteiden ominaisuuksia jne.

Sivulla navigointi.

Mitä ovat tehoilmaisut?

Termiä "voimailmaisut" ei käytännössä löydy matematiikan koulukirjoista, mutta se esiintyy usein ongelmakokoelmissa, jotka on erityisesti suunniteltu valmistautumaan esimerkiksi yhtenäiseen valtionkokeeseen ja OGE:hen. Analysoitua tehtäviä, joissa vaaditaan mitä tahansa toimintoja teholausekkeilla, käy selväksi, että teholausekkeet ymmärretään lausekkeina, jotka sisältävät asteita merkinnöissään. Siksi voit itsellesi ottaa seuraavan määritelmän:

Määritelmä.

Voimailmaisuja ovat ilmaisuja, jotka sisältävät voimia.

Tuodaan esimerkkejä voimailmaisuista. Lisäksi esitämme niitä sen mukaan, kuinka näkemysten kehittyminen luonnollisen indikaattorin tutkinnosta todellisen indikaattorin tutkintoon tapahtuu.

Kuten tiedät, ensin tutustutaan luonnollisen eksponentin luvun asteeseen, tässä vaiheessa ensimmäiset yksinkertaisimmat potenssilausekkeet tyypistä 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Hieman myöhemmin tutkitaan kokonaislukueksponentilla varustetun luvun potenssia, mikä johtaa negatiivisten kokonaislukupotenssien potenssilausekkeiden esiintymiseen, kuten seuraava: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

Vanhemmilla luokilla palataan taas tutkintojen pariin. Siellä otetaan käyttöön aste, jolla on rationaalinen eksponentti, mikä johtaa vastaavien potenssilausekkeiden ilmestymiseen: , , jne. Lopuksi tarkastellaan asteita, joissa on irrationaaliset eksponentit ja niitä sisältävät lausekkeet: , .

Asia ei rajoitu lueteltuihin potenssilausekkeisiin: edelleen muuttuja tunkeutuu eksponenttiin, ja on olemassa esimerkiksi sellaisia ​​lausekkeita 2 x 2 +1 tai . Ja tutustumisen jälkeen alkaa ilmaantua lausekkeita potenssien ja logaritmien kanssa, esimerkiksi x 2 lgx −5 x lgx.

Joten selvitimme kysymyksen siitä, mitä ovat voimailmaisut. Seuraavaksi opimme kuinka niitä muutetaan.

Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit

Teholausekkeiden avulla voit suorittaa mitä tahansa lausekkeiden perusidentiteettimuunnoksia. Voit esimerkiksi laajentaa sulkeita, korvata numeerisia lausekkeita niiden arvoilla, lisätä vastaavia termejä ja niin edelleen. Luonnollisesti tässä tapauksessa on noudatettava hyväksyttyä menettelyä toimien suorittamiseksi. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki.

Laske potenssilausekkeen arvo 2 3 ·(4 2 −12) .

Ratkaisu.

Toimintojen järjestyksen mukaan suoritamme ensin suluissa olevat toiminnot. Siellä ensin korvataan 4 2:n potenssi sen arvolla 16 (katso tarvittaessa) ja toiseksi lasketaan ero 16−12=4 . Meillä on 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Tuloksena olevassa lausekkeessa korvataan 2 3:n potenssi sen arvolla 8, minkä jälkeen lasketaan tulo 8·4=32 . Tämä on haluttu arvo.

Niin, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Vastaus:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Esimerkki.

Yksinkertaista voimailmaisuja 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Ratkaisu.

Ilmeisesti tämä lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä 3 · a 4 · b − 7 ja 2 · a 4 · b − 7 , ja voimme pelkistää ne: .

Vastaus:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Esimerkki.

Ilmaise ilmaisu voimilla tuotteena.

Ratkaisu.

Tehtävästä selviäminen mahdollistaa luvun 9 esittämisen potenssina 3 2 ja myöhemmän lyhennetyn kertolaskukaavan käytön, neliöiden eron:

Vastaus:

Teholausekkeisiin sisältyy myös useita identtisiä muunnoksia. Seuraavaksi analysoimme niitä.

Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa

On olemassa asteita, joiden perustana ja/tai indikaattorina ei ole vain numeroita tai muuttujia, vaan joitain lausekkeita. Kirjoitetaan esimerkiksi (2+0.3 7) 5−3.7 ja (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Tällaisten lausekkeiden kanssa työskennellessä on mahdollista korvata sekä asteen pohjassa oleva lauseke että indikaattorin lauseke identtisellä yhtäläisellä lausekkeella sen muuttujien DPV:ssä. Toisin sanoen meille tunnettujen sääntöjen mukaan voimme erikseen muuntaa tutkinnon perusteen ja erikseen - indikaattorin. On selvää, että tämän muunnoksen tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Tällaiset muunnokset antavat meille mahdollisuuden yksinkertaistaa ilmaisuja voimalla tai saavuttaa muita tarvitsemiamme tavoitteita. Esimerkiksi edellä mainitussa potenssilausekkeessa (2+0.3 7) 5−3.7 voidaan suorittaa operaatioita kanta- ja eksponenttiluvuilla, jolloin päästään potenssiin 4.1 1.3. Ja kun sulut on avattu ja samat termit tuotu asteen kantaan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) saadaan yksinkertaisemman muodon a 2·(x+1) potenssilauseke ) .

Virran ominaisuuksien käyttäminen

Yksi tärkeimmistä työkaluista lausekkeiden muuntamiseen potenssien kanssa ovat yhtäläisyydet, jotka heijastavat . Muistakaamme tärkeimmät. Kaikille positiivisille luvuille a ja b sekä mielivaltaisille reaaliluvuille r ja s seuraavat tehoominaisuudet pätevät:

• a r a s = a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a rbr;
• (a:b) r =a r:br;
• (a r) s = a r s .

Huomaa, että luonnollisten, kokonaislukujen ja positiivisten eksponentien kohdalla lukujen a ja b rajoitukset eivät välttämättä ole niin tiukkoja. Esimerkiksi luonnollisille luvuille m ja n yhtälö a m ·a n =a m+n pätee paitsi positiivisille a , myös negatiivisille luvuille ja a=0 .

Koulussa päähuomio voimailmaisujen muuntamisessa keskittyy juuri kykyyn valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein. Tässä tapauksessa asteiden kantaluvut ovat yleensä positiivisia, jolloin voit käyttää asteiden ominaisuuksia ilman rajoituksia. Sama pätee astekantaisia ​​muuttujia sisältävien lausekkeiden muunnoksiin - muuttujien hyväksyttävien arvojen alue on yleensä sellainen, että kannat ottavat siitä vain positiivisia arvoja, jolloin voit käyttää ominaisuuksia vapaasti asteista. Yleensä sinun on jatkuvasti kysyttävä itseltäsi, onko tässä tapauksessa mahdollista käyttää mitä tahansa asteen ominaisuutta, koska ominaisuuksien epätarkka käyttö voi johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ongelmiin. Näitä kohtia käsitellään yksityiskohtaisesti ja esimerkein artikkelissa lausekkeiden muunnos asteiden ominaisuuksilla. Tässä rajoitamme vain muutamaan yksinkertaiseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Ilmaise lauseke a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 potenssina, jonka kanta on a .

Ratkaisu.

Ensin muunnamme toisen tekijän (a 2) −3 ominaisuudella nostaa potenssi potenssiksi: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Tässä tapauksessa alkuperäinen potenssilauseke on muotoa a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Ilmeisesti jää käyttää kertomisen ja valtuuksien jaon ominaisuuksia samalla pohjalla, meillä on
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Vastaus:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Tehoominaisuuksia käytetään muunnettaessa potenssilausekkeita sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle.

Esimerkki.

Etsi teholausekkeen arvo.

Ratkaisu.

Oikealta vasemmalle sovellettu yhtälö (a·b) r =a r ·b r mahdollistaa siirtymisen alkuperäisestä lausekkeesta muodon tuloon ja edelleen. Ja kun tehot kerrotaan samalla pohjalla, indikaattorit laskevat yhteen: .

Alkuperäisen lausekkeen muunnos oli mahdollista suorittaa toisella tavalla:

Vastaus:

.

Esimerkki.

Kun potenssilauseke a 1,5 −a 0,5 −6 , syötä uusi muuttuja t=a 0,5 .

Ratkaisu.

Aste a 1,5 voidaan esittää muodossa 0,5 3 ja edelleen asteen ominaisuuden perusteella asteella (a r) s =a r s sovellettaessa oikealta vasemmalle muuntaa se muotoon (a 0,5) 3 . Tällä tavalla, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nyt on helppo ottaa käyttöön uusi muuttuja t=a 0.5 , saadaan t 3 −t−6 .

Vastaus:

t 3 −t−6 .

Muunnetaan potenssit sisältävät murtoluvut

Potenssilausekkeet voivat sisältää murtolukuja potenssien kanssa tai edustaa sellaisia ​​murtolukuja. Mikä tahansa perusmurtomuunnos, joka on luontainen minkä tahansa tyyppisille jakeille, on täysin sovellettavissa tällaisiin murtolukuihin. Toisin sanoen asteita sisältävät murtoluvut voidaan pienentää, pienentää uuteen nimittäjään, työskennellä erikseen osoittajansa kanssa ja erikseen nimittäjän kanssa jne. Havainnollistaaksesi yllä olevia sanoja, harkitse useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Ratkaisu.

Tämä teholauseke on murto-osa. Työskentelemme sen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Avaamme osoittajassa sulut ja yksinkertaistamme sen jälkeen saatua lauseketta potenssien ominaisuuksilla, ja nimittäjässä esitämme vastaavat termit:

Ja muutamme myös nimittäjän etumerkkiä asettamalla miinuksen murtoluvun eteen: .

Vastaus:

.

Potensseja sisältävien murtolukujen pelkistäminen uuteen nimittäjään suoritetaan samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut uuteen nimittäjään. Samalla löydetään myös lisäkerroin ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan sillä. Tätä toimintoa suoritettaessa on syytä muistaa, että vähentäminen uuteen nimittäjään voi johtaa DPV:n kaventumiseen. Tämän estämiseksi on välttämätöntä, että lisätekijä ei katoa millekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Esimerkki.

Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) nimittäjään a, b) nimittäjään.

Ratkaisu.

a) Tässä tapauksessa on melko helppoa selvittää, mikä lisätekijä auttaa saavuttamaan halutun tuloksen. Tämä on kerroin a 0,3, koska a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Huomaa, että muuttujan a hyväksyttävien arvojen alueella (tämä on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko) aste a 0,3 ei katoa, joten meillä on oikeus kertoa annetun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä tällä lisätekijällä:

b) Tarkastellessamme tarkemmin nimittäjä, huomaamme sen

ja kertomalla tämä lauseke antaa kuutioiden summan ja Eli . Ja tämä on uusi nimittäjä, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.

Joten löysimme lisätekijän. Lauseke ei katoa muuttujien x ja y hyväksyttävien arvojen alueelle, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:

Vastaus:

a) , b) .

Myöskään astetta sisältävien murtolukujen pelkistymisessä ei ole mitään uutta: osoittaja ja nimittäjä esitetään tiettynä tekijänä ja osoittajan ja nimittäjän samat tekijät pienennetään.

Esimerkki.

Pienennä murtolukua: a) , b).

Ratkaisu.

a) Ensinnäkin osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää luvuilla 30 ja 45, mikä on 15. Voit myös luonnollisesti pienentää x 0,5 +1 ja . Tässä on mitä meillä on:

b) Tässä tapauksessa samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä eivät näy heti. Niiden saamiseksi sinun on suoritettava alustavia muunnoksia. Tässä tapauksessa ne koostuvat nimittäjän hajottamisesta tekijöiksi neliöiden erotuskaavan mukaan:

Vastaus:

a)

b) .

Murtolukujen pelkistämistä uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentämistä käytetään pääasiassa murto-operaatioiden suorittamiseen. Toiminnot suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaan. Murtolukuja lisättäessä (vähenntäessä) ne pienennetään yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen osoittajat lisätään (vähennetään), ja nimittäjä pysyy samana. Tuloksena on murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Jako murtoluvulla on kertolasku sen käänteisluvulla.

Esimerkki.

Seuraa vaiheita .

Ratkaisu.

Ensin vähennämme murtoluvut suluissa. Tätä varten tuomme ne yhteiselle nimittäjälle, joka on , vähennä sitten osoittajat:

Nyt kerrotaan murtoluvut:

On selvää, että vähennys teholla x 1/2 on mahdollista, minkä jälkeen meillä on .

Voit myös yksinkertaistaa teholauseketta nimittäjässä käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: .

Vastaus:

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Ratkaisu.

Ilmeisesti tätä murto-osaa voidaan pienentää (x 2,7 +1) 2:lla, tämä antaa murto-osan . On selvää, että x:n potenssien kanssa on tehtävä jotain muuta. Tätä varten muunnamme tuloksena olevan jakeen tuotteeksi. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää voimanjakoominaisuutta samoilla perusteilla: . Ja prosessin lopussa siirrymme viimeisestä tuotteesta fraktioon.

Vastaus:

.

Ja lisäämme, että on mahdollista ja monissa tapauksissa toivottavaa siirtää negatiivisen eksponentin omaavat tekijät osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan vaihtamalla eksponentin etumerkkiä. Tällaiset muutokset usein yksinkertaistavat jatkotoimenpiteitä. Esimerkiksi teholauseke voidaan korvata .

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla

Usein lausekkeissa, joissa vaaditaan joitain muunnoksia, samoin kuin asteet murto-osien eksponenteilla, on myös juuria. Tällaisen lausekkeen muuttamiseksi haluttuun muotoon riittää useimmissa tapauksissa meneminen vain juuriin tai vain tehoihin. Mutta koska asteiden kanssa on helpompi työskennellä, ne yleensä siirtyvät juurista asteisiin. On kuitenkin suositeltavaa suorittaa tällainen siirtyminen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ sallii sinun korvata juuret asteilla ilman tarvetta käyttää moduulia tai jakaa ODZ useisiin aikaväleihin (keskustelimme tästä yksityiskohtaisesti artikkeli, siirtyminen juurista potenssiin ja päinvastoin. Tutustuttuaan rationaalisen eksponentin asteeseen otetaan käyttöön irrationaalisen indikaattorin aste, jonka avulla voidaan puhua asteesta mielivaltaisella reaaliindikaattorilla. Tässä vaiheessa koulu alkaa opiskella eksponentti funktio, joka on analyyttisesti annettu asteella, jonka perusteella on luku, ja indikaattorissa - muuttuja. Joten kohtaamme potenssilausekkeita, jotka sisältävät lukuja asteen kantaosassa ja eksponenttilausekkeita - muuttujalausekkeita, ja luonnollisesti syntyy tarve suorittaa muunnoksia tällaisista lausekkeista.

On sanottava, että osoitetun tyyppisten lausekkeiden muunnos on yleensä suoritettava ratkaistaessa eksponentiaaliyhtälöt ja eksponentiaaliset epätasa-arvot, ja nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia. Useimmissa tapauksissa ne perustuvat tutkinnon ominaisuuksiin ja niillä on lähinnä tarkoitus ottaa käyttöön uusi muuttuja tulevaisuudessa. Yhtälön avulla voimme osoittaa ne 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Ensin eksponentit, joiden eksponenteista löytyy jonkin muuttujan (tai muuttujalausekkeen) ja luvun summa, korvataan tuloilla. Tämä koskee vasemmalla puolella olevan lausekkeen ensimmäistä ja viimeistä termiä:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Seuraavaksi yhtälön molemmat puolet jaetaan lausekkeella 7 2 x , joka ottaa vain positiiviset arvot ODZ-muuttujalta x alkuperäiselle yhtälölle (tämä on standarditekniikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, emme puhu se nyt, joten keskity seuraaviin ilmaisujen muunnoksiin, joilla on voima ):

Nyt potenssien murtoluvut peruutetaan, mikä antaa .

Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön , joka vastaa . Tehdyt muunnokset mahdollistavat uuden muuttujan käyttöönoton, joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön ratkaisuksi

I. V. Boikov, L. D. Romanova Kokoelma tenttiin valmistautuvia tehtäviä. Osa 1. Penza 2003.

Tässä artikkelissa ymmärrämme, mikä on aste. Tässä annamme määritelmiä luvun asteelle, samalla kun tarkastellaan yksityiskohtaisesti kaikkia mahdollisia asteen eksponenteja, alkaen luonnollisesta eksponentista ja päättyen irrationaaliseen. Materiaalista löydät paljon esimerkkejä tutkinnoista, jotka kattavat kaikki esiin tulevat hienoudet.

Sivulla navigointi.

Aste luonnollisella eksponentilla, luvun neliö, luvun kuutio

Aloitetaan . Tarkastellaan eteenpäin, sanotaan, että a:n asteen määritelmä luonnollisella eksponentilla n on annettu a:lle, jota kutsumme tutkinnon perusta, ja n , joita kutsumme eksponentti. Huomaa myös, että aste luonnollisella indikaattorilla määritetään tuotteen kautta, joten alla olevan materiaalin ymmärtämiseksi sinulla on oltava käsitys numeroiden kertomisesta.

Määritelmä.

Luvun a potenssi luonnollisen eksponentin n kanssa on muotoa a n oleva lauseke, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a, eli .
Erityisesti eksponentin 1 luvun a aste on itse luku a, eli a 1 =a.

Välittömästi kannattaa mainita tutkintojen lukemisen säännöt. Universaali tapa lukea merkintä a n on: "a n:n potenssiin". Joissakin tapauksissa myös sellaiset vaihtoehdot ovat hyväksyttäviä: "a n. potenssiin" ja "luvun a n:nnen potenssiin". Otetaan esimerkiksi potenssi 8 12, tämä on "kahdeksas kahdentoista potenssiin" tai "kahdeksas - kahdestoista potenssi" tai "kahdeksastoista potenssi".

Numeron toisella potenssilla sekä luvun kolmannella potenssilla on omat nimensä. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliö esimerkiksi 7 2 luetaan "seitsemän neliönä" tai "luvun seitsemän neliö". Luvun kolmatta potenssia kutsutaan kuution numero Esimerkiksi 5 3 voidaan lukea "viisi kuutiona" tai sanoa "kuutio numerosta 5".

On aika tuoda esimerkkejä asteista fysikaalisilla indikaattoreilla. Aloitetaan potenssilla 5 7 , jossa 5 on potenssin kanta ja 7 on eksponentti. Otetaan toinen esimerkki: 4.32 on kanta ja luonnollinen luku 9 on eksponentti (4.32) 9 .

Huomaa, että viimeisessä esimerkissä asteen kanta 4.32 on kirjoitettu hakasulkeisiin: erojen välttämiseksi otamme hakasulkeisiin kaikki tutkinnon kantakannat, jotka poikkeavat luonnollisista luvuista. Esimerkkinä annamme seuraavat asteet luonnollisilla indikaattoreilla , niiden kantakannat eivät ole luonnollisia lukuja, joten ne kirjoitetaan sulkeisiin. No, täydellisen selvyyden vuoksi tässä vaiheessa näytämme eron, joka sisältyy muotojen (−2) 3 ja −2 3 tietueisiin. Lauseke (−2) 3 on −2:n potenssi luonnollisella eksponentilla 3 ja lauseke −2 3 (voidaan kirjoittaa muodossa −(2 3) ) vastaa lukua, potenssin 2 3 arvoa.

Huomaa, että a-asteelle on merkintä, jonka eksponentti n on muotoa a^n . Lisäksi, jos n on moniarvoinen luonnollinen luku, niin eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4^9 on toinen merkintä luvun 4 9 potenssille. Ja tässä on lisää esimerkkejä asteiden kirjoittamisesta "^"-symbolilla: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Seuraavassa käytämme pääasiassa muodon a n asteen merkintää.

Yksi ongelmista, käänteinen eksponentio luonnollisella eksponentilla, on asteen kantakohdan löytäminen asteen tunnetusta arvosta ja tunnetusta eksponentista. Tämä tehtävä johtaa.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtoluvuista, ja jokainen murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murtolukuna. Määritimme asteen kokonaislukueksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määritelmän rationaalisella eksponentilla, meidän on annettava luvun a asteen merkitys murto-eksponentilla m / n, missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tehdään se.

Tarkastellaan astetta muodon murto-eksponentilla. Jotta tutkinnon ominaisuus tutkinnossa pysyisi voimassa, tasa-arvon on oltava voimassa . Jos otamme huomioon tuloksena olevan yhtälön ja tavan, jolla määritimme , on loogista hyväksyä, edellyttäen, että annetuille m, n ja a lausekkeelle on järkeä.

On helppo tarkistaa, että kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet ovat voimassa as:lle (tämä tehdään rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksia käsittelevässä osiossa).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa johtopäätös: jos annetuille m:lle, n:lle ja a lausekkeelle on järkeä, niin luvun a potenssi murto-eksponentilla m / n on a:n n:nnen asteen juuri potenssiin m.

Tämä väite vie meidät lähelle murto-eksponentin asteen määritelmää. Jäljelle jää vain kuvailemaan, mille m:lle, n:lle ja a:lle lauseke on järkevä. M :lle, n:lle ja a:lle asetetuista rajoituksista riippuen on olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa.

Helpoin tapa rajoittaa a on olettaa a≥0 positiiviselle m:lle ja a>0 negatiiviselle m:lle (koska m≤0:lla ei ole 0 m:n tehoa). Sitten saamme seuraavan asteen määritelmän murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Positiivisen luvun a potenssi murto-eksponentilla m/n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, kutsutaan luvun a n:nnen juuriksi m:n potenssiin, eli .

Myös nollan murto-aste määritellään sillä ainoalla varoituksella, että eksponentin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollan potenssi positiivisen eksponentin murto-osalla m/n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, määritellään seuraavasti .
Kun astetta ei ole määritelty, eli luvun nolla, jolla on murto-osa negatiivinen eksponentti, ei ole järkeä.

On huomattava, että tällaisella asteen määritelmällä murto-eksponentilla on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a:ille ja joillekin m ja n:lle lauseke on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset ottamalla käyttöön ehdon a≥0 . Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai , ja yllä oleva määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet muodon murtoluvulla ovat merkityksettömiä, koska kanta ei saa olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa asteen määrittämiseen murto-eksponentilla m / n on tarkastella erikseen juuren parillisia ja parittomia eksponenteja. Tämä lähestymistapa vaatii lisäehdon: luvun a astetta, jonka eksponentti on , pidetään luvun a asteena, jonka eksponentti on vastaava redusoitumaton murto-osa (tämän ehdon tärkeys selitetään alla). Eli jos m/n on pelkistymätön murto-osa, minkä tahansa luonnollisen luvun k aste korvataan ensin luvulla .

Parilliselle n:lle ja positiiviselle m:lle lauseke on järkevä mille tahansa ei-negatiiviselle a:lle (negatiivisen luvun parillisen asteen juurilla ei ole järkeä), negatiiviselle m:lle luvun a täytyy silti olla nollasta poikkeava (muuten jako tapahtuu nollalla). Ja parittoman n:n ja positiivisen m:n kohdalla luku a voi olla mikä tahansa (parittoman asteen juuri on määritelty mille tahansa reaaliluvulle), ja negatiiviselle m:lle luvun a on oltava eri kuin nolla (jotta ei jako nolla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto-eksponentilla.

Määritelmä.

Olkoon m/n pelkistymätön murtoluku, m kokonaisluku ja n luonnollinen luku. Minkä tahansa pienennettävän tavallisen murtoluvun aste korvataan arvolla . A:n potenssi pelkistymättömällä murto-eksponentilla m / n on varten



Selvitetään, miksi pelkistyvä murto-asteinen aste korvataan ensin asteella, jolla on pelkistymätön eksponentti. Jos määrittelisimme asteeksi yksinkertaisesti , emmekä tekisi varausta murto-osan m / n pelkistymättömyydestä, kohtaisimme seuraavanlaisia ​​tilanteita: koska 6/10=3/5 , niin yhtälö , mutta , a.

Lauseke a n (potenssi kokonaislukueksponentilla) määritellään kaikissa tapauksissa, paitsi silloin, kun a = 0 ja n on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden pääominaisuudet kokonaislukueksponentilla:

a m*an = a (m+n);

a m: a n \u003d a (m-n) (kanssa a ei ole yhtä kuin nolla);

(a m) n = a (m*n);

(a*b) n = an*bn;

(a/b) n = (a n)/(b n) (for b ei ole yhtä kuin nolla);

a 0 = 1 (kun a ei ole yhtä kuin nolla);

Nämä ominaisuudet ovat voimassa kaikille luvuille a, b ja kaikille kokonaisluvuille m ja n. On myös syytä huomioida seuraava ominaisuus:

Jos m>n, niin a m> a n, kun a>1 ja a m

Luvun asteen käsite on mahdollista yleistää tapauksiin, joissa rationaaliluvut toimivat eksponenteina. Samalla toivoisin, että kaikki yllä mainitut ominaisuudet täyttyvät tai ainakin osa niistä.

Jos esimerkiksi ominaisuus (a m) n = a (m*n) suoritettaisiin, seuraava yhtälö olisi tosi:

(a (m/n)) n = am.

Tämä yhtälö tarkoittaa, että luvun a (m/n) on oltava luvun a m n:s juuri.

Jonkin luvun a (suurempi kuin nolla) potenssia, jonka rationaalinen eksponentti on r = (m/n), jossa m on jokin kokonaisluku, n on jokin luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi, kutsutaan luvuksi n√(a m). Määritelmän perusteella: a (m/n) = n√(a m).

Kaikille positiivisille r-arvoille määritetään nollan potenssi. Määritelmän mukaan 0 r = 0. Huomioimme myös, että mille tahansa kokonaisluvulle mikä tahansa luonnollinen m ja n sekä positiivinen a seuraava yhtälö on tosi: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Esimerkki: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Asteen määritelmä rationaalisen eksponentin kanssa tarkoittaa suoraan sitä tosiasiaa, että mille tahansa positiiviselle a:lle ja mille tahansa rationaaliselle r:lle luku a r on positiivinen.

Rationaalisen eksponentin tutkinnon perusominaisuudet

Kaikille rationaalisille luvuille p, q ja mille tahansa a>0 ja b>0, seuraavat yhtälöt ovat tosia:

1. (a p)*(a q) = a (p+q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p*q);

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Nämä ominaisuudet johtuvat juurien ominaisuuksista. Kaikki nämä ominaisuudet todistetaan samalla tavalla, joten rajoitamme todistamaan vain yhden niistä, esimerkiksi ensimmäisen (a p)*(a q) = a (p + q) .

Olkoon p = m/n ja q = k/l, missä n, l ovat luonnollisia lukuja ja m, k joitakin kokonaislukuja. Sitten sinun on todistettava, että:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Ensin tuodaan murtoluvut m/n k/l yhteiseen nimittäjään. Saamme murto-osat (m*l)/(n*l) ja (k*n)/(n*l). Kirjoitamme yhtälön vasemman puolen uudelleen käyttämällä näitä merkintöjä ja saamme:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(k/l)) .