• Järjestelmät m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.
  Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen on tällainen joukko numeroita ( x 1 , x 2 , …, x n), korvaamalla mikä järjestelmän jokaisessa yhtälössä saadaan oikea yhtälö.
  missä aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n ovat järjestelmän kertoimet;
  bi, i = 1, …, m- ilmaiset jäsenet;
  xj, j = 1, …, n- tuntematon.
  Yllä oleva järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon: A X = B,
  
  
  
  
  missä ( A|B) on järjestelmän päämatriisi;
  A— järjestelmän laajennettu matriisi;
  X— tuntemattomien sarake;
  B on ilmaisten jäsenten sarake.
  Jos matriisi B ei ole nollamatriisi ∅, niin tätä lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan epähomogeeniseksi.
  Jos matriisi B= ∅, niin tätä lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi. Homogeenisella järjestelmällä on aina nolla (triviaali) ratkaisu: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Lineaaristen yhtälöiden yhteinen järjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on ratkaisu.
  Epäjohdonmukainen lineaariyhtälöjärjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla ei ole ratkaisua.
  Tietty lineaarinen yhtälöjärjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu.
  Epämääräinen lineaarinen yhtälöjärjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on ääretön määrä ratkaisuja.
• N lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on n tuntematonta
  Jos tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä, matriisi on neliö. Matriisideterminanttia kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän päädeterminantiksi ja sitä merkitään symbolilla Δ.
  Cramer menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.
  Cramerin sääntö.
  Jos lineaarisen yhtälöjärjestelmän päädeterminantti ei ole nolla, järjestelmä on johdonmukainen ja määritelty, ja ainoa ratkaisu lasketaan käyttämällä Cramer-kaavoja:
  missä Δi ovat determinantteja, jotka on saatu järjestelmän päädeterminantista Δ korvaamalla i sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen. .
• M lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on n tuntematonta
  Kronecker-Cappelli-lause.
  
  
  Jotta tämä lineaarinen yhtälöjärjestelmä olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän matriisin järjestys on yhtä suuri kuin järjestelmän laajennetun matriisin arvo, sijoitus(Α) = sijoitus(Α|B).
  Jos soi(Α) ≠ soi(Α|B), järjestelmällä ei ilmeisesti ole ratkaisuja.
  Jos sijoitus(Α) = sijoitus(Α|B), kaksi tapausta on mahdollista:
  1) soi(Α) = n(tuntemattomien lukumäärään) - ratkaisu on ainutlaatuinen ja se voidaan saada Cramerin kaavoilla;
  2) sijoitus (Α)< n − Ratkaisuja on äärettömän monta.
• Gaussin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen
  
  
  Muodostetaan lisätty matriisi ( A|B) annetusta kerroinjärjestelmästä tuntemattomalla ja oikealla puolella.
  Gaussin menetelmä eli tuntemattomien eliminointimenetelmä koostuu lisätyn matriisin pienentämisestä ( A|B) alkeismuunnosten avulla rivien yli diagonaalimuotoon (ylempiin kolmiomuotoon). Palatakseni yhtälöjärjestelmään, kaikki tuntemattomat on määritetty.
  Merkkijonojen perusmuunnoksia ovat seuraavat:
  1) kahden rivin vaihtaminen;
  2) merkkijonon kertominen muulla kuin 0:lla;
  3) lisätään merkkijonoon toinen merkkijono kerrottuna mielivaltaisella luvulla;
  4) tyhjän merkkijonon hylkääminen.
  Diagonaalimuotoon pelkistetty laajennettu matriisi vastaa annettua vastaavaa lineaarista järjestelmää, jonka ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia. .
• Homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä.
  Homogeenisella järjestelmällä on muoto:
  
  se vastaa matriisiyhtälöä A X = 0.
  1) Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska r(A) = r(A|B), on aina nollaratkaisu (0, 0, …, 0).
  2) Jotta homogeenisella järjestelmällä olisi nollasta poikkeava ratkaisu, se on välttämätöntä ja riittävää r = r(A)< n , joka vastaa Δ = 0.
  3) Jos r< n , silloin Δ = 0, silloin on vapaita tuntemattomia c1, c2, …, cn-r, järjestelmässä on ei-triviaaleja ratkaisuja, ja niitä on äärettömän paljon.
  4) Yleinen ratkaisu X klo r< n voidaan kirjoittaa matriisimuodossa seuraavasti:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  missä on ratkaisut X1, X2, …, Xn-r muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän.
  5) Perusratkaisujärjestelmä voidaan saada homogeenisen järjestelmän yleisestä ratkaisusta:
  
  ,
  jos oletamme peräkkäin parametrien arvoiksi (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Yleisratkaisun hajoaminen perusratkaisujärjestelmän kannalta on tietue yleisestä ratkaisusta perusjärjestelmään kuuluvien ratkaisujen lineaarisena yhdistelmänä.
  Lause. Jotta lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisulla olisi nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ ≠ 0.
  Joten jos determinantti on Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
  Jos Δ ≠ 0, niin lineaarisilla homogeenisilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja.
  Lause. Jotta homogeenisella järjestelmällä olisi nollasta poikkeava ratkaisu, se on välttämätöntä ja riittävää r(A)< n .
  Todiste:
  1) r ei voi olla enempää n(matriisin sijoitus ei ylitä sarakkeiden tai rivien määrää);
  2) r< n , koska jos r = n, niin järjestelmän päädeterminantti Δ ≠ 0, ja Cramerin kaavojen mukaan on olemassa ainutlaatuinen triviaaliratkaisu x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, mikä on ehdon vastaista. tarkoittaa, r(A)< n .
  Seuraus. Homogeenisen järjestelmän aikaansaamiseksi n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntemattomilla on nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ = 0.

On annettu N lineaarisen algebrallisen yhtälön (SLAE) järjestelmä tuntemattomien kanssa, joiden kertoimet ovat matriisin alkiot ja vapaat jäsenet numerot

Ensimmäinen indeksi kertoimien vieressä osoittaa, missä yhtälössä kerroin sijaitsee, ja toinen - missä tuntemattomissa se sijaitsee.

Jos matriisideterminantti ei ole nolla

silloin lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisu on sellainen järjestetty lukujoukko , joka muuttaa järjestelmän jokaisen yhtälön oikeaksi yhtälöksi.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden oikeat puolet ovat nolla, yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi. Siinä tapauksessa, että jotkut niistä ovat nollia poikkeavia, epäyhtenäisiä

Jos lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmässä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan yhteensopivaksi, muuten se on yhteensopimaton.

Jos järjestelmän ratkaisu on ainutlaatuinen, niin lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan määrätyksi. Siinä tapauksessa, että yhteisjärjestelmän ratkaisu ei ole ainutlaatuinen, yhtälöjärjestelmää kutsutaan määrittelemättömäksi.

Kahta lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (tai ekvivalentiksi), jos yhden järjestelmän kaikki ratkaisut ovat toisen järjestelmän ratkaisuja ja päinvastoin. Vastaavat (tai vastaavat) järjestelmät saadaan käyttämällä vastaavia muunnoksia.

SLAE:n vastaavat muunnokset

1) yhtälöiden uudelleenjärjestely;

2) yhtälöiden kertominen (tai jako) nollasta poikkeavalla luvulla;

3) lisätään johonkin yhtälöön toinen yhtälö, kerrottuna mielivaltaisella nollasta poikkeavalla luvulla.

SLAE-ratkaisu löytyy eri tavoin.

CRAMERIN MENETELMÄ

CRAMERIN LAUSE. Jos tuntemattomien lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän determinantti on eri kuin nolla, niin tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löydetään Cramerin kaavoista:

ovat determinantteja, jotka muodostetaan korvaamalla i. sarake vapaiden jäsenten sarakkeella.

Jos , ja ainakin yksi on nollasta poikkeava, SLAE:llä ei ole ratkaisuja. Jos , niin SLAE:llä on monia ratkaisuja. Harkitse esimerkkejä Cramerin menetelmällä.

—————————————————————

On annettu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä

Etsi tuntemattomien kertoimien matriisin determinantti

Koska , annettu yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Lasketaan determinantit:

Cramerin kaavoja käyttämällä löydämme tuntemattomat

Niin ainoa ratkaisu järjestelmään.

Neljän lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmä on annettu. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.

Etsitään tuntemattomien kertoimien matriisin determinantti. Tätä varten laajennamme sitä ensimmäisellä rivillä.

Etsi determinantin komponentit:

Korvaa löydetyt arvot determinantilla

Siksi determinantti yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Laskemme determinantit Cramerin kaavoilla:

Laajennetaan jokaista determinanttia sarakkeella, jossa on enemmän nollia.

Cramerin kaavoilla löydämme

Järjestelmäratkaisu

Tämä esimerkki voidaan ratkaista matemaattisella laskimella YukhymCALC. Alla on esitetty pätkä ohjelmasta ja laskelmien tulokset.

——————————

C R A M E R -MENETELMÄ

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= kymmenen

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Katso materiaalit:

(jcomments on)

Yleisessä tapauksessa sääntö kertaluvun determinanttien laskemisesta on melko hankala. Toisen ja kolmannen asteen determinanteille on olemassa järkeviä tapoja laskea ne.

Toisen kertaluvun determinanttien laskelmat

Toisen kertaluvun matriisin determinantin laskemiseksi on tarpeen vähentää toissijaisen diagonaalin elementtien tulo päälävistäjän elementtien tulosta:

Esimerkki

Harjoittele. Laske toisen asteen determinantti

Päätös.

Vastaus.

Kolmannen kertaluvun determinanttien laskentamenetelmät

Kolmannen asteen determinanttien laskemiseen on olemassa sääntöjä.

kolmion sääntö

Kaavamaisesti tämä sääntö voidaan esittää seuraavasti:

Ensimmäisen determinantin elementtien tulo, jotka on yhdistetty viivoilla, otetaan plusmerkillä; samoin toiselle determinantille vastaavat tulot otetaan miinusmerkillä, ts.

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti kolmiomenetelmä.

Päätös.

Vastaus.

Sarrus hallitsee

Determinantin oikealle puolelle lisätään kaksi ensimmäistä saraketta ja päädiagonaalin ja sen suuntaisten diagonaalien alkioiden tulot otetaan plusmerkillä; ja toissijaisen lävistäjän ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot miinusmerkillä:

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti Sarrusin sääntöä käyttäen.

Päätös.

Vastaus.

Determinantin rivin tai sarakkeen laajennus

Determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.

Yleensä valitaan se rivi/sarake, jossa on nollia. Rivi tai sarake, jolle hajottaminen suoritetaan, on merkitty nuolella.

Esimerkki

Harjoittele. Laajenna ensimmäisen rivin yli ja laske determinantti

Päätös.

Vastaus.

Tämä menetelmä mahdollistaa determinantin laskennan pelkistämisen alemman kertaluvun determinantin laskemiseen.

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti

Päätös. Tehdään seuraavat muunnokset determinantin riveille: toisesta rivistä vähennetään ensimmäiset neljä ja kolmannesta rivistä ensimmäinen rivi kerrottuna seitsemällä, jolloin saadaan determinantin ominaisuuksien mukaan determinantti yhtä suuri kuin annettu.

Determinantti on nolla, koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia.

Vastaus.

Neljännen ja korkeamman asteen determinanttien laskemiseen käytetään joko rivin/sarakkeen laajennusta tai pelkistystä kolmiomuotoon tai Laplacen lausetta.

Determinantin jaottelu rivin tai sarakkeen elementtien mukaan

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti , jakaa sen jonkin rivin tai jonkin sarakkeen elementeillä.

Päätös. Tehdään ensin alkeismuunnokset determinantin riveille tekemällä mahdollisimman monta nollaa joko riville tai sarakkeeseen. Tätä varten vähennämme ensin yhdeksän kolmasosaa ensimmäisestä rivistä, viisi kolmasosaa toisesta ja kolme kolmasosaa neljännestä, saamme:

Laajennamme tuloksena olevaa determinanttia ensimmäisen sarakkeen elementeillä:

Tuloksena olevaa kolmannen kertaluvun determinanttia laajennetaan myös rivin ja sarakkeen elementeillä, jotka ovat aikaisemmin saaneet nollia esimerkiksi ensimmäiseen sarakkeeseen.

Tätä varten vähennämme kaksi toista riviä ensimmäisestä rivistä ja toisen kolmannesta:

Vastaus.

Kommentti

Viimeistä ja toiseksi viimeistä determinanttia ei voitu laskea, mutta pääteltiin heti, että ne ovat nolla, koska ne sisältävät suhteellisia rivejä.

Determinantin saattaminen kolmion muotoon

Rivien tai sarakkeiden yli suoritettavien alkeismuunnosten avulla determinantti pelkistetään kolmiomuotoon ja sitten sen arvo determinantin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti saada se kolmion muotoon.

Päätös. Ensin teemme nollia ensimmäiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle.

4. Determinanttien ominaisuudet. Matriisien tulon determinantti.

Kaikki muunnokset on helpompi suorittaa, jos elementti on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten vaihdamme determinantin ensimmäisen ja toisen sarakkeen, mikä saa determinantin ominaisuuksien mukaan vaihtamaan etumerkin päinvastaiseksi. :

Seuraavaksi saamme nollia toiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alla olevien elementtien tilalle. Ja jälleen, jos diagonaalinen elementti on yhtä suuri kuin , laskelmat ovat yksinkertaisempia. Tätä varten vaihdamme toisen ja kolmannen rivin (ja samalla vaihdamme determinantin vastakkaiseen merkkiin):

Vastaus.

Laplacen lause

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti Laplacen lauseen avulla

Päätös. Valitsemme kaksi riviä tässä viidennen asteen determinantissa - toisen ja kolmannen, niin saamme (jätämme pois termit, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla):

Vastaus.

LINEAARISET YHTÄLÖT JA ERÄTASUAVUUDET I

31 § Tapaus, jossa yhtälöjärjestelmän päädeterminantti on nolla ja ainakin yksi apudeterminanteista on eri kuin nolla

Lause.Jos yhtälöjärjestelmän päädeterminantti

(1)

on yhtä suuri kuin nolla ja ainakin yksi apudeterminanteista on eri kuin nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Muodollisesti tämän lauseen todistetta ei ole vaikea saada ristiriitaisesti. Oletetaan, että yhtälöjärjestelmällä (1) on ratkaisu ( x 0 , y 0). Kuten edellisestä kappaleesta käy ilmi,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Mutta ehdon mukaan Δ = 0 ja vähintään yksi determinanteista Δ x ja Δ y eroaa nollasta. Näin ollen yhtäläisyydet (2) eivät voi olla voimassa samanaikaisesti. Lause on todistettu.

Vaikuttaa kuitenkin mielenkiintoiselta selvittää tarkemmin, miksi yhtälöjärjestelmä (1) on epäjohdonmukainen tarkasteltavana olevassa tapauksessa.

tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmän (1) tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia. Olkoon esim.

a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .

tarkoittaa, että kertoimet klo ja järjestelmän (1) yhtälöiden vapaat ehdot eivät ole verrannollisia. Sikäli kuin b 1 = kb 2 siis c 1 =/= kc 2 .

Siksi yhtälöjärjestelmä (1) voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Tässä järjestelmässä tuntemattomien kertoimet ovat vastaavasti verrannollisia, mutta kertoimet for klo (tai milloin X ) ja ilmaiset ehdot eivät ole suhteellisia. Tällainen järjestelmä on tietysti epäjohdonmukainen. Todellakin, jos hänellä olisi ratkaisu ( x 0 , y 0), sitten numeeriset yhtälöt

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Mutta yksi näistä tasa-arvoista on ristiriidassa toisen kanssa: loppujen lopuksi c 1 =/= kc 2 .

Olemme tarkastelleet vain tapausta, jolloin Δ x =/= 0. Samalla tavalla voimme tarkastella tapausta, jolloin Δ y =/= 0."

Todistettu lause voidaan muotoilla seuraavalla tavalla.

Jos kertoimet tuntemattomille X ja klo Yhtälöjärjestelmässä (1) ovat suhteellisia, eivätkä minkään näiden tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ole verrannollisia, silloin tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

On helppo esimerkiksi varmistaa, että jokainen näistä järjestelmistä on epäjohdonmukainen:

Cramerin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Cramerin kaavat

Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.

Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista niin monen lineaarisen yhtälön järjestelmä kuin yhtälössä on tuntemattomia.

Cramerin menetelmä. Sovellus lineaariyhtälöjärjestelmille

Jos järjestelmän determinantti ei ole nolla, niin ratkaisussa voidaan käyttää Cramerin menetelmää, jos se on nolla, niin ei. Lisäksi Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).

Determinantit

saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:

;

.

Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä sisältää järjestelmän determinantin ja osoittaja sisältää determinantin, joka on saatu järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Mukaan Cramerin lause meillä on:

Eli järjestelmän (2) ratkaisu:

Kolme tapausta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa

Kuten näkyy osoitteesta Cramerin lauseet, kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi esiintyä kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)

*

Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja

(järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen)

**
,

nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.

Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja

(järjestelmä epäjohdonmukainen)

Eli järjestelmä m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia kutsutaan yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, ja liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma, ja enemmän kuin yksi epävarma.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä

Anna järjestelmän

.

Perustuu Cramerin lauseeseen

………….
,

missä
—

järjestelmän tunniste. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla jäsenillä:

Esimerkki 2

.

Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä ei ole muuttujia yhdessä tai useammassa yhtälössä, niin determinantissa niitä vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.

Esimerkki 3 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

.

Päätös. Löydämme järjestelmän determinantin:

Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Eli järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Sivun yläreunassa

Vastaa tietokilpailuun lineaarisista yhtälöjärjestelmistä

Kuten jo mainittiin, jos järjestelmän determinantti on nolla ja tuntemattomien determinantit eivät ole nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Havainnollistetaan seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 4 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Päätös. Löydämme järjestelmän determinantin:

Järjestelmän determinantti on nolla, joten lineaariyhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen ja määrätty tai epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Selvyyden vuoksi laskemme tuntemattomien determinantit

Tuntemattomien determinantit eivät ole yhtä suuria kuin nolla, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tehtävissä on myös sellaisia, joissa muuttujia osoittavien kirjainten lisäksi on myös muita kirjaimia. Nämä kirjaimet tarkoittavat jotakin numeroa, useimmiten todellista numeroa. Käytännössä tällaiset yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät johtavat ongelmiin minkä tahansa ilmiön ja kohteen yleisten ominaisuuksien löytämisessä. Eli keksit jonkin uuden materiaalin tai laitteen ja sen ominaisuuksien kuvaamiseksi, jotka ovat yleisiä kopioiden koosta tai lukumäärästä riippumatta, sinun on ratkaistava lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa joidenkin muuttujien kertoimien sijaan on kirjaimia. Esimerkkejä ei tarvitse etsiä kaukaa.

Seuraava esimerkki koskee samanlaista ongelmaa, vain yhtälöiden, muuttujien ja kirjaimien määrä, jotka osoittavat jotain reaalilukua, kasvaa.

Esimerkki 6 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Päätös. Löydämme järjestelmän determinantin:

Determinanttien löytäminen tuntemattomille

Cramerin kaavoilla löydämme:

,

,

.

Ja lopuksi neljän yhtälön järjestelmä neljällä tuntemattomalla.

Esimerkki 7 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

.

Huomio! Tässä ei selitetä neljännen asteen determinanttien laskentamenetelmiä. Sen jälkeen - sivuston sopivaan osaan. Mutta kommentteja tulee. Päätös. Löydämme järjestelmän determinantin:

Pieni kommentti. Alkuperäisessä determinantissa neljännen rivin alkiot vähennettiin toisen rivin alkioista, neljännen rivin alkiot kerrottuna 2:lla vähennettiin kolmannen rivin alkioista, ensimmäisen rivin alkiot kerrottuna 2:lla vähennetään neljännen rivin elementeistä. Determinanttien löytäminen tuntemattomille

Neljännen tuntemattoman determinantin muunnoksissa neljännen rivin alkiot vähennettiin ensimmäisen rivin alkioista.

Cramerin kaavoilla löydämme:

Eli järjestelmän ratkaisu on (1; 1; -1; -1).

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Tarkkailevat luultavasti huomasivat, että artikkelissa ei ollut esimerkkejä epämääräisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta. Ja kaikki koska tällaisia ​​järjestelmiä on mahdotonta ratkaista Cramer-menetelmällä, voimme vain todeta, että järjestelmä on määrittelemätön. Tällaisten järjestelmien ratkaisut annetaan Gaussin menetelmällä.

Eikö sinulla ole aikaa syventyä ratkaisuun? Voit tilata työpaikan!

Sivun yläreunassa

Vastaa tietokilpailuun lineaarisista yhtälöjärjestelmistä

Muuta aiheesta "Yhtälöjärjestelmät ja epäyhtälöt"

Laskin - ratkaise yhtälöjärjestelmiä verkossa

Cramerin menetelmän ohjelmallinen toteutus C++:ssa

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen substituutio- ja summausmenetelmällä

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä

Lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden ehto.

Kronecker-Capellin lause

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käänteismatriisi)

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmät ja konveksit pistejoukot

Aiheen "Lineaarinen algebra" alku

Determinantit

Tässä artikkelissa tutustumme erittäin tärkeään käsitteeseen lineaarialgebran osasta, jota kutsutaan determinantiksi.

Huomautan heti tärkeän asian: determinantin käsite pätee vain neliömatriiseille (rivien määrä = sarakkeiden lukumäärä), muissa matriiseissa sitä ei ole.

Neliömatriisin determinantti(determinantti) — matriisin numeerinen ominaisuus.

Determinanttien nimitys: |A|, det A, ∆ A.

määräävä tekijä"n" kertalukua kutsutaan kaikkien sen elementtien mahdollisten tulojen algebralliseksi summaksi, jotka täyttävät seuraavat vaatimukset:

1) Jokainen tällainen tuote sisältää täsmälleen "n" elementtiä (eli toisen asteen determinantti on 2 elementtiä).

2) Jokaisessa tuotteessa on kunkin rivin ja sarakkeen edustaja tekijänä.

3) Kussakin tuotteessa mitkään kaksi tekijää eivät voi kuulua samaan riviin tai sarakkeeseen.

Tuotteen etumerkki määräytyy sarakenumeroiden vuorottelujärjestyksen mukaan, jos tuotteen elementit on järjestetty rivinumeroiden nousevaan järjestykseen.

Harkitse muutamia esimerkkejä matriisin determinantin löytämisestä:

Ensimmäisen kertaluvun matriisille (esim.

Lineaariset yhtälöt. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Cramerin menetelmä.

on vain 1 elementti), determinantti on yhtä suuri kuin tämä elementti:

2. Tarkastellaan toisen kertaluvun neliömatriisia:

3. Tarkastellaan kolmannen kertaluvun neliömatriisia (3×3):

4. Harkitse nyt esimerkkejä reaaliluvuilla:

Kolmion sääntö.

Kolmiosääntö on tapa laskea matriisin determinantti, mikä edellyttää sen löytämistä seuraavan kaavion mukaisesti:

Kuten jo ymmärsit, menetelmää kutsuttiin kolmiosäännöksi, koska kerrotut matriisielementit muodostavat omituisia kolmioita.

Ymmärtääksesi tämän paremmin, otamme esimerkin:

Ja nyt harkitse matriisin determinantin laskemista reaaliluvuilla kolmiosäännön avulla:

Katetun materiaalin vahvistamiseksi ratkaisemme toisen käytännön esimerkin:

Determinanttien ominaisuudet:

1. Jos rivin tai sarakkeen alkiot ovat nolla, niin determinantti on nolla.

2. Determinantti vaihtaa etumerkkiä, jos 2 riviä tai saraketta vaihdetaan. Katsotaanpa tätä pienellä esimerkillä:

3. Transponoidun matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

4. Determinantti on nolla, jos yhden rivin alkiot ovat yhtä suuria kuin toisen rivin vastaavat elementit (myös sarakkeiden osalta). Yksinkertaisin esimerkki tästä determinanttien ominaisuudesta on:

5. Determinantti on nolla, jos sen 2 riviä ovat verrannollisia (myös sarakkeille). Esimerkki (rivit 1 ja 2 ovat verrannollisia):

6. Rivin (sarakkeen) yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.

7) Determinantti ei muutu, jos minkä tahansa rivin (sarakkeen) elementit lisätään toisen rivin (sarakkeen) vastaaviin elementteihin kerrottuna samalla arvolla. Katsotaanpa tätä esimerkillä:

Pieni ja algebrallinen lisäys

Matriisien yhteen- ja vähennyslasku esimerkkien avulla

Toimet matriiseilla

Käsite "matriisi"

Katselukerrat: 57258

Determinantti (alias determinantti (determinantti)) löytyy vain neliömatriiseista. Determinantti ei ole muuta kuin matriisin kaikki elementit yhdistävä arvo, joka säilyy rivejä tai sarakkeita transponoitaessa. Sitä voidaan merkitä det(A), |A|, Δ(A), Δ, missä A voi olla sekä matriisi että sitä osoittava kirjain. Löydät sen eri tavoilla:

Kaikki edellä ehdotetut menetelmät analysoidaan matriiseilla, joiden koko on vähintään kolme. Kaksiulotteisen matriisin determinantti löydetään käyttämällä kolmea perusmatemaattista operaatiota, joten kaksiulotteisen matriisin determinantin löytäminen ei kuulu mihinkään menetelmään. No, paitsi lisäyksenä, mutta siitä lisää myöhemmin.

Etsi 2x2-matriisin determinantti:

Matriisimme determinantin löytämiseksi on vähennettävä toisen lävistäjän lukujen tulo toisesta, eli

Esimerkkejä toisen kertaluvun matriisien determinantin löytämisestä

Rivi/sarake hajoaminen

Mikä tahansa matriisin rivi tai sarake valitaan. Jokainen valitulla rivillä oleva luku kerrotaan arvolla (-1) i+j, jossa (i,j on kyseisen luvun rivin, sarakkeen numero) ja kerrotaan toisen asteen determinantilla, joka muodostuu jäljellä olevista elementeistä i - rivin ja j - sarake. Katsotaanpa matriisia

1. Valitse rivi/sarake

Otetaan esimerkiksi toinen rivi.

Huomautus: Jos ei ole nimenomaisesti ilmoitettu, millä rivillä determinantti etsitään, valitse rivi, jolla on nolla. Laskelmia tulee vähemmän.

1. Luo lauseke

Ei ole vaikeaa määrittää, että luvun etumerkki vaihtuu joka toinen kerta. Siksi yksiköiden sijasta voit ohjata seuraavaa taulukkoa:

1. Muutetaan numeroidemme etumerkki

1. Etsitään matriisiemme determinantit

1. Otamme kaiken huomioon

Ratkaisu voidaan kirjoittaa näin:

Esimerkkejä determinantin löytämisestä rivi-/sarakelaajennuksen perusteella:

Tapa pelkistää kolmiomuotoon (käyttämällä alkeismuunnoksia)

Determinantti löydetään tuomalla matriisi kolmion muotoiseen (porrastettuun) muotoon ja kertomalla päädiagonaalin alkiot

Kolmiomatriisi on matriisi, jonka alkiot diagonaalin toisella puolella ovat nolla.

Kun rakennat matriisia, muista kolme yksinkertaista sääntöä:

1. Joka kerta kun merkkijonot vaihdetaan, determinantti vaihtaa etumerkkiä päinvastaiseksi.
2. Kun kerrotaan / jaetaan yksi rivi nollasta poikkeavalla luvulla, se tulee jakaa (jos kerrotaan) / kertoa (jos jaetaan) sillä tai suorittaa tämä toiminto tuloksena olevalla determinantilla.
3. Kun lisäät toiseen merkkijonoon yhden luvulla kerrotun merkkijonon, determinantti ei muutu (kerrottu merkkijono saa alkuperäisen arvon).

Yritetään saada nollia ensimmäiseen sarakkeeseen, sitten toiseen.

Katsotaanpa matriisiamme:

Ta-a-ak. Jotta laskelmat olisivat miellyttävämpiä, haluaisin lähimmän numeron päälle. Voit jättää sen, mutta sinun ei tarvitse. Okei, meillä on kakkonen toisella rivillä ja neljä ensimmäisellä rivillä.

Vaihdetaan nämä kaksi riviä.

Vaihdoimme rivit, nyt meidän on joko vaihdettava yhden rivin etumerkki tai vaihdettava determinantin etumerkki lopussa.

Determinantit. Determinanttien laskeminen (s. 2)

Teemme sen myöhemmin.

Nyt saadaksemme nollan ensimmäiselle riville, kerromme ensimmäisen rivin kahdella.

Vähennä ensimmäinen rivi toisesta.

Kolmannen sääntömme mukaan palautamme alkuperäisen merkkijonon alkuasentoon.

Tehdään nyt nolla 3. riville. Voimme kertoa ensimmäisen rivin 1,5:llä ja vähentää kolmannesta, mutta murtolukujen kanssa työskentely tuo vain vähän iloa. Siksi etsitään luku, johon molemmat merkkijonot voidaan pienentää - tämä on 6.

Kerro 3. rivi 2:lla.

Nyt kerromme ensimmäisen rivin kolmella ja vähennämme kolmannesta.

Palataan 1. rivimme.

Älä unohda, että kerroimme 3. rivin 2:lla, joten jaamme determinantin 2:lla.

On yksi sarake. Nyt, saadaksemme nollia toiselle - unohdamme 1. rivin - työskentelemme 2. rivin kanssa. Kerro toinen rivi -3:lla ja lisää se kolmanteen riviin.

Älä unohda palauttaa toista riviä.

Joten olemme rakentaneet kolmiomatriisin. Mitä meillä on jäljellä? Ja vielä on kerrottava päädiagonaalin numerot, minkä teemme.

No, pitää muistaa, että meidän on jaettava determinanttimme kahdella ja vaihdettava merkki.

Sarrusin sääntö (kolmioiden sääntö)

Sarrusin sääntö koskee vain kolmannen asteen neliömatriiseja.

Determinantti lasketaan lisäämällä matriisin oikealla puolella olevat kaksi ensimmäistä saraketta, kertomalla matriisin diagonaalien alkiot ja lisäämällä ne sekä vähentämällä vastakkaisten lävistäjien summa. Vähennä violetti oransseista diagonaaleista.

Kolmioiden sääntö on sama, vain kuva on erilainen.

Laplacen lause katso Rivi/sarake-hajotelma

Etusivu > Asiakirja

MATRIKSIT, DETERMINANTIT, LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄT

MATRIISIN MÄÄRITELMÄ. MATRIISIT TYYPITMatriisin koko m× n kutsutaan kokonaisuudeksi m n numerot on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon m linjat ja n sarakkeita. Tämä taulukko on yleensä sulkeissa. Esimerkiksi matriisi voi näyttää tältä:

Lyhyyden vuoksi matriisi voidaan merkitä yhdellä isolla kirjaimella, esim. MUTTA tai AT.Yleensä kokomatriisi m× n kirjoittaa näin

.

Matriisin muodostavia lukuja kutsutaan matriisielementtejä. On kätevää toimittaa matriisielementtejä kahdella indeksillä a ij: Ensimmäinen osoittaa rivin numeron ja toinen osoittaa sarakkeen numeron. Esimerkiksi, a 23 - elementti on 2. rivillä, 3. sarakkeessa. Jos matriisin rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, niin matriisia kutsutaan ns. neliö-, ja sen rivien tai sarakkeiden lukumäärää kutsutaan järjestyksessä matriiseja. Yllä olevissa esimerkeissä toinen matriisi on neliö - sen järjestys on 3 ja neljäs matriisi - sen järjestys on 1. Matriisi, jossa rivien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, kutsutaan suorakulmainen. Esimerkeissä tämä on ensimmäinen matriisi ja kolmas. On myös matriiseja, joissa on vain yksi rivi tai yksi sarake. Matriisi, jossa on vain yksi rivi, on ns. matriisi - rivi(tai merkkijono) ja matriisi, jossa on vain yksi sarake, matriisi - sarake Kutsutaan matriisia, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla tyhjä ja sitä merkitään (0) tai yksinkertaisesti 0:lla. Esimerkiksi

.

päädiagonaali Neliömatriisi on diagonaali, joka kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.

Kutsutaan neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat nolla kolmion muotoinen matriisi.

.

Neliömatriisia, jossa kaikki alkiot, paitsi ehkä päälävistäjän alkiot ovat nolla, kutsutaan nimellä diagonaalinen matriisi. Esimerkiksi tai kutsutaan diagonaalimatriisia, jossa kaikki diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin yksi yksittäinen matriisi ja sitä merkitään kirjaimella E. Esimerkiksi 3. asteen identiteettimatriisilla on muoto .MATRIISIEN TOIMENPITEETMatriisin tasa-arvo. Kaksi matriisia A ja B sanotaan olevan yhtä suuria, jos niillä on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret a ij = b ij. Niin jos ja , sitten A=B, jos a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 ja a 22 = b 22 .osaksi kansallista lainsäädäntöä. Harkitse mielivaltaista matriisia A alkaen m linjat ja n sarakkeita. Se voidaan liittää seuraavaan matriisiin B alkaen n linjat ja m sarakkeita, joissa jokainen rivi on matriisin sarake A samalla numerolla (josta jokainen sarake on matriisin rivi A samalla numerolla). Niin jos , sitten .Tämä matriisi B nimeltään siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä matriisi A, ja siirtyminen A kohtaan B transponointi.Siten transponointi on matriisin rivien ja sarakkeiden roolien vaihtoa. Matriisi transponoitu matriisiin A, yleensä merkitty A T.Matriisin välinen yhteys A ja sen transponoitu voidaan kirjoittaa muodossa . Esimerkiksi. Etsi matriisi transponoituna annettuun matriisi. Matriisin lisäys. Anna matriisien A ja B koostuvat samasta määrästä rivejä ja samasta määrästä sarakkeita, ts. omistaa samat koot. Sitten matriisien lisäämiseksi A ja B tarve matriisoida elementtejä A lisää matriisielementtejä B seisovat samoissa paikoissa. Siis kahden matriisin summa A ja B kutsutaan matriisiksi C, joka määräytyy säännön mukaan, esim.

Esimerkkejä. Etsi matriisien summa: On helppo tarkistaa, että matriisilisäys noudattaa seuraavia lakeja: kommutatiivinen A+B=B+A ja assosiatiivinen ( A+B)+C=A+(B+C).Matriisin kertominen luvulla. Matriisin kertominen A numeroa kohti k tarvitsevat matriisin jokaisen elementin A kerro sillä numerolla. Matriisituote siis A numeroa kohti k on uusi matriisi, joka määräytyy säännön mukaan tai .Mikä tahansa numero a ja b ja matriiseja A ja B tasa-arvo täyttyy: Esimerkkejä. . Matriisi C ei löydy, koska matriiseja A ja B on eri kokoisia. Matriisi kertominen. Tämä toimenpide suoritetaan erityisen lain mukaan. Ensinnäkin todetaan, että matriisitekijöiden kokojen on oltava yhdenmukaisia. Voit kertoa vain ne matriisit, joiden ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä vastaa toisen matriisin rivien lukumäärää (eli ensimmäisen rivin pituus on yhtä suuri kuin toisen sarakkeen korkeus). tehdä työtä matriiseja A ei matriisi B nimeltään uusi matriisi C=AB, jonka elementit koostuvat seuraavasti:

Siten esimerkiksi saadakseen tuotteen (eli matriisiin C) 1. rivin ja 3. sarakkeen elementti c 13 , sinun on otettava 1. rivi 1. matriisista, 3. sarake toisesta ja kerrotaan sitten rivielementit vastaavilla sarakeelementeillä ja lisätään tuloksena saadut tuotteet. Ja muut tulomatriisin elementit saadaan käyttämällä samanlaista ensimmäisen matriisin rivien tuloa toisen matriisin sarakkeilla. Yleisessä tapauksessa, jos kerromme matriisin A = (a ij ) koko m× n matriisiin B = (b ij ) koko n× p, niin saamme matriisin C koko m× p, jonka alkiot lasketaan seuraavasti: elementti c ij saadaan alkuaineiden tulon tuloksena i matriisin rivi A asiaan liittyvistä elementeistä j-matriisin sarake B Tästä säännöstä seuraa, että voit aina kertoa kaksi samaa kertalukua olevaa neliömatriisia, jolloin saamme saman kertaluvun neliömatriisin. Erityisesti neliömatriisi voidaan aina kertoa itsestään, ts. Toinen tärkeä tapaus on matriisirivin kertominen matriisisarakkeella, ja ensimmäisen leveyden tulee olla yhtä suuri kuin toisen korkeus, jolloin saadaan ensimmäisen kertaluvun matriisi (eli yksi alkio). ). Todella,

.

Esimerkkejä. Etsi elementtejä c 12 , c 23 ja c 21 matriiseja C.

Etsi matriisien tulo.

.
Löytää AB ja VA. Löytää AB ja VA. , B A– ei ole järkeä, joten nämä yksinkertaiset esimerkit osoittavat, että matriisit eivät yleisesti ottaen liiku keskenään, ts. A∙B ≠ B∙A . Siksi matriiseja kertoessa on seurattava tarkasti tekijöiden järjestystä.Voidaan varmistaa, että matriisikertominen noudattaa assosiatiivisia ja distributiivisia lakeja, ts. (AB)C=A(BC) ja (A+B)C=AC+BC.Se on helppo tarkistaa myös neliömatriisia kertomalla A identiteettimatriisiin E samassa järjestyksessä, saamme jälleen matriisin A, lisäksi AE=EA=A.Voimme huomata seuraavan omituisen tosiasian. Kuten tiedetään, kahden nollasta poikkeavan luvun tulo ei ole yhtä suuri kuin 0. Matriiseille tämä ei välttämättä ole niin, ts. kahden nollasta poikkeavan matriisin tulo voi olla yhtä suuri kuin nollamatriisi. esimerkiksi, jos , sitten

.

MÄÄRITTÄJIEN KÄSITE Olkoon annettu toisen kertaluvun matriisi - kahdesta rivistä ja kahdesta sarakkeesta koostuva neliömatriisi. Toisen asteen determinantti tätä matriisia vastaava luku on seuraava: a 11 a 22 – a 12 a 21 .Determinantti on merkitty symbolilla .Joten toisen kertaluvun determinantin löytämiseksi sinun on vähennettävä toisen diagonaalin alkioiden tulo päälävistäjän alkioiden tulosta. Esimerkkejä. Laske toisen asteen determinantit.

Vastaavasti voimme tarkastella kolmannen asteen matriisia ja sitä vastaavaa determinanttia. Kolmannen asteen determinantti, joka vastaa annettua kolmannen asteen neliömatriisia, on numero, joka merkitään ja saadaan seuraavasti:

.

Siten tämä kaava antaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennuksen ensimmäisen rivin elementtien suhteen a 11 , a 12 , a 13 ja vähentää kolmannen asteen determinantin laskennan toisen asteen determinanttien laskemiseen. Esimerkkejä. Laske kolmannen asteen determinantti.
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Samalla tavalla voidaan ottaa käyttöön neljännen, viidennen jne. determinanttien käsitteet. tilauksia, alentamalla niiden järjestystä laajentamalla 1. rivin elementtejä, kun taas merkit "+" ja "-" vuorottelevat termien kohdalla. Joten toisin kuin matriisissa, joka on lukutaulukko, determinantti on luku, joka on tietyllä tavalla laita matriisi.

MÄÄRITTÄJIEN OMINAISUUDET

Todiste suoritetaan varmentamalla, ts. vertaamalla kirjoitetun tasa-arvon molempia osia. Laske determinantit vasemmalla ja oikealla:

Kun permutoidaan 2 riviä tai saraketta, determinantti muuttaa etumerkin päinvastaiseksi säilyttäen itseisarvon, eli esim.

Todiste suoritetaan samalla tavalla kuin ominaisuuden 1 todistaminen vertaamalla molempia osia. Suoritetaan se toisen asteen determinantille.

Tarkista itse, onko kolmannen asteen determinantti. Todellakin, jos järjestämme 2. ja 3. rivit uudelleen tässä, niin ominaisuudella 2 tämän determinantin on vaihdettava etumerkkiä, mutta itse determinantti ei muutu tässä tapauksessa, ts. saada | A| = –|A| tai | A| = 0. Todiste suoritetaan todennuksella, samoin kuin omaisuus 1. (Riippumattomasti)

Jos determinantin minkä tahansa rivin tai sarakkeen kaikki elementit ovat nollia, itse determinantti on nolla. (Todistus - todentaminen). Jos determinantin minkä tahansa rivin tai sarakkeen kaikki elementit esitetään 2 termin summana, niin determinantti voidaan esittää 2 determinantin summana kaavan mukaan, esim.

.

Todiste- todentaminen, samanlainen kuin ominaisuus 1.

Jos johonkin determinantin riviin (tai sarakkeeseen) lisäämme toisen rivin (tai sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla, determinantti ei muuta arvoaan. Esimerkiksi,

. Todistetaan tämä yhtäläisyys käyttämällä determinantin aikaisempia ominaisuuksia.
Näitä determinanttien ominaisuuksia käytetään usein determinanttien laskennassa ja erilaisissa ongelmissa. ALGEBRAISET LISÄYKSET JA ALAKISET Otetaanpa kolmannen asteen determinantti: .Pieni vastaa tätä elementtiä a ij kolmannen kertaluvun determinanttia kutsutaan toisen kertaluvun determinantiksi, joka saadaan annetusta determinantista poistamalla rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa annettu elementti on, ts. i- rivi ja j- sarake. Alaikäiset, jotka vastaavat tiettyä elementtiä a ij me merkitsemme M ij .esimerkiksi, alaikäinen M 12 vastaavaa elementtiä a 12 , tulee olemaan määräävä tekijä , joka saadaan poistamalla annetusta determinantista 1. rivi ja 2. sarake. Siten kolmannen kertaluvun determinantin määrittävä kaava osoittaa, että tämä determinantti on yhtä suuri kuin 1. rivin alkioiden tulojen ja vastaavan determinantin summa. alaikäiset; kun taas elementtiä vastaava molli a 12 , otetaan "–"-merkillä, ts. sen voi kirjoittaa Samoin voidaan ottaa käyttöön alaikäisten määritelmät toisen ja korkeamman asteen determinanteille.Otetaan vielä yksi käsite. Algebrallinen lisäys elementti a ij determinanttia kutsutaan sen vähäiseksi M ij, kerrottuna (–1) i+j . Algebrallinen elementtikomplementti a ij merkitty A ij.Määritelmästä saamme, että alkion algebrallisen komplementin ja sen minorin välinen suhde ilmaistaan ​​yhtälöllä A ij= (–1) i+j M ij . Esimerkiksi, Esimerkki. Annettu determinantti. Löytää A 13 , A 21 , A 32 .

On helppo nähdä, että käyttämällä elementtien algebrallisia komplementteja kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa Determinantin ominaisuuden 2 mukaan meillä on: Laajennetaan saatua determinanttia 1. rivin alkioilla.

.

Täältä koska kaavan (2) toisen kertaluvun determinantit ovat alkioiden minorit a 21 , a 22 , a 23 . Näin ollen , ts. olemme saaneet determinantin jaottelun 2. rivin alkioilla, samoin voimme saada determinantin jaottelun kolmannen rivin alkioilla. Käyttämällä determinanttien ominaisuutta 1 (transpositiossa) voidaan osoittaa, että samanlaiset laajennukset pätevät myös sarakeelementtien laajennuksiin, joten seuraava lause pitää paikkansa. Lause (determinantin laajentamisesta tietyssä rivissä tai sarakkeessa). Determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen rivin (tai sarakkeen) alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.Kaikki edellä oleva pätee minkä tahansa korkeamman asteen determinanteille. Esimerkkejä.

Laske determinantti käyttämällä sen ominaisuuksia. Ennen kuin determinantti hajotetaan minkä tahansa rivin elementtien päälle ja vähennetään kolmannen kertaluvun determinanteiksi, muunnamme sen ominaisuudella 7, jolloin kaikki elementit missä tahansa rivissä tai sarakkeessa yhtä lukuun ottamatta ovat nolla. Tässä tapauksessa on kätevää harkita neljättä saraketta tai neljättä riviä:

KÄÄNTEINEN MATRIISI

Käänteismatriisin käsite on otettu käyttöön vain neliömatriiseja.Jos A on siis neliömatriisi käänteinen sille matriisi on matriisi, joka on merkitty A -1 ja ehtoa tyydyttävällä tavalla. (Tämä määritelmä otetaan käyttöön analogisesti numeroiden kertomisen kanssa) Seuraava lause on totta: Lause. Jotta neliömatriisi A on käänteinen, on välttämätöntä ja riittävää, että sen determinantti on eri kuin nolla. Todiste:

Tarve. Anna matriisille A on käänteinen matriisi A -1 . Osoittakaamme, että | A| ≠ 0.

Ensinnäkin huomaamme, että voimme todistaa seuraavan determinanttien ominaisuuden. Oletetaan, että | A| = 0. Sitten . Mutta toisella puolella . Tuloksena oleva ristiriita todistaa, että | A| ≠ 0. Osoitetaan, että tässä tapauksessa käänteinen matriisi on matriisi , missä A ij elementin algebrallinen komplementti a ij. Etsitään AB=C. Huomaa, että matriisin kaikki diagonaaliset elementit C on yhtä suuri kuin 1. Esimerkiksi

Vastaavasti lauseella determinantin laajenemisesta rivielementtien suhteen voidaan todistaa, että c 22 = c 33 = 1. Lisäksi kaikki matriisin diagonaalin ulkopuoliset elementit C ovat yhtä suuret kuin nolla. Esimerkiksi,
Siten, AB=E. Samalla tavalla sen voi osoittaa BA=E. Niin B=A -1 .Siksi lause sisältää tavan löytää käänteimatriisi. Jos lauseen ehdot täyttyvät, niin matriisin käänteismatriisi löydetään seuraavasti

,

missä A ij- elementtien algebralliset lisäykset a ij annettu matriisi A.Joten käänteisen matriisin löytämiseksi tarvitset: Samoin toisen asteen matriiseille seuraava matriisi on käänteinen .Esimerkkejä. |A| = 2. Etsi matriisin alkioiden algebralliset komplementit A. Tutkimus: . samalla lailla A∙A -1 =E. . Lasketaan | A| = 4. Sitten . .

LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄT

M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kutsutaan muotojärjestelmäksi

missä a ij ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ovat joitain tunnettuja numeroita ja x 1 ,…,x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä a ij ensimmäinen indeksi i tarkoittaa yhtälön numeroa ja toista j on tuntemattoman numero, jolla tämä kerroin on. Tuntemattomien kertoimet kirjoitetaan matriisin muodossa, jota kutsumme järjestelmämatriisi.Luvut yhtälöiden oikealla puolella b 1 ,…,b m nimeltään ilmaisia ​​jäseniä. Aggregaatti n numeroita c 1 ,…,c n nimeltään päätös tämän järjestelmän, jos jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee yhtälö sen jälkeen, kun siihen on korvattu lukuja c 1 ,…,c n vastaavien tuntemattomien sijaan x 1 ,…,x n Tehtävämme on löytää ratkaisuja järjestelmään. Tässä tapauksessa voi syntyä kolme tilannetta: Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on vähintään yksi ratkaisu, on ns. liitos. Muuten, ts. jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin sitä kutsutaan yhteensopimaton.Mietitään tapoja löytää ratkaisuja järjestelmään. MATRIISIMENETELMÄ LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN Matriisit mahdollistavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän lyhyen kirjoittamisen. Olkoon 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Harkitse järjestelmän matriisia ja matriisisarakkeet tuntemattomista ja vapaista jäsenistä Etsitään tuote

nuo. tuotteen tuloksena saamme tämän järjestelmän yhtälöiden vasemmat puolet. Sitten, käyttämällä matriisiyhtälön määritelmää, tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa tai lyhyempi A∙X = B.Tässä matriiseja A ja B tunnetaan, ja matriisi X tuntematon. Hänet on löydettävä, koska. sen elementit ovat tämän järjestelmän ratkaisu. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisiyhtälö.Olkoon matriisideterminantti nollasta poikkeava | A| ≠ 0. Sitten matriisiyhtälö ratkaistaan ​​seuraavasti. Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet matriisilla A -1 , matriisin käänteisarvo A: . Sikäli kuin A -1 A=E ja E∙X = X, niin saadaan matriisiyhtälön ratkaisu muodossa X = A -1 B .Huomaa, että koska käänteimatriisi löytyy vain neliömatriiseille, matriisimenetelmällä voidaan ratkaista vain ne järjestelmät, joissa yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Järjestelmän matriisimerkintä on kuitenkin mahdollista myös siinä tapauksessa, että yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin matriisi A ei ole neliö ja siksi on mahdotonta löytää ratkaisua järjestelmään muodossa X = A -1 B.Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmiä. Etsitään matriisi käänteisesti matriisiin nähden A. , Täten, x = 3, y = – 1.
Niin, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Ilmaisemme vaaditun matriisin X annetusta yhtälöstä. Etsitään matriisi MUTTA -1 . Tutkimus: Saamme yhtälöstä . Siten, CRAMERIN SÄÄNTÖ Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

Kolmannen kertaluvun determinantti, joka vastaa järjestelmän matriisia, ts. koostuu kertoimista tuntemattomissa,

nimeltään järjestelmän määräävä tekijä.Määritä kolme muuta determinanttia seuraavasti: korvaa determinantissa D peräkkäin 1, 2 ja 3 saraketta vapaiden jäsenten sarakkeella

Sitten voimme todistaa seuraavan tuloksen. Lause (Cramerin sääntö). Jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja

Todiste. Tarkastellaan siis kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta. Kerro järjestelmän 1. yhtälö algebrallisella komplementilla A 11 elementti a 11 , 2. yhtälö - päällä A 21 ja 3. - päällä A 31 :

Lisätään nämä yhtälöt:

Harkitse tämän yhtälön jokaista sulkua ja oikeaa puolta. Lauseen mukaan determinantin laajenemisesta 1. sarakkeen elementtien suhteen

Samalla tavalla voimme näyttää, että ja Lopuksi se on helppo nähdä Siten saadaan yhtälö: .Jos .Yhtälöt ja johdetaan samalla tavalla, josta lauseen lause seuraa. Siten huomioidaan, että jos järjestelmän determinantti Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja päinvastoin. Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin systeemillä on joko ääretön joukko ratkaisuja tai ei ole ratkaisuja, ts. yhteensopimaton. Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä
Niin, X=1, klo=2, z=3. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos Δ ≠ 0. . Joten. GAUSS-MENETELMÄ Aiemmin käsitellyillä menetelmillä voidaan ratkaista vain sellaisia ​​järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän determinantin on oltava eri kuin nolla. Gaussin menetelmä on yleismaailmallisempi ja sopii järjestelmiin, joissa on kuinka monta yhtälöä tahansa. Se koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta järjestelmän yhtälöistä. Tarkastellaan jälleen kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:

.

RCHB PROTECTION:N SOTAYLIOPISTO KOSTROMAAN OSASTO

Osasto "Komennon ja ohjauksen automatisointi"

Vain opettajille

"Minä hyväksyn"

Osastonjohtaja nro 9

Eversti YAKOVLEV A.B.

"____" __________________ 2004

Apulaisprofessori A.I. Smirnova

"MÄÄRITTÄJÄT.

LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISU"

LUENTO № 2/1

Käsitelty osaston kokouksessa nro 9

"________" ___________ 2004

Pöytäkirja nro ___________

Kostroma, 2004.

Johdanto

1. Toisen ja kolmannen kertaluvun determinantit.

2. Determinanttien ominaisuudet. Hajotuslause.

3. Cramerin lause.

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. V.E. Schneider et ai., A Short Course in Higher Mathematics, Volume I, Ch. 2, kohta 1.

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, ch.10, s.2.

JOHDANTO

Luennolla käsitellään toisen ja kolmannen asteen determinantteja, niiden ominaisuuksia. Sekä Cramerin lause, joka mahdollistaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen determinanttien avulla. Determinantteja käytetään myös myöhemmin aiheessa "Vektorialgebra" laskettaessa vektorien ristituloa.

1. tutkimuskysymys TOISEN JA KOLMANNAN PALVELUT

TILAUS

Tarkastellaan lomakkeen neljän luvun taulukkoa

Taulukon numerot on merkitty kirjaimella, jossa on kaksi indeksiä. Ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numeron, toinen indeksi osoittaa sarakkeen numeron.

MÄÄRITELMÄ 1. Toisen asteen determinantti nimeltään ilmaisu ystävällinen :

(1)

Numerot a 11, …, a 22 kutsutaan determinantin elementeiksi.

Elementtien muodostama diagonaali a 11 ; a 22 kutsutaan pää- ja diagonaaliksi elementtien muodostamaksi a 12 ; a 21 - sivulla.

Siten toisen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin pää- ja toissijaisten diagonaalien alkioiden tulojen välinen ero.

Huomaa, että vastaus on numero.

ESIMERKKEJÄ. Laskea:

Tarkastellaan nyt taulukkoa, jossa on yhdeksän numeroa, jotka on kirjoitettu kolmeen riviin ja kolmeen sarakkeeseen:

MÄÄRITELMÄ 2. Kolmannen asteen determinantti kutsutaan muodon ilmaisuksi :

Elementit a 11; a 22 ; a 33 - muodostavat päädiagonaalin.

Numerot a 13; a 22 ; a 31 - muodosta sivudiagonaali.

Kuvataan kaavamaisesti, kuinka plus- ja miinustermit muodostuvat:

" + " " – "

Plus sisältää: päälävistäjän elementtien tulon, kaksi muuta termiä ovat niiden elementtien tulot, jotka sijaitsevat kolmioiden kärjessä, joiden kantat ovat samansuuntaiset päädiagonaalin kanssa.

Miinustermit muodostetaan samalla tavalla toissijaisen diagonaalin suhteen.

Tätä sääntöä kolmannen asteen determinantin laskemiseksi kutsutaan

oikein

ESIMERKKEJÄ. Laske kolmioiden säännöllä:

KOMMENTTI. Determinantteja kutsutaan myös determinanteiksi.

2. tutkimuskysymys MÄÄRITTÄJIEN OMINAISUUDET.

LAAJENTUSLAUSEMA

Kiinteistö 1. Determinantin arvo ei muutu, jos sen rivit vaihdetaan vastaavien sarakkeiden kanssa.

.

Molempia determinantteja laajentamalla olemme vakuuttuneita tasa-arvon pätevyydestä.

Ominaisuus 1 asettaa determinantin rivien ja sarakkeiden yhtäläisyyden. Siksi kaikki muut determinantin ominaisuudet muotoillaan sekä riveille että sarakkeille.

Kiinteistö 2. Kun kaksi riviä (tai saraketta) vaihdetaan, determinantti vaihtaa etumerkin päinvastaiseksi säilyttäen itseisarvon .

.

Kiinteistö 3. Rivielementtien yleinen kerroin (tai sarakkeessa)voidaan ottaa pois determinantin merkistä.

.

Kiinteistö 4. Jos determinantissa on kaksi identtistä riviä (tai saraketta), se on yhtä suuri kuin nolla.

Tämä ominaisuus voidaan todistaa suoraan todentamalla tai ominaisuutta 2 voidaan käyttää.

Merkitse determinantti D:llä. Kun kaksi identtistä ensimmäistä ja toista riviä vaihdetaan, se ei muutu, ja toisella ominaisuudella sen on vaihdettava etumerkkiä, ts.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Kiinteistö 5. Jos jonkin merkkijonon kaikki elementit (tai sarakkeessa)ovat nollia, niin determinantti on nolla.

Tätä ominaisuutta voidaan pitää ominaisuuden 3 erikoistapauksena

Kiinteistö 6. Jos kahden rivin elementit (tai sarakkeita)determinantti on verrannollinen, niin determinantti on nolla.

.

Se voidaan todistaa suoraan todentamalla tai käyttämällä ominaisuuksia 3 ja 4.

Kiinteistö 7. Determinantin arvo ei muutu, jos minkä tahansa rivin (tai sarakkeen) elementit lisätään toisen rivin (tai sarakkeen) vastaaviin elementteihin kerrottuna samalla luvulla.

.

Se todistetaan suoralla tarkastuksella.

Näiden ominaisuuksien käyttö voi joissain tapauksissa helpottaa determinanttien laskentaprosessia, erityisesti kolmannen asteen tekijöitä.

Seuraavaa varten tarvitsemme ala- ja algebrallisen komplementin käsitteet. Harkitse näitä käsitteitä kolmannen järjestyksen määrittelemiseksi.

MÄÄRITELMÄ 3. Pieni Kolmannen asteen determinantin tietyn elementin määritystä kutsutaan toisen kertaluvun determinantiksi, joka saadaan tietystä elementistä poistamalla rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa kyseinen elementti on.

Elementti alaikäinen a i j merkitty M i j. Eli elementille a 11 alaikäinen

Se saadaan poistamalla ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake kolmannen asteen determinantista.

MÄÄRITELMÄ 4. Determinanttielementin algebrallinen komplementti kutsua sitä alaikäiseksi kerrottuna (-1)k , missä k - rivi- ja sarakenumeroiden summa, joiden leikkauskohdassa annettu elementti sijaitsee.

Algebrallisten elementtien lisäys a i j merkitty MUTTA i j .

Täten, MUTTA i j =

.

Kirjoitetaan alkioiden algebralliset komplementit a 11 ja a 12.

. .

On hyödyllistä muistaa sääntö: determinantin elementin algebrallinen komplementti on yhtä suuri kuin sen etumerkitty molli plus, jos rivi- ja sarakenumeroiden summa, jossa elementti sijaitsee, jopa, ja merkillä miinus jos tämä määrä outo .

Vastaus: Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.

Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).

Determinantit

saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:

;

.

Cramerin kaavat tuntemattomien löytämiseksi:

.

Arvojen ja -arvojen löytäminen on mahdollista vain, jos

Tämä johtopäätös seuraa seuraavasta lauseesta.

Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä sisältää järjestelmän determinantin ja osoittaja sisältää determinantin, joka on saatu järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Esimerkki 1. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Cramerin lauseen mukaan meillä on:

Eli järjestelmän (2) ratkaisu:
9.operaatiot sarjoissa. Viennen kaavioita.

Euler-Venn-kaaviot ovat joukkojen geometrisia esityksiä. Kaavion rakenne koostuu suuren suorakulmion kuvasta, joka edustaa universaalia joukkoa U, ja sen sisällä - ympyröitä (tai muita suljettuja kuvioita), jotka edustavat joukkoja. Luvut on leikattava yleisimmässä tehtävässä vaaditussa tapauksessa ja ne on merkittävä vastaavasti. Kaavion eri alueiden sisällä olevia pisteitä voidaan pitää vastaavien joukkojen elementteinä. Rakennetun kaavion avulla on mahdollista varjostaa tiettyjä alueita osoittamaan uusia muodostuneita joukkoja.

Joukkooperaatioiden katsotaan hankkivan uusia joukkoja olemassa olevista.

Määritelmä. Joukkojen A ja B liitto on joukko, joka koostuu kaikista niistä alkioista, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista A, B (kuva 1):

Määritelmä. Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko, joka koostuu kaikista niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä joukkoon A että joukkoon B (kuva 2):

Määritelmä. Joukkojen A ja B ero on kaikkien niiden ja vain niiden A:n elementtien joukko, jotka eivät sisälly B:hen (kuva 3):

Määritelmä. Joukkojen A ja B symmetrinen ero on joukko näiden joukkojen alkioita, jotka kuuluvat joko vain joukkoon A tai vain joukkoon B (kuva 4):

11. näyttö (toiminto), määritelmäalue, sarjojen kuvat näytön aikana, funktioarvojen joukko ja sen kaavio.

Vastaus: Joukon E yhdistäminen joukkoon F tai E:llä määritetty funktio F:n arvoilla on sääntö tai laki f, joka määrää jokaiselle elementille tietyn elementin.

Elementtiä kutsutaan itsenäiseksi elementiksi tai funktion f argumentiksi, elementtiä kutsutaan funktion f arvoksi eli kuvaksi; elementtiä kutsutaan elementin esikuvaksi.

Kuvausta (funktiota) merkitään yleensä kirjaimella f tai symbolilla , mikä osoittaa, että f kuvaa joukon E F:ksi. Käytetään myös merkintää, joka osoittaa, että elementti x vastaa elementtiä f(x). Joskus on kätevää määritellä funktio tasa-arvon avulla, joka sisältää vastaavuuslain. Voit esimerkiksi sanoa, että "funktio f määritellään yhtälöllä". Jos "y" on joukon F elementtien yleinen nimi, eli F = (y), niin kuvaus kirjoitetaan yhtälönä y = f(x) ja sanotaan, että tämä kuvaus on annettu eksplisiittisesti.

2. Kuva ja käänteiskuva joukosta tietyn kuvauksen alaisena

Olkoon kartoitus ja joukko annettu.

F:n elementtijoukkoa, joista kukin on kuva vähintään yhdestä elementistä D:stä kuvauksen f alla, kutsutaan joukon D kuvaksi ja sitä merkitään f(D).

Ilmeisesti,.

Nyt annetaan joukko.

Sellaista elementtijoukkoa, jota kutsutaan joukon Y käänteiskuvaksi kuvauksen f alla, ja sitä merkitään f -1 (Y).

Jos sitten . Jos jokaiselle joukko f -1 (y) koostuu enintään yhdestä alkiosta , niin f:tä kutsutaan yksi-yhteen-kuvaukseksi E:stä F. Joukkoon voidaan kuitenkin määrittää yksi-yhteen-kuvaus f. E - F.

Näyttöä kutsutaan:

Injektiivinen (tai injektio tai joukon E yksi-yksi-kuvaus F:ksi), jos , tai jos yhtälöllä f(x) = y on enintään yksi ratkaisu;

Surjektiivinen (tai surjektio tai joukon E kartta F:hen), jos f(E) = F ja jos yhtälöllä f(x) = y on ainakin yksi ratkaisu;

Bijektiivi (tai bijektio tai joukon E yksi-yksi-kuvaus F:hen), jos se on injektiivinen ja surjektiivinen tai jos yhtälöllä f(x) = y on yksi ja vain yksi ratkaisu.

3. Kartoitusten superpositio. Käänteiset, parametriset ja implisiittiset mappaukset

1) Anna ja . Koska , kuvaus g määrittää kullekin elementille tietyn elementin.

Siten säännön avulla jokaiselle osoitetaan elementti

Siten määritellään uusi kartoitus (tai uusi funktio), jota kutsumme kuvausten koostumukseksi, kuvausten superpositioksi tai kompleksikuvaukseksi.

2) Olkoon bijektiivinen kuvaus ja F = (y). Koska f on bijektiivinen, jokainen vastaa yksikkökuvaa x, jota merkitsemme f -1 (y), ja siten, että f(x) = y. Siten määritellään kuvaus, jota kutsutaan kuvauksen f käänteisfunktioksi tai funktion f käänteisfunktioksi.

Ilmeisesti kuvaus f on käänteinen kuvaukselle f-1. Siksi kuvauksia f ja f -1 kutsutaan keskenään käänteisiksi. Heille suhteet

ja ainakin yksi näistä kartoituksista, esimerkiksi , on bijektiivinen. Sitten on käänteinen kuvaus, ja siten .

Näin määritellyn kartoituksen sanotaan olevan parametrisesti annettu kuvausten avulla; jossa muuttujaa from kutsutaan parametriksi.

4) Määritetään kuvaus joukolle, jossa joukko sisältää nollaelementin. Oletetaan, että on joukkoja, joilla jokaiselle kiinteälle yhtälölle on ainutlaatuinen ratkaisu. Sitten joukolle E voidaan määritellä kuvaus, joka antaa kullekin arvon, joka määritetylle x:lle on yhtälön ratkaisu.

Mitä tulee niin määriteltyyn kartoitukseen

he sanovat, että se annetaan implisiittisesti yhtälön avulla.

5) Kuvausta kutsutaan kuvauksen jatkeeksi ja g on kuvauksen f supistuminen, jos ja .

Yhdistyksen rajoittaminen joukkoon on joskus merkitty symbolilla .

6) Näyttökaavio on joukko

Se on selvää.

12. monotoniset toiminnot. Käänteisfunktio, olemassaololause. Funktiot y=arcsinx y=arcos x x ominaisuudet ja grafiikka.

Vastaus: Monotoninen funktio on funktio, jonka inkrementti ei muuta etumerkkiä, eli se on joko aina ei-negatiivinen tai aina ei-positiivinen. Jos lisäksi lisäys ei ole yhtä suuri kuin nolla, funktiota kutsutaan tiukasti monotoniseksi.

Olkoon välille määritelty funktio f(x). , joiden arvot kuuluvat johonkin väliin . Jos

sitten he sanovat sen segmentissä funktion f(x) käänteisfunktio määritellään ja merkitään seuraavasti: x=f (-1) (y).

Kiinnitä huomiota eroon tämän määritelmän ja täytettävän segmentin määritelmän välillä. kaikkialla. F (-1) (…) määritelmässä on kvantori, ts. x:n arvon, joka varmistaa yhtälön y=f(x), on oltava yksilöllinen, kun taas täytettävän segmentin määrittelyssä kvantori on kiinteä, mikä tarkoittaa, että x:n arvoja voi olla useita, jotka täyttävät yhtälön y=f(x).

Yleensä, kun puhutaan käänteisfunktiosta, korvaa x y:llä ja y x:llä (x "y) ja kirjoita y \u003d f (-1) (x). Ilmeisesti alkuperäinen funktio f(x) ja käänteisfunktio f (-1) (x) täyttävät suhteen

f (-1) (f (x)) = f (f (-1) (x)) = x.

Alkuperäisen ja käänteisen funktion graafit saadaan toisistaan ​​peilaamalla ensimmäisen neljänneksen puolittajan suhteen.

Lause. Olkoon funktio f(x) määritelty, jatkuva ja tiukasti monotonisesti kasvava (laskeva) segmentillä . Sitten käänteisfunktio f (-1) (x) määritellään välille, joka on myös jatkuva ja tiukasti monotonisesti kasvava (laskeva).

Todiste.

Todistetaan lause tapaukselle, jossa f(x) on tiukasti monotonisesti kasvava.

1. Käänteisfunktion olemassaolo.

Koska lauseen hypoteesin mukaan f(x) on jatkuva, niin edellisen lauseen mukaan segmentti on täysin täytetty. Se tarkoittaa sitä.

Todistakaamme, että x on ainutlaatuinen. Todellakin, jos otamme x'>x, niin se on f(x')>f(x)=y ja siten f(x')>y. jos otat x''

2. Käänteisfunktion monotonisuus.

Tehdään tavallinen substituutio x "y ja kirjoitetaan y = f (-1) (x). Tämä tarkoittaa, että x=f(y).

Olkoon x 1 > x 2 . Sitten:

y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

Mikä on y 1:n ja y 2:n välinen suhde? Tarkastetaan vaihtoehdot.

a) y 1 x 2.

b) y 1 \u003d y 2? Mutta sitten f(y 1)=f(y 2) ja x 1 =x 2, ja meillä oli x 1 >x 2 .

c) Ainoa vaihtoehto on y 1 >y 2, ts. Mutta sitten f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), ja tämä tarkoittaa, että f (-1) (...) kasvaa tiukasti monotonisesti.

3. Käänteisfunktion jatkuvuus.

Koska käänteisfunktion arvot täyttävät segmentin kokonaan, jolloin edellisen lauseen mukaan f (-1) (…) on jatkuva.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
funktion käänteisfunktio y = sin x, - / 2 x / 2	funktion käänteisfunktio y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
funktion käänteisfunktio y = tg x, - / 2< x < / 2	funktion käänteisfunktio y = ctg x, 0< x <

13. Toimintojen kokoonpano. perustoiminnot. Funktiot y=arctg x , y = arcctg x, niiden ominaisuudet ja graafit.

Vastaus: Matematiikassa funktioiden koostumus (funktioiden superpositio) on yhden funktion soveltamista toisen tulokseen.

Funktioiden G ja F koostumusta merkitään yleensä G∘F, mikä tarkoittaa funktion G soveltamista funktion F tulokseen.

Olkoot F:X→Y ja G:F(X)⊂Y→Z kaksi funktiota. Tällöin niiden koostumus on yhtälön määrittelemä funktio G∘F:X→Z:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Alkufunktiot - funktiot, jotka voidaan saada käyttämällä äärellistä määrää aritmeettisia operaatioita ja koostumuksia seuraavista perusfunktioista:

• algebrallinen:
• teho;
• järkevää.
• transsendentti:
• eksponentiaalinen ja logaritminen;
• trigonometrinen ja käänteinen trigonometrinen.

Jokainen alkeisfunktio voidaan määritellä kaavalla, eli joukolla äärellisen määrän symboleja, jotka vastaavat käytettyjä operaatioita. Kaikki perusfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan.

Joskus perusalkeisfunktiot sisältävät myös hyperbolisia ja käänteisiä hyperbolisia funktioita, vaikka ne voidaan ilmaista yllä luetelluilla peruselementeillä.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 x R:lle EXTREMA: Ei Ei MONOTONISUUSRAKO: kasvaa x R:llä pienenee x R:llä