Beskrovny I.M. yksi

1 OAO Angstrem-M

Työn tavoitteena on kehittää menetelmiä ja algoritmeja muotoa a2+b2=c2 olevien Pythagoraan kolmioiden laskentaan. Analyysiprosessi toteutettiin systemaattisen lähestymistavan periaatteiden mukaisesti. Matemaattisten mallien ohella käytetään graafisia malleja, jotka näyttävät jokaisen Pythagoraan kolmion jäsenen yhdistelmäneliöiden muodossa, joista jokainen koostuu joukosta yksikköneliöitä. On todettu, että Pythagoraan kolmioiden ääretön joukko sisältää äärettömän määrän osajoukkoja, jotka eroavat toisistaan ​​arvojen b–c välisen eron perusteella. Esitetään algoritmi Pythagoraan kolmioiden muodostamiseksi millä tahansa tämän eron ennalta määrätyllä arvolla. On osoitettu, että Pythagoraan kolmoiskappaleet ovat olemassa mille tahansa arvolle 3≤a

Pythagoraan kolmoset

järjestelmäanalyysi

matemaattinen malli

graafinen malli

1. Anosov D.N. Katsaus matematiikkaan ja jotain siitä. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 s.: ill.

2. Ayerland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Järjestelmäanalyysi ja tietotekniikka organisaatioissa: Oppikirja. - M.: RUDN, 2012. - 392 s.

4. Simon Singh. Fermatin viimeinen lause.

5. Ferma P. Numeroteorian ja diofantiinianalyysin tutkimukset. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, saatavana osoitteessa: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pythagoraan kolmiot ovat kolmen kokonaisluvun kohortti, jotka täyttävät Pythagoraan suhteen x2 + y2 = z2. Yleisesti ottaen tämä on diofantiiniyhtälöiden erikoistapaus, nimittäin yhtälöjärjestelmät, joissa tuntemattomien lukumäärä on suurempi kuin yhtälöiden lukumäärä. He ovat olleet tunnettuja pitkään, Babylonin ajoista lähtien, eli kauan ennen Pythagorasta. Ja he saivat nimen sen jälkeen, kun Pythagoras todisti kuuluisan lauseensa heidän perusteellaan. Kuitenkin, kuten useiden lähteiden analyysistä, joissa Pythagoraan kolmioiden kysymystä on käsitelty tavalla tai toisella, seuraa, kysymystä näiden kolmioiden olemassa olevista luokista ja mahdollisista muodostumistapoja ei ole vielä täysin julkistettu.

Joten Simon Singhin kirjassa sanotaan: - "Pythagoraan opetuslapset ja seuraajat... kertoivat maailmalle niin sanotun Pythagoraan kolmen k:n löytämisen salaisuuden." Kuitenkin tämän jälkeen luemme: - Pythagoralaiset haaveilivat löytävänsä muita Pythagoraan kolmioita, muita neliöitä, joista olisi mahdollista lisätä kolmas iso neliö. …Lukujen kasvaessa Pythagoraan kolminkertaiset ovat yhä harvinaisempia ja vaikeampia löytää. Pythagoralaiset keksivät menetelmän tällaisten kolmosten löytämiseksi ja osoittivat sen avulla, että Pythagoran kolmosia on äärettömän monta.

Sekaannusta aiheuttavat sanat on korostettu lainauksessa. Miksi "pythagoralaiset haaveilivat löytävänsä ...", jos he "keksivät menetelmän tällaisten kolmosten löytämiseksi ...", ja miksi suurille määrille "niiden löytäminen on yhä vaikeampaa ...".

Kuuluisan matemaatikon D.V. Anosov, toivottu vastaus näyttää olevan annettu. - "On olemassa sellaisia ​​luonnollisten (eli positiivisten kokonaislukujen) kolmoislukuja x, y, z, että

x2 + y2 = z2. (yksi)

…onko mahdollista löytää yhtälön x2+y2=z2 kaikki ratkaisut luonnollisissa luvuissa? …Joo. Vastaus on, että jokainen tällainen ratkaisu voidaan esittää muodossa

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

jossa l, m, n ovat luonnollisia lukuja ja m>n tai vastaavassa muodossa, jossa x ja y ovat keskenään vaihdettuja. Voimme sanoa hieman lyhyemmin, että x, y, z (2):sta kaikilla mahdollisilla luonnollisilla l ja m > n ovat kaikki mahdolliset (1):n ratkaisut x:n ja y:n permutaatioon asti. Esimerkiksi kolmio (3, 4, 5) saadaan l=1, m=2, n=1. ... Ilmeisesti babylonialaiset tiesivät tämän vastauksen, mutta kuinka he päätyivät siihen, ei tiedetä."

Yleensä matemaatikot ovat tunnettuja vaativuudestaan ​​muotoilunsa tarkkuudessa. Mutta tässä lainauksessa tällaista kurinalaisuutta ei noudateta. Mitä siis tarkalleen: löytää vai kuvitella? Ilmeisesti nämä ovat täysin eri asioita. Tässä on rivi "vastaleivottuja" kolmioita (saatu alla kuvatulla menetelmällä):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Ei ole epäilystäkään siitä, että jokainen näistä kolmioista voidaan esittää suhteen (2) muodossa ja sitten voidaan laskea arvot l, m, n. Mutta tämä on sen jälkeen, kun kaikki kolmosten arvot on löydetty. Mutta entä ennen sitä?

Ei voida sulkea pois sitä, että vastaukset näihin kysymyksiin ovat olleet tiedossa pitkään. Mutta jostain syystä niitä ei ole vielä löydetty. Tämän työn tarkoituksena on siis systemaattinen analyysi Pythagoraan kolmioista tunnettujen esimerkkien kokonaisuudesta, järjestelmää muodostavien suhteiden etsiminen erilaisista kolmoisryhmistä ja näille ryhmille ominaisten systeemisten piirteiden tunnistaminen ja sitten yksinkertaisten tehokkaat algoritmit kolmioiden laskemiseen ennalta määrätyllä konfiguraatiolla. Konfiguraatiolla tarkoitamme kolminteen muodostavien määrien välistä suhdetta.

Työkalusarjana käytetään matemaattista laitteistoa tasolla, joka ei ylitä lukiossa opetettavan matematiikan ja siinä esitettyihin menetelmiin perustuvan systeemianalyysin puitteita.

Mallirakennus

Systeemianalyysin näkökulmasta mikä tahansa Pythagoraan kolmikko on objekteista muodostuva järjestelmä, joka koostuu kolmesta numerosta ja niiden ominaisuuksista. Niiden kokonaisuus, jossa esineet asetetaan tiettyihin suhteisiin ja muodostavat järjestelmän, jolla on uusia ominaisuuksia, jotka eivät ole luontaisia ​​yksittäisille esineille tai millekään muulle niiden kokonaisuudelle, jossa esineet asetetaan muihin suhteisiin.

Yhtälössä (1) järjestelmän kohteet ovat luonnollisia lukuja, jotka liittyvät yksinkertaisiin algebrallisiin suhteisiin: yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella on kahden luvun potenssiin korotettu summa, oikealla kolmas luku, joka on myös korotettu 2:n potenssiin. Yksittäiset luvut, jotka ovat yhtälön vasemmalla ja jotka on korotettu 2:n potenssiin, eivät aseta rajoituksia niiden summauksen toiminnalle - tuloksena saatava summa voi olla mikä tahansa. Mutta summausoperaation jälkeen asetettu yhtäläisyysmerkki asettaa tämän summan arvolle järjestelmärajoituksen: summan tulee olla sellainen luku, että neliöjuuren erotusoperaation tulos on luonnollinen luku. Ja tämä ehto ei täyty millekään yhtälön vasemmalle puolelle korvatuille luvuille. Siten yhtälön kahden ja kolmannen termin väliin asetettu yhtäläisyysmerkki muuttaa termien kolminkertaisen järjestelmäksi. Tämän järjestelmän uusi ominaisuus on rajoitusten käyttöönotto alkuperäisten numeroiden arvoille.

Kirjoitusmuodon perusteella Pythagoraan kolmikkoa voidaan pitää geometrisen järjestelmän matemaattisena mallina, joka koostuu kolmesta neliöstä, jotka on liitetty yhteen summa- ja yhtäläisyyssuhteilla, kuten kuvassa 2 on esitetty. 1. Kuva. 1 on graafinen malli tarkasteltavasta järjestelmästä ja sen sanallinen malli on lause:

Neliön, jonka sivun pituus on c, pinta-ala voidaan jakaa ilman jäännöstä kahdeksi ruuduksi, joiden sivupituudet ovat a ja b siten, että niiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin alkuperäisen neliön pinta-ala, eli kaikki kolme suuret a, b ja c liittyvät suhteeseen

Graafinen malli neliön hajoamisesta

Systeemianalyysin kanonien puitteissa tiedetään, että jos matemaattinen malli heijastaa riittävästi tietyn geometrisen järjestelmän ominaisuuksia, niin tämän järjestelmän ominaisuuksien analysointi antaa meille mahdollisuuden selventää sen matemaattisen mallin ominaisuuksia, tuntea ne syvemmin, selventää ja tarvittaessa parantaa. Tämä on polku, jota seuraamme.

Selvennetään, että systeemianalyysin periaatteiden mukaan yhteen- ja vähennysoperaatioita voidaan suorittaa vain komposiittiobjekteille, eli objekteille, jotka koostuvat alkeisolioiden joukosta. Siksi näemme minkä tahansa neliön hahmona, joka koostuu alkeis- tai yksikköneliöiden joukosta. Tällöin luonnollisten lukujen ratkaisun saamisen ehto vastaa sen ehdon hyväksymistä, että yksikköneliö on jakamaton.

Yksikköneliö on neliö, jonka kummankin sivun pituus on yhtä suuri. Eli kun yksikköneliön pinta-ala määrittää seuraavan lausekkeen.

Neliön kvantitatiivinen parametri on sen pinta-ala, joka määräytyy tietylle alueelle sijoitettavissa olevien yksikköneliöiden lukumäärän mukaan. Neliölle, jolla on mielivaltainen arvo x, lauseke x2 määrittää neliön alueen, jonka muodostavat segmentit, joiden pituus on x yksikkösegmenttejä. Tämän neliön alueelle voidaan sijoittaa x2 yksikköruutua.

Yllä olevia määritelmiä voidaan pitää triviaaleina ja ilmeisinä, mutta ne eivät ole sitä. D.N. Anosov määrittelee pinta-alan käsitteen eri tavalla: - "...kuvan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen osien pinta-alojen summa. Miksi olemme varmoja, että näin on? ... Kuvittelemme hahmon, joka on tehty jonkinlaisesta homogeenisesta materiaalista, jolloin sen pinta-ala on verrannollinen sen sisältämän aineen määrään - sen massaan. Lisäksi ymmärretään, että kun jaamme kappaleen useisiin osiin, niiden massojen summa on yhtä suuri kuin alkuperäisen kappaleen massa. Tämä on ymmärrettävää, koska kaikki koostuu atomeista ja molekyyleistä, ja koska niiden lukumäärä ei ole muuttunut, niiden kokonaismassa ei ole myöskään muuttunut ... Itse asiassa homogeenisen materiaalin kappaleen massa on verrannollinen sen tilavuuteen; siksi sinun on tiedettävä, että tietyn hahmon muotoisen "arkin" tilavuus on verrannollinen sen pinta-alaan. Sanalla sanoen ... että kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen osien pinta-alojen summa, geometriassa tämä on todistettava. ... Kiselevin oppikirjassa alueen olemassaolo, jolla on juuri se ominaisuus, josta nyt keskustelemme, esitettiin rehellisesti jonkinlaiseksi olettamukseksi, ja sanottiin, että tämä oli todella totta, mutta emme todista tätä. Joten Pythagoraan lause, jos se todistetaan alueilla, puhtaasti loogisessa mielessä, ei jää täysin todistetuksi.

Meistä näyttää siltä, ​​että edellä esitetyt yksikköneliön määritelmät poistavat ilmoitetun D.N. Anosovin epävarmuus. Loppujen lopuksi, jos neliön ja suorakulmion pinta-ala määräytyy ne täyttävien yksikköneliöiden summalla, niin kun suorakulmio jaetaan mielivaltaisiin vierekkäisiin osiin, suorakulmion pinta-ala on luonnollisesti yhtä suuri kuin kaikkien osien summa.

Lisäksi käyttöönotetut määritelmät poistavat epävarmuuden käsitteiden "jako" ja "lisää" käytöstä suhteessa abstrakteihin geometrisiin kuvioihin. Todellakin, mitä suorakulmion tai minkä tahansa muun litteän hahmon jakaminen osiin tarkoittaa? Jos se on paperiarkki, se voidaan leikata saksilla. Jos maa - laita aita. Huone - laita väliseinä. Entä jos se on piirretty neliö? Piirrä jakoviiva ja julista, että neliö on jaettu? Mutta loppujen lopuksi D.I. Mendelejev: "... Voit julistaa kaiken, mutta sinä - mene, osoita!"

Ja ehdotettuja määritelmiä käyttäen "Jaa luku" tarkoittaa tämän luvun täyttävien yksikköneliöiden lukumäärän jakamista kahteen (tai useampaan) osaan. Yksikköneliöiden lukumäärä kussakin näistä osista määrittää sen alueen. Näiden osien kokoonpano voidaan antaa mielivaltaiseksi, mutta niiden pinta-alojen summa on aina yhtä suuri kuin alkuperäisen kuvan pinta-ala. Ehkä matemaatikot pitävät näitä väitteitä virheellisinä, niin otamme ne oletuksina. Jos Kiseljovin oppikirjassa tällaiset oletukset ovat hyväksyttäviä, meidän olisi syntiä olla käyttämättä tällaista tekniikkaa.

Ensimmäinen vaihe järjestelmäanalyysissä on ongelmatilanteen tunnistaminen. Tämän vaiheen alussa tarkasteltiin useita satoja eri lähteistä löydettyjä Pythagoraan kolmoiskappaleita. Samalla kiinnitettiin huomiota siihen, että koko julkaisuissa mainittu Pythagoraan kolmoisjoukko voidaan jakaa useisiin kokoonpanoltaan erilaisiin ryhmiin. Käsittelemme alkuperäisen ja vähennetyn neliön sivujen pituuksien eroa, eli arvoa c-b, tietyn konfiguraation merkkinä. Esimerkiksi julkaisuissa esitetään usein esimerkkinä kolmiot, jotka täyttävät ehdon c-b=1. Oletetaan, että tällaisten Pythagoran kolmioiden koko joukko muodostaa joukon, jota kutsumme "luokaksi c-1", ja analysoimme tämän luokan ominaisuuksia.

Tarkastellaan kolmea kuvassa näkyvää neliötä, joissa c on pienennettävän neliön sivun pituus, b on vähennettävän neliön sivun pituus ja a on muodostetun neliön sivun pituus niiden erosta. Kuvassa Kuvasta 1 voidaan nähdä, että kun vähennetyn neliön pinta-ala vähennetyn neliön pinta-alasta vähennetään, jäljelle jää kaksi yksikköneliöiden kaistaa:

Jotta tästä jäännöksestä muodostuisi neliö, ehdon on täytyttävä

Nämä suhteet antavat meille mahdollisuuden määrittää kolmikon kaikkien jäsenten arvot yhdellä annetulla numerolla c. Pienin luku c, joka tyydyttää relaatiota (6), on c = 5. Näin määritettiin relaatiota (1) tyydyttävien neliöiden kaikkien kolmen sivun pituudet. Muista, että keskineliön sivun arvo b

valittiin, kun päätimme muodostaa keskimmäisen neliön pienentämällä alkuperäisen neliön sivua yhdellä. Sitten suhteista (5), (6). (7) saamme seuraavan suhteen:

josta seuraa, että valittu arvo c = 5 määrittää yksiselitteisesti arvot b = 4, a = 3.

Tuloksena saadaan suhteita, jotka mahdollistavat minkä tahansa Pythagoraan kolminkertaisen luokan "c - 1" esittämisen sellaisessa muodossa, jossa kaikkien kolmen jäsenen arvot määritetään yhdellä määritetyllä parametrilla - arvolla c:

Lisätään, että luku 5 yllä olevassa esimerkissä esiintyi miniminä kaikista mahdollisista c:n arvoista, joille yhtälöllä (6) on ratkaisu luonnollisina luvuina. Seuraava luku, jolla on sama ominaisuus, on 13, sitten 25, sitten 41, 61, 85 jne. Kuten näette, tässä numerosarjassa vierekkäisten lukujen välit kasvavat nopeasti. Joten esimerkiksi kelvollisen arvon jälkeen seuraava kelvollinen arvo on , ja sen jälkeen seuraava kelvollinen arvo on , eli kelvollinen arvo on yli viisikymmentä miljoonaa edellisestä!

Nyt on selvää, mistä tämä lause tuli kirjasta: - "Lukujen kasvaessa Pythagoran kolmiot ovat vähemmän yleisiä, ja niiden löytäminen on yhä vaikeampaa ...". Tämä väite ei kuitenkaan pidä paikkaansa. Ei tarvitse kuin katsoa edellä olevia c:n naapuriarvopareja vastaavia Pythagoraan kolmoiskappaleita, sillä yksi ominaisuus pistää heti silmään - molemmissa pareissa, joissa c:n arvot eroavat toisistaan ​​niin suurilla väleillä, arvot osoittautuvat viereisiksi parittomiksi numeroiksi. Todellakin, ensimmäiselle parille, joka meillä on

ja toiselle parille

Joten itse kolmiot eivät ole "vähemmän yleisiä", vaan c:n vierekkäisten arvojen väliset intervallit kasvavat. Pythagoraan kolminkertaiset itse, kuten alla osoitetaan, ovat olemassa mille tahansa luonnolliselle luvulle.

Harkitse nyt seuraavan luokan kolmosia - "Class c-2". Kuten kuvasta näkyy. 1, kun vähennetään neliöstä, jonka sivu on c neliö, jonka sivu on (c - 2), jäännös on kahden yksikkökaistan summa. Tämän summan arvo määräytyy yhtälöllä:

Yhtälöstä (10) saadaan suhde, joka määrittelee minkä tahansa kolmoisluokan "c-2" äärettömästä joukosta:

Ehto yhtälön (11) ratkaisun olemassaololle luonnollisissa luvuissa on mikä tahansa sellainen arvo c, jolle a on luonnollinen luku. C:n pienin arvo, jolle ratkaisu on olemassa, on c = 5. Sitten tämän kolmoisluokan "aloitus" kolmoisluku määräytyy joukolla a = 4, b = 3, c = 5. Eli taas klassinen kolmois 3, 4, 5 muodostuu, vain nyt vähennettävän neliön pinta-ala on pienempi kuin jäännöksen pinta-ala.

Ja lopuksi analysoidaan "s-8"-luokan kolmiot. Tälle kolmoisluokalle, kun neliön pinta-ala vähennetään alkuperäisen neliön alueesta c2, saadaan:

Sitten yhtälöstä (12) seuraa:

Pienin c:n arvo, jolle ratkaisu on olemassa, on c = 13. Pythagoraan kolmikko tällä arvolla on muodossa 12, 5, 13. Tässä tapauksessa vähennettävän neliön pinta-ala on jälleen pienempi kuin lopun alue. Ja järjestämällä nimitykset paikoin, saamme kolminkertaisen 5, 12, 13, joka kokoonpanoltaan kuuluu luokkaan "c - 1". Näyttää siltä, ​​että muiden mahdollisten kokoonpanojen lisäanalyysi ei paljasta mitään perustavanlaatuista uutta.

Laskettujen suhteiden johtaminen

Edellisessä osiossa analyysin logiikkaa kehitettiin järjestelmäanalyysin vaatimusten mukaisesti neljässä sen viidestä päävaiheesta: ongelmatilanteen analyysi, tavoitteiden muodostuminen, toimintojen muodostuminen ja rakenteen muodostus. Nyt on aika siirtyä viimeiseen, viidenteen vaiheeseen - toteutettavuustestiin, eli testiin siitä, missä määrin tavoitteet saavutetaan. .

Taulukko 1 on esitetty alla. 1, joka näyttää luokkaan "c - 1" kuuluvien Pythagoraan kolmioiden arvot. Useimmat kolmoiskappaleet löytyvät useista julkaisuista, mutta arvoille 999, 1001 ei ole löydetty tunnetuista julkaisuista.

pöytä 1

Pythagoraan kolmoset luokassa "c-1"

Voidaan tarkistaa, että kaikki kolmiot täyttävät suhteen (3). Yksi asetetuista tavoitteista on siis saavutettu. Edellisessä osiossa saadut suhteet (9), (11), (13) mahdollistavat äärettömän joukon kolmioita asettamalla ainoaksi parametriksi c, pienennetyn neliön sivu. Tämä on tietysti rakentavampi vaihtoehto kuin relaatio (2), jonka käyttöä varten pitäisi asettaa mielivaltaisesti kolme lukua l, m, n, joilla on mikä tahansa arvo, ja sitten etsiä ratkaisua tietäen vain, että loppujen lopuksi Pythagoraan kolmoiskappale saadaan varmasti, ja kumpi on tuntematon. Meidän tapauksessamme muodostettavan kolmion konfiguraatio on tiedossa etukäteen ja vain yksi parametri tarvitsee asettaa. Mutta valitettavasti tämän parametrin jokaiselle arvolle ei ole ratkaisua. Ja sinun on tiedettävä etukäteen sen sallitut arvot. Tulos on siis hyvä, mutta kaukana ihanteellisesta. On toivottavaa saada sellainen ratkaisu, että Pythagoraan kolmiot voidaan laskea mille tahansa mielivaltaisesti annetulle luonnolliselle luvulle. Tätä varten palataan neljänteen vaiheeseen - saatujen matemaattisten suhteiden rakenteen muodostukseen.

Koska arvon c valinta perusparametriksi kolmikon jäljellä olevien jäsenten määrittämisessä osoittautui hankalaksi, kannattaa kokeilla toista vaihtoehtoa. Kuten taulukosta voidaan nähdä. Kuvassa 1 parametrin a valinta perusparametriksi näyttää olevan parempi, koska tämän parametrin arvot ovat rivissä parittomien luonnollisten lukujen sarjassa. Yksinkertaisten muunnosten jälkeen saamme suhteet (9) rakentavampaan muotoon:

Relaatiot (14) antavat meille mahdollisuuden löytää Pythagoraan kolmoiskappale mille tahansa ennalta määrätylle parittomalle arvolle a. Samanaikaisesti b:n lausekkeen yksinkertaisuuden ansiosta voit suorittaa laskutoimituksia myös ilman laskinta. Todellakin, kun valitsemme esimerkiksi numeron 13, saamme:

Ja vastaavasti numerosta 99 saamme:

Relaatiot (15) mahdollistavat Pythagoraan merkkijonon kaikkien kolmen termin arvojen saamisen mille tahansa n:lle alkaen arvosta n=1.

Harkitse nyt luokan "c - 2" Pythagoraan kolmoiskappaleita. Taulukossa. Kuvassa 2 on esimerkkinä kymmenen tällaista kolmiota. Lisäksi tunnetuista julkaisuista löytyi vain kolme paria kolmoiskappaleita - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ja 16, 63, 65. Tämä osoittautui riittäväksi määrittämään kuviot, joiden mukaan ne muodostuvat. Loput seitsemän löydettiin aiemmin johdetuista suhteista (11). Laskennan helpottamiseksi nämä suhteet muunnettiin siten, että kaikki parametrit ilmaistaan ​​a:lla. Kohdasta (11) seuraa selvästi, että kaikki luokan "c - 2" kolmiot täyttävät seuraavat suhteet:

taulukko 2

Pythagoraan kolmoset luokassa "c-2"

Kuten taulukosta voidaan nähdä. 2, koko ääretön joukko luokan "c - 2" kolmioita voidaan jakaa kahteen alaluokkaan. Kolmiosille, joissa a:n arvo on jaollinen 4:llä ilman jäännöstä, b:n ja c:n arvot ovat parittomia. Tällaisia ​​kolmioita, joille GCD = 1, kutsutaan primitiivisiksi. Kolmiosille, joiden arvot a eivät ole jaollisia 4:llä kokonaislukuina, kaikki kolmin a, b, c jäsentä ovat parillisia.

Siirrytään nyt tarkastelemaan kolmannen valitun luokan - luokan "c - 8" - analyysin tuloksia. Tämän luokan lasketut suhteet, jotka on saatu kohdasta (13), ovat muotoa:

Suhteet (20), (21) ovat olennaisesti identtisiä. Ero on vain toimintosarjan valinnassa. Tai kohdan (20) mukaisesti valitaan haluttu a:n arvo (tässä tapauksessa tämä arvo on jaettava 4:llä), sitten määritetään b:n ja c:n arvot. Tai valitaan mielivaltainen luku, ja sitten suhteista (21) määritetään kaikki kolme Pythagoraan kolmion jäsentä. Taulukossa. Kuva 3 esittää useita tällä tavalla laskettuja Pythagoraan kolmoiskappaleita. Pythagoraan kolmosten arvojen laskeminen on kuitenkin vielä helpompaa. Jos ainakin yksi arvo tunnetaan, kaikki myöhemmät arvot määritetään hyvin yksinkertaisesti seuraavilla suhteilla:

Taulukko 3

Relaation (22) pätevyys kaikille voidaan varmistaa taulukon kolmiosilla. 2, sekä muista lähteistä. Esimerkkinä taulukossa. 4 kursiivottua kolmosta laajasta Pythagoraan kolmoistaulukosta (10000 kolminkertaista), jotka on laskettu tietokoneohjelman perusteella suhteella (2) ja lihavoidulla kirjaimella - suhteella (20) lasketut kolmiot. Nämä arvot eivät olleet määritetyssä taulukossa.

Taulukko 4

Pythagoraan luokan "s-8" kolmiot

Vastaavasti muodon kolmiosille voidaan käyttää seuraavia suhteita:

Ja muodon kolmosille<> meillä on suhde:

On syytä korostaa, että edellä mainitut kolmoisluokat "c - 1", "c - 2", "c - 8" muodostavat yli 90 % taulukon ensimmäisistä tuhannesta kolmiosta. Tämä antaa aiheen pitää näitä luokkia perustana. Lisätään vielä, että suhteita (22), (23), (24) johdettaessa ei käytetty lukuteoriassa tutkittuja lukujen erityisiä ominaisuuksia (alkuluku, koprime jne.). Paljastuneet säännönmukaisuudet Pythagoraan kolmioiden muodostumisessa johtuvat vain näiden kolmioiden - neliöiden - kuvaamien geometristen kuvioiden järjestelmäominaisuuksista, jotka koostuvat joukosta yksikköneliöitä.

Johtopäätös

Nyt, kuten Andrew Wiles sanoi vuonna 1993, "minun pitäisi lopettaa tähän." Asetettu tavoite on saavutettu täysin. On osoitettu, että matemaattisten mallien, joiden rakenne liittyy geometrisiin kuvioihin, ominaisuuksien analysointi yksinkertaistuu huomattavasti, jos analyysiprosessissa otetaan puhtaasti matemaattisten laskelmien ohella myös tutkittavien mallien geometriset ominaisuudet. huomioon. Yksinkertaistaminen saavutetaan erityisesti siksi, että tutkija "näkee" halutut tulokset suorittamatta matemaattisia muunnoksia.

Esimerkiksi tasa-arvo

tulee ilmeiseksi ilman muunnoksia sen vasemmalla puolella, tarvitsee vain katsoa kuva 1. 1 tämän yhtälön graafiselle mallille.

Tuloksena suoritetun analyysin perusteella osoitetaan, että mille tahansa neliölle, jolla on sivu, voidaan löytää neliöitä, joiden sivut ovat b ja c niin, että niille täyttyy tasa-arvo ja saadaan suhteita, jotka antavat tuloksia minimimäärällä. laskelmista:

parittomille arvoille a,

ja - tasaisille arvoille.

Bibliografinen linkki

Beskrovny I.M. PYTHAGOREAN KOLMOJEN OMINAISUUKSIEN JÄRJESTELMÄANALYYSI // Nykyaikaiset tiedeintensiiviset tekniikat. - 2013. - nro 11. - s. 135-142;
URL-osoite: http://site/ru/article/view?id=33537 (käyttöpäivä: 20.3.2020). Tuomme huomionne Kustantajan "Academy of Natural History" julkaisemat lehdet

Belotelov V.A. Pythagoraan kolmoset ja niiden lukumäärä // Nesterovien tietosanakirja

Tämä artikkeli on vastaus yhdelle professorille - pincherille. Katsokaa, professori, kuinka he tekevät sen kylässämme.

Nižni Novgorodin alue, Zavolzhye.

Edellyttää diofantiiniyhtälöiden (ADDE) ratkaisualgoritmin tuntemusta ja polynomikulkujen tuntemusta.

IF on alkuluku.

MF on yhdistelmäluku.

Olkoon pariton luku N. Jollekin muulle parittomalle luvulle kuin ykköselle voit kirjoittaa yhtälön.

p 2 + N \u003d q 2,

missä р + q = N, q – р = 1.

Esimerkiksi numeroiden 21 ja 23 yhtälöt olisivat -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jos N on alkuluku, tämä yhtälö on ainutlaatuinen. Jos luku N on yhdistelmä, on mahdollista muodostaa samanlaisia ​​yhtälöitä tätä lukua edustavien tekijäparien lukumäärälle, mukaan lukien 1 x N.

Otetaan luku N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Unelmoin, mutta onko tästä IF:n ja MF:n välisestä erosta kiinni pitäen mahdollista löytää menetelmä niiden tunnistamiseen.

Otetaan käyttöön merkintä;

Muutetaan alempi yhtälö, -

N \u003d kohdassa 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Ryhmitetään N:n arvot kriteerin mukaan -a, ts. tehdään pöytä.

Numerot N summattiin matriisiin, -

Tätä tehtävää varten minun piti käsitellä polynomien ja niiden matriisien progressioita. Kaikki osoittautui turhaksi - PCh-puolustukset pidetään voimakkaasti. Syötetään sarake taulukkoon 1, jossa - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Taas kerran. Taulukko 2 saatiin IF:n ja MF:n tunnistamisongelman ratkaisemisen tuloksena. Taulukosta seuraa, että mille tahansa luvulle N on yhtä monta muotoa a 2 + N \u003d in 2, kuinka moneen tekijäpariin luku N voidaan jakaa, mukaan lukien tekijä 1 x N. Lisäksi numeroihin N \u003d ℓ 2, missä

ℓ - FC. Kun N = ℓ 2 , jossa ℓ on IF, on olemassa ainutlaatuinen yhtälö p 2 + N = q 2 . Mistä lisätodistuksesta voidaan puhua, jos taulukossa luetellaan pienemmät tekijät N muodostavista tekijäpareista yhdestä ∞:oon. Asetamme pöydän 2 arkkuon ja piilotamme arkun kaappiin.

Palataanpa artikkelin otsikossa mainittuun aiheeseen.

Tämä artikkeli on vastaus yhdelle professorille - pincherille.

Pyysin apua - tarvitsin numerosarjan, jota en löytänyt Internetistä. Törmäsin kysymyksiin, kuten "mitä varten?", "Mutta näytä minulle menetelmä." Erityisesti heräsi kysymys siitä, onko Pythagoraan kolminoiden sarja ääretön, "miten todistaa se?". Hän ei auttanut minua. Katsokaa, professori, kuinka he tekevät sen kylässämme.

Otetaan kaava Pythagoraan kolminoista, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (yksi)

Ajetaan ARDU:n läpi.

Kolme tilannetta on mahdollista:

I. x on pariton luku,

y on parillinen luku

z on parillinen luku.

Ja on ehto x > y > z.

II. x on pariton luku

y on parillinen luku

z on pariton luku.

x > z > y.

III.x - parillinen luku,

y on pariton luku

z on pariton luku.

x > y > z.

Aloitetaan I:stä.

Otetaan käyttöön uusia muuttujia

Korvaa yhtälö (1).

Kumotaan pienemmällä muuttujalla 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Pienennetään muuttujaa 2β – 2γ pienemmällä ottamalla samanaikaisesti käyttöön uusi parametri ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Sitten 2α - 2β = x - y - 1.

Yhtälö (2) saa muodon -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Tehdään neliö -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU antaa parametrien kautta yhtälön vanhempien termien välisen suhteen, joten saimme yhtälön (3).

Ei ole vakaata käsitellä ratkaisujen valintaa. Mutta ensinnäkin ei ole minnekään mennä, ja toiseksi näitä ratkaisuja tarvitaan useita, ja voimme palauttaa äärettömän määrän ratkaisuja.

Kun ƒ = 1, k = 1, meillä on x – y = 1.

Kun ƒ = 12, k = 16, meillä on x - y = 9.

Kun ƒ = 4, k = 32, meillä on x - y = 25.

Voit poimia sitä pitkään, mutta lopulta sarja saa muodon -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Harkitse vaihtoehtoa II.

Otetaan uudet muuttujat yhtälöön (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Vähennämme pienemmällä muuttujalla 2 β, -

(2a - 2p + 2k + 1) 2 = (2a - 2p + 2k+1) 2 + (2k)2.

Vähennetään pienemmällä muuttujalla 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z ja korvaa yhtälö (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Kun ƒ = 3, k = 4, meillä on x - z = 2.

Kun ƒ = 8, k = 14, meillä on x - z = 8.

Kun ƒ = 3, k = 24, meillä on x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen -

Kirjoitetaan kaava.

missä n=1, 2,...∞.

Tapausta III ei kuvata - siihen ei ole ratkaisuja.

Ehdossa II kolmoissarja on seuraava:

Yhtälö (1) esitetään selvyyden vuoksi muodossa x 2 = z 2 + y 2.

Ehdossa I kolminkertaisten sarja on seuraava:

Yhteensä maalataan 9 kolmospylvästä, kussakin viisi kolmiosaa. Ja jokainen esitetyistä sarakkeista voidaan kirjoittaa arvoon ∞.

Esimerkkinä tarkastellaan viimeisen sarakkeen kolmoiskappaleita, joissa x - y \u003d 81.

x:n arvoille kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

Arvoille, jotka kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

z:n arvoille kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

Missä n = 1 ÷ ∞.

Kuten luvattiin, sarja kolmosia, joiden x - y = 81, lentää kohtaan ∞.

Tapauksille I ja II yritettiin muodostaa matriiseja x:lle, y:lle, z:lle.

Kirjoita ylimmistä riveistä x:n viisi viimeistä saraketta ja rakenna puolisuunnikkaan muoto.

Se ei toiminut, ja kuvion tulisi olla neliömäinen. Kaiken tekemiseksi harjakattoiseksi kävi ilmi, että oli tarpeen yhdistää sarakkeet I ja II.

Tapauksessa II suuret y, z vaihdetaan jälleen keskenään.

Yhdestä syystä onnistuimme sulautumaan - kortit sopivat hyvin tähän tehtävään - olimme onnekkaita.

Nyt voit kirjoittaa matriiseja x, y, z.

Otetaan x-arvon viidestä viimeisestä sarakkeesta ylimmiltä riveiltä ja rakennetaan puolisuunnikkaan.

Kaikki on hyvin, voit rakentaa matriiseja, ja aloitetaan matriisilla z:lle.

Juoksen komeroon hakemaan arkkua.

Yhteensä: Yhden lisäksi jokainen numeerisen akselin pariton luku osallistuu Pythagoraan kolmosten muodostumiseen yhtä suurella määrällä tämän luvun N muodostavia tekijäpareja, mukaan lukien tekijä 1 x N.

Luku N \u003d ℓ 2, jossa ℓ - IF, muodostaa yhden Pythagoraan kolminkertaisen, jos ℓ on MF, niin tekijöillä ℓхℓ ei ole kolmoisosaa.

Tehdään matriisit x:lle, y:lle.

Aloitetaan x:n matriisista. Tätä varten vedämme sille koordinaattiruudukon IF:n ja MF:n tunnistamisongelmasta.

Pystysuorien rivien numerointi normalisoidaan lausekkeella

Poistetaan ensimmäinen sarake, koska

Matriisi saa muodon -

Kuvataan pystysuorat rivit, -

Kuvataan kertoimet kohdassa "a", -

Kuvataanpa ilmaisia ​​jäseniä, -

Tehdään yleinen kaava "x":lle, -

Jos teemme samanlaisen työn "y":lle, saamme -

Voit lähestyä tätä tulosta toiselta puolelta.

Otetaan yhtälö,

ja 2 + N = 2:ssa.

Muutetaan vähän -

N = 2 - 2.

Tehdään neliö -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Lisää yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle suuruus 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Ja lopuksi -

(kohdassa 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pythagoraan kolmiot koostuvat seuraavasti:

Tarkastellaan esimerkkiä numerolla N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Taulukon 2 pystysarakkeet on numeroitu arvoilla in - a, kun taas taulukon 3 pystysarakkeet on numeroitu arvoilla x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Tehdään kolme yhtälöä.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Tekijät 3 ja 39 eivät ole suhteellisen alkulukuja, joten yksi kolmio muodostui kertoimella 9.

Kuvataanpa yllä oleva yleisillä symboleilla kirjoitettuna, -

Tässä työssä kaikki, mukaan lukien esimerkki Pythagoraan kolmosten laskemisesta numerolla

N = 117, sidottu pienempään tekijään -a. Selkeä syrjintä suhteessa + a:n tekijään. Korjataan tämä epäoikeudenmukaisuus - muodostamme kolme yhtälöä, joiden kerroin on + a.

Palataan kysymykseen IF:n ja MF:n tunnistamisesta.

Tähän suuntaan on tehty paljon ja tänään on tullut seuraava ajatus käsistä - ei ole tunnistusyhtälöä, eikä ole olemassa sellaista asiaa, jolla tekijöitä määritettäisiin.

Oletetaan, että olemme löytäneet suhteen F = a, b (N).

On olemassa kaava

Voit päästä eroon kaavassa F in:stä ja saat n:nnen asteen homogeenisen yhtälön suhteessa a:seen, ts. F = a(N).

Tämän yhtälön mille tahansa asteen n kohdalla on luku N, jossa on m tekijäparia, kun m > n.

Ja sen seurauksena n-asteen homogeenisella yhtälöllä täytyy olla m juurta.

Kyllä, näin ei voi olla.

Tässä artikkelissa lukuja N tarkasteltiin yhtälölle x 2 = y 2 + z 2, kun ne ovat yhtälössä paikassa z. Kun N on x:n tilalla, tämä on toinen tehtävä.

Ystävällisin terveisin Belotelov V.A.

Kätevä ja erittäin tarkka menetelmä, jota maanmittaajat käyttävät kohtisuorien viivojen piirtämiseen maahan, on seuraava. Vaaditaan pisteen A kautta kohtisuora suoraa MN vastaan ​​(kuva 13). Pysähdy paikasta A AM suuntaan kolme kertaa jonkin matkan verran a. Sen jälkeen nauhaan sidotaan kolme solmua, joiden väliset etäisyydet ovat 4a ja 5a. Kiinnitä äärimmäiset solmut pisteisiin A ja B ja vedä naru keskimmäisen solmun yli. Johto sijoittuu kolmioon, jossa kulma A on suora.

Tämä muinainen menetelmä, jota Egyptin pyramidien rakentajat ilmeisesti käyttivät tuhansia vuosia sitten, perustuu siihen tosiasiaan, että jokainen kolmio, jonka sivut ovat suhteessa 3:4:5, tunnetun Pythagoraan lauseen mukaan, on suorakulmainen, koska

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Lukujen 3, 4, 5 lisäksi on olemassa, kuten tiedetään, lukematon joukko positiivisia kokonaislukuja a, b, c, jotka täyttävät suhteen

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Niitä kutsutaan Pythagoraan numeroiksi. Pythagoraan lauseen mukaan sellaiset luvut voivat toimia jonkin suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksina; siksi a:ta ja b:tä kutsutaan "jaloiksi" ja c:tä "hypotenuusaksi".

On selvää, että jos a, b, c on Pythagoraan lukujen kolmoisosa, niin pa, pb, pc, missä p on kokonaislukutekijä, ovat Pythagoraan lukuja. Päinvastoin, jos Pythagoran luvuilla on yhteinen tekijä, tällä yhteisellä tekijällä voit pienentää niitä kaikkia, ja taas saat Pythagoraan lukujen kolminkertaisen. Siksi tutkitaan ensin vain Pythagoraan koprime-lukujen kolminkertaisia ​​(loput saadaan niistä kertomalla kokonaislukukertoimella p).

Osoitetaan, että kussakin sellaisessa kolmiossa a, b, c yhden "jalan" on oltava parillinen ja toisen pariton. Väitelkäämme "päinvastoin". Jos molemmat "jalat" a ja b ovat parillisia, luku a 2 + b 2 on parillinen, ja siten "hypotenuusa". Tämä on kuitenkin ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että luvuilla a, b, c ei ole yhteisiä kertoimia, koska kolmella parillisella luvulla on yhteinen kerroin 2. Näin ollen ainakin yksi "osista" a, b on pariton.

Jäljellä on vielä yksi mahdollisuus: molemmat "jalat" ovat parittomia ja "hypotenuusa" on parillinen. On helppo todistaa, ettei näin voi olla. Todellakin, jos "jaloilla" on muoto

2x + 1 ja 2v + 1,

niin niiden neliöiden summa on

4x 2 + 4x + 1 + 4v 2 + 4v + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

eli se on luku, joka jaettuna 4:llä antaa jäännöksen 2:sta. Samaan aikaan minkä tahansa parillisen luvun neliön on oltava jaollinen 4:llä ilman jäännöstä. Joten kahden parittoman luvun neliöiden summa ei voi olla parillisen luvun neliö; toisin sanoen kolme lukuamme eivät ole Pythagoraan.

Joten "jaloista" a, b yksi on parillinen ja toinen pariton. Siksi luku a 2 + b 2 on pariton, mikä tarkoittaa, että "hypotenuusa" c on myös pariton.

Oletetaan varmuuden vuoksi, että pariton on "jalka" a ja parillinen b. Tasa-arvosta

a 2 + b 2 = c 2

saamme helposti:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Oikean puolen tekijät c + b ja c - b ovat koprime. Itse asiassa, jos näillä luvuilla olisi jokin muu yhteinen alkutekijä kuin yksi, summa olisi myös jaollinen tällä tekijällä.

(c + b) + (c - b) = 2c,

ja ero

(c + b) - (c - b) = 2b,

ja työ

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

eli luvuilla 2c, 2b ja a olisi yhteinen tekijä. Koska a on pariton, tämä tekijä eroaa kahdesta, ja siksi luvuilla a, b, c on sama yhteinen tekijä, joka ei kuitenkaan voi olla. Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että luvut c + b ja c - b ovat alkulukuja.

Mutta jos koprimelukujen tulo on tarkka neliö, niin jokainen niistä on neliö, ts.

Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 ja 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Joten katsotuilla Pythagoraan luvuilla on muoto

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

missä m ja n ovat joitain parittomat koprime-luvut. Lukija voi helposti varmistaa päinvastaisen: mille tahansa parittomille tyypeille kirjoitetut kaavat antavat kolme Pythagoraan lukua a, b, c.

Tässä on joitain Pythagoraan lukujen kolmosia, jotka on saatu eri tyypeillä:

Jos m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 m:lle = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, jos m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, jos m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, jos m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Kaikilla muilla Pythagoraan lukujen kolmiosilla on joko yhteisiä kertoimia tai ne sisältävät lukuja, jotka ovat suurempia kuin sata.)

Chervyak Vitaly

Ladata:

Esikatselu:

Koululaisten tieteellisten projektien kilpailu

Alueellisen tieteellisen ja käytännön konferenssin "Eureka" puitteissa

Kubanin opiskelijoiden pieni tiedeakatemia

Pythagoraan lukujen tutkimus

Matematiikan osa.

Chervyak Vitaliy Gennadievich, luokka 9

MOBU SOSH №14

Korenovskin alueella

Taide. Žuravskaja

Valvoja:

Manko Galina Vasilievna

Matematiikan opettaja

MOBU SOSH №14

Korenovsk 2011

Chervyak Vitaly Gennadievich

Pythagoraan luvut

Huomautus.

Tutkimusaihe:Pythagoraan luvut

Tutkimustavoitteet:

Tutkimustavoitteet:

• Matemaattisten kykyjen tunnistaminen ja kehittäminen;
• Matemaattisen esityksen laajentaminen aiheesta;
• Kestävän kiinnostuksen muodostuminen aihetta kohtaan;
• Kommunikatiivisten ja yleissivistystaitojen kehittäminen itsenäiseen työskentelyyn, kyky käydä keskustelua, väitellä jne.;
• Analyyttisen ja loogisen ajattelun muodostuminen ja kehittäminen;

Tutkimusmenetelmät:

• Internet-resurssien käyttö;
• Pääsy viitekirjallisuuteen;
• Kokeen suorittaminen;

Johtopäätös:

• Tätä työtä voidaan käyttää geometrian oppitunnilla lisämateriaalina, matematiikan valinnaisten kurssien tai valinnaisten kurssien suorittamiseen sekä matematiikan opetustyössä;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

1. Johdanto…………………………………………………………………………3
2. Pääosa

2.1 Historiallinen sivu……………………………………………………………4

2.2 Todistus parillisista ja parittomista osista………………………… .........5-6

2.3 Löytämismallin johtaminen

Pythagoraan luvut………………………………………………………………7

2.4 Pythagoraan lukujen ominaisuudet ……………………………………………… 8

3. Johtopäätös…………………………………………………………………………9

4. Luettelo käytetyistä lähteistä ja kirjallisuudesta……………………… 10

Sovellukset ................................................. ................................................... . .....yksitoista

Liite I…………………………………………………………………………11

Liite II………………………………………………………………………..13

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Johdanto

Kuulin Pythagorasta ja hänen elämästään viidennellä luokalla matematiikan tunnilla, ja minua kiinnosti lause "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin." Pythagoraan lausetta opiskellessani kiinnostuin Pythagoraan luvuista.tutkimuksen tarkoitus: oppia lisää Pythagoraan lauseesta ja "Pytagoraan luvuista".

Aiheen relevanssi. Pythagoraan lauseen ja Pythagoraan kolminkertaisten arvon ovat todistaneet monet tiedemiehet ympäri maailmaa vuosisatojen ajan. Työssäni käsittelevä ongelma näyttää varsin yksinkertaiselta, koska se perustuu matemaattiseen väitteeseen, jonka kaikki tietävät - Pythagoraan lauseeseen: missä tahansa suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa, jotka on rakennettu jalat. Nyt luonnollisten lukujen kolmiot x, y, z, joille x 2 + y 2 = z 2 , jota kutsutaan yleisestiPythagoraan kolmoset. Osoittautuu, että Pythagoraan kolmiot tunnettiin jo Babylonissa. Vähitellen myös kreikkalaiset matemaatikot löysivät ne.

Tämän työn tarkoitus

1. Tutustu Pythagoraan lukuihin;
2. Ymmärtää kuinka Pythagoraan luvut saadaan;
3. Selvitä, mitä ominaisuuksia Pythagoraan numeroilla on;
4. Rakenna kokeellisesti kohtisuorat viivat maahan käyttämällä Pythagoraan lukuja;

Työn tarkoituksen mukaisesti useita seuraavista tehtävät:

1. Pythagoraan lauseen historian syvällisempi tutkimus;

2. Pythagoraan kolmioiden universaalien ominaisuuksien analyysi.

3. Pythagoraan kolmioiden käytännön soveltamisen analyysi.

Tutkimuksen kohde: Pythagoraan kolminkertaiset.

Tutkimusaihe: matematiikka .

Tutkimusmenetelmät: - Internet-resurssien käyttö; - vetoaminen viitekirjallisuuteen; - Kokeen suorittaminen;

Teoreettinen merkitys:Pythagoraan kolmoiskappaleiden löytämisen rooli tieteessä; Pythagoraan löydön käytännön soveltaminen ihmiselämään.

Sovellettu arvotutkimus koostuu kirjallisten lähteiden analysoinnista ja tosiasioiden systematisoinnista.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Pythagoraan lukujen historiasta.

• Muinainen Kiina:

Chu-pei matematiikan kirja:[ 2]

"Jos suora kulma hajotetaan sen osiin, niin sen sivujen päitä yhdistävä viiva on 5, kun pohja on 3 ja korkeus on 4."

• Muinainen Egypti: [2]

Kanttori (suurin saksalainen matematiikan historioitsija) uskoo, että tasa-arvo 3² + 4² = 5² Egyptiläiset tunsivat sen jo noin vuonna 2300 eaa. esim. kuninkaan aikana Amenemhet (Berliinin museon Papyrus 6619:n mukaan). Kantorin mukaan harpedonaptit, tai "köydenkiristimet", jotka on rakennettu suoriin kulmiin käyttämällä suorakulmaisia ​​kolmioita, joiden sivut ovat 3; 4 ja 5.

• Babylonia: [3]

"Ensimmäisten kreikkalaisten matemaatikoiden, kuten Thaleksen, Pythagoraan ja Pythagoralaisten, ansio ei ole matematiikan löytäminen, vaan sen systematisointi ja perustelu. Heidän käsissään epämääräisiin ideoihin perustuvista laskennallisista resepteistä on tullut tarkka tiede.

• Pythagoraan lauseen historia:,

Vaikka tämä lause liittyy Pythagoraan nimeen, se tunnettiin kauan ennen häntä.

Babylonilaisissa teksteissä hän esiintyy 1200 vuotta ennen Pythagorasta.

Ilmeisesti hän oli ensimmäinen, joka löysi sen todisteen. Tältä osin tehtiin seuraava merkintä: "... kun hän havaitsi, että suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa vastaa jalkoja, hän uhrasi vehnätaikinasta tehdyn härän."

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Pythagoraan lukujen tutkimus.

• Jokainen kolmio, jonka sivut ovat suhteessa 3:4:5, on tunnetun Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmainen, koska

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Lukujen 3,4 ja 5 lisäksi on olemassa, kuten tiedetään, ääretön joukko positiivisia kokonaislukuja a, b ja c, jotka täyttävät suhteen
• A 2 + in 2 = c 2.
• Näitä numeroita kutsutaanPythagoraan luvut

Pythagoraan kolmiot ovat olleet tiedossa jo pitkään. Muinaisten Forest Potam -hautakivien arkkitehtuurissa on tasakylkinen kolmio, joka koostuu kahdesta suorakaiteen muotoisesta kolmiosta, joiden sivut ovat 9, 12 ja 15 kyynärää. Farao Snefrun (XXVII vuosisata eKr.) pyramidit rakennettiin kolmioista, joiden sivut olivat 20, 21 ja 29 sekä 18, 24 ja 30 kymmeniä Egyptin kyynärää.[ 1 ]

Suorakulmaista kolmiota, jossa on jalat 3, 4 ja hypotenuusa 5, kutsutaan Egyptin kolmioksi. Tämän kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin täydellinen luku 6. Kehä on yhtä suuri kuin 12 - luku, jota pidettiin onnen ja vaurauden symbolina.

Muinaiset egyptiläiset rakensivat suoran kolmion ja suoran kulman solmuilla 12 yhtä suureen osaan jaetun köyden avulla. Kätevä ja erittäin tarkka menetelmä, jota maanmittaajat käyttävät kohtisuorien viivojen piirtämiseen maahan. On tarpeen ottaa naru ja kolme tappia, johto on järjestetty kolmioon siten, että yksi puoli koostuu 3 osasta, toinen 4 osasta ja viimeinen viidestä tällaisesta osasta. Johto sijoitetaan kolmioon, jossa on suora kulma.

Tämä muinainen menetelmä, jota Egyptin pyramidien rakentajat ilmeisesti käyttivät tuhansia vuosia sitten, perustuu siihen tosiasiaan, että jokainen kolmio, jonka sivut liittyvät Pythagoraan lauseen mukaan suhteessa 3:4:5, on suorakulmainen kolmio.

Eukleides, Pythagoras, Diophantus ja monet muut olivat mukana etsimässä Pythagoraan kolmoiskappaleita.[ 1]

On selvää, että jos (x, y, z ) on Pythagoraan kolmoiskappale, sitten kaikille luonnollisille k kolminkertainen (kx, ky, kz ) tulee myös Pythagoraan kolmoiskappale. Erityisesti (6, 8, 10), (9, 12, 15) jne. ovat Pythagoraan kolmoiskappaleita.

Kun määrät kasvavat, Pythagoraan kolminkertaiset harvinaistuvat ja niitä on vaikea löytää. Pythagoralaiset keksivät menetelmän löytää

sellaiset kolmiot ja sitä käyttämällä osoitti, että Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän monta.

Kolmoiskappaleita, joilla ei ole yhteisiä jakajia suurempia kuin 1, kutsutaan yksinkertaisiksi kolmoiksi.

Harkitse joitain Pythagoraan kolmosten ominaisuuksia.[ 1]

Pythagoraan lauseen mukaan nämä luvut voivat toimia jonkin suorakulmaisen kolmion pituuksina; siksi a:ta ja b:tä kutsutaan "jaloiksi" ja c:tä "hypotenuusaksi".
On selvää, että jos a, b, c ovat Pythagoraan lukujen kolminkertaiset, niin pa, p, pc, missä p on kokonaislukutekijä, ovat Pythagoraan lukuja.
Myös päinvastoin on totta!
Siksi tutkitaan ensin vain Pythagoraan koprime-lukujen kolminkertaisia ​​(loput saadaan niistä kertomalla kokonaislukukertoimella p).

Osoittakaamme, että kussakin sellaisessa kolmiossa a, b, c yhden "jalan" on oltava parillinen ja toisen pariton. Väitelkäämme "päinvastoin". Jos molemmat "jalat" a ja b ovat parillisia, luku a on parillinen 2+ in 2 ja siten hypotenuusa. Mutta tämä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että luvuilla a, b ja c ei ole yhteisiä kertoimia, koska kolmella parillisella luvulla on yhteinen kerroin 2. Näin ollen ainakin yksi "osista" a ja b on pariton.

Jäljellä on vielä yksi mahdollisuus: molemmat "jalat" ovat parittomia ja "hypotenuusa" on parillinen. On helppo todistaa, ettei näin voi olla, koska jos "jalat" ovat muotoa 2 x + 1 ja 2y + 1, niin niiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin

4x 2 + 4x + 1 + 4v 2 + 4v + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, so. on luku, joka jaettuna 4:llä antaa jäännöksen 2. Samaan aikaan minkä tahansa parillisen luvun neliön on oltava jaollinen 4:llä ilman jäännöstä.

Joten kahden parittoman luvun neliöiden summa ei voi olla parillisen luvun neliö; toisin sanoen kolme lukuamme eivät ole Pythagoraan.

PÄÄTELMÄ:

Joten "jaloista" a, yhteen parilliseen ja toiseen parilliseen. Joten numero a 2+ in 2 pariton, mikä tarkoittaa, että "hypotenuusa" c.

Pythagoras löysi kaavoja, jotka nykyisessä symboliikassa voidaan kirjoittaa näin: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, jossa n on kokonaisluku.

Nämä luvut ovat Pythagoraan kolminkertaisia.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Pythagoraan lukujen löytämismallin johtaminen.

Tässä ovat seuraavat Pythagoraan kolmiot:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

On helppo nähdä, että kun Pythagoraan kolmoisluku kerrotaan 2:lla, 3:lla, 4:llä, 5:llä jne., saadaan seuraavat kolmiot.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 jne.

Ne ovat myös Pythagoraan lukuja/

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Pythagoraan lukujen ominaisuudet.

• Kun harkitsin Pythagoraan lukuja, näin useita ominaisuuksia:
• 1) Yhden Pythagoraan luvuista on oltava kolmen kerrannainen;
• 2) Toisen niistä on oltava neljän kerrannainen;
• 3) Pythagoraan luvuista kolmannen on oltava viiden kerrannainen;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Johtopäätös.

Geometria, kuten muutkin tieteet, syntyi käytännön tarpeista. Itse sana "geometria" - kreikka, käännöksessä tarkoittaa "mittausta".

Ihmiset kohtasivat hyvin varhain tarpeen mitata maa. Jo 3-4 tuhatta vuotta eKr. jokainen hedelmällinen maa Niilin, Eufratin ja Tigriksen laaksoissa, Kiinan joissa, oli tärkeä ihmisten elämälle. Tämä vaati tietyn määrän geometristä ja aritmeettista tietoa.

Vähitellen ihmiset alkoivat mitata ja tutkia monimutkaisempien geometristen muotojen ominaisuuksia.

Sekä Egyptissä että Babylonissa rakennettiin jättimäisiä temppeleitä, joiden rakentaminen voitiin toteuttaa vain alustavien laskelmien perusteella. Myös akvedukteja rakennettiin. Kaikki tämä vaati piirustuksia ja laskelmia. Tähän mennessä Pythagoraan lauseen erikoistapaukset olivat hyvin tiedossa, he tiesivät jo, että jos otetaan kolmiot, joiden sivut ovat x, y, z, missä x, y, z ovat sellaisia ​​kokonaislukuja, x 2 + y 2 = z 2 , niin nämä kolmiot ovat suorakulmaisia.

Kaikkea tätä tietoa sovellettiin suoraan monilla ihmiselämän aloilla.

Joten tähän asti antiikin tiedemiehen ja filosofin Pythagoraan suuri löytö on saanut suoraa käyttöä elämässämme.

Talojen, teiden, avaruusalusten, autojen, työstökoneiden, öljyputkien, lentokoneiden, tunneleiden, metrojen ja paljon muuta rakentamista. Pythagoraan kolmoset löytävät suoraa käyttöä monien arjessamme ympäröivien asioiden suunnittelussa.

Ja tiedemiesten mielet etsivät edelleen uusia versioita Pythagoraan lauseen todisteista.

• AT Työni tuloksena onnistuin:
• 1. Opi lisää Pythagorasista, hänen elämästään ja Pythagoran veljeskunnasta.
• 2. Tutustu Pythagoraan lauseen historiaan.
• 3. Tutustu Pythagoraan lukuihin, niiden ominaisuuksiin, opi löytämään niitä ja soveltamaan niitä käytännössä.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Krasnodarin alue, Zhuravskajan kylä, MOBU-yliopisto nro 14, luokka 9

Pythagoraan luvut

Ohjaaja: Manko Galina Vasilievna, matematiikan opettaja, MOBU lukio nro 14

Kirjallisuus.

1. Viihdyttävä algebra. MINUA JA. Perelman (s. 117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Katsaus matematiikkaan ja jotain siitä. – M.: MTsNMO, 2003.

5. Lasten tietosanakirja. - M .: RSFSR:n pedagogisten tieteiden akatemian kustantamo, 1959.

6. Stepanova L.L. Valitut alkeislukuteorian luvut. – M.: Prometheus, 2001.

7. V. Sierpinsky Pythagoraan kolmiot. - M.: Uchpedgiz, 1959. S.111

Tutkimuksen edistyminen Historiallinen sivu; Pythagoraan lause; Todista, että yhden "jalan" on oltava parillinen ja toisen pariton; Pythagoraan lukujen löytämismallin johtaminen; Paljasta Pythagoraan lukujen ominaisuudet;

Johdanto Kuulin Pythagorasta ja hänen elämästään viidennellä luokalla matematiikan tunnilla, ja minua kiinnosti lause "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin." Pythagoraan lausetta opiskellessani kiinnostuin Pythagoraan luvuista. Asetin tutkimuksen tavoitteeksi: oppia lisää Pythagoraan lauseesta ja "Pythagoran luvuista".

Totuus on ikuinen, kuinka pian heikko ihminen sen tietää! Ja nyt Pythagoras Vernen lause, kuten hänen kaukaisella aikakaudellaan

Pythagoraan lukujen historiasta. Muinaisen Kiinan matemaattinen kirja Chu-pei: "Jos suora kulma jaetaan sen komponentteihin, niin sen sivujen päät yhdistävä viiva on 5, kun kanta on 3 ja korkeus on 4."

Pythagoralaiset luvut muinaisten egyptiläisten keskuudessa Kantor (suurin saksalainen matematiikan historioitsija) uskoo, että yhtäläisyys 3 ² + 4 ² = 5² oli egyptiläisten tiedossa jo noin vuonna 2300 eaa. e. kuningas Amenemhatin aikana (Berliinin museon papyruksen 6619 mukaan). Cantorin mukaan harpedonaptit eli "kielet" rakensivat suoria kulmia käyttämällä suorakulmioita, joiden sivut olivat 3; 4 ja 5.

Pythagoraan lause Babyloniassa ”Ensimmäisten kreikkalaisten matemaatikoiden, kuten Thaleen, Pythagoraan ja Pythagoralaisten, ansio ei ole matematiikan löytäminen, vaan sen systematisointi ja perustelu. Heidän käsissään epämääräisiin ideoihin perustuvista laskennallisista resepteistä on tullut tarkka tiede.

Jokainen kolmio, jonka sivut ovat suhteessa 3:4:5, on tunnetun Pythagoraan lauseen mukaan suorakaiteen muotoinen, koska 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. Numeroiden 3,4 ja 5 lisäksi on , kuten tiedät, ääretön joukko positiivisia kokonaislukuja a , in ja c, jotka täyttävät suhteen A 2 + in 2 \u003d c 2. Näitä lukuja kutsutaan Pythagoraan luvuiksi

Pythagoraan lauseen mukaan nämä luvut voivat toimia jonkin suorakulmaisen kolmion pituuksina; siksi a:ta ja b:tä kutsutaan "jaloiksi" ja c:tä "hypotenuusaksi". On selvää, että jos a, b, c ovat Pythagoraan lukujen kolminkertaiset, niin pa, p, pc, missä p on kokonaislukutekijä, ovat Pythagoraan lukuja. Myös päinvastoin on totta! Siksi tutkimme ensin vain Pythagoraan koprime-lukujen kolmoiskappaleita (loput saadaan niistä kertomalla kokonaislukukertoimella p)

Johtopäätös! Joten luvuista a ja b toinen on parillinen ja toinen pariton, mikä tarkoittaa, että myös kolmas luku on pariton.

Tässä ovat seuraavat Pythagoraan kolmiot: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

On helppo nähdä, että kun Pythagoraan kolmoisluku kerrotaan 2:lla, 3:lla, 4:llä, 5:llä jne., saadaan seuraavat kolmiot. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 jne. Ne ovat myös Pythagoraan lukuja

Pythagoraan lukujen ominaisuudet Tarkastellessani Pythagoraan lukuja, näin useita ominaisuuksia: 1) Yhden Pythagoraan luvun on oltava kolmen kerrannainen; 2) yhden niistä on oltava neljän kerrannainen; 3) Ja toisen Pythagoraan luvun on oltava viiden kerrannainen;

Pythagoraan lukujen käytännön soveltaminen

Johtopäätös: Työni tuloksena onnistuin 1. Oppimaan lisää Pythagoraksesta, hänen elämästään, Pythagoran veljeskunnasta. 2. Tutustu Pythagoraan lauseen historiaan. 3. Opi Pythagoran luvuista, niiden ominaisuuksista, opi löytämään ne. Aseta kokeellisesti sivuun suora kulma käyttämällä Pythagoraan lukuja.

Pythagoraan lukujen kolmiot

luovaa työtä

opiskelija 8 "A" luokkaa

MAOU "Gymnasium No. 1"

Oktyabrsky-alue Saratovissa

Panfilova Vladimir

Ohjaaja - korkeimman luokan matematiikan opettaja

Grishina Irina Vladimirovna

Sisältö

Johdanto………………………………………………………………………………………3

Työn teoreettinen osa

Pythagoraan peruskolmion löytäminen

(muinaisten hindujen kaavat)……………………………………………………………………4

Käytännön osa työtä

Pythagoraan kolmosten säveltäminen eri tavoilla…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pythagoraan kolmioiden tärkeä ominaisuus………………………………………………8

Johtopäätös…………………………………………………………………………………….9

Kirjallisuus……………………………………………………………………………………10

Johdanto

Tänä lukuvuonna matematiikan tunneilla opiskelimme yhtä geometrian suosituimmista lauseista - Pythagoraan lausetta. Pythagoraan lausetta sovelletaan geometriassa joka vaiheessa, se on löytänyt laajan sovelluksen käytännössä ja jokapäiväisessä elämässä. Mutta itse lauseen lisäksi tutkimme myös Pythagoraan lauseen käänteistä lausetta. Tämän lauseen tutkimisen yhteydessä olemme tutustuneet Pythagoraan lukukolmoisiin, ts. 3 luonnollisen luvun joukoillaa , b jac , jolle suhde on voimassa: = + . Tällaisia ​​sarjoja ovat esimerkiksi seuraavat kolmoset:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Minulla oli heti kysymyksiä: kuinka monta Pythagoraan kolmosta voit keksiä? Ja miten ne sävelletään?

Geometrian oppikirjassamme Pythagoraan lauseen vastaisen lauseen esittämisen jälkeen tehtiin tärkeä huomautus: voidaan todistaa, että jalata jab ja hypotenuusakanssa suorakulmaiset kolmiot, joiden sivujen pituudet ilmaistaan ​​luonnollisina luvuina, löytyvät kaavoilla:

a = 2 km b = k( - )c = k( + , (1)

missäk , m , n ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja jam > n .

Luonnollisesti herää kysymys - kuinka todistaa nämä kaavat? Ja voidaanko Pythagoraan kolmiot muodostaa vain näillä kaavoilla?

Olen työssäni pyrkinyt vastaamaan mielessäni heränneisiin kysymyksiin.

Työn teoreettinen osa

Pythagoraan pääkolmion löytäminen (muinaisten hindujen kaavat)

Todistetaan ensin kaavat (1):

Merkitään jalkojen pituudet läpiX jaklo ja hypotenuusan pituus läpiz . Pythagoraan lauseen mukaan meillä on yhtäläisyys:+ = .(2)

Tätä yhtälöä kutsutaan Pythagoraan yhtälöksi. Pythagoraan kolmioiden tutkiminen rajoittuu yhtälön (2) ratkaisemiseen luonnollisissa luvuissa.

Jos jonkin Pythagoraan kolmion kutakin sivua suurennetaan sama määrä kertoja, saadaan uusi suorakulmainen kolmio, joka on samanlainen kuin annettu, jonka sivut on ilmaistu luonnollisilla luvuilla, ts. taas Pythagoraan kolmio.

Kaikista samankaltaisista kolmioista on pienin, on helppo arvata, että tämä on kolmio, jonka sivutX jaklo ilmaistaan ​​koalkilukuina

(gcd (x,y )=1).

Kutsumme tällaista Pythagoraan kolmiotapää .

Pythagoraan tärkeimpien kolmioiden löytäminen.

Anna kolmion (x , y , z ) on Pythagoraan pääkolmio. NumerotX jaklo ovat koprime-lukuja, eivätkä ne siksi voi olla parillisia. Osoittakaamme, etteivät ne molemmat voi olla outoja. Tätä varten huomioimme senParittoman luvun neliö jaettuna 8:lla antaa jäännöksen 1. Itse asiassa mikä tahansa pariton luonnollinen luku voidaan esittää muodossa2 k -1 , missäk kuuluuN .

Täältä: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Numerot( k -1) jak ovat peräkkäisiä, yhden niistä on oltava parillinen. Sitten ilmaisuk ( k -1) jaettuna2 , 4 k ( k -1) on jaollinen 8:lla, mikä tarkoittaa jaettuna 8:lla jäännös on 1.

Kahden parittoman luvun neliöiden summa antaa jäännöksen 2, kun se jaetaan 8:lla, joten kahden parittoman luvun neliöiden summa on parillinen luku, mutta ei 4:n kerrannainen, ja siksi tämä lukuei voi olla luonnollisen luvun neliö.

Joten tasa-arvo (2) ei päde josx jaklo molemmat outoja.

Jos siis Pythagoraan kolmio (x, y, z ) - tärkein, sitten numeroiden joukossaX jaklo yhden on oltava parillinen ja toisen on oltava pariton. Olkoon luku y parillinen. NumerotX jaz outoa (paritonz seuraa tasa-arvosta (2)).

Yhtälöstä+ = saamme sen= ( z + x )( z - x ) (3).

Numerotz + x jaz - x koska kahden parittoman luvun summa ja ero ovat parillisia lukuja, ja siksi (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , missäa jab kuuluaN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Näistä tasa-arvoista seuraa, ettäa jab ovat suhteellisen alkulukuja.

Todistamme tämän väittämällä päinvastaista.

Anna GCD (a , b )= d , missäd >1 .

Sittend z jax ja siksi numerotz + x jaz - x . Sitten tasa-arvon perusteella (3) olisi jakaja . Tässä tapauksessad olisi lukujen yhteinen jakajaklo jaX , mutta numerotklo jaX täytyy olla koprime.

Määräklo tiedetään tasaiseksi, joteny = 2s , missäkanssa - luonnollinen luku. Tasa-arvoon (4) perustuva tasa-arvo (3) on seuraavanlainen: =2a*2 b , tai =ab.

Aritmetiikasta tiedetään, ettäjos kahden alkuluvun tulo on luonnollisen luvun neliö, niin jokainen näistä luvuista on myös luonnollisen luvun neliö.

tarkoittaa,a = jab = , missäm jan ovat koprimilukuja, koska ne ovat koprime-lukujen jakajiaa jab .

Tasa-arvon (5) perusteella meillä on:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Sitteny = 2 mn .

Numerotm jan , koska ovat koprimeja, eivät voi olla edes samaan aikaan. Mutta ne eivät voi olla outoja samaan aikaan, koska tässä tapauksessax = - olisi tasaista, mikä on mahdotonta. Joten yksi numeroistam tain on parillinen ja toinen on pariton. Ilmeisestiy = 2 mn on jaollinen 4:llä. Siksi jokaisessa Pythagoraan pääkolmiossa ainakin yksi haaroista on jaollinen 4:llä. Tästä seuraa, ettei ole olemassa Pythagoraan kolmioita, joiden kaikki sivut ovat alkulukuja.

Saadut tulokset voidaan ilmaista seuraavalla lauseella:

Kaikki suuret kolmiot, joissaklo on parillinen luku, saadaan kaavasta

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), missäm jan - kaikki koprime-lukuparit, joista toinen on parillinen ja toinen pariton (ei väliä kumpi). Jokainen Pythagoraan peruskolmio (x, y, z ), missäklo – jopa määräytyy ainutlaatuisesti tällä tavalla.

Numerotm jan molemmat eivät voi olla parillisia tai parittomia, koska näissä tapauksissa

x = olisi tasaista, mikä on mahdotonta. Joten yksi numeroistam tain parillinen ja toinen paritony = 2 mn jaollinen 4:llä).

Käytännön osa työtä

Pythagoraan kolmosten säveltäminen eri tavoin

Hindujen kaavoissam jan - koprime, mutta ne voivat olla mielivaltaisen pariteetin lukuja ja Pythagoraan kolminkertaistaminen niillä on melko vaikeaa. Siksi yritetään löytää erilainen lähestymistapa Pythagoraan kolmioiden kääntämiseen.

= - = ( z - y )( z + y ), missäX - outo,y - jopa,z - outo

v = z - y , u = z + y

= UV , missäu - outo,v - pariton (koprime)

Koska kahden parittoman koalkiluvun tulo on siis luonnollisen luvun neliöu = , v = , missäk jal ovat parittomat luvut.

z - y = z + y = k 2 , mistä lisäämällä yhtäläisyydet ja vähentämällä toisistaan, saamme:

2 z = + 2 y = - eli

z= y= x = cl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (snollia)*(100…0 (snollia) +1)+1 =200…0 (s-1nollia) 200…0 (s-1nollia) 1

Pythagoraan kolmioiden tärkeä ominaisuus

Lause

Pythagoraan pääkolmiossa yksi jaloista on välttämättä jaollinen 4:llä, yksi jaloista on välttämättä jaollinen kolmella ja Pythagoraan kolmion pinta-ala on välttämättä 6:n kerrannainen.

Todiste

Kuten tiedämme, missä tahansa Pythagoraan kolmiossa ainakin yksi jaloista on jaollinen 4:llä.

Osoittakaamme, että myös yksi jaloista on jaollinen kolmella.

Tämän todistamiseksi oletetaan, että Pythagoraan kolmiossa (x , y , z x taiy 3:n monikerta.

Nyt todistetaan, että Pythagoraan kolmion pinta-ala on jaollinen 6:lla.

Minkä tahansa Pythagoraan kolmion pinta-ala ilmaistaan ​​luvun 6 luonnollisena kerrannaisena. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että ainakin yksi haaroista on jaollinen kolmella ja ainakin yksi haaroista on jaollinen 4:llä. Kolmion pinta-ala, määritetään jalkojen puolitulolla, on ilmaistava luvun 6 kerrannaisella.

Johtopäätös

Töissä

- muinaisten hindujen todistetut kaavat

- suoritti tutkimuksen Pythagoraan kolmosten lukumäärästä (niitä on äärettömän paljon)

- menetelmät Pythagoraan kolmioiden löytämiseksi on osoitettu

- Tutkinut Pythagoraan kolmioiden ominaisuuksia

Minulle se oli erittäin mielenkiintoinen aihe ja vastausten löytämisestä kysymyksiini tuli erittäin mielenkiintoista toimintaa. Jatkossa aion harkita Pythagoraan kolmioiden yhteyttä Fibonaccin sekvenssiin ja Fermatin lauseeseen ja oppia monia muita Pythagoraan kolmioiden ominaisuuksia.

Kirjallisuus

L.S. Atanasyan "Geometria. 7-9 luokkaa" M .: Koulutus, 2012.

V. Serpinsky "Pytagoran kolmiot" M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014