Voidaan havaita useita tähän toimintaan liittyviä tuloksia. Näitä tuloksia kutsutaan luonnollisten lukujen yhteenlaskuominaisuudet. Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti luonnollisten lukujen lisäämisen ominaisuuksia, kirjoitamme ne kirjaimilla ja annamme selittäviä esimerkkejä.

Sivulla navigointi.

Luonnollisten lukujen summauksen assosiatiivinen ominaisuus.

Annamme nyt esimerkin, joka havainnollistaa luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen assosiatiivista ominaisuutta.

Kuvittele tilanne: 1 omena putosi ensimmäisestä omenapuusta ja 2 omenaa ja 4 muuta omenaa putosi toisesta omenapuusta. Mieti nyt seuraavaa tilannetta: 1 omena ja 2 muuta omenaa putosi ensimmäisestä omenapuusta ja 4 omenaa putosi toisesta omenapuusta. On selvää, että sama määrä omenoita on maassa sekä ensimmäisessä että toisessa tapauksessa (mikä voidaan varmistaa uudelleen laskemalla). Eli tulos, kun numero 1 lisätään lukujen 2 ja 4 summaan, on yhtä suuri kuin tulos, kun numeroiden 1 ja 2 summa lisätään numeroon 4.

Tarkastelun esimerkin avulla voimme muotoilla luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen assosiatiivisen ominaisuuden: lisätäksesi kahden luvun tietyn summan tiettyyn lukuun, voit lisätä tämän summan ensimmäisen termin tähän lukuun ja lisätä tämä summa saatuun tulokseen. Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavilla kirjaimilla: a+(b+c)=(a+b)+c, jossa a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​luonnollisia lukuja.

Huomaa, että yhtälössä a+(b+c)=(a+b)+c on suluissa "(" ja ")". Sulkuja käytetään lausekkeissa osoittamaan toimintojen suoritusjärjestystä - suluissa olevat toiminnot suoritetaan ensin (lisää tästä osiossa). Toisin sanoen suluissa on lausekkeita, joiden arvot arvioidaan ensin.

Tämän kappaleen lopuksi toteamme, että yhteenlaskuominaisuuden assosiaatioominaisuus antaa meille mahdollisuuden määrittää yksiselitteisesti kolmen, neljän ja useamman luonnollisen luvun summauksen.

Ominaisuus lisätä nolla ja luonnollinen luku, ominaisuus lisätä nolla nollaan.

Tiedämme, että nolla EI ole luonnollinen luku. Joten miksi päätimme harkita nollan ja luonnollisen luvun yhteenlaskuominaisuutta tässä artikkelissa? Tähän on kolme syytä. Ensimmäinen: tätä ominaisuutta käytetään lisättäessä luonnollisia lukuja sarakkeeseen. Toiseksi: tätä ominaisuutta käytetään luonnollisten lukujen vähentämiseen. Kolmanneksi: jos ajatellaan, että nolla tarkoittaa jonkin puuttumista, niin nollan ja luonnollisen luvun lisäämisen merkitys on sama kuin kahden luonnollisen luvun lisääminen.

Tehdään se päättely, joka auttaa meitä muotoilemaan nollan ja luonnollisen luvun yhteenlaskuominaisuuden. Kuvittele, että laatikossa ei ole kohteita (toisin sanoen laatikossa on 0 kohdetta), ja siihen on sijoitettu esine, jossa a on mikä tahansa luonnollinen luku. Eli lisätty 0 ja kohde. On selvää, että tämän toiminnon jälkeen laatikossa on kohteita. Siksi yhtälö 0+a=a on totta.

Vastaavasti, jos laatikko sisältää kohteita ja siihen on lisätty 0 kohdetta (eli kohteita ei lisätä), tämän toiminnon jälkeen laatikkoon tulee kohteita. Joten a+0=a.

Nyt voidaan ilmoittaa nollan ja luonnollisen luvun yhteenlaskuominaisuus: kahden luvun summa, joista toinen on nolla, on yhtä suuri kuin toinen luku. Matemaattisesti tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavana yhtälönä: 0+a=a tai a+0=a, jossa a on mielivaltainen luonnollinen luku.

Erikseen kiinnitetään huomiota siihen, että kun lasketaan yhteen luonnollinen luku ja nolla, summauksen kommutatiivinen ominaisuus säilyy, eli a+0=0+a .

Lopuksi muotoillaan nolla-nolla -lisäysominaisuus (se on melko ilmeistä eikä vaadi lisäkommentteja): kahden luvun summa, joista kumpikin on nolla, on nolla. Eli 0+0=0 .

Nyt on aika selvittää, kuinka luonnollisten lukujen yhteenlasku suoritetaan.

Bibliografia.

• Matematiikka. Kaikki oppikirjat oppilaitosten luokille 1, 2, 3, 4.
• Matematiikka. Kaikki oppikirjat 5 oppilaitoksen luokalle.

Aihe, jolle tämä oppitunti on omistettu, on "Lisäyksen ominaisuudet". Siinä tutustut yhteenliittämisen kommutatiivisiin ja assosiatiivisiin ominaisuuksiin tarkastelemalla niitä erityisillä esimerkeillä. Ota selvää, milloin voit käyttää niitä laskentaprosessin helpottamiseksi. Testitapaukset auttavat määrittämään, kuinka hyvin olet oppinut materiaalin.

Oppitunti: Lisäysominaisuudet

Katso tarkkaan ilmaisua:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Meidän on löydettävä sen arvo. Tehdään se.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Lausekkeen 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 tulos = 40.
Kerro minulle, oliko laskeminen kätevää? Laskeminen ei ollut kovin kätevää. Katso uudelleen tämän lausekkeen numeroita. Onko mahdollista vaihtaa ne niin, että laskelmat ovat kätevämpiä?

Jos järjestämme numerot eri tavalla:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Lausekkeen lopputulos on 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Näemme, että lausekkeiden tulokset ovat samat.

Termit voidaan vaihtaa keskenään, jos se sopii laskelmiin, eikä summan arvo muutu tästä.

Matematiikassa on laki: Kommutatiivinen summauslaki. Siinä sanotaan, että summa ei muutu ehtojen uudelleenjärjestelystä.

Setä Fjodor ja Sharik väittelivät. Sharik löysi lausekkeen arvon sellaisena kuin se on kirjoitettu, ja Fjodor-setä sanoi tietävänsä toisen, kätevämmän tavan laskea. Näetkö kätevämmän tavan laskea?

Pallo ratkaisi lauseen niin kuin se on kirjoitettu. Ja Fjodor-setä sanoi tuntevansa lain, joka sallii ehtojen muuttamisen, ja vaihtoi numerot 25 ja 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Näemme, että tulos pysyy samana, mutta laskemisesta on tullut paljon helpompaa.

Katso seuraavat ilmaisut ja lue ne.

6 + (24 + 51) = 81 (6:een lisätään lukujen 24 ja 51 summa)
Onko olemassa kätevä tapa laskea?
Näemme, että jos lisäämme 6 ja 24, saamme pyöreän luvun. Pyöreään numeroon on aina helpompi lisätä jotain. Ota suluissa lukujen 6 ja 24 summa.
(6 + 24) + 51 = …
(lisää 51 lukujen 6 ja 24 summaan)

Lasketaan lausekkeen arvo ja katsotaan onko lausekkeen arvo muuttunut?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Näemme, että lausekkeen arvo pysyy samana.

Harjoitellaan vielä yhdellä esimerkillä.

(27 + 19) + 1 = 47 (lisää 1 lukujen 27 ja 19 summaan)
Mitä numeroita voidaan kätevästi ryhmitellä siten, että saadaan kätevä tapa?
Arvasit, että nämä ovat luvut 19 ja 1. Otetaan suluissa olevien lukujen 19 ja 1 summa.
27 + (19 + 1) = …
(27:ään lisätään lukujen 19 ja 1 summa)
Selvitetään tämän lausekkeen arvo. Muistamme, että suluissa oleva toiminto suoritetaan ensin.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Ilmaisumme merkitys pysyy samana.

Assosiatiivinen summauslaki: kaksi vierekkäistä termiä voidaan korvata niiden summalla.

Harjoitellaan nyt molempien lakien käyttöä. Meidän on laskettava lausekkeen arvo:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Ensinnäkin käytämme kommutatiivista ominaisuutta summa, jonka avulla voimme vaihtaa termejä. Vaihdetaan termit 14 ja 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Nyt käytämme assosiatiivista ominaisuutta, jonka avulla voimme korvata kaksi vierekkäistä termiä niiden summalla.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Ensin selvitetään summan 38 ja 2 arvo.

Nyt summa on 14 ja 6.

3. Pedagogisten ideoiden festivaali "Avoin oppitunti" ().

tehdä kotona

1. Laske termien summa eri tavoilla:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Laske lausekkeiden tulokset:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Laske summa kätevällä tavalla:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Niin, yleensä luonnollisten lukujen vähennyksellä EI ole kommutatiivista ominaisuutta. Kirjoitetaan tämä lausunto kirjaimin. Jos a ja b ovat eriarvoisia luonnollisia lukuja, niin a−b≠b−a. Esimerkiksi 45−21≠21−45 .

Ominaisuus vähentää kahden luvun summa luonnollisesta luvusta.

Seuraava ominaisuus liittyy kahden luvun summan vähentämiseen luonnollisesta luvusta. Katsotaanpa esimerkkiä, joka antaa meille käsityksen tästä ominaisuudesta.

Kuvittele, että meillä on 7 kolikkoa käsissämme. Päätämme ensin pitää 2 kolikkoa, mutta koska tämä ei riitä, päätämme säästää vielä yhden kolikon. Luonnollisten lukujen lisäämisen merkityksen perusteella voidaan väittää, että tässä tapauksessa päätimme säästää kolikoiden määrän, joka määräytyy summalla 2 + 1. Joten otamme kaksi kolikkoa, lisäämme niihin toisen kolikon ja laitamme ne säästöpossuun. Tässä tapauksessa käsiimme jääneiden kolikoiden määrä määräytyy erotuksena 7−(2+1) .

Kuvittele nyt, että meillä on 7 kolikkoa, ja laitamme 2 kolikkoa säästöpossuun ja sen jälkeen - toisen kolikon. Matemaattisesti tätä prosessia kuvataan seuraavalla numeerisella lausekkeella: (7−2)−1 .

Jos laskemme käsissä olevat kolikot, niin ensimmäisessä ja toisessa tapauksessa meillä on 4 kolikkoa. Eli 7−(2+1)=4 ja (7−2)−1=4, joten 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Tarkastelun esimerkin avulla voimme muotoilla ominaisuuden vähentää kahden luvun summa annetusta luonnollisesta luvusta. Kahden luonnollisen luvun tietyn summan vähentäminen tietystä luonnollisesta luvusta on sama kuin tämän summan ensimmäisen termin vähentäminen annetusta luonnollisesta luvusta ja toisen termin vähentäminen tuloksena olevasta erotuksesta.

Muista, että annoimme luonnollisten lukujen vähennykselle merkityksen vain siinä tapauksessa, että minuutti on suurempi kuin aliosa tai yhtä suuri kuin se. Siksi voimme vähentää tietyn summan tietystä luonnollisesta luvusta vain, jos tämä summa ei ole suurempi kuin pelkistettävä luonnollinen luku. Huomaa, että tässä ehdossa yksikään termeistä ei ylitä luonnollista lukua, josta summa vähennetään.

Kirjaimia käyttämällä ominaisuus vähentää kahden luvun summa annetusta luonnollisesta luvusta yhtälöksi a−(b+c)=(a−b)−c, jossa a , b ja c ovat luonnollisia lukuja ja ehdot a>b+c tai a=b+c täyttyvät.

Tarkasteltu ominaisuus sekä assosiatiivinen ominaisuus luonnollisten lukujen yhteenlasku mahdollistavat kolmen tai useamman luvun summan vähentämisen annetusta luonnollisesta luvusta.

Ominaisuus vähentää luonnollinen luku kahden luvun summasta.

Siirrymme seuraavaan ominaisuuteen, joka liittyy tietyn luonnollisen luvun vähentämiseen kahden luonnollisen luvun annetusta summasta. Harkitse esimerkkejä, jotka auttavat meitä "näkemään" tämän ominaisuuden vähentää luonnollinen luku kahden luvun summasta.

Oletetaan, että meillä on 3 karkkia ensimmäisessä taskussa ja 5 karkkia toisessa, ja meidän on annettava 2 karkkia. Voimme tehdä tämän eri tavoin. Otetaan ne vuorotellen.

Ensin voimme laittaa kaikki karkit yhteen taskuun, sitten ottaa sieltä 2 karkkia ja antaa ne pois. Kuvataan nämä toimet matemaattisesti. Kun olemme laittaneet karkit yhteen taskuun, niiden lukumäärä määräytyy summalla 3 + 5. Nyt luovutamme karkkien kokonaismäärästä 2 karkkia, kun taas jäljellä oleva karkkimäärä määräytyy seuraavan erotuksen perusteella (3+5)−2 .

Toiseksi, voimme antaa pois 2 karkkia ottamalla ne ensimmäisestä taskusta. Tässä tapauksessa ero 3−2 määrittää jäljellä olevan karkkien määrän ensimmäisessä taskussa ja jäljellä olevien karkkien kokonaismäärä määräytyy summalla (3−2)+5 .

Kolmanneksi voimme antaa 2 karkkia toisesta taskusta. Tällöin erotus 5−2 vastaa jäljellä olevien karkkien määrää toisessa taskussa ja jäljellä oleva karkkien kokonaismäärä määräytyy summalla 3+(5−2) .

On selvää, että meillä on kaikissa tapauksissa sama määrä makeisia. Siksi yhtäläisyydet (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) ovat voimassa.

Jos meidän pitäisi antaa ei 2, vaan 4 karkkia, voisimme tehdä sen kahdella tavalla. Anna ensin 4 karkkia, kun olet aiemmin laittanut ne kaikki yhteen taskuun. Tässä tapauksessa jäljellä oleva makeisten määrä määritetään lausekkeella kuten (3+5)−4 . Toiseksi, voisimme antaa 4 karkkia toisesta taskusta. Tässä tapauksessa karkkien kokonaismäärä antaa seuraavan summan 3+(5−4) . On selvää, että ensimmäisessä ja toisessa tapauksessa meillä on sama määrä makeisia, joten yhtälö (3+5)−4=3+(5−4) on totta.

Edellisten esimerkkien ratkaisemisen tulosten analysoinnin jälkeen voimme muotoilla ominaisuuden vähentää tietty luonnollinen luku annetusta kahden luvun summasta. Tietyn luonnollisen luvun vähentäminen annetusta kahden luvun summasta on sama kuin tietyn luvun vähentäminen yhdestä termistä ja tuloksena olevan eron ja toisen termin lisääminen. On huomattava, että vähennetty luku EI saa olla suurempi kuin termi, josta tämä luku on vähennetty.

Kirjoitetaan ominaisuus vähentää luonnollinen luku summasta kirjaimilla. Olkoot a , b ja c joitain luonnollisia lukuja. Sitten, edellyttäen, että a on suurempi tai yhtä suuri kuin c, niin yhtälö (a+b)-c=(a-c)+b, ja sillä ehdolla, että b on suurempi tai yhtä suuri kuin c , yhtälö (a+b)-c=a+(b-c). Jos sekä a että b ovat suurempia tai yhtä suuria kuin c , niin molemmat viimeiset yhtälöt ovat tosi, ja ne voidaan kirjoittaa seuraavasti: (a+b)-c=(a-c)+b= a+(b-c) .

Analogisesti voidaan muotoilla ominaisuus vähentää luonnollinen luku kolmen tai useamman luvun summasta. Tässä tapauksessa tämä luonnollinen luku voidaan vähentää mistä tahansa termistä (tietysti, jos se on suurempi tai yhtä suuri kuin vähennettävä luku), ja loput termit voidaan lisätä tuloksena olevaan erotukseen.

Äänitetyn ominaisuuden visualisoimiseksi voimme kuvitella, että meillä on monia taskuja ja niissä on makeisia. Oletetaan, että meidän on annettava 1 karkki. On selvää, että voimme antaa 1 karkkia mistä tahansa taskusta. Samalla ei ole väliä mistä taskusta annamme sen, sillä se ei vaikuta jäljellä olevien makeisten määrään.

Otetaan esimerkki. Olkoot a , b , c ja d joitain luonnollisia lukuja. Jos a>d tai a=d , niin ero (a+b+c)−d on yhtä suuri kuin (a−d)+b+c summa. Jos b>d tai b=d , niin (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Jos c>d tai c=d , yhtälö (a+b+c)−d=a+b+(c−d) on tosi.

On huomattava, että ominaisuus vähentää luonnollinen luku kolmen tai useamman luvun summasta ei ole uusi ominaisuus, koska se seuraa luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen ominaisuuksista ja ominaisuudesta vähentää luku kahden luvun summasta.

Bibliografia.

• Matematiikka. Kaikki oppikirjat oppilaitosten luokille 1, 2, 3, 4.
• Matematiikka. Kaikki oppikirjat 5 oppilaitoksen luokalle.