Tarkastellaan luonnollisten lukujen sarjaa: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Jos korvaamme kaikki luonnolliset luvut n tässä sarjassa joku numero a n, noudattamalla jotakin lakia, saamme uuden numerosarjan:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

lyhennetään ja kutsutaan numeerinen sekvenssi. Arvo a n kutsutaan numeerisen sekvenssin yhteiseksi jäseneksi. Yleensä numeerinen järjestys annetaan jollakin kaavalla a n = f(n), jonka avulla voit löytää minkä tahansa sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella n; tätä kaavaa kutsutaan yleistermin kaavaksi. Huomaa, että numeerista sekvenssiä ei aina ole mahdollista määrittää yleisellä termikaavalla; joskus sekvenssi määritellään kuvaamalla sen jäseniä.

Määritelmän mukaan jono sisältää aina äärettömän määrän alkioita: sen mitkä tahansa kaksi eri elementtiä eroavat toisistaan ​​ainakin lukumäärältään, joita on äärettömän paljon.

Numeerinen järjestys on funktion erikoistapaus. Sekvenssi on luonnollisten lukujen joukkoon määritetty funktio, joka ottaa arvoja reaalilukujoukosta, eli muodon funktio f : N  R.

Jakso
nimeltään lisääntyy(hiipumassa), jos yhtään n  N
Tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan tiukasti yksitoikkoista.

Joskus on kätevää käyttää lukuina ei kaikkia luonnollisia lukuja, vaan vain joitain niistä (esim. luonnollisia lukuja, jotka alkavat jostain luonnollisesta luvusta n 0). Numeroinnissa on myös mahdollista käyttää luonnollisten lukujen lisäksi myös muita lukuja, esim. n= 0, 1, 2,  (tässä nolla lisätään luonnollisten lukujen joukkoon toisena lukuna). Tällaisissa tapauksissa, määrittämällä sekvenssi, ilmoita, mitä arvoja numerot saavat. n.

Jos jossain järjestyksessä jollekin n  N
sitten sekvenssiä kutsutaan ei-vähenevä(ei-nouseva). Tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan yksitoikkoinen.

Esimerkki 1 . Numeerinen sarja 1, 2, 3, 4, 5, ... on luonnollisten lukujen sarja ja sillä on yhteinen termi a n = n.

Esimerkki 2 . Numerosarja 2, 4, 6, 8, 10, ... on sarja parillisia lukuja ja sillä on yhteinen termi a n = 2n.

Esimerkki 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … on likimääräisten arvojen numeerinen sarja, jonka tarkkuus kasvaa.

Viimeisessä esimerkissä on mahdotonta antaa kaavaa sekvenssin yhteiselle termille.

Esimerkki 4 . Kirjoita numerosarjan 5 ensimmäistä termiä sen yhteisellä termillä
. Laskea a 1 tarvitaan yhteisen termin kaavassa a n sijasta n korvaa 1 laskeaksesi a 2 − 2 jne. Sitten meillä on:

Testi 6 . Sarjan 1, 2, 6, 24, 120,  yhteinen jäsen on:

1)

2)

3)

4)

Testi 7 .
on:

1)

2)

3)

4)

Testi 8 . Sarjan yhteinen jäsen
on:

1)

2)

3)

4)

Numerosarjan rajoitus

Tarkastellaan numeerista sarjaa, jonka yhteinen termi lähestyy tiettyä lukua MUTTA sarjanumeron kasvaessa n. Tässä tapauksessa numerosarjalla sanotaan olevan raja. Tällä käsitteellä on tiukempi määritelmä.

Määrä MUTTA kutsutaan numerosarjan rajaksi
:

(1)

jos jollakin  > 0 on sellainen luku n 0 = n 0 (), riippuen :stä, mikä
klo n > n 0 .

Tämä määritelmä tarkoittaa sitä MUTTA numerosarjalla on raja, jos sen yhteinen termi lähestyy loputtomasti MUTTA kasvaessa n. Geometrisesti tämä tarkoittaa, että mille tahansa  > 0:lle voidaan löytää tällainen luku n 0 , joka alkaen n > n 0 , kaikki sekvenssin jäsenet sijaitsevat intervallin ( MUTTA – , MUTTA+ ). Sekvenssiä, jolla on raja, kutsutaan lähentyvä; muuten - poikkeava.

Numerosarjalla voi olla vain yksi raja (äärellinen tai ääretön) tietylle merkille.

Esimerkki 5 . Harmoninen sekvenssi jonka rajana on luku 0. Todellakin, mille tahansa välille (–; +) lukuna N 0 voi olla mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin . Siis kaikille n > n 0 > meillä on

Esimerkki 6 . Sarja 2, 5, 2, 5,  on divergentti. Itse asiassa mikään väli, jonka pituus on pienempi kuin esimerkiksi yksi, ei voi sisältää kaikkia sekvenssin jäseniä jostakin numerosta alkaen.

Sarjaa kutsutaan rajoitettu jos sellainen numero on M, mitä
kaikille n. Jokainen konvergentti jono on rajallinen. Jokaisella monotonisella ja rajoitetulla sekvenssillä on rajansa. Jokaisella konvergenttisekvenssillä on yksilöllinen raja.

Esimerkki 7 . Jakso
lisääntyy ja rajoitetaan. Hänellä on raja
=e.

Määrä e nimeltään Eulerin numero ja on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,718 28.

Testi 9 . Sarja 1, 4, 9, 16,  on:

1) lähentyvä;

2) poikkeava;

3) rajoitettu;

Testi 10 . Jakso
on:

1) lähentyvä;

2) poikkeava;

3) rajoitettu;

4) aritmeettinen progressio;

5) geometrinen eteneminen.

Testi 11 . Jakso ei ole:

1) lähentyvä;

2) poikkeava;

3) rajoitettu;

4) harmoninen.

Testata 12 . Yhteisen termin antaman sekvenssin raja
yhtä suuri.

Numeerinen järjestys ja sen raja ovat yksi tärkeimmistä matematiikan ongelmista läpi tämän tieteen olemassaolon historian. Jatkuvasti päivittyvä tieto, muotoiltu uusia lauseita ja todisteita - kaikki tämä antaa meille mahdollisuuden tarkastella tätä käsitettä uusista asennoista ja erilaisista

Numeerinen sekvenssi, yhden yleisimmistä määritelmistä, on matemaattinen funktio, jonka perustana on joukko luonnollisia lukuja, jotka on järjestetty jonkin kaavan mukaan.

Numerosarjojen luomiseen on useita vaihtoehtoja.

Ensinnäkin tämä funktio voidaan määrittää ns. "eksplisiittisellä" tavalla, kun on olemassa tietty kaava, jolla jokainen sen jäsen voidaan määrittää yksinkertaisesti korvaamalla järjestysluku annettuun sekvenssiin.

Toista menetelmää kutsutaan "rekursiiviseksi". Sen olemus piilee siinä, että numeerisen sekvenssin muutama ensimmäinen jäsen on annettu sekä erityinen rekursiivinen kaava, jonka avulla, tietäen edellisen jäsenen, löydät seuraavan.

Lopuksi yleisin tapa määrittää sekvenssit on ns. silloin, kun ilman suurempia vaikeuksia ei voida vain tunnistaa yhtä tai toista termiä tietyllä sarjanumerolla, vaan myös useiden peräkkäisten termien tiedossa päästä tämän yleiskaavaan. toiminto.

Numeerinen järjestys voi olla pienenevä tai kasvava. Ensimmäisessä tapauksessa jokainen seuraava termi on pienempi kuin edellinen, ja toisessa, päinvastoin, se on suurempi.

Tätä aihetta silmällä pitäen on mahdotonta olla koskematta sekvenssien rajojen kysymykseen. Jakson raja on sellainen luku, kun millä tahansa, myös äärettömän pienellä arvolla, on järjestysluku, jonka jälkeen sekvenssin peräkkäisten jäsenten poikkeama annetusta numeromuodossa olevasta pisteestä tulee pienemmäksi kuin aikana määritetty arvo. tämän toiminnon muodostumista.

Numeerisen sekvenssin rajan käsitettä käytetään aktiivisesti suoritettaessa tiettyjä integraali- ja differentiaalilaskelmia.

Matemaattisilla sarjoilla on joukko melko mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Ensinnäkin mikä tahansa numeerinen sekvenssi on esimerkki matemaattisesta funktiosta, joten funktioille ominaisia ​​ominaisuuksia voidaan turvallisesti soveltaa sekvensseihin. Silmiinpistävin esimerkki tällaisista ominaisuuksista on säännös kasvavista ja pienenevistä aritmeettisista sarjoista, joita yhdistää yksi yhteinen käsite - monotoniset sekvenssit.

Toiseksi, on olemassa melko suuri joukko sekvenssejä, joita ei voida luokitella joko kasvaviksi tai laskeviksi - nämä ovat jaksollisia sekvenssejä. Matematiikassa niitä pidetään funktioina, joissa on niin sanottu jakson pituus, eli tietystä hetkestä (n) seuraava yhtälö alkaa toimia y n \u003d y n + T, jossa T on erittäin pitkä ajanjakso.

Kehto. Vaipat. Itkeä.
Sana. Vaihe. Kylmä. Lääkäri.
Juosta ympäriinsä. Lelut. Veli.
Piha. Keinu. päiväkoti.
Koulu. Kakkonen. Troikka. Viisi.
Pallo. Vaihe. Kipsi. Sänky.
Taistella. Veri. Murtunut nenä.
Piha. Ystävät. Juhla. Pakottaa.
instituutti. Kevät. pensaat.
Kesä. istunto. Hännät.
Olut. Vodka. Jäätynyt gin.
Kahvi. istunto. Diplomi.
Romantiikka. Rakkaus. Tähti.
Aseet. Huulet. Yö ilman unta.
Häät. Anoppi. Appiukko. Ansa.
Perustelu. Klubi. Ystävät. Kuppi.
Talo. Job. Talo. Perhe.
Aurinko. Kesä. Lumi. Talvi.
Poika. Vaipat. Kehto.
Stressi. Emäntä. Sänky.
Liiketoimintaa. Raha. Suunnitelma. Avral.
Tv setti. Sarja.
Maalaistalo. Kirsikat. Kesäkurpitsa.
Harmaat hiukset. Migreeni. Lasit.
Pojanpoika. Vaipat. Kehto.
Stressi. Paine. Sänky.
Sydän. Munuaiset. Luut. Lääkäri.
Puheet. Arkku. Jäähyväiset. Itkeä.

elämän sekvenssi

SEQUENCE - (sekvenssi), numerot tai elementit järjestetty järjestykseen. Sekvenssit voivat olla äärellisiä (joissa on rajoitettu määrä elementtejä) tai äärettömiä, kuten täydellinen luonnollisten lukujen 1, 2, 3, 4 sarja ….… …

Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

Määritelmä:Numeerinen järjestys kutsutaan numeeriseksi, joka annetaan luonnollisten lukujen joukossa N. Numeerisissa sarjoissa yleensä sen sijaan f(n) kirjoittaa a n ja merkitse sekvenssi seuraavasti: a n ). Numerot a 1 , a 2 , …, a n,… nimeltään sarjan elementtejä.

Yleensä numeerinen järjestys määräytyy asetuksella n-th elementti tai rekursiivinen kaava, jonka mukaan jokainen seuraava elementti määräytyy edellisen kautta. Myös kuvaava tapa määrittää numeerinen sekvenssi on mahdollista. Esimerkiksi:

• Kaikki sarjan jäsenet ovat "1". Tämä tarkoittaa, että puhumme kiinteästä sekvenssistä 1, 1, 1, …, 1, ….

• Sarja koostuu kaikista alkuluvuista nousevassa järjestyksessä. Näin ollen sekvenssi 2, 3, 5, 7, 11, … on annettu. Tällä tapaa määrittää sekvenssi tässä esimerkissä on vaikea vastata, mikä on esimerkiksi sekvenssin 1000. elementti.

Toistuvalla menetelmällä osoitetaan kaava, jonka avulla voit ilmaista n jakson jäsen aiempien kautta ja määritä 1–2 sekvenssin alkujäsentä.

• y 1 = 3; y n =y n-1 + 4 , jos n = 2, 3, 4,…

Tässä y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , jos n = 3, 4,…

Tässä: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Rekursiivisella kaavalla ilmaistu sekvenssi y n =y n-1 + 4 voidaan antaa myös analyyttisesti: y n= v 1 +4*(n-1)

Tarkista: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Tässä meidän ei tarvitse tietää numeerisen sekvenssin edellistä jäsentä laskeaksemme n:nnen elementin, riittää, että asetetaan sen numero ja ensimmäisen alkion arvo.

Kuten näemme, tämä tapa määrittää numeerinen sekvenssi on hyvin samanlainen kuin analyyttinen tapa määrittää funktioita. Itse asiassa numeerinen sekvenssi on numeerisen funktion erityinen laji, joten useita funktioiden ominaisuuksia voidaan ottaa huomioon myös sekvensseille.

Numerosarjat ovat erittäin mielenkiintoinen ja informatiivinen aihe. Tämä aihe löytyy monimutkaisemmista tehtävistä, joita didaktisten materiaalien kirjoittajat tarjoavat opiskelijoille, matemaattisten olympialaisten tehtävistä, pääsykokeista korkeakouluihin ja muihin. Ja jos haluat lisätietoja erityyppisistä numerosarjoista, napsauta tästä. No, jos kaikki on sinulle selvää ja yksinkertaista, mutta yritä vastata.

Hovhannisyan Eva

Numeeriset sekvenssit. Abstrakti.

Ladata:

Esikatselu:

Kunnan budjettikoulutuslaitos
"Yliopisto nro 31"
Barnaulin kaupunki

Numerosarjat

abstrakti

Työ valmistui:
Oganesyan Eva,
8. luokan oppilas MBOU "Secondary School No. 31"
Valvoja:
Poleva Irina Aleksandrovna,
matematiikan opettaja MBOU "Secondary School No. 31"

Barnaul - 2014

Johdanto……………………………………………………………………………2

Numeeriset sekvenssit.…………………………………………………3

Tapoja asettaa numeerisia sekvenssejä ……………………… ... 4

Edistymistä koskevan opin kehittäminen……………………………………………………………………………………………………………………

Numeeristen sekvenssien ominaisuudet………………………………………7

Aritmeettinen progressio……………………………… ...............9

Geometrinen progressio………………………………………………….10

Johtopäätös …………………………………………………………………… 11

Viitteet………………………………………………………………………………………………………………………

Johdanto

Tämän abstraktin tarkoitus– numeeristen sekvenssien peruskäsitteiden tutkiminen, niiden soveltaminen käytännössä.
Tehtävät:

1. Tutkia etenemisopin kehityksen historiallisia näkökohtia;
2. Harkitse numeeristen sekvenssien asetustapoja ja ominaisuuksia;
3. Opi aritmeettisista ja geometrisista progressioista.

Tällä hetkellä numeerisia sarjoja pidetään funktion erikoistapauksina. Numeerinen järjestys on luonnollisen argumentin funktio. Numeerisen sekvenssin käsite syntyi ja kehittyi kauan ennen funktioteorian luomista. Tässä on esimerkkejä antiikin tunnetuista äärettömistä lukujonoista:

1, 2, 3, 4, 5, … - luonnollisten lukujen sarja.

2, 4, 6, 8, 10,… - parillisten lukujen sarja.

1, 3, 5, 7, 9,… - parittomien lukujen sarja.

1, 4, 9, 16, 25,… - luonnollisten lukujen neliöiden sarja.

2, 3, 5, 7, 11… - alkulukujen sarja.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - luonnollisten lukujen käänteislukujen sarja.

Jokaisen sarjan jäsenten määrä on ääretön; viisi ensimmäistä sekvenssiä ovat monotonisesti kasvavia, viimeinen monotonisesti laskevia. Kaikki luetellut sekvenssit, paitsi 5., on annettu, koska jokaiselle niistä tunnetaan yhteinen termi, eli sääntö minkä tahansa numeron termin saamiseksi. Alkulukujonolle yhteistä termiä ei tunneta, mutta jo 3. vuosisadalla. eKr e. aleksandrialainen tiedemies Eratosthenes esitti menetelmän (tosin hyvin hankalan) sen n:nnen jäsenen saamiseksi. Tätä menetelmää kutsuttiin "Eratosthenesin seulaksi".

Progressioita - tietyntyyppisiä numeerisia sekvenssejä - löytyy II vuosituhannen eKr. monumenteista. e.

Numerosarjat

Numerosarjalle on olemassa erilaisia ​​määritelmiä.

Numerosarja – se on lukuavaruuden elementtien sarja (Wikipedia).

Numerosarja – tämä on numeroitu numerosarja.

Funktio muotoa y = f (x), xkutsutaan luonnollisen argumentin funktioksi tainumeerinen sekvenssija merkitse y = f(n) tai

, , , …, Merkintä ().

Kirjoitetaan positiiviset parilliset luvut nousevassa järjestyksessä. Ensimmäinen tällainen luku on 2, toinen on 4, kolmas on 6, neljäs on 8 ja niin edelleen, joten saamme sekvenssin: 2; 4; 6; kahdeksan; kymmenen….

Ilmeisesti viides paikka tässä sarjassa on numero 10, kymmenes - 20, sadas - 200. Yleensä mille tahansa luonnolliselle luvulle n voit määrittää vastaavan positiivisen parillisen luvun; se on yhtä suuri kuin 2n.

Katsotaanpa toista sarjaa. Kirjoitamme laskevassa järjestyksessä oikeat murtoluvut, joiden osoittaja on 1:

; ; ; ; ; … .

Mille tahansa luonnolliselle luvulle n voimme määrittää vastaavan murtoluvun; se on yhtä suuri kuin. Joten kuudennella sijalla pitäisi olla murto-osa, kolmantenakymmenentenä - , tuhannesosa - murto-osa .

Numeroita, jotka muodostavat sarjan, kutsutaan vastaavasti ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi, neljänneksi jne. sarjan jäseniä. Sarjan jäsenet on yleensä merkitty kirjaimilla, joiden alaindeksit osoittavat jäsenen järjestysnumeron. Esimerkiksi:, , jne. yleensä sekvenssin termi numerolla n tai, kuten sanotaan, sekvenssin n:s jäsen, merkitään. Itse sarja on merkitty (). Sarja voi sisältää sekä äärettömän määrän jäseniä että äärellisen. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan lopulliseksi. Esimerkiksi: kaksinumeroisten numeroiden sarja.10; yksitoista; 12; kolmetoista; …; 98; 99

Menetelmät numeeristen sekvenssien määrittämiseksi

Sekvenssejä voidaan määrittää useilla tavoilla.

Yleensä järjestys on sopivampi asettaasen yhteisen n:nnen termin kaava, jonka avulla voit löytää minkä tahansa sekvenssin jäsenen, kun tiedät sen numeron. Tässä tapauksessa sekvenssin sanotaan olevan annettu analyyttisesti. Esimerkiksi: positiivisten parillisten termien sarja=2n.

Tehtävä: etsi kaava sekvenssin yhteiselle termille (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Päätös. Kirjoitamme sarjan jokaisen termin seuraavassa muodossa:

n = 1: 6 = 2 = 3 = 3 =

n = 2: 20 = 4 5 = 5 =

n = 3: 56 = 8 = 7 = 7 =

Kuten näet, sekvenssin ehdot ovat kahden potenssin tulo kerrottuna peräkkäisillä parittomilla luvuilla, ja kaksi korotetaan potenssiin, joka on yhtä suuri kuin kyseisen elementin lukumäärä. Näin ollen päätämme, että

Vastaus: yleinen termikaava:

Toinen tapa määrittää sekvenssi on määrittää sekvenssi käyttämällätoistuva suhde. Kutsutaan kaavaa, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin edellisiin (yksi tai useampia). toistuva (latinan sanasta recurro - palata).

Tässä tapauksessa yksi tai useampi sekvenssin ensimmäinen elementti määritellään ja loput määritetään jonkin säännön mukaan.

Esimerkki rekursiivisesti annetusta sekvenssistä on Fibonacci-lukujono - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , jossa jokainen seuraava luku kolmannesta alkaen on kahden edellisen summa. yksi: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ja niin edelleen. Tämä sekvenssi voidaan antaa rekursiivisesti:

N N = 1.

Tehtävä: jatkojaksotoistumissuhteen antama+ , n N, = 4. Kirjoita muistiin tämän sekvenssin muutama ensimmäinen termi.

Päätös. Etsitään annetun sekvenssin kolmas termi:

+ =

Jne.

Kun sarjoja määritellään toistuvasti, laskelmat ovat erittäin hankalia, koska suurilukuisten elementtien löytämiseksi on löydettävä määritetyn sekvenssin kaikki aikaisemmat jäsenet, esim.meidän on löydettävä kaikki aiemmat 499 jäsentä.

Kuvaava tapaNumeerisen sekvenssin osoittaminen koostuu selittämisestä, mistä elementeistä sekvenssi on rakennettu.

Esimerkki 1. "Kaikki sarjan jäsenet ovat 1." Tämä tarkoittaa, että puhumme kiinteästä sekvenssistä 1, 1, 1, …, 1, ….

Esimerkki 2. "Jovio koostuu kaikista alkuluvuista nousevassa järjestyksessä." Näin ollen sekvenssi 2, 3, 5, 7, 11, … on annettu. Tällä tapaa määrittää sekvenssi tässä esimerkissä on vaikea vastata, mikä on esimerkiksi sekvenssin 1000. elementti.

Myös numeerinen sekvenssi voidaan antaa yksinkertaisellaluetteloimalla sen jäsenet.

Edistymisopin kehittäminen

Sana progressio on latinalaista alkuperää (progressio), tarkoittaa kirjaimellisesti "etenemistä" (kuten sana "edistyminen") ja sen tapasi ensimmäisenä roomalainen kirjailija Boethius (5.-6. vuosisadat). Jatka sitä loputtomiin yhteen suuntaan, esim. , luonnollisten lukujen sarja, niiden neliöt ja kuutiot. Keskiajan lopussa ja nykyajan alussa tätä termiä ei enää yleisesti käytetty. Esimerkiksi 1600-luvulla J. Gregory käytti termiä "sarja" progression sijaan, ja toinen merkittävä englantilainen matemaatikko J. Wallis käytti termiä "infinite progressions" äärettömistä sarjoista.

Tällä hetkellä katsomme etenemistä numeeristen sekvenssien erikoistapauksina.

Teoreettinen tieto etenemisestä löytyy ensin antiikin Kreikan asiakirjoista, jotka ovat tulleet meille.

Psammitessa Arkhimedes vertaa ensimmäistä kertaa aritmeettisia ja geometrisia progressioita:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progressioita pidettiin mittasuhteiden jatkona, minkä vuoksi epiteetit aritmeettinen ja geometrinen siirrettiin mittasuhteista progressioihin.

Monet 1600- ja jopa 1700-luvun matemaatikot säilyttivät tämän näkemyksen progressioista. Näin pitäisi selittää se tosiasia, että Barrow'sta ja sitten muilta tuon ajan englantilaisilta tiedemiehiltä jatkuvaa geometrista mittasuhdetta osoittava symboli alkoi merkitä geometrista etenemistä 1700-luvun englannin ja ranskan oppikirjoissa. Analogisesti he alkoivat nimetä aritmeettista progressiota.

Yksi Arkhimedesen todisteista, joka on esitetty hänen teoksessaan "Paraabelin kvadratuuri", tiivistyy olennaisesti loputtomasti pienenevän geometrisen progression summaukseen.

Joidenkin geometrian ja mekaniikan ongelmien ratkaisemiseksi Arkhimedes johti luonnollisten lukujen neliöiden summan kaavan, vaikka sitä käytettiin ennen häntä.

1/6n(n+1)(2n+1)

Kiinalaiset ja intialaiset tiedemiehet tunsivat jotkin etenemiseen liittyvät kaavat. Joten Aryabhatta (V vuosisata) tiesi yhteisen termin kaavat, aritmeettisen progression summan jne., Magavira (IX vuosisata) käytti kaavaa: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) ja muut monimutkaisemmat sarjat. Kuitenkin sääntö mielivaltaisen aritmeettisen progression termien summan löytämiseksi löytyy ensimmäisen kerran Leonardo Pisalaisen kirjasta Abacus (1202). Teoksessa The Science of Numbers (1484) N. Shuke, kuten Arkhimedes, vertaa aritmeettista etenemistä geometriseen ja antaa yleissäännön minkä tahansa äärettömän pienen pienenevän geometrisen etenemisen summaamiseksi. P. Fermat ja muut 1600-luvun matemaatikot tiesivät kaavan loputtomasti laskevan progression summaamiseksi.

Aritmeettisen (ja geometrisen) progression ongelmia löytyy myös muinaisesta kiinalaisesta traktaatista "Mathematics in Nine Books", joka ei kuitenkaan sisällä ohjeita minkään summauskaavan käyttöön.

Ensimmäiset meille tulleet etenemisongelmat liittyvät talouselämän ja yhteiskunnallisen käytännön vaatimuksiin, kuten tuotteiden jakeluun, perinnönjakoon jne.

Yhdestä nuolenpäätaulusta voimme päätellä, että tarkkaillessaan kuuta uudesta kuusta täysikuuhun babylonialaiset tulivat seuraavaan johtopäätökseen: viiden ensimmäisen päivän aikana uudenkuun jälkeen kuun kiekon valaistus lisääntyy geometrisen etenemisen laki, jonka nimittäjä on 2. Toisessa myöhemmässä taulussa puhumme geometrisen etenemisen summauksesta:

1+2+ +…+ . ratkaisu ja vastaus S=512+(512-1), kilven tiedot viittaavat siihen, että kirjoittaja käytti kaavaa.

Sn= +( -1), mutta kukaan ei tiedä, kuinka hän pääsi siihen.

Monet matematiikan ystävät harjoittivat geometristen progressioiden summaamista ja vastaavien ongelmien kokoamista, jotka eivät aina täytä käytännön tarpeita, kautta antiikin ja keskiajan.

Numerosarjan ominaisuudet

Numeerinen sekvenssi on numeerisen funktion erikoistapaus, ja siksi joitain funktioiden ominaisuuksia (rajoitus, monotonisuus) huomioidaan myös sekvensseille.

Rajoitetut jaksot

Jakso () kutsutaan rajattu ylhäältä, että mille tahansa luvulle n, M.

Jakso () kutsutaan rajattu alhaalta, jos on sellainen luku m, että mille tahansa luvulle n, m.

Jakso () kutsutaan rajatuksi , jos se on rajattu ylhäältä ja rajattu alhaalta, eli on olemassa sellainen luku M0 , joka mille tahansa numerolle n , M.

Jakso () kutsutaan rajoittamattomaksi , jos sellainen luku M on olemassa0, että on olemassa luku n, joka M.

Tehtävä: tutkia järjestystä = rajoitukseen.

Päätös. Annettu jono on rajoitettu, koska mille tahansa luonnolliselle luvulle n pätee seuraavat epäyhtälöt:

0 1,

Toisin sanoen sarjaa rajoittaa alhaalta nolla, ja samalla rajaa ylhäältä yksikkö, ja siksi se on myös rajoitettu.

Vastaus: sarja on rajoitettu - alhaalta nollalla ja ylhäältä yhdellä.

Nousevat ja laskevat sekvenssit

Jakso () kutsutaan kasvavaksi , jos jokainen termi on suurempi kuin edellinen:

Esimerkiksi 1, 3, 5, 7.....2n -1,... on kasvava sekvenssi.

Jakso () kutsutaan laskevaksi , jos jokainen termi on pienempi kuin edellinen:

Esimerkiksi 1; on laskeva sekvenssi.

Kasvavat ja laskevat sekvenssit yhdistetään yhteisellä termillä -monotonisia sekvenssejä. Otetaan vielä muutama esimerkki.

1; - tämä sekvenssi ei ole lisääntyvä eikä laskeva (ei-monotoninen sekvenssi).

2n. Puhumme sekvenssistä 2, 4, 8, 16, 32, ... - kasvavasta sekvenssistä.

Yleensä jos a > 1, niin sarja= kasvaa;

jos 0 = vähenee.

Aritmeettinen progressio

Numeerinen sarja, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen jäsenen ja saman luvun d summa, kutsutaanaritmeettinen progressio, ja luku d on aritmeettisen progression erotus.

Siten aritmeettinen progressio on numeerinen sarja

X == + d, (n = 2, 3, 4, …; a ja d ovat numeroita).

Esimerkki 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... on kasvava aritmeettinen progressio, jossa= 1, d = 2.

Esimerkki 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - laskeva aritmeettinen progressio, jossa= 20, d = -3.

Esimerkki 3. Tarkastellaan luonnollisten lukujen sarjaa, joiden jäännös on neljällä jaettuna 1:1; 5; yhdeksän; kolmetoista; 17; 21…

Jokainen sen jäsen toisesta alkaen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 4. Tämä sekvenssi on esimerkki aritmeettisesta etenemisestä.

Eksplisiittinen (kaava)lauseke on helppo löytään:n kautta. Seuraavan alkion arvo kasvaa d:llä edelliseen verrattuna, jolloin n alkion arvo kasvaa (n - 1)d verrattuna aritmeettisen etenemisen ensimmäiseen jäseneen, ts.

= + d (n - 1). Tämä on kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Tämä on summakaava n aritmeettisen progression jäsentä.

Aritmeettinen progressio on nimetty, koska siinä jokainen termi ensimmäistä lukuun ottamatta on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen - edellisen ja seuraavan - aritmeettinen keskiarvo,

Geometrinen eteneminen

Numeerinen sarja, jonka kaikki jäsenet ovat nollia poikkeavia ja jonka jokainen jäsen toisesta alkaen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla samalla luvulla q, kutsutaangeometrinen eteneminen, ja luku q on geometrisen progression nimittäjä. Siten geometrinen progressio on numeerinen sarja (suhteiden antama rekursiivisesti

B, = q (n = 2, 3, 4…; b ja q ovat numeroita).

Esimerkki 1. 2, 6, 18, 54, ... - kasvava geometrinen progressio

2, q = 3.

Esimerkki 2. 2, -2, 2, -2, ... on geometrinen progressio= 2, q = -1.

Eräs geometrisen progression ilmeisistä ominaisuuksista on, että jos jono on geometrinen progressio, niin neliöiden sarja, ts.; ;…-

on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on yhtä suuri, ja nimittäjä on.

Geometrisen progression n:nnen jäsenen kaava on:

Geometrisen progression n jäsenen summan kaava:

tyypillinen ominaisuusgeometrinen progressio: lukujono on geometrinen progressio, jos ja vain jos sen jokaisen termin neliö, lukuun ottamatta ensimmäistä (ja viimeistä, jos kyseessä on äärellinen sarja), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien termien tulo,

Johtopäätös

Monet tiedemiehet ovat tutkineet numeerisia sekvenssejä vuosisatojen ajan.Ensimmäiset meille tulleet etenemisongelmat liittyvät talouselämän ja yhteiskunnallisen käytännön vaatimuksiin, kuten tuotteiden jakeluun, perinnönjakoon jne. Ne ovat yksi matematiikan keskeisistä käsitteistä. Työssäni yritin heijastaa numeerisiin sarjoihin liittyviä peruskäsitteitä, niiden asettelua, ominaisuuksia ja otin niistä huomioon. Erikseen tarkasteltiin progressioita (aritmeettisia ja geometrisia) ja kuvattiin niihin liittyvät peruskäsitteet.

Bibliografia

1. A.G. Mordkovich, Algebra, luokka 10, oppikirja, 2012
2. A.G. Mordkovich, Algebra, luokka 9, oppikirja, 2012
3. Loistava opiskelijaopas. Moskova, "Drofa", 2001
4. G.I. Glaser, Matematiikan historia koulussa,

M.: Enlightenment, 1964.

1. "Matematiikka koulussa", aikakauslehti, 2002.
2. Koulutuksen verkkopalvelut Webmath.ru
3. Universaali populaaritieteellinen online-tietosanakirja "Krugosvet"

Vida y= f(x), x O N, missä N on luonnollisten lukujen joukko (tai luonnollisen argumentin funktio), merkitty y=f(n) tai y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Arvot y 1 ,y 2 ,y 3 ,… kutsutaan vastaavasti sekvenssin ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi, ... jäseneksi.

Esimerkiksi funktiolle y= n 2 voidaan kirjoittaa:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Menetelmät sekvenssien asettamiseen. Sekvenssejä voidaan määritellä eri tavoin, joista kolme on erityisen tärkeitä: analyyttinen, kuvaava ja toistuva.

1. Jakso annetaan analyyttisesti, jos sen kaava on annettu n- jäsen:

y n=f(n).

Esimerkki. y n= 2n- 1 – parittomien lukujen sarja: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Kuvaava tapa määrittää numeerinen sekvenssi on se, että se selittää, mistä elementeistä sarja on rakennettu.

Esimerkki 1. "Kaikki sekvenssin jäsenet ovat yhtä suuria kuin 1." Tämä tarkoittaa, että puhumme kiinteästä sekvenssistä 1, 1, 1, …, 1, ….

Esimerkki 2. "Jovio koostuu kaikista alkuluvuista nousevassa järjestyksessä." Näin ollen sekvenssi 2, 3, 5, 7, 11, … on annettu. Tällä tapaa määrittää sekvenssi tässä esimerkissä on vaikea vastata, mikä on esimerkiksi sekvenssin 1000. elementti.

3. Toistuva tapa määrittää sekvenssi on se, että ilmaistaan ​​sääntö, jonka avulla voidaan laskea n-sarjan jäsen, jos sen aiemmat jäsenet tunnetaan. Nimi toistuva menetelmä tulee latinan sanasta toistuva- tule takaisin. Useimmiten tällaisissa tapauksissa osoitetaan kaava, joka mahdollistaa ilmaisemisen n jakson jäsen aiempien kautta ja määritä 1–2 sekvenssin alkujäsentä.

Esimerkki 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jos n = 2, 3, 4,….

Tässä y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Voidaan nähdä, että tässä esimerkissä saatu sekvenssi voidaan määrittää myös analyyttisesti: y n= 4n- 1.

Esimerkki 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 jos n = 3, 4,….

Tässä: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Tässä esimerkissä muodostettua sekvenssiä tutkitaan erityisesti matematiikassa, koska sillä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia ja sovelluksia. Sitä kutsutaan Fibonacci-sekvenssiksi - 1200-luvun italialaisen matemaatikon mukaan. Fibonacci-sekvenssin määrittäminen rekursiivisesti on erittäin helppoa, mutta analyyttisesti erittäin vaikeaa. n Fibonacci-luku ilmaistaan ​​sen järjestyslukuna seuraavalla kaavalla.

Ensi silmäyksellä kaava n Fibonacci-luku vaikuttaa epätodennäköiseltä, koska kaava, joka määrittää vain luonnollisten lukujen sarjan, sisältää neliöjuuria, mutta voit tarkistaa tämän kaavan oikeellisuuden "manuaalisesti" muutaman ensimmäisen kohdalla. n.

Numeeristen sekvenssien ominaisuudet.

Numeerinen sekvenssi on numeerisen funktion erikoistapaus, joten useita funktioiden ominaisuuksia otetaan huomioon myös sekvensseille.

Määritelmä . Jakso ( y n} kutsutaan kasvavaksi, jos jokainen sen termeistä (lukuun ottamatta ensimmäistä) on suurempi kuin edellinen:

y 1 v 2 v 3 v n n +1

Definition.Sequence ( y n} kutsutaan laskevaksi, jos jokainen sen termeistä (lukuun ottamatta ensimmäistä) on pienempi kuin edellinen:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Kasvavia ja laskevia sekvenssejä yhdistää yhteinen termi - monotoniset sekvenssit.

Esimerkki 1 y 1 = 1; y n= n 2 on kasvava sarja.

Siten seuraava lause on tosi (aritmeettisen progression ominaisuus). Numeerinen sarja on aritmeettinen, jos ja vain jos sen jokainen jäsen, paitsi ensimmäinen (ja viimeinen äärellisen sekvenssin tapauksessa), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkki. Millä arvolla x numerot 3 x + 2, 5x– 4 ja 11 x+ 12 muodostavat äärellisen aritmeettisen progression?

Ominaisuuden mukaan annettujen lausekkeiden tulee tyydyttää relaatio

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Tämän yhtälön ratkaiseminen antaa x= –5,5. Tällä arvolla x annetut lausekkeet 3 x + 2, 5x– 4 ja 11 x+ 12 ottaa vastaavasti arvot -14,5, –31,5, –48,5. Tämä on aritmeettinen progressio, sen ero on -17.

Geometrinen eteneminen.

Numeerinen sarja, jonka kaikki jäsenet ovat nollia poikkeavia ja jonka jokainen jäsen toisesta alkaen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla samalla numerolla q, kutsutaan geometriseksi progressioksi ja numeroksi q- geometrisen progression nimittäjä.

Siten geometrinen progressio on numeerinen sarja ( b n) suhteiden rekursiivisesti antama

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b ja q- annetut numerot, b ≠ 0, q ≠ 0).

Esimerkki 1. 2, 6, 18, 54, ... - kasvava geometrinen progressio b = 2, q = 3.

Esimerkki 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrinen eteneminen b= 2,q= –1.

Esimerkki 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrinen eteneminen b= 8, q= 1.

Geometrinen progressio on kasvava sarja, jos b 1 > 0, q> 1 ja laskee jos b 1 > 0, 0q

Eräs geometrisen progression ilmeisistä ominaisuuksista on, että jos jono on geometrinen progressio, niin neliöiden sarja, ts.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on yhtä suuri b 1 2 , ja nimittäjä on q 2 .

Kaava n- geometrisen progression termillä on muoto

b n= b 1 q n– 1 .

Saat kaavan äärellisen geometrisen progression termien summalle.

Olkoon äärellinen geometrinen progressio

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

Anna olla S n - sen jäsenten summa, ts.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Se on hyväksytty q Nro 1. Määrittää S n käytetään keinotekoista temppua: suoritetaan joitain lausekkeen geometrisia muunnoksia S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Täten, S n q= S n +b n q – b 1 ja siten

Tämä on kaava umma n geometrisen progression jäsentä tapaukseen, jolloin q≠ 1.

klo q= 1 kaavaa ei voida johtaa erikseen, on selvää, että tässä tapauksessa S n= a 1 n.

Sitä kutsutaan geometriseksi progressioksi, koska siinä jokainen termi ensimmäistä lukuun ottamatta on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien termien geometrinen keskiarvo. Todellakin, siitä lähtien

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

siten, b n 2= b n– 1 bn+ 1 ja seuraava lause on tosi (geometrisen progression ominaisuus):

numeerinen sarja on geometrinen progressio, jos ja vain jos sen jokaisen termin neliö, paitsi ensimmäinen (ja viimeinen, jos kyseessä on äärellinen sekvenssi), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien termien tulo.

Sekvenssirajoitus.

Olkoon sekvenssi ( c n} = {1/n}. Tätä sekvenssiä kutsutaan harmoniseksi, koska jokainen sen jäsen toisesta alkaen on harmoninen keskiarvo edellisen ja seuraavan jäsenen välillä. Numeroiden geometrinen keskiarvo a ja b on numero

Muuten sarjaa kutsutaan divergentiksi.

Tämän määritelmän perusteella voidaan esimerkiksi todistaa rajan olemassaolo A = 0 harmoniselle sekvenssille ( c n} = {1/n). Olkoon ε mielivaltaisen pieni positiivinen luku. Otamme huomioon eron

Onko sellaista olemassa N että kaikille n≥ N eriarvoisuus 1 /N? Jos otetaan nimellä N mikä tahansa luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1/ε , sitten kaikille n ≥ N eriarvoisuus 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Joskus on hyvin vaikeaa todistaa tietyn sekvenssin rajan olemassaolo. Yleisimmät sekvenssit ovat hyvin tutkittuja ja lueteltu hakuteoksissa. On olemassa tärkeitä lauseita, joiden avulla voidaan päätellä, että tietyllä sekvenssillä on raja (ja jopa laskea se) jo tutkittujen sekvenssien perusteella.

Lause 1. Jos sekvenssillä on raja, se on rajoitettu.

Lause 2. Jos jono on monotoninen ja rajoitettu, niin sillä on raja.

Lause 3. Jos sekvenssi ( a n} on raja A, sitten sekvenssit ( ca n}, {a n+ c) ja (| a n|} on rajoja cA, A +c, |A| vastaavasti (täällä c on mielivaltainen luku).

Lause 4. Jos sekvenssit ( a n} ja ( b n) on yhtä suuri kuin A ja B pa n + qb n) on raja pA+ qB.

Lause 5. Jos sekvenssit ( a n) ja ( b n) on yhtä suuri kuin A ja B vastaavasti, sitten järjestys ( a n b n) on raja AB.

Lause 6. Jos sekvenssit ( a n} ja ( b n) on yhtä suuri kuin A ja B vastaavasti ja lisäksi b n ≠ 0 ja B≠ 0, sitten sekvenssi ( a n / b n) on raja A/B.

Anna Chugainova