Yleensä tämä kysymys ansaitsee erityistä huomiota, mutta kaikki on täällä yksinkertaista: asteiden kulmassa sekä sini että kosini ovat positiivisia (katso kuva), sitten otamme plusmerkin.

Yritä nyt edellä olevan perusteella löytää kulmien sini ja kosini: ja

Voit huijata: erityisesti kulman osalta asteina. Koska jos yksi suorakulmaisen kolmion kulma on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on yhtä suuri kuin asteet. Nyt tutut kaavat astuvat voimaan:

Siitä lähtien, sitten ja. Siitä lähtien ja. Asteilla se on vielä yksinkertaisempaa: joten jos yksi suorakulmaisen kolmion kulmista on yhtä suuri kuin asteet, niin toinen on myös yhtä suuri kuin asteet, mikä tarkoittaa, että tällainen kolmio on tasakylkinen.

Joten hänen jalkansa ovat tasa-arvoiset. Joten sen sini ja kosini ovat yhtä suuret.

Löydä nyt itsesi uuden määritelmän mukaan (x:n ja y:n kautta!) kulmien sini ja kosini asteina ja asteina. Täällä ei ole piirrettävä kolmioita! Ne ovat liian litteitä!

Sinun olisi pitänyt saada:

Löydät tangentin ja kotangentin itse käyttämällä kaavoja:

Huomaa, että et voi jakaa nollalla!

Nyt kaikki vastaanotetut numerot voidaan koota taulukkoon:

Tässä ovat kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot I neljännes. Mukavuuden vuoksi kulmat on annettu sekä asteina että radiaaneina (mutta nyt tiedät niiden välisen suhteen!). Kiinnitä huomiota taulukon kahteen viivaa: nimittäin nollan kotangentti ja asteiden tangentti. Tämä ei ole sattumaa!

Erityisesti:

Yleistetään nyt sinin ja kosinin käsite täysin mielivaltaiseen kulmaan. Tarkastelen tässä kahta tapausta:

1. Kulma vaihtelee astetta
2. Kulma suurempi kuin astetta

Yleisesti ottaen väänsin sieluani hieman, puhuen "melko kaikista" kulmista. Ne voivat olla myös negatiivisia! Mutta tarkastelemme tätä tapausta toisessa artikkelissa. Keskitytään ensin ensimmäiseen tapaukseen.

Jos kulma on 1 neljänneksessä, niin kaikki on selvää, olemme jo harkinneet tätä tapausta ja jopa piirtäneet taulukoita.

Olkoon kulmamme nyt suurempi kuin astetta eikä suurempi kuin. Tämä tarkoittaa, että se sijaitsee joko 2. tai 3. tai 4. vuosineljänneksellä.

Kuinka me voimme? Kyllä, aivan sama!

Harkitsemme tämän sijaan...

... kuten tämä:

Eli harkitse toisella neljänneksellä olevaa kulmaa. Mitä voimme sanoa hänestä?

Pisteellä, joka on säteen ja ympyrän leikkauspiste, on edelleen 2 koordinaattia (ei mitään yliluonnollista, eikö?). Nämä ovat koordinaatit ja

Lisäksi ensimmäinen koordinaatti on negatiivinen ja toinen on positiivinen! Se tarkoittaa sitä toisen neljänneksen kulmissa kosini on negatiivinen ja sini on positiivinen!

Hämmästyttävää, eikö? Ennen sitä emme ole koskaan kohdanneet negatiivista kosinia.

Kyllä, ja periaatteessa näin ei voisi olla, kun pidettiin trigonometrisiä funktioita kolmion sivujen suhteina. Mieti muuten, millä kulmilla kosini on yhtä suuri? Ja kummalla on sini?

Samoin voit ottaa huomioon kulmat kaikissa muissa neljänneksissä. Muistutan vain, että kulma lasketaan vastapäivään! (kuten viimeisessä kuvassa!).

Tietysti voit laskea toiseen suuntaan, mutta lähestymistapa tällaisiin kulmiin on hieman erilainen.

Yllä olevan päättelyn perusteella on mahdollista sijoittaa sinin, kosinin, tangentin (sini jaettuna kosinilla) ja kotangentin (kosinina jaettuna sinillä) etumerkit kaikille neljälle neljännekselle.

Mutta vielä kerran toistan, ei ole mitään järkeä opetella ulkoa tätä piirrosta. Kaikki mitä sinun tarvitsee tietää:

Harjoitellaan vähän kanssasi. Hyvin yksinkertaisia ​​pulmia:

Ota selvää, mikä merkki seuraavilla määrillä on:

Tarkastetaanko?

1. astetta - tämä on kulma, suurempi ja pienempi, mikä tarkoittaa, että se sijaitsee 3 neljänneksessä. Piirrä mikä tahansa kulma 3 neljännekseen ja katso, millainen y siinä on. Siitä tulee negatiivinen. Sitten.
   astetta - kulma 2 neljännestä. Sini on positiivinen ja kosini negatiivinen. Plus jaettuna miinuksella on miinus. Keinot.
   astetta - kulma, suurempi ja pienempi. Joten hän makaa neljällä neljänneksellä. Mikä tahansa neljännen vuosineljänneksen "X" kulma on positiivinen, mikä tarkoittaa
2. Työskentelemme radiaanien kanssa samalla tavalla: tämä on toisen neljänneksen kulma (koska ja. Toisen neljänneksen sini on positiivinen.
   .
   , tämä on neljännen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen.
   - jälleen neljännen neljänneksen kulma. Kosini on positiivinen ja sini negatiivinen. Sitten tangentti on pienempi kuin nolla:

Ehkä sinun on vaikea määrittää neljänneksiä radiaaneina. Siinä tapauksessa voit aina mennä astetta. Vastaus on tietysti täsmälleen sama.

Haluaisin nyt käsitellä hyvin lyhyesti vielä erästä asiaa. Muistetaanpa taas trigonometrinen perusidentiteetti.

Kuten sanoin, siitä voimme ilmaista sinin kosinin kautta tai päinvastoin:

Kyltin valintaan vaikuttaa vain se neljännes, jossa kulmamme alfa sijaitsee. Kahdessa viimeisessä kaavassa kokeessa on paljon tehtäviä, esimerkiksi nämä:

Tehtävä

Etsi jos ja.

Itse asiassa tämä on neljänneksen tehtävä! Katso kuinka se ratkaistaan:

Päätös

Siitä lähtien korvaamme arvon täällä. Nyt on pienistä kiinni: käsittele kylttiä. Mitä me tarvitsemme tähän? Tiedä missä korttelissa nurkkamme sijaitsee. Ongelman tilanteen mukaan: . Mikä neljännes tämä on? Neljäs. Mikä on kosinin merkki neljännessä kvadrantissa? Neljännen neljänneksen kosini on positiivinen. Sitten meidän on valittava plusmerkki ennen. , sitten.

En käsittele tällaisia ​​tehtäviä nyt, löydät niiden yksityiskohtaisen analyysin artikkelista "". Halusin vain huomauttaa, minkä merkin tämä tai tuo trigonometrinen funktio ottaa vuosineljänneksestä riippuen.

Kulmat suuremmat kuin asteet

Viimeinen asia, jonka haluaisin huomauttaa tässä artikkelissa, on kuinka käsitellä astetta suurempia kulmia?

Mitä se on ja minkä kanssa sitä voi syödä, jotta se ei tukehtuisi? Otetaan esimerkiksi kulma asteina (radiaaneina) ja mennään siitä vastapäivään...

Kuvaan piirsin spiraalin, mutta ymmärrät, että itse asiassa meillä ei ole mitään spiraalia: meillä on vain ympyrä.

Joten mihin pääsemme, jos aloitamme tietystä kulmasta ja kuljemme koko ympyrän läpi (asteet tai radiaanit)?

Minne olemme menossa? Ja tulemme samaan nurkkaan!

Sama pätee tietysti muihinkin kulmiin:

Ottamalla mielivaltaisen kulman ja ohittamalla koko ympyrän, palaamme samaan kulmaan.

Mitä se meille antaa? Tässä mitä: jos, niin

Mistä lopulta saamme:

Mille tahansa kokonaisluvulle. Se tarkoittaa sitä sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita, joissa on piste.

Näin ollen ei ole ongelmaa löytää nyt mielivaltaisen kulman merkki: meidän on vain hylättävä kaikki "koko ympyrät", jotka sopivat nurkkaan ja selvitettävä, missä neljänneksessä jäljellä oleva kulma sijaitsee.

Esimerkiksi merkin löytämiseksi:

Tarkistamme:

1. Asteina sopii ajat asteina (asteita):
   astetta jäljellä. Tämä on neljännen neljänneksen kulma. On negatiivinen sini, joten
2. . astetta. Tämä on kolmannen neljänneksen kulma. Siellä kosini on negatiivinen. Sitten
3. . . Siitä lähtien - ensimmäisen neljänneksen kulma. Siellä kosini on positiivinen. Sitten cos
4. . . Siitä lähtien kulmamme on toisella neljänneksellä, jossa sini on positiivinen.

Voimme tehdä saman tangentille ja kotangentille. Itse asiassa se on kuitenkin vielä helpompaa niiden kanssa: ne ovat myös jaksollisia toimintoja, vain niiden jakso on 2 kertaa pienempi:

Joten ymmärrät mikä trigonometrinen ympyrä on ja mihin se on tarkoitettu.

Mutta meillä on vielä paljon kysymyksiä:

1. Mitä ovat negatiiviset kulmat?
2. Kuinka laskea trigonometristen funktioiden arvot näissä kulmissa
3. Kuinka käyttää ensimmäisen vuosineljänneksen trigonometristen funktioiden tunnettuja arvoja etsimään funktioiden arvoja muilta neljänneksiltä (tarvitaanko taulukkoa todella ahmimaan?!)
4. Kuinka käyttää ympyrää trigonometristen yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi?

KESKITASO

No, tässä artikkelissa jatkamme trigonometrisen ympyrän tutkimista ja keskustelemme seuraavista kohdista:

1. Mitä ovat negatiiviset kulmat?
2. Kuinka laskea trigonometristen funktioiden arvot näissä kulmissa?
3. Kuinka käyttää 1. vuosineljänneksen tunnettuja trigonometristen funktioiden arvoja etsiäksesi muiden neljännesten funktioiden arvoja?
4. Mikä on tangenttiakseli ja kotangenttiakseli?

Emme tarvitse lisätietoa, paitsi yksikköympyrän kanssa työskentelyn perustaidot (edellinen artikkeli). No, mennään ensimmäiseen kysymykseen: mitkä ovat negatiiviset kulmat?

Negatiiviset kulmat

Negatiiviset kulmat trigonometriassa on asetettu trigonometriselle ympyrälle alusta alkaen myötäpäivään liikkeen suuntaan:

Muistetaan kuinka aiemmin piirtimme kulmia trigonometriselle ympyrälle: Menimme akselin positiivisesta suunnasta vastapäivään:

Sitten kuvassamme muodostetaan kulma, joka on yhtä suuri kuin. Samalla tavalla rakensimme kaikki kulmat.

Mikään ei kuitenkaan estä kulkemasta akselin positiivisesta suunnasta myötäpäivään.

Saamme myös erilaisia ​​​​kulmia, mutta ne ovat jo negatiivisia:

Seuraavassa kuvassa on kaksi kulmaa, jotka ovat absoluuttisesti samat mutta etumerkillisesti vastakkaiset:

Yleisesti ottaen sääntö voidaan muotoilla seuraavasti:

• Menemme vastapäivään - saamme positiivisia kulmia
• Menemme myötäpäivään - saamme negatiiviset kulmat

Kaavamaisesti sääntö on esitetty tässä kuvassa:

Voit kysyä minulta varsin järkevän kysymyksen: no, tarvitsemme kulmia, jotta voimme mitata niiden sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot.

Onko siis eroa, kun meillä on positiivinen kulma ja kun meillä on negatiivinen kulma? Vastaan ​​sinulle: yleensä on.

Voit kuitenkin aina pienentää trigonometrisen funktion laskennan negatiivisesta kulmasta kulman funktion laskemiseen. positiivinen.

Katso seuraavaa kuvaa:

Piirsin kaksi kulmaa, ne ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta niillä on vastakkainen etumerkki. Huomaa kunkin kulman sini ja kosini akseleilla.

Mitä sinä ja minä näemme? Ja tässä mitä:

• Sinit ovat kulmissa ja ovat vastakkaisessa merkissä! Sitten jos
• Kulmien kosinukset ja osuvat yhteen! Sitten jos
• Siitä lähtien:
• Siitä lähtien:

Siten voimme aina päästä eroon negatiivisesta merkistä minkä tahansa trigonometrisen funktion sisällä: joko yksinkertaisesti tuhoamalla sen, kuten kosinin tapauksessa, tai asettamalla sen funktion eteen, kuten sinin, tangentin ja kotangentin kanssa.

Muista muuten, mikä on funktion nimi, jossa se on totta kaikille hyväksytyille: ?

Tällaista funktiota kutsutaan parittomaksi.

Ja jos se täyttyy joltakin hyväksyttävältä: ? Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan parilliseksi.

Olemme siis juuri osoittaneet, että:

Sini, tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktioita, kun taas kosini on parillinen.

Siten, kuten ymmärrät, ei ole eroa, etsimmekö siniä positiivisesta vai negatiivisesta kulmasta: miinuksen käsitteleminen on hyvin yksinkertaista. Emme siis tarvitse erillisiä taulukoita negatiivisille kulmille.

Toisaalta, täytyy myöntää, että olisi erittäin kätevää, kun vain ensimmäisen neljänneksen kulmien trigonometriset funktiot tiedetään, pystyä laskemaan samanlaisia ​​funktioita jäljellä oleville neljänneksille. Voidaanko se tehdä? Voit tietysti! Sinulla on ainakin kaksi tapaa: ensimmäinen on rakentaa kolmio ja soveltaa Pythagoraan lausetta (näin sinä ja minä löysimme trigonometristen funktioiden arvot ensimmäisen neljänneksen pääkulmille) ja toinen - muistaen ensimmäisen neljänneksen kulmien funktioiden arvot ja yksinkertaisen säännön, pystyt laskemaan trigonometriset funktiot kaikille muille neljänneksille. Toinen tapa säästää sinua monilta hälyltä kolmioiden ja Pythagoraan kanssa, joten pidän sitä lupaavampana:

Joten tätä menetelmää (tai sääntöä) kutsutaan - pelkistyskaavoiksi.

Valokaavat

Karkeasti ottaen nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tällaista taulukkoa (se sisältää muuten 98 numeroa!):

jos muistat tämän (vain 20 numeroa):

Eli et voi vaivata itseäsi täysin tarpeettomilla 78 numeroilla! Meidän on esimerkiksi laskettava. On selvää, että pienessä pöydässä ei ole sellaista. Mitä me teemme? Ja tässä mitä:

Ensinnäkin tarvitsemme seuraavat tiedot:

1. Sinillä ja kosinilla on jakso (asteet), ts.

   Tangentilla (kotangentilla) on jakso (asteita)

   Mikä tahansa kokonaisluku

2. Sini ja tangentti ovat parittomia funktioita, ja kosini on parillinen:

Olemme jo todistaneet ensimmäisen väitteen kanssasi, ja toisen pätevyys todettiin melko hiljattain.

Varsinainen valusääntö näyttää tältä:

1. Jos laskemme trigonometrisen funktion arvon negatiivisesta kulmasta, teemme sen positiiviseksi käyttämällä kaavaryhmää (2). Esimerkiksi:
2. Hylkäämme sinin ja kosinin jaksot: (asteina) ja tangentin osalta - (asteina). Esimerkiksi:
3. Jos jäljellä oleva "kulma" on alle astetta, ongelma on ratkaistu: etsimme sitä "pienestä taulukosta".
4. Muuten etsimme, millä kortilla nurkkamme sijaitsee: se on 2., 3. vai 4. neljännes. Katsomme halutun funktion merkkiä vuosineljänneksellä. Muista tämä merkki!
5. Esitä kulma jossakin seuraavista muodoista:

   (jos toisella neljänneksellä)
   (jos toisella neljänneksellä)
   (jos kolmannella neljänneksellä)
   (jos kolmannella neljänneksellä)
   
   (jos neljännellä vuosineljänneksellä)

   niin, että jäljellä oleva kulma on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin astetta. Esimerkiksi:

   Periaatteessa ei ole väliä kummassa kahdesta vaihtoehtoisesta muodosta kullekin neljännekselle edustat kulmaa. Tämä ei vaikuta lopputulokseen.

6. Katsotaan nyt mitä saatiin: jos valitsit tallentaa läpi tai asteet plus miinus jotain, niin funktion etumerkki ei muutu: poistat vain tai ja kirjoitat muistiin jäljellä olevan kulman sini, kosini tai tangentti. Jos valitsit kirjoittaa läpi tai asteet, muuta sini kosiniksi, kosini siniksi, tangentti kotangentiksi, kotangentti tangentiksi.
7. Laitamme luvun 4 merkin tuloksena olevan lausekkeen eteen.

Havainnollistetaan kaikki yllä oleva esimerkein:

1. Laskea
2. Laskea
3. Etsi-di-nämä merkitykset you-ra-same-nia:

Aloitetaan järjestyksessä:

1. Toimimme algoritmimme mukaan. Valitse kokonaislukumäärä ympyröitä:

   Yleisesti päättelemme, että kokonaisuus asetetaan nurkkaan 5 kertaa, mutta kuinka paljon on jäljellä? Vasen. Sitten

   No, olemme hylänneet ylimääräisen. Nyt käsitellään merkkiä. sijaitsee 4:ssä. Neljännen neljänneksen sinissä on miinusmerkki, enkä saa unohtaa laittaa sitä vastaukseen. Lisäksi esitämme jommankumman vähennyssääntöjen 5 kohdan kaavasta. Minä valitsen:

   Nyt katsomme mitä tapahtui: meillä on tapaus, jossa on asteet, sitten hylkäämme sen ja muutamme sinin kosiniksi. Ja laita miinusmerkki sen eteen!

   astetta on ensimmäisen neljänneksen kulma. Tiedämme (lupasit minulle oppia pienen pöydän!!) sen merkityksen:

   Sitten saamme lopullisen vastauksen:

   Vastaus:

2. kaikki on sama, mutta asteiden sijaan - radiaaneja. Se on okei. Tärkeintä on muistaa se

   Mutta radiaaneja ei voi korvata asteilla. Se on makuasia. En muuta mitään. Aloitan uudelleen hylkäämällä kokonaiset ympyrät:

   Hylkäämme pois - nämä ovat kaksi kokonaista ympyrää. Laskeminen jää. Tämä kulma on kolmannella neljänneksellä. Kolmannen vuosineljänneksen kosini on negatiivinen. Muista laittaa miinusmerkki vastaukseesi. voidaan kuvitella. Muistutamme jälleen säännön: meillä on tapaus "kokonaisluvulla" (tai), silloin funktio ei muutu:

   Sitten.
   Vastaus:.

3. . Sinun on tehtävä sama asia, mutta kahdella toiminnolla. Puhun hieman lyhyemmin: ja asteet ovat toisen neljänneksen kulmia. Toisen neljänneksen kosinissa on miinusmerkki ja sinissä plusmerkki. voidaan esittää seuraavasti: mutta miten sitten

   Molemmat tapaukset ovat "puolet kokonaisuudesta". Sitten sinistä tulee kosini, ja kosinista tulee sini. Lisäksi kosinin edessä on miinusmerkki:

Vastaus:.

Harjoittele nyt itse seuraavien esimerkkien avulla:

Ja tässä ratkaisut:

1. 
   Ensin päästään eroon miinuksesta siirtämällä se sinin eteen (koska sini on pariton funktio!!!). Harkitse sitten kulmia:

   Hylkäämme kokonaislukumäärän ympyröitä - eli kolme ympyrää ().
   Vielä on laskettava: .
   Teemme saman toisen kulman kanssa:

   Poista kokonaislukumäärä ympyröitä – 3 ympyrää () ja sitten:

   Nyt ajattelemme: millä neljänneksellä jäljellä oleva kulma on? Hän "ei saavuta" kaikkea. Mikä sitten on neljännes? Neljäs. Mikä on neljännen neljänneksen kosinin merkki? Positiivista. Nyt kuvitellaan. Koska vähennämme kokonaisluvusta, emme muuta kosinin etumerkkiä:

   Korvaamme kaikki vastaanotetut tiedot kaavaan:

   Vastaus:.

2. 
   Vakio: poistamme miinuksen kosinista käyttämällä sitä tosiasiaa.
   Jäljelle jää asteiden kosini laskeminen. Poistetaan kaikki ympyrät: . Sitten

   Sitten.
   Vastaus:.

3. Toimimme kuten edellisessä esimerkissä.

   Koska muistat, että tangentin jakso on (tai) toisin kuin kosini tai sini, jossa se on 2 kertaa suurempi, poistamme kokonaisluvun.

   astetta on kulma toisella neljänneksellä. Toisen vuosineljänneksen tangentti on negatiivinen, joten älkäämme unohtako "miinusta" lopussa! voidaan kirjoittaa nimellä. Tangentin muutokset kotangentiksi. Lopulta saamme:

   Sitten.
   Vastaus:.

No, niitä on hyvin vähän jäljellä!

Tangenttien akseli ja kotangenttien akseli

Viimeinen asia, jota haluaisin tässä käsitellä, koskee kahta lisäakselia. Kuten olemme jo keskustelleet, meillä on kaksi akselia:

1. Axis - kosiniakseli
2. Akseli - siniakseli

Itse asiassa koordinaattiakselit ovat loppuneet, eikö niin? Mutta entä tangentit ja kotangentit?

Oikeasti, heille ei ole graafista tulkintaa?

Itse asiassa se on, voit nähdä sen tästä kuvasta:

Erityisesti näistä kuvista voimme sanoa seuraavaa:

1. Tangentilla ja kotangentilla on samat merkit neljänneksissä
2. Ne ovat positiivisia ensimmäisellä ja kolmannella neljänneksellä
3. Ne ovat negatiivisia toisella ja neljännellä neljänneksellä
4. Tangenttia ei ole määritelty kulmissa
5. Kotangenttia ei ole määritelty kulmissa

Mitä muuta varten nämä kuvat ovat? Opit edistyneellä tasolla, jossa kerron kuinka voit yksinkertaistaa trigonometristen yhtälöiden ratkaisua trigonometrisen ympyrän avulla!

EDISTYNYT TASO

Tässä artikkelissa kerron kuinka yksikköympyrä (trigonometrinen ympyrä) voi olla hyödyllinen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Voin korostaa kahta tapausta, joissa siitä voi olla hyötyä:

1. Vastauksessa emme saa "kaunista" kulmaa, mutta siitä huolimatta meidän on valittava juuret
2. Vastaus on liian monta juurisarjaa

Et tarvitse erityisiä tietoja, paitsi aiheen tuntemuksen:

Yritin kirjoittaa aiheen "trigonometriset yhtälöt" turvautumatta ympyrään. Monet eivät kehuisi minua tällaisesta lähestymistavasta.

Mutta pidän parempana kaavasta, joten mitä voit tehdä. Joissakin tapauksissa kaavat eivät kuitenkaan riitä. Seuraava esimerkki motivoi minua kirjoittamaan tämän artikkelin:

Ratkaise yhtälö:

No sitten. Itse yhtälön ratkaiseminen on helppoa.

Käänteinen vaihto:

Tästä syystä alkuperäinen yhtälömme vastaa neljää yksinkertaisinta yhtälöä! Pitääkö meidän todella kirjoittaa ylös 4 juurisarjaa:

Periaatteessa tämä olisi voitu lopettaa. Mutta ei vain tämän artikkelin lukijoille, joka väittää olevansa jonkinlainen "monimutkaisuus"!

Tarkastellaanpa ensin ensimmäistä juurisarjaa. Joten otamme yksikköympyrän, nyt sovelletaan näitä juuria ympyrään (erikseen ja varten):

Kiinnitä huomiota: mikä kulma muodostui kulmien ja? Tämä on kulma. Tehdään nyt sama sarjalle: .

Yhtälön juurien väliltä saadaan jälleen kulma c. Yhdistetään nyt nämä kaksi kuvaa:

Mitä me näemme? Ja sitten kaikki juurimme väliset kulmat ovat yhtä suuret. Mitä se tarkoittaa?

Jos aloitamme kulmasta ja otamme kulmat, jotka ovat yhtä suuret (millä tahansa kokonaisluvulla), osumme aina yhteen yläympyrän neljästä pisteestä! Joten 2 sarjaa juuria:

Voidaan yhdistää yhdeksi:

Valitettavasti juurisarjalle:

Nämä väitteet eivät ole enää päteviä. Tee piirros ja ymmärrä miksi näin on. Ne voidaan kuitenkin yhdistää seuraavasti:

Sitten alkuperäisellä yhtälöllä on juuret:

Mikä on melko lyhyt ja ytimekäs vastaus. Ja mitä lyhyys ja ytimekkyys tarkoittaa? Tietoja matemaattisen lukutaitosi tasosta.

Tämä oli ensimmäinen esimerkki, jossa trigonometrisen ympyrän käyttö tuotti hyödyllisiä tuloksia.

Toinen esimerkki ovat yhtälöt, joilla on "rumat juuret".

Esimerkiksi:

1. Ratkaise yhtälö.
2. Etsi sen juuret, jotka kuuluvat aukkoon.

Ensimmäinen osa ei ole vaikea.

Koska aihe on sinulle jo tuttu, sallin itseni olla lyhyt laskelmissani.

sitten tai

Joten löysimme yhtälömme juuret. Ei mitään monimutkaista.

Tehtävän toisen osan ratkaiseminen on vaikeampaa, kun ei tiedetä, mikä arkosiini miinus yksi neljäsosa on täsmälleen yhtä suuri (tämä ei ole taulukkoarvo).

Voimme kuitenkin kuvata löydetyn juurisarjan yksikköympyrässä:

Mitä me näemme? Ensinnäkin kuvio teki meille selväksi, missä rajoissa arkosiini sijaitsee:

Tämä visuaalinen tulkinta auttaa meitä löytämään juuret, jotka kuuluvat segmenttiin: .

Ensin numero itse joutuu siihen, sitten (katso kuva).

kuuluu myös segmenttiin.

Siten yksikköympyrä auttaa määrittämään, mihin rajoihin "rumat" kulmat kuuluvat.

Sinulla pitäisi olla vielä ainakin yksi kysymys: Mutta entä tangentit ja kotangentit?

Itse asiassa niillä on myös omat kirveensä, vaikka niillä on hieman erityinen ulkoasu:

Muuten niiden käsittelytapa on sama kuin sinin ja kosinin kanssa.

Esimerkki

Yhtälö on annettu.

• Ratkaise tämä yhtälö.
• Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat väliin.

Päätös:

Piirrämme yksikköympyrän ja merkitsemme siihen ratkaisumme:

Kuvasta voidaan ymmärtää, että:

Tai vielä enemmän: siitä lähtien

Sitten löydämme segmenttiin kuuluvat juuret.

, (kuten)

Jätän sinun huoleksi, ettei yhtälöllämme ole muita väliin kuuluvia juuria.

YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Trigonometrian pääinstrumentti on trigonometrinen ympyrä, sen avulla voit mitata kulmia, löytää niiden sinit, kosinit ja niin edelleen.

Kulmien mittaamiseen on kaksi tapaa.

1. Asteiden kautta
2. Radiaanien kautta

Ja päinvastoin: radiaaneista asteisiin:

Kulman sinin ja kosinin löytämiseksi tarvitset:

1. Piirrä yksikköympyrä, jonka keskipiste osuu yhteen kulman kärjen kanssa.
2. Etsi tämän kulman ja ympyrän leikkauspiste.
3. Sen "x"-koordinaatti on halutun kulman kosini.
4. Sen "peli"-koordinaatti on halutun kulman sini.

Valokaavat

Nämä ovat kaavoja, joiden avulla voit yksinkertaistaa trigonometrisen funktion monimutkaisia ​​lausekkeita.

Nämä kaavat auttavat sinua olemaan muistamatta tällaista taulukkoa:

Yhteenveto

Opit tekemään yleisen trigonometrian kannustimen.

Olet oppinut ratkaisemaan ongelmia paljon helpommin ja nopeammin ja mikä tärkeintä, ilman virheitä.

Ymmärsit, että sinun ei tarvitse ahdata yhtään pöytiä ja yleensäkään ei ole juurikaan ahdettavaa!

Nyt haluan kuulla sinusta!

Onnistuitko käsittelemään tätä monimutkaista aihetta?

Mitä pidit? Mistä et pitänyt?

Ehkä löysit virheen?

Kirjoita kommentteihin!

Ja onnea kokeeseen!

Trigonometrisellä ympyrällä havaitsemme asteina olevien kulmien lisäksi.

Lisää radiaaneista:

Radiaani määritellään kaaren kulma-arvoksi, jonka pituus on yhtä suuri kuin sen säde. Näin ollen, koska ympärysmitta on , silloin on selvää, että radiaani sopii ympyrään, eli

1 rad ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Kaikki tietävät, että radiaani on

Joten esimerkiksi , a. Näin meillä Opi muuttamaan radiaanit kulmiksi.

Nyt päinvastoin muunnetaan asteet radiaaneiksi.

Oletetaan, että meidän on muutettava radiaaneiksi. Auttaa meitä. Toimimme seuraavasti:

Koska, radiaani, täytä sitten taulukko:

Harjoittelemme löytämään ympyrän sinin ja kosinin arvot

Selvennetään seuraavaa.

No, on hyvä, jos meitä pyydetään laskemaan esimerkiksi - yleensä täällä ei ole hämmennystä - kaikki alkavat katsoa ensin ympyrää.

Ja jos heitä pyydetään laskemaan esimerkiksi ... Monet alkavat yhtäkkiä olla ymmärtämättä, mistä etsiä tätä nollaa ... Usein he etsivät sitä alkuperästä. Miksi?

1) Ollaan kertakaikkiaan samaa mieltä! Mikä tulee sen jälkeen tai on argumentti=kulma ja meidän kulmat ovat ympyrästä, älä etsi niitä x-akselilta!(Se on vain, että yksittäiset pisteet putoavat sekä ympyrään että akseliin ...) Ja itse sinien ja kosinien arvot - etsimme akseleilta!

2) Ja enemmän! Jos poikkeamme lähtöpisteestä vastapäivään(trigonometrisen ympyrän ohituksen pääsuunta), sitten laitamme sivuun kulmien positiiviset arvot, kulmat kasvavat, kun liikumme tähän suuntaan.

Jos poikkeamme lähtöpisteestä myötäpäivään, niin jätämme sivuun negatiiviset kulmat.

Esimerkki 1

Etsi arvo.

Päätös:

Löydämme ympyrästä. Projisoimme pisteen siniakselille (eli piirrämme kohtisuoran pisteestä siniakseliin (oy)).

Saavumme 0. Näin ollen .

Esimerkki 2

Etsi arvo.

Päätös:

Löydämme ympyrältä (kuljemme vastapäivään ja enemmän). Projisoimme pisteen siniakselille (ja se jo sijaitsee sinus-akselilla).

Pudotamme kohtaan -1 siniakselia pitkin.

Huomaa, että pisteen "piilotettu" takana ovat pisteet kuten (voisimme mennä kohtaan, joka on merkitty , myötäpäivään, mikä tarkoittaa, että miinusmerkki ilmestyy) ja äärettömästi monia muita.

Voidaan tehdä seuraava analogia:

Kuvittele trigonometrinen ympyrä stadionin juoksumattona.

Loppujen lopuksi "Lippu"-pisteeseen voi päätyä, minä aloitan vastapäivään, juoksen vaikkapa 300 m. Tai juoksen vaikkapa 100 m myötäpäivään (reitin pituudeksi katsomme 400 m).

Ja voit myös päätyä "Lippu"-pisteeseen ("lähtö" jälkeen) juoksemalla esimerkiksi 700 m, 1100 m, 1500 m jne. vastapäivään. Pääset lippupisteeseen juoksemalla alusta alkaen 500 tai 900 m jne. myötäpäivään.

Laajenna stadionin juoksumatto henkisesti numeroviivaksi. Kuvittele, missä tällä rivillä on esimerkiksi arvot 300, 700, 1100, 1500 jne. Näemme numeroviivalla pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana toisistaan. Käännytään takaisin. Pisteet "tarttuvat yhteen" yhdeksi.

Näin on trigonometrisen ympyrän kanssa. Jokaisen pisteen takana on äärettömästi monia muita.

Oletetaan, että kulmat , , , jne. näytetään yhtenä pisteenä. Ja sinin, kosinin arvot niissä ovat tietysti samat. (Huomasitko, että lisäsimme/vähensimme tai? Tämä on sini- ja kosinifunktion jakso.)

Esimerkki 3

Etsi arvo.

Päätös:

Muunnetaan asteiksi yksinkertaisuuden vuoksi.

(myöhemmin, kun totut trigonometriseen ympyrään, sinun ei tarvitse muuntaa radiaaneja asteina):

Siirrymme myötäpäivään pisteestä Mennään puoli ympyrää () ja enemmän

Ymmärrämme, että sinin arvo on sama kuin sinin arvo ja on yhtä suuri kuin

Huomaa, että jos ottaisimme esimerkiksi tai jne., niin saamme saman siniarvon.

Esimerkki 4

Etsi arvo.

Päätös:

Emme kuitenkaan muunna radiaaneja asteina, kuten edellisessä esimerkissä.

Eli meidän täytyy mennä vastapäivään puoliympyrän ja toisen neljänneksen puoliympyrän ja heijastaa tuloksena oleva piste kosiniakselille (vaaka-akseli).

Esimerkki 5

Etsi arvo.

Päätös:

Kuinka piirtää trigonometriselle ympyrälle?

Jos läpäisimme tai ainakin, niin päädymme silti siihen pisteeseen, jonka nimesimme "alkuksi". Siksi voit heti siirtyä ympyrän pisteeseen

Esimerkki 6

Etsi arvo.

Päätös:

Päädymme pisteeseen (johtaa meidät joka tapauksessa pisteeseen nolla). Projisoimme ympyrän pisteen kosiniakselille (katso trigonometrinen ympyrä), pääsemme sisään. Eli

Trigonometrinen ympyrä - käsissäsi

Ymmärsit jo, että tärkeintä on muistaa ensimmäisen vuosineljänneksen trigonometristen funktioiden arvot. Muilla neljänneksillä kaikki on samanlaista, sinun tarvitsee vain seurata merkkejä. Ja toivon, että et unohda trigonometristen funktioiden arvojen "ketjutikkaita".

Kuinka löytää tangentti- ja kotangenttiarvot pääkulmat.

Sen jälkeen tutustuttuaan tangentin ja kotangentin perusarvoihin, voit ohittaa

Tyhjässä ympyrämallissa. Kouluttaa!

Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat kasviksia, jotka on keitetty vedessä erityisen reseptin mukaan. Harkitsen kahta alkukomponenttia (kasvissalaatti ja vesi) ja lopputulosta - borssia. Geometrisesti tämä voidaan esittää suorakulmiona, jossa toinen puoli tarkoittaa salaattia, toinen puoli tarkoittaa vettä. Näiden kahden sivun summa tarkoittaa borssia. Tällaisen "borscht"-suorakulmion diagonaali ja pinta-ala ovat puhtaasti matemaattisia käsitteitä, eikä niitä koskaan käytetä borssiresepteissä.

Miten salaatti ja vesi muuttuvat borschiksi matematiikassa? Kuinka kahden segmentin summa voi muuttua trigonometriaksi? Tämän ymmärtämiseksi tarvitsemme lineaarisia kulmafunktioita.

Et löydä mitään lineaarisista kulmafunktioista matematiikan oppikirjoista. Mutta ilman niitä ei voi olla matematiikkaa. Matematiikan lait, kuten luonnonlait, toimivat riippumatta siitä, tiedämme niiden olemassaolosta tai ei.

Lineaariset kulmafunktiot ovat yhteenlaskulakeja. Katso kuinka algebra muuttuu geometriaksi ja geometria trigonometriaksi.

Onko mahdollista tehdä ilman lineaarisia kulmafunktioita? Voit, koska matemaatikot pärjäävät edelleen ilman niitä. Matemaatikkojen temppu on siinä, että he kertovat meille aina vain niistä ongelmista, jotka he voivat itse ratkaista, eivätkä koskaan kerro meille ongelmista, joita he eivät voi ratkaista. Katso. Jos tiedämme yhteenlaskun ja yhden termin tuloksen, käytämme vähennyslaskua toisen termin löytämiseksi. Kaikki. Emme tiedä muita ongelmia emmekä pysty ratkaisemaan niitä. Mitä tehdä, jos tiedämme vain lisäyksen tuloksen emmekä tiedä molempia termejä? Tässä tapauksessa summauksen tulos on jaettava kahdeksi termiksi käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Edelleen valitsemme itse, mikä yksi termi voi olla, ja lineaariset kulmafunktiot osoittavat, mikä toisen termin tulisi olla, jotta lisäyksen tulos olisi juuri se mitä tarvitsemme. Tällaisia ​​termipareja voi olla ääretön määrä. Arkielämässä pärjäämme erittäin hyvin ilman, että summaa hajotetaan, vähennys riittää meille. Mutta luonnonlakeja koskevissa tieteellisissä tutkimuksissa summan laajentaminen termeiksi voi olla erittäin hyödyllistä.

Toinen lisäyslaki, josta matemaatikot eivät halua puhua (toinen heidän temppunsa), edellyttää, että termeillä on sama mittayksikkö. Salaatin, veden ja borssin osalta nämä voivat olla paino-, tilavuus-, hinta- tai mittayksikköjä.

Kuvassa näkyy kaksi matematiikan eron tasoa. Ensimmäinen taso on erot numerokentässä, jotka on ilmoitettu a, b, c. Näin tekevät matemaatikot. Toinen taso on erot mittayksiköiden alueella, jotka näkyvät hakasulkeissa ja on merkitty kirjaimella U. Tätä fyysikot tekevät. Voimme ymmärtää kolmannen tason - erot kuvattujen objektien laajuudessa. Eri kohteissa voi olla sama määrä samoja mittayksiköitä. Kuinka tärkeää tämä on, voimme nähdä borscht-trigonometrian esimerkissä. Jos lisäämme samaan merkintään alaindeksit eri kohteiden mittayksiköille, voimme sanoa tarkalleen, mikä matemaattinen suure kuvaa tiettyä kohdetta ja miten se muuttuu ajan kuluessa tai toimintamme yhteydessä. kirje W Merkitsen veden kirjaimella S Merkitsen salaatin kirjaimella B- borssi. Tältä näyttäisivät borsssin lineaariset kulmafunktiot.

Jos otamme osan vedestä ja osan salaatista, niistä tulee yhdessä yksi borssi-annos. Tässä ehdotan, että pidät pienen tauon borssista ja muistat kaukaisen lapsuutesi. Muistatko kuinka meidät opetettiin yhdistämään kaneja ja ankkoja? Oli tarpeen selvittää, kuinka monta eläintä tulee esiin. Mitä meidät sitten opetettiin tekemään? Meidät opetettiin erottamaan yksiköt numeroista ja lisäämään numeroita. Kyllä, mikä tahansa numero voidaan lisätä mihin tahansa toiseen numeroon. Tämä on suora tie modernin matematiikan autismiin - emme ymmärrä mitä, ei ole selvää miksi, ja ymmärrämme erittäin huonosti, kuinka tämä liittyy todellisuuteen, koska kolmen eron vuoksi matemaatikot toimivat vain yhdellä. On oikeampaa oppia siirtymään mittayksiköstä toiseen.

Ja puput, ja ankat ja pienet eläimet voidaan laskea palasiksi. Yksi yhteinen mittayksikkö eri kohteille mahdollistaa niiden yhdistämisen. Tämä on lasten versio ongelmasta. Katsotaanpa samanlaista aikuisten ongelmaa. Mitä saat, kun lisäät kaneja ja rahaa? Tässä on kaksi mahdollista ratkaisua.

Ensimmäinen vaihtoehto. Määritämme kanujen markkina-arvon ja lisäämme sen käytettävissä olevaan käteiseen. Saimme varallisuutemme kokonaisarvon rahassa.

Toinen vaihtoehto. Voit lisätä pupujen määrän meillä olevien setelien määrään. Irtaimen omaisuuden saamme kappaleina.

Kuten näet, sama lisäyslaki antaa sinun saada erilaisia ​​​​tuloksia. Kaikki riippuu siitä, mitä tarkalleen haluamme tietää.

Mutta takaisin meidän borssiin. Nyt voimme nähdä, mitä tapahtuu lineaaristen kulmafunktioiden kulman eri arvoille.

Kulma on nolla. Meillä on salaattia, mutta ei vettä. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on myös nolla. Tämä ei tarkoita ollenkaan, että nolla borssi on yhtä kuin nolla vettä. Nollaborsch voi olla myös nollasalaattia (suorassa kulmassa).

Minulle henkilökohtaisesti tämä on tärkein matemaattinen todiste siitä, että . Nolla ei muuta numeroa lisättäessä. Tämä johtuu siitä, että lisääminen itsessään on mahdotonta, jos on vain yksi termi ja toinen termi puuttuu. Voit suhtautua tähän miten haluat, mutta muista - kaikki matemaattiset nollaoperaatiot ovat matemaatikoiden itsensä keksimiä, joten hylkää logiikkasi ja täytä tyhmästi matemaatikoiden keksimiä määritelmiä: "nollalla jakaminen on mahdotonta", "mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on yhtä kuin nolla" , "nollapisteen takana" ja muuta hölynpölyä. Riittää, kun muistaa kerran, että nolla ei ole luku, eikä koskaan tule kysymykseen onko nolla luonnollinen luku vai ei, koska tällainen kysymys yleensä menettää merkityksensä: kuinka voidaan pitää lukua, joka ei ole luku . Se on kuin kysyisi, mihin väriin pitäisi liittää näkymätön väri. Nollan lisääminen numeroon on kuin maalaamista maalilla, jota ei ole olemassa. He heiluttelivat kuivalla siveltimellä ja kertoivat kaikille, että "me olemme maalanneet". Mutta poikkean hieman.

Kulma on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on paljon salaattia, mutta vähän vettä. Tämän seurauksena saamme paksun borssin.

Kulma on neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on yhtä paljon vettä ja salaattia. Tämä on täydellinen borssi (ankoot kokit anteeksi, se on vain matematiikkaa).

Kulma on suurempi kuin neljäkymmentäviisi astetta mutta pienempi kuin yhdeksänkymmentä astetta. Meillä on paljon vettä ja vähän salaattia. Ota nestemäinen borssi.

Oikea kulma. Meillä on vettä. Salaatista on jäljellä vain muistoja, kun jatkamme kulman mittaamista viivasta, joka kerran merkitsi salaatin. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on nolla. Siinä tapauksessa pidä kiinni ja juo vettä, kun sitä on saatavilla)))

Tässä. Jotain tällaista. Voin kertoa täällä muita tarinoita, jotka ovat enemmän kuin tarkoituksenmukaisia ​​täällä.

Kahdella ystävällä oli osuutensa yhteisestä liiketoiminnasta. Yhden heistä murhan jälkeen kaikki meni toiselle.

Matematiikan ilmaantuminen planeetallemme.

Kaikki nämä tarinat kerrotaan matematiikan kielellä käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Toisen kerran näytän sinulle näiden funktioiden todellisen paikan matematiikan rakenteessa. Sillä välin palataan borssin trigonometriaan ja harkitaan projektioita.

lauantaina 26.10.2019

Keskiviikkona 7.8.2019

Keskustelun päätteeksi meidän on harkittava ääretöntä joukkoa. Otettiin huomioon, että "äärettömyyden" käsite vaikuttaa matemaatikoihin, kuten boa-kurpitsa kaniiniin. Äärettömyyden vapiseva kauhu riistää matemaatikoilta terveen järjen. Tässä on esimerkki:

Alkuperäinen lähde löytyy. Alfa tarkoittaa reaalilukua. Yllä olevien lausekkeiden yhtäläisyysmerkki osoittaa, että jos lisäät luvun tai äärettömän äärettömyyteen, mikään ei muutu, tuloksena on sama ääretön. Jos otamme esimerkkinä äärettömän joukon luonnollisia lukuja, niin tarkasteltavat esimerkit voidaan esittää seuraavasti:

Todistaakseen asiansa visuaalisesti matemaatikot ovat keksineet monia erilaisia ​​menetelmiä. Itse pidän kaikkia näitä menetelmiä shamaanien tansseina tamburiinien kanssa. Pohjimmiltaan ne kaikki johtuvat siitä, että joko osa huoneista on tyhjillään ja niihin on majoittunut uusia vieraita tai että osa vierailijoista heitetään ulos käytävälle tekemään tilaa vieraille (erittäin inhimillisesti). Esitin näkemykseni tällaisista päätöksistä fantastisen tarinan muodossa blondista. Mihin perusteluni perustuu? Äärettömän kävijämäärän siirtäminen vie äärettömän paljon aikaa. Kun olemme tyhjentäneet ensimmäisen vierashuoneen, yksi vierailijoista kävelee aina käytävää pitkin huoneestaan ​​seuraavaan aikojen loppuun asti. Tietysti aikatekijä voidaan jättää tyhmästi huomiotta, mutta tämä tulee jo kategoriasta "lakia ei ole kirjoitettu tyhmille". Kaikki riippuu siitä, mitä teemme: sopeutamme todellisuutta matemaattisiin teorioihin tai päinvastoin.

Mikä on "ääretön hotelli"? Infinity-majatalo on majatalo, jossa on aina kuinka monta vapaita paikkoja on, riippumatta siitä, kuinka monta huonetta on varattu. Jos kaikki loputtoman "vierailijoiden" käytävän huoneet ovat käytössä, on toinen loputon käytävä, jossa on huoneita "vieraille". Tällaisia ​​käytäviä tulee olemaan ääretön määrä. Samaan aikaan "äärettömässä hotellissa" on ääretön määrä kerroksia äärettömässä määrässä rakennuksia äärettömällä määrällä planeettoja äärettömässä määrässä universumeja, jotka ovat luoneet äärettömän määrän jumalia. Matemaatikot sitä vastoin eivät pysty irtaantumaan banaaleista arjen ongelmista: Jumala-Allah-Buddha on aina vain yksi, hotelli on yksi, käytävä on vain yksi. Joten matemaatikot yrittävät jongleerata hotellihuoneiden sarjanumeroita vakuuttaen meidät siitä, että on mahdollista "työntää työntämätöntä".

Esitän sinulle päättelyni logiikan käyttämällä esimerkkiä äärettömästä luonnollisten lukujen joukosta. Ensin sinun on vastattava hyvin yksinkertaiseen kysymykseen: kuinka monta sarjaa luonnollisia lukuja on olemassa - yksi vai monta? Tähän kysymykseen ei ole oikeaa vastausta, koska me itse keksimme numerot, luonnossa ei ole numeroita. Kyllä, luonto osaa laskea täydellisesti, mutta tähän hän käyttää muita matemaattisia työkaluja, jotka eivät ole meille tuttuja. Kuten luonto ajattelee, kerron sinulle toisen kerran. Koska keksimme luvut, päätämme itse, kuinka monta luonnollisten lukujen joukkoa on olemassa. Harkitse molempia vaihtoehtoja, kuten todelliselle tiedemiehelle kuuluu.

Vaihtoehto yksi. "Annetaan meille" yksi joukko luonnollisia lukuja, joka lepää rauhallisesti hyllyllä. Otamme tämän setin hyllystä. Siinä se, hyllylle ei ole jäänyt muita luonnollisia lukuja eikä niitä ole mistään ottaa. Emme voi lisätä yhtä tähän sarjaan, koska meillä on se jo. Mitä jos todella haluat? Ei ongelmaa. Voimme ottaa yksikön jo ottamastamme setistä ja palauttaa sen hyllylle. Sen jälkeen voimme ottaa yksikön hyllyltä ja lisätä sen siihen, mitä meillä on jäljellä. Tämän seurauksena saamme jälleen äärettömän joukon luonnollisia lukuja. Voit kirjoittaa kaikki manipulaatiomme seuraavasti:

Olen kirjoittanut muistiin algebrallisen merkinnän ja joukkoteorian merkinnän operaatiot ja listannut joukon elementit yksityiskohtaisesti. Alaindeksi osoittaa, että meillä on yksi ja ainoa joukko luonnollisia lukuja. Osoittautuu, että luonnollisten lukujen joukko pysyy muuttumattomana vain, jos siitä vähennetään yksi ja lisätään sama yksikkö.

Vaihtoehto kaksi. Meillä on hyllyssä monia erilaisia ​​äärettömiä luonnollisia lukuja. Korostan - ERILAISIA huolimatta siitä, että ne ovat käytännössä erottamattomia. Otamme yhden näistä sarjoista. Sitten otamme yhden toisesta luonnollisten lukujen joukosta ja lisäämme sen jo ottamamme joukkoon. Voimme jopa lisätä kaksi joukkoa luonnollisia lukuja. Tässä on mitä saamme:

Alaindeksit "yksi" ja "kaksi" osoittavat, että nämä elementit kuuluivat eri ryhmiin. Kyllä, jos lisäät yhden äärettömään joukkoon, tuloksena on myös ääretön joukko, mutta se ei ole sama kuin alkuperäinen joukko. Jos yksi ääretön joukko lisätään toiseen äärettömään joukkoon, tuloksena on uusi ääretön joukko, joka koostuu kahden ensimmäisen joukon alkioista.

Luonnollisten lukujen joukkoa käytetään laskemiseen samalla tavalla kuin mittausviivainta. Kuvittele nyt, että olet lisännyt yhden sentin viivaimeen. Tämä on jo eri rivi, ei sama kuin alkuperäinen.

Voit hyväksyä tai olla hyväksymättä perusteluni - tämä on sinun oma asiasi. Mutta jos törmäät matemaattisiin ongelmiin, mieti, oletko väärän päättelyn tiellä, jota matemaatikoiden sukupolvet tallaavat. Loppujen lopuksi matematiikan tunnit ensinnäkin muodostavat meissä vakaan stereotypian ajattelusta, ja vasta sitten ne lisäävät meihin henkisiä kykyjä (tai päinvastoin, ne riistävät meiltä vapaan ajattelun).

pozg.ru

sunnuntaina 4.8.2019

Kirjoitin jälkikirjoitusta artikkeliin ja näin tämän ihanan tekstin Wikipediassa:

Luemme: "... Babylonin matematiikan rikkaalla teoreettisella pohjalla ei ollut kokonaisvaltaista luonnetta, ja se pelkistettiin joukoksi erilaisia ​​tekniikoita, joista puuttui yhteinen järjestelmä ja todisteet."

Vau! Kuinka älykkäitä olemme ja kuinka hyvin voimme nähdä muiden puutteet. Onko meidän heikkoa tarkastella nykyaikaista matematiikkaa samassa yhteydessä? Yllä olevaa tekstiä hieman mukaillen, henkilökohtaisesti sain seuraavan:

Nykyaikaisen matematiikan rikkaalla teoreettisella pohjalla ei ole kokonaisvaltaista luonnetta, ja se on pelkistetty joukkoon erilaisia ​​​​osia, joilla ei ole yhteistä järjestelmää ja todisteita.

En mene pitkälle vahvistaakseni sanojani - sillä on kieli ja käytännöt, jotka eroavat monien muiden matematiikan alojen kielestä ja käytännöistä. Samoilla nimillä matematiikan eri aloilla voi olla eri merkitys. Haluan omistaa koko jakson julkaisuja modernin matematiikan ilmeisimmille virheille. Nähdään pian.

lauantaina 3.8.2019

Kuinka jakaa joukko osajoukkoihin? Tätä varten sinun on syötettävä uusi mittayksikkö, joka on läsnä valitun joukon joissakin elementeissä. Harkitse esimerkkiä.

Olkoon meitä monia MUTTA joka koostuu neljästä henkilöstä. Tämä joukko on muodostettu "ihmisten" perusteella. Nimetään tämän joukon elementit kirjaimella a, alaindeksi numerolla osoittaa jokaisen tämän joukon henkilön järjestysnumeron. Otetaan käyttöön uusi mittayksikkö "seksuaalinen ominaisuus" ja merkitään se kirjaimella b. Koska seksuaaliset ominaisuudet ovat luontaisia ​​kaikille ihmisille, kerromme jokaisen joukon elementin MUTTA sukupuolen suhteen b. Huomaa, että "ihmiset" -sarjastamme on nyt tullut "ihmiset, joilla on sukupuoli". Sen jälkeen voimme jakaa seksuaaliset ominaisuudet miehiin bm ja naisten bw sukupuolen ominaisuudet. Nyt voimme käyttää matemaattista suodatinta: valitsemme yhden näistä seksuaalisista ominaisuuksista, sillä ei ole väliä, kumpi on mies vai nainen. Jos se on henkilössä, kerromme sen yhdellä, jos sellaista merkkiä ei ole, kerromme sen nollalla. Ja sitten sovellamme tavallista koulumatematiikkaa. Katso mitä tapahtui.

Kertomisen, vähennysten ja uudelleenjärjestelyjen jälkeen saimme kaksi osajoukkoa: miesosajoukko bm ja osa naisia bw. Suunnilleen samalla tavalla matemaatikot ajattelevat soveltaessaan joukkoteoriaa käytännössä. Mutta he eivät anna meille yksityiskohtia, vaan antavat meille lopullisen tuloksen - "paljon ihmisiä koostuu miehiä ja naisia." Luonnollisesti sinulla voi olla kysymys, kuinka oikein sovellettiin matematiikkaa yllä olevissa muunnoksissa? Uskallan vakuuttaa, että itse asiassa muunnokset on tehty oikein, riittää, että tietää aritmeettisen, Boolen algebran ja muiden matematiikan osien matemaattiset perustelut. Mikä se on? Kerron siitä sinulle joskus joskus.

Mitä tulee superjoukkoon, on mahdollista yhdistää kaksi joukkoa yhdeksi superjoukoksi valitsemalla mittayksikkö, joka on näiden kahden joukon elementeissä.

Kuten näet, mittayksiköt ja yleinen matematiikka tekevät joukkoteoriasta menneisyyden. Merkki siitä, että kaikki ei ole hyvin joukkoteorian kanssa, on se, että matemaatikot ovat keksineet oman kielensä ja merkintätapansa joukkoteorialle. Matemaatikot tekivät samoin kuin shamaanit kerran. Vain shamaanit osaavat "oikein" soveltaa "tietoaan". Tämän "tiedon" he opettavat meille.

Lopuksi haluan näyttää sinulle, kuinka matemaatikot manipuloivat .

Maanantai 7.1.2019

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömi sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseksi ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisesti katsottuna aika näyttää hidastuvan täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus saa kiinni kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on joka hetki levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian määrittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua) . Haluan erityisesti korostaa, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat kaksi eri asiaa, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.
Näytän prosessin esimerkillä. Valitsemme "punainen kiinteä aine näppylässä" - tämä on "kokonaisuutemme". Samalla näemme, että nämä asiat ovat jousella ja on ilman jousta. Sen jälkeen valitsemme osan "kokonaisuudesta" ja muodostamme joukon "jousella". Näin shamaanit ruokkivat itseään sitomalla joukkoteoriansa todellisuuteen.

Tehdään nyt pieni temppu. Otetaan "kiinteä näppylässä jousella" ja yhdistetään nämä "kokonaisuudet" värin mukaan valitsemalla punaiset elementit. Meillä on paljon "punaista". Nyt hankala kysymys: ovatko vastaanotetut setit "jousella" ja "punainen" sama sarja vai kaksi eri sarjaa? Vain shamaanit tietävät vastauksen. Tarkemmin sanottuna he eivät itse tiedä mitään, mutta kuten he sanovat, niin olkoon.

Tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa, että joukkoteoria on täysin hyödytön todellisuudessa. Mikä on salaisuus? Muodostimme sarjan "punaista kiinteää näppylää rusetilla". Muodostaminen tapahtui neljällä eri mittayksiköllä: väri (punainen), lujuus (kiinteä), karheus (kuhossa), koristeet (jousella). Vain joukko mittayksiköitä mahdollistaa todellisten esineiden riittävän kuvaamisen matematiikan kielellä. Tältä se näyttää.

Kirjain "a" eri indekseillä tarkoittaa eri mittayksiköitä. Suluissa on korostettu mittayksiköt, joiden mukaan "kokonaisuus" allokoidaan alustavassa vaiheessa. Mittayksikkö, jonka mukaan joukko muodostetaan, otetaan pois suluista. Viimeinen rivi näyttää lopputuloksen - joukon elementin. Kuten näet, jos käytämme yksiköitä muodostaaksemme joukon, tulos ei riipu toimiemme järjestyksestä. Ja tämä on matematiikkaa, ei shamaanien tansseja tamburiinien kanssa. Shamaanit voivat "intuitiivisesti" päätyä samaan tulokseen väittäen sen "ilmeisyydellä", koska mittayksiköt eivät sisälly heidän "tieteelliseen" arsenaaliinsa.

Mittayksiköiden avulla on erittäin helppo rikkoa yksi tai yhdistää useita sarjoja yhdeksi supersetiksi. Katsotaanpa tarkemmin tämän prosessin algebraa.

Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti numeerisen ympyrän määritelmää, selvitämme sen pääominaisuuden ja järjestämme numerot 1,2,3 jne. Tietoja muiden numeroiden merkitsemisestä ympyrään (esim. \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) ymmärtää .

Numeroympyrä kutsua yksikkösäteen ympyrää, jonka pisteet vastaavat järjestetään seuraavien sääntöjen mukaan:

1) Origo on ympyrän oikeassa reunassa;

2) Vastapäivään - positiivinen suunta; myötäpäivään - negatiivinen;

3) Jos piirretään ympyrän etäisyys \(t\) positiiviseen suuntaan, niin päästään pisteeseen, jonka arvo on \(t\);

4) Jos piirrämme ympyrän etäisyyden \(t\) negatiiviseen suuntaan, niin päästään pisteeseen, jonka arvo on \(–t\).

Miksi ympyrää kutsutaan numeroksi?
Koska siinä on numeroita. Tässä ympyrä on samanlainen kuin numeroakseli - ympyrällä, samoin kuin akselilla, jokaiselle numerolle on tietty piste.

Miksi tietää, mikä numeroympyrä on?
Numeerisen ympyrän avulla määritetään sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvo. Siksi trigonometrian tuntemiseksi ja kokeen läpäisemiseksi yli 60 pisteellä on välttämätöntä ymmärtää, mikä numeroympyrä on ja kuinka siihen asetetaan pisteitä.

Mitä sanat "... yksikkösäteen ..." tarkoittavat määritelmässä?
Tämä tarkoittaa, että tämän ympyrän säde on \(1\). Ja jos rakennamme sellaisen ympyrän, jonka keskipiste on origossa, niin se leikkaa akselien kanssa pisteissä \(1\) ja \(-1\).

Sitä ei tarvitse piirtää pieneksi, voit muuttaa jakojen "kokoa" akseleita pitkin, niin kuva on suurempi (katso alla).

Miksi säde on täsmälleen yksi? Se on kätevämpää, koska tässä tapauksessa, kun lasketaan ympärysmitta kaavalla \(l=2πR\), saamme:

Numeroympyrän pituus on \(2π\) tai suunnilleen \(6,28\).

Ja mitä tarkoittaa "...jonka pisteet vastaavat reaalilukuja"?
Kuten edellä mainittiin, minkä tahansa todellisen luvun numeroympyrässä on ehdottomasti sen "paikka" - piste, joka vastaa tätä numeroa.

Miksi määrittää numeroympyrän origo ja suunta?
Numeroympyrän päätarkoitus on määrittää yksilöllisesti sen piste jokaiselle numerolle. Mutta kuinka voit määrittää, mihin lopettaa, jos et tiedä, mistä laskea ja minne muuttaa?

Tässä on tärkeää olla sekoittamatta koordinaattiviivan ja numeroympyrän origoa - nämä ovat kaksi eri viitejärjestelmää! Älä myöskään sekoita \(1\) \(x\)-akselilla ja \(0\) ympyrässä - nämä ovat pisteitä eri objekteissa.

Mitkä pisteet vastaavat numeroita \(1\), \(2\) jne?

Muista, oletimme, että lukuympyrän säde on \(1\)? Tämä on yksittäinen segmenttimme (analogisesti numeroakselin kanssa), jonka laitamme ympyrään.

Jotta voit merkitä pisteen numeroympyrään, joka vastaa numeroa 1, sinun on kuljettava 0:sta sädettä vastaava matka positiiviseen suuntaan.

Jos haluat merkitä ympyrään pisteen, joka vastaa numeroa \(2\), sinun on kuljettava kahden säteen suuruinen matka origosta, jotta \(3\) on kolmen säteen etäisyys jne.

Kun katsot tätä kuvaa, sinulla voi olla 2 kysymystä:
1. Mitä tapahtuu, kun ympyrä "päättyy" (eli teemme täyden ympyrän)?
Vastaus: mennään toiselle kierrokselle! Ja kun toinen on ohi, siirrymme kolmanteen ja niin edelleen. Siksi ympyrään voidaan soveltaa ääretön määrä lukuja.

2. Missä negatiiviset luvut ovat?
Vastaus: siellä! Ne voidaan myös järjestää laskemalla nollasta tarvittava määrä säteitä, mutta nyt negatiiviseen suuntaan.

Valitettavasti lukuympyrästä on vaikea määrittää kokonaislukuja. Tämä johtuu siitä, että numeerisen ympyrän pituus ei ole kokonaisluku: \ (2π \). Ja sopivimmissa paikoissa (akselien leikkauspisteissä) ei myöskään ole kokonaislukuja, vaan murtolukuja