Eri ratkaisumenetelmien matemaattisen merkityksen ja vaihdettavuuden perusteella kaikki aritmeettiset menetelmät voidaan yhdistää seuraaviin ryhmiin:

• 1) yksikköön pelkistysmenetelmä, yhteismittaan pelkistys, yksikköön käänteisvähennys, suhteiden menetelmä;
• 2) tapa ratkaista ongelmia "päästä";
• 3) menetelmä tuntemattomien eliminoimiseksi (tuntemattoman korvaaminen toisella, tuntemattomien vertaaminen, tietojen vertailu, kahden ehdon vertailu vähentämällä, kahden ehdon yhdistäminen yhdeksi); tapa arvata;
• 4) suhteellinen jako, samankaltaisuus tai osien löytäminen;
• 5) menetelmä ongelman muuttamiseksi toiseksi (monimutkaisen ongelman hajottaminen yksinkertaisiksi, valmisteleviksi; tuntemattomien pelkistys sellaisiin arvoihin, joilla niiden suhde tulee tunnetuksi; menetelmä mielivaltaisen luvun määrittämiseksi yhdelle tuntemattomalle suurelle) .

Näiden menetelmien lisäksi on suositeltavaa harkita aritmeettisen keskiarvon menetelmää, ylijäämämenetelmää, tunnetun ja tuntemattoman permutointimenetelmää, "väärien" sääntöjen menetelmää.

Koska yleensä on mahdotonta määrittää etukäteen, mikä menetelmistä on nairaalinen, ennakoida, mikä niistä johtaa opiskelijalle yksinkertaisimpaan ja ymmärrettävimpään ratkaisuun, niin opiskelijoille tulisi tutustua erilaisiin menetelmiin ja antaa mahdollisuus valita, mikä niistä on käytettäväksi tietyn ongelman ratkaisemisessa.

Tuntematon poissulkemismenetelmä

Tätä menetelmää käytetään, kun ongelmassa on useita tuntemattomia. Tällainen ongelma voidaan ratkaista jollakin viidestä menetelmästä: 1) korvaamalla yksi tuntematon toisella; 2) tuntemattomien vertailu; 3) kahden ehdon vertailu vähentämällä; 4) tietojen vertailu; 5) useiden ehtojen yhdistäminen yhdeksi.

Yhden yllä olevista menetelmistä soveltamisen seurauksena useiden tuntemattomien sijasta löytyy yksi, joka voidaan löytää. Laskettuasi sen, käytä riippuvuusehdon tietoja löytääksesi muita tuntemattomia.

Tarkastellaanpa joitain menetelmiä tarkemmin.

1. Tuntemattoman korvaaminen toisella

Tekniikan nimi paljastaa sen idean: Riippuvuuksien (multiple tai differentiaali) perusteella, jotka on annettu ongelman tilanteen mukaan, on tarpeen ilmaista kaikki tuntemattomat yhden kautta.

Tehtävä. Sergeillä ja Andreilla on yhteensä 126 postimerkkiä. Sergeillä on 14 pistettä enemmän kuin Andreilla. Kuinka monta postimerkkiä kullakin pojalla oli?

Lyhyt kuvaus ehdosta:

Sergei --? postimerkkejä, 14 postimerkkiä lisää

Andrew --? postimerkkejä

Yhteensä 126 postimerkkiä

Ratkaisu 1

• (korvaa suuremman tuntemattoman pienemmällä)
• 1) Olkoon Sergeillä yhtä monta postimerkkiä kuin Andreilla. Tällöin postimerkkien kokonaismäärä olisi 126 - 14 = 112 (p).
• 2) Koska pojilla on nyt sama määrä postimerkkejä, saamme selville kuinka monta postimerkkiä Andreylla oli aluksi: 112: 2 = 56 (p).
• 3) Ottaen huomioon, että Sergeillä on 14 pistettä enemmän kuin Andreilla, saamme: 56 + 14 = 70 (pistettä).

Ratkaisu 2

• (korvaa pienemmän tuntemattoman suuremmalla)
• 1) Olkoon Andreilla sama määrä postimerkkejä kuin Sergeillä. Tällöin postimerkkien kokonaismäärä olisi 126 + 14 = 140 (postimerkit).
• 2) Koska pojilla on nyt sama määrä postimerkkejä, saamme selville kuinka monta postimerkkiä Sergeillä oli aluksi: 140: 2 = 70 (p).
• 3) Ottaen huomioon, että Andreilla oli 14 pistettä vähemmän kuin Sergeillä, saamme: 70 - 14 = 56 (p).

Vastaus: Sergeillä oli 70 pistettä ja Andreilla 56 pistettä.

Jotta opiskelijat ymmärtäisivät parhaiten menetelmän, jolla pienempi tuntematon korvataan suuremmalla, on ennen kuin harkitaan sitä, että opiskelijoiden kanssa on selvitettävä seuraava tosiasia: jos luku A on suurempi kuin luku B C-yksiköllä, niin lukujen A ja B vertaamiseksi on välttämätöntä:

• a) vähennä luku C luvusta A (silloin molemmat luvut ovat yhtä suuret kuin luku B);
• b) lisää luku C numeroon B (silloin molemmat luvut ovat yhtä suuret kuin luku A).

Opiskelijoiden kyky korvata suurempi tuntematon pienemmällä ja päinvastoin kehittää edelleen kykyä valita tuntematon ja ilmaista sen kautta muita suureita yhtälöä laadittaessa.

2. Tuntemattomien vertailu

Tehtävä. Neljällä hyllyllä oli 188 kirjaa. Toisella hyllyllä oli 16 kirjaa vähemmän kuin ensimmäisellä, kolmannella - 8 enemmän kuin toisella ja neljännellä - 12 vähemmän kuin kolmannella hyllyllä. Kuinka monta kirjaa on kullakin hyllyllä?

Tehtävän analyysi

Ymmärtääksemme paremmin neljän tuntemattoman määrän väliset riippuvuudet (kunkin hyllyn kirjojen määrä) käytämme kaaviota:

minä ______________________________________

II______________________

III___________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Vertaamalla segmenttejä, jotka kuvaavat kaavamaisesti kunkin hyllyn kirjojen määrää, päädymme seuraaviin johtopäätöksiin: ensimmäisessä hyllyssä on 16 kirjaa enemmän kuin toisella; kolmannella 8 enemmän kuin toisella; neljännellä - 12 - 8 = 4 (kirjaa) vähemmän kuin toisella. Siksi ongelma voidaan ratkaista vertaamalla kunkin hyllyn kirjojen määrää. Tätä varten poistamme 16 kirjaa ensimmäiseltä hyllyltä, 8 kirjaa kolmannelta ja laitamme 4 kirjaa neljännelle hyllylle. Sitten kaikilla hyllyillä on sama määrä kirjoja, nimittäin kuin toisessa oli aluksi.

• 1) Kuinka monta kirjaa on kaikilla hyllyillä ongelman analyysissä kuvattujen toimenpiteiden jälkeen?
• 188 - 16 - 8 + 4 = 168 (kirjat)
• 2) Kuinka monta kirjaa oli toisella hyllyllä?
• 168:4 = 42 (kirjat)
• 3) Kuinka monta kirjaa oli ensimmäisellä hyllyllä?
• 42 + 16 = 58 (kirjat)
• 4) Kuinka monta kirjaa oli kolmannella hyllyllä?
• 42 + 8 = 50 (kirjat)
• 5) Kuinka monta kirjaa oli neljännellä hyllyllä?
• 50-12 = 38 (kirjat)

Vastaus: Jokaisella neljällä hyllyllä oli 58, 42, 50 ja 38 kirjaa.

Kommentti. Voit tarjota opiskelijoille tämän ongelman ratkaisemista muilla tavoilla, jos vertaamme tuntematonta määrää kirjoja, jotka olivat ensimmäisessä, toisessa tai neljännessä hyllyssä.

3. Kahden ehdon vertailu vähentämällä

Tällä tekniikalla ratkaistavan ongelman juoni sisältää usein kaksi suhteellista määrää (tavaroiden määrä ja sen kustannukset, työntekijöiden lukumäärä ja heidän tekemänsä työ jne.). Ehto antaa yhden suuren kaksi arvoa ja toisen suuren kahden numeerisen arvon erotuksen, joka on verrannollinen niihin.

Tehtävä. 4 kilosta appelsiineja ja 5 kiloa banaaneja maksoivat 620 ruplaa ja seuraavan kerran 500 ruplaa 4 kilosta appelsiineista ja 3 kilosta banaaneja samoilla hinnoilla. Kuinka paljon 1 kg appelsiineja ja 1 kg banaaneja maksaa?

Lyhyt kuvaus ehdosta:

• 4kg sovellus. ja 5kg kielto. - 620 ruplaa,
• 4kg sovellus. ja 3kg kielto. - 500 ruplaa.

• 1) Vertaa kahden ostoksen hintaa. Sekä ensimmäisellä että toisella kerralla he ostivat saman määrän appelsiineja samaan hintaan. Ensimmäisellä kerralla he maksoivat enemmän, koska he ostivat enemmän banaaneja. Selvitetään kuinka monta kiloa banaaneja ostettiin lisää ensimmäisellä kerralla: 5 - 3 = 2 (kg).
• 2) Selvitetään, kuinka paljon enemmän he maksoivat ensimmäisellä kerralla kuin toisella (eli selvitämme kuinka paljon 2 kg banaaneja maksoi): 620 - 500 = 120 (ruplaa).
• 3) Etsi 1 kg banaanien hinta: 120: 2 = 60 (ruplaa).
• 4) Kun tiedämme ensimmäisen ja toisen oston kustannukset, voimme löytää 1 kg appelsiineja. Tätä varten etsimme ensin ostettujen banaanien kustannukset, sitten appelsiinien kustannukset ja sitten 1 kg:n hinnan. Meillä on: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (ruplaa).

Vastaus: 1 kg appelsiinien hinta on 80 ruplaa ja 1 kg banaanien hinta on 60 ruplaa.

4. Tietojen vertailu

Tämän tekniikan käyttö mahdollistaa tietojen vertailun ja vähennysmenetelmän soveltamisen. Voit verrata data-arvoja:

• 1) kertolaskua (vertaamalla niitä pienimpään yhteiseen kerrannaiseen);
• 2) käyttämällä jakoa (vertaamalla niitä suurimpaan yhteiseen jakajaan).

Osoitetaan tämä esimerkillä.

Tehtävä. 4 kilosta appelsiineja ja 5 kiloa banaaneja maksettiin 620 ruplaa, ja seuraavan kerran he maksoivat 660 ruplaa 6 kilosta appelsiineista ja 3 kilosta banaaneja samoilla hinnoilla. Kuinka paljon 1 kg appelsiineja ja 1 kg banaaneja maksaa?

Lyhyt kuvaus ehdosta:

• 4kg sovellus. ja 5kg kielto. - 620 ruplaa,
• 6kg sovellus. ja 3kg kielto. - 660 ruplaa.

Tasataan appelsiinien ja banaanien määrä vertaamalla niitä pienimpään yhteiseen kerrannaiseen: LCM(4;6) = 12.

Ratkaisu 1.

• 1) Lisätään ostettujen hedelmien määrää ja niiden kustannuksia ensimmäisessä tapauksessa 3 kertaa ja toisessa - 2 kertaa. Saamme seuraavan lyhenteen ehdolle:
• 12kg sovellus. ja 15kg kielto. - 1860 ruplaa,
• 12kg sovellus. ja 6kg kielto. - 1320 ruplaa.
• 2) Selvitä, kuinka monta banaania ostettiin lisää ensimmäistä kertaa: 15-6 = 9 (kg).
• 3) Kuinka paljon 9 kg banaaneja maksaa? 1860 - 1320 = 540 (ruplaa).
• 4) Selvitä 1 kg banaanien hinta: 540: 9 = 60 (ruplaa).
• 5) Selvitä 3 kg banaanien hinta: 60 * 3 = 180 (ruplaa).
• 6) Selvitä 6 kg appelsiinin hinta: 660 - 180 = 480 (ruplaa).
• 7) Etsi 1 kg appelsiinien hinta: 480: 6 = 80 (ruplaa).

Ratkaisu 2.

Tasataan appelsiinien ja banaanien määrä vertaamalla niitä suurimman yhteisen jakajan kanssa: gcd (4; 6) = 2.

• 1) Tasoittaaksemme ensimmäisellä ja toisella kerralla ostettujen appelsiinien määrän, vähennämme ostettujen tavaroiden määrää ja sen kustannuksia ensimmäisessä tapauksessa 2 kertaa, toisessa - 3 kertaa. Otetaan tehtävä, jolla on niin lyhyt kuntotietue
• 2kg sovellus. ja 2,5 kilon kielto. - 310 ruplaa,
• 2kg sovellus. ja 1kg kielto. - 220 ruplaa.
• 2) Kuinka monta banaania lisää nyt ostetaan: 2,5 - 1 = 1,5 (kg).
• 3) Selvitä, kuinka paljon 1,5 kg banaaneja maksaa: 310 - 220 = 90 (ruplaa).
• 4) Selvitä 1 kg banaanien hinta: 90: 1,5 = 60 (ruplaa).
• 5) Etsi 1 kg appelsiinien hinta: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (ruplaa).

Vastaus: 1 kg appelsiineja on 80 ruplaa, 1 kg banaaneja 60 ruplaa.

Kun ratkaiset ongelmia tietojen vertailumenetelmällä, et voi tehdä niin yksityiskohtaista analyysiä ja tallentaa, vaan tallentaa vain vertailua varten tehdyt muutokset ja kirjoittaa ne muistiin taulukon muodossa.

5. Useiden ehtojen yhdistäminen yhdeksi

Joskus voit päästä eroon tarpeettomista tuntemattomista yhdistämällä useita ehtoja yhdeksi.

Tehtävä. Turistit poistuivat leiriltä ja kävelivät aluksi 4 tuntia, sitten vielä 4 tuntia polkupyörällä tietyllä vakionopeudella ja siirtyivät 60 km pois leiristä. Toisella kerralla he lähtivät leiriltä ja ajoivat ensin polkupyöriä samalla nopeudella 7 tuntia, sitten kääntyivät vastakkaiseen suuntaan ja liikkuivat jalkaisin 4 tuntia, joutuivat 50 km:n etäisyydelle leiristä. Kuinka nopeasti turistit pyöräilivät?

Ongelmassa on kaksi tuntematonta: nopeus, jolla turistit ajoivat polkupyöriä, ja nopeus, jolla he kävelivät. Jos haluat sulkea pois yhden niistä, voit yhdistää kaksi ehtoa yhdeksi. Tällöin turistien 4 tunnissa kulkema matka ensimmäisen kerran kävellen eteenpäin on yhtä suuri kuin matka, jonka he kulkivat 4 tunnissa ja liikkuvat taaksepäin toisella kerralla. Siksi emme kiinnitä huomiota näihin etäisyyksiin. Tämä tarkoittaa, että matka, jonka turistit ajavat 4 + 7 = 11 (tunnissa) polkupyörällä, on 50 + 60 = 110 (km).

Sitten turistien nopeus polkupyörillä: 110: 11 = 10 (km/h).

Vastaus: Polkupyörät kulkevat 10 km/h nopeudella.

6. Pääsytapa

Oletusmenetelmän käyttö ongelmien ratkaisussa ei aiheuta vaikeuksia useimmille opiskelijoille. Siksi, jotta opiskelijat eivät muistaisi mekaanisesti tämän menetelmän vaiheiden kaaviota ja eivät ymmärtäisi väärin kullekin niistä suoritettujen toimien olemusta, opiskelijoille tulisi ensin näyttää kokeilumenetelmä ("väärä sääntö" ja "sääntö" muinaiset babylonialaiset”).

Käytettäessä näytteenottomenetelmää, erityisesti "vääräsääntöä", yhdelle tuntemattomista suureista annetaan ("sallittu") jokin arvo. Sitten, käyttäen kaikkia ehtoja, he löytävät toisen suuren arvon. Saatua arvoa verrataan ehdossa määritettyyn arvoon. Jos saatu arvo poikkeaa ehdossa annetusta, niin ensimmäinen määritetty arvo ei ole oikea ja sitä on suurennettava tai vähennettävä 1:llä, ja taas löydetään toisen arvon arvo. Joten on tarpeen tehdä, kunnes saamme toisen suuren arvon, kuten ongelman tilassa.

Tehtävä. Kassalla on 50 50 ja 10 kopikan kolikkoa, yhteensä 21 ruplaa. Selvitä, kuinka monta 50 000 kolikkoa kassalla oli erikseen. ja 10k.

Ratkaisu 1. (näytteenottomenetelmä)

Käytetään "muinaisten" babylonialaisten sääntöä. Oletetaan, että kassalla on yhtä suuret kolikot kutakin nimellisarvoa kohti, eli 25 kappaletta. Sitten rahasumma on 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k.) Tai 15 ruplaa. Mutta 21 ruplassa, eli enemmän kuin vastaanotettiin, 21 UAH - 15 ruplaa = 6 ruplaa. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen lisätä 50 kopekan kolikoiden määrää ja vähentää 10 kopekan kolikoiden määrää, kunnes saamme yhteensä 21 ruplaa. Kirjoitamme kolikoiden määrän ja kokonaismäärän muutoksen taulukkoon.

Kolikoiden määrä	Kolikoiden määrä	Rahamäärä	Rahamäärä	kokonaismäärä	Vähemmän tai suurempi kuin kunto
					Alle 6 ruplaa.
					Alle 5rub60k
					Kuten kunnossa

Kuten taulukosta näkyy, kassalla oli 40 50 kopekan kolikkoa ja 10 10 kopikan kolikkoa.

Kuten ratkaisussa 1 kävi ilmi, jos kassalla olisi yhtä suuria 50k kolikoita. ja 10k kukin, sitten hänellä oli yhteensä rahaa 15 ruplaa. On helppo nähdä, että jokainen kolikon vaihto on 10k. 50k kolikolla. lisää kokonaismäärää 40 000. Tämä tarkoittaa, että on selvitettävä, kuinka monta tällaista vaihtoa on tehtävä. Tätä varten selvitetään ensin, kuinka paljon rahaa on tarpeen lisätä kokonaismäärää:

21 - 15 hieroa. = 6 ruplaa. = 600 k.

Selvitetään kuinka monta kertaa tällainen vaihto on tehtävä: 600 k. : 40 k. = 15.

Sitten 50 k:lle tulee 25 +15 = 40 (kolikkoa) ja 10 k:lle 25 - 15 = 10.

Tarkastus vahvistaa, että rahan kokonaismäärä tässä tapauksessa on 21 ruplaa.

Vastaus: Kassalla oli 40 50 kopikan kolikkoa ja 10 10 kopikan kolikkoa.

Tarjottuaan opiskelijoille mahdollisuuden valita itsenäisesti erilaisia ​​arvoja 50 kopekan kolikoiden lukumäärälle, on tarpeen saattaa heidät ajatukseen, että rationaalisuuden kannalta paras on oletus, että kassalla oli vain samankokoisia kolikoita. nimellisarvo (esimerkiksi kaikki 50 50 kopekan kolikkoa tai kaikki 50 kolikkoa, kukin 10k). Tästä johtuen yksi tuntemattomista suljetaan pois ja korvataan toisella tuntemattomalla.

7. Jäännösmenetelmä

Tällä menetelmällä on joitain yhtäläisyyksiä ajattelun kanssa, kun ongelmia ratkaistaan ​​yrityksen ja erehdyksen avulla. Käytämme jäännösmenetelmää, kun ratkaistaan ​​yhdessä suunnassa liikkumisen ongelmia, eli silloin, kun on tarpeen löytää aika, jonka aikana ensimmäinen, suuremmalla nopeudella liikkuva kohde saavuttaa toisen kohteen, jolla on pienempi nopeus. 1 tunnissa ensimmäinen kohde lähestyy toista etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin niiden nopeuksien ero, eli yhtä suuri kuin "jäännös" nopeudesta, joka sillä on verrattuna toisen nopeuteen. Jotta löydettäisiin aika, jonka ensimmäinen kohde tarvitsee ylittääkseen etäisyyden, joka oli sen ja toisen välillä liikkeen alussa, on tarpeen määrittää, kuinka monta kertaa "jäännös" sijoitetaan tälle etäisyydelle.

Jos abstrahoitumme juonesta ja otamme huomioon vain ongelman matemaattisen rakenteen, niin se puhuu kahdesta tekijästä (molempien objektien liikkeen nopeus) tai näiden tekijöiden ja kahden tuotteen välisestä erosta (niiden kattamasta etäisyydestä) tai niiden erosta. Tuntemattomat kertoimet (aika) ovat samat ja ne on löydettävä. Matemaattisesti katsottuna tuntematon tekijä näyttää kuinka monta kertaa tunnettujen tekijöiden ero sisältyy tulojen eroon. Siksi tehtäviä, jotka ratkaistaan ​​jäännösmenetelmällä, kutsutaan ongelmiksi lukujen löytämiseksi kahdella erolla.

Tehtävä. Oppilaat päättivät liittää albumiin kuvia lomasta. Jos he kiinnittävät 4 valokuvaa jokaiselle sivulle, albumissa ei ole tarpeeksi tilaa 20 valokuvalle. Jos kiinnität 6 kuvaa jokaiselle sivulle, 5 sivua jää ilmaiseksi. Kuinka monta valokuvaa opiskelijat aikovat laittaa albumiin?

Tehtävän analyysi

Kuvien määrä pysyy samana ensimmäisessä ja toisessa liimausvaihtoehdossa. Ongelman kunnon mukaan se ei ole tiedossa, mutta se löytyy, jos tiedetään yhdelle sivulle sijoitettujen kuvien määrä ja albumin sivujen määrä.

Yhdelle sivulle liitettyjen valokuvien määrä tiedetään (ensimmäinen kerroin). Albumin sivumäärä on tuntematon ja pysyy ennallaan (toinen kerroin). Koska tiedetään, että 5 sivua albumista jää vapaaksi toisella kerralla, voit katsoa kuinka monta kuvaa lisää albumiin voi liittää: 6 * 5 = 30 (kuvaa).

Joten lisäämällä kuvien määrää yhdellä sivulla 6 - 4 = 2, liitettyjen valokuvien määrä kasvaa 20 + 30 = 50.

Koska toisella kerralla kullekin sivulle liitettiin kaksi valokuvaa lisää ja yhteensä 50 kuvaa lisää, löydämme albumin sivumäärän: 50: 2 = 25 (s.).

Kuvia oli siis yhteensä 4 * 25 + 20 = 120.

Vastaus: Albumissa oli 25 sivua ja 120 valokuvaa liitettiin.

Peruskoulun opettajan on vain tiedettävä, millaisia ​​tehtäviä on tarjolla. Tänään opit yksinkertaisista tekstin aritmeettisista ongelmista. Yksinkertaiset tekstiaritmeettiset tehtävät ovat tehtäviä, jotka ratkaistaan ​​yhdellä aritmeettisella operaatiolla.. Kun luemme tehtävän, yhdistämme sen automaattisesti johonkin, ja tässä käy heti selväksi, millä toimenpiteellä se pitäisi ratkaista.

Annan sinulle yksinkertaisten tekstiongelmien luokittelun lisäksi myös esimerkkejä niistä ja puhun myös tekstiongelmien ratkaisemisesta aritmeettisella tavalla. Otin kaikki esimerkit 2. luokan matematiikan oppikirjoista (osa 1, osa 2), joita opetetaan Valko-Venäjän kouluissa.

Kaikki yksinkertaiset aritmeettiset tehtävät on jaettu kahteen suureen ryhmään:

- AD I (+/-), eli ne, jotka ratkaistaan ​​ensimmäisen asteen aritmeettisilla operaatioilla (lisäys tai vähennys);

- AD II (* /:), eli ne, jotka ratkaistaan ​​toisen asteen aritmeettisilla operaatioilla (kerto- tai jakolasku).

Harkitse yksinkertaisten tekstiaritmeettisten tehtävien ensimmäistä ryhmää (AD I):

1) Tehtävät, jotka paljastavat lisäyksen erityisen merkityksen (+)

Juoksukilpailuihin osallistui 4 tyttöä ja 5 poikaa. Kuinka monta oppilasta luokasta osallistui kilpailuun?

Kun Sasha ratkaisi 9 esimerkkiä, hänen oli ratkaistava vielä 3 esimerkkiä. Kuinka monta esimerkkiä Sashan piti ratkaista?

Tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​lisäämällä: a+b=?

2) Tehtävät, jotka paljastavat vähennyksen (-) merkityksen

Äiti leipoi 15 piirakkaa. Kuinka monta piirakkaa jää jäljelle 10 piirakan syömisen jälkeen?

Purkissa oli 15 lasillista mehua. Illallisella joimme 5 lasillista. Kuinka monta lasillista mehua on jäljellä?

Tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​vähentämällä: a-b=?

3) Tehtävät komponenttien ja yhteenlasku- tai vähennystoiminnon tuloksen välisestä suhteesta:

a) löytää tuntematon ensimmäinen termi (? + a = b)

Poika laittoi laatikkoon 4 kynää. Niitä oli 13. Kuinka monta kynää laatikossa oli alun perin?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä vähentää tunnettu 2. termi toiminnan tuloksesta: b-a=?

b) löytää tuntematon 2. termi (a+?=b)

13 lasillista vettä kaadettiin kattilaan ja kattilaan. Kuinka monta lasillista vettä kaadettiin kattilaan, jos kattilaan kaadettiin 5 lasillista?

Tämän tyyppiset ongelmat ratkaistaan ​​vähentämällä, tunnettu 1. termi vähennetään toiminnan tuloksesta: b-a=?

c) löytää tuntematon minuutti (?-a=b)

Olga keräsi kimpun. Hän laittoi 3 väriä maljakkoon ja hänellä on 7 kukkaa jäljellä. Montako kukkaa oli kimpussa?

Aritmeettisesti tämän tyyppisten tekstitehtävien ratkaisu suoritetaan laskemalla yhteen toiminnan tulos ja aliosa: b+a=?

d) löytää tuntematon aliosa (а-?=b)

Ostin 2 tusinaa munaa. Kun muutama muna otettiin leivontaan, niitä oli jäljellä 15. Kuinka monta munaa otettiin?

Nämä tehtävät ratkaistaan ​​vähentämällä: vähennä toiminnan tulos pelkistetystä: a-b=?

4) Tehtävät useiden yksiköiden vähentämiseen/lisäykseen suorassa, epäsuorassa muodossa

esimerkkejä useiden yksiköiden vähentämisen tehtävistä suorassa muodossa:

Yhdessä laatikossa oli 20 kg banaaneja ja toisessa - 5 vähemmän. Kuinka monta kiloa banaaneja oli toisessa laatikossa?

Ensimmäinen luokka keräsi 19 laatikkoa omenoita ja toinen - 4 laatikkoa vähemmän. Kuinka monta laatikkoa omenaa toisen luokan poimii?

Nämä tehtävät ratkaistaan ​​vähentämällä (a-b=? )

En löytänyt matematiikan 2. luokan oppikirjasta esimerkkejä tehtävistä epäsuorassa vähentämisessä sekä suorassa tai epäsuorassa muodossa. Kirjoita tarvittaessa kommentteihin - ja täydentän artikkelia omilla esimerkeilläni.

5) Tehtävät erojen vertailua varten

Hanhen massa on 7 kg ja kanan 3 kg. Kuinka monta kiloa kanan paino on pienempi kuin hanhen paino?

Ensimmäisessä laatikossa on 14 kynää ja toisessa 7. Kuinka monta kynää on ensimmäisessä laatikossa enemmän kuin toisessa?

Tekstitehtävien ratkaisu erotusvertailua varten tehdään vähentämällä pienempi luku suuremmasta luvusta.

Olemme lopettaneet 1. ryhmän yksinkertaisten tekstiaritmeettisten tehtävien käsittelyn ja siirrymme 2. ryhmän tehtäviin. Jos et ymmärtänyt jotain, kysy kommenteissa.

Toinen ryhmä yksinkertaisia ​​tekstiaritmeettisia tehtäviä (AD II):

1) Tehtävät, jotka paljastavat kertolaskun erityisen merkityksen

Kuinka monta jalkaa kahdella koiralla on? Kolme koiraa?

Talon edessä on kolme autoa. Jokaisessa autossa on 4 pyörää. Kuinka monta pyörää kolmella autolla on?

Nämä tehtävät ratkaistaan ​​kertomalla: a*b=?

2) Tehtävät, jotka paljastavat jaon erityisen merkityksen:

a) sisältö

Lapsille jaettiin 10 kakkua, kullekin kaksi. Kuinka moni lapsi sai kakkuja?

2 kg pussit sisältävät 14 kg jauhoja. Kuinka monta tällaista pakettia?

Näissä tehtävissä selvitetään, kuinka monta osaa saatiin yhtä sisällöltään.

b) yhtä suuressa osassa

10 cm pitkä nauha leikattiin kahteen yhtä suureen osaan. Mikä on kunkin kappaleen pituus?

Nina jakoi 10 kakkua 2 lautaselle tasan. Kuinka monta kakkua on yhdellä lautasella?

Ja näissä ongelmissa selvitetään, mikä on yhden yhtäläisen osan sisältö.

Oli miten oli, kaikki nämä tehtävät ratkaistaan ​​jaolla: a:b=?

3) Tehtävät komponentin ja kerto- ja jakolaskun välisestä suhteesta:

a) löytääksesi tuntemattoman ensimmäisen tekijän: ?*а=b

Oma esimerkki:

Useita laatikoita, joissa 6 kynää. Laatikossa on 24 kynää. Kuinka monta laatikkoa?

Se ratkaistaan ​​jakamalla tulo tunnetulla toisella tekijällä: b:a=?

b) löytääksesi tuntemattoman toisen tekijän: a*?=b

Kahvilaan mahtuu 3 henkilöä yhden pöydän ääreen. Kuinka monta näistä pöydistä on varattu, jos sinne tulee 15 henkilöä?

Se ratkaistaan ​​jakamalla tulo tunnetulla ensimmäisellä kertoimella: b:a=?

c) löytääksesi tuntemattoman osingon: ?:a=b

Oma esimerkki:

Kolya toi luokalle makeisia ja jakoi ne tasaisesti kaikkien oppilaiden kesken. Luokassa on 16 lasta. Jokainen sai 3 karkkia. Kuinka monta makeista Kolya toi?

Se ratkaistaan ​​kertomalla osamäärä jakajalla: b*a=?

d) tuntemattoman jakajan löytäminen: a:?=b

Oma esimerkki:

Vitya toi luokalle 44 makeista ja jakoi ne tasan kaikkien oppilaiden kesken. Jokainen sai 2 karkkia. Kuinka monta oppilasta luokassa on?

Se ratkaistaan ​​jakamalla osinko osamäärällä: a:b=?

4) Tehtävät suurentamiseen/vähentämiseen useita kertoja suorassa tai epäsuorassa muodossa

Esimerkkejä tällaisista tekstiaritmeettisista ongelmista ei löytynyt 2. luokan oppikirjasta.

5) Tehtävät moninkertaista vertailua varten

Ratkaise jakamalla suurempi pienemmällä.

Ystävät, yllä oleva yksinkertaisten tekstitehtävien luokittelu on vain osa kaikkien sanatehtävien laajaa luokittelua. Lisäksi on vielä tehtäviä prosenttiosuuksien löytämiseen, joista en kertonut. Voit oppia tästä kaikesta tästä videosta:

Ja kiitollisuuteni pysyy kanssasi!

Algebrallinen menetelmä tekstiongelmien ratkaisemiseksi aritmeettisen tavan löytämiseksi niiden ratkaisemiseksi

Nuorten tekstitehtävien ratkaiseminenshkolniksia voidaan pitää välineenä ja opetusmenetelmänä, jonka käytön aikana omaksutaan matematiikan alkukurssin sisältö: matemaattiset käsitteet, aritmeettisten operaatioiden merkitys ja niiden ominaisuudet, laskennallisten taitojen ja käytännön taitojen muodostuminen.

Opettajan, joka ohjaa koululaisten ongelmanratkaisuprosessia, tulee ensinnäkin kyetä ratkaisemaan ongelmia itse, ja hänellä on oltava tarvittavat tiedot ja taidot opettaa tämä muille.

Ongelmanratkaisukyky on opettajan matemaattisen valmistautumisen perusta nuorempien opiskelijoiden tekstitehtävien ratkaisemiseen.

Yleisimmistä tekstitehtävien (algebrallinen, aritmeettinen ja geometrinen) ratkaisumenetelmistä yleisimmin käytetty perusluokilla useimpiin ongelmiin onaritmeettinen menetelmä, mukaan lukien erilaisia ​​tapoja ratkaista ne. Opettajalle tämä ongelmanratkaisumenetelmä on kuitenkin monissa tapauksissa vaikeampi kuin algebrallinen. Tämä johtuu ensisijaisesti siitä, mistälukion matematiikan kurssi

aritmeettinen kurssi, joka tarjosi koululaisten kyvyn muodostua tehtävien ratkaisemiseksi aritmeettisella menetelmällä, oli käytännössä suljettu pois. Toiseksi yliopiston matematiikan kurssilla siihen ei myöskään kiinnitetä riittävästi huomiota.

Samaan aikaan tarve ratkaista tehtäviä aritmeettisella menetelmällä määräytyy nuoremman opiskelijan matemaattisten tietojen perusteella, mikä ei anna heidän ratkaista useimpia ongelmia algebran elementtien avulla.

Opettaja pystyy pääsääntöisesti ratkaisemaan minkä tahansa tehtävän algebrallisesti, mutta kaikki eivät pysty ratkaisemaan tehtäviä aritmeettisesti.

Samalla nämä menetelmät liittyvät toisiinsa, ja opettajan ei tulisi vain huomata tätä suhdetta, vaan myös käyttää sitä työssään. Tässä artikkelissa yritämme näyttää joidenkin tehtävien ratkaisun esimerkillä yhteyden algebrallisten ja aritmeettisten menetelmien välillä tehtävien ratkaisemiseksi, jotta opettaja voi löytää aritmeettisen tavan ratkaista ongelma ratkaisemalla se algebrallisesti.

Tehdään muutama alustava huomio:

1. Ei aina (eikä läheskään aina) algebrallisella menetelmällä ratkaistua tekstitehtävää voida ratkaista aritmeettisella menetelmällä. On muistettava, että ongelma voidaan ratkaista aritmeettisella menetelmällä, kun sen algebrallinen malli pelkistetään lineaariseksi yhtälöksi tai lineaariyhtälöjärjestelmäksi.

2. Lineaarisen yhtälön muoto ei aina "ehdota" aritmeettista tapaa ratkaista ongelma, mutta yhtälön lisämuunnokset mahdollistavat sen löytämisen. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu antaa mielestämme lähes välittömästi mahdollisuuden hahmotella päättelyn kulku ongelman ratkaisemiseksi aritmeettisella tavalla.

Harkitse esimerkkejä.

Esimerkki 1 Ongelma on pelkistetty yhtälöön

ystävällinen ah + b= s.

Tehtävä. Kello 8 aamulla juna lähti paikasta A pisteeseen B nopeudella 60 km/h. Klo 11 toinen juna lähti pisteestä B häntä vastaan ​​70 km/h nopeudella. Mihin aikaan junat kohtaavat, jos pisteiden välinen etäisyys on 440 km?

Algebrallinen menetelmä johtaa yhtälöön: (60 + 70) x + 60 3 \u003d 440 tai 130x + 18 \u003d 440, missä x tuntia on toisen junan aika ennen kokousta. Sitten: 130x = 440- 180= 130

x = 260, x =2 (h).

Yllä olevat päättelyt ja laskelmat "ehdottavat" seuraavaa aritmeettista tapaa ratkaista ongelma. Etsi: junan nopeuksien summa (60 + 70 = 130 (km / h), ensimmäisen junan aika ennen toisen junan lähtöä (11-8 \u003d 3 (h), ensimmäisen junan kulkema matka 3 tunnissa (60 3 \u003d 180 ( km), junien kohtaamismatka ennen kokousta (440 - 180 = = 260 (km), toisen junan aika ennen kokousta (260: 130)-2 (h)).

Tulevaisuudessa kunkin tehtävän ratkaisun vaiheet algebrallisella menetelmällä ja vastaavat tehtävän ratkaisun vaiheet aritmeettisella menetelmällä kirjoitetaan rinnakkain taulukkoon, jonka avulla voit visuaalisesti jäljittää, kuinka algebralliset muunnokset yhtälöiden ratkaisemisen aikana jotka ovat tekstitehtävän malli, avaavat aritmeettisen ratkaisumenetelmän. Joten tässä tapauksessa meillä on seuraava taulukko (katso taulukko 1).

pöytä 1

Olkoon x tuntia toisen junan aika ennen kokousta. Tehtävän ehdon mukaan saamme yhtälön:

(60+70)-x+60*3=440 tai 130x+180=440

Muunnetaan yhtälö:

130x=440-180 130x=260.

Etsitään tunnetut;

X = 260:130; x=2

Selvitetään junien nopeuksien summa: 60+70=130(km/h).

Etsitään ensimmäisen junan aika ennen toisen junan lähtöä: 11-8=3(h). Etsi ensimmäisen junan 3 tunnin matka: 60*3=180(km)

Selvitetään junille jäljellä oleva matka ennen tapaamista: 440-180=260(km).

Etsitään toisen junan kulkuaika: 260:130=2(h).

Käyttämällä taulukon 1 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu.

1. 1. 3 (h)-ensimmäinen juna oli matkalla ennen toisen alkua;

1. 3 = 180 (km) - ensimmäinen juna ohitti 3 tunnissa;

3) 440 - 180 \u003d 260 (km) - junien kulkema etäisyys liikkuessaan samanaikaisesti;

1. 70 = 130 (km/h) - junan lähestymisnopeus;

1. 130 \u003d 2 (h) - toisen junan liikeaika;

6) 11 + 2 = 13 (h) - tällä hetkellä junat kohtaavat.

Vastaus: klo 13.00.

Esimerkki 2 a 1 x + v 1 \u003d a x + b

Tehtävä. Koululaiset ostivat 4 kirjaa, minkä jälkeen heillä oli 40 ruplaa jäljellä. Jos he ostaisivat 7 samaa kirjaa, heillä olisi 16 ruplaa jäljellä. Kuinka paljon yksi kirja maksaa?

Algebrallinen menetelmä johtaa yhtälöön:4x + 40 = 7x +16, missä X - yhden kirjan hinta. Tämän yhtälön ratkaisemisen aikana teemme seuraavat laskelmat: 7 x - 4X \u003d 40-16 -> Zx \u003d 24 \u003e x \u003d 8, jotka yhdessä yhtälön laadinnassa käytetyn päättelyn kanssa johtavat aritmeettiseen tapaan ratkaista ongelma. Selvitetään: kuinka monta kirjaa ostettiin lisää: 7-4 = 3 (kirja); kuinka paljon vähemmän rahaa jää jäljelle, ts. kuinka paljon enemmän rahaa käytettiin: 40 - 16 = 24 (p); kuinka paljon yksi kirja maksaa: 24:3 = 8 (p). Yllä olevat huomiot on esitetty yhteenvetona taulukossa 2.

Ongelmanratkaisun vaiheet

algebrallinen menetelmä

Tehtävän ratkaisun vaiheet aritmeettisella menetelmällä

Olkoon x yhden kirjan hinta. Tehtävän mukaan

saamme yhtälön: 4x+40=7x+16.

Muunnetaan yhtälö:

7x-4x=40-16 (7-4)x=24 3x=24

Etsitään tunnetut:

X = 24:3; x=8

Hinta neljästä kirjasta ja vielä 40r. vastaa 7 kirjan ja toisen 70 r:n hintaa.

Selvitetään kuinka monta kirjaa he ostaisivat lisää: 7-4=3(kn). Selvitetään kuinka paljon he maksaisivat enemmän rahaa: 40-16 = 24 (s.).

Etsitään yhden kirjan hinta: 24:3=8(r.).

taulukko 2

Käyttämällä taulukon 2 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu:

1) 7-4=3 (kirja) - niin paljon kirjoja ostettaisiin enemmän;

1. 16 \u003d 24 (r.) - niin monta ruplaa, että he maksaisivat enemmän;

3) 24: 3 = 8 (s.) - on yksi kirja.

Vastaus: 8 ruplaa.

Esimerkki 3 Ongelma on pelkistetty muodon yhtälöön:vai niin + b x + cx = d

Tehtävä. Turisti matkusti 2200 km, ja laivalla hän matkusti kaksi kertaa enemmän kuin autossa ja junassa 4 kertaa enemmän kuin laivalla. Kuinka monta kilometriä turisti kulki erikseen laivalla, autolla ja junalla?

Käyttämällä taulukon 3 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu.

Otetaan matkan, jonka turisti kulki autolla, yhtenä osana:

1 2 \u003d 2 (h) - putoaa matkalle, jonka turisti kulki veneessä;

2) 2 4 \u003d 8 (h) - kuuluu matkan, jonka turisti matkusti junalla;

3) 1+2+8=11(h) - putoaa koko matkalle

Taulukko 3

Olkoon x kilometriä veneellä kuljettu matka.

Tehtävän ehdon mukaan saamme yhtälön: x + 2x + 2 * 4x \u003d 2200.

Muunnetaan yhtälö:

(1+2+8)x=2200 11x=2200.

Etsitään tunnetut:

X = 2200:11; x = 200

Otetaan matka, jonka turisti kulki autolla (ainakin) 1 osaksi. Sitten matka, jonka hän kulki aluksella, vastaa kahta osaa ja junassa - 2 - 4 osaa. Tämä tarkoittaa, että turistin koko polku (2200 km) vastaa 1+2+8=11 (tuntia).

Selvitetään kuinka monta osaa muodostaa turistin koko polun: 1 + 2 + 8 = 11 (tuntia).

Selvitetään kuinka monta kilometriä putoaa yhteen osaan: 2200:11=200 (km).

1. 200: 11= 200 (km) - turistin autolla kulkema matka;

1. 2 = 400 (km) - turistin veneessä kulkema matka;

6) 200 -8 = 1 600 (km) - turistin junalla matkustama matka.

Vastaus:200 km, 400 km, 1600 km.

Esimerkki 4 Ongelma on pelkistetty yhtälöönystävällinen (X + a) sisään = cx + d.

Tehtävä. Esityksen lopussa 174 katsojaa teatterista hajaantui jalkaisin ja loput raitiovaunuissa 18 autolla, ja jokaiseen autoon mahtui 5 henkilöä enemmän kuin siihen oli paikkoja. Jos teatterista raitiovaunulla lähtevät katsojat pääsisivät siihen istumapaikkojen mukaan, tarvittaisiin 3 autoa lisää, ja viimeisessä olisi 6 tyhjää paikkaa. Kuinka monta katsojaa oli teatterissa?

Taulukko 4

Olkoon jokaisessa raitiovaunussa x paikkaa. Sitten meillä on tehtävän ehdon mukaan yhtälö: (x+5)*18=x*(18+3)-6.

Muunnetaan yhtälö: 21x - 18x \u003d 90 + 6 tai 3x \u003d 96.

Etsitään tuntematon:

X = 96:3; x = 32.

Jokaisessa vaunussa oli 5 henkilöä enemmän kuin siinä oli paikkoja. 18 autossa - 5 * 18 = 90 ihmistä enemmän. 90 ihmistä meni 3 lisäautoon ja vielä 6 tyhjää paikkaa. Kolmessa autossa on siis 90 + 6 = 96 paikkaa.

Etsi yhden auton istuinmäärä:

96: 3 = 32 (m.)

Käyttämällä taulukon 4 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu:

1)5 18 \u003d 90 (henkilöä) - niin paljon ihmisiä enemmän kuin oli paikkoja 18 autossa;

90 + 6 = 96 (m) - kolmessa autossa;

96: 3 = 32 (m) - yhdessä autossa;

32 + 5 = 37 (henkilöä) - oli jokaisessa 18 autossa;

37 18 \u003d 666 (henkilöä) - jätetty raitiovaunuihin;

666 + 174 = 840 (henkilöä) - oli teatterissa.

Vastaus: 840 katsojaa.

Esimerkki 5 Ongelma pelkistetään yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on: x + y = a, x – y =b.

Tehtävä. Soljellinen vyö maksaa 12 ruplaa, ja vyö on 6 ruplaa kalliimpi kuin solki.

Paljonko vyö maksaa, kuinka paljon solki?

Algebrallinen menetelmä johtaa yhtälöjärjestelmään:

x+y=12,

x-y \u003d 6 missä x: ruplaa - vyön hinta,kloruplaa - soljen hinta.

Tämä järjestelmä voidaan ratkaista korvausmenetelmällä: ilmaisemalla yksi tuntematon toisella. Ensimmäisestä yhtälöstä, korvaamalla sen arvo toisella yhtälöllä, ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä tuntemattomalla, etsi toinen tuntematon. Tässä tapauksessa emme kuitenkaan voi "tuntea" aritmeettista tapaa ratkaista ongelma.

Kun olet lisännyt järjestelmän yhtälöt, saamme välittömästi yhtälön2x = 18.
Mistä löydämme vyön hinnanx = 9 (R.). Tämä menetelmä järjestelmän ratkaisemiseksi antaa meille mahdollisuuden saada seuraavan aritmeettisen päättelyn. Oletetaan, että solki maksaa saman verran kuin vyö. Sitten solki vyöllä (tai 2 vyötä) maksaa 12 + 6 = 18 (r.) (koska itse asiassa solki maksaa 6 ruplaa vähemmän). Siksi yhden vyön arvo on 18:2=9 (s.).

Jos vähennämme termi kerrallaan ensimmäisestä yhtälöstä toisesta, saamme yhtälön 2klo \u003d 6, josta y \u003d 3 (r.). Tässä tapauksessa, kun ongelma ratkaistaan ​​aritmeettisella menetelmällä, on väitettävä seuraavasti. Oletetaan, että vyö maksaa saman verran kuin solki. Silloin solki ja vyö (tai kaksi solkia) maksavat 12-6=6 (s.) (koska vyö maksaa itse asiassa 6 ruplaa enemmän).
Siksi yksi solki maksaa 6:2=3 (s.)

Taulukko 5

Olkoon x ruplaa vyön hinta, y ruplaa soljen hintaa. Tehtävän ehdon mukaan saamme yhtälöjärjestelmän:

X + y \u003d 12,

X - y \u003d 6.

Lisäämällä järjestelmän yhtälöt termeiltä saamme: 2x \u003d 12 + 6 2x \u003d 18.

Etsi tuntematon:

x = 18:2; x = 9

Vyö soljella maksoi 12r. Ja vyö on 6r kalliimpi kuin solki.

Tasaa tuntematon:

Oletetaan, että solki maksaa saman verran kuin vyö, silloin kaksi vyötä maksaa 12 + 6 = 18 (r.).

Katso vyön hinta:

18:2 = 9 (s.).

Käyttämällä taulukon 5 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu:

12 + 6 = 18 (r.) - kaksi vyötä maksaisi, jos solki maksaisi saman verran kuin vyö;

2) 18:2=9 (s.) - on yksi vyö;

3) 12-9=3 (s.) - on yksi solki.

Vastaus: 9 ruplaa, 3 ruplaa.

Esimerkki 6 Ongelma on pelkistetty yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on:

ax + bu = c 1x+y=c2

Tehtävä. Retkelle 46 koululaista valmisteli neli- ja kuusipaikkaisia ​​veneitä. Kuinka monta noita ja muita veneitä oli, jos kaikki kaverit majoittuivat kymmeneen veneeseen eikä tyhjiä paikkoja ollut jäljellä ?

Taulukko 6

Olkoon x nelipaikkaisten veneiden lukumäärä ja y kuusipaikkaisten veneiden lukumäärä. Tehtävän ehdon mukaan meillä on yhtälöjärjestelmä:

x + y = 10,

4x + 6v = 46.

Kerro ensimmäisen yhtälön molemmat puolet neljällä.

Meillä on:

4x + 4v = 40.

Vähennämme (termi kerrallaan) tuloksena olevan yhtälön toisesta. Meillä on:

(6 - 4) v \u003d 46 - 40 tai 2 v \u003d 6.

Etsitään tuntematon:

Y = 6:2; y = 3.

Veneitä on kaikkiaan 10 ja niihin mahtui 46 koululaista.

Tasaa tuntemattomat.

Oletetaan, että kaikki veneet olivat nelipaikkaisia. Silloin m niihin mahtuisi 40 henkilöä.

Selvitetään kuinka monta henkilöä kuusipaikkaiseen veneeseen mahtuu enemmän kuin nelipaikkaiseen: 6 - 4 = 2 (hlöä). Selvitetään kuinka monelle koululaiselle ei ole tarpeeksi paikkoja, jos kaikki veneet ovat nelipaikkaisia: 46 - 40 \u003d 6 (henkilöä).

Selvitetään kuusipaikkaisten veneiden lukumäärä: 6: 2 = 3 (kpl).

Käyttämällä taulukon 6 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu:

1) 4-10 \u003d 40 (henkilöä) - mahtuisi, jos kaikki veneet olisivat nelipaikkaisia;

2) 6 - 4 \u003d 2 (henkilöä) - niin monelle ihmiselle kuusipaikkaiseen veneeseen mahtuu enemmän kuin nelipaikkaiseen;

3) 46 - 40 - 6 (hlöä) - niin monelle opiskelijalle ei ole tarpeeksi tilaa, jos

kaikki veneet ovat nelinkertaisia;

4) 6: 2 = 3 (kpl.) - oli kuusipaikkaisia ​​veneitä;

5) 10 - 3 = 7 (kpl.) - oli nelipaikkaisia ​​veneitä.

Vastaus: 3 kuusipaikkaista venettä, 7 nelipaikkaista.

Esimerkki 7 Ongelma pelkistetään yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on: a x+b y=c1; a x + b y \u003d c2

Tehtävä. 3 kynää ja 4 muistikirjaa maksavat 26 ruplaa, ja 7 kynät ja 6 samanlaista muistikirjaa maksavat 44 ruplaa. Paljonko muistilehtiö maksaa?

Taulukko 7

Olkoon x ruplaa kynän hinta ja y ruplaa muistikirjan hinta. Tehtävän ehdon mukaan saamme yhtälöjärjestelmän:

3 x + 4 v \u003d 26,

7 x + 6 v = 44.

Kerro ensimmäisen yhtälön molemmat puolet 7:llä. Saamme:

21 x + 28 v \u003d 182,

21 x + 18 v = 132.

Vähennä (termi kerrallaan) ensimmäisestä yhtälöstä toinen.

Meillä on:

(28 - 18) v \u003d 182 - 132 tai 10 v \u003d 50.

Etsitään tuntematon:

Y \u003d 50: 10, y \u003d 5.

3 kynää ja 4 muistilehteä maksavat 26 ruplaa. 7 kynää ja 6 muistikirjaa maksavat 44 ruplaa.

Tasaa kynien määrä kahdessa ostossa. Tätä varten etsitään lukujen 3 ja 7 pienin kerrannainen (21). Sitten ensimmäisen oston seurauksena ostettiin 21 kynää ja 28 muistikirjaa ja toinen - 21 kynää ja 18 muistikirjaa. Katsotaanpa kunkin oston hinta tässä tapauksessa:

26 * 7 \u003d 182 (r.), 44 * 3 = 132 (r.).

Katsotaanpa, kuinka monta muistikirjaa ostettiin lisää ensimmäistä kertaa:

28 - 18 \u003d 10 (kpl.).

Selvitä, kuinka paljon enemmän maksaisit ensimmäisestä ostoksesta:

182 - 132 \u003d 50 (s.).

Selvitä, kuinka paljon Notepad maksaa:

50: 10 = 5 (s.).

Käyttämällä taulukon 7 tietoja saadaan aritmeettinen ratkaisu:

1) 26 7 \u003d 182 (s.) - on 21 kynää ja 28 muistikirjaa;

2) 44 3 \u003d 132 (s.) - on 21 kynää ja 18 muistikirjaa;

3) 28 - 18 \u003d 10 (kpl.) - niin monta muistikirjaa ensimmäisessä ostossa olisi enemmän kuin toisessa;

4) 182 - 132 = 50 (s.) - muistikirjoja on 10;

5) 50: 10=5 (s.) - on muistivihko.

Vastaus: 5 ruplaa.

Olemme tarkastelleet tietyntyyppisiä tekstitehtäviä, joita löytyy eri matematiikan oppikirjoista ala-asteille. Huolimatta näennäisestä yksinkertaisuudesta muodostaa yhteys algebrallisten ja aritmeettisten menetelmien välillä, tämä tekniikka vaatii silti huolellista harjoittelua opiskelijoiden kanssa käytännön tunneilla ja opettajan huolellista työtä valmistautuessaan itse oppituntiin.

1. Yleisiä huomioita tehtävien ratkaisusta algebrallisella menetelmällä.

2. Liikkumistehtävät.

3. Työtehtävät.

4. Seosten ja prosenttiosuuksien tehtävät.

Algebrallisen menetelmän avulla etsitään aritmeettinen tapa ratkaista tekstitehtävät.

1. Kun tehtäviä ratkaistaan ​​algebrallisella menetelmällä, halutut suureet tai muut suureet, joista on mahdollista määrittää halutut, merkitään kirjaimilla (yleensä x, y,z). Kaikki riippumattomat suhteet tiedon ja tuntemattomien suureiden välillä, jotka ovat joko suoraan muotoiltuja ehtoon (sanallisessa muodossa) tai johtuvat ongelman merkityksestä (esimerkiksi fysikaalisista laeista, joita tarkasteltavat suureet noudattavat) tai seuraavat ehto ja jotkut perustelut, kirjoitetaan epätasa-arvon muodossa. Yleensä nämä suhteet muodostavat tietyn sekajärjestelmän. Erityistapauksissa tämä järjestelmä ei saa sisältää epäyhtälöitä tai yhtälöitä tai se voi koostua vain yhdestä yhtälöstä tai epäyhtälöstä.

Tehtävien ratkaisu algebrallisella menetelmällä ei ole yhden ainoan riittävän yleismaailmallisen järjestelmän alainen. Siksi kaikki kaikkiin tehtäviin liittyvät viittaukset ovat luonteeltaan yleisimpiä. Käytännön ja teoreettisten kysymysten ratkaisemisessa nousevilla tehtävillä on omat yksilölliset ominaispiirteensä. Siksi niiden tutkimus ja ratkaisu ovat luonteeltaan mitä monipuolisimpia.

Pysähdytään ongelmien ratkaisemiseen, joiden matemaattinen malli on annettu yhtälöllä, jossa on yksi tuntematon.

Muista, että tehtävä ongelman ratkaisemiseksi koostuu neljästä vaiheesta. Ensimmäisen vaiheen työ (ongelman sisällön analyysi) ei riipu valitusta ratkaisumenetelmästä eikä siinä ole perustavanlaatuisia eroja. Toisessa vaiheessa (kun etsitään tapaa ratkaista ongelma ja laaditaan suunnitelma sen ratkaisemiseksi), käytettäessä algebrallista ratkaisumenetelmää, suoritetaan seuraavat: valitaan pääsuhteen laatiminen. yhtälö; tuntemattoman valinta ja sen nimityksen käyttöönotto; pääsuhteeseen sisältyvien määrien ilmaisu tuntemattoman ja datan kautta. Kolmas vaihe (ongelman ratkaisusuunnitelman toteuttaminen) sisältää yhtälön laatimisen ja sen ratkaisun. Neljäs vaihe (ongelman ratkaisun tarkistaminen) suoritetaan tavallisella tavalla.

Yleensä kirjoitettaessa yhtälöitä, joissa on yksi tuntematon X noudata seuraavia kahta sääntöä.

sääntö minä . Yksi näistä määristä ilmaistaan ​​tuntemattomana X ja muut tiedot (eli laaditaan yhtälö, jossa yksi osa sisältää tietyn arvon ja toinen sisältää saman arvon ilmaistuna X ja muut annetut määrät).

sääntö II . Samalle suurelle käännetään kaksi algebrallista lauseketta, jotka sitten rinnastetaan toisiinsa.

Ulkoisesti näyttää siltä, ​​​​että ensimmäinen sääntö on yksinkertaisempi kuin toinen.

Ensimmäisessä tapauksessa on aina laadittava yksi algebrallinen lauseke ja toisessa kaksi. Usein on kuitenkin ongelmia, joissa on kätevämpää muodostaa kaksi algebrallista lauseketta samalle suurelle kuin valita jo tunnettu lauseke ja laatia sille yksi lauseke.

Tekstiongelmien ratkaisuprosessi algebrallisella tavalla suoritetaan seuraavan algoritmin mukaan:

1. Valitse ensin suhde, jonka perusteella yhtälö laaditaan. Jos tehtävässä on enemmän kuin kaksi suhdetta, niin yhtälön laadinnan perustaksi tulee ottaa suhde, joka muodostaa jonkin yhteyden kaikkien tuntemattomien välille.

Sitten valitaan tuntematon, jota merkitään vastaavalla kirjaimella.

Kaikki yhtälön laatimiseen valittuun suhteeseen sisältyvät tuntemattomat suureet on ilmaistava valitulla tuntemattomalla, joka perustuu muihin tehtävään sisältyviin suhteisiin, paitsi pääasialliseen.

4. Näistä kolmesta operaatiosta seuraa suoraan yhtälön laatiminen verbaalisen tietueen suunnitteluna matemaattisten symbolien avulla.

Keskeinen paikka lueteltujen operaatioiden joukossa on yhtälöiden laatimisen päärelaation valinta. Käsitellyt esimerkit osoittavat, että pääsuhteen valinta on ratkaiseva yhtälöiden muotoilussa, tuo loogista harmoniaa ongelman joskus epämääräiseen sanalliseen tekstiin, antaa luottamusta orientaatioon ja suojaa kaoottisilta toiminnoilta ilmaista kaikki suureet, jotka sisältyvät suureen. ongelman tietojen ja haluttujen kautta.

Algebrallinen ongelmanratkaisumenetelmä on erittäin käytännönläheinen. Sen avulla he ratkaisevat monenlaisia ​​tehtäviä tekniikan, maatalouden ja arkielämän aloilta. Opiskelijat käyttävät yhtälöitä jo lukiossa fysiikan, kemian ja tähtitieteen opiskelussa. Siellä missä aritmetiikka osoittautuu voimattomaksi tai vaatii parhaimmillaan äärimmäisen raskasta päättelyä, siellä algebrallinen menetelmä johtaa helposti ja nopeasti vastaukseen. Ja jopa niin kutsutuissa "tyypillisissä" aritmeettisissa ongelmissa, jotka on suhteellisen helposti ratkaistavissa aritmeettisesti, algebrallinen ratkaisu on yleensä sekä lyhyempi että luonnollisempi.

Algebrallisen tehtävien ratkaisumenetelmän avulla on helppo osoittaa, että joillakin ongelmilla, jotka eroavat toisistaan ​​vain kaaviossa, ei ole vain samoja suhteita datan ja haluttujen arvojen välillä, vaan ne johtavat myös tyypilliseen päättelyyn, jonka avulla nämä suhteet muodostetaan. Tällaiset ongelmat antavat vain erilaisia ​​spesifisiä tulkintoja samasta matemaattisesta päättelystä, samoista suhteista, eli niillä on sama matemaattinen malli.

2. Liikkeen tehtäväryhmä sisältää tehtäviä, jotka puhuvat kolmesta suuresta: polkuja (s), nopeus ( v) ja aika ( t). Yleensä he puhuvat tasaisesta suoraviivaisesta liikkeestä, kun nopeus on vakio suuruus- ja suuntasuhteessa. Tässä tapauksessa kaikki kolme määrää liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella: S = vt. Esimerkiksi jos pyöräilijän nopeus on 12 km/h, niin hän ajaa 1,5 tunnissa 12 km/h  1,5 h = 18 km. On ongelmia, joissa tarkastellaan tasaisesti kiihdytettyä suoraviivaista liikettä, eli liikettä jatkuvalla kiihtyvyydellä (a). Kuljettu matka s tässä tapauksessa lasketaan kaavalla: S = v 0 t + klo 2 /2, missä v 0 – alkunopeus. Eli 10 sekunnissa putoamisen alkunopeudella 5 m/s ja vapaan pudotuksen kiihtyvyydellä 9,8 m 2 /s, keho lentää matkan, joka on 5 m/s  10s + 9,8 m 2 /s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Kuten jo todettiin, tekstitehtävien ja ennen kaikkea liikkumiseen liittyvien ongelmien ratkaisemisen aikana on erittäin hyödyllistä tehdä havainnollistava piirros (tehtävän apugraafisen mallin rakentamiseksi). Piirustus tulee tehdä siten, että se näyttää liikkeen dynamiikan kaikissa kohtaamisissa, pysähdyksissä ja käännöksissä. Hyvin suunniteltu piirros ei ainoastaan ​​mahdollista syvempää ymmärrystä ongelman sisällöstä, vaan myös helpottaa yhtälöiden ja epäyhtälöiden laatimista. Esimerkkejä tällaisista piirustuksista annetaan alla.

Seuraavia käytäntöjä käytetään yleensä liikeongelmissa.

Ellei tehtävässä erikseen mainita, yksittäisten osien liike katsotaan yhtenäiseksi (olipa se liikettä suorassa tai ympyrässä).

Liikkuvien kappaleiden käännöksiä pidetään hetkellisinä, eli ne tapahtuvat ilman aikaa; myös nopeus muuttuu välittömästi.

Tämä tehtäväryhmä puolestaan ​​voidaan jakaa tehtäviin, joissa tarkastellaan kehon liikkeitä: 1) toisiaan kohti; 2) yhteen suuntaan ("jälkeen"); 3) vastakkaisiin suuntiin; 4) suljettua lentorataa pitkin; 5) joen varrella.

Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 a), sitten kun ruumiit liikkuvat toisiaan kohti, aika, jonka jälkeen ne kohtaavat, on yhtä suuri S/(v 1 + v 2).

2. Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 b), sitten kun ruumiit liikkuvat yhteen suuntaan ( v 1 > v 2) aika, jonka jälkeen ensimmäinen kappale ohittaa toisen on S/(v 1 – v 2).

3. Jos kappaleiden välinen etäisyys on S, ja kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret v 1 ja v 2 (kuva 16 sisään), silloin, kun ne ovat lähteneet samanaikaisesti vastakkaisiin suuntiin, ruumiit ovat ajoissa t olla etäällä S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t.

Riisi. 16

4. Jos kappaleet liikkuvat yhteen suuntaan suljettua pituusrataa pitkin s nopeuksien kanssa v 1 ja v 2 , aika, jonka jälkeen kappaleet kohtaavat uudelleen (yksi kappale ohittaa toisen), lähtevät samanaikaisesti yhdestä pisteestä, saadaan kaavalla t = S/(v 1 – v 2) sillä edellytyksellä v 1 > v 2 .

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että samanaikaisella liikkeellä suljetulla liikeradalla yhteen suuntaan nopeampi kappale alkaa saavuttaa hitaamman nopeuden kappaletta. Ensimmäistä kertaa se tavoittaa hänet, kun hän on matkustanut pitkän matkan S enemmän kuin toinen ruumis. Jos se ohittaa hänet toisen, kolmannen kerran ja niin edelleen, tämä tarkoittaa, että se kulkee 2 matkan S, mennessä 3 S ja niin edelleen enemmän kuin toinen ruumis.

Jos kappaleet liikkuvat eri suuntiin pitkin suljettua pituutta S nopeuksien kanssa v 1 ja v 2 , aika, jonka jälkeen he tapaavat, kun he ovat lähteneet samanaikaisesti yhdestä pisteestä, saadaan kaavalla t = v(v 1 + v 2). Tässä tapauksessa heti liikkeen alkamisen jälkeen syntyy tilanne, kun kehot alkavat liikkua toisiaan kohti.

5. Jos kappale liikkuu jokea pitkin, niin sen nopeus suhteessa rantaan ja on kehon nopeuden summa tyynessä vedessä v ja joen nopeus w: ja =v + w. Jos kappale liikkuu joen virtausta vastaan, sen nopeus on ja =v – w. Esimerkiksi jos veneen nopeus v\u003d 12 km / h, ja joen nopeus w \u003d 3 km/h, sitten 3 tunnissa vene kulkee jokea pitkin (12 km/h + 3 km/h)  3 tuntia = 45 km ja virtausta vastaan ​​- (12 km/h - 3 km / h)  3 tuntia = 27 km. Uskotaan, että nollanopeudella olevien esineiden nopeus tyynessä vedessä (lautta, tukki jne.) on yhtä suuri kuin joen nopeus.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki.Yhdestä pisteestä yhteen suuntaan 20 minuutin välein. autot lähtevät. Toinen auto kulkee 60 km/h nopeudella, ja ensimmäisen nopeus on 50 % suurempi kuin toisen. Selvitä kolmannen auton nopeus, jos tiedetään, että se ohitti ensimmäisen auton 5,5 tuntia myöhemmin kuin toinen.

Ratkaisu. Olkoon x km/h kolmannen auton nopeus. Ensimmäisen auton nopeus on 50 % suurempi kuin toisen, joten se on yhtä suuri kuin

Kun liikutaan yhteen suuntaan, kohtaamisaika saadaan kohteiden välisen etäisyyden ja niiden nopeuksien eron suhteena. Ensimmäinen auto 40 min päästä. (2/3 h) kulkee 90  (2/3) = 60 km. Siksi kolmas ohittaa hänet (he tapaavat) 60/( X– 90) tuntia. Toinen 20 minuutissa. (1/3 h) kulkee 60  (1/3) = 20 km. Tämä tarkoittaa, että kolmas tavoittaa hänet (he tapaavat) 20/( X- 60) tuntia (kuva 17).

P
ongelman tilasta

Riisi. 17

Yksinkertaisten muunnosten jälkeen saadaan toisen asteen yhtälö 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, jonka ratkaisemalla löydämme

Tarkastus osoittaa, että toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa, koska tässä tapauksessa kolmas auto ei saavuta muita autoja. Vastaus: Kolmannen auton nopeus on 100 km/h.

Esimerkki Moottorilaiva kulki jokea pitkin 96 km, palasi takaisin ja seisoi jonkin aikaa lastauksen alla, viettäen kaikille 32 tuntia Joen nopeus on 2 km/h. Määritä aluksen nopeus tyynessä vedessä, jos lastausaika on 37,5 % koko meno-paluumatkasta.

Ratkaisu. Olkoon x km/h laivan nopeus tyynessä vedessä. Sitten ( X+ 2) km/h - sen nopeus alavirtaan; (X - 2) km/h - virtaa vastaan; 96/( X+ 2) tunnit - liikkeen aika virtauksen mukana; 96/( X- 2) tuntia - liikkeen aika virtaa vastaan. Koska 37,5 % aluksen kokonaisajasta oli lastauksen alla, nettoliikeaika on 62,5 %  32/100 % = 20 (tuntia). Siksi ongelman ehdon mukaan meillä on yhtälö:

Muuntamalla sitä saamme: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. Ratkaistuamme toisen asteen yhtälön, löydämme: X 1 = 10; X 2 = -0,4. Toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa.

Vastaus: 10 km/h on laivan nopeus tyynessä vedessä.

Esimerkki. Auto ajoi ulos kaupungista MUTTA kaupunkiin C kaupungin kautta AT Ilman pysähdyksiä. Etäisyys AB, 120 km:n verran, hän kulki vakionopeudella 1 tunnin matkaa nopeammin aurinko, vastaa 90 km. Määritä auton keskinopeus kaupungista MUTTA kaupunkiin C, jos tiedetään, että nopeus osuudella AB 30 km/h enemmän nopeutta työmaalla Aurinko.

Ratkaisu. Päästää X km / h - auton nopeus sivustolla Aurinko.

Sitten ( X+ 30) km/h – nopeus osuudella AB, 120/(X+ 30) h, 90/ X h on auton matka-aika AB ja aurinko vastaavasti.

Siksi ongelman ehdon mukaan meillä on yhtälö:

.

Muunnetaan se:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

Ratkaisemalla toisen asteen yhtälön, löydämme: X 1 = 30, X 2 = -90. Toinen juuri ei täytä ongelman ehtoa. Nopeus siis osassa aurinko 30 km/h, osuudella AB - 60 km/h Tästä seuraa, että etäisyys AB auto kulki 2 tunnissa (120 km: 60 km/h = 2 tuntia), ja matka aurinko - 3 tunnissa (90 km: 30 km/h = 3 tuntia), joten koko matkan AC hän matkusti 5 tunnissa (3 tuntia + 2 tuntia = 5 tuntia). Sitten keskimääräinen liikkumisnopeus sivustolla AU, jonka pituus on 210 km, on yhtä suuri kuin 210 km: 5 tuntia \u003d 42 km / h.

Vastaus: 42 km / h - auton keskinopeus sivustolla KUTEN.

Työtehtävien ryhmä sisältää tehtävät, jotka puhuvat kolmesta suuresta: työ MUTTA, aika t, jonka aikana työtä tehdään, tuottavuus R - aikayksikköä kohden tehty työ. Nämä kolme suuretta liittyvät yhtälöön MUTTA = Rt. Työtehtäviin kuuluvat myös säiliöiden (alukset, säiliöt, altaat jne.) täyttämiseen ja tyhjennykseen liittyvät tehtävät putkien, pumppujen ja muiden laitteiden avulla. Tässä tapauksessa pumpatun veden määrä katsotaan tehdyksi työksi.

Työtehtävät voidaan yleisesti ottaen liittää liikkumiseen liittyvien tehtävien ryhmään, koska tämän tyyppisissä tehtävissä voidaan katsoa, ​​että kaikki työ tai säiliön kokonaistilavuus on etäisyyden ja esineiden tuottavuuden roolissa. tehdä työtä on samanlainen kuin liikkeen nopeus. Juonen mukaan nämä tehtävät kuitenkin luonnollisesti eroavat toisistaan, ja joissakin työtehtävissä on omat erityiset ratkaisutavat. Joten niissä tehtävissä, joissa suoritetun työn määrää ei ole määritelty, kaikki työ otetaan yksikkönä.

Esimerkki. Kahden joukkueen piti suorittaa tilaus 12 päivässä. 8 päivän yhteistyön jälkeen ensimmäinen tiimi sai uuden tehtävän, joten toinen tiimi viimeisteli tilauksen vielä 7 päivää. Kuinka monessa päivässä kukin tiimi voi suorittaa tilauksen toimiessaan erikseen?

Ratkaisu. Anna ensimmäisen prikaatin suorittaa tehtävä X päivää, toinen prikaati - varten y päivää. Otetaan kaikki työ yhtenä kokonaisuutena. Sitten 1/ X - ensimmäisen prikaatin tuottavuus, 1/ y – toinen. Koska kahden joukkueen tulee suorittaa tilaus 12 päivässä, saamme ensimmäisen yhtälön 12(1/ X + 1/klo) = 1.

Toisesta ehdosta seuraa, että toinen ryhmä työskenteli 15 päivää ja ensimmäinen - vain 8 päivää. Joten toinen yhtälö on:

8/X+ 15/klo= 1.

Meillä on siis järjestelmä:

Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan:

21/y = 1 => y= 21.

Sitten 12/ X + 12/21 = 1 => 12/X – = 3/7 => x = 28.

Vastaus: ensimmäinen prikaati suorittaa tilauksen 28 päivässä, toinen 21 päivässä.

Esimerkki. Työntekijä MUTTA ja työskentelee AT voi suorittaa työn 12 päivässä MUTTA ja työskentelee FROM– 9 päivässä, toimii AT ja työskentely C - 12 päivässä. Kuinka monta päivää heillä kestää työskennellä yhdessä?

Ratkaisu. Anna työntekijän MUTTA voi tehdä työn X päivää, töissä AT- per klo päivää, töissä FROM- per z päivää. Otetaan kaikki työ yhtenä kokonaisuutena. Sitten 1/ x, 1/y ja 1/ z – työntekijöiden tuottavuus A, B ja FROM vastaavasti. Tehtävän ehdon avulla päädymme seuraavaan taulukossa esitettyyn yhtälöjärjestelmään.

pöytä 1

Kun yhtälöt on muutettu, meillä on kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Lisäämällä järjestelmän yhtälöt termeiltä saamme:

tai

Summa on työntekijöiden yhteinen tuottavuus, joten aika, jossa he tekevät kaiken työn, on yhtä suuri

Vastaus: 7,2 päivää.

Esimerkki. Altaaseen laitetaan kaksi putkea - tulo ja tyhjennys, ja ensimmäisen putken kautta allasta täytetään 2 tuntia pidempään kuin toisen putken kautta vesi kaadetaan altaalta. Kun uima-allas oli kolmasosan täynnä, molemmat putket olivat auki ja uima-allas osoittautui tyhjäksi 8 tunnin kuluttua Kuinka monta tuntia allas voi täyttyä ensimmäisestä putkesta ja kuinka monta tuntia täysi allas voi valua toisen putken kautta ?

Ratkaisu. Päästää V m 3 - altaan tilavuus, X m 3 / h - syöttöputken suorituskyky, klo m 3 / h - ulostulo. Sitten V/ x tuntia - aika, joka tarvitaan syöttöputken täyttämiseen altaassa, V/ y tuntia - aika, jonka poistoputki vaatii altaan tyhjentämiseen. Tehtävän mukaan V/ x – V/ y = 2.

Koska poistoputken tuottavuus on suurempi kuin täyttöputken tuottavuus, kun molemmat putket kytketään päälle, allas kuivuu ja kolmasosa altaasta kuivuu ajoissa (V/3)/(y – x), joka tehtävän ehdon mukaan on 8 tuntia. Joten tehtävän ehto voidaan kirjoittaa kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kolme tuntematonta:

Tehtävänä on löytää V/ x ja V/ y. Erottakaamme yhtälöistä yhdistelmä tuntemattomia V/ x ja V/ y, kirjoita järjestelmä seuraavasti:

Esittelyssä uusia tuntemattomia V/ x= a ja V/ y = b, saamme seuraavan järjestelmän:

Korvataan lauseke toiseen yhtälöön a= b + 2, meillä on yhtälö b:

päättää kumman löydämme b 1 = 6, b 2 = -kahdeksan. Tehtävän ehdon täyttää ensimmäinen juuri 6, = 6 (s.). Viimeisen järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä löydämme a= 8 (h), eli ensimmäinen putki täyttää altaan 8 tunnissa.

Vastaus: ensimmäisen putken kautta allas täytetään 8 tunnissa, toisesta putkesta allas tyhjennetään 6 tunnin kuluttua.

Esimerkki. Toinen traktoritiimi joutuu kyntämään 240 hehtaaria ja toisen 35 % enemmän kuin ensimmäinen. Ensimmäinen prikaati, joka kynsi päivittäin 3 ha vähemmän kuin toinen prikaati, lopetti työnsä 2 päivää aikaisemmin kuin toinen prikaati. Kuinka monta hehtaaria kukin prikaati kynsi päivittäin?

Ratkaisu. Etsitään 35 % 240 ha:sta: 240 ha  35 % / 100 % = 84 ha.

Tämän seurauksena toisen joukkueen täytyi kyntää 240 ha + 84 ha = 324 ha. Anna ensimmäisen prikaatin kyntää päivittäin X ha. Sitten toinen prikaati kynsi päivittäin ( X+ 3) ha; 240/ X– ensimmäisen prikaatin työajat; 324/( X+ 3) - toisen prikaatin aika. Ongelman tilanteen mukaan ensimmäinen tiimi lopetti työn 2 päivää aikaisemmin kuin toinen, joten meillä on yhtälö

joka muunnosten jälkeen voidaan kirjoittaa seuraavasti:

324X – 240X - 720 = 2 x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

Kun olet ratkaissut toisen asteen yhtälön, löydämme x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. Tämä on ensimmäisen prikaatin normi.

Tämän seurauksena toinen prikaati kynsi 27 ha ja 18 ha päivässä. Molemmat ratkaisut täyttävät ongelman ehdon.

Vastaus: Ensimmäinen prikaati kynsi 24 hehtaaria päivässä, toinen 27 hehtaaria; Ensimmäinen prikaati kynsi 15 hehtaaria päivässä, toinen 18 hehtaaria.

Esimerkki. Toukokuussa kaksi konepajaa valmisti 1080 osaa. Kesäkuussa ensimmäinen myymälä lisäsi osien tuotantoa 15 % ja toinen 12 %, joten molemmat myymälät tuottivat 1224 osaa. Kuinka monta osaa kukin myymälä tuotti kesäkuussa?

Ratkaisu. Päästää X osat valmistettiin toukokuussa ensimmäisessä työpajassa, klo yksityiskohdat - toinen. Koska 1080 osaa valmistettiin toukokuussa, ongelman tilanteen mukaan meillä on yhtälö x + y = 1080.

Löydä 15% alennus X:

Eli 0.15 X osat lisäsivät ensimmäisen konepajan tuotantoa, joten kesäkuussa se tuotti x + 0,15 X = 1,15 x yksityiskohdat. Vastaavasti havaitsemme, että kesäkuun toinen myymälä tuotti 1.12 y yksityiskohdat. Joten toinen yhtälö näyttää tältä: 1.15 x + 1,12 klo= 1224. Siten meillä on järjestelmä:

josta löydämme x = 480, y= 600. Näin ollen kesäkuussa konepajat tuottivat 552 osaa ja 672 osaa.

Vastaus: ensimmäinen työpaja tuotti 552 osaa, toinen - 672 osaa.

4. Seosten ja prosenttiosuuksien tehtäväryhmä sisältää tehtäviä, joissa puhutaan eri aineiden sekoittamisesta tietyissä suhteissa, sekä prosenttitehtäviä.

Keskittymis- ja prosenttitehtävät

Selvennetään joitakin käsitteitä. Olkoon sekoitus P erilaisia ​​aineita (komponentteja) MUTTA 1 MUTTA 2 , ..., MUTTA n vastaavasti, joiden tilavuudet ovat yhtä suuret V 1 , V 2 , ..., V n . Sekoita tilavuus V 0 koostuu puhtaiden komponenttien määristä: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .

Volyymi keskittyminen aineet MUTTA i (i = 1, 2, ..., P) seoksessa kutsutaan suureksi c i, lasketaan kaavalla:

Aineen A tilavuusprosentti i (i = 1, 2, ..., P) seoksessa kutsutaan määräksi s i , lasketaan kaavalla R i = Kanssa i ,  100 %. Pitoisuudet Kanssa 1, Kanssa 2 , ..., Kanssa n, jotka ovat ulottumattomia suureita, liittyvät yhtäläisyyteen Kanssa 1 + kanssa 2 + ... + kanssa n = 1 ja suhteet

osoittavat, mikä osa seoksen kokonaistilavuudesta on yksittäisten komponenttien tilavuus.

Jos prosentti on tiedossa i-komponentti, niin sen pitoisuus löydetään kaavasta:

tuo on Pi – on keskittyminen i seoksen aine, prosentteina ilmaistuna. Esimerkiksi jos aineen prosenttiosuus on 70 %, sen vastaava pitoisuus on 0,7. Päinvastoin, jos pitoisuus on 0,33, prosenttiosuus on 33%. Summa siis R 1 + s 2 + …+ s n = 100 %. Jos pitoisuudet tunnetaan Kanssa 1 , Kanssa 2 , ..., Kanssa n komponentit, jotka muodostavat tämän tilavuusseoksen V 0 , Sitten komponenttien vastaavat tilavuudet löydetään kaavoilla:

Käsitteet paino (massa) conkeskittäminen seoksen komponentit ja vastaavat prosenttiosuudet. Ne määritellään puhtaan aineen painon (massan) suhteeksi MUTTA i , lejeeringissä koko seoksen painoon (massaan). Mikä konsentraatio, tilavuus tai paino, liittyy tiettyyn ongelmaan, on aina selvää sen ehdoista.

On tehtäviä, joissa tilavuuspitoisuus on laskettava uudelleen painopitoisuudeksi tai päinvastoin. Tämän tekemiseksi on tarpeen tietää liuoksen tai seoksen muodostavien komponenttien tiheys (ominaispaino). Tarkastellaan esimerkiksi kaksikomponenttista seosta, jossa on komponenttien tilavuuspitoisuudet Kanssa 1 ja Kanssa 2 (Kanssa 1 + kanssa 2 = 1) ja komponenttien ominaispaino d 1 ja d 2 . Seoksen massa löytyy kaavasta:

jossa V 1 ja V 2 – seoksen muodostavien komponenttien tilavuudet. Komponenttien painopitoisuudet saadaan yhtälöistä:

jotka määrittävät näiden määrien suhteen tilavuuspitoisuuksiin.

Yleensä tällaisten ongelmien teksteissä esiintyy yksi ja sama toistuva tila: kahdesta tai useammasta seoksesta, jotka sisältävät komponentteja A 1 , A 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n , uusi seos kootaan sekoittamalla alkuperäisiä seoksia, jotka on otettu tietyssä suhteessa. Tässä tapauksessa on selvitettävä, missä suhteessa komponentit ovat MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n lisää tuloksena oleva seos. Tämän ongelman ratkaisemiseksi on kätevää ottaa huomioon kunkin seoksen tilavuus tai painomäärä sekä sen aineosien pitoisuudet MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n . Konsentraatioiden avulla on tarpeen "jakaa" jokainen seos erillisiksi komponenteiksi ja muodostaa sitten ongelmatilanteessa ilmoitetulla tavalla uusi seos. Tässä tapauksessa on helppo laskea, kuinka paljon kutakin komponenttia sisältyy tuloksena olevaan seokseen, sekä tämän seoksen kokonaismäärä. Sen jälkeen määritetään komponenttien pitoisuudet MUTTA 1, MUTTA 2 , MUTTA 3 , ..., MUTTA n uudessa sekoituksessa.

Esimerkki.Kupari-sinkkiseosta on kaksi kappaletta, joiden kuparipitoisuus on 80 % ja 30 %. Missä suhteessa nämä seokset tulisi ottaa, jotta sulattamalla palat yhteen saadaan seos, joka sisältää 60 % kuparia?

Ratkaisu. Otetaan ensimmäinen seos X kg ja toinen - klo kg. Ehdon mukaan kuparin pitoisuus ensimmäisessä lejeeringissä on 80/100 = 0,8, toisessa - 30/100 = 0,3 (on selvää, että puhumme painopitoisuuksista), mikä tarkoittaa, että ensimmäisessä seoksessa 0,8 X kg kuparia ja (1 - 0,8) X = 0,2X kg sinkkiä, toisessa - 0,3 klo kg kuparia ja (1 - 0,3) y = 0,7klo kg sinkkiä. Tuloksena olevan seoksen kuparin määrä on (0,8  X + 0,3  y) kg, ja tämän seoksen massa on (x + y) kg. Siksi seoksen uusi kuparin pitoisuus määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin

Ongelman tilanteen mukaan tämän pitoisuuden tulisi olla 0,6. Siksi saamme yhtälön:

Tämä yhtälö sisältää kaksi tuntematonta X ja y. Ongelman tilanteen mukaan määriä ei kuitenkaan tarvitse määrittää itse X ja y, vaan vain heidän asenteensa. Yksinkertaisten muutosten jälkeen saamme

Vastaus: seokset on otettava suhteessa 3:2.

Esimerkki.Vedessä on kaksi rikkihappoliuosta: ensimmäinen on 40 %, toinen 60 %. Nämä kaksi liuosta sekoitettiin, minkä jälkeen lisättiin 5 kg puhdasta vettä ja saatiin 20 % liuos. Jos 5 kg:n puhtaan veden sijasta lisättiin 5 kg 80-prosenttista liuosta, saadaan 70-prosenttinen liuos. Kuinka monta 40 % ja 60 % liuosta oli?

Ratkaisu. Päästää X kg on ensimmäisen liuoksen massa, klo kg - toinen. Sitten 20 % liuoksen massa ( X + klo+ 5) kg. Vuodesta lähtien X kg 40 % liuosta sisältää 0,4 X kg happoa klo kg 60 % liuosta sisältää 0,6 y kg happoa ja (x + y + 5) kg 20 % liuosta sisältää 0,2( X + y + 5) kg happoa, niin ehdolla meillä on ensimmäinen yhtälö 0,4 X + 0,6y = 0,2(X +y + 5).

Jos lisäät 5 kg:n veden sijaan 5 kg 80-prosenttista liuosta, saat liuoksen, jonka massa on (x + y+ 5) kg, jossa tulee olemaan (0,4 X + 0,6klo+ 0,8  5) kg happoa, josta tulee 70 % (x + y+ 5) kg.

Tehtävän ratkaiseminen algebrallisesti (käyttäen yhtälöitä) Oppikirjan mukaan I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich

matematiikan opettaja, MOU "LSOSh No. 2"

Likhoslavl, Tverin alue

Tavoitteet:- näyttää sääntö tehtävien ratkaisemiseksi algebrallisesti; - kehittää kykyä ratkaista tehtäviä aritmeettisesti ja algebrallisesti.

tapoja

ongelmanratkaisu

Aritmetiikka (tehtävän ratkaisu toimien avulla)

Algebrallinen (tehtävän ratkaiseminen yhtälön avulla)

Ongelma #509

Lue tehtävä.

Yritä löytää erilaisia ​​ratkaisuja.

Kahdessa laatikossa on 16 kg keksejä. Etsi kunkin laatikon keksien massa, jos toisessa on 4 kg enemmän keksejä kuin toisessa.

1 ratkaisu

(katsella)

3 tapa ratkaista

(katsella)

2 tapa ratkaista

4 tapaa ratkaista

1 tapa (aritmeettinen)

• 16 - 4 \u003d 12 (kg) - keksit jäävät kahteen laatikkoon, jos ensimmäisestä laatikosta otetaan 4 kg keksejä.

• 12: 2 = 6 (kg) - keksit olivat toisessa laatikossa.

• 6 + 4 = 10 (kg) - keksejä oli ensimmäisessä laatikossa.

Vastaus

Käytetty liuos säätömenetelmä .

Kysymys: Miksi se sai sellaisen nimen?

Takaisin)

2-suuntainen (aritmeettinen)

• 16 + 4 \u003d 20 (kg) - evästeet ovat kahdessa laatikossa, jos toiseen laatikkoon lisätään 4 kg keksejä.

• 20: 2 = 10 (kg) - keksit olivat ensimmäisessä laatikossa.

• 10 - 4 = 6 (kg) - keksejä oli toisessa laatikossa.

Vastaus: ensimmäisen laatikon keksien massa on 10 kg ja toisessa 6 kg.

Käytetty liuos säätömenetelmä .

Takaisin)

3-tie (algebrallinen)

Merkitse keksien massaa toisessa laatikkokirje X kg. Sitten ensimmäisen laatikon evästeiden massa on ( X+4) kg, ja keksien massa kahdessa laatikossa on (( X +4)+ X) kg.

(X +4)+ X =16

X +4+ X =16

2 X +4=16

2 X =16-4

2 X =12

X =12:2

Toisessa laatikossa oli 6 kg keksejä.

6+4=10 (kg) - keksit olivat ensimmäisessä laatikossa.

Käytetty liuos algebrallinen tapa.

Harjoittele: Selitä ero aritmeettisen menetelmän ja algebrallisen menetelmän välillä?

Takaisin)

4 tapa (algebrallinen)

Merkitse keksien massaa ensimmäisessä laatikkokirje X kg. Sitten toisen laatikon evästeiden massa on yhtä suuri kuin ( X-4) kg, ja keksien massa kahdessa laatikossa on ( X +(X-4)) kg.

Ongelman tilanteen mukaan kahdessa laatikossa oli 16 kg keksejä. Saamme yhtälön:

X +(X -4)=16

X + X -4=16

2 X -4=16

2 X =16+4

2 X =20

X =20:2

Ensimmäinen laatikko sisälsi 10 kg keksejä.

10-4=6 (kg) - keksit olivat toisessa laatikossa.

Käytetty liuos algebrallinen tapa.

Takaisin)

• Mitä kahta menetelmää käytettiin ongelman ratkaisemiseen?
• Mikä on tasausmenetelmä?
• Miten ensimmäinen kohdistusmenetelmä eroaa toisesta?
• Yhdessä taskussa on 10 ruplaa enemmän kuin toisessa. Kuinka voit tasoittaa rahan määrän molemmissa taskuissa?
• Mikä on algebrallinen tapa ratkaista ongelma?
• Mitä eroa on kolmannella ongelmanratkaisumenetelmällä ja neljännellä?
• Yhdessä taskussa on 10 ruplaa enemmän kuin toisessa. Tiedetään, että muuttujaksi määritettiin pienempi rahamäärä X. Miten se ilmaistaan X
• Jos varten X tarkoittaa enemmän rahaa taskussasi, kun se ilmaistaan ​​kautta X rahamäärä toisessa taskussa?
• Kaupassa shampoo maksaa 25 ruplaa enemmän kuin supermarketissa. Merkitse yksi muuttuja kirjaimella klo ja ilmaista toinen kustannus tällä muuttujalla.

Ongelma #510

Ratkaise tehtävä aritmeettisesti ja algebrallisesti.

Kolmelta tontilta korjattiin 156 senttiä perunoita. Ensimmäisestä ja toisesta osasta perunat korjattiin tasaisesti ja kolmannesta - 12 senttiä enemmän kuin kummastakin kahdesta ensimmäisestä. Kuinka monta perunaa jokaiselta palstalta korjattiin.

Algebrallinen tapa

(katsella)

Aritmeettinen tapa

(katsella)

poistu)

Aritmeettinen tapa

• 156 - 12 \u003d 144 (c) - perunat korjattaisiin kolmelta lohkolta, jos kaikkien lohkojen tuotto olisi sama.

• 144: 3 = 48 (c) - perunat korjattiin ensimmäiseltä ja toiselta lohkolta.
• 48 + 12 = 60 (c) - perunat kerättiin kolmannelta koealalta.

Vastaus

Takaisin)

Algebrallinen tapa

Anna heidän kerätä ensimmäiseltä sivustolta X c perunat. Sitten he myös keräsivät toiselta sivustolta X q perunat ja korjattu kolmannelta paikalta ( X+12) c perunaa.

Kaikilta kolmelta tontilta kerättiin ehdon mukaan 156 senttiä perunoita.

Saamme yhtälön:

x + x + (x +12) =156

x + x + x + 12 = 156

3 X +12 = 156

3 X = 156 – 12

3 X = 144

X = 144: 3

Ensimmäiseltä ja toiselta palstalta kerättiin 48 senttiä perunoita.

48 +12 \u003d 60 (c) - perunat kerättiin kolmannelta paikalta.

Vastaus: ensimmäisestä ja toisesta osastosta kerättiin 48 tonnia perunoita ja kolmannesta osastosta 60 tonnia perunoita.

Takaisin