Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.
Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista niin monen lineaarisen yhtälön järjestelmä kuin jokaisessa yhtälössä on tuntemattomia. Jos järjestelmän determinantti ei ole nolla, niin ratkaisussa voidaan käyttää Cramerin menetelmää, jos se on nolla, niin ei. Lisäksi Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on ainutlaatuinen ratkaisu.
Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).
Determinantit
saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:
;
.
Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä sisältää järjestelmän determinantin ja osoittaja sisältää determinantin, joka on saatu järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.
Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:
Mukaan Cramerin lause meillä on:
Eli järjestelmän (2) ratkaisu:
online-laskin, Cramerin ratkaisumenetelmä.
Kolme tapausta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa
Kuten näkyy osoitteesta Cramerin lauseet, kun ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi esiintyä kolme tapausta:
Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu
(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)
Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja
(järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen)
** 
,
nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.
Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja
(järjestelmä epäjohdonmukainen)
Järjestelmä siis m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia kutsutaan yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, ja liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma, ja enemmän kuin yksi epävarma.
Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä
Anna järjestelmän
.
Perustuu Cramerin lauseeseen
………….
,
missä 
-
järjestelmän tunniste. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla jäsenillä:
Esimerkki 2
.
Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit
Cramerin kaavoilla löydämme:
Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä ei ole muuttujia yhdessä tai useammassa yhtälössä, niin determinantissa niitä vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.
Esimerkki 3 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
.
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit
Cramerin kaavoilla löydämme:
Eli järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Sivun yläreunassa
Jatkamme järjestelmien ratkaisemista Cramer-menetelmällä yhdessä
Kuten jo mainittiin, jos järjestelmän determinantti on nolla ja tuntemattomien determinantit eivät ole nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Havainnollistetaan seuraavalla esimerkillä.
Esimerkki 6 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Järjestelmän determinantti on nolla, joten lineaarinen yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen ja määrätty tai epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Selvyyden vuoksi laskemme tuntemattomien determinantit
Tuntemattomien determinantit eivät ole yhtä suuria kuin nolla, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tehtävissä on myös sellaisia, joissa muuttujia osoittavien kirjainten lisäksi on myös muita kirjaimia. Nämä kirjaimet tarkoittavat jotakin numeroa, useimmiten todellista numeroa. Käytännössä tällaiset yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät aiheuttavat ongelmia minkä tahansa ilmiön ja objektin yleisten ominaisuuksien löytämisessä. Eli keksit jonkin uuden materiaalin tai laitteen ja sen ominaisuuksien kuvaamiseksi, jotka ovat yleisiä kopioiden koosta tai lukumäärästä riippumatta, sinun on ratkaistava lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa joidenkin muuttujien kertoimien sijaan on kirjaimia. Esimerkkejä ei tarvitse etsiä kaukaa.
Seuraava esimerkki koskee samanlaista ongelmaa, vain yhtälöiden, muuttujien ja kirjaimien määrä, jotka osoittavat jotain reaalilukua, kasvaa.
Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Determinanttien löytäminen tuntemattomille
M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kutsutaan muotojärjestelmäksi
missä aij ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ovat joitain tunnettuja numeroita ja x 1,…,x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä aij ensimmäinen indeksi i tarkoittaa yhtälön numeroa ja toista j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on.
Tuntemattomien kertoimet kirjoitetaan matriisin muotoon 
, jota kutsumme järjestelmämatriisi.
Numerot yhtälöiden oikealla puolella b 1,…,b m nimeltään ilmaisia jäseniä.
Aggregaatti n numeroita c 1,…,c n nimeltään päätös tämän järjestelmän, jos jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee yhtälö sen jälkeen, kun siihen on korvattu lukuja c 1,…,c n vastaavien tuntemattomien sijaan x 1,…,x n.
Tehtävämme on löytää ratkaisuja järjestelmään. Tässä tapauksessa voi syntyä kolme tilannetta:
Lineaariyhtälöjärjestelmää, jolla on vähintään yksi ratkaisu, kutsutaan liitos. Muuten, ts. jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin sitä kutsutaan yhteensopimaton.
Harkitse tapoja löytää ratkaisuja järjestelmään.
MATRIISIMENETELMÄ LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN
Matriisit mahdollistavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän lyhyen kirjoittamisen. Olkoon 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:
Harkitse järjestelmän matriisia 
ja matriisisarakkeet tuntemattomista ja vapaista jäsenistä 
Etsitään tuote
nuo. tuotteen tuloksena saamme tämän järjestelmän yhtälöiden vasemmat puolet. Sitten, käyttämällä matriisiyhtälön määritelmää, tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa
tai lyhyempi A∙X = B.
Tässä matriiseja A ja B tunnetaan, ja matriisi X tuntematon. Hänet on löydettävä, koska. sen elementit ovat tämän järjestelmän ratkaisu. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisiyhtälö.
Olkoon matriisideterminantti eri kuin nolla | A| ≠ 0. Sitten matriisiyhtälö ratkaistaan seuraavasti. Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet matriisilla A-1, matriisin käänteisarvo A: . Koska A -1 A = E ja E∙X = X, niin saadaan matriisiyhtälön ratkaisu muodossa X = A -1 B .
Huomaa, että koska käänteimatriisi löytyy vain neliömatriiseille, matriisimenetelmä voi ratkaista vain ne järjestelmät, joissa yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Järjestelmän matriisimerkintä on kuitenkin mahdollista myös siinä tapauksessa, että yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin matriisi A ei ole neliö ja siksi on mahdotonta löytää ratkaisua järjestelmään muodossa X = A -1 B.
Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmiä.
CRAMERIN SÄÄNTÖ
Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:
Kolmannen kertaluvun determinantti, joka vastaa järjestelmän matriisia, ts. koostuu kertoimista tuntemattomissa,
nimeltään järjestelmän määräävä tekijä.
Muodostamme kolme muuta determinanttia seuraavasti: korvaamme peräkkäin 1, 2 ja 3 saraketta determinantissa D vapaan jäsenen sarakkeella
Sitten voimme todistaa seuraavan tuloksen.
Lause (Cramerin sääntö). Jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja
Todiste. Tarkastellaan siis kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta. Kerro järjestelmän 1. yhtälö algebrallisella komplementilla A 11 elementti a 11, 2. yhtälö - päällä A21 ja 3. - päällä A 31:
Lisätään nämä yhtälöt:
Harkitse tämän yhtälön jokaista sulkua ja oikeaa puolta. Lauseen mukaan determinantin laajenemisesta 1. sarakkeen elementtien suhteen
Samalla tavalla voidaan osoittaa, että ja .
Lopulta se on helppo nähdä 
Siten saamme tasa-arvon: .
Tämän seurauksena,.
Yhtälöt ja johdetaan samalla tavalla, mistä seuraa lauseen väite.
Näin ollen todetaan, että jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja päinvastoin. Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin systeemillä on joko ääretön joukko ratkaisuja tai ei ole ratkaisuja, ts. yhteensopimaton.
Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä
GAUSS-MENETELMÄ
Aiemmin käsitellyillä menetelmillä voidaan ratkaista vain sellaisia järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän determinantin on oltava eri kuin nolla. Gaussin menetelmä on yleismaailmallisempi ja sopii järjestelmiin, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä. Se koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta järjestelmän yhtälöistä.
Tarkastellaan jälleen kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:
.
Jätämme ensimmäisen yhtälön ennalleen, ja 2. ja 3:sta jätämme pois sisältävät termit x 1. Tätä varten jaamme toisen yhtälön arvolla a 21 ja kerro - a 11 ja lisää sitten 1. yhtälöllä. Samalla tavalla jaamme kolmannen yhtälön a 31 ja kerro - a 11 ja lisää se sitten ensimmäiseen. Tämän seurauksena alkuperäinen järjestelmä on seuraavanlainen:
Nyt, viimeisestä yhtälöstä, poistamme termin sisältävän x2. Voit tehdä tämän jakamalla kolmannen yhtälön luvulla, kertomalla ja lisäämällä sen toiseen. Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä:
Siksi se on helppo löytää viimeisestä yhtälöstä x 3, sitten 2. yhtälöstä x2 ja lopuksi 1. päivästä - x 1.
Gaussin menetelmää käytettäessä yhtälöt voidaan tarvittaessa vaihtaa keskenään.
Usein uuden yhtälöjärjestelmän kirjoittamisen sijaan he rajoittuvat kirjoittamaan järjestelmän laajennetun matriisin:
ja tuo se sitten kolmion tai diagonaalin muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia.
Vastaanottaja alkeellisia muunnoksia matriisit sisältävät seuraavat muunnokset:
- rivien tai sarakkeiden permutaatio;
- merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;
- lisäämällä yhdelle riville muita rivejä.
Esimerkkejä: Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.
Järjestelmällä on siis ääretön määrä ratkaisuja.
On annettu N lineaarisen algebrallisen yhtälön (SLAE) järjestelmä tuntemattomilla, joiden kertoimet ovat matriisin alkiot ja vapaat jäsenet numerot
Ensimmäinen indeksi kertoimien vieressä osoittaa, missä yhtälössä kerroin sijaitsee, ja toinen - missä tuntemattomista se sijaitsee.
Jos matriisideterminantti ei ole nolla
silloin lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisu on sellainen järjestetty lukujoukko , joka muuttaa järjestelmän jokaisen yhtälön oikeaksi yhtälöksi.
Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden oikeat puolet ovat nolla, yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi. Siinä tapauksessa, että jotkut niistä ovat nollia poikkeavia, epäyhtenäisiä
Jos lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmässä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan yhteensopivaksi, muuten se on yhteensopimaton.
Jos järjestelmän ratkaisu on ainutlaatuinen, niin lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan määrätyksi. Siinä tapauksessa, että yhteisjärjestelmän ratkaisu ei ole ainutlaatuinen, yhtälöjärjestelmää kutsutaan määrittelemättömäksi.
Kahta lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (tai ekvivalentiksi), jos yhden järjestelmän kaikki ratkaisut ovat toisen järjestelmän ratkaisuja ja päinvastoin. Vastaavat (tai vastaavat) järjestelmät saadaan käyttämällä vastaavia muunnoksia.
SLAE:n vastaavat muunnokset
1) yhtälöiden uudelleenjärjestely;
2) yhtälöiden kertominen (tai jako) nollasta poikkeavalla luvulla;
3) lisätään johonkin yhtälöön toinen yhtälö, kerrottuna mielivaltaisella nollasta poikkeavalla luvulla.
SLAE-ratkaisu löytyy eri tavoin.
CRAMERIN MENETELMÄ
CRAMERIN LAUSE. Jos tuntemattomien lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän determinantti on eri kuin nolla, niin tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löydetään Cramerin kaavoista:
ovat determinantteja, jotka muodostetaan korvaamalla i. sarake vapaiden jäsenten sarakkeella.
Jos , ja ainakin yksi on nollasta poikkeava, SLAE:llä ei ole ratkaisuja. Jos 
, niin SLAE:llä on monia ratkaisuja. Harkitse esimerkkejä käyttäen Cramerin menetelmää.
—————————————————————
On annettu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä
Etsi tuntemattomien kertoimien matriisin determinantti
Koska , annettu yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Lasketaan determinantit:
Cramerin kaavoja käyttämällä löydämme tuntemattomat
Niin 
ainoa ratkaisu järjestelmään.
Neljän lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmä on annettu. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.
Etsitään tuntemattomien kertoimien matriisin determinantti. Tätä varten laajennamme sitä ensimmäisellä rivillä.
Etsi determinantin komponentit:
Korvaa löydetyt arvot determinantilla
Siksi determinantti yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Laskemme determinantit Cramerin kaavoilla:
Laajennetaan kutakin determinanttia sarakkeella, jossa on enemmän nollia.
Cramerin kaavoilla löydämme
Järjestelmäratkaisu 
Tämä esimerkki voidaan ratkaista matemaattisella laskimella YukhymCALC. Alla on esitetty pätkä ohjelmasta ja laskelmien tulokset.
——————————
C R A M E R -MENETELMÄ
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= kymmenen
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2=|5,1,2,-8|
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000
x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000
x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000
x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000
Katso materiaalit:
(jcomments on)
Yleisessä tapauksessa sääntö kertaluvun determinanttien laskemisesta on melko hankala. Toisen ja kolmannen kertaluvun determinanteille on olemassa järkeviä tapoja laskea ne.
Toisen kertaluvun determinanttien laskelmat
Toisen kertaluvun matriisin determinantin laskemiseksi on tarpeen vähentää toissijaisen diagonaalin elementtien tulo päälävistäjän elementtien tulosta:
Esimerkki
Harjoittele. Laske toisen asteen determinantti
Ratkaisu.
Vastaus.
Kolmannen kertaluvun determinanttien laskentamenetelmät
Kolmannen asteen determinanttien laskemiseen on olemassa sääntöjä.
kolmion sääntö
Kaavamaisesti tämä sääntö voidaan esittää seuraavasti:
Ensimmäisen determinantin elementtien tulo, jotka on yhdistetty viivoilla, otetaan plusmerkillä; samoin toiselle determinantille vastaavat tulot otetaan miinusmerkillä, ts.
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti 
kolmiomenetelmä.
Ratkaisu.
Vastaus.
Sarrus hallitsee
Determinantin oikealle puolelle lisätään kaksi ensimmäistä saraketta ja päädiagonaalin ja sen suuntaisten diagonaalien alkioiden tulot otetaan plusmerkillä; ja toissijaisen lävistäjän ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot miinusmerkillä:
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti Sarrusin sääntöä käyttäen.
Ratkaisu.
Vastaus.
Determinantin rivin tai sarakkeen laajennus
Determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.
Yleensä valitaan se rivi/sarake, jossa on nollia. Rivi tai sarake, jolle hajottaminen suoritetaan, on merkitty nuolella.
Esimerkki
Harjoittele. Laajenna ensimmäisen rivin yli ja laske determinantti
Ratkaisu.
Vastaus.
Tämä menetelmä mahdollistaa determinantin laskennan pelkistämisen alemman kertaluvun determinantin laskemiseen.
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti
Ratkaisu. Tehdään seuraavat muunnokset determinantin riveille: toisesta rivistä vähennetään ensimmäiset neljä ja kolmannesta rivistä ensimmäinen rivi kerrottuna seitsemällä, jolloin saadaan determinantin ominaisuuksien mukaan determinantti yhtä suuri kuin annettu.
Determinantti on nolla, koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia.
Vastaus.
Neljännen ja korkeamman asteen determinanttien laskemiseen käytetään joko rivin/sarakkeen laajennusta tai pelkistystä kolmiomuotoon tai Laplacen lausetta.
Determinantin jaottelu rivin tai sarakkeen elementtien mukaan
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti 
, jakaa sen jonkin rivin tai jonkin sarakkeen elementtien mukaan.
Ratkaisu. Tehdään ensin alkeismuunnokset determinantin riveille tekemällä mahdollisimman monta nollaa joko riville tai sarakkeeseen. Tätä varten vähennämme ensin yhdeksän kolmasosaa ensimmäisestä rivistä, viisi kolmasosaa toisesta ja kolme kolmasosaa neljännestä, saamme:
Laajennamme tuloksena olevaa determinanttia ensimmäisen sarakkeen elementeillä:
Tuloksena olevaa kolmannen kertaluvun determinanttia laajennetaan myös rivin ja sarakkeen elementeillä, jotka ovat aikaisemmin saaneet nollia esimerkiksi ensimmäiseen sarakkeeseen.
Tätä varten vähennämme kaksi toista riviä ensimmäisestä rivistä ja toisen kolmannesta:
Vastaus.
Kommentti
Viimeistä ja toiseksi viimeistä determinanttia ei voitu laskea, mutta pääteltiin heti, että ne ovat nolla, koska ne sisältävät suhteellisia rivejä.
Determinantin saattaminen kolmion muotoon
Rivien tai sarakkeiden alkeismuunnosten avulla determinantti pelkistetään kolmiomuotoon, ja sitten sen arvo determinantin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti 
saada se kolmion muotoon.
Ratkaisu. Ensin teemme nollia ensimmäiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle.
4. Determinanttien ominaisuudet. Matriisien tulon determinantti.
Kaikki muunnokset on helpompi suorittaa, jos elementti on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten vaihdamme determinantin ensimmäisen ja toisen sarakkeen, mikä saa determinantin ominaisuuksien mukaan vaihtamaan etumerkin päinvastaiseksi. :
Seuraavaksi saamme nollia toiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alla olevien elementtien tilalle. Ja jälleen, jos diagonaalinen elementti on yhtä suuri kuin , laskelmat ovat yksinkertaisempia. Tätä varten vaihdamme toisen ja kolmannen rivin (ja samalla vaihdamme determinantin vastakkaiseen merkkiin):
Vastaus.
Laplacen lause
Esimerkki
Harjoittele. Laske determinantti Laplacen lauseen avulla 
Ratkaisu. Valitsemme kaksi riviä tässä viidennen asteen determinantissa - toisen ja kolmannen, niin saamme (jätämme pois termit, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla):
Vastaus.
LINEAARISET YHTÄLÖT JA ERÄTASUAVUUDET I
31 § Tapaus, jossa yhtälöjärjestelmän päädeterminantti on nolla ja ainakin yksi apudeterminanteista on eri kuin nolla
Lause.Jos yhtälöjärjestelmän päädeterminantti
(1)
on yhtä kuin nolla ja ainakin yksi apudeterminanteista on eri kuin nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen.
Muodollisesti tämän lauseen todistetta ei ole vaikea saada ristiriitaisesti. Oletetaan, että yhtälöjärjestelmällä (1) on ratkaisu ( x 0 , y 0). Kuten edellisestä kappaleesta käy ilmi,
Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)
Mutta ehdon mukaan Δ = 0 ja vähintään yksi determinanteista Δ x ja Δ y eroaa nollasta. Näin ollen yhtäläisyydet (2) eivät voi olla voimassa samanaikaisesti. Lause on todistettu.
Vaikuttaa kuitenkin mielenkiintoiselta selvittää tarkemmin, miksi yhtälöjärjestelmä (1) on epäjohdonmukainen tarkasteltavassa tapauksessa.
tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmän (1) tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia. Olkoon esim.
a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .
tarkoittaa, että kertoimet klo ja järjestelmän (1) yhtälöiden vapaat ehdot eivät ole verrannollisia. Koska b 1 = kb 2 siis c 1 =/= kc 2 .
Siksi yhtälöjärjestelmä (1) voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:
Tässä järjestelmässä tuntemattomien kertoimet ovat vastaavasti verrannollisia, mutta kertoimet for klo (tai milloin X ) ja ilmaiset ehdot eivät ole suhteellisia. Tällainen järjestelmä on tietysti epäjohdonmukainen. Todellakin, jos hänellä olisi ratkaisu ( x 0 , y 0), sitten numeeriset yhtälöt
k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1
a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .
Mutta yksi näistä tasa-arvoista on ristiriidassa toisen kanssa: loppujen lopuksi c 1 =/= kc 2 .
Olemme tarkastelleet vain tapausta, jolloin Δ x =/= 0. Samalla tavalla voimme tarkastella tapausta, jolloin Δ y =/= 0."
Todistettu lause voidaan muotoilla seuraavalla tavalla.
Jos tuntemattomien kertoimet X ja klo Yhtälöjärjestelmässä (1) ovat suhteellisia, eivätkä minkään näiden tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ole verrannollisia, silloin tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.
On helppo esimerkiksi varmistaa, että jokainen näistä järjestelmistä on epäjohdonmukainen:
Cramerin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen
Cramerin kaavat
Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.
Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista niin monen lineaarisen yhtälön järjestelmä kuin jokaisessa yhtälössä on tuntemattomia.
Cramerin menetelmä. Sovellus lineaariyhtälöjärjestelmille
Jos järjestelmän determinantti ei ole nolla, niin ratkaisussa voidaan käyttää Cramerin menetelmää, jos se on nolla, niin ei. Lisäksi Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on ainutlaatuinen ratkaisu.
Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).
Determinantit
saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:
;
.
Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä sisältää järjestelmän determinantin ja osoittaja sisältää determinantin, joka on saatu järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.
Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:
Mukaan Cramerin lause meillä on:
Eli järjestelmän (2) ratkaisu:
Kolme tapausta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa
Kuten näkyy osoitteesta Cramerin lauseet, kun ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi esiintyä kolme tapausta:
Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu
(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)
* 
Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja
(järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen)
** 
,
nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.
Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja
(järjestelmä epäjohdonmukainen)
Järjestelmä siis m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia kutsutaan yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, ja liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma, ja enemmän kuin yksi epävarma.
Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä
Anna järjestelmän
.
Perustuu Cramerin lauseeseen
………….
,
missä 
—
järjestelmän tunniste. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla jäsenillä:
Esimerkki 2
.
Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit
Cramerin kaavoilla löydämme:
Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä ei ole muuttujia yhdessä tai useammassa yhtälössä, niin determinantissa niitä vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.
Esimerkki 3 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
.
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit
Cramerin kaavoilla löydämme:
Eli järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Sivun yläreunassa
Vastaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien tietokilpailuun
Kuten jo mainittiin, jos järjestelmän determinantti on nolla ja tuntemattomien determinantit eivät ole nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Havainnollistetaan seuraavalla esimerkillä.
Esimerkki 4 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Järjestelmän determinantti on nolla, joten lineaarinen yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen ja määrätty tai epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Selvyyden vuoksi laskemme tuntemattomien determinantit
Tuntemattomien determinantit eivät ole yhtä suuria kuin nolla, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tehtävissä on myös sellaisia, joissa muuttujia osoittavien kirjainten lisäksi on myös muita kirjaimia. Nämä kirjaimet tarkoittavat jotakin numeroa, useimmiten todellista numeroa. Käytännössä tällaiset yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät aiheuttavat ongelmia minkä tahansa ilmiön ja objektin yleisten ominaisuuksien löytämisessä. Eli keksit jonkin uuden materiaalin tai laitteen ja sen ominaisuuksien kuvaamiseksi, jotka ovat yleisiä kopioiden koosta tai lukumäärästä riippumatta, sinun on ratkaistava lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa joidenkin muuttujien kertoimien sijaan on kirjaimia. Esimerkkejä ei tarvitse etsiä kaukaa.
Seuraava esimerkki koskee samanlaista ongelmaa, vain yhtälöiden, muuttujien ja kirjaimien määrä, jotka osoittavat jotain reaalilukua, kasvaa.
Esimerkki 6 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Determinanttien löytäminen tuntemattomille
Cramerin kaavoilla löydämme:
,
,
.
Ja lopuksi neljän yhtälön järjestelmä neljällä tuntemattomalla.
Esimerkki 7 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:
.
Huomio! Tässä ei selitetä neljännen asteen determinanttien laskentamenetelmiä. Sen jälkeen - sivuston sopivaan osaan. Mutta kommentteja tulee. Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:
Pieni kommentti. Alkuperäisessä determinantissa neljännen rivin alkiot vähennettiin toisen rivin alkioista, neljännen rivin alkiot kerrottuna 2:lla vähennettiin kolmannen rivin alkioista, ensimmäisen rivin alkiot kerrottuna 2:lla vähennetään neljännen rivin elementeistä. Determinanttien löytäminen tuntemattomille
Neljännen tuntemattoman determinantin muunnoksissa neljännen rivin alkiot vähennettiin ensimmäisen rivin alkioista.
Cramerin kaavoilla löydämme:
Eli järjestelmän ratkaisu on (1; 1; -1; -1).
Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.
Tarkkailevat luultavasti huomasivat, että artikkelissa ei ollut esimerkkejä epämääräisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta. Ja kaikki koska on mahdotonta ratkaista tällaisia järjestelmiä Cramer-menetelmällä, voimme vain todeta, että järjestelmä on määrittelemätön. Tällaisten järjestelmien ratkaisut annetaan Gaussin menetelmällä.
Eikö sinulla ole aikaa syventyä ratkaisuun? Voit tilata työpaikan!
Sivun yläreunassa
Vastaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien tietokilpailuun
Muuta aiheesta "Yhtälöjärjestelmät ja epäyhtälöt"
Laskin - ratkaise yhtälöjärjestelmiä verkossa
Cramerin menetelmän ohjelmallinen toteutus C++:ssa
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen substituutio- ja summausmenetelmällä
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä
Lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden ehto.
Kronecker-Capellin lause
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käänteismatriisi)
Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmät ja konveksit pistejoukot
Aiheen "Lineaarinen algebra" alku
Determinantit
Tässä artikkelissa tutustumme erittäin tärkeään käsitteeseen lineaarialgebran osasta, jota kutsutaan determinantiksi.
Huomautan heti tärkeän asian: determinantin käsite pätee vain neliömatriiseille (rivien määrä = sarakkeiden lukumäärä), muissa matriiseissa sitä ei ole.
Neliömatriisin determinantti(determinantti) — matriisin numeerinen ominaisuus.
Determinanttien nimitys: |A|, det A, ∆ A.
määräävä tekijä"n" kertalukua kutsutaan kaikkien sen elementtien mahdollisten tulojen algebralliseksi summaksi, jotka täyttävät seuraavat vaatimukset:
1) Jokainen tällainen tuote sisältää täsmälleen "n" elementtiä (eli toisen asteen determinantti on 2 elementtiä).
2) Jokaisessa tuotteessa on kunkin rivin ja sarakkeen edustaja tekijänä.
3) Kussakin tuotteessa mitkään kaksi tekijää eivät voi kuulua samaan riviin tai sarakkeeseen.
Tuotteen etumerkki määräytyy sarakenumeroiden vuorottelujärjestyksen mukaan, jos tuotteen elementit on järjestetty rivinumeroiden nousevaan järjestykseen.
Harkitse muutamia esimerkkejä matriisin determinantin löytämisestä:
Ensimmäisen asteen matriisille (esim.
Lineaariset yhtälöt. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Cramerin menetelmä.
on vain 1 elementti), determinantti on yhtä suuri kuin tämä elementti:
2. Tarkastellaan toisen kertaluvun neliömatriisia:
3. Tarkastellaan kolmannen asteen neliömatriisia (3×3):
4. Harkitse nyt esimerkkejä reaaliluvuilla:
Kolmion sääntö.
Kolmisääntö on tapa laskea matriisin determinantti, mikä edellyttää sen löytämistä seuraavan kaavion mukaisesti:
Kuten jo ymmärsit, menetelmää kutsuttiin kolmiosäännöksi, koska kerrotut matriisielementit muodostavat omituisia kolmioita.
Ymmärtääksesi tämän paremmin, otamme esimerkin:
Ja nyt harkitse matriisin determinantin laskemista reaaliluvuilla kolmiosäännön avulla:
Katetun materiaalin vahvistamiseksi ratkaisemme toisen käytännön esimerkin:
Determinanttien ominaisuudet:
1. Jos rivin tai sarakkeen alkiot ovat nolla, niin determinantti on nolla.
2. Determinantti vaihtaa etumerkkiä, jos 2 riviä tai saraketta vaihdetaan. Katsotaanpa tätä pienellä esimerkillä:
3. Transponoidun matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.
4. Determinantti on nolla, jos yhden rivin alkiot ovat yhtä suuria kuin toisen rivin vastaavat elementit (myös sarakkeiden osalta). Yksinkertaisin esimerkki tästä determinanttien ominaisuudesta on:
5. Determinantti on nolla, jos sen 2 riviä ovat verrannollisia (myös sarakkeille). Esimerkki (rivit 1 ja 2 ovat verrannollisia):
6. Rivin (sarakkeen) yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.
7) Determinantti ei muutu, jos toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit lisätään minkä tahansa rivin (sarakkeen) elementteihin kerrottuna samalla arvolla. Katsotaanpa tätä esimerkillä:
Katselukerrat: 57258
Determinantti (alias determinantti (determinantti)) löytyy vain neliömatriiseista. Determinantti ei ole muuta kuin matriisin kaikki elementit yhdistävä arvo, joka säilyy rivejä tai sarakkeita transponoitaessa. Sitä voidaan merkitä det(A), |A|, Δ(A), Δ, missä A voi olla sekä matriisi että sitä osoittava kirjain. Löydät sen eri tavoilla:
Kaikki edellä ehdotetut menetelmät analysoidaan matriiseilla, joiden koko on vähintään kolme. Kaksiulotteisen matriisin determinantti löydetään käyttämällä kolmea perusmatemaattista operaatiota, joten kaksiulotteisen matriisin determinantin löytäminen ei kuulu mihinkään menetelmään. No, paitsi lisäyksenä, mutta siitä lisää myöhemmin.
Etsi 2x2-matriisin determinantti:
Matriisimme determinantin löytämiseksi on vähennettävä toisen lävistäjän lukujen tulo toisesta, eli
Esimerkkejä toisen kertaluvun matriisien determinantin löytämisestä
Rivi/sarake jaottelu
Mikä tahansa matriisin rivi tai sarake valitaan. Jokainen valitun rivin luku kerrotaan arvolla (-1) i+j jossa (i,j on kyseisen luvun rivin, sarakkeen numero) ja kerrotaan toisen asteen determinantilla, joka muodostuu jäljellä olevista elementeistä i- rivin ja j - sarake. Katsotaanpa matriisia
- Valitse rivi/sarake
Otetaan esimerkiksi toinen rivi.
merkintä: Jos ei ole nimenomaisesti ilmoitettu, millä rivillä determinantti etsitään, valitse rivi, jolla on nolla. Laskelmia tulee vähemmän.
- Luo lauseke
Ei ole vaikeaa määrittää, että luvun etumerkki vaihtuu joka toinen kerta. Siksi yksiköiden sijasta voit ohjata seuraavaa taulukkoa:
- Muutetaan numeroidemme etumerkki
- Etsitään matriisiemme determinantit
- Otamme kaiken huomioon
Ratkaisu voidaan kirjoittaa näin:
Esimerkkejä determinantin löytämisestä rivi-/sarakelaajennuksen perusteella:
Tapa pelkistää kolmiomuotoon (käyttämällä alkeismuunnoksia)
Determinantti löydetään tuomalla matriisi kolmion muotoiseen (porrastettuun) muotoon ja kertomalla päälävistäjän alkiot
Kolmiomatriisi on matriisi, jonka alkiot diagonaalin toisella puolella ovat nolla.
Kun rakennat matriisia, muista kolme yksinkertaista sääntöä:
- Joka kerta kun merkkijonot vaihdetaan, determinantti vaihtaa etumerkkiä päinvastaiseksi.
- Kun kerrotaan / jaetaan yksi merkkijono nollasta poikkeavalla luvulla, se tulee jakaa (jos kerrotaan) / kertoa (jos jaetaan) sillä tai suorittaa tämä toiminto tuloksena olevalla determinantilla.
- Kun lisäät yhden luvulla kerrotun merkkijonon toiseen merkkijonoon, determinantti ei muutu (kerrottu merkkijono saa alkuperäisen arvon).
Yritetään saada nollia ensimmäiseen sarakkeeseen, sitten toiseen.
Katsotaanpa matriisiamme:
Ta-a-ak. Jotta laskelmat olisivat miellyttävämpiä, haluaisin lähimmän numeron päälle. Voit jättää sen, mutta sinun ei tarvitse. Okei, meillä on kakkonen toisella rivillä ja neljä ensimmäisellä rivillä.
Vaihdetaan nämä kaksi riviä.
Vaihdoimme rivit, nyt meidän on joko vaihdettava yhden rivin etumerkki tai vaihdettava determinantin etumerkki lopussa.
Determinantit. Determinanttien laskeminen (s. 2)
Teemme sen myöhemmin.
Nyt saadaksemme nollan ensimmäiselle riville, kerromme ensimmäisen rivin kahdella.
Vähennä ensimmäinen rivi toisesta.
Kolmannen sääntömme mukaan palautamme alkuperäisen merkkijonon alkuasentoon.
Tehdään nyt nolla 3. riville. Voimme kertoa ensimmäisen rivin 1,5:llä ja vähentää kolmannesta, mutta murtolukujen kanssa työskentely tuo vain vähän iloa. Siksi etsitään luku, johon molemmat merkkijonot voidaan pienentää - tämä on 6.
Kerro 3. rivi 2:lla.
Nyt kerromme ensimmäisen rivin kolmella ja vähennämme kolmannesta.
Palataan 1. rivimme.
Älä unohda, että kerroimme 3. rivin 2:lla, joten jaamme determinantin 2:lla.
On yksi sarake. Nyt, saadaksemme nollia toiselle - unohdamme 1. rivin - työskentelemme 2. rivin kanssa. Kerro toinen rivi -3:lla ja lisää se kolmanteen riviin.
Älä unohda palauttaa toista riviä.
Joten olemme rakentaneet kolmiomatriisin. Mitä meillä on jäljellä? Ja vielä on kerrottava päädiagonaalin numerot, minkä teemme.
No, täytyy muistaa, että meidän on jaettava determinanttimme kahdella ja vaihdettava merkki.
Sarrusin sääntö (kolmioiden sääntö)
Sarrusin sääntö koskee vain kolmannen asteen neliömatriiseja.
Determinantti lasketaan lisäämällä matriisin oikealla puolella olevat kaksi ensimmäistä saraketta, kertomalla matriisin diagonaalien alkiot ja laskemalla ne yhteen ja vähentämällä vastakkaisten lävistäjien summa. Vähennä violetti oransseista diagonaaleista.
Kolmioiden sääntö on sama, vain kuva on erilainen.
Laplacen lause katso Rivi/sarake-hajotelma
1.1. Kahden lineaarisen yhtälön ja toisen asteen determinanttien järjestelmät
Tarkastellaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kaksi tuntematonta:
Kertoimet 
tuntemattoman kanssa 
ja 
niillä on kaksi indeksiä: ensimmäinen osoittaa yhtälön numeron, toinen - muuttujan numero.
Cramerin sääntö: Järjestelmän ratkaisu löydetään jakamalla apudeterminantit järjestelmän päädeterminantilla
,
Huomautus 1. Cramerin säännön käyttö on mahdollista, jos järjestelmän determinantti 
ei ole nolla.
Huomautus 2. Cramerin kaavat voidaan myös yleistää korkeamman asteen järjestelmiin.
Esimerkki 1 Ratkaisujärjestelmä: 
.
Ratkaisu.
;
;
;
Tutkimus:
Johtopäätös: Järjestelmä on oikea: 
.
1.2. Kolmen lineaarisen yhtälön ja kolmannen asteen determinanttien järjestelmät
Tarkastellaan kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:
Determinanttia, joka koostuu tuntemattomien kertoimista, kutsutaan järjestelmän tarkenne tai päätarkenne:
.
Jos 
silloin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka määritetään Cramer-kaavojen avulla:
missä ovat determinantit 
kutsutaan apuarvoiksi ja ne saadaan determinantista 
korvaamalla sen ensimmäinen, toinen tai kolmas sarake järjestelmän vapaiden jäsenten sarakkeella.
Esimerkki 2 Ratkaise järjestelmä 
.
Muodostetaan pää- ja aputekijät:
On vielä harkittava kolmannen asteen determinanttien laskentasääntöjä. Niitä on kolme: sarakkeen lisäyssääntö, Sarrus-sääntö ja hajottelusääntö.
a) Sääntö kahden ensimmäisen sarakkeen lisäämiseksi päämääritteeseen:
Laskenta suoritetaan seuraavasti: niiden merkillä ovat päälävistäjän elementtien tulot ja sen yhdensuuntaisia kohtia pitkin vastakkaisella merkillä ne ottavat toissijaisen lävistäjän elementtien tulot ja sen rinnakkaiset. .
b) Sarrusin sääntö:
He ottavat merkillään päälävistäjän elementtien tuotteet ja sen rinnakkaiset, ja puuttuva kolmas elementti otetaan vastakkaisesta kulmasta. Vastakkaisella merkillä he ottavat toissijaisen diagonaalin elementtien tuotteet ja sen yhdensuuntaisia kohtia pitkin kolmas elementti otetaan vastakkaisesta kulmasta.
c) Laajentamisen sääntö rivin tai sarakkeen elementeillä:
Jos 
, sitten.
Algebrallinen lisäys on alemman kertaluvun determinantti, joka saadaan poistamalla vastaava rivi ja sarake ja ottamalla huomioon etumerkki 
, missä 
- rivin numero 
- sarakkeen numero.
Esimerkiksi,
,
,
jne.
Lasketaan apudeterminantit tämän säännön mukaan 
ja 
, laajentamalla niitä ensimmäisen rivin elementeillä.
Laskettuamme kaikki determinantit, löydämme muuttujat Cramerin säännön mukaisesti:
Tutkimus:
Johtopäätös: järjestelmä on oikea: .
Determinanttien perusominaisuudet
On muistettava, että määräävä tekijä on määrä, löydetty joidenkin sääntöjen mukaan. Sen laskentaa voidaan yksinkertaistaa, jos käytämme perusominaisuuksia, jotka ovat voimassa minkä tahansa järjestyksen determinanteille.
Kiinteistö 1. Determinantin arvo ei muutu, jos kaikki sen rivit korvataan vastaavilla sarakkeilla ja päinvastoin.
Rivien korvaamista sarakkeilla kutsutaan transponoimiseksi. Tästä ominaisuudesta seuraa, että mikä tahansa lause, joka on tosi determinantin riveille, on totta myös sen sarakkeille.
Kiinteistö 2. Jos kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan determinantissa, determinantin etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.
Kiinteistö 3. Jos determinantin minkä tahansa rivin kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin 0, niin determinantti on yhtä suuri kuin 0.
Kiinteistö 4.
Jos determinanttijonon alkiot kerrotaan (jaetaan) jollain luvulla 
, niin determinantin arvo kasvaa (pienenee) sisään 
yhden kerran.
Jos minkä tahansa rivin elementeillä on yhteinen tekijä, se voidaan ottaa pois determinanttimerkistä.
Kiinteistö 5. Jos determinantissa on kaksi identtistä tai verrannollista riviä, tällainen determinantti on yhtä suuri kuin 0.
Kiinteistö 6. Jos minkä tahansa determinantin rivin alkiot ovat kahden termin summa, niin determinantti on yhtä suuri kuin kahden determinantin summa.
Kiinteistö 7. Determinantin arvo ei muutu, jos rivin alkiot lisätään toisen rivin elementteihin kerrottuna samalla luvulla.
Tässä determinantissa aluksi kolmas kerrottuna 2:lla lisättiin toiselle riville, sitten toinen vähennettiin kolmannesta sarakkeesta, minkä jälkeen toinen rivi lisättiin ensimmäiseen ja kolmanteen, tuloksena saimme paljon nollia ja yksinkertaisti laskentaa.
Perus muunnoksia determinanttia kutsutaan sen yksinkertaistuksiksi näiden ominaisuuksien käytöstä johtuen.
Esimerkki 1 Laske determinantti
Suora laskenta jonkin yllä olevista säännöistä johtaa hankalia laskelmiin. Siksi on suositeltavaa käyttää ominaisuuksia:
a) vähennä ensimmäisestä rivistä toinen rivi kerrottuna kahdella;
b) vähennä kolmas rivi toisesta rivistä kerrottuna 3:lla.
Tuloksena saamme:
Laajennetaan tätä determinanttia ensimmäisen sarakkeen elementtien suhteen, joka sarake sisältää vain yhden nollasta poikkeavan elementin.
.
Korkeampien tilausten järjestelmät ja tekijät
järjestelmä 
lineaariset yhtälöt kanssa 
Tuntemattomat voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Tätä varten on myös mahdollista muodostaa pää- ja apudeterminantit ja määrittää tuntemattomat Cramerin säännön mukaan. Ongelmana on, että korkeamman asteen determinantit voidaan laskea vain alentamalla järjestystä ja vähentämällä ne kolmannen asteen determinantteiksi. Tämä voidaan tehdä suoraan hajottamalla rivi- tai sarakeelementeiksi sekä alustavilla alkeismuunnoksilla ja edelleen hajottamalla.
Esimerkki 4 Laske neljännen asteen determinantti
Ratkaisu löytää kahdella tavalla:
a) laajentamalla suoraan ensimmäisen rivin elementtien päälle:
b) alustavilla muunnoksilla ja jatkohajotuksella
|
|
a) vähennä rivi 3 rivistä 1 |
|
|
b) lisää rivi II riville IV |
Esimerkki 5 Laske viidennen kertaluvun determinantti, jolloin saat nollat kolmannelle riville käyttämällä neljättä saraketta
|
|
vähennä toinen ensimmäisestä rivistä, vähennä toinen kolmannesta ja vähennä toinen kerrottuna 2:lla neljännestä. |
vähennä kolmas toisesta sarakkeesta: 
vähennä kolmas toisesta rivistä: 
Esimerkki 6 Ratkaisujärjestelmä:
Ratkaisu. Muodostetaan järjestelmän determinantti ja lasketaan se käyttämällä determinanttien ominaisuuksia:
(ensimmäisestä rivistä vähennämme kolmannen, ja sitten tuloksena olevasta kolmannen kertaluvun determinantista kolmannesta sarakkeesta vähennämme ensimmäisen, kerrottuna 2:lla). Determinantti 
, siksi Cramerin kaavat ovat sovellettavissa.
Lasketaan loput determinantit:
Neljäs sarake kerrotaan kahdella ja vähennetään lopusta
Neljäs sarake vähennettiin ensimmäisestä, ja sitten kerrottuna kahdella, vähennettiin toisesta ja kolmannesta sarakkeesta.
.
Täällä suoritettiin samat muunnokset kuin 
.
.
Kun löytyy 
ensimmäinen sarake kerrottiin kahdella ja vähennettiin lopusta.
Cramerin säännön mukaan meillä on:
Kun löydetyt arvot on korvattu yhtälöihin, varmistamme, että järjestelmän ratkaisu on oikea.
2. MATRIISIT JA NIIDEN KÄYTTÖ
LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN
2.Jos │A│=0, niin matriisi A on degeneroitunut ja käänteismatriisia A -1 ei ole olemassa.
Jos matriisin A determinantti ei ole nolla, niin käänteismatriisi on olemassa.
3. Etsi A T transponoituna A:ksi.
4. Etsi transponoidun matriisin alkioiden algebralliset komplementit ja muodosta niistä adjunktinen matriisi. 5. Laskemme käänteismatriisin kaavan mukaan: 6. Tarkista käänteimatriisin laskennan oikeellisuus sen määritelmän perusteella A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.
· №28
· M x n -matriisissa, poistamalla mahdolliset rivit ja sarakkeet, voidaan valita k:nnen kertaluvun neliömatriisit, joissa k≤min(m; n). Tällaisten alimatriisien determinantteja kutsutaan matriisin A k:nnen kertaluvun minoreiksi.
· Matriisin A ranking on tämän matriisin nollasta poikkeavien molempien korkein kertaluku.
· Matriisin A järjestys on merkitty A:lla tai r(A:lla).
· Määritelmästä seuraa:
· 1) m x n kokoisen matriisin järjestys ei ylitä sen pienintä kokoa, ts. r(A) < min (m; n).
· 2) r(A)=0 jos ja vain jos kaikki matriisin alkiot ovat nolla, ts. A = 0.
· 3) N:nnen kertaluvun neliömatriisille r(A) = n jos ja vain jos matriisi A on epäsingulaarinen.
· Yleisesti ottaen matriisin arvon määrittäminen laskemalla kaikki alaikäiset on melko työlästä. Tämän tehtävän helpottamiseksi käytetään perusmuunnoksia, jotka säilyttävät matriisin arvon:
· 1) Nollarivin (sarakkeen) hylkääminen.
· 2) Matriisin rivin (sarakkeen) kaikkien elementtien kertominen nollasta poikkeavalla luvulla.
· 3) Matriisin rivien (sarakkeiden) järjestyksen muuttaminen.
· 4) Lisäämällä yhden rivin (sarakkeen) jokaiseen elementtiin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna millä tahansa numerolla.
· 5) Matriisitransponointi.
· Lause. Matriisin arvo ei muutu matriisin alkeismuunnosten yhteydessä.
№31
Olkoon yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä (1) yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, ts. m = n. Tällöin järjestelmän matriisi on neliö, ja sen determinanttia Δ=│А│ kutsutaan järjestelmän determinantiksi.
Oletetaan, että │А│ ei ole nolla, niin on olemassa käänteimatriisi A -1 .
Kerrotaan vasemmanpuoleisen matriisin yhtälön molemmat osat käänteismatriisilla A -1, saadaan:
A -1 (AX) \u003d A -1 B.
Yhtälöjärjestelmän ratkaisu käänteismatriisimenetelmällä on sarakematriisi:
X \u003d A -1 B.
(A -1 A)X \u003d EX \u003d X
Cramerin lause. Olkoon Δ järjestelmän A matriisin determinantti ja Δ j sen matriisin determinantti, joka saadaan matriisista korvaamalla j. sarake vapaiden termien sarakkeella. Sitten jos Δ ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka on määritelty Cramerin kaavoilla:
missä j=1..n.
№33
Gaussin menetelmä - muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä - koostuu siitä, että alkeismuunnosten avulla yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaavaksi porras- tai kolmiotyyppiseksi järjestelmäksi.
Harkitse matriisia:
tätä matriisia kutsutaan järjestelmän (1) laajennetuksi matriisiksi, koska se sisältää järjestelmän A matriisin lisäksi vapaita jäseniä.
№26
N-ulotteinen vektori on n:n reaaliluvun järjestynyt joukko, joka on kirjoitettu muodossa X=(x 1,x 2,...x n) , missä x i on vektorin X i:s komponentti.
Kaksi n-ulotteista vektoria ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden vastaavat komponentit ovat yhtä suuret, ts. X=Y jos x i =y i, i=1…n.
Vektoriavaruudeksi kutsutaan joukkoa reaalikomponentteja vektoreita, joissa on määritelty operaatiot vektorien yhteenlaskemiseksi ja vektorin kertomiseksi luvulla, jotka täyttävät yllä olevat ominaisuudet.
Vektoriavaruutta R kutsutaan n-ulotteiseksi, jos siinä on n lineaarisesti riippumatonta vektoria ja mikä tahansa n + 1 vektoria on jo riippuvainen. Lukua n kutsutaan vektoriavaruuden R dimensioksi ja sitä merkitään dim(R).
№29
Lineaariset operaattorit
Määritelmä. Jos annetaan laki (sääntö), jonka mukaan jokainen avaruuden vektori x liittyy yhteen avaruuden vektoriin y
sitten he sanovat: että operaattori (muunnos, kartoitus) A(x) on annettu, joka toimii välillä - ja
kirjoita y=A(x).
Operaattoria kutsutaan lineaariseksi, jos jollekin avaruuden vektorille x ja y
ja mikä tahansa luku λ, seuraavat suhteet pätevät:
№37
Olkoon А joukko, joka koostuu äärellisestä määrästä alkioita a 1 , a 2 , a 3 …a n . Ryhmiä voidaan muodostaa joukon A eri elementeistä. Jos jokaisessa ryhmässä on sama määrä elementtejä m (m n:stä), niiden sanotaan muodostavan n alkuaineen yhdisteitä, joissa kussakin on m. On olemassa kolmenlaisia yhteyksiä: sijoittelut, yhdistelmät ja permutaatiot.
liitännät, joista jokainen sisältää joukon A kaikki n alkiota ja jotka siksi eroavat toisistaan vain alkioiden järjestyksen suhteen, kutsutaan n elementin permutaatioiksi. Tällaisten permutaatioiden lukumäärä on merkitty symbolilla Р n .
№35
Klassinen todennäköisyyden määritelmä perustuu tapahtumien tasatodennäköisyyden käsitteeseen.
Tapahtumien vastaavuus tarkoittaa, ettei ole mitään syytä suosia yhtä niistä toisiin nähden.
Tarkastellaan testiä, jonka seurauksena tapahtuma A voi tapahtua. Jokaista tulosta, jossa tapahtuma A tapahtuu, kutsutaan suotuisaksi tapahtumaksi A.
Tapahtuman A todennäköisyys (merkitty P(A)) on tapahtumalle A suotuisten tulosten lukumäärän (merkitty k:llä) suhde kaikkien testitulosten lukumäärään - N eli. P(A) = k/N.
Klassisesta todennäköisyyden määritelmästä seuraa seuraavat ominaisuudet:
Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä.
Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.
Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla
№39, 40
Lisäyslause. Jos A ja B ovat ristiriidassa, niin P(A + B) = P(A) + P(B)
