Jos tietoa pisteen etäisyydestä projektiotasoon ei anneta käyttämällä numeerista merkkiä, vaan käyttämällä pisteen toista projektiota, joka on rakennettu toiselle projektiotasolle, niin piirustusta kutsutaan kaksikuvaiseksi tai kompleksiseksi. Tällaisten piirustusten rakentamisen perusperiaatteet on hahmotellut G. Monge.

Mongen hahmottelema menetelmä - ortogonaalisen projektion menetelmä, jossa kaksi projektiota otetaan kahdelle toisiaan kohtisuoralle projektiotasolle - varmistaen tasossa olevien kohteiden kuvien ilmaisukyvyn, tarkkuuden ja mitattavuuden, oli ja pysyy teknisten piirustusten päämenetelmänä.

Kolmen projektiotason malli on esitetty kuvassa. Kolmas taso, joka on kohtisuorassa sekä P1:een että P2:een, on merkitty kirjaimella P3 ja sitä kutsutaan profiiliksi. Pisteiden projektiot tälle tasolle on merkitty isoilla kirjaimilla tai numeroilla indeksillä 3. Pareittain leikkaavat projektiotasot määrittelevät kolme akselia 0x, 0y ja 0z, joita voidaan pitää suorakulmaisten koordinaattien järjestelmänä avaruudessa, jonka alku on piste 0. Kolme projektiotasoa jakavat tilan kahdeksaan kolmikulmaiseen kulmaan - oktanttiin. Kuten aiemmin, oletamme, että kohdetta katsova katsoja on ensimmäisessä oktantissa. Kaavion saamiseksi kolmen projektiotason, tasojen P1 ja P3 järjestelmän pisteitä kierretään, kunnes ne ovat linjassa tason P2 kanssa. Kun akseleita merkitään kaaviossa, negatiivisia puoliakseleita ei yleensä ilmoiteta. Jos vain itse kohteen kuva on merkittävä, ei sen sijainti suhteessa projektiotasoihin, akseleita ei näytetä kaaviossa. Koordinaatit ovat numeroita, jotka on määritetty pisteelle määrittämään sen sijainti avaruudessa tai pinnalla. Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen sijainti määritetään käyttämällä suorakulmaisia ​​suorakulmaisia ​​koordinaatteja x, y ja z (abskissa, ordinaatta ja aplikaatti).

Luento 7, SRSP-7

2. Suoran sijainti suhteessa projektiotasoihin.

3. Pisteen ja suoran suhteellinen sijainti, kaksi suoraa.

Suoran viivan projisointi

Viivan sijainnin määrittämiseksi avaruudessa on olemassa seuraavat menetelmät: 1. Kaksi pistettä (A ja B). Tarkastellaan kahta pistettä avaruudessa A ja B (kuva). Näiden pisteiden kautta voit piirtää suoran viivan segmentin oppiminen. Tämän segmentin projektioiden löytämiseksi projektiotasolla on tarpeen löytää pisteiden A ja B projektiot ja yhdistää ne suoralla viivalla. Jokainen janan projektio projektiotasolla on pienempi kuin itse segmentti:<; <; <.

2. Kaksi tasoa (a; b). Tämä asetustapa määräytyy sen perusteella, että kaksi ei-rinnakkaista tasoa leikkaavat avaruudessa suorassa linjassa (tätä menetelmää käsitellään yksityiskohtaisesti alkeistogeometrian aikana).

3. Piste ja kaltevuuskulmat projektiotasoihin nähden. Tietäen suoraan kuuluvan pisteen koordinaatit ja sen kaltevuuskulmat projektiotasoihin nähden, voidaan löytää suoran sijainti avaruudessa.

SISÄÄN Riippuen suoran sijainnista projektiotasoihin nähden, se voi olla sekä yleisessä että erityisessä asemassa. 1. Suoraa, joka ei ole yhdensuuntainen minkään projektiotason kanssa, kutsutaan yleiseksi suoraksi (kuva).

2. Projektitasojen kanssa samansuuntaiset viivat ovat tietyssä paikassa avaruudessa ja niitä kutsutaan tasoviivoiksi. Sen mukaan, minkä projektiotason kanssa annettu suora on yhdensuuntainen, on olemassa:

2.1. Projektion vaakatason suuntaisia ​​suoria viivoja kutsutaan vaaka- tai vaakasuuntaisiksi (kuva).

2.2. Projektion etutason suuntaisia ​​suoria viivoja kutsutaan frontaaliksi tai frontaaliksi (kuva).

2.3. Profiilitason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan profiiliksi (kuva).

3. Projektitasoihin nähden kohtisuorassa olevia viivoja kutsutaan projektioviivoiksi. Suora, joka on kohtisuorassa yhtä projektiotasoa vastaan, on yhdensuuntainen kahden muun kanssa. Riippuen siitä, mihin projektiotasoon tutkittava suora on kohtisuorassa, on:

3.1. Edestä ulkoneva suora - AB (kuva).

3.2. Suoran linjan ulkoneva profiili on AB (kuva).

] Käännös V.F. Gaza. Kommentit ja editointi: D.I. Kargina. T.P.:n päätoimituksella. Kravets.
(Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1947. - Sarja "Tieteen klassikot")
Skannaus, käsittely, Djv-muoto: ???, lisäykset ja korjaukset: AAW, mor, 2010

• SISÄLLYSLUETTELO:
  KUVAAVA GEOMETRIA
  Ohjelma (9).
  Osa yksi
  1. Kuvailevan geometrian aihe (13).
  2-9. Huomiot, joilla pisteen sijainti avaruudessa määräytyy. Tietoja projektiomenetelmästä (kuvat 1-3) (13).
  10. Kuvailevan geometrian vertailu algebraan (27).
  11-13. Pintojen muodon ja sijainnin esittämisen peruskäsite. Sovellukset ja tasot (28).
  14-22. Joidenkin perustehtävien ratkaiseminen suoralla ja tasolla (Kuva 4-11) (33).
  Osa kaksi
  23-26. Kaarevien pintojen tangenttitasoissa ja normaaleissa (45).
  27-31. Menetelmä tangenttitasojen muodostamiseksi kaarevien pintojen tietyissä kohdissa (kuvat 12-15) (48).
  32. Ehdot, jotka määrittävät minkä tahansa kaarevan pinnan tangentin tason; huomautuksia kehitettävistä pinnoista (59).
  33-34. Tasoilla, jotka tangentit pintoja, jotka kulkevat näiden pintojen ulkopuolella määriteltyjen pisteiden kautta (62).
  35-44. Tasossa, joka tangentin yhden tai useamman pallon pintaa. Ympyrän, pallon, kartioprofiilien ja toisen asteen kaarevien pintojen huomionarvoisia ominaisuuksia (kuvat 16-22) (65).
  45-47. Tietoja tasosta, joka tangentti lieriömäisen, kartiomaisen ja pyörimispinnan pintoja, piirretty näiden pintojen ulkopuolella määritettyjen pisteiden läpi (kuvat 23-25) (81).
  Kolmas jakso
  48. Kaarevien pintojen leikkauskohdassa. Kaksoiskaarevuuskäyrien määritelmä (89).
  49-50. Kuvausgeometrian operaatioiden ja tuntemattomien eliminoinnin välinen vastaavuus algebrassa (90).
  51-56. Yleinen menetelmä pintojen leikkausviivojen projektioiden määrittämiseksi. Tämän menetelmän muunnelmia joitain erikoistapauksia varten (Kuva 26) (92).
  57-58. Pintojen leikkausviivojen tangentit (98).
  59-83. Pintojen leikkauspisteet: sylinterimäinen, kartiomainen jne. Nämä risteykset kehitetään tapauksissa, joissa kehitetään yksi niille pinnoille, joihin ne kuuluvat (kuvat 27-35) (100).
  84-87. Robervalin menetelmä muodostaa generoivan pisteen liikelain antaman käyrän tangentti. Tämän menetelmän soveltaminen ellipsiin ja kahden pyörimisellipsoidin, joilla on yhteinen fokus, leikkausviivaan (kuvat 36-37) (128).
  Neljäs jakso
  88-102. Pintaleikkausten soveltaminen erilaisten ongelmien ratkaisemiseen (kuvat 38-42) (132).
  Viides jakso
  103-109. Tietoja litteistä ja kaksoiskaarevuuskäyristä, niiden evoluutioista, involuutioista ja kaarevuussäteistä (fng.43-45) (156).
  110-112. Pinnasta, joka on kaksinkertaisen kaarevuuden evoluution geometrinen paikka; tällä pinnalla tutkittujen evoluutien merkittävä ominaisuus. Minkä tahansa kaksoiskaarevan käyrän muodostaminen jatkuvalla liikkeellä (163).
  113-124. Tietoja kaarevista pinnoista. Lauseen todistus: ”Jokaisella pinnalla on vain kaksi kaarevuutta missä tahansa kohdassa; jokaisella kaarevalla on oma suuntansa, oma säteensä, ja kaksi kaarta, joita pitkin nämä kaarevuus mitataan, ovat pinnalla kohtisuorassa toisiinsa nähden (kuvat 46-48) (166).
  125-129. Minkä tahansa pinnan kaarevuuslinjoista, sen kaarevuuskeskuksista ja pinnasta, joka on niiden geometrinen sijainti. Sovellus holvien jakamiseen kiilakiviksi ja kaivertamiseen (kuva 49) (176).
  130-131. Holvikivien leikkaaminen (180).
  VARJOTEORIA
  132. Kaavioihin käytettyjen varjojen eduista (187).
  133-135. Varjojen rakentamisesta (kuvat 50-52) (189).
  PERSPEKTIIVINEN TEORIA
  136-139 Menetelmät kohteiden esittämiseksi perspektiivissä (Kuva 53) (212).
  140-142. Sävyjen määrittämisestä esineiden kuvauksessa ja ilmaperspektiivistä (223).
  143. Värien muutoksista tietyissä olosuhteissa (233).
  SOVELLUKSET
  DI. Kuvia. Gaspard Monge ja hänen "kuvaava geometria" (245).
  OLEN. Lukomskaja. Luettelo Gaspard Mongen elämää ja työtä käsittelevistä teoksista ja kirjallisuudesta (258).
  Muistiinpanot (271).

Avaruusmuotojen litteiden kuvien tarpeen määräämää tietoa ja rakennusmenetelmiä on kertynyt vähitellen muinaisista ajoista lähtien. Pitkän ajan litteitä kuvia esitettiin ensisijaisesti visuaalisina kuvina. Tekniikan kehityksen myötä kysymys sellaisen menetelmän käytöstä, joka varmistaa kuvien tarkkuuden ja mitattavuuden, eli kyvyn määrittää tarkasti kuvan kunkin pisteen sijainti suhteessa muihin pisteisiin tai tasoihin ja määrittää yksinkertaisia ​​tekniikoita käyttäen. Viivojen ja kuvioiden segmenttien koosta on tullut erittäin tärkeä. Vähitellen kertyneet yksittäiset säännöt ja tekniikat tällaisten kuvien rakentamiseksi tuotiin järjestelmään ja kehitettiin ranskalaisen tiedemiehen Mongen työssä, joka julkaistiin vuonna 1799 otsikolla "Géometrie deskriptive".

Gaspard Monge (1746-1818) jäi historiaan suurena ranskalaisena geometrina 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa, insinöörinä, julkisuuden henkilönä ja valtiomiehenä vallankumouksen 1789-1794 aikana. ja Napoleon I:n hallituskausi, joka oli yksi Pariisin kuuluisan Ecole Polytechniquen perustajista, joka osallistui metrisen paino- ja mittajärjestelmän käyttöönottoon. Yhtenä Ranskan vallankumouksellisen hallituksen ministereistä Monge teki paljon suojellakseen sitä ulkomaisilta väliintuloilta ja vallankumouksellisten joukkojen voiton puolesta. Mongella ei heti ollut mahdollisuutta julkaista työtään, jossa hän esitteli kehittämänsä menetelmän. Ottaen huomioon tämän menetelmän suuren käytännön merkityksen piirustusten tekemisessä sotilaallisesti tärkeistä kohteista ja koska se ei halunnut Mongen menetelmän tulevan tunnetuksi Ranskan rajojen ulkopuolella, sen hallitus kielsi kirjan painamisen. Tämä kielto kumottiin vasta 1700-luvun lopulla. Bourbonin entisöinnin jälkeen Gaspard Mongea vainottiin, hänet pakotettiin piiloutumaan ja hän päätti elämänsä köyhyyteen. Mongen hahmottelema menetelmä on rinnakkainen projektiomenetelmä (suorakulmaiset projektiot otetaan kahdelle keskenään kohtisuoralle projektiotasolle)- Tasossa olevien kohteiden kuvien ilmaisukyvyn, tarkkuuden ja mitattavuuden varmistaminen oli ja on edelleen teknisten piirustusten päämenetelmä.

Sana suorakulmainen korvataan usein sanalla ortogonaalinen, muodostettu antiikin kreikkalaisista sanoista, jotka tarkoittavat "suoraa" ja "kulmaa". Seuraavassa esityksessä termi ortogonaaliset projektiot käytetään osoittamaan suorakaiteen muotoisten projektioiden järjestelmää keskenään kohtisuorassa olevissa tasoissa.

Tämä kurssi keskittyy ensisijaisesti suorakaiteen muotoisiin projektioihin. Jos käytetään rinnakkaisia ​​vinoja projektioita, tämä määritetään joka kerta.

Kuvaavasta geometriasta (DGE) on tullut opetuksen aihe maassamme vuodesta 1810 lähtien, jolloin kuvailevan geometrian tunnit aloitettiin vastikään perustetussa rautatieinsinöörien instituutissa muiden opetussuunnitelman tieteenalojen ohella. Tämä johtui sen jatkuvasti kasvavasta käytännön merkityksestä.

Rautatieinsinöörien instituutissa 1) tapahtui tästä instituutista vuonna 1814 valmistuneen Jakov Aleksandrovich Sevastyanovin (1796-1849) opetustoiminta, jonka nimissä ensimmäiset modernia kirjallisuutta käsittelevät teokset ilmestyivät Venäjällä. liittyvät. Ensin käännetty ranskasta, ja sitten ensimmäinen alkuperäinen teos nimeltä "Foundations of Descriptive Geometry" (1821), joka on omistettu pääasiassa ortogonaalisen projektion menetelmän esittelylle.

1) Nyt nimetty Leningradin rautatieinsinöörien instituutti. Akateemikko V. N. Obraztsov.

Ya A. Sevastyanov piti luentoja venäjäksi, vaikka opetus tapahtui noina vuosina yleensä ranskaksi. Siten Y. A. Sevastyanov loi perustan terminologian opetukselle ja vakiinnutukselle nykyaikana. heidän äidinkielellään. Jopa elämän aikana Ya A. Sevastyanov n. sisällytettiin useiden siviili- ja sotilasoppilaitosten opetussuunnitelmiin.

Merkittävä merkki nykyajan kehityksessä. 1800-luvulla Nikolai Ivanovitš Makarov (1824-1904), joka opetti tätä aihetta Pietarin teknologisessa instituutissa, ja Valerian Ivanovich Kurdyumov (1853-1904), joka oli professori Pietarin rautatietekniikan instituutissa. rakennustaiteen osastolla, jätti tämän instituutin kurssin n. d. V.I Kurdyumov antaa lukuisia esimerkkejä n:n käytöstä. teknisten ongelmien ratkaisemiseen.

V. I. Kurdyumovin toiminta ja teokset näyttivät lopettavan nykyajan lähes vuosisadan kestäneen kehityskauden. ja sen opetus Venäjällä. Tänä aikana eniten huomiota kiinnitettiin opetuksen organisointiin, oppikirjoiksi tarkoitettujen teosten luomiseen sekä parannettujen tekniikoiden ja menetelmien kehittämiseen useiden ongelmien ratkaisemiseksi. Nämä olivat merkittäviä ja tarpeellisia hetkiä opetuksen kehittämisessä n. G.; sen tieteellinen kehitys jäi kuitenkin jäljessä aiheen esittämismenetelmien alalla. Vain V. I. Kurdyumovin teoksissa teoria sai elävämmän pohdinnan. Samaan aikaan joissakin ulkomaissa 1800-luvulla jKr. on jo saavuttanut merkittävää tieteellistä kehitystä. Ilmeisesti ruuhkan poistamiseksi ja N:n tieteellisen sisällön kehittämiseksi edelleen. d. oli tarpeen laajentaa sen teoreettista perustaa ja siirtyä tutkimustyöhön.

Tämä näkyy kuuluisan venäläisen tiedemiehen, geometrikristallografin Evgraf Stepanovitš Fedorovin (1853 - 1919) sekä Nikolai Aleksejevitš Ryninin (1877-1942) teoksissa ja toiminnassa, joka jo viime vuosina ennen suurta lokakuun sosialistista vallankumousta kääntyi kuvailevan geometrian kehittämiseen tieteinä. Tähän mennessä kuvaava geometria on saanut merkittävää kehitystä Neuvostoliiton tutkijoiden N. A. Glagolev (1888-1945), A. I. Dobryakov (1895-1947), D. D. Mordukhai-Boltovsky (1876-1952), M. Gromo (1884-1963), S. M. Kolotov (1885-1965), N. F. Chetverukhin (1891-1974), I. I. Kotov (1909-1976) ja monet muut.

Kysymyksiä luvusta I

1. Miten pisteen keskusprojektio rakennetaan?
2. Milloin suoran keskiprojektio edustaa pistettä?
3. Mitä projektiomenetelmää kutsutaan rinnakkaiseksi?
4. Miten muodostetaan suoran yhdensuuntainen projektio?
5. Voiko suoran yhdensuuntainen projektio edustaa pistettä?
6. Jos piste kuuluu tietylle suoralle, kuinka niiden projektiot sijaitsevat keskenään?
7. Missä tapauksessa rinnakkaisprojektiossa suora segmentti projisoidaan luonnolliseen kokoonsa?
8. Mikä on Monge-menetelmä?
9. Mitä sana "ortogonaalinen" tarkoittaa?

Mongen menetelmä tai projektiomenetelmä on yhdensuuntaisen projektion menetelmä, ja suorakulmaiset projektiot otetaan kahdelle keskenään kohtisuoralle projektiotasolle. Vaakasuoraan sijoitettua tasoa kutsutaan projektioiden vaakatasoksi (merkitty P1) ja pystysuorassa olevaa tasoa projektioiden etutasoksi (merkitty P2).

Projektitasojen leikkausviivaa kutsutaan projektioakseliksi. Projektioakseli jakaa kunkin tason P1 ja P2 puolitasoiksi. Tälle akselille käytetään merkintää X (kuva 3). Kuvassa 4 on esitetty tietyn pisteen A projektioiden rakentaminen järjestelmässä P1, P2.

Kuva 3 Kuva 4

Pisteen A projektio vaakasuoralle projektiotasolle saadaan käyttämällä projektiosädettä, joka vedetään pisteen A läpi kohtisuoraan P1:tä vastaan, kunnes se leikkaa sen kanssa. Leikkauspistettä kutsutaan pisteen A vaakaprojektioksi ja se on merkitty A1.

Pisteen A frontaaliprojektio saadaan risteämällä pisteen A läpi piirretty projektio säde kohtisuoraan P2:een nähden ja se on merkitty A2:ksi.

Myös pisteiden ja suorien profiilien projektiot huomioidaan hyvin usein. Profiiliprojektiotaso (P3) sijaitsee kohtisuorassa molempiin projektiotasoihin nähden (kuva 5).

Projektitasojen leikkausviivoja kutsutaan projektioakseleiksi. Akseleita on yhteensä kolme: OX-akseli, OU-akseli ja OZ-akseli.

Kuva 5 Kuva 6

Jos piste A projisoidaan kaikille kolmelle projektiotasolle, saadaan kolme pisteen A projektiota – vaakasuora A1, frontaali A2 ja profiili A3 (kuva 6). Jos sinun on rakennettava monimutkainen piirustus tai Monge-kaavio (tämä on sama asia) pisteelle A, spatiaalinen tai visuaalinen kuva on muutettava tasomaiseksi. Kuvassa 7 näkyy, kuinka projektiotasot avautuvat: etutaso pysyy paikallaan, vaakataso muunnetaan 90 asteen kiertoliikkeellä OX-akselin ympäri, kunnes se on kohdistettu etutason kanssa, ja profiilitasoa kierretään 90 astetta oikealle ympäri. OZ-akselia, kunnes se on kohdistettu etuakselin kanssa. Tässä tapauksessa op-vahvistimen projektioiden akseli näyttää kaksihaarautuvan - se osallistuu projektioiden vaakatason muodostukseen ja on välttämätön projektioiden profiilitasolle.

Kuva 7 Kuva 8

Siten pisteen kaavio näyttää tältä kuvassa 8. Lisäksi sinun on kiinnitettävä huomiota siihen, että etäisyys pisteestä A tasoon P1 ilmaistaan ​​Z-koordinaatilla, etäisyys pisteestä A tasoon P2 ilmaistaan ​​Y-koordinaatilla ja tasoon P3 - X-koordinaatilla.

Hakemiston aikana hänestä tuli läheinen Napoleon, osallistui hänen kampanjaansa Egyptissä ja Egyptiläisen instituutin perustamiseen Kairoon (1798); nostettiin laskettavaksi.

Monge Gaspard (10.5.1746-28.7.1818) - ranskalainen geometri ja julkisuuden henkilö, Pariisin tiedeakatemian jäsen (1780). Kuvailevan geometrian luoja, yksi Pariisin Ecole Polytechniquen järjestäjistä ja sen pitkäaikainen johtaja. Syntynyt Bon Côte d'0r:ssä. Valmistui Mézièresin sotainsinöörien koulusta vuodesta 1768 ja vuodesta 1771 lähtien myös fysiikan professorina Louvren koulussa Hän harjoitti matemaattista analyysiä, kemiaa, meteorologiaa, käytännön mekaniikkaa Ranskan porvarillisen vallankumouksen aikana hän työskenteli uuden paino- ja mittajärjestelmän luomisessa, sitten hän oli merivoimien ministeri ja kansallisten asioiden järjestäjä. Puolustuksen aikana hän tuli läheiseksi Napoleonille, osallistui hänen kampanjaansa Egyptin instituuttiin (1798), joka loi (70-luvulla) nykyaikaisia ​​projektiopiirustusmenetelmiä - Kuvaileva geometria Mongen päätyö näistä aiheista oli "Descriptive Geometry" Hän teki myös tärkeitä löytöjä differentiaaligeometriassa vuonna 1770 ja 1773. Vuonna 1795 ja 1801 Mongen teoksia rajallisista ja erilaisista. eri pintojen yhtälöitä julkaistiin. Vuonna 1804 julkaistiin kirja "Analyysin soveltaminen geometriassa". Siinä Monge piti lieriömäisiä ja kartiomaisia ​​pintoja, jotka muodostuivat kiinteän pystysuoran linjan läpi kulkevan vaakaviivan liikkeestä, "kanavien" pintoja, pintoja, joissa suurimman kaltevuuden viivat kaikkialla muodostavat vakion kulman vaakatason kanssa; siirtopinnat jne. Kirjan liitteenä Monge esitti teoriansa 1. asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden integroinnista ja ratkaisunsa merkkijonojen värähtelyn ongelmaan. Kullekin pintatyypille johdin ensin differentiaaliyhtälön ja sitten äärellisen yhtälön. Ensimmäinen merkitsi kirjaimia p ja q z:n osittaisderivaataille suhteessa x:n ja y:n suhteen ja kirjaimia r, s ja t toisen asteen derivaateille.