LUKU VIII.

VIIVOJEN SUHTEELLISUUS. KUVIEN SAMANLAISUUS.

§ 93. SAMANLAISEN KUVOJEN RAKENTAMINEN.

1. Samankaltaisten kolmioiden rakentaminen.

Tiedämme jo, että samanlaisen kolmion rakentamiseksi kuin annettu, riittää, että vedetään kolmion sivun suuntainen viiva jostain kolmion sivulta otetusta pisteestä. Saamme samanlaisen kolmion kuin tämä (kuva 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Samankaltaisten polygonien rakentaminen.

Annetun monikulmion muodostamiseksi voidaan edetä seuraavasti: jaetaan annettu monikulmio kolmioksi diagonaaleilla, jotka on vedetty mistä tahansa sen kärjestä (kuva 383). Annetun monikulmion ABCDE joltakin puolelta, esimerkiksi sivulta AE, otamme jonkin pisteen E" ja vedämme linjan, joka on yhdensuuntainen sivun ED kanssa, kunnes se leikkaa diagonaalin AD, esimerkiksi pisteessä D".

Piirrä pisteestä D" sivun DC suuntainen viiva, kunnes se leikkaa diagonaalin AC pisteessä C". Piirrä pisteestä C" sivun CB suuntainen viiva, kunnes se leikkaa sivun AB pisteessä B". Tuloksena oleva polygoni AB"C"D"E on samanlainen kuin annettu polygoni ABCDE.

Tämän väitteen pätevyys todistetaan itsenäisesti.

Jos vaaditaan rakentamaan samankaltainen monikulmio kuin annettu, määritetyllä samankaltaisuuskertoimella, aloituspiste E" otetaan sivulta AE tai sen jatkeelta, vastaavasti, annetun samankaltaisuuskertoimen mukaan.

3. Tontin suunnitelman kuvaaminen.

a) Suunnitelman ammunta suoritetaan erityisellä laitteella ns dekantterilasi(kehittäjä 384).

Menzula on jalustalle asetettu neliömäinen lauta. Suunnitelmaa piirrettäessä lauta tuodaan vaakasuoraan asentoon, joka tarkistetaan tason avulla. Suorien viivojen piirtämiseen haluttuun suuntaan käytetään dioptrilla varustettua alidadia. Jokaisessa diopterissa on aukko, jossa hiukset venytetään, minkä ansiosta voit ohjata alidadea tarkasti oikeaan suuntaan. Vaakalle kiinnitetään painikkeilla valkoinen paperiarkki, jolle piirretään suunnitelma.

Ottaaksesi suunnitelman tontista ABCDE, valitse jokin piste O tontin sisältä niin, että kaikki tontin huiput näkyvät sieltä (kuva 385).

Luotiviivalla varustetun haarukan (kuva 386) avulla asteikko asetetaan niin, että paperille merkitty piste O osuu paikalle valittua pistettä O vasten.

Sitten dekantterilasiin kiinnitetyn paperiarkin pisteestä O säteet piirretään alidadilla pisteisiin A, B, C, D ja E; mittaa etäisyydet
OA, OB, OS, OD ja OE ja makaa näillä säteillä hyväksytyissä mittakaavalohkoissa
OA", OB", OS, OD" ja OE".

Pisteet A, B, C, D ja E ovat yhteydessä toisiinsa. Osoittautuu monikulmio A "B" C "D" E, joka on tietyn tontin suunnitelma hyväksytyssä mittakaavassa.

Kuvaamaamme mittakaavaammuntamenetelmää kutsutaan polaariseksi.

On olemassa muita tapoja ampua lentokonetta mittakaavalla, jotka löytyvät mittakaavakuvauksen erityisistä oppaista.

Jokaisessa suunnitelmassa annetaan yleensä mittakaava, jolla voidaan määrittää poistetun alueen todelliset mitat sekä sen pinta-ala.

Suunnitelma osoittaa myös pääpisteiden suunnan.

Käytännön työ.

a) Tee koulun työpajassa yksinkertaisin pienoismalli ja tee sen avulla suunnitelma jostain pienestä tontista.

b) Tonttisuunnitelman kartoitus voidaan tehdä astrolabian avulla.

Oletetaan, että on tarpeen poistaa tontin ABCDE suunnitelma. Otetaan yksi leikkauksen pisteistä, esimerkiksi A, alkupisteeksi ja mitataan astrolabilla pisteen A kulmat, ts.
/ 1, / 2, / 3 (kehittäjä 387).

Sitten mittaamme mittausketjulla etäisyydet AE, AD, AC ja AB. Suunnitelman piirtämisen mittakaava valitaan tontin koosta ja paperiarkin koosta, jolle suunnitelma levitetään.

Pisteessä A, joka on monikulmion kärkipiste, rakennamme kolme kulmaa, jotka vastaavat yhtä suuria kuin / 1, / 2 ja / 3; sitten valitulla asteikolla näiden kulmien sivuilla pisteestä A "poistaa segmentit A" E ", A" D", A "C" ja A "B". Yhdistetään pisteet A "ja E", E "ja D", D "ja C, C" ja B", B" ja A", saamme monikulmion A"B"C"D"E", joka on samanlainen kuin polygoni ABCDE. Tämä on suunnitelma tämä tontti, piirretty valitussa mittakaavassa.

Monia rakennusongelmia ratkaistaessa käytetään samankaltaisuusmenetelmää, jonka olemus on seuraava: ensin konstruoidaan annettua vastaava kuvio, jonka jälkeen tämä luku kasvaa (pienenee) vaaditussa suhteessa (eli vastaava luku on rakennettu), joka täyttää ongelman tilanteen.

Prosessi, jossa opitaan soveltamaan samankaltaisuutta rakentamisongelmien ratkaisemiseen, tulisi jakaa neljään vaiheeseen: valmisteleva, johdatus, taitojen muodostaminen, taitojen kehittäminen. Jokaisella vaiheella on oma didaktinen tavoitteensa, joka saavutetaan, kun opiskelijat suorittavat erityisesti suunniteltuja tehtäviä.

Valmisteluvaiheen didaktisena tavoitteena on kehittää opiskelijoiden taitoja: korostaa hahmon muodon määrääviä tietoja, paljon toistensa kaltaisia ​​hahmopareja; rakentaa hahmo muodon määrittelevien tietojen mukaan; siirtyä rakennetusta hahmosta haluttuun hahmoon.

Tutkittuamme kolmioiden ensimmäistä samankaltaisuuden merkkiä voimme ehdottaa seuraavaa joukkoa tehtäviä:

Rakenna kolmio, jossa on kaksi kulmaa. Kuinka monta ratkaisua ongelmalla on? Mitkä elementit määräävät rakennettujen kolmioiden muodon?

Nimeä samanlaiset kolmiot kuvassa 35.

Seuraavat kolmion alkiot tunnetaan: a) kulmat 75 ja 25; b) korkeus 1,5 cm; c) kulmat 75 ja 25, korkeus 1,5 cm Mikä näistä tiedoista määrittää ainoan luvun kuvassa 35?

Mitkä kulmat määräävät kuvan 35 kolmioiden muodon?

Onko mahdollista määrittää yhden kuvan 35 kolmioista mitat, jos seuraavat tiedot tulevat tunnetuksi: a) kulmat kolmion pohjassa; b) kolmion korkeus; c) sivu ja kulmat pohjassa?

Ovatko kolmiot ABC ja ABC samanlaisia ​​kuvassa 36, ​​jos ACAC? jos ne ovat samanlaisia, mikä on niiden samankaltaisuuskerroin?

Tehtäväsarja, joka esitetään opiskelijoille kolmioiden samankaltaisuuden toisen ja kolmannen merkin tutkimisen jälkeen, kootaan samalla tavalla. Tästä ominaisuudesta toiseen siirryttäessä kysymykset kuitenkin muuttuvat hieman monimutkaisemmiksi, nimittäin: kuvien kolmioiden sijainti muuttuu, siirtyessä pois vakiosta, muuttuu ainoan kuvion määrittelevän elementin joukko. Tehtävät voisi olla esimerkiksi:

1. Ovatko kolmiot ABC ja ABC samanlaisia, jos:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB = 1,7 cm, BC = 3 cm, SA = 4,2 cm, AB = 34 cm, BC = 60 cm, SA = 84 cm.

2. Kolmioon ABC, jonka terävä kulma on C, piirretään korkeudet AE ja BD (kuva 37). Todista, että ABC on samanlainen kuin EDC.

3. Osoita, että samankaltaisten kolmioiden kehät liittyvät vastaaviin sivuihin.

Johdatusvaiheen didaktinen tarkoitus on selittää opiskelijoille rakennusprosessin rakennetta samankaltaisuusmenetelmällä.

Selitys alkaa ongelmasta.

Tehtävä. Muodosta kolmio, jossa on kaksi annettua kulmaa ja ja puolittaja, jonka pituus on d vedettynä kolmannen kulman kärjestä.

Analysoidessaan tehtävää opiskelijoiden kanssa opettaja tarjoaa tehtäviä - kysymyksiä, joiden vastaukset kirjataan lyhyesti taululle. Kysymyksiä voisi olla:

1. Mitkä tiedot määräävät halutun kolmion muodon?

2. Mitkä tiedot määräävät halutun kolmion mitat?

3. Kuinka monta kolmiota voidaan rakentaa kahdella kulmalla? Mikä on kaikkien rakennettujen kolmioiden rakennemuoto?

4. Mikä jana tulisi piirtää halutun kaltaiseen kolmioon?

5. Kuinka rakentaa tarvittava kolmio?

Vastausten yhteydessä on taululle piirretty vapaalla kädellä (kuva 38).

a) ABC: A=, B=;

b) rakentaa kulman C puolittaja kolmioon ABC,

c) konstrukti СN=d, NCD;

d) piirrä suora pisteen N, AB kautta;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - haluttu: A=, B= (koska ABC ABC 1 ominaisuudella) ja CN=d rakenteen mukaan. Lavan didaktinen tarkoitus, joka muodostaa kyvyn ratkaista käsiteltävän tyyppisiä ongelmia, käy selväksi jo nimestä. Pääasiallinen toimintamuoto tässä vaiheessa on yksilöllinen haku. Se päättyy yhteenvetokeskusteluun.

Tässä on esimerkkejä tehtävistä, joita voidaan ehdottaa tässä vaiheessa.

Tehtävä. Kulman AOB sisällä on annettu piste F. Muodosta piste M sivulle OA, joka on yhtä kaukana F:stä ja sivusta OB

Ratkaisu.

1. Analyysi. Siirrytään kuvaan 39. Rakennetaan piste M, jolloin MF=MP. Tämä tarkoittaa, että haluttu piste M on ympyrän keskipiste, jonka säde on MF ja jonka keskipiste on M ja koskettaa sivua OB pisteessä P.

Jos otamme mielivaltaisen pisteen M OA:lla ja pudotamme MP CB:hen ja löydämme F ympyrän ja säteen MP keskipisteen M leikkauspisteen suoran OF kanssa, MFP on samanlainen kuin MFP. Tästä seuraa vaadittu rakenne.

2. Rakentaminen. Piirrämme OF:n, otamme mielivaltaisen pisteen M pisteessä CA ja laskemme MP:n CB:hen. Piirretään ympyrä, jonka säde on MP, jonka keskipiste on pisteessä M. Olkoon F tämän ympyrän leikkauspiste OF:n kanssa. Piirrämme FM ja sitten piirrämme suoran pisteen FFM läpi. Tämän suoran ja OA:n leikkauspiste M on vaadittu piste.

3. Todistus. Se käy ilmi tehdystä analyysistä.

4. Tutkimus. Ongelmalla on 2 ratkaisua. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että ympyrä leikkaa OF:n kahdessa pisteessä.

Tehtävä. Rakenna kolmio, jossa on 2 kulmaa ja kehä.

Ratkaisu.

1. Analyysi. Olkoon ja kulmat ja P halutun kolmion ympärysmitta (kuva 40). Oletetaan, että haluttu kolmio on rakennettu, niin jos katsotaan mikä tahansa ABC halutun kaltaiseksi, kehän P ABC suhde kehään P ABC on yhtä suuri kuin sivujen AC ja AC suhde.

2. Rakentaminen. Muodostetaan halutun kaltainen ABC. Aseta säteen AB sivuun janat AD=P ja AD=P, yhdistä sitten pisteet D ja C ja vedä viiva DC pisteen D läpi. Olkoon C suoran ja säteen AC leikkauspiste. Piirrä viiva CB pisteen C kautta ja merkitse tämän suoran leikkauspiste AD:lla, jolloin ABC on pakollinen.

3. Todistus. On selvää, että ACD on samanlainen kuin ACD. Kuvasuhde on yhtä suuri kuin samanlaisten ABC:n ja ABC:n kehän suhde, joten kehä ABC \u003d P, joten ABC on haluttu.

4. Tutkimus. Koska minkä tahansa kolmion kahden kulman summa<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Tehtävä. Annettu AOB ja piste M, joka sijaitsee tämän kulman sisäalueella. Muodosta ympyrä, joka kulkee pisteen A kautta ja koskettaa kulman AOB sivuja.

Ratkaisu.

1. Analyysi. Olkoon AOB annettu ja piste M, joka sijaitsee kulman sisäalueella (kuva 41).

Piirretään toinen ympyrä, joka koskettaa AOB:n sivuja. Olkoon M ympyrän ja suoran OM leikkauspiste ja harkitse OMN ja OMN (ympyrän N ja N keskusta ja).

Nämä kolmiot ovat samanlaisia ​​kahdessa kulmassa, joten halutun ympyrän rakentaminen voidaan tehdä seuraavasti:

2. Rakentaminen. Koska halutun ympyrän keskipiste on puolittajalla AOB, piirretään kulman puolittaja. Edelleen otamme tässä pisteen N ja rakennamme ympyrän, jonka keskipiste N koskettaa AOB:ta. Sitten piirrämme linjan SM ja merkitsemme M - linjan leikkauspisteen ympyrän kanssa (tällaisia ​​​​pisteitä on kaksi - M ja M - otamme yhden niistä). Piirrämme suoran MN ja sen suoran pisteen M läpi. Tällöin N on suoran leikkauspiste kulman puolittajan kanssa ja on halutun ympyrän keskipiste ja sen säde on yhtä suuri kuin MN. Saadaan hänet läpi.

3. Todistus. Rakenteen mukaan ympyrä on samanlainen, O on samankaltaisuuden keskus. Tämä seuraa kolmioiden OMN ja OMN samankaltaisuudesta, joten koska ympyrä koskettaa kulman sivuja, ympyrä koskettaa myös kulman sivuja.

4. Tutkimus. Ongelmalla on kaksi ratkaisua, koska OM leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä M ja M, joista kukin vastaa omaa ympyrää, joka kulkee pisteen M läpi ja koskettaa AOB:n sivuja.

Edellä mainitun tyyppisten ongelmien ratkaisukykyä parantavan vaiheen didaktisena tavoitteena on muotoillun taidon siirtäminen monimutkaisempiin ongelmiin, erityisesti seuraaviin tilanteisiin: haluttu hahmo on tietyssä asemassa annettuihin pisteisiin nähden tai riviä, kun taas yhden ongelman ehdon poistaminen johtaa samanlaisten tai homoteettisten lukujen järjestelmään. Otetaan esimerkki tällaisesta tehtävästä.

Tehtävä. Merkitse neliö annettuun kolmioon siten, että sen kaksi kärkeä on kolmion toisella puolella ja kaksi muuta ovat kahdella muulla sivulla.

Tämän vaiheen tavoitteita vastaavat tehtävät eivät kuulu pakollisen tason tehtäviin. Siksi niitä tarjotaan vain hyvin suoriutuville opiskelijoille. Tässä vaiheessa päähuomio kiinnitetään opiskelijoiden yksilölliseen hakutoimintaan.

Yleensä kahta kolmiota pidetään samanlaisina, jos niillä on sama muoto, vaikka ne olisivat erikokoisia, kierrettyjä tai jopa ylösalaisin.

Kuvassa esitetty kahden samanlaisen kolmion A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaattinen esitys kirjoitetaan seuraavasti:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Kaksi kolmiota ovat samanlaisia, jos:

1. Kolmion jokainen kulma on yhtä suuri kuin toisen kolmion vastaava kulma:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 ja ∠C1 = ∠C2

2. Yhden kolmion sivujen suhteet toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Suhteet kaksi puolta yhden kolmion sivut toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret ja samaan aikaan
näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
tai
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
tai
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$

Samanlaisia ​​kolmioita ei pidä sekoittaa samanlaisiin kolmioihin. Samansuuntaisilla kolmioilla on vastaavat sivujen pituudet. Eli yhtä suuret kolmiot:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Tästä seuraa, että kaikki yhtäläiset kolmiot ovat samanlaisia. Kaikki samanlaiset kolmiot eivät kuitenkaan ole samanarvoisia.

Vaikka yllä oleva merkintä osoittaa, että saadaksemme selville, ovatko kaksi kolmiota samanlaisia ​​vai eivät, meidän on tiedettävä kolmen kulman arvot tai kunkin kolmion kolmen sivun pituudet, jotta voimme ratkaista samankaltaisia ​​kolmioita koskevia ongelmia, se riittää, kun tiedät kolme arvoa yllä olevista kullekin kolmiolle. Nämä arvot voivat olla eri yhdistelmissä:

1) kunkin kolmion kolme kulmaa (kolmioiden sivujen pituuksia ei tarvitse tietää).

Tai vähintään yhden kolmion 2 kulman on oltava yhtä suuri kuin toisen kolmion 2 kulmaa.
Koska jos 2 kulmaa ovat yhtä suuret, myös kolmas kulma on yhtä suuri. (Kolmannen kulman arvo on 180 - kulma1 - kulma2)

2) kunkin kolmion sivujen pituudet (kulmia ei tarvitse tietää);

3) molempien sivujen pituudet ja niiden välinen kulma.

Seuraavaksi tarkastellaan joidenkin ongelmien ratkaisua samanlaisilla kolmioilla. Ensin tarkastellaan ongelmia, jotka voidaan ratkaista käyttämällä suoraan yllä olevia sääntöjä, ja sitten keskustelemme käytännön ongelmista, jotka voidaan ratkaista samankaltaisten kolmioiden menetelmällä.

Käytännön ongelmia vastaavien kolmioiden kanssa

Esimerkki 1: Osoita, että alla olevan kuvan kaksi kolmiota ovat samanlaisia.

Ratkaisu:
Koska molempien kolmioiden sivujen pituudet tunnetaan, voidaan tässä soveltaa toista sääntöä:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esimerkki 2: Osoita, että kaksi annettua kolmiota ovat samanlaisia ​​ja laske sivujen pituudet PQ ja PR.

Ratkaisu:
∠A = ∠P ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(koska ∠C = 180 - ∠A - ∠B ja ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Tästä seuraa, että kolmiot ∆ABC ja ∆PQR ovat samanlaisia. Näin ollen:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollaria

Esimerkki #3: Määritä pituus AB tässä kolmiossa.

Ratkaisu:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED ja ∠A yhteiset => kolmiot ΔABC ja ΔADE ovat samankaltaisia.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \oikea nuoli 2\ kertaa AB = AB + 4 \oikea nuoli AB = 4 $

Esimerkki #4: Määritä pituus AD(x) geometrinen kuvio kuvassa.

Kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia, koska AB || DE ja niillä on yhteinen yläkulma C.
Näemme, että yksi kolmio on skaalattu versio toisesta. Meidän on kuitenkin todistettava se matemaattisesti.

AB || DE, CD || AC ja BC || EU
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC

Perustuu edellä olevaan ja ottaen huomioon yhteisen kulman olemassaolo C, voimme todeta, että kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia.

Näin ollen:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \ kertaa 11)(7 ) = 23,57 dollaria
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Käytännön esimerkkejä

Esimerkki #5: Tehdas käyttää kaltevaa kuljetinhihnaa tuotteiden kuljettamiseen tasolta 1 tasolle 2, joka on 3 metriä tason 1 yläpuolella, kuten kuvassa näkyy. Kalteva kuljetin huolletaan toisesta päästä tasolle 1 ja toisesta päästä työpisteeseen, joka sijaitsee 8 metrin etäisyydellä tason 1 toimintapisteestä.

Tehdas haluaa päivittää kuljettimen päästäkseen uudelle tasolle, joka on 9 metriä tason 1 yläpuolella, samalla kun kuljetinkulma säilyy.

Määritä etäisyys, jolle sinun on asennettava uusi työasema varmistaaksesi, että kuljetin toimii uudessa päässään tasolla 2. Laske myös lisämatka, jonka tuote kulkee siirtyessään uudelle tasolle.

Ratkaisu:

Merkitään ensin jokainen risteyspiste tietyllä kirjaimella, kuten kuvassa näkyy.

Edellä aiemmissa esimerkeissä esitetyn päättelyn perusteella voimme päätellä, että kolmiot ∆ABC ja ∆ADE ovat samanlaisia. Näin ollen

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \kertaa 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Uusi piste on siis asennettava 16 metrin etäisyydelle olemassa olevasta pisteestä.

Ja koska rakenne koostuu suorakulmaisista kolmioista, voimme laskea tuotteen matkan etäisyyden seuraavasti:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Vastaavasti $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mikä on matka, jonka tuote kulkee sillä hetkellä, kun se saavuttaa olemassa olevan tason.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Tämä on ylimääräinen matka, joka tuotteen on kuljettava saavuttaakseen uuden tason.

Esimerkki #6: Steve haluaa käydä ystävänsä luona, joka muutti äskettäin uuteen taloon. Kuvassa on reittikartta Steven ja hänen ystävänsä taloon pääsemiseksi sekä Steven tuntemat etäisyydet. Auta Steveä pääsemään ystävänsä taloon lyhimmällä tavalla.

Ratkaisu:

Tiekartta voidaan esittää geometrisesti seuraavassa muodossa, kuten kuvassa näkyy.

Näemme, että kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia, joten:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Tehtäväselosteessa sanotaan, että:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km

Näiden tietojen avulla voimme laskea seuraavat etäisyydet:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \kertaa CD)(BC) = \frac(13,13 \kertaa 4,41) (13,23) = 4,38 km$

Steve pääsee ystävänsä kotiin seuraavia reittejä pitkin:

A -> B -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Siksi reitti #3 on lyhin ja voidaan tarjota Stevelle.

Esimerkki 7:
Trisha haluaa mitata talon korkeuden, mutta hänellä ei ole oikeita työkaluja. Hän huomasi, että talon edessä oli kasvanut puu, ja päätti käyttää koulussa saamaansa kekseliäisyyttä ja geometriatietoa rakennuksen korkeuden määrittämiseen. Hän mittasi etäisyyden puusta taloon, tulos oli 30 m. Sitten hän seisoi puun edessä ja alkoi perääntyä, kunnes rakennuksen yläreuna näkyi puun latvan yläpuolella. Trisha merkitsi paikan ja mittasi etäisyyden siitä puuhun. Tämä etäisyys oli 5 m.

Puun korkeus on 2,8 m ja Trishan silmien korkeus 1,6 m. Auta Trishaa määrittämään rakennuksen korkeus.

Ratkaisu:

Ongelman geometrinen esitys on esitetty kuvassa.

Ensin käytämme kolmioiden ∆ABC ja ∆ADE samankaltaisuutta.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Oikeanuoli 2.8 \kertaa AC = 1.6 \kertaa (5) + AC) = 8 + 1,6 \ kertaa AC$

$(2,8 - 1,6) \ kertaa AC = 8 \Oikea nuoli AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $

Voidaan sitten käyttää kolmioiden ∆ACB ja ∆AFG tai ∆ADE ja ∆AFG samankaltaisuutta. Valitaan ensimmäinen vaihtoehto.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \nuoli oikealle H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Tehtävä 1. Muodosta kolmio, kun tiedät sen kaksi kulmaa ja kehä.

Ratkaisu. Kolmion kulmien tunteminen määrittää sen jo samankaltaisuusmuunnokseen asti. Siksi ongelman ratkaisemiseksi rakennamme minkä tahansa kolmion LS annetuilla kulmilla (kuva 277). On vielä muutettava kolmio samalla tavalla niin, että sen kehä tulee yhtä suureksi kuin annettu arvo.

Tätä varten aseta sen sivut sivun jatkeille, segmentti on yhtä suuri kuin kolmion kehä. Otetaan mikä tahansa jana KL janan suuntaisesti, mutta sama kuin annettu kehä. Yhdistämme molempien rinnakkaisten segmenttien päät ja otamme suorien leikkauspisteen O samankaltaisuuden keskipisteeksi. Halutun kolmion kärkien A ja C rakenne näkyy kuvasta. 277, sen sivut AB ja CB ovat samansuuntaiset kolmion vastaavien sivujen kanssa.

Kolmion tapauksessa - jo haluttu.

Tehtävä 2. Annetaan säteiden OA ja OB muodostama kulma ja tämän kulman sisällä oleva piste N. Muodosta ympyrä, joka tangentti kulman sivuja ja kulkee annetun pisteen N läpi (kuva 278).

Ratkaisu. Ympyrän tangentti kulman sivuille on keskitettävä kulman puolittajalle. Ota mielivaltainen piste tälle puolittajalle ja rakenna ympyrä, jonka keskipiste on kulman sivuilla (sen säde on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin pisteen etäisyys kulman sivuista). Jos nyt muunnetaan tämä ympyrä samalla tavalla samankaltaisuuskeskuksen kanssa kulman O kärjessä, niin taas saadaan ympyrä, jonka keskipiste on puolittaja; tällainen ympyrä koskettaa jälleen kulman sivuja, koska sen kosketuspisteeseen johtava säde menee kulmien säilymisen vuoksi kulman sivuun nähden kohtisuoraan säteeseen. Jäljelle jää toisen ehdon täyttyminen: muunnetun ympyrän tulee kulkea pisteen N läpi. Tämä merkitsee ongelman ratkaisua. Piirrä säde PÄÄLLE ympyrän leikkauspisteeseen ja muodosta sen näihin pisteisiin johtavat säteet. Tietyn pisteen N kautta vedetään näiden säteiden suuntaiset suorat NC ja NC; niiden leikkauspisteet C, C puolittajan kanssa ja anna halutun ympyrän keskipisteen mahdolliset paikat. Ongelmalla on kaksi ratkaisua. Miten ratkaisu muuttuu, jos piste N on kulman puolittajalla?

Harjoitukset

1. Kolmion ympärysmitta on 10 cm ja sen pinta-ala Mikä on samanlaisen kolmion kehä, jos sen pinta-ala on?

2. Todista, että tasakylkiset kolmiot, joilla on samat kärkikulmat, ovat samanlaisia.

3. Muodosta kolmio, joka on samanlainen kuin annettu ja piirretty tietyn säteen ympyrään.

4. Merkitse neliö annettuun kolmioon ABC siten, että sen toinen sivu on kolmion sivulla BC ja kaksi kärkeä on kolmion kahdella muulla sivulla.