Reaaliluvun n:nnen juuren käsite. N:nnen asteen juuri: määritelmät, nimitys, esimerkit

Oppituntikäsikirjoitus luokalla 11 aiheesta:

Reaaliluvun n:s juuri. »

Oppitunnin tarkoitus: Kokonaisvaltaisen näkemyksen juuresta muodostuminen opiskelijoissa n-astetta ja n:nnen asteen aritmeettista juuria, laskennallisten taitojen muodostumista, juuren ominaisuuksien tietoisen ja rationaalisen käytön taitoa erilaisten radikaalin sisältävien ongelmien ratkaisemisessa. Tarkistaa opiskelijoiden aiheen kysymysten hallitsemisen taso.

Aihe:luoda mielekkäät ja organisatoriset olosuhteet aiheen materiaalin omaksumiselle " Numeeriset ja aakkoslliset lausekkeet » havainnoinnin, ymmärtämisen ja ensisijaisen ulkoamisen tasolla; muodostaa kyky soveltaa tätä tietoa laskettaessa n:nnen asteen juuria reaaliluvusta;

Metasubject: edistää tietojenkäsittelytaitojen kehittymistä; kyky analysoida, vertailla, yleistää, tehdä johtopäätöksiä;

Henkilökohtainen: viljellä kykyä ilmaista näkökulmaa, kuunnella toisten vastauksia, osallistua vuoropuheluun, muodostaa kykyä positiiviseen yhteistyöhön.

Suunniteltu tulos.

Aihe: osaa soveltaa n:nnen asteen juuren ominaisuuksia reaaliluvusta todellisen tilanteen prosessissa juuria laskettaessa, yhtälöitä ratkaistaessa.

Henkilökohtainen: muodostaa tarkkaavaisuutta ja tarkkuutta laskennassa, vaativaa asennetta itseään ja työhönsä kohtaan, kasvattaa keskinäisen avun tunnetta.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti ja uuden tiedon ensisijainen lujittaminen

Motivaatio oppimiseen:

Itämainen viisaus sanoo: "Voit viedä hevosen veteen, mutta et voi saada häntä juomaan." Ja on mahdotonta pakottaa henkilöä opiskelemaan hyvin, jos hän itse ei yritä oppia lisää, ei halua työskennellä henkisen kehityksensä parissa. Loppujen lopuksi tieto on vain tietoa, kun se on hankittu ajatuksen ponnisteluilla, ei pelkästään muistin avulla.

Tuntimme pidetään mottona: "Voittamme minkä tahansa huipun, jos pyrimme siihen." Oppitunnin aikana sinulla ja minulla on oltava aikaa voittaa useita huippuja, ja jokaisen on tehtävä kaikkensa valloittaakseen nämä huiput.

"Tänään meillä on oppitunti, jossa meidän on tutustuttava uuteen käsitteeseen "n-juuri" ja opittava soveltamaan tätä käsitettä erilaisten ilmaisujen muuntamiseen.

Tavoitteesi on aktivoida olemassa olevaa tietoa erilaisten työmuotojen pohjalta, osallistua materiaalin opiskeluun ja saada hyviä arvosanoja.
Tutkimme reaaliluvun neliöjuurta 8. luokalla. Neliöjuuri liittyy näkymäfunktioon y=x 2. Kaverit, muistatko kuinka laskimme neliöjuuret ja mitä ominaisuuksia sillä oli?
a) Yksilöllinen kysely:

mikä tämä ilmaisu on

mikä on neliöjuuri

mikä on aritmeettinen neliöjuuri

luettele neliöjuuren ominaisuudet

b) työskentele pareittain: laske.

2. Tiedon päivittäminen ja ongelmatilanteen luominen: Ratkaise yhtälö x 4 =1. Miten voimme ratkaista sen? (Analyyttisesti ja graafisesti). Ratkaistaan se graafisesti. Tätä varten rakennamme yhdessä koordinaattijärjestelmässä funktion y \u003d x 4 suora y \u003d 1 kaavion (kuva 164 a). Ne leikkaavat kaksi pistettä: A (-1;1) ja B(1;1). Pisteiden A ja B abskissat, ts. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, ovat yhtälön x 4 \u003d 1 juuret.
Väittelemällä samalla tavalla löydämme yhtälön x 4 \u003d 16 juuret: Yritetään nyt ratkaista yhtälö x 4 \u003d 5; geometrinen kuva on esitetty kuvassa. 164 b. On selvää, että yhtälöllä on kaksi juuria x 1 ja x 2, ja nämä luvut, kuten kahdessa edellisessä tapauksessa, ovat keskenään vastakkaisia. Mutta kahdelle ensimmäiselle yhtälölle juuret löydettiin ilman vaikeuksia (ne löytyivät myös ilman kaavioita), ja yhtälön x 4 \u003d 5 kanssa on ongelmia: piirustuksen mukaan emme voi osoittaa arvoja\ u200b\u200juurista, mutta voimme vain todeta, että yksi juuri sijaitsee pisteen -1 vasemmalla puolella ja toinen - pisteen 1 oikealla puolella.

x 2 \u003d - (lue: "neljäs juuri viidestä").

Puhuimme yhtälöstä x 4 \u003d a, jossa a 0. Yhtä hyvin voisimme puhua yhtälöstä x 4 \u003d a, jossa a 0 ja n ovat mikä tahansa luonnollinen luku. Esimerkiksi ratkaisemalla graafisesti yhtälö x 5 \u003d 1, löydämme x \u003d 1 (kuva 165); ratkaisemalla yhtälön x 5 "= 7, todetaan, että yhtälöllä on yksi juuri x 1, joka sijaitsee x-akselilla hieman pisteen 1 oikealla puolella (katso kuva 165). Lukulle x 1 otetaan käyttöön merkintä.

Määritelmä 1. Ei-negatiivisen luvun a (n = 2, 3.4, 5, ...) n:nnen asteen juuri on ei-negatiivinen luku, joka nostettuna n:n potenssiin johtaa luvun a.

Tämä numero on merkitty, numeroa a kutsutaan juurinumeroksi ja lukua n on juuriindeksi.
Jos n = 2, he eivät yleensä sano "toisen asteen juuri", vaan "neliöjuuri". Tässä tapauksessa he eivät kirjoita. Tämä on se erikoistapaus, jota tutkit erityisesti 8. luokan algebran kurssi.

Jos n \u003d 3, niin "kolmannen asteen juuren" sijasta he usein sanovat "kuutiojuuri". Ensimmäinen tutustumisesi kuutiojuureen tapahtui myös 8. luokan algebran kurssilla. Käytimme kuutiojuurta 9. luokan algebran kurssilla.

Joten jos a ≥0, n= 2,3,4,5,…, niin 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Yleensä =b ja b n =a - sama suhde ei-negatiivisten lukujen a ja b välillä, mutta toinen on kuvattu yksinkertaisemmalla kielellä (käyttää yksinkertaisempia symboleja) kuin ensimmäinen.

Ei-negatiivisen luvun juuren löytämisoperaatiota kutsutaan yleensä juuren erottamiseksi. Tämä operaatio on päinvastainen kuin vastaavaan tehoon nostaminen. Vertailla:

Huomio jälleen: taulukossa näkyy vain positiivisia lukuja, koska tämä on määrätty määritelmässä 1. Ja vaikka esimerkiksi (-6) 6 \u003d 36 on oikea yhtälö, siirry siitä merkintään neliöjuuren avulla, ts. kirjoita mitä et osaa. Määritelmän mukaan - positiivinen luku, joten = 6 (eikä -6). Samalla tavalla, vaikka 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, siirtyen juurien merkkeihin, meidän on kirjoitettava \u003d 2 (ja samalla ≠-2).

Joskus ilmaisua kutsutaan radikaaliksi (latinan sanasta gadix - "juuri"). Venäjällä termiä radikaali käytetään melko usein, esimerkiksi "radikaalimuutokset" tarkoittaa "radikaaleja muutoksia". Muuten, juuri juuren nimitys muistuttaa sanaa gadix: symboli on tyylitelty r-kirjain.

Juuren erotustoiminto määritetään myös negatiiviselle juuriluvulle, mutta vain parittoman juurieksponentin tapauksessa. Toisin sanoen yhtälö (-2) 5 = -32 voidaan kirjoittaa uudelleen vastaavaan muotoon =-2. Tässä käytetään seuraavaa määritelmää.

Määritelmä 2. Parittoman asteen n juuri negatiivisesta luvusta a (n = 3,5, ...) on negatiivinen luku, joka nostettuna n:n potenssiin johtaa luvun a.

Tätä numeroa, kuten määritelmässä 1, merkitään , numero a on juuriluku, luku n on juuriindeksi.
Joten jos a, n=,5,7,…, niin: 1) 0; 2) () n = a.

Siten parillinen juuri on järkevä (eli on määritelty) vain ei-negatiiviselle radikaalilausekkeelle; pariton juuri on järkevä mille tahansa radikaalille ilmaisulle.

5. Ensisijainen tiedon konsolidointi:

1. Laske: nro nro 33,5; 33,6; 33,74 33,8 suullisesti a) ; b) ; sisään) ; G) .

d) Toisin kuin edellisissä esimerkeissä, emme voi määrittää luvun tarkkaa arvoa. On vain selvää, että se on suurempi kuin 2, mutta pienempi kuin 3, koska 2 4 \u003d 16 (tämä on pienempi kuin 17) ja 3 4 \u003d 81 (tämä enemmän kuin 17). Huomaa, että 24 on paljon lähempänä lukua 17 kuin 34, joten on syytä käyttää likimääräistä yhtäläisyysmerkkiä:
2. Etsi seuraavien lausekkeiden arvot.

Laita vastaava kirjain esimerkin viereen.

Vähän tietoa suuresta tiedemiehestä. René Descartes (1596-1650) ranskalainen aatelismies, matemaatikko, filosofi, fysiologi, ajattelija. Rene Descartes loi perustan analyyttiselle geometrialle, otti käyttöön kirjainmerkit x 2 , y 3 . Kaikki tietävät karteesiset koordinaatit, jotka määrittelevät muuttujan funktion.

3 . Ratkaise yhtälöt: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Päätös: a) Jos = -2, niin y = -8. Itse asiassa meidän on kuutioitettava annetun yhtälön molemmat osat. Saamme: 3x+4= - 8; 3x = -12; x = -4. b) Väittelemällä kuten esimerkissä a), nostamme yhtälön molemmat puolet neljänteen potenssiin. Saamme: x=1.

c) Tässä ei tarvitse nostaa neljänteen potenssiin, tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Miksi? Koska määritelmän 1 mukaan parillisen asteen juuri on ei-negatiivinen luku.
Huomioiksesi on useita tehtäviä. Kun suoritat nämä tehtävät, opit suuren matemaatikon nimen ja sukunimen. Tämä tiedemies vuonna 1637 esitteli ensimmäisenä juuren merkin.

6. Levätään vähän.

Luokka nostaa kätensä - tämä on "aika".

Pää kääntyi - se on "kaksi".

Kädet alas, katso eteenpäin - tämä on "kolme".

Kädet kääntyivät leveämmäksi sivuille "neljällä",

Niiden painaminen käsiäsi vasten voimalla on "viisi".

Kaikkien miesten on istuttava alas - tämä on "kuusi".

7. Itsenäinen työ:

vaihtoehto: 2 vaihtoehtoa:

b) 3-. b) 12-6.

2. Ratkaise yhtälö: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02 x 6 -1,28 = 0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3 x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c) = 2

8. Toisto: Etsi yhtälön juuri = - x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseen pienempi juurista.

9. Heijastus: Mitä opit tunnilla? Mikä oli mielenkiintoista? Mikä oli vaikeaa?

X 4 =1 ja ratkaise se graafisesti. Tätä varten rakennamme yhdessä koordinaattijärjestelmässä funktion y \u003d x n kaavion suoraksi y \u003d 1 (kuva 164 a). Ne leikkaavat kahdessa pisteessä:

Ne ovat yhtälön x 4 \u003d 1 juuret.
Väittelemällä samalla tavalla, löydämme yhtälön x 4 \u003d 16 juuret:

Ja nyt yritetään ratkaista yhtälö x 4 \u003d 5; geometrinen kuva on esitetty kuvassa. 164 b. On selvää, että yhtälöllä on kaksi juuria x 1 ja x 2, ja nämä luvut, kuten kahdessa edellisessä tapauksessa, ovat keskenään vastakkaisia. Mutta kahdelle ensimmäiselle yhtälölle juuret löytyi vaikeuksitta (ne löytyi ilman kaavioita), mutta yhtälön x 4 \u003d 5 kanssa on ongelmia: piirustuksen mukaan emme määritä juurien arvoja, mutta voimme vain varmista, että yksi juuri sijaitsee pisteen -1 vasemmalla puolella ja toinen - pisteen 1 oikealla puolella.
Voidaan todistaa (samalla tavalla kuin Algebra-8-oppikirjassamme tehtiin luvulle l / b), että x 1 ja x 2 ovat irrationaalisia lukuja (eli äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja).

Tapattuaan tällaisen tilanteen ensimmäistä kertaa matemaatikot ymmärsivät, että heidän oli keksittävä tapa kuvata se matemaattisella kielellä. He ottivat huomioon uuden symbolin, jota he kutsuivat neljännen asteen juureksi, ja tämän symbolin avulla yhtälön x 4 \u003d 5 juuret kirjoitettiin seuraavasti: (lue: "neljäs juuri viidestä").

Huomautus 1. Vertaa näitä argumentteja vastaaviin argumentteihin §:ssä 17, 32 ja 38. Uusia termejä ja uusia merkintöjä ilmaantuu matematiikassa, kun ne ovat tarpeen uuden matematiikan kuvaamiseksi mallit. Tämä heijastaa matemaattisen kielen erityispiirteitä: sen päätehtävä ei ole kommunikaatio - viestintää varten, vaan organisointi - menestyksekkään työn organisoimiseksi matemaattisten mallien kanssa eri tiedonaloilla.

Puhuimme yhtälöstä x 4 \u003d a, jossa a > 0. Yhtä hyvin voitaisiin puhua yhtälöstä x 4 \u003d a, jossa a > 0 ja n on mikä tahansa luonnollinen luku. Esimerkiksi ratkaisemalla graafisesti yhtälö x 5 \u003d 1, löydämme x \u003d 1 (kuva 165); ratkaisemalla yhtälön x 5 "= 7, todetaan, että yhtälöllä on yksi juuri xr, joka sijaitsee x-akselilla hieman pisteen 1 oikealla puolella (ks. kuva 165). Lukulle xx otetaan käyttöön merkintä Hh .

Yleensä ratkaisemalla yhtälön x n \u003d a, jossa a> 0, n e N, n> 1, saadaan kaksi juuria parillisella n:llä: (Kuva 164, c); parittoman n:n tapauksessa yksi juuri (se kuuluu: "n:nnen asteen juuri luvusta a"). Ratkaisemalla yhtälön x p \u003d 0, saamme ainoan juuren x \u003d 0.

Huomautus 2. Matemaattisessa kielessä, kuten tavallisessa kielessä, tapahtuu, että samaa termiä sovelletaan eri käsitteisiin; joten edellisessä lauseessa sanaa "juuri" käytetään kahdessa merkityksessä: yhtälön juurena (olet jo pitkään tottunut sellaiseen tulkintaan) ja luvun l:nnen asteen juurena (uusi tulkinta). Asiayhteydestä on yleensä selvää, mitä termiä tulkitaan.

Olemme nyt valmiita antamaan tarkan määritelmän.

Määritelmä 1. Ei-negatiivisen luvun a (n = 2, 3.4, 5, ...) l:s juuri on ei-negatiivinen luku, joka nostettuna n:n potenssiin johtaa luvun a.

Tämä numero on merkitty, numeroa a kutsutaan juurinumeroksi ja lukua n on juuriindeksi.
Jos n \u003d 2, he eivät yleensä sano "toisen asteen juuria", vaan sanovat ""neliöjuuri". Älä kirjoita tässä tapauksessa Tämä on se erikoistapaus, jota olet erityisesti opiskellut 8. luokan algebran kurssilla.

Yleensä se on sama matemaattinen malli (sama suhde ei-negatiivisten lukujen a ja b välillä), mutta vain toinen on kuvattu yksinkertaisemmalla kielellä (käyttää yksinkertaisempia symboleja) kuin ensimmäinen.

Ei-negatiivisen luvun juuren löytämisoperaatiota kutsutaan yleensä juuren erottamiseksi. Tämä operaatio on päinvastainen kuin vastaavaan tehoon nostaminen. Vertailla:

Esimerkki 1 Laskea:

Tarkempi likimääräinen luku voidaan kuitenkin löytää laskimella, joka sisältää juuripoistotoiminnon, se on suunnilleen yhtä kuin
Juuren erotustoiminto määritetään myös negatiiviselle juuriluvulle, mutta vain parittoman juurieksponentin tapauksessa. Toisin sanoen yhtälö (-2)5 =-32 voidaan kirjoittaa uudelleen vastaavaan muotoon kuin . Tässä käytetään seuraavaa määritelmää.

Määritelmä 2. Parittoman asteen l juuri negatiivisesta luvusta a (n \u003d 3,5, ...) on negatiivinen luku, joka nostettuna n:n potenssiin johtaa luvun a.

Tätä numeroa, kuten määritelmässä 1, merkitään , numero a on juuriluku, luku n on juuriindeksi.
Niin,

Siten parillinen juuri on järkevä (eli on määritelty) vain ei-negatiiviselle radikaalilausekkeelle; pariton juuri on järkevä mille tahansa radikaalille ilmaisulle.
Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöt:

Päätös: ja jos Itse asiassa meidän on kuutioitettava annetun yhtälön molemmat osat. Saamme:

b) Väittelemällä kuten esimerkissä a), nostamme yhtälön molemmat puolet neljänteen potenssiin. Saamme:

c) Tässä ei tarvitse nostaa neljänteen potenssiin, tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Miksi? Koska määritelmän 1 mukaan parillisen asteen juuri on ei-negatiivinen luku.
d) Nostamalla yhtälön molemmat puolet kuudenteen potenssiin, saadaan:

A.G. Mordkovich-algebra, luokka 10

Oppitunnin sisältö oppitunnin yhteenveto tukikehys oppituntiesitys kiihdyttävät menetelmät interaktiiviset tekniikat Harjoitella tehtävät ja harjoitukset itsetutkiskelu työpajat, koulutukset, tapaukset, tehtävät kotitehtävät keskustelukysymykset opiskelijoiden retoriset kysymykset Kuvituksia ääni, videoleikkeet ja multimedia valokuvat, kuvat grafiikka, taulukot, kaaviot huumori, anekdootit, vitsit, sarjakuvavertaukset, sanonnat, ristisanatehtävät, lainaukset Lisäosat abstrakteja artikkelit sirut uteliaisiin huijausarkkeihin oppikirjat perus- ja lisäsanasto muut Oppikirjojen ja oppituntien parantaminenkorjata oppikirjan virheet päivittää oppikirjan fragmentti innovaation elementtejä oppitunnilla vanhentuneen tiedon korvaaminen uudella Vain opettajille täydellisiä oppitunteja kalenterisuunnitelma vuodelle keskusteluohjelman metodologiset suositukset Integroidut oppitunnit

Oppitunti ja esitys aiheesta: "reaaliluvun n-juuri"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Algebralliset parametrit, arvosanat 9-11
"Vuorovaikutteisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen luokille 10 ja 11"

N-asteen juuri. Menneisyyden toistoa.

Kaverit, tämän päivän oppitunnin aihe on nimeltään "reaaliluvun n:s juuri".
Tutkimme reaaliluvun neliöjuurta 8. luokalla. Neliöjuuri liittyy funktioon muodossa $y=x^2$. Kaverit, muistatko kuinka laskimme neliöjuuret ja mitä ominaisuuksia sillä oli? Toista tämä aihe itse.
Tarkastellaan funktiota muodossa $y=x^4$ ja piirretään sen graafi.

Ratkaise nyt graafisesti yhtälö: $x^4=16$.
Piirretään funktion kuvaajalle suora $y=16$ ja katsotaan missä pisteissä kaksi kuvaajamme leikkaavat.
Funktion kaavio osoittaa selvästi, että meillä on kaksi ratkaisua. Funktiot leikkaavat kaksi pistettä, joiden koordinaatit (-2;16) ja (2;16). Pisteidemme abskissat ovat yhtälömme ratkaisut: $x_1=-2$ ja $x_2=2$. On myös helppo löytää juuret yhtälölle $x^4=1$, ilmeisesti $x_1=-1$ ja $x_2=1$.
Entä jos on yhtälö $x^4=7$.
Piirretään funktiomme:
Kaaviomme osoittaa selvästi, että yhtälöllä on myös kaksi juuria. Ne ovat symmetrisiä y-akselin suhteen, eli ne ovat vastakkaisia. Tarkkaa ratkaisua ei ole mahdollista löytää funktiokaaviosta. Voimme vain sanoa, että ratkaisumme ovat modulo pienempi kuin 2 mutta suurempia kuin 1. Voimme myös sanoa, että juuremme ovat irrationaalisia lukuja.
Tällaisen ongelman edessä matemaatikot joutuivat kuvailemaan sitä. He ottivat käyttöön uuden merkinnän: $\sqrt()$, jota he kutsuivat neljänneksi juureksi. Sitten yhtälömme $x^4=7$ juuret kirjoitetaan tässä muodossa: $x_1=-\sqrt(7)$ ja $x_2=\sqrt(7)$. Se on seitsemännen neljäs juuri.
Puhuimme yhtälöstä muodossa $x^4=a$, jossa $a>0$ $(a=1,7,16)$. Voimme tarkastella yhtälöitä, joiden muoto on: $x^n=a$, missä $a>0$, n on mikä tahansa luonnollinen luku.
Meidän tulee kiinnittää huomiota asteeseen x:ssä, onko aste parillinen vai pariton - ratkaisujen määrä muuttuu. Katsotaanpa konkreettista esimerkkiä. Ratkaistaan yhtälö $x^5=8$. Rakennetaan funktiosta kaavioita:
Funktioiden kaavio osoittaa selvästi, että meidän tapauksessamme meillä on vain yksi ratkaisu. Ratkaisu on yleensä merkitty $\sqrt(8)$. Ratkaisemalla yhtälö, jonka muoto on $x^5=a$ ja ajamalla koko y-akselia pitkin, on helppo ymmärtää, että tällä yhtälöllä on aina yksi ratkaisu. Tässä tapauksessa a:n arvo voi olla pienempi kuin nolla.

N-asteen juuri. Määritelmä

Määritelmä. Ei-negatiivisen luvun a n:nnen asteen juuri ($n=2,3,4…$) on sellainen ei-negatiivinen luku, jolloin n:n potenssiin nostettuna saadaan luku a.

Tämä numero on merkitty $\sqrt[n](a)$. Lukua a kutsutaan juuriluvuksi, n on juuren indeksi.

Toisen ja kolmannen asteen juuria kutsutaan vastaavasti neliö- ja kuutiojuuriksi. Opiskelimme niitä kahdeksannella ja yhdeksännellä luokalla.
Jos $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, niin:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Kutsutaan operaatiota ei-negatiivisen luvun juuren löytämiseksi "juurenpoisto".
Eksponenttiointi ja juurien erotus ovat sama riippuvuus:

Kaverit, huomaa, että taulukossa esitetään vain positiiviset luvut. Määritelmässä määräsimme, että juuri otetaan vain ei-negatiivisesta luvusta a. Seuraavaksi tehdään selvennykset, milloin on mahdollista erottaa juuri negatiivisesta luvusta a.

N-asteen juuri. Ratkaisuesimerkkejä

Laskea:
a) $\sqrt(64)$.
Ratkaisu: $\sqrt(64)=8$, koska $8>0$ ja $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Ratkaisu: $\sqrt(0.064)=0.4$, koska $0.4>0$ ja $0.4^3=0.064$.

C) $\sqrt(0)$.
Ratkaisu: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Ratkaisu: Tässä esimerkissä emme voi selvittää tarkkaa arvoa, lukumme on irrationaalinen. Mutta voimme sanoa, että se on suurempi kuin 2 ja pienempi kuin 3, koska 2 viidenteen potenssiin on 32 ja 3 viidenteen potenssiin on 243. 34 on näiden lukujen välissä. Voimme löytää likimääräisen arvon käyttämällä laskinta, joka voi laskea juuret $\sqrt(34)≈2.02$ tuhannesosan tarkkuudella.
Määritelmässämme sovimme laskevamme n:nnen asteen juuret vain positiivisista luvuista. Oppitunnin alussa näimme esimerkin, että voit poimia n:nnen asteen juuret negatiivisista luvuista. Olemme tarkastelleet funktion outoa eksponenttia ja tehdään nyt joitain selvennyksiä.

Määritelmä. Parittoman asteen n (n = 3,5,7,9 ...) juuri negatiivisesta luvusta a on sellainen negatiivinen luku, jolloin n:n potenssiin nostettuna saadaan a.

Nimitystä käytetään yleensä samalla tavalla.
Jos $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Parillinen juuri on järkevä vain positiiviselle juuriluvulle, pariton juuri on järkevä mille tahansa juuriluvulle.

Esimerkkejä.
a) Ratkaise yhtälöt: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Ratkaisu: Jos $\sqrt(y)=-3$, niin $y=-27$. Eli yhtälömme molemmat puolet on kuutioitava.
$3x+3=-27$.
$3x = -30$.
$x = -10 $.

B) Ratkaise yhtälöt: $\sqrt(2x-1)=1$.
Nosta molemmat osat neljänteen potenssiin:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x = 1 $.

C) Ratkaise yhtälöt: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Ratkaisu: Määritelmämme mukaan parillisen asteen juuri voidaan ottaa vain positiivisesta luvusta, ja meille annetaan negatiivinen, silloin juuria ei ole.

D) Ratkaise yhtälöt: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Ratkaisu: Nosta yhtälön molemmat puolet viidenteen potenssiin:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ ja $x_2=3$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Laske:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Ratkaise yhtälöt:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

tai käyttämällä neliöiden erotuskaavaa seuraavasti:

(x 2 -4) * (x 2 +4) \u003d 0.

Kahden tekijän tulo on nolla, jos ainakin toinen niistä on nolla.

Lauseke x 2 +4 ei voi olla nolla, joten jäljelle jää vain (x 2 -4)=0.

Ratkaisemme sen, saamme kaksi vastausta.

Vastaus: x=-2 ja x=2.

Saimme, että yhtälöllä x 4 \u003d 16 on vain 2 todellista juuria. Nämä ovat neljännen asteen juuret luvusta 16. Lisäksi positiivista juuria kutsutaan 4. asteen aritmeettiseksi juureksi luvusta 16. Ja ne tarkoittavat 4√16. Eli 4√16=2.

Määritelmä

Luonnollisen asteen n>=2 aritmeettinen juuri ei-negatiivisesta luvusta a on jokin ei-negatiivinen luku, joka nostetaan n:n potenssiin, saadaan luku a.

Voidaan todistaa, että mille tahansa ei-negatiiviselle a:lle ja luonnolliselle n:lle yhtälöllä x n = a on yksi ei-negatiivinen juuri. Tätä juuria kutsutaan n:nnen asteen aritmeettiseksi juureksi luvusta a.

N:nnen asteen aritmeettinen juuri luvusta a merkitään seuraavasti n√a.

Lukua a kutsutaan tässä tapauksessa juurilausekkeeksi.

Siinä tapauksessa, että n = 2, he eivät kirjoita kakkoslukua, vaan yksinkertaisesti kirjoittavat √a.

Toisen ja kolmannen asteen aritmeettiset juuret ovat heidän erikoisnimensä.

Toisen asteen aritmeettista juuria kutsutaan neliöjuureksi ja kolmannen asteen aritmeettista juuria kutsutaan kuutiojuureksi.

Käyttämällä vain aritmeettisen juuren määritelmää voidaan todistaa, että n√a on yhtä suuri kuin b. Tätä varten sinun on osoitettava, että:

1. b on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
2. b n =a.

Esimerkiksi 3√(64) = 4, koska 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

Seuraus aritmeettisen juuren määritelmästä.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

Esimerkiksi (5√2) 5 = 2.

N:nnen juuren purkaminen

N:nnen asteen juuren erottaminen on toimenpide, jolla n:nnen asteen juuri löydetään. N:nnen juuren ottaminen on n:nnen potenssiin nostamisen käänteisarvo.

Harkitse esimerkkiä.

Ratkaise yhtälö x 3 = -27.

Kirjoitetaan tämä yhtälö uudelleen muotoon (-x) 3 =27.

Laitamme y \u003d -x, sitten y 3 \u003d 27. Tällä yhtälöllä on yksi positiivinen juuri y= 3√27 = 3.

Tällä yhtälöllä ei ole negatiivisia juuria, koska y 3

Saamme, että yhtälöllä y 3 \u003d 27 on vain yksi juuri.

Palaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomaamme, että sillä on myös vain yksi juuri x=-y=-3.

Juuren tutkinto n todellisesta numerosta a, missä n- luonnollinen luku, sellaista reaalilukua kutsutaan x, n jonka teho on yhtä suuri a.

asteen juuri n numerosta a merkitty symbolilla. Tämän määritelmän mukaan.

Juuren löytäminen n aste joukosta a kutsutaan juurenpoistoksi. Määrä a kutsutaan juurinumeroksi (lauseke), n- juuren indikaattori. Outoa varten n on juuri n-th potenssi mille tahansa reaaliluvulle a. Jopa n on juuri n-th aste vain ei-negatiiviselle luvulle a. Poistaakseen juuren epäselvyyden n aste joukosta a, otetaan käyttöön aritmeettisen juuren käsite n aste joukosta a.

N-asteen aritmeettisen juuren käsite

Jos n- luonnollinen luku suurempi kuin 1 , silloin on olemassa ja vain yksi ei-negatiivinen luku X, niin että tasa-arvo pätee. Tämä numero X kutsutaan aritmeettiseksi juureksi n ei-negatiivisen luvun potenssi a ja on merkitty. Määrä a kutsutaan juurinumeroksi n- juuren indikaattori.

Joten määritelmän mukaan merkintä , jossa , tarkoittaa ensinnäkin sitä ja toiseksi sitä, ts. .

Tutkinnon käsite rationaalisen eksponentin kanssa

Aste luonnollisella eksponentilla: anna a on todellinen luku, ja n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi n-luvun potenssi a soita töihin n kertoimet, joista jokainen on yhtä suuri a, eli . Määrä a- tutkinnon perusta, n- eksponentti. Eksponentti nollalla: määritelmän mukaan, jos , niin . Luvun nollateho 0 ei ole järkeä. Potentti negatiivisella kokonaislukueksponentilla: määritelmän mukaan jos ja n on luonnollinen luku, niin . Aste murtoluvulla: määritelmän mukaan jos ja n- luonnollinen luku, m on siis kokonaisluku.

Operaatiot juurilla.

Kaikissa alla olevissa kaavoissa symboli tarkoittaa aritmeettista juuria (radikaalilauseke on positiivinen).

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan juurien suhde:

3. Nostettaessa juuria potenssiin, riittää, että nostat juurinumeron tähän potenssiin:

4. Jos lisäät juuren astetta n kertaa ja samanaikaisesti nostat juuriluvun n:nneksi potenssiksi, juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennät juuren astetta n kertaa ja samalla poimit n:nnen asteen juuren radikaaliluvusta, juuren arvo ei muutu:

Tutkinnon käsitteen laajentaminen. Toistaiseksi olemme tarkastelleet asteita vain luonnollisella indikaattorilla; mutta operaatiot potenssien ja juurien kanssa voivat myös johtaa negatiivisiin, nolla- ja murto-eksponentteihin. Kaikki nämä eksponentit vaativat lisämäärittelyn.

Aste negatiivisella eksponentilla. Jonkin negatiivisen (kokonaisluvun) eksponentin omaavan luvun potenssi määritellään jaettuna saman luvun potenssilla, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin negatiivisen eksponentin itseisarvo:

Nyt kaavaa a m: a n \u003d a m - n voidaan käyttää paitsi m:lle, joka on suurempi kuin n, vaan myös m:lle, joka on pienempi kuin n.

ESIMERKKI a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jos haluamme, että kaava a m: a n = a m - n pätee arvolle m = n, meidän on määritettävä nolla-aste.

Aste nolla eksponentin kanssa. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, aste on 1.

ESIMERKKEJÄ. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.

Aste, jossa on murtoluku. Nostaaksesi reaaliluvun a potenssiin m / n, sinun on erotettava n:nnen asteen juuri tämän luvun a m:n potenssista:

Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä. Tällaisia ilmaisuja on useita.

Tapaus 1

Missä a ≠ 0 ei ole olemassa.

Todellakin, jos oletetaan, että x on tietty luku, niin meillä on jakooperaation määritelmän mukaisesti: a = 0 · x, ts. a = 0, mikä on ristiriidassa ehdon kanssa: a ≠ 0

Tapaus 2

Mikä tahansa numero.

Todellakin, jos oletetaan, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin jokin luku x, niin jakooperaation määritelmän mukaan meillä on: 0 = 0 · x . Mutta tämä yhtäläisyys pätee mille tahansa luvulle x, joka oli todistettava.

Todella,

Ratkaisu. Harkitse kolmea päätapausta:

1) x = 0 - tämä arvo ei täytä tätä yhtälöä

2) arvolle x > 0 saadaan: x / x = 1, ts. 1 = 1, mistä seuraa, että x on mikä tahansa luku; mutta koska meidän tapauksessamme x > 0, vastaus on x > 0;

3) kohdassa x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

tässä tapauksessa ratkaisua ei ole. Joten x > 0.

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu