Joihin on jo aika kyllästynyt. Ja minusta tuntuu, että on tullut hetki, jolloin on aika poimia uusia säilykkeitä teorian strategisista varoista. Onko mahdollista laajentaa toimintoa sarjaksi jollain muulla tavalla? Esimerkiksi ilmaisemaan suoran janan sinien ja kosinien avulla? Tuntuu uskomattomalta, mutta tällaiset näennäisesti kaukaiset toiminnot sopivat
"taastapaaminen". Tuttujen teorian ja käytännön tutkintojen lisäksi on olemassa muitakin tapoja laajentaa funktio sarjaksi.
Tällä oppitunnilla tutustumme trigonometriseen Fourier-sarjaan, käsittelemme sen lähentymistä ja summaa ja tietysti analysoimme lukuisia esimerkkejä funktioiden laajentamisesta Fourier-sarjaksi. Halusin vilpittömästi kutsua artikkelia "Fourier-sarja dummiesille", mutta tämä olisi ovelaa, koska ongelmien ratkaiseminen vaatii tietoa muista matemaattisen analyysin osista ja käytännön kokemusta. Siksi johdanto muistuttaa astronautien koulutusta =)
Ensinnäkin sivumateriaalien tutkimista tulee lähestyä erinomaisessa kunnossa. Uninen, levännyt ja raittiina. Ilman vahvoja tunteita hamsterin katkenneesta tassusta ja pakkomielteisiä ajatuksia akvaariokalojen elämän vaikeuksista. Fourier-sarja ei ole ymmärtämisen kannalta vaikeaa, mutta käytännön tehtävät vaativat vain lisääntynyttä huomion keskittymistä - ihannetapauksessa ulkoisista ärsykkeistä tulisi luopua kokonaan. Tilannetta pahentaa se, että ratkaisua ja vastausta ei ole helppoa tarkistaa. Siksi, jos terveytesi on keskimääräistä huonompi, on parempi tehdä jotain yksinkertaisempaa. Totuus.
Toiseksi ennen avaruuteen lentämistä on tutkittava avaruusaluksen kojetaulu. Aloitetaan niiden toimintojen arvoista, joita tulee napsauttaa koneessa:
Kaikille luonnonarvoille:
yksi) . Ja itse asiassa sinusoidi "vilkkuu" x-akselia jokaisen "pi":n läpi:
. Argumentin negatiivisten arvojen tapauksessa tulos on tietysti sama: .
2). Mutta kaikki eivät tienneet tätä. Kosini "pi en" vastaa "vilkkuvaa valoa":
Kielteinen argumentti ei muuta tapausta: 
.
Ehkä tarpeeksi.
Ja kolmanneksi, rakas kosmonauttijoukot, sinun täytyy pystyä ... integroida.
Varsinkin tottakai tuo funktio erotusmerkin alle, integroida osilla ja olla hyvissä väleissä Newton-Leibnizin kaava. Aloitetaan tärkeät lentoa edeltävät harjoitukset. En suosittele sen ohittamista, jotta et myöhemmin litisty nollapainossa:
Esimerkki 1
Laske kiinteät integraalit
missä vie luonnonarvot.
Ratkaisu: integrointi suoritetaan muuttujan "x" yli ja tässä vaiheessa diskreetti muuttuja "en" katsotaan vakioksi. Kaikissa integraaleissa tuo funktio differentiaalin merkin alle:
Lyhyt versio ratkaisusta, jota olisi hyvä ampua, näyttää tältä:
Totutteluun:
Neljä jäljellä olevaa pistettä ovat omat. Yritä käsitellä tehtävää tunnollisesti ja järjestää integraalit lyhyellä tavalla. Esimerkkejä ratkaisuista oppitunnin lopussa.
LAATUharjoituksen jälkeen puimme avaruuspuvut päälle
ja valmistaudutaan aloittamaan!
Fourier-sarjan funktion laajennus välissä
Tarkastellaan funktiota, joka päättänyt ainakin aikavälillä (ja mahdollisesti suuremmalla aikavälillä). Jos tämä funktio on integroitavissa segmenttiin , se voidaan laajentaa trigonometriseksi Fourier-sarja:
, missä ovat ns Fourier-kertoimet.
Tässä tapauksessa numeroon soitetaan hajoamisaika, ja numero on puoliintumisajan hajoaminen.
On selvää, että yleisessä tapauksessa Fourier-sarja koostuu sinistä ja kosineista: 
Todellakin, kirjoitetaan se yksityiskohtaisesti:
Sarjan nollatermi kirjoitetaan yleensä muodossa .
Fourier-kertoimet lasketaan seuraavilla kaavoilla: 
Ymmärrän hyvin, että uudet termit ovat edelleen hämäriä aloittelijoille aiheen tutkimisessa: hajoamisaika, puolijakso, Fourier-kertoimetÄlä panikoi, se ei ole verrattavissa avaruuskävelyä edeltävään jännitykseen. Selvitetään kaikki lähimmästä esimerkistä, jonka suorittamista on loogista kysyä painavia käytännön kysymyksiä:
Mitä sinun tulee tehdä seuraavissa tehtävissä?
Laajenna funktio Fourier-sarjaksi. Lisäksi usein joudutaan piirtämään funktion kuvaaja, sarjan summan kuvaaja, osasumma ja hienostuneiden professorifantasioiden tapauksessa tehdä jotain muuta.
Kuinka laajentaa funktio Fourier-sarjaksi?
Pohjimmiltaan sinun on löydettävä Fourier-kertoimet, eli muodosta ja laske kolme kiinteät integraalit.
Kopioi Fourier-sarjan yleinen muoto ja kolme työkaavaa muistikirjaasi. Olen erittäin iloinen, että joillain sivuston kävijöistä on lapsuuden unelma astronautiksi tulemisesta toteutumassa silmieni edessä =)
Esimerkki 2
Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi. Rakenna kuvaaja, kaavio sarjan summasta ja osasummasta.
Ratkaisu: tehtävän ensimmäinen osa on laajentaa funktio Fourier-sarjaksi.
Alku on vakio, muista kirjoittaa ylös, että:
Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso .
Laajennamme funktiota Fourier-sarjassa aikavälillä: 
Käyttämällä sopivia kaavoja löydämme Fourier-kertoimet. Nyt meidän on laadittava ja laskettava kolme kiinteät integraalit. Mukavuuden vuoksi numeroitan kohdat:
1) Ensimmäinen integraali on yksinkertaisin, mutta se vaatii jo silmän ja silmän: 
2) Käytämme toista kaavaa:
Tämä integraali on hyvin tunnettu ja hän ottaa sen palasittain: 
Kun löytyi käytettynä menetelmä tuoda funktio differentiaalimerkin alle.
Tarkasteltavana olevassa tehtävässä sitä on kätevämpi käyttää välittömästi kaava osien integroimiseksi määrättyyn integraaliin 
:
Pari teknistä huomautusta. Ensin kaavan soveltamisen jälkeen koko lauseke on suljettava suuriin hakasulkeisiin, koska alkuperäisen integraalin edessä on vakio. Älkäämme menettäkö sitä! Sulut voidaan avata missä tahansa seuraavassa vaiheessa, tein sen aivan viimeisessä käännöksessä. Ensimmäisessä "kappaleessa" 
osoitamme äärimmäistä tarkkuutta korvaamisessa, kuten näet, vakio on poissa toiminnasta ja integroinnin rajat korvataan tuotteeseen. Tämä toiminto on merkitty hakasulkeilla. No, kaavan toisen "palan" integraali tunnet hyvin harjoitustehtävästä ;-)
Ja mikä tärkeintä - äärimmäinen huomion keskittyminen!
3) Etsimme kolmatta Fourier-kerrointa:
Saadaan edellisen integraalin suhteellinen, joka myös on integroitu osilla:
Tämä tapaus on hieman monimutkaisempi, kommentoin jatkovaiheita askel askeleelta: 
(1) Koko lauseke on suljettu suuriin hakasulkeisiin.. En halunnut näyttää tylsältä, he menettävät jatkuvasti liian usein.
(2) Tässä tapauksessa laajensin välittömästi nuo suuret sulut. Erityistä huomiota omistaudumme ensimmäiselle "palalle": jatkuva savu polttaa sivussa eikä osallistu integroinnin ( ja ) rajojen korvaamiseen tuotteeseen. Tietueen sotkuisuuden vuoksi on jälleen suositeltavaa korostaa tätä toimintoa hakasulkeissa. Toisella "palalla" 
kaikki on yksinkertaisempaa: täällä murto-osa ilmestyi suurten hakasulkeiden avaamisen jälkeen ja vakio - tutun integraalin integroinnin seurauksena ;-)
(3) Hakasulkeissa teemme muunnoksia ja oikeassa integraalissa korvaamme integroinnin rajat.
(4) Otamme "vilkun" pois hakasulkeista: , jonka jälkeen avaamme sisäsulut: .
(5) Perutaan suluissa olevat 1 ja -1, tehdään lopullisia yksinkertaistuksia.
Lopulta löytyi kaikki kolme Fourier-kerrointa: 
Korvaa ne kaavaan 
:
Älä unohda jakaa puoliksi. Viimeisessä vaiheessa vakio ("miinus kaksi"), joka ei riipu "en:stä", otetaan pois summasta.
Siten olemme saaneet funktion laajennuksen Fourier-sarjassa välillä : 
Tutkitaan kysymystä Fourier-sarjan konvergenssista. Selitän erityisesti teorian Dirichlet-lause, kirjaimellisesti "sormilla", joten jos tarvitset tiukkoja muotoiluja, tutustu laskennan oppikirjaan (esimerkiksi Bohanin 2. osa; tai Fichtenholtzin 3. osa, mutta se on siinä vaikeampaa).
Tehtävän toisessa osassa on piirrettävä graafi, sarjasummagraafi ja osasummagraafi.
Funktion kaavio on tavallinen suora viiva koneessa, joka on piirretty mustalla katkoviivalla: 
Käsittelemme sarjan summaa. Kuten tiedät, funktionaaliset sarjat konvergoivat funktioiksi. Meidän tapauksessamme rakennettu Fourier-sarja 
mille tahansa "x":n arvolle konvergoi punaisella näkyvään funktioon. Tämä toiminto on voimassa 1. tyyppiset tauot pisteissä , mutta myös määritelty niissä (punaiset pisteet piirustuksessa)
Tällä tavalla: 
. On helppo nähdä, että se eroaa huomattavasti alkuperäisestä funktiosta, minkä vuoksi merkinnässä 
aaltoviivaa käytetään yhtäläisyysmerkin sijaan.
Tutkitaan algoritmia, jolla on kätevää muodostaa sarjan summa.
Keskivälillä Fourier-sarja konvergoi itse funktioon (keskimmäinen punainen segmentti osuu lineaarisen funktion mustaan pisteviivaan).
Puhutaanpa nyt hieman harkitun trigonometrisen laajennuksen luonteesta. Fourier-sarja 
sisältää vain jaksolliset funktiot (vakio, sinit ja kosinit), joten sarjan summa 
on myös jaksollinen funktio.
Mitä tämä tarkoittaa erityisessä esimerkissämme? Ja tämä tarkoittaa sarjan summaa 
–välttämättä määräajoin ja intervallin punainen segmentti on toistettava loputtomasti vasemmalla ja oikealla.
Luulen, että nyt ilmaisun "hajoamisaika" merkitys on vihdoin tullut selväksi. Yksinkertaisesti sanottuna joka kerta tilanne toistaa itseään uudestaan ja uudestaan.
Käytännössä yleensä riittää, että kuvataan kolme hajoamisjaksoa, kuten piirustuksessa on tehty. No, ja lisää naapurikausien "kantoja" - jotta olisi selvää, että kaavio jatkuu.
Erityisen kiinnostavia ovat 1. tyypin epäjatkuvuuspisteet. Tällaisissa kohdissa Fourier-sarja konvergoi eristettyihin arvoihin, jotka sijaitsevat täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä (kuvassa punaiset pisteet). Kuinka löytää näiden pisteiden ordinaatit? Etsitään ensin "ylemmän kerroksen" ordinaatta: tätä varten lasketaan funktion arvo keskilaajennusjakson oikeanpuoleisimpaan pisteeseen: . "Alemman kerroksen" ordinaatin laskemiseksi helpoin tapa on ottaa saman jakson vasemmanpuoleisin arvo: 
. Keskiarvon ordinaatta on "ylä- ja alaosan" summan aritmeettinen keskiarvo: . Hienoa on se, että piirustusta tehdessä näkee heti, onko keskikohta laskettu oikein vai väärin.
Muodostetaan sarjan osasumma ja toistetaan samalla termin "konvergenssi" merkitys. Motiivi tunnetaan oppitunnista numerosarjan summa. Kuvataanpa omaisuutemme yksityiskohtaisesti:
Osittaisen summan saamiseksi sinun on kirjoitettava muistiin sarjan nolla + kaksi muuta termiä. Tuo on,
Piirustuksessa funktion kuvaaja on esitetty vihreänä ja, kuten näette, se kiertyy kokonaissumman ympärille melko tiukasti. Jos tarkastelemme sarjan viiden ehdon osittaista summaa, tämän funktion kaavio lähentää punaisia viivoja vielä tarkemmin, jos termejä on sata, niin "vihreä käärme" sulautuu itse asiassa täysin punaisten segmenttien kanssa, jne. Siten Fourier-sarja konvergoi summaansa.
On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa osasumma on jatkuva toiminto, mutta sarjan kokonaissumma on edelleen epäjatkuva.
Käytännössä ei ole harvinaista rakentaa osasummagraafi. Kuinka tehdä se? Meidän tapauksessamme on otettava huomioon segmentin funktio, laskettava sen arvot segmentin päissä ja välipisteissä (mitä enemmän pisteitä harkitset, sitä tarkempi kaavio on). Sitten sinun tulee merkitä nämä kohdat piirustukseen ja piirtää varovasti kaavio jaksolle ja sitten "toistaa" se vierekkäisiksi aikaväleiksi. Kuinka muuten? Loppujen lopuksi approksimaatio on myös jaksollinen funktio ... ... jostain syystä sen kaavio muistuttaa minua tasaisesta sydämen rytmistä lääketieteellisen laitteen näytössä.
Tietenkään rakentamisen suorittaminen ei ole kovin kätevää, koska sinun on oltava erittäin varovainen, pitäen vähintään puolen millimetrin tarkkuutta. Miellytän kuitenkin lukijoita, jotka ovat ristiriidassa piirtämisen kanssa - "oikeassa" tehtävässä piirtäminen ei ole läheskään aina välttämätöntä, jossain 50 prosentissa tapauksista toiminto on laajennettava Fourier-sarjaksi ja se on se.
Piirustuksen valmistumisen jälkeen suoritamme tehtävän:
Vastaus: 
Monissa tehtävissä toiminto kärsii 1. tyyppinen repeämä heti hajoamisjaksolla:
Esimerkki 3
Laajenna Fourier-sarjassa välissä annettu funktio. Piirrä funktio funktiosta ja sarjan kokonaissummasta.
Ehdotettu funktio annetaan paloittain (ja muista, vain segmentissä) ja kestää 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Onko mahdollista laskea Fourier-kertoimet? Ei ongelmaa. Sekä funktion vasen että oikea osa ovat integroitavissa intervalleillaan, joten kunkin kolmen kaavan integraalit tulee esittää kahden integraalin summana. Katsotaanpa esimerkiksi, kuinka tämä tehdään nollakertoimelle:
Toinen integraali osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, mikä vähensi työtä, mutta näin ei aina ole.
Kaksi muuta Fourier-kerrointa kirjoitetaan samalla tavalla.
Kuinka näyttää sarjan summa? Vasemmalle välille piirrämme suoran janan ja väliin - suoran segmentin (korosta akselin osa lihavoituna). Toisin sanoen laajennusvälillä sarjan summa on sama kuin funktio kaikkialla lukuun ottamatta kolmea "huonoa" pistettä. Funktion katkaisupisteessä Fourier-sarja konvergoi eristettyyn arvoon, joka sijaitsee täsmälleen katkon "hypyn" keskellä. Sitä ei ole vaikea nähdä suullisesti: vasemman puolen raja:, oikean puolen raja: 
ja ilmeisesti keskipisteen ordinaatta on 0,5.
Summan jaksollisuudesta johtuen kuva on "kerrotettava" vierekkäisiksi jaksoiksi, erityisesti kuvattava sama asia välissä ja . Tässä tapauksessa pisteissä Fourier-sarja konvergoi mediaaniarvoihin.
Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta.
Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Likimääräinen esimerkki hienosta suunnittelusta ja piirtämisestä oppitunnin lopussa.
Fourier-sarjan funktion laajennus mielivaltaisella jaksolla
Satunnaiselle laajennusjaksolle, jossa "el" on mikä tahansa positiivinen luku, Fourier-sarjan ja Fourier-kertoimien kaavat eroavat hieman monimutkaiselta sini- ja kosini-argumentilta:
Jos , niin saamme kaavat aikavälille, jolla aloitimme.
Algoritmi ja periaatteet ongelman ratkaisemiseksi säilyvät täysin, mutta laskelmien tekninen monimutkaisuus kasvaa:
Esimerkki 4
Laajenna funktio Fourier-sarjaksi ja piirrä summa. 
Ratkaisu: itse asiassa esimerkin nro 3 analogi 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso . Funktio määritellään vain puolivälissä, mutta se ei muuta asioita - on tärkeää, että funktion molemmat osat ovat integroitavissa.
Laajennetaan funktio Fourier-sarjaksi:
Koska funktio on epäjatkuva origossa, jokainen Fourier-kerroin tulee luonnollisesti kirjoittaa kahden integraalin summana:
1) Kirjoitan ensimmäisen integraalin mahdollisimman yksityiskohtaisesti:
2) Katso varovasti kuun pintaan:
Toinen integraali ottaa osiin:
Mihin kannattaa kiinnittää erityistä huomiota, kun avaamme ratkaisun jatkon tähdellä?
Ensinnäkin emme menetä ensimmäistä integraalia 
, jossa suoritamme välittömästi tuomalla eron merkin alle. Toiseksi, älä unohda epäonnista vakiota ennen suuria sulkuja ja älä hämmenny merkeistä kaavaa käytettäessä 
. Suuret kiinnikkeet on loppujen lopuksi kätevämpää avata heti seuraavassa vaiheessa.
Loppu on tekniikasta, vain riittämätön kokemus integraalien ratkaisemisesta voi aiheuttaa vaikeuksia.
Kyllä, ei turhaan ranskalaisen matemaatikon Fourier'n merkittävät kollegat suuttuneet - kuinka hän uskalsi hajottaa funktiot trigonometrisiin sarjoihin ?! =) Muuten, luultavasti kaikkia kiinnostaa kyseisen tehtävän käytännön merkitys. Fourier itse työskenteli lämmönjohtavuuden matemaattisen mallin parissa, ja myöhemmin hänen mukaansa nimettyä sarjaa alettiin käyttää monien jaksollisten prosessien tutkimiseen, jotka ovat ilmeisesti näkymättömiä ulkomaailmassa. Nyt muuten huomasin itseni ajattelevan, että ei ollut sattumaa, että vertasin toisen esimerkin kuvaajaa jaksoittaiseen sydämen rytmiin. Kiinnostuneet voivat tutustua käytännön sovellukseen Fourier-muunnokset kolmansien osapuolien lähteistä. ... Vaikka on parempi olla - se muistetaan ensimmäisenä rakkautena =)
3) Ottaen huomioon toistuvasti mainitut heikot lenkit, käsittelemme kolmatta kerrointa:
Integrointi osilla: 
Korvaamme löydetyt Fourier-kertoimet kaavaan 
, unohtamatta jakaa nollakerroin puoliksi:
Piirretään sarjan summa. Toistakaamme lyhyesti toimenpide: välille rakennamme linjan ja väliin - linjan. Nolla-arvolla "x" laitamme pisteen välin "hypyn" keskelle ja "toistamme" kaavion naapurijaksoille: 
Jaksojen "risteyksissä" summa on myös yhtä suuri kuin eron "hypyn" keskipisteet.
Valmis. Muistutan, että itse funktio on ehdollisesti määritelty vain puolivälissä ja ilmeisesti osuu yhteen intervallien sarjan summan kanssa
Vastaus:
Joskus paloittain annettu funktio on myös jatkuva laajennusjaksolla. Yksinkertaisin esimerkki: 
. Ratkaisu (Katso Bohanin osa 2) on sama kuin kahdessa edellisessä esimerkissä: huolimatta toiminnan jatkuvuus kohdassa , jokainen Fourier-kerroin ilmaistaan kahden integraalin summana.
Erotuksen aikana 1. tyypin epäjatkuvuuspisteet ja/tai kaavion "risteyspisteitä" voi olla enemmän (kaksi, kolme ja yleensä mikä tahansa lopullinen määrä). Jos funktio on integroitavissa jokaiseen osaan, se on myös laajennettavissa Fourier-sarjassa. Mutta käytännön kokemuksen perusteella en muista sellaista tinaa. Siitä huolimatta on vaikeampia tehtäviä kuin vain harkita, ja artikkelin lopussa on kaikille linkit monimutkaisempiin Fourier-sarjaan.
Sillä välin rentoudutaan nojaten tuoleihimme ja pohdiskelemaan loputtomia tähtien avaruutta:
Esimerkki 5
Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi ja piirrä sarjan summa.
Tässä tehtävässä toiminto jatkuva hajoamisen puolivälissä, mikä yksinkertaistaa ratkaisua. Kaikki on hyvin samanlaista kuin esimerkki 2. Avaruusaluksesta et pääse pakoon - sinun on päätettävä =) Mallisuunnittelu oppitunnin lopussa, aikataulu liitteenä.
Parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus
Parillisten ja parittomien funktioiden avulla ongelman ratkaiseminen yksinkertaistuu huomattavasti. Ja siksi. Palataan funktion laajentamiseen Fourier-sarjassa jaksolla "kaksi pi" 
ja mielivaltainen ajanjakso "kaksi alea" 
.
Oletetaan, että funktiomme on parillinen. Kuten näette, sarjan yleistermi sisältää parilliset kosinit ja parittomat sinit. Ja jos hajotamme parillisen funktion, niin miksi tarvitsemme parittomat sinit?! Nollataan tarpeeton kerroin: .
Tällä tavalla, parillinen funktio laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa:
Koska parillisten funktioiden integraalit Integrointisegmentin yli, joka on symmetrinen nollan suhteen, voidaan kaksinkertaistaa, niin myös loput Fourier-kertoimet yksinkertaistetaan.
Ajanjaksolle: 
Mielivaltainen aikaväli: 
Oppikirjaesimerkkejä, jotka löytyvät melkein kaikista laskentaoppikirjoista, ovat parillisten funktioiden laajennukset 
. Lisäksi he ovat toistuvasti tavanneet henkilökohtaisessa käytännössäni:
Esimerkki 6
Annettu funktio. Vaaditaan:
1) Laajenna funktio Fourier-sarjaksi jaksolla , jossa on mielivaltainen positiivinen luku;
2) kirjoita muistiin välin laajennus, rakenna funktio ja piirrä sarjan kokonaissumma graafisesti.
Ratkaisu: ensimmäisessä kappaleessa ehdotetaan ongelman ratkaisemista yleisesti, ja tämä on erittäin kätevää! Tarve tulee olemaan - korvaa vain arvosi.
1) Tässä tehtävässä laajennusjakso , puolijakso . Jatkotoimien aikana, erityisesti integraation aikana, "el" pidetään vakiona
Funktio on parillinen, mikä tarkoittaa, että se laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa: 
.
Fourier-kertoimia etsitään kaavoilla 
. Kiinnitä huomiota niiden ehdottomiin etuihin. Ensin integrointi suoritetaan laajennuksen positiivisen segmentin yli, mikä tarkoittaa, että pääsemme turvallisesti eroon moduulista 
, kun otetaan huomioon vain "x" kahdesta osasta. Ja toiseksi, integrointi yksinkertaistuu huomattavasti.
Kaksi: 
Integrointi osilla:
Tällä tavalla:
, kun taas vakio , joka ei riipu "en:stä", otetaan pois summasta.
Vastaus: 
2) Kirjoitetaan laajennus väliin, tätä varten korvataan haluttu puolijakson arvo yleiseen kaavaan:
sarja useiden kaarien kosineissa ja sinissä, eli muodon sarja
tai monimutkaisessa muodossa
missä a k,b k tai vastaavasti c k nimeltään kertoimet T. r.
Ensimmäistä kertaa T. r. tapaavat L. Eulerissa (L. Euler, 1744). Hän sai laajennuksia
Kaikki R. 1700-luvulla Merkkijonon vapaan värähtelyn ongelman tutkimisen yhteydessä heräsi kysymys mahdollisuudesta esittää merkkijonon alkuasemaa kuvaava funktio T. r:n summana. Tämä kysymys aiheutti kiivasta keskustelua, joka kesti useita vuosikymmeniä, tuon ajan parhaat analyytikot - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Euler). Toiminnan käsitteen sisältöön liittyvät kiistat. Tuolloin funktiot yhdistettiin yleensä niiden analytiikkaan. osoitus, joka johti vain analyyttisten tai osittaisten analyyttisten funktioiden harkintaan. Ja tässä tuli tarpeelliseksi funktiolle, jonka graafi on riittävän mielivaltainen käyrä, rakentaa tätä funktiota edustava T.r. Mutta näiden kiistojen merkitys on suurempi. Itse asiassa ne keskustelivat tai nousivat esiin kysymysten yhteydessä, jotka liittyivät moniin matematiikan perustavanlaatuisiin käsitteisiin ja ideoihin. analyysi yleensä - funktioiden esittäminen Taylor-sarjan ja analyyttinen. funktioiden jatkaminen, divergenttien käyttö, raja-arvojen permutaatio, äärettömät yhtälöjärjestelmät, funktioiden interpolointi polynomeilla jne.
Ja tulevaisuudessa, kuten tällä alkukaudella, teoria T. r. toimi uusien ideoiden lähteenä matematiikassa. Kysymyksen, joka johti kiistaan matemaatikoiden keskuudessa 1700-luvulla, ratkaisi vuonna 1807 J. Fourier, joka esitti kaavat T. r:n kertoimien laskemiseksi. (1), jonka on oltava. edustaa funktiota f(x):
ja soveltanut niitä lämmönjohtavuusongelmien ratkaisemiseen. Kaavoja (2) kutsutaan Fourier-kaavoiksi, vaikka ne kohtasivat aiemmin A. Clairaut (1754), ja L. Euler (1777) tuli niihin termikohtaista integraatiota käyttämällä. T. r. (1), jonka kertoimet määritetään kaavoilla (2), ns. lähellä Fourier-funktiota f ja numeroita a k, b k- Fourier-kertoimet.
Saatujen tulosten luonne riippuu siitä, kuinka funktion esitys ymmärretään sarjana, kuinka ymmärretään integraali kaavoissa (2). Moderni näkemys T.-joen teoriasta. hankittu Lebesgue-integraalin ilmestymisen jälkeen.
Teoria T. r. voidaan jakaa ehdollisesti kahteen suureen osaan - teoriaan Fourier-sarja, jossa oletetaan, että sarja (1) on tietyn funktion Fourier-sarja, ja yleisen T. R.:n teoria, jossa tällaista oletusta ei tehdä. Alla on yleisen T. r:n teoriassa saadut päätulokset. (tässä tapauksessa joukkojen mitta ja funktioiden mitattavuus ymmärretään Lebesguen mukaan).
Ensimmäinen systemaattinen tutkimus T. r., jossa ei oletettu näiden sarjojen olevan Fourier-sarjoja, oli V. Riemannin väitöskirja (V. Riemann, 1853). Siksi teoria yleisestä T. r. nimeltään joskus Riemannilainen termodynamiikan teoria.
Tutkia mielivaltaisen T. r:n ominaisuuksia. (1) kertoimilla, jotka pyrkivät nollaan B. Riemann tarkasteli jatkuvaa funktiota F(x) ,
joka on tasaisesti suppenevan sarjan summa
saatu sarjan kaksinkertaisen termikohtaisen integroinnin jälkeen (1). Jos sarja (1) konvergoi jossain pisteessä x luvuksi s, niin tässä pisteessä on olemassa toinen symmetria ja se on yhtä suuri kuin s. funktion F derivaatta:
sitten tämä johtaa tekijöiden muodostaman sarjan (1) summaukseen 
nimeltään Riemannin summausmenetelmällä. Funktion F avulla muotoillaan Riemannin lokalisointiperiaate, jonka mukaan sarjan (1) käyttäytyminen pisteessä x riippuu vain funktion F käyttäytymisestä tämän pisteen mielivaltaisen pienessä ympäristössä.
Jos T. r. Konvergoi positiivisen suuren joukkoon, niin sen kertoimet ovat yleensä nolla (Cantor-Lebesguen lause). Taipumus nollakertoimiin T. r. seuraa myös sen lähentymisestä toisen kategorian joukkoon (W. Young, W. Young, 1909).
Yksi yleisen termodynamiikan teorian keskeisistä ongelmista on mielivaltaisen funktion T. r esittämisen ongelma. Vahvistaessaan N. N. Luzinin (1915) tuloksia T. R.:n funktioiden esittämisestä Abel-Poissonin ja Riemannin menetelmillä, jotka summataan lähes kaikkialla, D. E. Men'shov osoitti (1940) seuraavan lauseen, joka liittyy tärkeimpään tapaukseen, kun funktio f ymmärretään T. r:n konvergenssina. to f(x) melkein kaikkialla. Jokaiselle mitattavalle ja äärelliselle lähes kaikkialla funktiolle f on olemassa T. R., joka suppenee siihen lähes kaikkialla (Men'shovin lause). On huomattava, että vaikka funktio f olisi integroitavissa, niin yleisesti ottaen funktion f Fourier-sarjaa ei voida pitää sellaisena sarjana, koska on Fourier-sarjoja, jotka hajoavat kaikkialla.
Men'shovin lause sallii seuraavan tarkennuksen: jos funktio f on mitattavissa ja äärellinen lähes kaikkialla, niin on olemassa jatkuva funktio, joka 
lähes kaikkialla ja funktion j termi kerrallaan differentioitu Fourier-sarja konvergoi f(x):iin lähes kaikkialla (N. K. Bari, 1952).
Ei tiedetä (1984), voidaanko funktion f äärellisyysehto jättää pois lähes kaikkialta Men'shovin lauseessa. Erityisesti ei tiedetä (1984), onko T. r. lähentyvät lähes kaikkialla
Siksi ongelmaa funktioiden esittämisestä, jotka voivat saada äärettömiä arvoja positiivisen suuren joukossa, pohdittiin tapauksessa, jossa lähentyminen melkein kaikkialla korvataan heikommalla vaatimuksella, mittojen konvergenssilla. Mittojen konvergenssi funktioihin, jotka voivat saada äärettömiä arvoja, määritellään seuraavasti: osittaisten summien sarja T. p. s n(x) konvergoi mitattuna funktioon f(x) .
jos missä f n(x) konvergoi / (x) lähes kaikkialla, ja sekvenssi konvergoi nollaan. Tässä asetelmassa funktioiden esitysongelma on ratkaistu loppuun asti: jokaiselle mitattavissa olevalle funktiolle on olemassa T. R., joka suppenee siihen mitassa (D. E. Men'shov, 1948).
T. r.:n ainutlaatuisuuden ongelmalle on omistettu paljon tutkimusta: Voiko kaksi erilaista T.:tä poiketa samasta funktiosta? eri muotoilussa: jos T. r. konvergoi nollaan, seuraako siitä, että kaikki sarjan kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla. Tässä voidaan tarkoittaa konvergenssia kaikissa pisteissä tai kaikissa pisteissä tietyn joukon ulkopuolella. Vastaus näihin kysymyksiin riippuu olennaisesti sen joukon ominaisuuksista, joiden ulkopuolella konvergenssia ei oletetaan.
Seuraava terminologia on laadittu. Monta nimeä. ainutlaatuisuus asetettu tai U- asettaa jos, konvergenssista T. r. nollaan kaikkialla, paitsi ehkä joukon pisteitä E, tästä seuraa, että kaikki tämän sarjan kertoimet ovat nolla. Muuten Enaz. M-setti.
Kuten G. Cantor (1872) osoitti, tyhjä joukko, samoin kuin mikä tahansa äärellinen joukko, ovat U-joukkoja. Mielivaltainen laskettava joukko on myös U-joukko (W. Jung, 1909). Toisaalta jokainen positiivisten mittojen joukko on M-joukko.
D. E. Men'shov (1916) totesi M-mittajoukon olemassaolon, joka rakensi ensimmäisen esimerkin täydellisestä joukosta näillä ominaisuuksilla. Tällä tuloksella on perustavanlaatuinen merkitys ainutlaatuisuusongelmassa. Nollamittaisten M-joukkojen olemassaolosta seuraa, että lähes kaikkialla konvergoivien T. R:n funktioiden esityksessä nämä sarjat on määritelty poikkeuksetta moniselitteisesti.
Täydelliset sarjat voivat olla myös U-sarjoja (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Nollamittajoukkojen erittäin hienovaraiset ominaisuudet ovat olennainen rooli ainutlaatuisuusongelmassa. Yleinen kysymys mittajoukkojen luokittelusta nolla M- ja U-sarjat jäävät (1984) auki. Se ei ole ratkaistu edes täydellisille sarjoille.
Seuraava ongelma liittyy ainutlaatuisuusongelmaan. Jos T. r. konvergoi funktioon 
sitten onko tämän sarjan oltava funktion / Fourier-sarja. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) antoi myönteisen vastauksen tähän kysymykseen, jos f on integroitavissa Riemannin merkityksessä ja sarja konvergoi f(x):iin kaikissa pisteissä. Tuloksista III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) viittaa siihen, että vastaus on myönteinen, vaikka sarja suppenee kaikkialla paitsi laskettavassa pistejoukossa ja sen summa on äärellinen.
Jos T. p suppenee absoluuttisesti jossain pisteessä x 0, niin tämän sarjan konvergenssipisteet sekä sen absoluuttisen konvergenssin pisteet sijaitsevat symmetrisesti pisteen x 0 suhteen
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Mukaan Denjoy - Luzinin lause absoluuttisesta konvergenssista T. r. (1) positiivisten mittausten sarjassa sarja konvergoi 
ja näin ollen sarjan (1) absoluuttinen konvergenssi kaikille X. Tämä ominaisuus on myös toisen luokan joukoilla sekä tietyillä nollamittajoukoilla.
Tämä tutkimus kattaa vain yksiulotteisen T. r. (yksi). On olemassa erilliset tulokset, jotka liittyvät yleiseen T. p. useista muuttujista. Täällä on monissa tapauksissa edelleen tarpeen löytää luonnollisia ongelmalauseita.
Lit.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrinen sarja, käänn. englannista, osa 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Teokset, käänn. saksasta, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Teljakovsky.
- - lopullinen trigonometrinen summa, - muodon lauseke todellisilla kertoimilla a 0 ja k, bk, k=l, . . ., n; numero n kutsuttu. tilaus T. 0)...
Matemaattinen tietosanakirja
- - sarja useiden kaarien kosineissa ja sinissä, eli sarja muotoa tai kompleksimuotoa, jossa kutsutaan ak, bk tai vastaavasti ck. kertoimet T. r. Ensimmäistä kertaa T. r. tavata L. Eulerissa...
Matemaattinen tietosanakirja
- - kolmiopiste, - geodeettinen piste, jonka sijainti maan pinnalla määritetään kolmiomittausmenetelmällä ...
Suuri tietosanakirja ammattikorkeakoulun sanakirja
- - Katso Triangulaatio...
Brockhausin ja Euphronin tietosanakirja
- - geodesiassa rakenne, joka on asennettu maahan trigonometrisiin pisteisiin. T. h. koostuu kahdesta osasta - ulkoisesta ja maanalaisesta...
Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
- - muodon toiminnallinen sarja, eli sarja, joka sijaitsee useiden kaarien sinejä ja kosineja pitkin. Usein T. r. kirjoitettu monimutkaisessa muodossa.
Olkoon trigonometrinen sarja
Sen selvittämiseksi, konvergoiko se, on luonnollista tarkastella lukusarjoja
(2)
pääasiallinen, kuten sanotaan, sarja (1). Sen jäsenet ylittävät vastaavasti sarjan (1) jäsenten absoluuttiset arvot:
.
Tästä seuraa, että jos sarja (2) suppenee, niin sarja (1) suppenee kaikille ja lisäksi absoluuttisesti ja tasaisesti (katso kirjamme Higher Mathematics. Differential and Integral Calculus, § 9.8, Lause 1). Mutta sarja (1) voi lähentyä ilman sarjan (2) lähentymistä. Loppujen lopuksi sen ehdot kullekin muutosmerkille (värähtelevät) äärettömän monta kertaa muuttuessaan, ja se voi osoittautua lähentyväksi johtuen positiivisten termien kompensoinnista negatiivisilla termeillä. Yleisessä sarjateoriassa on merkkejä samankaltaisten sarjojen konvergenssista. Tällaisia testejä ovat Dirichlet- ja Abel-testit (katso saman kirjan § 9.9, Lauseet 3 ja 4), jotka soveltuvat hyvin trigonometristen sarjojen tutkimiseen.
Tavalla tai toisella, jos todetaan, että sarja (1) konvergoi tasaisesti, niin siitä tosiasiasta, että sen termit ovat jakson jatkuvia funktioita, seuraa, että sen summa
(3)
on jatkuva jaksofunktio (katso saman kirjan § 9.8, Lause 2 ja § 9.9, Lause 2) ja sarja (3) voidaan integroida termi kerrallaan.
Sarja (3) voidaan muodollisesti erottaa seuraavasti:
(4)
ja säveltää sen pääsarjan
(5)
Jälleen, jos sarja (5) konvergoi, sarja (4) konvergoi tasaisesti. Lisäksi tasaisesti suppenevien sarjojen teoriasta tunnetun lauseen perusteella sarjan summa (4) on sarjan (3) summan derivaatta, ts.
.
Yleensä, jos sarja
konvergoi jollekin luonnolliselle luvulle, niin sarja (3) voidaan laillisesti erottaa termeiltä.
Meidän on kuitenkin muistettava, että on mahdollista, että sarja (3) voidaan perustellusti erottaa vielä kerran (eli kertaa).
Esimerkki. Selvitä, kuinka monta kertaa sarja voidaan erottaa termeiltä
Numerot a n, b n tai c n kutsutaan kertoimet T. r.
T. r. on erittäin tärkeä rooli matematiikassa ja sen sovelluksissa. Ensinnäkin T. r. tarjoavat keinoja funktioiden kuvaamiseen ja tutkimiseen ja ovat siksi yksi funktioteorian päälaitteistoista. Lisäksi lämpösäteily esiintyy luonnollisesti useiden matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaisussa, joista voidaan mainita kielen värähtelyongelma, lämmön etenemisongelma jne. Lopuksi lämpösäteilyn teoria . auttoi selventämään matemaattisen analyysin peruskäsitteitä (funktio, integraali), herätti henkiin useita tärkeitä matematiikan osia (Fourier-integraalien teoria, lähes jaksollisten funktioiden teoria), toimi yhtenä lähtökohtana joukkoteorian kehittäminen, todellisen muuttujan funktioteoria ja funktionaalinen analyysi sekä yleisen harmonisen analyysin alku.
Euler osoitti tehosarjojen ja T. R.:n välisen yhteyden: jos 
c n ovat siis todellisia
nimittäin:
Lit.: Luzin N. N., Integral and trigonometric series, M. - L., 1951; Barin. K., Trigonometric series, Moskova, 1961; Sigmund A., Trigonometrinen sarja, käänn. englannista, 2. painos, osa 1-2, M., 1965.
Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .
Katso, mitä "Trigonometric Series" on muissa sanakirjoissa:
Sarja kosineja ja sinejä, joissa on useita kaaria, eli sarja muotoa tai kompleksimuotoa, jossa kutsutaan ak, bk tai vastaavasti ck. kertoimet T. r. Ensimmäistä kertaa T. r. tapaavat L. Eulerissa (L. Euler, 1744). Hän sai laajennuksia ser. 1700-luvulla yhteydessä…… Matemaattinen tietosanakirja
Sarja muotoa, jossa kertoimet a0, a1, b1, a2, b2 ... eivät riipu muuttujasta x ... Suuri Ensyklopedinen sanakirja
Matematiikassa trigonometrinen sarja on mikä tahansa muotoinen sarja: Trigonometristä sarjaa kutsutaan funktion Fourier-sarjaksi, jos kertoimet ja määritetään seuraavasti ... Wikipedia
Sarja muotoa, jossa kertoimet a0, a1, b1, a2, b2, ... eivät riipu muuttujasta x. * * * TRIGONOMETRIINEN SARJA TRIGONOMETRIINEN SARJA, sarja muotoa, jossa kertoimet a0, a1, b1, a2, b2 ... eivät riipu muuttujasta x ... tietosanakirja
Trigonometrinen Fourier-sarja on mielivaltaisen funktion esitys, jonka jakso on sarjan muodossa (1) tai kompleksimerkintää käyttäen sarjan muodossa: . Sisältö ... Wikipedia
ääretön trigonometrinen Fourier-sarja- - Tietoliikenneaiheet, peruskäsitteet FI Fourier-sarja ... Teknisen kääntäjän käsikirja
Tyypin sarja Sarja tyyppi (1) K. Weierstrass esitteli vuonna 1872 jatkuvan, minnekään erottumattoman funktion. J. Hadamard sovelsi vuonna 1892 sarjoja (1), kutsuen niitä lakunaareiksi, analyytiikan tutkimukseen. toiminnon jatko. Systemaattinen… Matemaattinen tietosanakirja
Sarjasarjoihin Nämä sarjat ovat sarjan todellinen ja kuvitteellinen osa kohdassa z=eix. Funktion j(x) osasummien kaava konjugoituu Fourier-sarjan trigonometriseen. sarja, jossa on Dirichlet-konjugaattiydin. Jos f(x) on rajoitetun vaihtelun funktio... ... Matemaattinen tietosanakirja
Fourier-sarjan termien lisääminen... Wikipedia
I on ääretön summa esimerkiksi muodossa u1 + u2 + u3 + ... + un + ... tai lyhyesti sanottuna Yksi yksinkertaisimmista R:n esimerkeistä, joka löytyy jo alkeismatematiikasta, on ääretön laskeva summa...... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
Alkuhuomautukset
Tässä osiossa tarkastellaan jaksollisten signaalien esittämistä Fourier-sarjan avulla. Fourier-sarjat ovat spektrianalyysin teorian perusta, koska kuten myöhemmin näemme, ei-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos voidaan saada Fourier-sarjan rajasiirtymäksi äärettömällä toistojaksolla. Tämän seurauksena Fourier-sarjan ominaisuudet pätevät myös ei-jaksollisten signaalien Fourier-muunnokseen.Tarkastellaan Fourier-sarjan lausekkeita trigonometrisissa ja kompleksisissa muodoissa ja kiinnitetään myös huomiota Dirichlet-ehtoihin Fourier-sarjan konvergenssille. Lisäksi viivyttelemme yksityiskohtaisesti sellaisen käsitteen selityksessä kuin signaalispektrin negatiivinen taajuus, joka usein aiheuttaa vaikeuksia tutustua spektrianalyysin teoriaan.
Jaksollinen signaali. Trigonometrinen Fourier-sarja
Olkoon jatkuva-aikainen jaksollinen signaali , joka toistuu jaksolla c, ts. , missä on mielivaltainen kokonaisluku.Esimerkkinä kuvassa 1 on sarja suorakaiteen muotoisia pulsseja, joiden kesto on c ja joka toistuu jaksolla c.
Kuva 1. Jaksottainen järjestys
Suorakaiteen muotoiset pulssit
Matemaattisen analyysin aikana tiedetään, että trigonometristen funktioiden järjestelmä
useilla taajuuksilla , joissa rad/s on kokonaisluku, muodostaa ortonormaalin perustan jaksollisten signaalien hajotukselle jaksolla, joka täyttää Dirichlet-ehdot .
Dirichlet-ehdot Fourier-sarjan konvergenssille edellyttävät, että segmentillä annetaan jaksollinen signaali, samalla kun seuraavat ehdot täyttyvät:
Esimerkiksi jaksollinen funktio 
ei täytä Dirichlet-ehtoja, koska funktio on toisen tyyppisiä epäjatkuvuuksia ja se ottaa äärettömät arvot , jossa on mielivaltainen kokonaisluku. Toiminto siis ei voida esittää Fourier-sarjalla. Voit myös antaa esimerkin funktiosta 
, joka on rajoitettu, mutta ei myöskään täytä Dirichletin ehtoja, koska sillä on ääretön määrä ääripisteitä, kun se lähestyy nollaa. Funktiokaavio näkyy kuvassa 2.
Kuva 2. Funktiokaavio :
A - kaksi toistojaksoa; b - naapurustossa
Kuvassa 2a on esitetty kaksi funktion toistojaksoa , ja kuvassa 2b on alueen läheisyydessä . Voidaan nähdä, että nollaa lähestyttäessä värähtelytaajuus kasvaa äärettömästi, eikä tällaista funktiota voi esittää Fourier-sarjalla, koska se ei ole paloittain monotoninen.
On huomattava, että käytännössä ei ole signaaleja, joilla on äärettömät virran tai jännitteen arvot. Toimii äärettömällä määrällä tyypin ääripäitä ei myöskään löydy sovelletuista ongelmista. Kaikki todelliset jaksolliset signaalit täyttävät Dirichlet-ehdot ja ne voidaan esittää äärettömällä trigonometrisella Fourier-sarjalla, jonka muoto on:
 |
Lausekkeessa (2) kerroin määrittää jaksollisen signaalin vakiokomponentin.
Kaikissa pisteissä, joissa signaali on jatkuva, Fourier-sarja (2) konvergoi annetun signaalin arvoihin ja ensimmäisen tyyppisissä epäjatkuvuuspisteissä keskiarvoon, missä ja ovat rajat vasemmalle ja oikealle. vastaavasti epäjatkuvuuspisteestä.
Matemaattisen analyysin perusteella tiedetään myös, että katkaistun Fourier-sarjan käyttö, joka sisältää vain ensimmäiset termit äärettömän summan sijaan, johtaa signaalin likimääräiseen esitykseen:
joka takaa pienimmän keskineliövirheen. Kuva 3 havainnollistaa jaksollisen neliöaaltojonon ja jaksollisen sahanhammassignaalin approksimaatiota käyttämällä erilaisia Fourier-sarjan termejä.
Kuva 3. Signaalien likiarvo katkaistulla Fourier-sarjalla:
A - suorakaiteen muotoiset pulssit; b - sahanhammassignaali
Fourier-sarja monimutkaisessa muodossa
Edellisessä kappaleessa tarkastelimme trigonometristä Fourier-sarjaa mielivaltaisen jaksollisen signaalin laajentamiseksi, joka täyttää Dirichletin ehdot. Eulerin kaavan avulla voimme näyttää: |
Sitten trigonometrinen Fourier-sarja (2) ottaen huomioon (4):
Siten jaksollinen signaali voidaan esittää DC-komponentin ja kompleksisten eksponentien summalla, jotka pyörivät taajuuksilla, joilla on kertoimet positiivisille taajuuksille ja kompleksisille eksponenteille, jotka pyörivät negatiivisilla taajuuksilla.
Harkitse kertoimia monimutkaisille eksponenteille, jotka pyörivät positiivisilla taajuuksilla:
Lausekkeet (6) ja (7) ovat yhteneväisiä, lisäksi vakiokomponentti voidaan kirjoittaa myös kompleksisen eksponentin muodossa nollataajuudella:
Siten (5), ottaen huomioon (6)-(8), voidaan esittää yhtenä summana indeksoituna miinus äärettömästä äärettömään:
 |
Lauseke (9) on Fourier-sarja monimutkaisessa muodossa. Fourier-sarjan kertoimet kompleksisessa muodossa liittyvät kertoimiin ja sarjan trigonometriseen muotoon, ja ne on määritelty sekä positiivisille että negatiivisille taajuuksille. Taajuusmerkinnän indeksi ilmaisee diskreetin harmonisen lukumäärän negatiivisten indeksien kanssa, jotka vastaavat negatiivisia taajuuksia.
Lausekkeesta (2) seuraa, että reaalisignaalille kertoimet ja sarjan (2) ovat myös todellisia. Kuitenkin (9) osoittaa todelliselle signaalille joukon kompleksisia konjugaattikertoimia, jotka liittyvät sekä positiivisiin että negatiivisiin taajuuksiin.
Jotkut selitykset Fourier-sarjasta monimutkaisessa muodossa
Edellisessä osiossa siirryimme trigonometrisestä Fourier-sarjasta (2) monimutkaisen muodon Fourier-sarjaan (9). Tuloksena jaksollisten signaalien laajentamisen sijaan todellisten trigonometristen funktioiden perusteella saimme laajennuksen kompleksisten eksponentiaalien perusteella, monimutkaisilla kertoimilla, ja laajennuksessa ilmaantui jopa negatiivisia taajuuksia! Koska tämä asia ymmärretään usein väärin, on tarpeen antaa joitakin selvennyksiä.Ensinnäkin monimutkaisten eksponentien käsittely on useimmissa tapauksissa helpompaa kuin trigonometristen funktioiden käyttäminen. Esimerkiksi monimutkaisia eksponentiaaleja kerrottaessa ja jaettaessa riittää vain eksponentien lisääminen (vähennys), kun taas trigonometristen funktioiden kerto- ja jakokaavat ovat hankalampia.
Eksponenttien, jopa kompleksisten, erottaminen ja integrointi on myös helpompaa kuin trigonometriset funktiot, jotka muuttuvat jatkuvasti differentioitaessa ja integroitaessa (sinistä tulee kosini ja päinvastoin).
Jos signaali on jaksollinen ja todellinen, trigonometrinen Fourier-sarja (2) näyttää havainnollistavammalta, koska kaikki laajennuskertoimet , ja pysyvät todellisina. Usein on kuitenkin käsiteltävä monimutkaisia jaksollisia signaaleja (esimerkiksi modulaatiossa ja demoduloinnissa käytetään kompleksisen verhokäyrän kvadratuuriesitystä). Tässä tapauksessa trigonometristä Fourier-sarjaa käytettäessä kaikista kertoimista ja laajennuksista (2) tulee kompleksisia, kun taas käytettäessä Fourier-sarjaa kompleksisessa muodossa (9), samoja laajennuskertoimia käytetään sekä todellisille että kompleksisille tulosignaaleille. .
Ja lopuksi, on tarpeen viipyä negatiivisten taajuuksien selityksessä, jotka esiintyivät kohdassa (9). Tämä kysymys ymmärretään usein väärin. Arkielämässä emme kohtaa negatiivisia taajuuksia. Emme esimerkiksi koskaan viritä radioamme negatiiviselle taajuudelle. Tarkastellaan seuraavaa analogiaa mekaniikasta. Olkoon mekaaninen jousiheiluri, joka värähtelee vapaasti tietyllä taajuudella. Voiko heiluri värähtää negatiivisella taajuudella? Ei tietenkään. Aivan kuten ei ole radioasemia, jotka menevät lähetykseen negatiivisilla taajuuksilla, ei heilurin taajuus voi olla negatiivinen. Mutta jousiheiluri on yksiulotteinen esine (heiluri värähtelee yhtä suoraa pitkin).
Voimme myös antaa toisen analogian mekaniikasta: pyörä, joka pyörii taajuudella . Pyörä, toisin kuin heiluri, pyörii, ts. pyörän pinnalla oleva piste liikkuu tasossa, eikä värähtele vain yhtä suoraa pitkin. Siksi pyörän pyörimisen yksilölliseen asettamiseen ei riitä pyörimistaajuuden asettaminen, koska on myös asetettava pyörimissuunta. Juuri tähän voimme käyttää taajuusmerkkiä.
Joten, jos pyörä pyörii taajuudella rad / s vastapäivään, katsomme, että pyörä pyörii positiivisella taajuudella, ja jos se pyörii myötäpäivään, pyörimistaajuus on negatiivinen. Siten kierron määrittämiseksi negatiivinen taajuus lakkaa olemasta järjetöntä ja osoittaa pyörimissuunnan.
Ja nyt tärkein asia, joka meidän on ymmärrettävä. Yksiulotteisen kohteen (esimerkiksi jousiheilurin) värähtely voidaan esittää kuvassa 4 esitetyn kahden vektorin kiertojen summana.
Kuva 4. Jousiheilurin värähtely
Kahden vektorin rotaatioiden summana
monimutkaisella tasolla
Heiluri värähtelee kompleksitason todellista akselia pitkin harmonisen lain mukaisella taajuudella. Heilurin liike esitetään vaakasuuntaisena vektorina. Ylempi vektori pyörii kompleksitasossa positiivisella taajuudella (vastapäivään) ja alempi vektori pyörii negatiivisella taajuudella (myötäpäivään). Kuva 4 havainnollistaa selvästi trigonometriakurssilta hyvin tunnettua suhdetta:
Siten Fourier-sarja kompleksisessa muodossa (9) edustaa jaksollisia yksiulotteisia signaaleja vektorien summana kompleksitasolla, joka pyörii positiivisilla ja negatiivisilla taajuuksilla. Samanaikaisesti huomautamme, että todellisen signaalin tapauksessa (9) mukaisesti negatiivisten taajuuksien laajennuskertoimet ovat kompleksisesti konjugoituja vastaaviin positiivisten taajuuksien kertoimiin. Kompleksisen signaalin tapauksessa tämä kertoimien ominaisuus ei päde, koska ja ovat myös kompleksisia.
Jaksottaisten signaalien spektri
Fourier-sarja kompleksimuodossa on jaksollisen signaalin hajoaminen kompleksisten eksponentiaalien summaksi, joka pyörii positiivisilla ja negatiivisilla taajuuksilla rad/s:n kerrannaisina vastaavilla kompleksikertoimilla, jotka määräävät signaalin spektrin. Kompleksikertoimet voidaan esittää Eulerin kaavalla, missä on amplitudispektri ja a on vaihespektri.Koska jaksolliset signaalit hajotetaan sarjaksi vain kiinteässä taajuusverkossa, jaksollisten signaalien spektri on viiva (diskreetti).
Kuva 5. Jaksollisen sekvenssin spektri
Suorakulmaiset pulssit:
A on amplitudispektri; b - vaihespektri
Kuvassa 5 on esimerkki suorakaiteen muotoisten pulssien jaksollisen sekvenssin amplitudista ja vaihespektristä (katso kuva 1) c:lle, pulssin kestolle c ja pulssin amplitudille B.
Alkuperäisen todellisen signaalin amplitudispektri on symmetrinen nollataajuuden suhteen, kun taas vaihespektri on antisymmetrinen. Samanaikaisesti huomaamme, että vaihespektrin arvot ja 
vastaavat samaa pistettä kompleksitasossa.
Voidaan päätellä, että kaikki pienennetyn signaalin laajennuskertoimet ovat puhtaasti todellisia ja vaihespektri 
vastaa negatiivisia kertoimia.
Huomaa, että amplitudispektrin ulottuvuus on sama kuin signaalin mitta. Jos kuvaa jännitteen muutosta ajan myötä voltteina mitattuna, niin spektrin harmonisten amplitudit ovat myös volttien mittaisia.
johtopäätöksiä
Tässä osiossa tarkastellaan jaksollisten signaalien esittämistä Fourier-sarjan avulla. Fourier-sarjan lausekkeet annetaan trigonometrisissa ja kompleksisissa muodoissa. Kiinnitämme erityistä huomiota Dirichlet-ehtoihin Fourier-sarjan konvergenssissa ja annoimme esimerkkejä funktioista, joiden osalta Fourier-sarja hajoaa.Tarkastelimme yksityiskohtaisesti Fourier-sarjan ilmaisua monimutkaisessa muodossa ja osoitimme, että jaksolliset signaalit, sekä todelliset että kompleksiset, esitetään sarjalla kompleksisia eksponentiaaleja, joilla on positiivinen ja negatiivinen taajuus. Tässä tapauksessa myös laajennuskertoimet ovat monimutkaisia ja kuvaavat jaksollisen signaalin amplitudia ja vaihespektriä.
Seuraavassa osiossa tarkastellaan tarkemmin jaksollisten signaalien spektrien ominaisuuksia.
