Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmät
Ongelman muotoilu. Etsi jokin perusta ja määritä järjestelmän ratkaisujen lineaarisen avaruuden ulottuvuus
Ratkaisusuunnitelma.
1. Kirjoita muistiin järjestelmämatriisi:
ja alkeismuunnosten avulla muunnetaan matriisi kolmiomuotoon, ts. sellaiseen muotoon, kun kaikki päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat nolla. Järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä, eli meidän tapauksessamme niiden rivien lukumäärä, joissa jää nollasta poikkeavia elementtejä:
Ratkaisutilan ulottuvuus on . Jos , niin homogeenisella järjestelmällä on ainutlaatuinen nollaratkaisu, jos , niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.
2. Valitse perus- ja vapaamuuttujat. Vapaat muuttujat on merkitty . Sitten ilmaistaan perusmuuttujat vapailla muuttujilla, jolloin saadaan homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu.
3. Kirjataan muistiin järjestelmän ratkaisuavaruuden kanta asettamalla peräkkäin yksi vapaista muuttujista yhtä suureksi ja loput nollaksi. Järjestelmän lineaarisen ratkaisuavaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin kantavektoreiden lukumäärä.
Huomautus. Elementaariset matriisimuunnokset sisältävät:
1. merkkijonon kertominen (jako) muulla kertoimella kuin nolla;
2. lisäys minkä tahansa toisen rivin riville kerrottuna millä tahansa luvulla;
3. viivojen permutaatio paikoissa;
4. sarakkeiden muunnokset 1–3 (lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisussa sarakkeiden alkeismuunnoksia ei käytetä).
Tehtävä 3. Etsi jokin perusta ja määritä järjestelmän ratkaisujen lineaarisen avaruuden ulottuvuus.
Kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen perusmuunnoksilla kolmiomaiseen muotoon:
Oletamme sitten
Kun analysoimme n-ulotteisen vektorin käsitteitä ja esitimme operaatioita vektoreille, havaitsimme, että kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko muodostaa lineaarisen avaruuden. Tässä artikkelissa puhumme tärkeimmistä asiaan liittyvistä käsitteistä - vektoriavaruuden ulottuvuudesta ja perustasta. Tarkastellaan myös lausetta mielivaltaisen vektorin laajennuksesta kantana ja n-ulotteisen avaruuden eri kantojen välillä. Analysoidaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ratkaisuja.
Sivulla navigointi.
Vektoriavaruuden ulottuvuuden ja perustan käsite.
Vektoriavaruuden dimensio- ja kantakäsitteet liittyvät suoraan lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän käsitteeseen, joten suosittelemme tarvittaessa tutustumaan artikkeliin vektorijärjestelmän lineaarinen riippuvuus, lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden ominaisuudet.
Määritelmä.
Vektoriavaruuden ulottuvuus kutsutaan numeroksi, joka on yhtä suuri kuin tässä avaruudessa olevien lineaarisesti riippumattomien vektorien enimmäismäärä.
Määritelmä.
Vector avaruuspohja on järjestetty joukko tämän avaruuden lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin avaruuden mitta.
Esitämme joitakin näihin määritelmiin perustuvia argumentteja.
Tarkastellaan n-ulotteisten vektorien avaruutta.
Osoitetaan, että tämän avaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin n .
Otetaan n muotoisen yksikkövektorin järjestelmä
Otetaan nämä vektorit matriisin A riveiksi. Tässä tapauksessa matriisi A on n x n identiteettimatriisi. Tämän matriisin sijoitus on n (katso tarvittaessa artikkeli). Siksi vektorijärjestelmä 
on lineaarisesti riippumaton, eikä tähän järjestelmään voida lisätä vektoria rikkomatta sen lineaarista riippumattomuutta. Koska vektorien määrä järjestelmässä on siis n n-ulotteisten vektorien avaruuden ulottuvuus on n ja yksikkövektorit ovat tämän tilan perusta.
Viimeisestä väitteestä ja perustan määritelmästä voimme päätellä, että mikä tahansa n-ulotteisten vektoreiden järjestelmä, jonka vektorien lukumäärä on pienempi kuin n, ei ole kanta.
Vaihdetaan nyt järjestelmän ensimmäinen ja toinen vektori . On helppo osoittaa, että tuloksena oleva vektorijärjestelmä 
on myös n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta. Muodostetaan matriisi ottamalla se tämän järjestelmän vektorien riveiksi. Tämä matriisi voidaan saada identiteettimatriisista vaihtamalla ensimmäinen ja toinen rivi, joten sen järjestys on n . Siten n vektorin järjestelmä on lineaarisesti riippumaton ja on n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta.
Jos vaihdamme järjestelmän muita vektoreita , saamme toisen perustan.
Jos otetaan lineaarisesti riippumaton ei-yksikkövektoreiden järjestelmä, niin se on myös n-ulotteisen vektoriavaruuden perusta.
Täten, n-ulotteisella vektoriavaruudella on niin monta kantaa kuin on lineaarisesti riippumattomia n-ulotteisen vektorin järjestelmiä.
Jos puhumme kaksiulotteisesta vektoriavaruudesta (eli tasosta), sen perusta on mitkä tahansa kaksi ei-kollineaarista vektoria. Kolmiulotteisen avaruuden perusta on mitkä tahansa kolme ei-samantasoista vektoria.
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.
Esimerkki.
Ovatko vektorit 3D-vektoriavaruuden perusta?
Ratkaisu.
Tarkastellaan tätä vektorijärjestelmää lineaarisen riippuvuuden suhteen. Tätä varten laadimme matriisin, jonka rivit ovat vektorien koordinaatit, ja löydämme sen järjestyksen: 
Siten vektorit a , b ja c ovat lineaarisesti riippumattomia ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin vektoriavaruuden mitta, joten ne ovat tämän avaruuden perusta.
Vastaus:
Kyllä he ovat.
Esimerkki.
Voiko vektorijärjestelmä olla vektoriavaruuden perusta?
Ratkaisu.
Tämä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska lineaarisesti riippumattomien kolmiulotteisten vektoreiden enimmäismäärä on kolme. Siksi tämä vektorijärjestelmä ei voi olla kolmiulotteisen vektoriavaruuden perusta (vaikka alkuperäisen vektorijärjestelmän alijärjestelmä on perusta).
Vastaus:
Hän ei voi.
Esimerkki.
Varmista vektorit 
voi olla neliulotteisen vektoriavaruuden perusta.
Ratkaisu.
Tehdään matriisi ottamalla se alkuperäisten vektoreiden riveiksi: 
Etsitään: 
Siten vektorijärjestelmä a, b, c, d on lineaarisesti riippumaton ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin vektoriavaruuden mitta, joten a, b, c, d ovat sen perusta.
Vastaus:
Alkuperäiset vektorit ovat todellakin neliulotteisen avaruuden perusta.
Esimerkki.
Muodostavatko vektorit 4-ulotteisen vektoriavaruuden perustan?
Ratkaisu.
Vaikka alkuperäinen vektorijärjestelmä olisi lineaarisesti riippumaton, siinä olevien vektorien määrä ei riitä neliulotteisen avaruuden perustaksi (sellaisen avaruuden kanta koostuu 4 vektorista).
Vastaus:
Ei, ei.
Vektorin hajoaminen vektoriavaruuden perusteella.
Olkoon mielivaltaiset vektorit ovat n-ulotteisen vektoriavaruuden perusta. Jos niihin lisätään jokin n-ulotteinen vektori x, niin tuloksena oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. Lineaarisen riippuvuuden ominaisuuksista tiedämme, että ainakin yksi lineaarisesti riippuvaisen järjestelmän vektori ilmaistaan lineaarisesti muiden suhteen. Toisin sanoen ainakin yksi lineaarisesti riippuvaisen järjestelmän vektoreista on hajotettu muihin vektoreihin.
Siten tulemme erittäin tärkeän lauseen äärelle.
Lause.
Mikä tahansa n-ulotteisen vektoriavaruuden vektori hajotetaan yksiselitteisesti kantaan nähden.
Todiste.
Antaa - n-ulotteisen vektoriavaruuden kanta. Lisätään näihin vektoreihin n-ulotteinen vektori x. Tällöin tuloksena oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen ja vektori x voidaan ilmaista lineaarisesti vektoreilla : , missä on joitain numeroita. Joten saimme vektorin x laajennuksen kannan suhteen. On vielä todistettava, että tämä hajoaminen on ainutlaatuinen.
Oletetaan, että on olemassa toinen hajoaminen , missä 
- joitain numeroita. Vähennä viimeisen yhtälön vasemmasta ja oikeasta osasta yhtälön vasen ja oikea osa:
Koska kantavektorien järjestelmä on lineaarisesti riippumaton, niin vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden määritelmän mukaan tuloksena oleva yhtäläisyys on mahdollinen vain, kun kaikki kertoimet ovat nolla. Siksi , joka todistaa vektorin laajennuksen ainutlaatuisuuden perustan suhteen.
Määritelmä.
Kertoimia kutsutaan vektorin x koordinaatit kannassa .
Tutustuttuamme lauseeseen vektorin laajentamisesta perustan suhteen alamme ymmärtää lausekkeen "meille annetaan n-ulotteinen vektori" olemusta. 
". Tämä lauseke tarkoittaa, että tarkastelemme vektoria x n-ulotteisesta vektoriavaruudesta, jonka koordinaatit on annettu jossain kannassa. Samalla ymmärrämme, että samalla vektorilla x toisessa n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa on erilaiset koordinaatit kuin .
Harkitse seuraavaa ongelmaa.
Annetaan jossain n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmä 
ja vektori . Sitten vektorit ovat myös tämän vektoriavaruuden perusta.
Meidän on löydettävä vektorin x koordinaatit kannasta . Merkitään nämä koordinaatit muodossa .
Vektori x pohjassa on idea. Kirjoitamme tämän yhtälön koordinaattimuodossa:
Tämä yhtälö vastaa n lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmää, joissa on n tuntematonta muuttujaa :
Tämän järjestelmän päämatriisilla on muoto 
Merkitään se A:lla. Matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän vektoreita , joten tämän matriisin sijoitus on n, joten sen determinantti on nollasta poikkeava. Tämä tosiasia osoittaa, että yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa menetelmällä, esimerkiksi tai .
Joten halutut koordinaatit löytyvät vektori x kannassa .
Analysoidaan teoriaa esimerkein.
Esimerkki.
Jossain kolmiulotteisen vektoriavaruuden pohjassa vektorit 
Varmista, että vektorijärjestelmä on myös tämän avaruuden kanta ja etsi vektorin x koordinaatit tästä kannasta.
Ratkaisu.
Jotta vektorijärjestelmä olisi kolmiulotteisen vektoriavaruuden perusta, sen on oltava lineaarisesti riippumaton. Selvitetään määrittämällä matriisin A järjestys, jonka rivit ovat vektoreita . Löydämme arvon Gaussin menetelmällä 
siksi Rank(A) = 3 , joka osoittaa vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden.
Joten vektorit ovat perusta. Olkoon vektorilla x koordinaatit tässä kannassa. Sitten, kuten yllä osoitimme, tämän vektorin koordinaattien suhde saadaan yhtälöjärjestelmällä 
Korvaamalla siihen ehdosta tunnetut arvot, saamme 
Ratkaistaan se Cramerin menetelmällä: 
Siten kannassa olevalla vektorilla x on koordinaatit 
.
Vastaus:
Esimerkki.
Jollain perusteella 
neliulotteiselle vektoriavaruudelle annetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä 
On tiedossa, että 
. Etsi vektorin x koordinaatit kannassa .
Ratkaisu.
Vektorijärjestelmästä lähtien 
on oletuksena lineaarisesti riippumaton, niin se on neliulotteisen avaruuden kanta. Sitten tasa-arvo tarkoittaa, että kannassa oleva vektori x on koordinaatit. Merkitään vektorin x koordinaatit kannassa Miten .
Yhtälöjärjestelmä, joka määrittää vektorin x koordinaattien suhteen emäksissä Ja on muotoa 
Korvaamme tunnetut arvot sillä ja löydämme halutut koordinaatit: 
Vastaus:
.
Yhteydenpito tukikohtien välillä.
Olkoon kaksi lineaarisesti riippumatonta vektorijärjestelmää jossain n-ulotteisen vektoriavaruuden kannassa 
Ja
eli ne ovat myös tämän tilan perusta.
Jos 
- vektorikoordinaatit perusteella , sitten koordinaattien suhde 
Ja annetaan lineaarisella yhtälöjärjestelmällä (puhuimme tästä edellisessä kappaleessa): 
, joka matriisimuodossa voidaan kirjoittaa muodossa 
Vastaavasti voimme kirjoittaa vektorille 
Edelliset matriisiyhtälöt voidaan yhdistää yhdeksi, joka oleellisesti määrittelee kahden eri kantaluvun vektorien suhteen 
Samalla tavalla voimme ilmaista kaikki kantavektorit pohjan kautta 
:
Määritelmä.
Matriisi 
nimeltään siirtymämatriisi perustasta pohjalle , sitten tasa-arvo 
Kerrotaan tämän oikealla olevan yhtälön molemmat puolet luvulla
saamme 
Etsitään siirtymämatriisi, kun taas emme viivyttele käänteismatriisin löytämisessä ja matriisien kertomisessa (katso tarvittaessa artikkelit ja): 
On vielä selvitettävä vektorin x koordinaattien suhde annetuissa kannassa.
Olkoon vektorilla x siis koordinaatit kannassa 
ja kannassa vektorilla x on koordinaatit , niin 
Koska kahden viimeisen yhtälön vasemmat osat ovat samat, voimme rinnastaa oikeat osat: 
Jos kerromme molemmat oikeanpuoleiset puolet arvolla
sitten saamme 
Toisella puolella 
(etsi itse käänteismatriisi).
Kaksi viimeistä yhtälöä antavat meille halutun vektorin x koordinaattien suhteen kantojen ja .
Vastaus:
Siirtymämatriisilla kannasta kantaan on muoto 
;
vektorin x koordinaatit emäksissä ja liittyvät suhteisiin 
tai .
Pohdimme vektoriavaruuden dimensiota ja kantaa, opimme hajottamaan vektoria kannan mukaan ja löysimme yhteyden n-ulotteisen vektoriavaruuden eri kantojen välillä siirtymämatriisin kautta.
Sivu 1
Alavaruus, sen perusta ja ulottuvuus.
Antaa L on lineaarinen avaruus kentän päällä P Ja A on osajoukko L. Jos A itse muodostaa lineaarisen tilan kentän yli P samoihin operaatioihin kuin L, Tuo A kutsutaan avaruuden aliavaruudeksi L.
Lineaarisen avaruuden määritelmän mukaan, niin että A oli aliavaruus, jossa tarkistettiin toteutettavuus A toiminnot:
1) : 
;
2) 
: 
;
ja tarkista, että toiminnot ovat käynnissä A kahdeksan aksiooman alainen. Jälkimmäinen on kuitenkin redundantti (johtuen siitä, että nämä aksioomit pätevät L:ssä), ts. seuraavat
Lause. Olkoon L lineaarinen avaruus kentän P ja yli 
. Joukko A on L:n aliavaruus, jos ja vain, jos seuraavat vaatimukset täyttyvät:
1. : ;
2. : .
lausunto. Jos L – n-ulotteinen lineaariavaruus ja A sen aliavaruus siis A on myös äärellisulotteinen lineaariavaruus ja sen ulottuvuus ei ylitä n.
P 
esimerkki 1. Onko tason kaikkien vektorien joukko S, joista kukin on jollakin koordinaattiakselilla 0x tai 0y, segmenttivektorien V 2 avaruuden aliavaruus?
Ratkaisu: Antaa 
, 
Ja 
, 
. Sitten 
. Siksi S ei ole aliavaruus 
.
Esimerkki 2 V 2 joukko tason vektorisegmenttejä S kaikki tasovektorit, joiden alku ja loppu ovat tietyllä suoralla l tämä lentokone?
Ratkaisu.
E 
sli-vektori 
kerrotaan reaaliluvulla k, niin saamme vektorin 
, joka kuuluu myös S. Ifille 
Ja 
ovat kaksi vektoria S:stä 
(suoralla olevien vektorien summaussäännön mukaan). Siksi S on aliavaruus 
.
Esimerkki 3 On lineaarisen avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2 joukko A kaikki tason vektorit, joiden päät ovat annetulla suoralla l, (oletetaan, että minkä tahansa vektorin origo on sama kuin origo)?
R 
ratkaisu.
Siinä tapauksessa, että suora l ei kulje alkuperän läpi A avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2
ei ole, koska 
.
Siinä tapauksessa, että suora l
kulkee alkuperän, joukon läpi A on avaruuden lineaarinen aliavaruus V 2
,
koska 
ja kerrottaessa mikä tahansa vektori 
todelliseen numeroon α
pois kentältä R saamme 
. Siten joukon lineaariset tilavaatimukset A valmiiksi.
Esimerkki 4 Olkoon vektorijärjestelmä annettu 
lineaarisesta avaruudesta L kentän yli P. Todista, että kaikkien mahdollisten lineaariyhdistelmien joukko 
kertoimilla 
alkaen P on aliavaruus L(tämä on aliavaruus A kutsutaan vektorijärjestelmän generoimaksi aliavaruudeksi tai lineaarinen kuori tämä vektorijärjestelmä, ja ne on merkitty seuraavasti: 
tai 
).
Ratkaisu. Todellakin, koska , sitten kaikille elementeille x,
y
A meillä on: 
, 
, Missä 
, 
. Sitten
Koska , Tuo 
, Siksi 
.
Tarkastetaan lauseen toisen ehdon toteutettavuus. Jos x on mikä tahansa vektori mistä A Ja t- mikä tahansa numero alkaen P, Tuo. Koska 
Ja 
,, Tuo 
, , Siksi 
. Näin ollen lauseen mukaan joukko A on lineaarisen avaruuden aliavaruus L.
Äärillisulotteisten lineaariavaruuksien kohdalla päinvastoin on myös totta.
Lause. Mikä tahansa aliavaruus A lineaarinen avaruus L kentän yli 
on jonkin vektorijärjestelmän lineaarinen jänneväli.
Kun ratkaistaan lineaarisen kuoren perustan ja mittasuhteen löytämisongelma, käytetään seuraavaa lausetta.
Lause. Lineaarinen kuoripohja 
osuu yhteen vektorijärjestelmän perustan kanssa . Lineaarisen kuoren mitat osuu yhteen vektorijärjestelmän arvon kanssa .
Esimerkki 4 Etsi aliavaruuden perusta ja ulottuvuus 
lineaarinen avaruus R 3
[
x]
, Jos 
, 
, 
, 
.
Ratkaisu. On tunnettua, että vektoreilla ja niiden koordinaattiriveillä (sarakkeilla) on samat ominaisuudet (lineaarisen riippuvuuden suhteen). Teemme matriisin A=
vektorien koordinaattisarakkeista 
pohjalta 
.
Etsi matriisin arvo A.
. M 3
=
. 
.
Siksi sijoitus r(A)=
3. Eli vektorijärjestelmän järjestys on yhtä suuri kuin 3. Näin ollen aliavaruuden S ulottuvuus on yhtä suuri kuin 3 ja sen kanta koostuu kolmesta vektorista 
(koska perus-mollissa 
vain näiden vektorien koordinaatit ovat mukana)., . Tämä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Todellakin, anna.
JA 
.
Voidaan varmistaa, että järjestelmä 
lineaarisesti riippuvainen mistä tahansa vektorista x alkaen H. Tämä todistaa sen 
Suurin lineaarisesti riippumaton aliavaruusvektorien järjestelmä H, eli -pohja sisään H ja himmeä H=n 2
.
Sivu 1
1. Anna aliavaruuden L = L(A 1 , A 2 , …, olen) , tuo on L on järjestelmän lineaarinen kuori A 1 , A 2 , …, olen; vektorit A 1 , A 2 , …, olen on tämän aliavaruuden generaattorijärjestelmä. Sitten pohja L on vektorijärjestelmän perusta A 1 , A 2 , …, olen, eli generaattorijärjestelmän perusta. Ulottuvuus L on yhtä suuri kuin generaattorijärjestelmän arvo.
2. Anna aliavaruuden L on aliavaruuksien summa L 1 ja L 2. Aliavaruuksien generointijärjestelmä saadaan yhdistämällä aliavaruuksien generointijärjestelmät, minkä jälkeen summan perusta löytyy. Summan mitta saadaan seuraavalla kaavalla:
himmeä(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – himmeä(L 1 Z L 2).
3. Olkoon aliavaruuksien summa L 1 ja L 2 suoraa, eli L = L 1 Å L 2. Jossa L 1 Z L 2 = {O) Ja himmeä(L 1 Z L 2) = 0. Suoran summan kanta on yhtä suuri kuin summan kantalukujen liitto. Suoran summan dimensio on yhtä suuri kuin termien dimensioiden summa.
4. Otetaan tärkeä esimerkki aliavaruudesta ja lineaarisesta monista.
Harkitse homogeenista järjestelmää m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon. Paljon ratkaisuja M Tämän järjestelmän 0 on joukon osajoukko R n ja on suljettu vektorien yhteenlaskemisen ja niiden reaaliluvulla kertomisen alaisena. Tämä tarkoittaa, että tämä on setti M 0 - avaruuden aliavaruus R n. Aliavaruuden perusta on homogeenisen järjestelmän perusratkaisujoukko, aliavaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin vektoreiden lukumäärä järjestelmän perusratkaisujoukossa.
Joukko M yleisiä järjestelmäratkaisuja m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon on myös joukon osajoukko R n ja on yhtä suuri kuin joukon summa M 0 ja vektori A, Missä A on jokin tietty ratkaisu alkuperäisestä järjestelmästä ja joukosta M 0 on joukko tämän järjestelmän mukana tulevan homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuja (se eroaa alkuperäisestä järjestelmästä vain vapailla termeillä),
M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.
Tämä tarkoittaa, että monet M on tilan lineaarinen monisto R n siirtovektorilla A ja suunta M 0 .
Esimerkki 8.6. Etsi homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän antaman aliavaruuden kanta ja ulottuvuus:
Ratkaisu. Etsitään tämän järjestelmän yleinen ratkaisu ja sen perusratkaisut: 
Kanssa 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Kanssa 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Kanssa 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Aliavaruuden kanta muodostuu vektoreista Kanssa 1 , Kanssa 2 , Kanssa 3, sen mitta on kolme.
Työ loppu -
Tämä aihe kuuluu:
Lineaarialgebra
N.A. Nekrasovin mukaan nimetty Kostroman osavaltion yliopisto.
Jos tarvitset lisämateriaalia tästä aiheesta tai et löytänyt etsimääsi, suosittelemme käyttämään hakua teostietokannassamme:
Mitä teemme saadulla materiaalilla:
Jos tämä materiaali osoittautui hyödylliseksi sinulle, voit tallentaa sen sivullesi sosiaalisissa verkostoissa:
| twiittaa |
Kaikki tämän osion aiheet:
BBK 22.174ya73-5
M350 Painettu KSU:n toimitus- ja julkaisuneuvoston päätöksellä. N. A. Nekrasova Arvostelija A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013
Unioni (tai summa)
Määritelmä 1.9 Joukkojen A ja B liitto on joukko A È B, joka koostuu niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat vaikka
Risteys (tai tuote)
Määritelmä 1.10. Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko A Ç B, joka koostuu niistä ja vain niistä samaan kuuluvista alkioista
Ero
Määritelmä 1.11 Joukkojen A ja B ero on joukko A B, joka koostuu niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat joukkoon A
karteesinen tuote (tai suora tuote)
Määritelmä 1.14. Järjestetty pari (tai pari) (a, b) on kaksi elementtiä a, b tietyssä järjestyksessä. Parit (a1
Joukkooperaatioiden ominaisuudet
Liitos-, leikkaus- ja komplementtioperaatioiden ominaisuuksia kutsutaan joskus joukkoalgebran laeiksi. Listataan joukkojen operaatioiden pääominaisuudet. Olkoon universaali joukko U
Matemaattisen induktion menetelmä
Matemaattisen induktion menetelmää käytetään todistamaan väitteitä, joissa luonnollinen parametri n on osallisena. Matemaattisen induktion menetelmä - matematiikan todistamismenetelmä
Monimutkaiset luvut
Numeron käsite on yksi ihmiskulttuurin tärkeimmistä saavutuksista. Ensin ilmestyivät luonnolliset luvut N = (1, 2, 3, …, n, …), sitten kokonaisluvut Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rationaalinen Q
Kompleksilukujen geometrinen tulkinta
Tiedetään, että negatiiviset luvut otettiin käyttöön yhden muuttujan lineaaristen yhtälöiden ratkaisun yhteydessä. Tietyissä ongelmissa kielteinen vastaus tulkittiin suunnatun suuren arvoksi (
Kompleksiluvun trigonometrinen muoto
Vektori voidaan määrittää ei vain suorakaiteen muotoisen koordinaatiston koordinaatteilla, vaan myös pituudella ja
Operaatiot kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa
Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku on kätevämpää suorittaa algebrallisessa muodossa ja kerto- ja jakolasku trigonometrisessa muodossa. 1. Kertolasku Olkoon kaksi k
Eksponentointi
Jos z = r(cosj + i×sinj), niin zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), missä n Î
Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto
Matemaattisesta analyysistä tiedetään, että e = , e on irrationaalinen luku. Eile
Suhteen käsite
Määritelmä 2.1. N-aarinen (tai n-aarinen) relaatio P joukoissa A1, A2, …, An on mikä tahansa osajoukko
Binäärisuhteiden ominaisuudet
Olkoon binäärirelaatio P annettu ei-tyhjälle joukolle A, eli P Í A2. Määritelmä 2.9 Binäärirelaatio P joukossa
Ekvivalenssisuhde
Määritelmä 2.15. Binäärirelaatiota joukossa A kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Vastaava suhde
Toiminnot
Määritelmä 2.20 Binäärirelaatiota ƒ н A ´ B kutsutaan funktioksi joukosta A joukkoon B, jos millä tahansa x:llä
Yleiset käsitteet
Määritelmä 3.1. Matriisi on suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Numeroita m ja n kutsutaan järjestykseksi (tai
Samantyyppisten matriisien lisääminen
Voit lisätä vain samantyyppisiä matriiseja. Määritelmä 3.12. Kahden matriisin A = (aij) ja B = (bij) summa, missä i = 1,
Matriisin lisäysominaisuudet
1) kommutatiivisuus: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) assosiatiivisuus:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Matriisin kertominen numerolla
Määritelmä 3.13. Matriisin A = (aij) ja reaaliluvun k tulo on matriisi C = (сij), jolle
Matriisin luvulla kertomisen ominaisuudet
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Matriisin kertolasku
Määrittelemme kahden matriisin kertolasku; Tätä varten meidän on esitettävä joitain lisäkäsitteitä. Määritelmä 3.14. Matriiseja A ja B kutsutaan yhdenmukaisiksi
Matriisikertoimen ominaisuudet
1) Matriisin kertolasku ei ole kommutatiivinen: A×B ≠ B×A. Tämä ominaisuus voidaan osoittaa esimerkein. Esimerkki 3.6. A)
Matriisitransponointi
Määritelmä 3.16. Matriisia Аt, joka saadaan annetusta korvaamalla jokainen sen rivi samannumeroisella sarakkeella, kutsutaan transponoiduksi annettuun matriisiin A
Toisen ja kolmannen kertaluvun matriisien determinantit
Jokaiselle kertaluvun n neliömatriisille A annetaan numero, jota kutsutaan tämän matriisin determinantiksi. Nimitys: D, |A|, det A,
Määritelmä 4.6.
1. Kun n = 1, matriisi A koostuu yhdestä luvusta: |A| = a11. 2. Olkoon (n – 1) matriisin determinantti tiedossa. 3. Määrittele
Tarkennettavat ominaisuudet
Yli 3 kertalukujen determinanttien laskemiseen käytetään determinanttien ominaisuuksia ja Laplacen lausetta. Lause 4.1 (Laplace). Neliömatriisin determinantti
Determinanttien käytännön laskenta
Yksi tapa laskea yli kolmen järjestyksen determinantit on laajentaa sitä johonkin sarakkeeseen tai riviin. Esimerkki 4.4 Laske determinantti D =
Matriisitason käsite
Olkoon A m ´n matriisi. Valitsemme tähän matriisiin mielivaltaisesti k riviä ja k saraketta, missä 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Matriisin arvon löytäminen alaikäisten rajausmenetelmällä
Yksi menetelmistä matriisin tason löytämiseksi on alaikäisten luettelointi. Tämä menetelmä perustuu matriisin järjestyksen määrittämiseen. Menetelmän ydin on seuraava. Jos elementtejä on ainakin yksi
Matriisin asteen löytäminen alkeismuunnoksilla
Harkitse toista tapaa löytää matriisin arvo. Määritelmä 5.4. Seuraavia muunnoksia kutsutaan alkeismatriisimuunnoksiksi: 1. kerrotaan
Käänteimatriisin käsite ja sen löytäminen
Olkoon neliömatriisi A. Määritelmä 5.7. Matriisia A–1 kutsutaan matriisin A käänteiseksi, jos A×A–1
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Harkitse yhtä tavoista löytää tietyn matriisin käänteisarvo algebrallisten lisäysten avulla. Olkoon neliömatriisi A. 1. Etsi matriisin |A| determinantti. EU
Käänteismatriisin löytäminen alkeismuunnoksilla
Harkitse toista tapaa löytää käänteismatriisi käyttämällä alkeismuunnoksia. Muotoilkaamme tarvittavat käsitteet ja lauseet. Määritelmä 5.11 Matriisi B nimi
Cramer menetelmä
Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, eli m = n ja järjestelmä näyttää tältä:
Käänteismatriisimenetelmä
Käänteismatriisimenetelmää voidaan soveltaa lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja päämatriisin determinantti ei ole nolla. Matriisimerkintäjärjestelmä
Gaussin menetelmä
Tämän mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen soveltuvan menetelmän kuvaamiseksi tarvitaan uusia käsitteitä. Määritelmä 6.7. 0× yhtälö
Kuvaus Gaussin menetelmästä
Gaussin menetelmä - tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä - koostuu siitä, että alkuainemuunnosten avulla alkuperäinen järjestelmä pelkistetään vastaavaksi vaiheittain tai t:ksi.
Lineaarisen yhtälöjärjestelmän tutkimus
Lineaarisen yhtälöjärjestelmän tutkiminen tarkoittaa järjestelmää ratkaisematta vastaamista kysymykseen: onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ja jos on, kuinka monta ratkaisua sillä on? Vastaa tähän sisään
Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät
Määritelmä 6.11 Lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos sen vapaat termit ovat nolla. M lineaarisen yhtälön homogeeninen järjestelmä
Homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisujen ominaisuudet
1. Jos vektori а = (a1, a2, …, an) on homogeenisen järjestelmän ratkaisu, niin vektori k×а = (k×a1, k&t
Perusratkaisujoukko homogeeniseen lineaariyhtälöjärjestelmään
Olkoon M0 homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän (4) ratkaisujen joukko. Määritelmä 6.12 Vektorit c1, c2, ..., c
Vektorijärjestelmän lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus
Olkoon a1, a2, …, am joukko m kappaletta n-ulotteisia vektoreita, joita kutsutaan yleisesti vektorijärjestelmäksi, ja k1
Vektorijärjestelmän lineaarisen riippuvuuden ominaisuudet
1) Nollavektorin sisältävä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. 2) Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos jokin sen alijärjestelmistä on lineaarisesti riippuvainen. Seuraus. Jos si
Yksikkövektorijärjestelmä
Määritelmä 7.13. Yksikkövektorijärjestelmä avaruudessa Rn on vektoreiden järjestelmä e1, e2, …, en
Kaksi lineaarista riippuvuuslausetta
Lause 7.1. Jos suurempi vektorijärjestelmä ilmaistaan lineaarisesti pienemmällä, niin suurempi järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. Muotoilkaamme tämä lause tarkemmin: olkoon a1
Vektorijärjestelmän perusta ja arvo
Olkoon S vektorijärjestelmä avaruudessa Rn; se voi olla joko äärellinen tai ääretön. S" on järjestelmän S, S" Ì S alijärjestelmä. Otetaan kaksi
Vektorijärjestelmän järjestys
Annetaan kaksi ekvivalenttia määritelmää vektorijärjestelmän arvolle. Määritelmä 7.16. Vektorijärjestelmän arvo on vektorien lukumäärä tämän järjestelmän missä tahansa kannassa.
Vektorijärjestelmän järjestyksen ja perustan käytännön löytäminen
Asetetusta vektorijärjestelmästä muodostetaan matriisi järjestämällä vektorit tämän matriisin riveiksi. Tuomme matriisin porrastettuun muotoon käyttämällä perusmuunnoksia tämän matriisin rivien yli. klo
Satunnaisen kentän yli olevan vektoriavaruuden määritelmä
Olkoon P mielivaltainen kenttä. Esimerkkejä meille tunnetuista kentistä ovat rationaali-, reaali- ja kompleksilukujen kenttä. Määritelmä 8.1. Joukko V kutsutaan sisään
Vektoriavaruuksien yksinkertaisimmat ominaisuudet
1) o on nollavektori (elementti), joka on yksilöllisesti määritelty mielivaltaisessa vektoriavaruudessa kentän päällä. 2) Jokaiselle vektorille a О V on ainutlaatuinen
Alitilat. Lineaariset jakoputket
Olkoon V vektoriavaruus, L Ì V (L on V:n osajoukko). Määritelmä 8.2. Vektorin pro osajoukko L
Aliavaruuksien leikkauspiste ja summa
Olkoon V vektoriavaruus kentän P yli, L1 ja L2 sen aliavaruuksia. Määritelmä 8.3. Risteyksen alikysely
Lineaariset jakoputket
Olkoon V vektoriavaruus, L aliavaruus ja olkoon a mielivaltainen vektori avaruudesta V. Määritelmä 8.6 Lineaarisen moninkertaisena
Äärillisulotteiset vektoriavaruudet
Määritelmä 8.7 Vektoriavaruutta V kutsutaan n-ulotteiseksi, jos se sisältää lineaarisesti riippumattoman vektorijärjestelmän, joka koostuu n:stä vektorista, ja
Äärillisulotteisen vektoriavaruuden perusta
V on äärellisulotteinen vektoriavaruus kentän P yli, S on vektorijärjestelmä (äärellinen tai ääretön). Määritelmä 8.10. Järjestelmän perusta S
Vektorikoordinaatit suhteessa annettuun kantaan
Tarkastellaan äärellisulotteista vektoriavaruutta V, jonka dimensio on n, jonka perustan muodostavat vektorit e1, e2, …, en. Olkoon prod
Vektorikoordinaatit eri kannassa
Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus, jossa on annettu kaksi kantaa: e1, e2, ..., en on vanha kanta, e "1, e
Euklidiset vektoriavaruudet
Annettu vektoriavaruus V reaalilukukentän yli. Tämä avaruus voi olla joko äärellisulotteinen vektoriavaruus, jonka ulottuvuus on n tai ääretön.
Pistetulo koordinaateissa
N-ulotteisessa euklidisessa vektoriavaruudessa V annetaan kanta e1, e2, …, en. Vektorit x ja y ovat hajonneet vektoreiksi
Metrinen käsitteet
Euklidisissa vektoriavaruuksissa voidaan siirtyä käyttöönotetusta skalaarituloksesta vektorin normin ja vektorien välisen kulman käsitteisiin. Määritelmä 8.16. Norma (
Normin ominaisuudet
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, koska ||la|| =
Euklidisen vektoriavaruuden ortonormaali kanta
Määritelmä 8.21. Euklidisen vektoriavaruuden kantaa kutsutaan ortogonaaliksi, jos kannan vektorit ovat pareittain ortogonaalisia, eli jos a1, a
Ortogonalisointiprosessi
Lause 8.12. Jokaisella n-ulotteisella euklidisella avaruudella on ortonormaali kanta. Todiste. Olkoon a1, a2
Pistetuote ortonormaalisti
Euklidisen avaruuden V ortonormaalikanta e1, e2, …, en on annettu. Koska (ei, ej) = 0 i:lle
Ortogonaalinen aliavaruuden komplementti
V on euklidinen vektoriavaruus, L on sen aliavaruus. Määritelmä 8.23. Vektorin a sanotaan olevan ortogonaalinen aliavaruuteen L nähden, jos vektori
Vektorin koordinaattien ja sen kuvan koordinaattien välinen suhde
Lineaarinen operaattori j on annettu avaruudessa V ja sen matriisi M(j) löytyy jostain kannasta e1, e2, …, en. Olkoon tämä perusta
Samanlaisia matriiseja
Tarkastellaan n kertaluvun neliömatriisien joukkoa Pn´n mielivaltaisen kentän P alkioiden kanssa. Esittelemme tähän joukkoon suhteellisen
Matriisin samankaltaisuusrelaation ominaisuudet
1. Heijastuskyky. Mikä tahansa matriisi on samanlainen kuin itseään, eli A ~ A. 2. Symmetria. Jos matriisi A on samanlainen kuin B, niin B on samanlainen kuin A, ts.
Ominaisvektorien ominaisuudet
1. Jokainen ominaisvektori kuuluu vain yhteen ominaisarvoon. Todiste. Olkoon x ominaisvektori, jolla on kaksi ominaisarvoa
Matriisin karakteristinen polynomi
Annettu matriisi A Î Pn´n (tai A Î Rn´n). Määritellä
Olosuhteet, joissa matriisi on samanlainen kuin diagonaalimatriisi
Olkoon A neliömatriisi. Voimme olettaa, että tämä on jonkin kannassa annetun lineaarisen operaattorin matriisi. Tiedetään, että toisessa pohjassa lineaarisen operaattorin matriisi
Jordanin normaali muoto
Määritelmä 10.5. Lukuun l0 liittyvä k-kertainen Jordan-solu on kertaluvun k matriisi, 1 ≤ k ≤ n,
Matriisin pelkistys Jordanin (normaaliin) muotoon
Lause 10.3. Jordanin normaalimuoto on yksilöllisesti määritelty matriisille siihen järjestykseen asti, jossa Jordan-solut sijaitsevat päädiagonaalissa. Jne
Bilineaariset muodot
Määritelmä 11.1. Bilineaarinen muoto on funktio (kuvaus) f: V ´ V ® R (tai C), missä V on mielivaltainen vektori n
Bilineaaristen muotojen ominaisuudet
Mikä tahansa bilineaarinen muoto voidaan esittää symmetristen vino-symmetristen muotojen summana. Valitulla kantalla e1, e2, …, en vektorissa
Bilineaarisen matriisin muunnos siirryttäessä uuteen kantaan. Bilineaarisen muodon sijoitus
Olkoon kaksi kantaa e = (e1, e2, …, en) ja f = (f1, f2,
Neliölliset muodot
Olkoon A(x, y) symmetrinen bilineaarinen muoto, joka on määritelty vektoriavaruudessa V. Määritelmä 11.6.
Neliöllisen muodon pelkistys kanoniseen muotoon
Annettu neliömuoto (2) A(x, x) = , missä x = (x1
Neliöllisten muotojen hitauslaki
On todettu, että toisen asteen kanonisten kertoimien määrä on yhtä suuri kuin sen arvo eikä se riipu ei-degeneroituneen muunnoksen valinnasta, jolla muoto A(x)
Välttämätön ja riittävä ehto, jotta neliömuoto olisi merkkimääräinen
Lausunto 11.1. Jotta n-ulotteisessa vektoriavaruudessa V annettu neliömuoto A(x, x) olisi merkkimääräinen, on välttämätöntä
Välttämätön ja riittävä ehto kvasimuuttuville neliömuodoille
Lausunto 11.3. Jotta n-ulotteisessa vektoriavaruudessa V määritelty toisen asteen muoto A(x, x) olisi kvasi-vaihtuva (ts.
Sylvesterin kriteeri neliömuodon merkkimääräisyydelle
Olkoon kannassa e = (e1, e2, …, en) oleva muoto A(x, x) matriisilla A(e) = (aij)
Johtopäätös
Lineaarinen algebra on pakollinen osa mitä tahansa edistynyttä matematiikan ohjelmaa. Kaikki muut osat edellyttävät tämän tieteenalan opetuksen aikana määriteltyjen tietojen, taitojen ja kykyjen olemassaoloa.
Bibliografinen luettelo
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Lineaarinen algebra analyyttisen geometrian elementeillä. - M .: Kauppakorkeakoulun kustantamo, 2007. Beklemishev D.V. Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi.
Lineaarialgebra
Oppimateriaali Toimittaja ja oikolukija G. D. Neganova Tietokoneen ladonta T. N. Matytsina, E. K. Korževina
Lineaarista avaruutta V kutsutaan n-ulotteinen, jos se sisältää n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmän ja mikä tahansa useamman vektorin järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen. Numeroa n kutsutaan mitta (mittojen lukumäärä) lineaarinen avaruus V ja on merkitty \operaattorinimi(dim)V. Toisin sanoen avaruuden ulottuvuus on siinä avaruudessa olevien lineaarisesti riippumattomien vektoreiden enimmäismäärä. Jos tällainen luku on olemassa, avaruuden sanotaan olevan äärellisulotteinen. Jos mille tahansa luonnolliselle luvulle n avaruudessa V on järjestelmä, joka koostuu n:stä lineaarisesti riippumattomasta vektorista, niin sellaista avaruutta kutsutaan äärettömän ulotteiseksi (he kirjoittavat: \operaattorinnimi(dim)V=\infty). Ellei toisin mainita, seuraavassa tarkastellaan äärellisulotteisia avaruuksia.
Perusta n-ulotteinen lineaarinen avaruus on järjestetty joukko n lineaarisesti riippumatonta vektoria ( kantavektorit).
Lause 8.1 vektorin laajennuksesta kantaan. Jos on n-ulotteisen lineaariavaruuden V kanta, niin mikä tahansa vektori \mathbf(v)\in V voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla, ts. kertoimet \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n määritellään yksiselitteisesti. Toisin sanoen mitä tahansa avaruusvektoria voidaan laajentaa perusteellisesti ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla.
Itse asiassa avaruuden V mitta on yhtä suuri kuin n . Vektorijärjestelmä \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineaarisesti riippumaton (tämä on perusta). Kun on lisätty mikä tahansa vektori \mathbf(v) kantaan, saadaan lineaarisesti riippuvainen järjestelmä \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(koska tämä järjestelmä koostuu (n + 1) n-ulotteisen avaruuden vektoreista). 7 lineaarisesti riippuvan ja lineaarisesti riippumattoman vektorin ominaisuudella saadaan lauseen johtopäätös.
Seuraus 1. Jos \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n on sitten avaruuden V kanta V=\operaattorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), eli lineaarinen avaruus on kantavektoreiden lineaarinen jänneväli.
Todellakin, tasa-arvon todistamiseksi V=\operaattorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) kaksi sarjaa, riittää osoittamaan, että sulkeumat V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) ja ne suoritetaan samaan aikaan. Todellakin, toisaalta mikä tahansa lineaarinen vektoreiden yhdistelmä lineaarisessa avaruudessa kuuluu itse lineaariseen avaruuteen, ts. \operaattorinimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Toisaalta Lauseen 8.1 mukaan mikä tahansa avaruusvektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä, ts. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Tämä merkitsee tarkasteltujen joukkojen yhtäläisyyttä.
Seuraus 2. Jos \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n on lineaarisesti riippumaton vektoreiden järjestelmä lineaariavaruudessa V ja mikä tahansa vektori \mathbf(v)\in V voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, silloin avaruuden V mitta on n ja systeemi \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n on sen perusta.
Todellakin, avaruudessa V on n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmä ja mikä tahansa järjestelmä \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n enemmän vektoreita (k>n) on lineaarisesti riippuvainen, koska jokainen tämän järjestelmän vektori ilmaistaan lineaarisesti vektoreilla \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. tarkoittaa, \operaattorinimi(dim) V=n Ja \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- peruste V.
Lause 8.2 vektorijärjestelmän valmistumisesta kantaan. Mikä tahansa lineaarisesti riippumaton k vektorin järjestelmä n-ulotteisessa lineaariavaruudessa (1\leqslant k Todellakin, olkoon lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä n-ulotteisessa avaruudessa V~(1\leqslant k Huomautuksia 8.4 1. Lineaarisen avaruuden kanta määritellään moniselitteisesti. Esimerkiksi jos \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n on avaruuden V kanta, sitten vektorijärjestelmä \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n mikä tahansa \lambda\ne0 on myös V:n kanta. Kantavektoreiden määrä saman äärellisulotteisen avaruuden eri kanoissa on tietysti sama, koska tämä luku on yhtä suuri kuin avaruuden dimensio. 2. Joissakin sovelluksissa usein kohdatuissa tiloissa yhtä mahdollisista, käytännön kannalta kätevimmistä pohjasta kutsutaan standardiksi. 3. Lauseen 8.1 avulla voidaan sanoa, että kanta on lineaarisen avaruuden elementtien täydellinen järjestelmä siinä mielessä, että mikä tahansa avaruusvektori ilmaistaan lineaarisesti kantavektoreilla. 4. Jos joukko \mathbb(L) on lineaarinen jänneväli \operaattorinnimi(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), sitten vektorit \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k kutsutaan joukon \mathbb(L) generaattoreiksi. Lauseen 8.1 johtopäätös 1 tasa-arvon perusteella V=\operaattorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) antaa meille mahdollisuuden sanoa, että perusta on minimaalinen generaattorijärjestelmä lineaariavaruus V , koska generaattoreiden lukumäärää on mahdotonta vähentää (poista vähintään yksi vektori joukosta \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) tasa-arvoa loukkaamatta V=\operaattorinnimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Lauseen 8.2 perusteella voidaan sanoa, että kanta on suurin lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä lineaarinen avaruus, koska kanta on lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä, eikä sitä voi täydentää millään vektorilla menettämättä lineaarista riippumattomuutta. 6. On kätevää käyttää Lauseen 8.1 johtopäätöstä 2 lineaariavaruuden perustan ja ulottuvuuden löytämiseen. Joissakin oppikirjoissa on tarkoitus määritellä perusta, nimittäin: lineaarisesti riippumaton järjestelmä \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineaarisen avaruuden vektoreita kutsutaan kantaksi, jos mikä tahansa avaruuden vektori ilmaistaan lineaarisesti vektoreilla \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Kantavektoreiden määrä määrää avaruuden dimension. Tietenkin nämä määritelmät vastaavat edellä annettuja. Ilmoitamme edellä tarkasteltujen lineaaristen avaruuksien esimerkin ulottuvuuden ja perustan. 1. Nollalineaariavaruus \(\mathbf(o)\) ei sisällä lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Siksi tämän tilan mitat oletetaan olevan nolla: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Tällä tilalla ei ole perusteita. 2. Välilyöntien V_1,\,V_2,\,V_3 mitat ovat vastaavasti 1, 2 ja 3. Todellakin, mikä tahansa avaruuden V_1 nollasta poikkeava vektori muodostaa lineaarisesti riippumattoman järjestelmän (katso huomautuksen 8.2 kohta 1), ja mitkä tahansa kaksi avaruuden V_1 nollasta poikkeavaa vektoria ovat kollineaarisia, ts. ovat lineaarisesti riippuvaisia (katso esimerkki 8.1). Siksi \dim(V_1)=1 ja tilan V_1 kanta on mikä tahansa nollasta poikkeava vektori. Vastaavasti todistamme, että \dim(V_2)=2 ja \dim(V_3)=3 . Avaruuden V_2 kanta on mitkä tahansa kaksi ei-kollineaarista vektoria, jotka on otettu tietyssä järjestyksessä (toista niistä pidetään ensimmäisenä kantavektorina, toista - toisena). Avaruuden V_3 perusta on mitkä tahansa kolme ei-tasossa olevaa (ei samassa tai yhdensuuntaisessa tasossa) vektoria, jotka on otettu tietyssä järjestyksessä. V_1:n vakiokanta on rivin yksikkövektori \vec(i). V_2:n vakiokanta on kanta \vec(i),\,\vec(j), joka koostuu kahdesta keskenään kohtisuorassa olevasta tason yksikkövektorista. Vakiokanta avaruudessa V_3 on kanta \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), joka koostuu kolmesta yksikköparittaisesta kohtisuorasta vektorista, jotka muodostavat oikean kolmion. 3. Avaruus \mathbb(R)^n sisältää enintään n lineaarisesti riippumatonta vektoria. Otetaan todellakin k saraketta \mathbb(R)^n:stä ja tehdään niistä matriisi, jonka koko on n\ kertaa k. Jos k>n , niin sarakkeet ovat lauseen 3.4 mukaan lineaarisesti riippuvaisia matriisin arvosta. Siten, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Avaruudesta \mathbb(R)^n ei ole vaikea löytää n lineaarisesti riippumatonta saraketta. Esimerkiksi identiteettimatriisin sarakkeet \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ ! ovat lineaarisesti riippumattomia. Siten, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Avaruutta \mathbb(R)^n kutsutaan n-ulotteinen todellinen aritmeettinen avaruus. Määritettyä vektoreiden joukkoa pidetään avaruuden \mathbb(R)^n vakiokantana. Samoin se on todistettu \dim(\mathbb(C)^n)=n, joten avaruutta \mathbb(C)^n kutsutaan n-ulotteinen kompleksinen aritmeettinen avaruus. 4. Muista, että mikä tahansa homogeenisen järjestelmän Ax=o ratkaisu voidaan esittää muodossa x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Missä r=\operaattorinimi(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- perustavanlaatuinen päätöksentekojärjestelmä. Siten, \(Ax=o\)=\operaattorinimi(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), eli homogeenisen järjestelmän ratkaisuavaruuden \(Ax=0\) kanta on sen perusratkaisujärjestelmä, ja avaruuden ulottuvuus on \dim\(Ax=o\)=n-r , missä n on ratkaisujen lukumäärä tuntemattomia, ja r on järjestelmämatriisin arvo. 5. Matriisien, joiden koko on 2\kertaa3, avaruuteen M_(2\times3) voidaan valita 6 matriisia: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(koottu) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathb+(te)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatriisi)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatriisi) on yhtä suuri kuin nollamatriisi vain triviaalisessa tapauksessa \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Lukemalla yhtälön (8.5) oikealta vasemmalle päätämme, että mikä tahansa matriisi arvosta M_(2\time3) ilmaistaan lineaarisesti valitun 6 matriisin suhteen, ts. M_(2\times)= \operaattorinnimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Siten, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, ja matriiseja \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 ovat tämän tilan (standardi) perusta. Samoin se on todistettu \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. Mille tahansa luonnolliselle luvulle n kompleksikertoimisten polynomien avaruudessa P(\mathbb(C)), löytyy n lineaarisesti riippumatonta alkiota. Esimerkiksi polynomit \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) ovat lineaarisesti riippumattomia, koska niiden lineaarinen yhdistelmä a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) on yhtä suuri kuin nollapolynomi (o(z)\equiv0) vain triviaalisessa tapauksessa a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Koska tämä polynomijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton mille tahansa luonnolliselle n:lle, avaruus P(\mathbb(C)) on ääretön. Samoin päättelemme, että todellisten kertoimien polynomien avaruudella P(\mathbb(R)) on ääretön ulottuvuus. Enintään n-asteisten polynomien avaruus P_n(\mathbb(R)) on äärellisulotteinen. Itse asiassa vektorit \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n muodostavat (standardi) perustan tälle avaruudelle, koska ne ovat lineaarisesti riippumattomia ja mikä tahansa polynomi P_n(\mathbb(R)):ssä voidaan esittää näiden vektoreiden lineaarisena yhdistelmänä: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Esimerkkejä lineaaristen tilojen kannoista
jotka ovat lineaarisesti riippumattomia. Todellakin, niiden lineaarinen yhdistelmä
7. Jatkuvien funktioiden avaruus C(\mathbb(R)) on ääretön. Todellakin, kaikille luonnollisille n polynomeille 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), joita pidetään jatkuvina funktioina, muodostavat lineaarisesti itsenäisiä järjestelmiä (katso edellinen esimerkki).
Avaruudessa T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometriset binomit (taajuudet \omega\ne0 ) reaalikantakertoimilla muodostavat monomia \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia, koska identiteetti on tasa-arvo a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 mahdollista vain triviaalisessa tapauksessa (a=b=0) . Mikä tahansa lomakkeen toiminto f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t lineaarisesti ilmaistuna perusarvoilla: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Joukkoon X määritettyjen reaalifunktioiden avaruus \mathbb(R)^X voi X:n alueesta riippuen olla äärellisulotteinen tai ääretön. Jos X on äärellinen joukko, niin avaruus \mathbb(R)^X on äärellisulotteinen (esim. X=\(1,2,\ldots,n\)). Jos X on ääretön joukko, niin avaruus \mathbb(R)^X on ääretön (esimerkiksi sekvenssien avaruus \mathbb(R)^N).
9. Avaruudessa \mathbb(R)^(+) mikä tahansa positiivinen luku \mathbf(e)_1, joka ei ole yhtä suuri kuin 1, voi toimia perustana. Otetaan esimerkiksi luku \mathbf(e)_1=2 . Mikä tahansa positiivinen luku r voidaan ilmaista \mathbf(e)_1:llä, ts. läsnä muodossa \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, jossa \alpha_1=\log_2r . Siksi tämän avaruuden ulottuvuus on 1 ja luku \mathbf(e)_1=2 on kanta.
10. Anna \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n on todellisen lineaariavaruuden V kanta. Määrittelemme lineaariset skalaarifunktiot V:lle asettamalla:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(tapaukset)
Samaan aikaan funktion \mathcal(E)_i lineaarisuudesta johtuen saamme mielivaltaiselle vektorille \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Joten n elementtiä (kovektoria) on määritelty \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n kaksoisavaruus V^(\ast) . Todistetaan se \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- perusta V^(\ast) .
Ensin näytämme, että järjestelmä \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n lineaarisesti riippumaton. Otetaan todellakin näiden kovektoreiden lineaarinen yhdistelmä (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= ja vertaa se nollafunktioon
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\in V.
Sijautuminen tähän tasa-arvoon \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, saamme \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Siksi elementtijärjestelmä \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n avaruus V^(\ast) on lineaarisesti riippumaton, koska yhtälö \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) mahdollista vain triviaalissa tapauksessa.
Toiseksi todistamme, että mikä tahansa lineaarinen funktio f\in V^(\ast) voidaan esittää kovektoreiden lineaarisena yhdistelmänä \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Todellakin, mille tahansa vektorille \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n funktion f lineaarisuudesta johtuen saamme:
\begin(tasattu)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(tasattu)
nuo. funktio f esitetään lineaarisena yhdistelmänä f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n toimintoja \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(numerot \beta_i=f(\mathbf(e)_i) ovat lineaarisen yhdistelmän kertoimet). Siksi kovektorien järjestelmä \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n on kaksoisavaruuden V^(\ast) ja kanta \dim(V^(\ast))=\dim(V)(äärellisulotteiselle avaruudelle V ).
Jos huomaat virheen, kirjoitusvirheen tai sinulla on ehdotuksia, kirjoita kommentteihin.
