Normaalijakauma on yleisin jakauman tyyppi. Sitä kohdataan mittausvirheiden analysoinnissa, teknisten prosessien ja järjestelmien ohjauksessa sekä biologian, lääketieteen ja muiden tietoalojen ilmiöiden analysoinnissa ja ennustamisessa.

Termiä "normaalijakauma" käytetään ehdollisessa merkityksessä, kuten kirjallisuudessa yleisesti hyväksytään, vaikkakaan ei täysin onnistunut. Väite, että tietty attribuutti noudattaa normaalijakaumalakia, ei siis tarkoita lainkaan horjumattomien normien olemassaoloa, jotka oletettavasti ovat ilmiön taustalla, jonka heijastus on kyseessä oleva attribuutti, eikä alistuminen muihin jakautumislakeihin tarkoita. jonkinlainen poikkeavuus tässä ilmiössä.

Normaalijakauman pääominaisuus on, että se on raja, jota muut jakaumat lähestyvät. Moivre löysi normaalijakauman ensimmäisen kerran vuonna 1733. Vain jatkuvat satunnaismuuttujat noudattavat normaalia lakia. Normaalijakauman lain tiheys on muotoa .

Normaalijakauman lain matemaattinen odotus on . Hajautus on.

Normaalijakauman perusominaisuudet.

1. Jakauman tiheysfunktio määritellään koko reaaliakselille vai niin , eli jokainen arvo X vastaa funktion hyvin määriteltyä arvoa.

2. Kaikille arvoille X (sekä positiivinen että negatiivinen) tiheysfunktio saa positiivisia arvoja, eli normaalikäyrä sijaitsee akselin yläpuolella vai niin .

3. Tiheysfunktion raja rajoittamattomalla lisäyksellä X on yhtä kuin nolla,.

4. Pisteen normaalijakauman tiheysfunktiolla on maksimi.

5. Tiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen suoran suhteen.

6. Jakaumakäyrässä on kaksi käännepistettä, joissa on koordinaatit ja .

7. Normaalijakauman muoto ja mediaani ovat samat kuin matemaattinen odotus A .

8. Normaalikäyrän muoto ei muutu, kun parametria muutetaan A .

9. Normaalijakauman vinous- ja kurtoosikertoimet ovat nolla.

Näiden kertoimien laskemisen tärkeys empiirisille jakaumasarjoille on ilmeinen, koska ne kuvaavat annetun sarjan vinoutta ja jyrkkyyttä normaaliin verrattuna.

Väliin putoamisen todennäköisyys löytyy kaavasta , jossa on pariton taulukkofunktio.

Määritetään todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja poikkeaa matemaattisesta odotuksestaan ​​pienemmällä arvolla kuin , eli löydämme epäyhtälön todennäköisyyden eli kaksois-epäyhtälön todennäköisyyden. Korvaamalla kaavaan saamme

Ilmaisee satunnaismuuttujan poikkeaman X keskihajonnan murto-osissa, eli laittamalla viimeinen yhtälö, saamme .

Sitten saamme

kun saamme,

kun saamme.

Viimeisestä epäyhtälöstä seuraa, että käytännöllisesti katsoen normaalijakautuneen satunnaismuuttujan sironta on osassa . Todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja ei osu tälle alueelle, on hyvin pieni, eli se on 0,0027, eli tämä tapahtuma voi tapahtua vain kolmessa tapauksessa 1000:sta. Tällaisia ​​tapahtumia voidaan pitää lähes mahdottomina. Edellä olevan perustelun perusteella kolmen sigman sääntö, joka on muotoiltu seuraavasti: jos satunnaismuuttujalla on normaalijakauma, niin tämän arvon poikkeama matemaattisesta odotuksesta absoluuttisena arvona ei ylitä kolme kertaa keskihajonta.

Esimerkki 28. Automaattikoneella valmistettu osa katsotaan sopivaksi, jos sen ohjatun koon poikkeama suunnittelusta ei ylitä 10 mm. Hallitun koon satunnaiset poikkeamat suunnittelukoosta ovat normaalijakauman lain alaisia ​​keskihajonnalla mm ja matemaattisella odotuksella. Kuinka monta prosenttia hyviä osia kone tuottaa?

Ratkaisu. Harkitse satunnaismuuttujaa X - koon poikkeama suunnittelusta. Osa tunnistetaan sopivaksi, jos satunnaismuuttuja kuuluu väliin . Todennäköisyys valmistaa sopiva osa löydetään kaavasta . Siksi koneen tuottamien hyvien osien osuus on 95,44 %.

Binomijakauma

Binomi on tapahtuman todennäköisyysjakauma m tapahtumien määrä P riippumattomat testit, joissa jokaisessa tapahtuman esiintymistodennäköisyys on vakio ja yhtä suuri R . Tapahtuman mahdollisen esiintymismäärän todennäköisyys lasketaan Bernoullin kaavalla: ,

Missä . Pysyvä P Ja R , joka sisältyy tähän lausekkeeseen, binomilain parametrit. Binomijakauma kuvaa diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa.

Binomijakauman numeeriset perusominaisuudet. Matemaattinen odotus on . Hajautus on. Vino- ja kurtoosikertoimet ovat yhtä suuria ja . Kokeilujen määrän rajoittamattomalla lisäyksellä A Ja E yleensä nolla, joten voimme olettaa, että binomijakauma konvergoi normaaliin kokeiden lisääntyessä.

Esimerkki 29. Riippumattomat testit suoritetaan samalla tapahtuman todennäköisyydellä A jokaisessa testissä. Selvitä tapahtuman todennäköisyys A yhdessä kokeessa, jos esiintymisten lukumäärän varianssi kolmessa kokeessa on 0,63.

Ratkaisu. Binomijakauman osalta. Korvaa arvot, saamme täältä tai sitten ja .

Poisson-jakauma

Harvinaisten ilmiöiden jakautumislaki

Poisson-jakauma kuvaa tapahtumien määrää m , jotka tapahtuvat yhtäläisin aikavälein, edellyttäen, että tapahtumat tapahtuvat toisistaan ​​riippumatta vakiointensiteetillä. Samaan aikaan kokeiden määrä P on suuri, ja tapahtuman todennäköisyys jokaisessa kokeessa R pieni. Siksi Poisson-jakaumaa kutsutaan harvinaisten ilmiöiden laiksi tai yksinkertaisimmiksi virtaukseksi. Poisson-jakauman parametri on arvo, joka kuvaa tapahtumien esiintymisen intensiteettiä P testit. Poisson-jakaumakaava.

Poisson-jakauma kuvaa hyvin vakuutussummien maksuvaatimusten määrää vuodessa, puhelinkeskukseen tietyssä ajassa vastaanotettujen puhelujen määrää, elementtien vikojen määrää luotettavuustestauksen aikana, viallisten tuotteiden määrää jne. .

Poisson-jakauman numeeriset perusominaisuudet. Matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin varianssi ja on yhtä suuri kuin A . Tuo on . Tämä on tämän jakelun erottuva piirre. Vinous- ja kurtoosikertoimet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin .

Esimerkki 30. Vakuutussummia maksetaan keskimäärin kaksi kertaa päivässä. Laske todennäköisyys, että joudut maksamaan viiden päivän kuluttua: 1) 6 vakuutussummaa; 2) vähemmän kuin kuusi määrää; 3) vähintään kuusi.jakelu.

Tämä jakauma havaitaan usein tutkittaessa eri laitteiden käyttöikää, yksittäisten elementtien, järjestelmän osien ja koko järjestelmän käytettävyyttä, kun tarkastellaan satunnaisia ​​aikavälejä kahden peräkkäisen harvinaisen tapahtuman välillä.

Eksponentiaalisen jakauman tiheys määräytyy parametrilla , jota kutsutaan epäonnistumisprosentti. Tämä termi liittyy tiettyyn sovellusalueeseen - luotettavuusteoriaan.

Eksponentiaalisen jakauman integraalifunktion lauseke löytyy käyttämällä differentiaalifunktion ominaisuuksia:

Eksponentiaalisen jakauman, varianssin, keskihajonnan matemaattinen odotus. Tälle jakaumalle on siis tyypillistä, että keskihajonta on numeerisesti yhtä suuri kuin matemaattinen odotus. Parametrin mille tahansa arvolle vinous- ja kurtoosikertoimet ovat vakioarvoja.

Esimerkki 31. TV:n keskimääräinen käyttöaika ennen ensimmäistä vikaa on 500 tuntia. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu televisio toimii ilman vikoja yli 1000 tuntia.

Ratkaisu. Koska keskimääräinen aika ensimmäiseen epäonnistumiseen on 500, niin . Löydämme halutun todennäköisyyden kaavalla .

Monissa normaalijakautuneisiin satunnaismuuttujiin liittyvissä ongelmissa on tarpeen määrittää todennäköisyys, että satunnaismuuttuja , joka noudattaa normaalia parametrien lakia, osuu väliin välillä - . Tämän todennäköisyyden laskemiseksi käytämme yleiskaavaa

missä on suuren jakautumisfunktio.

Etsitään normaalin lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan jakaumafunktio parametreilla . Arvon jakautumistiheys on:

. (6.3.2)

Täältä löydämme jakelufunktion

. (6.3.3)

Tehdään muuttujan muutos integraalissa (6.3.3)

ja tuo se muotoon:

(6.3.4)

Integraalia (6.3.4) ei ilmaista alkeisfunktioilla, vaan se voidaan laskea erityisfunktiona, joka ilmaisee lausekkeen tai (ns. todennäköisyysintegraalin), jolle laaditaan taulukot. . Tällaisia ​​toimintoja on monia erilaisia, esimerkiksi:

;

jne. Se, mitä näistä toiminnoista käyttää, on makuasia. Valitsemme sellaisen toiminnon

. (6.3.5)

On helppo nähdä, että tämä funktio on vain jakaumafunktio normaalijakautuneelle satunnaismuuttujalle, jossa on parametrit.

Sovimme kutsuvamme funktiota normaalijakaumafunktioksi. Liitteessä (taulukko 1) on funktioarvojen taulukot.

Esitetään suuren jakaumafunktio (6.3.3) parametreilla ja normaalijakauman funktiolla . Ilmeisesti

. (6.3.6)

Etsitään nyt todennäköisyys osua satunnaismuuttujaan segmentissä välillä - . Kaavan (6.3.1) mukaan

Näin ollen olemme ilmaisseet todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja , joka jakautuu normaalin lain mukaan millä tahansa parametreilla, putoaa kuvaajalle standardijakaumafunktiona , joka vastaa yksinkertaisinta normaalilakia parametreilla 0.1. Huomaa, että kaavan (6.3.7) funktion argumenteilla on hyvin yksinkertainen merkitys: osan oikeasta päästä on etäisyys hajonnan keskipisteeseen, joka ilmaistaan ​​keskihajonnalla; - sama etäisyys osuuden vasemmalla puolella, ja tätä etäisyyttä pidetään positiivisena, jos pää sijaitsee dispersiokeskuksen oikealla puolella, ja negatiivisena, jos se on vasemmalla.

Kuten kaikilla jakelufunktioilla, funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

3. - ei-laskeva toiminto.

Lisäksi normaalijakauman symmetriasta origoon liittyvien parametrien kanssa seuraa, että

Tätä ominaisuutta käyttämällä olisi itse asiassa mahdollista rajoittaa funktiotaulukot vain argumentin positiivisiin arvoihin, mutta tarpeettoman operaation (yhdestä vähentämisen) välttämiseksi liitteen taulukossa 1 on arvot sekä positiivisia että negatiivisia argumentteja.

Käytännössä tulee usein vastaan ​​ongelma laskea todennäköisyys sille, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja putoaa alueelle, joka on symmetrinen dispersion keskipisteen suhteen. Tarkastellaan tällaista pituutta (kuva 6.3.1). Lasketaan todennäköisyys osua tälle sivustolle kaavalla (6.3.7):

Kun otetaan huomioon funktion ominaisuus (6.3.8) ja annetaan kaavan (6.3.9) vasemmalle puolelle kompaktimpi muoto, saadaan kaava todennäköisyydelle, että normaalilain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja putoaa sirontakeskuksen suhteen symmetrinen leikkaus:

. (6.3.10)

Ratkaistaan ​​seuraava ongelma. Laitetaan syrjään peräkkäiset pituussegmentit sirontakeskuksesta (kuva 6.3.2) ja lasketaan todennäköisyys, että jokaiseen niistä putoaa satunnaismuuttuja. Koska normaalin lain käyrä on symmetrinen, riittää tällaisten segmenttien lykkääminen vain yhteen suuntaan.

Kaavan (6.3.7) mukaan löydämme:

(6.3.11)

Kuten näistä tiedoista voidaan nähdä, todennäköisyys osua jokaiseen seuraavista segmenteistä (viides, kuudes jne.) tarkkuudella 0,001 on yhtä suuri kuin nolla.

Pyöristämällä segmenttien osumisen todennäköisyydet arvoon 0,01 (jopa 1 %), saadaan kolme numeroa, jotka on helppo muistaa:

0,34; 0,14; 0,02.

Näiden kolmen arvon summa on 0,5. Tämä tarkoittaa, että normaalijakautuneelle satunnaismuuttujalle kaikki dispersiot (prosentin murto-osaan asti) mahtuvat osaan .

Tämä mahdollistaa satunnaismuuttujan keskihajonnan ja matemaattisen odotuksen tuntemisen likimäärin ilmaista sen käytännössä mahdollisten arvojen alueen. Tämä menetelmä satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen vaihteluvälin arvioimiseksi tunnetaan matemaattisessa tilastossa "kolmen sigman sääntönä". Kolmen sigman sääntö sisältää myös likimääräisen menetelmän satunnaismuuttujan keskihajonnan määrittämiseksi: ne ottavat suurimman käytännössä mahdollisen poikkeaman keskiarvosta ja jakavat sen kolmella. Tätä karkeaa menetelmää voidaan tietysti suositella vain, jos muita, tarkempia tapoja määrittää .

Esimerkki 1. Normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja on virhe tietyn etäisyyden mittauksessa. Mitattaessa sallitaan systemaattinen virhe yliarvioinnin suunnassa 1,2 (m); mittausvirheen keskihajonta on 0,8 (m). Määritä todennäköisyys, että mitatun arvon poikkeama todellisesta arvosta ei ylitä 1,6 (m) absoluuttisena arvona.

Ratkaisu. Mittausvirhe on satunnaismuuttuja, joka noudattaa normaalia lakia parametreilla ja . Meidän on löydettävä todennäköisyys, että tämä määrä osuu väliin välillä - . Kaavalla (6.3.7) meillä on:

Funktiotaulukoiden (Liite, Taulukko 1) avulla löydämme:

; ,

Esimerkki 2. Etsi sama todennäköisyys kuin edellisessä esimerkissä, mutta sillä ehdolla, että ei ole systemaattista virhettä.

Ratkaisu. Kaavalla (6.3.10), olettamalla , löydämme:

.

Esimerkki 3. Kohteeseen, joka näyttää kaistalta (moottoritieltä), jonka leveys on 20 m, ammutaan moottoritietä vastaan ​​kohtisuoraan suuntaan. Tähtääminen tapahtuu valtatien keskiviivaa pitkin. Keskihajonna laukaussuunnassa on m. Laukaisu suunnassa on systemaattinen virhe: aliampuminen on 3 m. Selvitä todennäköisyys osua moottoritielle yhdellä laukauksella.

(todellinen, ehdottomasti positiivinen)

Normaalijakauma, kutsutaan myös Gaussin jakauma tai Gauss - Laplace- todennäköisyysjakauma , jonka yksiulotteisessa tapauksessa antaa todennäköisyystiheysfunktio , joka on sama kuin Gaussin funktio:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2, (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

jossa parametri μ on jakauman matemaattinen odotusarvo (keskiarvo), mediaani ja jakauman moodi ja parametri σ on jakauman keskihajonta (σ  ² - varianssi).

Siten yksiulotteinen normaalijakauma on kaksiparametrinen jakaumien perhe. Monimuuttujatapaus on kuvattu artikkelissa "Multivariate normaalijakauma".

normaali normaalijakauma kutsutaan normaalijakaumaksi, jonka keskiarvo μ = 0 ja keskihajonta σ = 1 .

Tietosanakirja YouTube

• 1 / 5

  Normaalijakauman merkitys monilla tieteenaloilla (esim. matemaattisessa tilastossa ja tilastollisessa fysiikassa) seuraa todennäköisyysteorian keskeisestä rajalauseesta. Jos havainnon tulos on useiden satunnaisten, heikosti toisistaan ​​riippuvaisten muuttujien summa, joista jokainen muodostaa pienen panoksen suhteessa kokonaissummaan, niin termien lukumäärän kasvaessa keskitetyn ja normalisoidun tuloksen jakauma pyrkii normaaliksi. Tästä todennäköisyysteorian laista on seurauksena normaalijakauman laaja jakautuminen, mikä oli yksi syy sen nimeämiseen.

  Ominaisuudet

  Hetkiä

  Jos satunnaismuuttujia X 1 (\displaystyle X_(1)) Ja X 2 (\displaystyle X_(2)) ovat riippumattomia ja niillä on normaalijakauma matemaattisten odotusten kanssa μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ja μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ja dispersioita σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ja σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) vastaavasti siis X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) on myös normaalijakauma odotusarvolla μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ja dispersio σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Tämä tarkoittaa, että normaali satunnaismuuttuja voidaan esittää mielivaltaisen määrän riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien summana.

  Maksimi entropia

  Normaalijakaumalla on suurin differentiaalinen entropia kaikkien jatkuvien jakaumien joukossa, joiden varianssi ei ylitä annettua arvoa.

  Normaalien näennäissatunnaisten muuttujien mallintaminen

  Yksinkertaisimmat likimääräiset mallinnusmenetelmät perustuvat keskirajalauseeseen. Nimittäin jos lisäämme useita riippumattomia identtisesti jakautuneita suureita äärellisellä varianssilla, niin summa jaetaan suunnilleen Hieno. Jos esimerkiksi lisäät 100 itsenäistä standardia tasaisesti hajautettuja satunnaismuuttujia, summan jakauma on likimääräinen normaali.

  Normaalisti jakautuneiden näennäissatunnaisten muuttujien ohjelmistojen luomiseen on suositeltavaa käyttää Box - Muller-muunnoksia. Sen avulla voit luoda yhden normaalijakauman arvon yhden tasaisesti jakautuneen arvon perusteella.

  Normaali jakautuminen luonnossa ja sovelluksissa

  Normaalijakauma löytyy usein luonnosta. Esimerkiksi seuraavat satunnaismuuttujat mallinnetaan hyvin normaalijakauman avulla:

  • ampumisen taipuminen.
  • mittausvirheet (joidenkin mittauslaitteiden virheillä on kuitenkin epänormaali jakautuminen).
  • joitain populaation elävien organismien ominaisuuksia.

  Tämä jakauma on niin laajalle levinnyt, koska se on äärettömästi jaollinen jatkuva jakauma, jolla on äärellinen varianssi. Siksi jotkut muut lähestyvät sitä rajalla, kuten binomiaali ja Poisson. Monet epädeterministiset fysikaaliset prosessit mallinnetaan tällä jakaumalla.

  Suhde muihin jakeluihin

  • Normaalijakauma on tyypin XI Pearson-jakauma.
  • Riippumattomien standardien normaalijakauman satunnaismuuttujien parin suhteella on Cauchyn jakauma. Eli jos satunnaismuuttuja X (\displaystyle X) edustaa suhdetta X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Missä K (\displaystyle Y) Ja Z (\displaystyle Z) ovat riippumattomia normaaleja satunnaismuuttujia), silloin sillä on Cauchyn jakauma.
  • Jos z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) ovat yhdessä riippumattomia vakionormaalisatunnaismuuttujia, ts. z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\oikea)), sitten satunnaismuuttuja x = z 1 2 + … + z k 2 (\näyttötyyli x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) on khin neliöjakauma, jossa on k vapausastetta.
  • Jos satunnaismuuttuja X (\displaystyle X) on lognormaalijakauman alainen, niin sen luonnollisella logaritmilla on normaalijakauma. Eli jos X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea)), Tuo Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea )). Ja päinvastoin, jos Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea)), Tuo X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \oikea)).
  • Kahden normaalin normaalin satunnaismuuttujan neliöiden suhde on

  Käytännössä useimmat satunnaismuuttujat, joihin vaikuttaa suuri määrä satunnaistekijöitä, noudattavat normaalia todennäköisyysjakauman lakia. Siksi tämä laki on erityisen tärkeä todennäköisyysteorian erilaisissa sovelluksissa.

  Satunnaismuuttuja $X$ noudattaa normaalia todennäköisyysjakauman lakia, jos sen todennäköisyysjakauman tiheys on seuraavanlainen

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Kaavamaisesti funktion $f\left(x\right)$ käyrä on esitetty kuvassa ja sen nimi on "Gaussin käyrä". Tämän grafiikan oikealla puolella on Saksan 10 markan seteli, joka oli käytössä jo ennen euron käyttöönottoa. Jos katsot tarkasti, tässä setelissä näet Gaussin käyrän ja sen löytäjän, suurimman matemaatikko Carl Friedrich Gaussin.

  Palataan tiheysfunktioomme $f\left(x\right)$ ja selitetään jakaumaparametreja $a,\ (\sigma )^2$. Parametri $a$ luonnehtii satunnaismuuttujan arvojen hajontakeskusta, eli sillä on matemaattisen odotuksen merkitys. Kun parametri $a$ muuttuu ja parametri $(\sigma )^2$ pysyy muuttumattomana, voidaan havaita funktion $f\left(x\right)$ kaavion siirtyminen abskissa-akselia pitkin, kun taas tiheys graafi itsessään ei muuta muotoaan.

  

  Parametri $(\sigma )^2$ on varianssi ja kuvaa tiheyskäyrän $f\left(x\right)$ muotoa. Kun parametria $(\sigma )^2$ muutetaan parametrilla $a$ muuttumattomana, voidaan havaita, kuinka tiheyskäyrä muuttaa muotoaan kutistuen tai venymättä, mutta ei siirry abskissaa pitkin.

  

  Todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja putoaa tietylle välille

  Kuten tiedetään, todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $X$ osuu väliin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ voidaan laskea $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Tässä funktio $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ on Laplace-toiminto. Tämän funktion arvot on otettu . Seuraavat funktion $\Phi \left(x\right)$ ominaisuudet voidaan huomioida.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, eli funktio $\Phi \left(x\oikea)$ on pariton.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ on monotonisesti kasvava funktio.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vasen(x\oikea)\ )=-0,5$.

  Voit laskea $\Phi \left(x\right)$-funktion arvot myös Excel-paketin ohjatun $f_x$-funktion avulla: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\oikea )-0,5 $. Lasketaan esimerkiksi funktion $\Phi \left(x\right)$ arvot arvolle $x=2$.

  

  Todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\oikea)$ putoaa odotukseen $a$ nähden symmetriseen intervalliin, voidaan laskea kaavalla

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Kolmen sigman sääntö. On käytännössä varmaa, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja $X$ osuu väliin $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Esimerkki 1 . Satunnaismuuttuja $X$ on normaalin todennäköisyysjakauman lain alainen parametreilla $a=2,\ \sigma =3$. Selvitä todennäköisyys, että $X$ osuu väliin $\left(0,5;1\right)$ ja todennäköisyys, että epäyhtälö $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Käyttämällä kaavaa

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  etsi $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ yli (3))\oikea)=\Phi \vasen(-0.33\oikea)-\Phi \vasen(-0.5\oikea)=\Phi \vasen(0.5\oikea)-\Phi \vasen(0.33\oikea) =0,191-0,129=0,062 dollaria.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Esimerkki 2 . Oletetaan, että vuoden aikana tietyn yrityksen osakkeiden hinta on normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja, jonka matemaattinen odotus on 50 tavanomaista rahayksikköä ja keskihajonna 10. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitulla Keskustelujakson päivänä osakkeen hinta on:

  a) yli 70 tavanomaista rahayksikköä?

  b) alle 50 per osake?

  c) 45–58 tavanomaista rahayksikköä osaketta kohden?

  Olkoon satunnaismuuttuja $X$ jonkin yrityksen osakkeiden hinta. Ehdolla $X$ on normaalijakauman alainen parametreilla $a=50$ - matemaattinen odotus, $\sigma =10$ - keskihajonta. Todennäköisyys $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ yli (10))\oikea)=0,5-\Phi \vasen(2\oikea)=0,5-0,4772=0,0228.$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksien normaalijakauman laki on erityinen paikka eri teoreettisten lakien joukossa, koska se on tärkein monissa käytännön tutkimuksissa. Hän kuvaa suurimman osan tuotantoprosesseihin liittyvistä satunnaisista ilmiöistä.

  Normaalijakauman lakia noudattavia satunnaisia ​​ilmiöitä ovat tuotantoparametrien mittausvirheet, valmistusteknisten virheiden jakautuminen, useimpien biologisten esineiden korkeus ja paino jne.

  normaali kutsua jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman lakia, jota kuvaa differentiaalifunktio

  a - satunnaismuuttujan matemaattinen odotus;

  Normaalijakauman keskihajonta.

  Normaalijakauman differentiaalifunktion kuvaajaa kutsutaan normaalikäyräksi (Gaussin käyrä) (kuva 7).

  

  Riisi. 7 Gaussin käyrä

  Normaalikäyrän (Gaussin käyrän) ominaisuudet:

  1. käyrä on symmetrinen suoran x = a suhteen;

  2. normaalikäyrä sijaitsee X-akselin yläpuolella, eli kaikille X:n arvoille funktio f(x) on aina positiivinen;

  3. Härkä-akseli on kaavion vaaka-asymptootti, koska

  4. kun x = a, funktion f(x) maksimi on yhtä suuri kuin

  ,

  pisteissä A ja B kohdassa ja käyrällä on käännepisteitä, joiden ordinaatit ovat yhtä suuret.

  

  Samanaikaisesti todennäköisyys, että normaalijakautuneen satunnaismuuttujan poikkeama itseisarvo sen matemaattisesta odotuksesta ei ylitä keskihajontaa, on 0,6826.

  pisteissä E ja G, for ja , funktion f(x) arvo on yhtä suuri kuin

  

  ja todennäköisyys, että normaalijakautuneen satunnaismuuttujan poikkeaman itseisarvo sen matemaattisesta odotuksesta ei ylitä kaksinkertaista standardipoikkeamaa, on 0,9544.

  Asymptoottisesti lähestyy abskissa-akselia, Gaussin käyrä pisteissä C ja D, pisteissä ja , tulee hyvin lähelle abskissa-akselia. Näissä kohdissa funktion f(x) arvo on hyvin pieni

  

  ja todennäköisyys, että normaalijakautuneen satunnaismuuttujan poikkeama itseisarvo sen matemaattisesta odotuksesta ei ylitä kolme kertaa keskihajonnan arvoa, on 0,9973. Tätä Gaussin käyrän ominaisuutta kutsutaan " kolmen sigman sääntö".

  
  
  

  Jos satunnaismuuttuja on normaalijakautumassa, niin sen matemaattisesta odotuksesta poikkeaman absoluuttinen arvo ei ylitä kolme kertaa keskihajontaa.

  Parametrin a arvon muuttaminen (satunnaismuuttujan matemaattinen odotus) ei muuta normaalikäyrän muotoa, vaan johtaa vain sen siirtymiseen X-akselia pitkin: oikealle, jos a kasvaa, ja vasemmalle, jos a kasvaa. vähenee.

  Kun a=0, normaalikäyrä on symmetrinen y-akselin suhteen.

  Parametrin arvon (keskihajonnan) muuttaminen muuttaa normaalikäyrän muotoa: kun normaalikäyrän ordinaatit pienenevät, käyrä venytetään X-akselia pitkin ja painetaan sitä vasten. Pieneneessä normaalikäyrän ordinaatit kasvavat, käyrä kutistuu X-akselia pitkin ja tulee "huippuisemmaksi".

  Samanaikaisesti kaikille ja -arvoille normaalikäyrän ja X-akselin rajoittama alue pysyy yhtä suurena kuin yksi (eli todennäköisyys, että normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja saa arvon, jota rajoittaa normaalikäyrä X-akseli on yhtä suuri kuin 1).

  Normaalijakauma mielivaltaisilla parametreilla ja ts. differentiaalifunktiolla kuvattuna

  

  nimeltään yleinen normaalijakauma.

  Normaalijakauma parametreilla ja kutsutaan normalisoitu jakauma(Kuva 8). Normalisoidussa jakaumassa differentiaalijakaumafunktio on:

  

  Riisi. 8 Normalisoitu käyrä

  Yleisen normaalijakauman integraalifunktiolla on muoto:

  Olkoon satunnaismuuttuja X jakautunut normaalin lain mukaan välillä (c, d). Tällöin todennäköisyys, että X saa väliin (c, d) kuuluvan arvon, on yhtä suuri kuin

  

  Esimerkki. Satunnaismuuttuja X jakautuu normaalin lain mukaan. Tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja keskihajonta ovat a=30 ja . Etsi todennäköisyys, että X saa arvon väliltä (10, 50).

  Ehdon mukaan: . Sitten

  Käytämme valmiita Laplace-pöytiä (katso liite 3).