Tietoa johdannaisen ilmestymisen historiasta: Monien 1600-luvun matemaatikoiden iskulause. oli: "Mene eteenpäin ja usko tulosten oikeellisuuteen
tulee."
Termin "johdannainen" - (ranskalainen johdannainen - takana, takana) otettiin käyttöön vuonna 1797 J. Lagrange. Hän myös esitteli
nykyaikaiset nimitykset y ", f'.
nimitys lim on lyhenne latinan sanasta limes (raja, raja). Termin "raja" esitteli I. Newton.
I. Newton kutsui johdannaista fluxiksi ja itse funktiota sujuvaksi.
G. Leibniz puhui differentiaalisuhteesta ja merkitsi derivaatta seuraavasti:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
Ranskalainen matemaatikko ja mekaanikko

Newton:

"Tämä maailma oli peitetty syvään pimeyteen. Tulkoon valo! Ja niin
Newton ilmestyi. A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) oli yksi perustajista
differentiaalilaskenta.
Hänen pääteoksensa on "Matemaattiset periaatteet
luonnonfilosofia "-oli valtava
vaikuttaa luonnontieteen kehitykseen
käännekohta luonnontieteen historiassa.
Newton esitteli johdannaisen käsitteen tutkiessaan lakeja
mekaniikka, mikä paljastaa sen mekaniikka
merkitys.

Mikä on funktion derivaatta?

Funktion derivaatta tietyssä pisteessä kutsutaan rajaksi
funktion lisäyksen suhde tässä vaiheessa
argumentin lisäys, kun argumentti kasvaa
pyrkii nollaan.

Johdannan fyysinen merkitys.

Nopeus on etäisyyden derivaatta ajan suhteen:
v(t) = S′(t)
Kiihtyvyys on johdannainen
nopeus ajan myötä:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Johdannan geometrinen merkitys:

Kuvaajan tangentin kaltevuus
funktio on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatta,
laskettu kosketuspisteessä.
f'(x) = k = tga

Sähkötekniikan johdannainen:

Kodissamme, liikenteessä, tehtaissa: se toimii kaikkialla
sähköä. Sähkövirralla tarkoitetaan
vapaasti ladatun ohjatun liikkeen
hiukkasia.
Sähkövirran kvantitatiivinen ominaisuus on voima
nykyinen.
AT
sähkövirtapiirit sähkövaraus muuttuu
ajan myötä lain mukaan q=q (t). Virran voimakkuus I on johdannainen
lataa q ajan myötä.
Sähkötekniikassa käytetään pääasiassa vaihtovirtakäyttöä.
Ajan myötä muuttuvaa sähkövirtaa kutsutaan
muuttujia. Vaihtovirtapiiri voi sisältää erilaisia
elementit: lämmittimet, kelat, kondensaattorit.
Vaihtovirtavirran saaminen perustuu lakiin
sähkömagneettinen induktio, jonka koostumus sisältää
magneettivuon johdannainen.

Johdannainen kemiassa:

◦ Ja kemiassa differentiaali
laskenta kemian matemaattisten mallien rakentamiseen
reaktiot ja myöhempi kuvaus niiden ominaisuuksista.
◦ Kemia on tiedettä aineista, kemiallisista muutoksista
aineet.
◦ Kemia tutkii erilaisten reaktioiden kuvioita.
◦ Kemiallisen reaktion nopeus on muutos
reagoivien aineiden pitoisuus aikayksikköä kohti.
◦ Koska reaktionopeus v muuttuu jatkuvasti aikana
prosessissa, se ilmaistaan ​​yleensä pitoisuuden johdannaisena
reagoivat aineet ajan myötä.

Maantieteen johdannainen:

Thomas Malthuksen sosiologisen mallin ajatus on väestönkasvu
verrannollinen väestöön tietyllä hetkellä t - N(t), . Malli
Malthus teki hyvää työtä kuvaillessaan Yhdysvaltain väestöä vuosina 1790–1860.
vuotta. Tämä malli ei ole enää voimassa useimmissa maissa.

Integraali ja sen sovellus:

Hieman historiaa:

Integraalin käsitteen historia juontaa juurensa
antiikin Kreikan ja antiikin matemaatikoille
Rooma.
Muinaisen Kreikan tiedemiehen Eudoxus of Knidosin (n. 408-n. 355 eKr.) teokset tunnetaan
kappaleiden tilavuuksien löytäminen ja laskelmat
tasohahmojen alueet.

Integraalilaskenta yleistyi 1600-luvulla. Tiedemiehet:
G. Leibniz (1646-1716) ja I. Newton (1643-1727) löysivät itsenäisesti
ystävä ja melkein samanaikaisesti kaava, jota myöhemmin kutsutaan kaavaksi
Newton - Leibniz, jota käytämme. Se matemaattinen kaava
tuonut filosofi ja fyysikko ei yllätä ketään, koska matematiikka on se kieli, jolla
luonto itse puhuu.

Symboli sisään
Leibniz (1675). Tämä merkki on
latinalaisen S-kirjaimen muutos
(sanan summa ensimmäinen kirjain). Itse sana integraali
keksitty
J. Bernoulli (1690). Se on todennäköisesti peräisin
Latinalainen kokonaisluku, joka tarkoittaa
palauttaa alkuperäiseen tilaansa.
Integraation rajat osoitti jo L. Euler
(1707-1783). Vuonna 1697 nimi ilmestyi
uusi matematiikan haara - integraali
laskenta. Sen esitteli Bernoulli.

Matemaattisessa analyysissä funktion integraalia kutsutaan
summan käsitteen laajentaminen. Integraalin löytämisprosessi
kutsutaan integraatioksi. Tätä prosessia käytetään yleensä
löytää sellaiset suureet kuin pinta-ala, tilavuus, massa, siirtymä jne.
kun tämän suuren muutosten nopeus tai jakauma on annettu
suhteessa johonkin muuhun suureen (sijainti, aika jne.).

Mikä on integraali?

Integraali on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä, joka
syntyy, kun ratkaistaan ​​ongelmia käyrän alla olevan alueen, milloin kuljetun matkan löytämisessä
epätasainen liike, epähomogeenisen kappaleen massa jne. sekä ongelmassa
funktion palauttaminen sen derivaatasta

Tiedemiehet kokeilevat kaikkea fyysistä
muodossa ilmaistavia ilmiöitä
matemaattinen kaava. Miten
vain meillä on kaava, edelleen
sen kanssa on jo mahdollista
laskea mitä tahansa. Ja integraali
on yksi tärkeimmistä
työkaluja työskentelyyn
toimintoja.

Integrointimenetelmät:

1. Taulukkomainen.
2. Integrandin pelkistys taulukkomuunnokseen
lausekkeita summaan tai erotukseen.
3. Integrointi muuttujan muutoksella (korvaus).
4. Integrointi osien mukaan.

Integraalin sovellus:

◦ Matematiikka
◦ Laske S-muodot.
◦ Kaaren pituus.
◦ V-kappaleet S rinnalla
osiot.
◦ V vallankumouskappaleet jne.
Fysiikka
Työskentely Vaihtuva voima.
S - liikkeen polku.
Massalaskenta.
Viivan hitausmomentin laskeminen,
ympyrä, sylinteri.
◦ Laske keskipisteen koordinaatti
painovoima.
◦ Lämmön määrä jne.
◦
◦
◦
◦

Teoksesta ei ole vielä HTML-versiota.

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Tutustuminen integraalin käsitteen historiaan. Integraalilaskennan jakauma, Newton-Leibnizin kaavan löytäminen. Summa symboli; summan käsitteen laajentaminen. Kuvaus tarpeesta ilmaista kaikki fysikaaliset ilmiöt matemaattisen kaavan muodossa.

esitys, lisätty 26.1.2015


Integraalilaskennan ideoita muinaisten matemaatikoiden teoksissa. Uupumusmenetelmän ominaisuudet. Kepler-toruksen tilavuuskaavan löytämisen historia. Integraalilaskennan periaatteen teoreettinen perustelu (Cavalierin periaate). Määrätyn integraalin käsite.

esitys, lisätty 7.5.2016


Integraalilaskennan historia. Kaksoisintegraalin määritelmä ja ominaisuudet. Sen geometrinen tulkinta, laskenta karteesisilla ja napakoordinaateilla, sen pelkistys toistuvaksi. Taloustieteen ja geometrian sovellus volyymien ja pinta-alojen laskemiseen.

lukukausityö, lisätty 16.10.2013


Koordinaattien kaarevan integraalin määritelmä, sen pääominaisuudet ja laskenta. Edellytys kaarevan integraalin riippumattomuudelle integraatiopolusta. Figuurien pinta-alojen laskeminen kaksoisintegraalilla. Greenin kaavan avulla.

testi, lisätty 23.2.2011


Edellytykset määrätyn integraalin olemassaololle. Integraalilaskennan soveltaminen. Integraalilaskenta geometriassa. Määrätyn integraalin mekaaninen sovellus. Integraalilaskenta biologiassa. Integraalilaskenta taloustieteessä.

lukukausityö, lisätty 21.1.2008


Integraali- ja differentiaalilaskennan historia. Määrätyn integraalin sovellukset joidenkin mekaniikan ja fysiikan ongelmien ratkaisuun. Tasokäyrien momentit ja massakeskukset, Guldenin lause. Differentiaaliyhtälöt. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta MatLabissa.

tiivistelmä, lisätty 7.9.2009


Stieltjes-integraalin käsite. Stieltjes-integraalin olemassaolon yleiset ehdot, sen olemassaolon tapausluokat ja siirtyminen sen merkin alla olevaan rajaan. Stieltjes-integraalin pelkistäminen Riemannin integraaliksi. Sovellus todennäköisyysteoriassa ja kvanttimekaniikassa.

opinnäytetyö, lisätty 20.7.2009


Epämääräisen integraalin määritelmä, jatkuvan funktion antiderivaata, määrittelemättömän integraalin differentiaali. Kaavan johtaminen muuttujan korvaamiseksi määrittelemättömässä integraalissa ja integrointi osilla. Murtoluvun rationaalisen funktion määritelmä.

huijauslehti, lisätty 21.8.2009


Perehtyminen määrätyn integraalin käsitteeseen ja perusominaisuuksiin. Kaavan esitys funktion y=f(x) integraalisumman laskemiseksi segmentillä [a, b]. Integraalin yhtäläisyys nollaan sillä ehdolla, että integroinnin ala- ja ylärajat ovat yhtä suuret.

esitys, lisätty 18.9.2013


Jotkut johdannaisen sovellukset. Differentiaalilaskennan peruslauseiden käyttäminen epäyhtälöiden todistamiseen. Antiderivatiivi ja integraali alkeismatematiikan ongelmissa. Integraalin monotonisuus. Jotkut klassiset epätasa-arvot.

Tutkimusaihe

Integraalilaskennan soveltaminen perheen menojen suunnittelussa

Ongelman relevanssi

Yhä useammin sosiaalisilla ja taloudellisilla aloilla tulonjaon epätasa-arvoa laskettaessa käytetään matematiikkaa, nimittäin integraalilaskentaa. Tutkimalla integraalin käytännön sovellusta opimme:

• Miten integraali ja pinta-alan laskeminen integraalin avulla auttavat materiaalikustannusten kohdentamisessa?

• Kuinka integraali auttaa säästämään rahaa lomaa varten.

Kohde

suunnittele perheen kulut integraalilaskelman avulla

Tehtävät

• Opi integraalin geometrinen merkitys.
• Harkitse menetelmiä integroitumiseen elämän sosiaalisilla ja taloudellisilla aloilla.
• Tee ennuste perheen materiaalikustannuksista, kun korjaat asuntoa integraalilla.
• Laske perheen energiankulutus vuodelle integraalilaskelman huomioon ottaen.
• Laske säästötalletuksen määrä Sberbankissa lomaa varten.

Hypoteesi

integraalilaskenta auttaa taloudellisissa laskelmissa perheen tuloja ja menoja suunniteltaessa.

Tutkimusvaiheet

• Tutkimme integraalin geometrista merkitystä ja integraatiomenetelmiä elämän sosiaalisilla ja taloudellisilla aloilla.
• Laskemme integraalin avulla asunnon korjaukseen tarvittavat materiaalikustannukset.
• Laskemme asunnon sähkönkulutuksen määrän ja perheen sähkökustannusten vuodelle.
• Harkitsemme yhtä vaihtoehdoista perheen tulojen keräämiseksi Sberbankin talletusten kautta integraalin avulla.

Tutkimuksen kohde

integraalilaskentaa elämän sosiaalisilla ja taloudellisilla aloilla.

menetelmät

• Kirjallisuuden analyysi aiheesta "Integraalilaskennan käytännön soveltaminen"
• Integraalia käyttävien lukujen pinta-alojen ja tilavuuksien laskentaan liittyvien integrointimenetelmien tutkiminen.
• Perheen menojen ja tulojen analyysi integraalilaskennan avulla.

Työskentelyprosessi

• Kirjallisuuskatsaus aiheesta "Integraalilaskennan käytännön soveltaminen"
• Tehtäväjärjestelmän ratkaiseminen kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseksi integraalin avulla.
• Perhekulujen ja tulojen laskenta integraalilaskelman avulla: huoneremontti, sähkön määrä, talletukset Sberbankissa lomaa varten.

Tuloksemme

Miten integraali ja volyymin laskeminen integraalin avulla auttavat ennakoimaan sähkönkulutuksen määrää?

löydöksiä

• Taloudellinen laskenta asunnon korjaamiseen tarvittavista varoista voidaan suorittaa nopeammin ja tarkemmin integraalilaskelman avulla.

• Perheen sähkönkulutuksen laskeminen on helpompaa ja nopeampaa integraalilaskelman ja Microsoft Office Excelin avulla, mikä tarkoittaa perheen sähkökustannusten ennustamista vuodelle.

• Sberbankin talletusten tuotto voidaan laskea integraalilaskelman avulla, mikä tarkoittaa perheloman suunnittelua.

Luettelo resursseista

Painetut painokset:

• Oppikirja. Algebra ja analyysin alku 10-11 luokka. A.G. Mordkovich. Mnemosyne. M: 2007
• Oppikirja. Algebra ja analyysin alku 10-11 luokka. A. Kolmogorov Valistus. M: 2007
• Matematiikkaa sosiologeille ja taloustieteilijöille. Akhtjamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 s.
• Integraalilaskenta. Korkeamman matematiikan käsikirja, M. Ya. Vygodsky, Enlightenment, 2000

Oppitunnin motto: "Matematiikka on kieli, jota kaikki tarkat tieteet puhuvat" N.I. Lobatševski

Oppitunnin tarkoitus: yleistää opiskelijoiden tietoja aiheesta "Integraal", "Integraalin soveltaminen"; laajentaa heidän näköalojaan, tietoa integraalin mahdollisesta soveltamisesta erilaisten suureiden laskemiseen; vahvistaa taitojaan käyttää integraalia sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen; juurruttaa kognitiivista kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, kehittää kommunikaatiokulttuuria ja matemaattisen puheen kulttuuria; oppia puhumaan opiskelijoille ja opettajille.

Oppitunnin tyyppi: iteratiivinen-yleistävä.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - "Integraalin soveltaminen" -projektin puolustaminen.

Varusteet: magneettitaulu, julisteet "Integraalin sovellus", kortit kaavoilla ja tehtäviä itsenäiseen työhön.

Tuntisuunnitelma:

1. Projektin suojaus:

1. integraalilaskennan historiasta;
2. kiinteät ominaisuudet;
3. integraalin soveltaminen matematiikassa;
4. integraalin soveltaminen fysiikassa;

2. Harjoitusten ratkaisu.

Tuntien aikana

Opettaja: Tehokas tutkimustyökalu matematiikan, fysiikan, mekaniikan ja muiden tieteenalojen alalla on ehdoton integraali - yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Integraalin geometrinen merkitys on kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Integraalin fysikaalinen merkitys on 1) epähomogeenisen sauvan massa, jonka tiheys, 2) pisteen siirtymä, joka liikkuu nopeudella suorassa linjassa tietyn ajanjakson aikana.

Opettaja: Luokkamme kaverit tekivät hienoa työtä, he ottivat tehtäviä, joissa sovelletaan tiettyä integraalia. Heillä on sana.

2 opiskelija: Integraalin ominaisuudet

3 opiskelijaa: Integraalin käyttö (taulukko magneettilevyllä).

4 opiskelija: Harkitsemme integraalin käyttöä matematiikassa laskettaessa kuvioiden pinta-alaa.

Minkä tahansa tasokuvan pinta-ala, tarkasteltuna suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, voi koostua akselin viereisistä kaarevien puolisuunnikkaan alueista vai niin ja kirveet OU. Käyrän rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala y = f(x), akseli vai niin ja kaksi suoraan x=a ja x=b, missä a x b, f(x) 0 lasketaan kaavalla cm. riisi. Jos kaareva puolisuunnikas on akselin vieressä OU, niin sen pinta-ala lasketaan kaavalla , cm. riisi. Kuvien pinta-aloja laskettaessa voi esiintyä seuraavia tapauksia: a) Kuva sijaitsee Ox-akselin yläpuolella ja sitä rajoittavat Ox-akseli, käyrä y \u003d f (x) ja kaksi suoraa x \u003d a ja x \u003d b. (Katso. riisi.) Tämän kuvan pinta-ala saadaan kaavalla 1 tai 2. b) Kuva sijaitsee Ox-akselin alla ja sitä rajoittavat Ox-akseli, käyrä y \u003d f (x) ja kaksi suoraa x \u003d a ja x \u003d b (katso. riisi.). Alue löytyy kaavasta . c) Kuva sijaitsee Ox-akselin ylä- ja alapuolella, ja sitä rajoittavat Ox-akseli, käyrä y \u003d f (x) ja kaksi suoraa x \u003d a ja x \u003d b ( riisi.). d) Aluetta rajoittaa kaksi leikkaavaa käyrää y \u003d f (x) ja y \u003d (x) ( riisi.)

5 opiskelija: Ratkaise ongelma

x-2y+4=0 ja x+y-5+0 ja y=0

7 opiskelija: Fysiikassa laajalti käytetty integraali. Sana fyysikoille.

1. PISTEEN KÄYTETTYN REITIN LASKEMINEN

Reitti, jonka piste kulkee epätasaisen suoran liikkeen aikana vaihtelevalla nopeudella aikavälillä välillä - lasketaan kaavalla.

Esimerkkejä:

1. Pisteliikkeen nopeus neiti. Etsi pisteen kulkema polku 4 sekunnissa.

Ratkaisu: tilanteen mukaan, . Siten,

2. Kaksi kappaletta alkoi liikkua samanaikaisesti samasta pisteestä samaan suuntaan suorassa linjassa. Ensimmäinen kappale liikkuu nopeudella m / s, toinen - nopeudella v = (4t+5) neiti. Kuinka kaukana ne ovat toisistaan ​​5 sekunnin kuluttua?

Ratkaisu: on selvää, että haluttu arvo on ero ensimmäisen ja toisen kappaleen 5 sekunnissa kulkemien etäisyyksien välillä:

3. Kappale heitetään pystysuoraan ylöspäin maan pinnasta nopeudella u = (39,2-9,8^) m/s. Etsi kehon enimmäiskorkeus.

Ratkaisu: runko saavuttaa suurimman nostokorkeuden hetkellä t, kun v = 0, ts. 39,2- 9,8t = 0, mistä I= 4 s. Kaavan (1) avulla löydämme

2. TYÖVOIMAN LASKEMINEN

Muuttuvan voiman f(x) tekemä työ liikkuessaan akselia pitkin vai niin materiaalipiste x = a ennen x=b, löytyy kaavan mukaan Ratkaistaessa tehtäviä voiman työn laskemiseksi, käytetään usein G y k a -lakia: F=kx, (3) missä F - voima N; X-jousen absoluuttinen venymä, m, voiman aiheuttama F, a k- suhteellisuuskerroin, N/m.

Esimerkki:

1. Lepotilassa olevan jousen pituus on 0,2 m. 50 N:n voima venyttää jousta 0,01 m. Mitä työtä täytyy tehdä sen venyttämiseksi 0,22 m:stä 0,32 metriin?

Ratkaisu: yhtälöllä (3) saadaan 50=0,01k, eli kK = 5000 N/m. Löydämme integroinnin rajat: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12 (m). Nyt kaavan (2) mukaan saamme

3. KUORMAN NOSTOKSEN SUORITETTUN TYÖN LASKENTA

Tehtävä. Sylinterimäinen säiliö, jonka pohjan säde on 0,5 m ja korkeus 2 m, täytetään vedellä. Laske työ, joka on tehtävä veden pumppaamiseksi ulos säiliöstä.

Ratkaisu: valitse vaakasuora kerros syvyydellä x korkeudella dx ( riisi.). Työ A, joka on tehtävä P-painoisen vesikerroksen nostamiseksi korkeudelle x, on yhtä suuri kuin Px.

Muutos syvyydessä x pienellä määrällä dx aiheuttaa tilavuuden V muutoksen dV =:llä pr 2 dx ja painon muutos Р * dР = 9807 r 2 dх; tässä tapauksessa suoritettu työ A muuttuu arvolla dА=9807пr 2 xdх. Integroimalla tämä yhtälö, kun x muuttuu 0:sta H:ksi, saadaan

4. NESTEEN PAINEEN VOIMAAN LASKEMINEN

Voiman merkitys R nesteen paine vaakasuoralla alustalla riippuu upotussyvyydestä X tähän kohtaan, eli paikan etäisyydeltä nesteen pintaan.

Vaakatason painevoima (N) lasketaan kaavalla P = 9807Sx,

missä - nesteen tiheys, kg/m3; S - tontin pinta-ala, m 2; X - alustan upotussyvyys, m

Jos nestepaineen alainen alue ei ole vaakasuora, siihen kohdistuva paine on erilainen eri syvyyksillä, joten alueelle kohdistuva painevoima riippuu sen upotussyvyydestä P(x).

5. KAREEN PITUUS

Anna tasaisen käyrän AB(riisi.) yhtälön antama y \u003d f (x) (axb) ja f(x) ja f ?(x) ovat jatkuvia funktioita välillä [а, b]. Sitten ero dl kaaren pituus AB ilmaistaan ​​kaavalla tai , ja kaaren pituus AB lasketaan kaavalla (4)

missä a ja b ovat riippumattoman muuttujan arvot X pisteissä A ja B. Jos käyrä on annettu yhtälöllä x =(y)(ylläd) sitten kaaren AB pituus lasketaan kaavalla (5) missä kanssa ja d riippumattomien muuttujien arvot klo kohdissa MUTTA ja V.

6. MASSAKESKUS

Massakeskuksen löytämisessä käytetään seuraavia sääntöjä:

1) x koordinaatti ? ainepistejärjestelmän massakeskipiste А 1 , А 2 ,..., А n massoilla m 1 , m 2 , ..., m n, jotka sijaitsevat suoralla pisteissä, joiden koordinaatit ovat x 1 , x 2 , ..., x n , löytyvät kaavasta

(*); 2) Massakeskipisteen koordinaattia laskettaessa mikä tahansa kuvion osa voidaan korvata aineellisella pisteellä asettamalla se tämän osan massakeskipisteeseen ja osoittamalla sille massa, joka vastaa tarkasteltavan osan massaa. hahmosta. Esimerkki. Olkoon akselin Ox sauvasegmenttiä [a;b] pitkin - massa jakautuu tiheydellä (x), missä (x) on jatkuva funktio. Näytämme se a) sauvan kokonaismassa M on yhtä suuri kuin; b) massakeskipisteen x koordinaatti " on yhtä suuri kuin .

Jaetaan segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan, joiden pisteet a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (riisi.). Jokaisella näistä n segmentistä tiheyttä voidaan pitää vakiona suurelle n:lle ja suunnilleen yhtä suureksi kuin (x k - 1) k:nnen segmentin ((x) jatkuvuuden vuoksi. Sitten k:nnen segmentin massa on suunnilleen yhtä suuri kuin ja koko tangon massa on

Integraalin käsite on laajasti sovellettavissa elämässä. Integraaleja käytetään eri tieteen ja teknologian aloilla. Integraalien avulla lasketut päätehtävät ovat tehtäviä:

1. Kehon tilavuuden löytäminen

2. Kehon massakeskuksen löytäminen.

Tarkastellaan jokaista niistä yksityiskohtaisemmin. Käytämme tässä ja alla jonkin funktion f(x) määrättyä integraalia, jonka integrointirajat ovat a:sta b:hen, seuraavaa merkintää ∫ a b f(x).

Kehon tilavuuden löytäminen

Harkitse seuraavaa kuvaa. Oletetaan, että on jokin kappale, jonka tilavuus on yhtä suuri kuin V. On myös sellainen suora, että jos otamme tietyn tason kohtisuoraan tätä suoraa vastaan, tunnetaan tämän kappaleen poikkileikkauspinta-ala S tämän tason suhteen.

Jokainen tällainen taso on kohtisuorassa x-akselia vastaan, ja siksi se leikkaa sen jossain pisteessä x. Toisin sanoen jokaiselle segmentin pisteelle x annetaan numero S (x) - kehon poikkileikkauspinta-ala, tämän pisteen läpi kulkeva taso.

Osoittautuu, että segmentille annetaan jokin funktio S(x). Jos tämä funktio on jatkuva tässä segmentissä, seuraava kaava on voimassa:

V = ∫ a b S(x)dx.

Tämän väitteen näyttö ei kuulu koulun opetussuunnitelmaan.

Kappaleen massakeskuksen laskeminen

Massakeskusta käytetään useimmiten fysiikassa. Esimerkiksi on jokin keho, joka liikkuu millä tahansa nopeudella. Mutta on hankalaa pitää suurta kappaletta, ja siksi fysiikassa tätä kappaletta pidetään pisteen liikkeenä olettaen, että tällä pisteellä on sama massa kuin koko keholla.

Ja kehon massakeskuksen laskemisen tehtävä on tärkein tässä asiassa. Koska ruumis on suuri, ja mikä piste tulisi ottaa massakeskukseksi? Ehkä se keskellä kehoa? Tai ehkä lähin piste etureunaa? Tässä integraatio tulee esiin.

Seuraavia kahta sääntöä käytetään massakeskuksen löytämiseen:

1. Joidenkin materiaalipisteiden A1, A2,A3, … An massakeskipisteen koordinaatti x', jonka massat vastaavasti m1, m2, m3, … mn sijaitsevat suoralla pisteissä, joiden koordinaatit ovat x1, x2, x3, … xn löytyy seuraavasta kaavasta:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Massakeskipisteen koordinaatteja laskettaessa mikä tahansa tarkasteltavana olevan kuvan osa voidaan korvata aineellisella pisteellä, samalla kun se sijoitetaan tämän erillisen kuvion osan massakeskipisteeseen ja massa voidaan ottaa yhtä suureksi. tämän kuvion osan massaan.

Esimerkiksi, jos massa, jonka tiheys on p(x) jaetaan pitkin sauvaa - Ox-akselin segmenttiä, jossa p(x) on jatkuva funktio, niin massakeskipisteen x' koordinaatti on yhtä suuri kuin.