Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(kahdeksan\); \(yksitoista\); \(14\)… on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (voidaan saada edellisestä lisäämällä kolme):
Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.
\(d\) voi kuitenkin olla myös negatiivinen luku. Esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(kymmenen\); \(neljä\); \(-2\); \(-8\)… etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.
Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.
Aritmeettinen etenemismerkintä
Edistyminen on merkitty pienellä latinalaisella kirjaimella.
Progression muodostavia lukuja kutsutaan nimellä jäsenet(tai elementtejä).
Ne on merkitty samalla kirjaimella kuin aritmeettinen eteneminen, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.
Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.
Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Tehtävän ratkaiseminen aritmeettisella progressiolla
Periaatteessa yllä oleva tieto riittää jo ratkaisemaan lähes minkä tahansa aritmeettisen progression ongelman (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:
Vastaus: \(b_5=23\)
Esimerkki (OGE).
Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Ratkaisu:
|
Meille annetaan sekvenssin ensimmäiset elementit ja tiedämme, että se on aritmeettinen progressio. Eli jokainen elementti eroaa viereisestä samalla numerolla. Selvitä kumpi vähentämällä edellinen seuraavasta elementistä: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Nyt voimme palauttaa etenemisemme haluttuun (ensimmäiseen negatiiviseen) elementtiin. |
|
|
Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen. |
Vastaus: \(-3\)
Esimerkki (OGE).
Aritmeettiselle progressiolle annetaan useita peräkkäisiä elementtejä: \(...5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) merkitty elementin arvo.
Ratkaisu:
|
|
Löytääksemme \(x\) meidän on tiedettävä kuinka paljon seuraava elementti eroaa edellisestä, toisin sanoen etenemisero. Etsitään se kahdesta tunnetusta viereisestä elementistä: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Ja nyt löydämme etsimämme ilman ongelmia: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen. |
Vastaus: \(7,5\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan seuraavilla ehdoilla: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:
|
Meidän on löydettävä etenemisen kuuden ensimmäisen ehdon summa. Mutta emme tiedä niiden merkityksiä, meille annetaan vain ensimmäinen elementti. Siksi laskemme ensin arvot vuorotellen käyttämällä meille annettua: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Pyydetty summa on löytynyt. |
Vastaus: \(S_6=9\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Ratkaisu:
Vastaus: \(d=7\).
Tärkeitä aritmeettisia etenemiskaavoja
Kuten näette, monet aritmeettiset etenemisongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen progressio on numeroketju ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen (ero etenemisestä).
Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa on erittäin hankalaa ratkaista "otsassa". Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Mikä se on, me \ (385 \) kertaa lisäämme neljä? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Laskeminen on hämmentävää...
Siksi tällaisissa tapauksissa he eivät ratkaise "otsalla", vaan käyttävät erityisiä kaavoja, jotka on johdettu aritmeettiseen etenemiseen. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava ensimmäisten termien summalle \(n\).
Kaava \(n\):nnelle jäsenelle: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen jäsen;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) on etenemisen jäsen numerolla \(n\).
Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää ainakin kolmen sadasosan, jopa miljoonasosan, tietäen vain ensimmäisen ja etenemiseron.
Esimerkki.
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Ratkaisu:
Vastaus: \(b_(246)=1850\).
Ensimmäisen n termin summan kaava on: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa
\(a_n\) on viimeinen summattu termi;
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Ratkaisu:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Kahdenkymmenenviiden ensimmäisen elementin summan laskemiseksi meidän on tiedettävä ensimmäisen ja kahdennenkymmenennenviidennen termin arvo. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Etsitään nyt kahdeskymmenesviides termi korvaamalla kaksikymmentäviisi \(n\) sijaan. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
No, nyt laskemme tarvittavan määrän ilman ongelmia. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Vastaus on valmis. |
Vastaus: \(S_(25)=1090\).
Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:
Ensimmäisen n termin summan kaava on: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), missä
\(S_n\) – ensimmäisten elementtien vaadittu summa \(n\);
\(a_1\) on ensimmäinen termi, joka summataan;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) - summan elementtien lukumäärä.
Esimerkki.
Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(neljätoista\)…
Ratkaisu:
Vastaus: \(S_(33)=-231\).
Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat
Nyt sinulla on kaikki tiedot, joita tarvitset lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)
Esimerkki (OGE).
Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Ratkaisu:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tehtävä on hyvin samanlainen kuin edellinen. Aloitamme ratkaisemisen samalla tavalla: löydämme ensin \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Nyt korvaamme summan kaavassa \(d\) ja tästä tulee pieni vivahde - emme tiedä \(n\). Toisin sanoen emme tiedä kuinka monta termiä on lisättävä. Kuinka selvittää? Mietitään. Lopetamme elementtien lisäämisen, kun pääsemme ensimmäiseen positiiviseen elementtiin. Eli sinun on selvitettävä tämän elementin numero. Miten? Kirjataan ylös kaava minkä tahansa aritmeettisen progression elementin laskemiseksi: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meidän tapauksessamme. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Arvon \(a_n\) on oltava suurempi kuin nolla. Selvitetään, miksi \(n\) tämä tapahtuu. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Jaamme epäyhtälön molemmat puolet \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Siirrämme miinus yksi, unohtamatta vaihtaa kylttejä |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Lasketaan... |
|
|
\(n> 65 333…\) |
…ja käy ilmi, että ensimmäisellä positiivisella elementillä on numero \(66\). Vastaavasti viimeisellä negatiivisella arvolla on \(n=65\). Tarkastellaanpa sitä varmuuden vuoksi. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Siksi meidän on lisättävä ensimmäiset \(65\)-elementit. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Vastaus on valmis. |
Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).
Esimerkki (OGE).
Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\)th - \(42\) elementti mukaan lukien.
Ratkaisu:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Tässä tehtävässä sinun on myös löydettävä elementtien summa, mutta alkaen ei ensimmäisestä, vaan \(26\)th:sta. Meillä ei ole kaavaa tälle. Miten päättää? |
|
|
Etenemisellemme \(a_1=-33\) ja erolle \(d=4\) (lisäämme loppujen lopuksi neljä edelliseen elementtiin löytääksemme seuraavan). Kun tiedämme tämän, löydämme ensimmäisten \(42\)-uh-elementtien summan. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Nyt ensimmäisen \(25\):nnen elementin summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ja lopuksi laskemme vastauksen. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Vastaus: \(S=1683\).
Aritmeettista progressiota varten on useita muita kaavoja, joita emme ole tarkastelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Aritmeettinen progressio on lukusarja, jossa jokainen luku on suurempi (tai pienempi) kuin edellinen saman verran.
Tämä aihe on usein vaikea ja käsittämätön. Kirjainindeksit, etenemisen n:s termi, etenemisen ero - kaikki tämä on jotenkin hämmentävää, kyllä ... Selvitetään aritmeettisen etenemisen merkitys ja kaikki selviää heti.)
Aritmeettisen progression käsite.
Aritmeettinen progressio on hyvin yksinkertainen ja selkeä käsite. Epäillä? Turhaan.) Katso itse.
Kirjoitan keskeneräisen numerosarjan:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Voitko laajentaa tätä linjaa? Mitkä numerot tulevat seuraavaksi viiden jälkeen? Kaikki... öh..., lyhyesti sanottuna, kaikki ymmärtävät, että numerot 6, 7, 8, 9 jne. menevät pidemmälle.
Monimutkaistaan tehtävää. Annan keskeneräisen numerosarjan:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Voit tarttua kuvioon, laajentaa sarjaa ja nimetä seitsemäs rivin numero?
Jos tajusit, että tämä luku on 20 - onnittelen sinua! Et vain tuntenut aritmeettisen progression avainkohdat, mutta myös käyttänyt niitä menestyksekkäästi liiketoiminnassa! Jos et ymmärrä, lue.
Käännetään nyt avainkohdat tuntemuksista matematiikkaan.)
Ensimmäinen keskeinen kohta.
Aritmeettinen progressio käsittelee lukusarjoja. Tämä on aluksi hämmentävää. Olemme tottuneet ratkaisemaan yhtälöitä, rakentamaan kaavioita ja kaikkea muuta ... Ja sitten laajenna sarjaa, etsi sarjan numero ...
Se on okei. Progressiot ovat vain ensimmäinen tutustuminen matematiikan uuteen haaraan. Osio on nimeltään "Sarja", ja se toimii numerosarjojen ja lausekkeiden kanssa. Totu siihen.)
Toinen keskeinen kohta.
Aritmeettisessa progressiossa mikä tahansa luku eroaa edellisestä samalla määrällä.
Ensimmäisessä esimerkissä tämä ero on yksi. Minkä numeron valitsetkin, se on yksi enemmän kuin edellinen. Toisessa - kolme. Mikä tahansa luku on kolme kertaa suurempi kuin edellinen. Itse asiassa juuri tämä hetki antaa meille mahdollisuuden tarttua kuvioon ja laskea seuraavat luvut.
Kolmas keskeinen kohta.
Tämä hetki ei ole silmiinpistävä, kyllä... Mutta erittäin, erittäin tärkeä. Täällä hän on: jokainen etenemisnumero on paikallaan. Siellä on ensimmäinen numero, on seitsemäs, on neljäkymmentäviides ja niin edelleen. Jos sekoitat ne satunnaisesti, kuvio katoaa. Myös aritmeettinen progressio katoaa. Se on vain sarja numeroita.
Se on koko pointti.
Tietenkin uudet termit ja merkinnät näkyvät uudessa aiheessa. Heidän on tiedettävä. Muuten et ymmärrä tehtävää. Sinun on esimerkiksi päätettävä jotain seuraavista:
Kirjoita muistiin aritmeettisen progression (a n) kuusi ensimmäistä termiä, jos a 2 = 5, d = -2,5.
Inspiroiko se?) Kirjeitä, joitain hakemistoja... Eikä tehtävä muuten voisi olla helpompaa. Sinun tarvitsee vain ymmärtää termien ja merkintöjen merkitys. Nyt hallitsemme tämän asian ja palaamme tehtävään.
Termit ja nimitykset.
Aritmeettinen progressio on numerosarja, jossa jokainen numero on erilainen kuin edellinen samalla määrällä.
Tätä arvoa kutsutaan . Käsittelemme tätä käsitettä yksityiskohtaisemmin.
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettinen etenemisero on määrä, jolla mikä tahansa etenemisluku lisää edellinen.
Yksi tärkeä pointti. Kiinnitä huomiota sanaan "lisää". Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että jokainen etenemisluku saadaan lisäämällä aritmeettisen progression ero edelliseen numeroon.
Lasketaan vaikka toinen rivin numerot, on välttämätöntä ensimmäinen määrä lisätä juuri tämä aritmeettisen progression ero. Laskemiseen viides- ero on välttämätön lisätä to neljäs no jne.
Aritmeettinen etenemisero voi olla positiivinen silloin jokainen sarjan numero osoittautuu todelliseksi enemmän kuin edellinen. Tätä etenemistä kutsutaan lisääntyy. Esimerkiksi:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tässä jokainen numero lisäämällä positiivinen luku, +5 edelliseen.
Ero voi olla negatiivinen silloin jokainen numero sarjassa on vähemmän kuin edellinen. Tätä kehitystä kutsutaan (et usko sitä!) vähenee.
Esimerkiksi:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Täällä myös jokainen numero saadaan lisäämällä edelliseen, mutta jo negatiiviseen numeroon, -5.
Muuten, kun työskennellään etenemisen kanssa, on erittäin hyödyllistä määrittää välittömästi sen luonne - onko se lisääntymässä vai laskemassa. Se auttaa paljon löytämään oman suuntasi päätöksessä, havaitsemaan virheet ja korjaamaan ne ennen kuin on liian myöhäistä.
Aritmeettinen etenemisero yleensä merkitään kirjaimella d.
Kuinka löytää d? Erittäin yksinkertainen. Se on vähennettävä mistä tahansa sarjan numerosta Edellinen määrä. Vähentää. Muuten, vähennyksen tulosta kutsutaan "eroksi".)
Määritellään esim. d kasvavalle aritmeettiselle progressiolle:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Otamme minkä tahansa haluamasi luvun rivistä, esimerkiksi 11. Vähennä siitä edellinen numero nuo. kahdeksan:
Tämä on oikea vastaus. Tässä aritmeettisessa progressiossa ero on kolme.
Voit vain ottaa mikä tahansa määrä etenemistä, koska tiettyä etenemistä varten d-aina sama. Ainakin jossain rivin alussa, ainakin keskellä, ainakin missä tahansa. Et voi ottaa vain ensimmäistä numeroa. Ihan ensimmäisen numeron takia ei aikaisempaa.)
Muuten, sen tietäen d = 3, tämän etenemisen seitsemännen numeron löytäminen on hyvin yksinkertaista. Lisäämme 3 viidenteen numeroon - saamme kuudennen, siitä tulee 17. Lisäämme kolme kuudenteen numeroon, saamme seitsemännen numeron - kaksikymmentä.
Määritellään d laskeva aritmeettinen progressio:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Muistutan teitä siitä, että riippumatta merkkejä, määrittää d tarvitaan mistä tahansa numerosta ottaa edellinen pois. Valitsemme minkä tahansa määrän etenemistä, esimerkiksi -7. Hänen edellinen numeronsa on -2. Sitten:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmeettisen progression ero voi olla mikä tahansa luku: kokonaisluku, murtoluku, irrationaalinen, mikä tahansa.
Muut termit ja nimitykset.
Jokaista sarjan numeroa kutsutaan aritmeettisen progression jäsen.
Jokainen etenemisen jäsen on hänen numeronsa. Numerot ovat tiukasti järjestyksessä, ilman mitään temppuja. Ensimmäinen, toinen, kolmas, neljäs jne. Esimerkiksi etenemisessä 2, 5, 8, 11, 14, ... kaksi on ensimmäinen jäsen, viisi on toinen, yksitoista on neljäs, no, ymmärräthän...) Ymmärrä selvästi - itse numerot voi olla mitä tahansa, kokonaista, murto-osaa, negatiivista tai mitä tahansa, mutta numerointi- ehdottomasti järjestyksessä!
Kuinka kirjoittaa edistyminen yleisessä muodossa? Ei ongelmaa! Jokainen sarjan numero on kirjoitettu kirjaimella. Aritmeettisen progression merkitsemiseen käytetään yleensä kirjainta a. Jäsennumero näkyy oikeassa alakulmassa olevasta hakemistosta. Jäsenet kirjoitetaan pilkuilla (tai puolipisteillä) erotettuina näin:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 on ensimmäinen numero a 3-kolmas jne. Ei mitään hankalaa. Voit kirjoittaa tämän sarjan lyhyesti näin: (a n).
On edistymistä äärellinen ja ääretön.
perimmäinen etenemisessä on rajoitettu määrä jäseniä. Viisi, kolmekymmentäkahdeksan, mitä tahansa. Mutta se on rajallinen luku.
Loputon eteneminen - siinä on ääretön määrä jäseniä, kuten saatat arvata.)
Voit kirjoittaa lopullisen etenemisen tällaisen sarjan läpi, kaikki jäsenet ja piste lopussa:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Tai näin, jos jäseniä on paljon:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Lyhyessä merkinnässä sinun on lisäksi ilmoitettava jäsenmäärä. Esimerkiksi (kahdeksallekymmenelle jäsenelle) näin:
(a n), n = 20
Ääretön eteneminen voidaan tunnistaa rivin lopussa olevasta ellipsistä, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä.
Nyt voit jo ratkaista tehtäviä. Tehtävät ovat yksinkertaisia, pelkästään aritmeettisen etenemisen merkityksen ymmärtämiseksi.
Esimerkkejä aritmeettisen etenemisen tehtävistä.
Katsotaanpa tarkemmin yllä olevaa tehtävää:
1. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression (a n) kuusi ensimmäistä jäsentä, jos a 2 = 5, d = -2,5.
Käännämme tehtävän ymmärrettävälle kielelle. Annettu ääretön aritmeettinen progressio. Tämän etenemisen toinen numero tunnetaan: a 2 = 5. Tunnettu etenemisero: d = -2,5. Meidän on löydettävä tämän kehityksen ensimmäinen, kolmas, neljäs, viides ja kuudes jäsen.
Selvyyden vuoksi kirjoitan sarjan ongelman tilanteen mukaan. Ensimmäiset kuusi jäsentä, kun toinen jäsen on viisi:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...
a 3 = a 2 + d
Korvaamme lausekkeen a 2 = 5 ja d = -2,5. Älä unohda miinusta!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Kolmas termi on pienempi kuin toinen. Kaikki on loogista. Jos luku on suurempi kuin edellinen negatiivinen arvo, joten itse numero on pienempi kuin edellinen. Edistyminen vähenee. Okei, otetaan se huomioon.) Käsittelemme sarjamme neljättä jäsentä:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Joten termit kolmannesta kuudenteen on laskettu. Tästä syntyi sarja:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Vielä on löydettävä ensimmäinen termi a 1 tunnetun toisen mukaan. Tämä on askel toiseen suuntaan, vasemmalle.) Siten aritmeettisen etenemisen ero d ei pidä lisätä a 2, a ottaa mukaan:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Siinä kaikki. Tehtävän vastaus:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Ohimennen huomautan, että ratkaisimme tämän tehtävän toistuva tapa. Tämä kauhea sana tarkoittaa vain etenemisen jäsenen etsimistä edellisellä (viereisellä) numerolla. Muita tapoja työskennellä etenemisen kanssa käsitellään myöhemmin.
Tästä yksinkertaisesta tehtävästä voidaan tehdä yksi tärkeä johtopäätös.
Muistaa:
Jos tiedämme ainakin yhden aritmeettisen progression jäsenen ja eron, voimme löytää minkä tahansa tämän etenemisen jäsenen.
Muistaa? Tämä yksinkertainen päätelmä antaa meille mahdollisuuden ratkaista useimmat tämän aiheen koulukurssin ongelmista. Kaikki tehtävät pyörivät kolmen pääparametrin ympärillä: aritmeettisen progression jäsen, progression erotus, progression jäsenen lukumäärä. Kaikki.
Tietenkään kaikkea aiempaa algebraa ei peruuteta.) Epäyhtälöt, yhtälöt ja muut asiat liittyvät etenemiseen. Mutta etenemisen mukaan- Kaikki pyörii kolmen parametrin ympärillä.
Harkitse esimerkiksi joitain suosittuja tehtäviä tästä aiheesta.
2. Kirjoita lopullinen aritmeettinen eteneminen sarjana, jos n=5, d=0,4 ja a 1=3,6.
Täällä kaikki on yksinkertaista. Kaikki on jo annettu. Sinun on muistettava, kuinka aritmeettisen progression jäsenet lasketaan, lasketaan ja kirjoitetaan muistiin. On suositeltavaa olla ohittamatta sanoja tehtäväehdossa: "lopullinen" ja " n = 5". Jotta ei lasketa ennen kuin olet täysin sinisilmäinen.) Tässä etenemisessä on vain 5 (viisi) jäsentä:
a 2 \u003d a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Jää vielä kirjoittaa vastaus ylös:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Toinen tehtävä:
3. Selvitä, onko luku 7 aritmeettisen progression (a n) jäsen, jos a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kuka tietää? Kuinka määritellä jotain?
Miten-miten... Kyllä, kirjoita eteneminen sarjan muodossa ja katso tuleeko seitsemän vai ei! Me uskomme:
a 2 \u003d a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nyt on selvästi nähtävissä, että meitä on vain seitsemän lipsahti läpi 6,5 ja 7,7 välillä! Seitsemän ei päässyt lukusarjaamme, ja siksi seitsemän ei ole annetun etenemisen jäsen.
Vastaus: ei.
Ja tässä on tehtävä, joka perustuu GIA:n todelliseen versioon:
4. Useita peräkkäisiä aritmeettisen progression jäseniä kirjoitetaan:
...; viisitoista; X; 9; 6; ...
Tässä sarja ilman loppua ja alkua. Ei jäsennumeroita, ei eroa d. Se on okei. Ongelman ratkaisemiseksi riittää, että ymmärrät aritmeettisen progression merkityksen. Katsotaan ja katsotaan mitä voimme tietää tältä riviltä? Mitkä ovat kolmen pääparametrin parametrit?
Jäsennumerot? Tässä ei ole ainuttakaan numeroa.
Mutta on kolme numeroa ja - huomio! - sana "peräkkäinen" kunnossa. Tämä tarkoittaa, että luvut ovat ehdottomasti järjestyksessä, ilman aukkoja. Onko tässä rivissä kaksi? naapuri tunnetut numerot? Kyllä on! Nämä ovat 9 ja 6. Voimme siis laskea aritmeettisen progression eron! Vähennämme kuudesta Edellinen numero, ts. yhdeksän:
Tyhjiä paikkoja on jäljellä. Mikä luku on x:n edellinen luku? Viisitoista. Joten x voidaan helposti löytää yksinkertaisella summauksella. Lisää 15:een aritmeettisen progression ero:
Siinä kaikki. Vastaus: x = 12
Ratkaisemme seuraavat ongelmat itse. Huomaa: nämä palapelit eivät ole kaavoja varten. Puhtaasti aritmeettisen progression merkityksen ymmärtämiseksi.) Kirjoitamme vain sarjan numeroita-kirjaimia, katsomme ja ajattelemme.
5. Etsi aritmeettisen progression ensimmäinen positiivinen termi, jos a 5 = -3; d = 1,1.
6. Tiedetään, että luku 5,5 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 = 1,6; d = 1,3. Määritä tämän termin luku n.
7. Tiedetään, että aritmeettisessa progressiossa a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Etsi 3.
8. Useita peräkkäisiä aritmeettisen progression jäseniä kirjoitetaan:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Etsi etenemisen termi, joka on merkitty kirjaimella x.
9. Juna lähti liikkeelle asemalta asteittain nostaen nopeuttaan 30 metriä minuutissa. Mikä on junan nopeus viiden minuutin kuluttua? Anna vastauksesi yksikössä km/h.
10. Tiedetään, että aritmeettisessa progressiossa a 2 = 5; a 6 = -5. Etsi 1.
Vastaukset (sekaisin): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; neljä.
Kaikki onnistui? Ihana! Voit oppia aritmeettista progressiota korkeammalla tasolla seuraavilla tunneilla.
Eikö kaikki mennyt? Ei ongelmaa. Erikoisosastossa 555 kaikki nämä palapelit on jaoteltu pala palalta.) Ja tietysti kuvataan yksinkertainen käytännön tekniikka, joka korostaa välittömästi tällaisten tehtävien ratkaisua selvästi, selkeästi, kuin kämmenelläsi!
Muuten, junaa koskevassa palapelissä on kaksi ongelmaa, joihin ihmiset usein kompastuvat. Yksi - puhtaasti etenemisen perusteella ja toinen - yhteinen kaikille matematiikan ja myös fysiikan tehtäville. Tämä on ulottuvuuksien käännös yhdestä toiseen. Se osoittaa, kuinka nämä ongelmat pitäisi ratkaista.
Tällä oppitunnilla tarkastelimme aritmeettisen progression perusmerkitystä ja sen pääparametreja. Tämä riittää ratkaisemaan melkein kaikki tämän aiheen ongelmat. Lisätä d numeroihin, kirjoita sarja, kaikki päätetään.
Sormiratkaisu toimii hyvin sarjan hyvin lyhyissä osissa, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä. Jos sarja on pidempi, laskelmat vaikeutuvat. Jos esimerkiksi kysymyksen tehtävässä 9, vaihda "viisi minuuttia" päällä "kolmekymmentäviisi minuuttia" ongelma pahenee paljon.)
Ja on myös tehtäviä, jotka ovat pohjimmiltaan yksinkertaisia, mutta laskelmien kannalta täysin absurdeja, esimerkiksi:
Annettu aritmeettinen progressio (a n). Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.
Ja mitä, lisäämme 1/6 monta, monta kertaa?! Onko mahdollista tappaa itsesi!?
Voit.) Jos et tiedä yksinkertaista kaavaa, jolla voit ratkaista tällaiset tehtävät minuutissa. Tämä kaava on seuraavassa oppitunnissa. Ja se ongelma ratkeaa siellä. Minuutissa.)
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Lukiossa (9. luokka) algebraa opiskellessa yksi tärkeimmistä aiheista on numeeristen sekvenssien opiskelu, joka sisältää progressioita - geometriaa ja aritmetiikkaa. Tässä artikkelissa tarkastelemme aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.
Mikä on aritmeettinen progressio?
Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen antaa tarkasteltavan etenemisen määritelmä sekä antaa peruskaavat, joita käytetään edelleen ongelmien ratkaisemisessa.
Tiedetään, että jossain algebrallisessa etenemisessä 1. termi on 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.
Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvaamme siihen ehdosta tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) / 6 = 2. Siten tehtävän ensimmäinen osa on vastattu.
Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. jäseneen, sinun tulee käyttää algebrallisen etenemisen määritelmää, eli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.
Esimerkki 3: edistyminen
Monimutkaistakaamme ongelman tilaa entisestään. Nyt sinun on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voimme antaa seuraavan esimerkin: annetaan kaksi lukua, esimerkiksi 4 ja 5. On tarpeen tehdä algebrallinen progressio, jotta näiden väliin mahtuu vielä kolme termiä.
Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, on ymmärrettävä, minkä paikan annetut numerot vievät tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, sitten 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme tehtävään, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alkaen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tässä ero ei ole kokonaisluku, vaan se on rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.
Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat jäsenet. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 d mikä osui yhteen ongelman tilan kanssa.
Esimerkki 4: Jakson ensimmäinen jäsen
Jatkamme esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisun kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä tehtävää: annetaan kaksi lukua, joissa 15 = 50 ja 43 = 37. On selvitettävä, mistä luvusta tämä sarja alkaa.
Tähän asti käytetyissä kaavoissa oletetaan a 1:n ja d:n tuntemista. Näistä numeroista ei tiedetä ongelman tilassa mitään. Kirjoitetaan kuitenkin lausekkeet jokaiselle termille, josta meillä on tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.
Määritetty järjestelmä on helpoin ratkaista, jos ilmaiset 1:n jokaisessa yhtälössä ja vertaat sitten saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet, saamme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, josta ero d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta annetaan).
Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Jos tuloksesta on epäilyksiä, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. jäsenen, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.
Esimerkki #5: Summa
Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä ratkaisuista aritmeettisen progression summalle.
Olkoon seuraava numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?
Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma voidaan ratkaista, eli laskea peräkkäin kaikki numerot, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen progressio ja sen erotus on 1. Summan kaavaa soveltamalla saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotiaana, pystyi ratkaisemaan sen mielessään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan reunoilla sijaitsevia lukupareja, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), niin oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.
Esimerkki #6: termien summa n:stä m:ään
Toinen tyypillinen esimerkki aritmeettisen progression summasta on seuraava: annettuna numerosarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on löydettävä, mikä on sen ehtojen summa 8 - 14.
Ongelma ratkaistaan kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen 8-14 ja sitten niiden yhteenvedon peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole tarpeeksi työläs. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on yleismaailmallisempi.
Ideana on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Molemmissa tapauksissa kirjoitamme summalle kaksi lauseketta:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Koska n > m, on selvää, että 2 summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otetaan näiden summien välinen erotus ja lisätään siihen termi a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), niin saadaan tarvittava vastaus ongelmaan. Meillä on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1 - m / 2). On välttämätöntä korvata kaavat n:n ja m:n kohdalla tähän lausekkeeseen. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.
Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä haluat löytää, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.
Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jaa yleinen tehtävä erillisiin alitehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).
Jos saavutetun tuloksen suhteen on epäilyksiä, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Kuinka löytää aritmeettinen progressio, selvisi. Kun sen tajuaa, se ei ole niin vaikeaa.
Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)
Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.
Siten asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla
Aritmeettisen progression ominaisuudet
1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo
Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tämän väitteen perusteella on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.
Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan
Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle
Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.
2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla
Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.
3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle
4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa
Tähän loppuu teoreettinen materiaali ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.
Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...
Ratkaisu:
Tilanteen mukaan meillä on
Määritä etenemisvaihe
Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin
Esimerkki2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemällä jäsenellä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.
Ratkaisu:
Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan
Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen
Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi
Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa
Ilman monimutkaisia laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.
Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle
ja löytää ensimmäinen
Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin
Etenemisen osan summan löytäminen
ja ensimmäisen 100 summa
Jakson summa on 250.
Esimerkki 4
Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:
a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.
Ratkaisu:
Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne
Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa
Yksinkertaistusten tekeminen
ja ratkaise toisen asteen yhtälö
Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.
Esimerkki 5
ratkaise yhtälö
1+3+5+...+x=307.
Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron
Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, harkitse mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.
Numeerinen sarja on numeerinen joukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sarjan jäseniksi. Sekvenssielementin järjestysnumero ilmaistaan indeksillä:
Sarjan ensimmäinen elementti;
Jakson viides elementti;
- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.
Sekvenssielementin arvon ja sen järjestysluvun välillä on riippuvuus. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen sen voi sanoa sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:
Sarja voidaan määrittää kolmella tavalla:
1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.
Esimerkiksi Joku päätti tehdä henkilökohtaisen ajanhallinnan ja aluksi laskea, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Kirjoittamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:
Taulukon ensimmäinen rivi sisältää viikonpäivän numeron, toinen - aika minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia ja eli perjantaina vain 15.
2 . Järjestys voidaan määrittää käyttämällä n:nnen jäsenen kaavaa.
Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan suoraan kaavana.
Esimerkiksi jos , niin
Löytääksemme sekvenssielementin arvon tietyllä numerolla korvaamme elementin numeron n:nnen jäsenen kaavassa.
Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon sen sijaan funktion yhtälössä:
Jos esim. 
, sitten
Jälleen kerran huomautan, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, vain luonnollinen luku voi olla argumentti.
3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee jonon numerolla n olevan jäsenen arvon riippuvuuden edellisten jäsenten arvosta. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron, jotta voimme löytää sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.
Harkitse esimerkiksi järjestystä 
, 
Voimme löytää sekvenssin jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:
Toisin sanoen joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen jäsenen arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä sekvensointitapaa kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.
Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on numeerisen sekvenssin yksinkertainen erikoistapaus.
Aritmeettinen progressio kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla.
Numeroon soitetaan aritmeettisen progression ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla.
If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.
Esimerkiksi 2; 5; kahdeksan; yksitoista;...
Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on hiipumassa.
Esimerkiksi 2; -yksi; - neljä; -7;...
Jos , Kaikki etenemisen jäsenet ovat yhtä suuria kuin sama määrä, ja eteneminen on paikallaan.
Esimerkiksi 2;2;2;2;...
Aritmeettisen progression pääominaisuus:
Katsotaanpa kuvaa.
Näemme sen
, ja samaan aikaan
Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:
.
Jaa yhtälön molemmat puolet kahdella:
Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettinen keskiarvo:
Lisäksi koska
, ja samaan aikaan
, sitten
, ja siten
Jokainen aritmeettisen progression jäsen alkaa otsikko="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
jäsenkaava.
Näemme, että aritmeettisen progression jäsenille seuraavat suhteet pätevät:
ja lopuksi
Saimme n:nnen termin kaava.
TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista termeillä ja . Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen jäsenistä.
Aritmeettisen progression n jäsenen summa.
Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä tasavälein olevien termien summat ovat yhtä suuret:
Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n jäsentä. Olkoon tämän etenemisen n jäsenten summa yhtä suuri kuin .
Järjestä etenemisen ehdot ensin nousevaan numerojärjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:
Yhdistetään pariksi:
Suluissa oleva summa on , parien lukumäärä on n.
Saamme:
Niin, aritmeettisen progression n jäsenen summa voidaan löytää kaavoilla:
Harkitse aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.
1 . Järjestys saadaan n:nnen jäsenen kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.
Osoittakaamme, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.
Olemme saaneet, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen ero ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.
2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...
a) Etsi etenemisen 31 termiä.
b) Päätä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.
a) Näemme sen;
Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.
Yleisesti 
Meidän tapauksessamme 
, siksi 
