Matematiikan kokeen suorittamiseen on yhä vähemmän aikaa. Tilanne kuumenee, koululaisten, vanhempien, opettajien ja ohjaajien hermot venyvät yhä enemmän. Päivittäiset syvälliset matematiikan tunnit auttavat sinua lievittämään hermostuneita jännitteitä. Loppujen lopuksi mikään, kuten tiedät, lataa positiivisesti eikä auta kokeiden läpäisyssä, kuin luottamus omiin kykyihinsä ja tietoihinsa. Tänään matematiikan ohjaaja kertoo logaritmisen ja eksponentiaalisen epäyhtälön järjestelmien ratkaisemisesta, tehtävistä, jotka perinteisesti aiheuttavat vaikeuksia monille nykyaikaisille lukiolaisille.

Jotta voit oppia ratkaisemaan C3-tehtäviä matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta, matematiikan ohjaajana suosittelen, että kiinnität huomiota seuraaviin tärkeisiin kohtiin.

1. Ennen kuin ryhdytään ratkaisemaan logaritmisen ja eksponentiaalisen epäyhtälön järjestelmiä, on tarpeen oppia ratkaisemaan kukin näistä epäyhtälötyypeistä erikseen. Erityisesti, jotta ymmärrettäisiin, kuinka sallittujen arvojen alue löydetään, suoritetaan vastaavia logaritmis- ja eksponentiaalisten lausekkeiden muunnoksia. Voit ymmärtää joitain tähän liittyviä salaisuuksia tutkimalla artikkeleita "" ja "".

2. Samalla on ymmärrettävä, että eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisu ei aina rajoitu kunkin epäyhtälön ratkaisemiseen erikseen ja siitä aiheutuvien aukkojen ylittämiseen. Joskus, kun tiedetään järjestelmän yhden epäyhtälön ratkaisu, toisen ratkaisu yksinkertaistuu suuresti. Matematiikan ohjaajana, joka valmistaa opiskelijoita loppukokeisiin USE-muodossa, paljastan tässä artikkelissa pari tähän liittyvää salaisuutta.

3. Sinun on ymmärrettävä itse selvästi ero risteyksen ja joukkojen liiton välillä. Tämä on yksi tärkeimmistä matemaattisista tiedoista, joita kokenut ammatillinen tutori yrittää antaa opiskelijalleen ensimmäisistä oppitunneista lähtien. Visuaalinen esitys joukkojen leikkauspisteestä ja liitosta on ns. "Euler-ympyrät".

Aseta risteys Joukkoa kutsutaan joukoksi, joka sisältää vain ne elementit, jotka jokaisessa näistä joukoista on.

Risteys

Kuva joukkojen leikkauspisteestä käyttämällä "Eulerin ympyröitä"

Sormen selitys. Dianalla on laukussaan "setti", joka koostuu ( kyniä, lyijykynä, hallitsijat, muistikirjat, kammat). Alicella on käsilaukussaan "setti", joka koostuu ( muistikirja, lyijykynä, peilit, muistikirjat, Kiovan kotletteja). Näiden kahden "joukon" leikkauspiste on "joukko", joka koostuu ( lyijykynä, muistikirjat), koska sekä Dianalla että Alicella on molemmat nämä "elementit".

Tärkeää muistaa! Jos epäyhtälön ratkaisu on väli ja epäyhtälön ratkaisu on väli, niin järjestelmien ratkaisu:

on väli joka on Risteys alkuperäiset intervallit. Tässä ja allajoku hahmoista title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} ja alla on päinvastainen merkki.

Sarjojen liitto kutsutaan joukoksi, joka koostuu kaikista alkuperäisten joukkojen elementeistä.

Toisin sanoen, jos annetaan kaksi joukkoa ja sitten heidän yhdistys tulee seuraavan muodon joukosta:

Kuva joukkojen liitosta käyttäen "Eulerin ympyröitä"

Sormen selitys. Edellisessä esimerkissä otettujen "joukkojen" liitto on "joukko", joka koostuu ( kyniä, lyijykynä, hallitsijat, muistikirjat, kammat, muistikirja, peilit, Kiovan kotletteja), koska se koostuu kaikista alkuperäisten "joukkojen" elementeistä. Yksi selvennys, joka ei välttämättä ole tarpeeton. Paljon ei voi sisältävät samoja elementtejä.

Tärkeää muistaa! Jos epäyhtälön ratkaisu on väli ja epäyhtälön ratkaisu on väli, niin joukon ratkaisu on:

on väli joka on yhdistys alkuperäiset intervallit.

Siirrytään suoraan esimerkkeihin.

Esimerkki 1 Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Ongelman C3 ratkaisu.

1. Ensin ratkaistaan ​​ensimmäinen epäyhtälö. Korvausta käyttämällä siirrymme epäyhtälöön:

2. Ratkaisemme nyt toisen epätasa-arvon. Sen sallittujen arvojen alueen määrää epäyhtälö:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Hyväksyttävällä alueella, kun otetaan huomioon, että logaritmin kantaosa title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Lukuun ottamatta ratkaisuja, jotka eivät ole sallittujen arvojen alueella, saadaan väli

3. Vastaa järjestelmä epätasa-arvo tulee Risteys

Tuloksena olevat aukot numeroviivalla. Ratkaisu on niiden risteys

Esimerkki 2 Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Ongelman C3 ratkaisu.

1. Ensin ratkaistaan ​​ensimmäinen epäyhtälö. Kerro molemmat osat arvolla title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Siirrytään käänteiseen korvaamiseen:

2.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Graafinen esitys tuloksena olevasta jänteestä. Järjestelmän ratkaisu - niiden leikkauspiste

Esimerkki 3 Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Ongelman C3 ratkaisu.

1. Ensin ratkaistaan ​​ensimmäinen epäyhtälö. Kerro molemmat osat arvolla title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Substituutiota käyttämällä siirrymme seuraavaan epäyhtälöön:

Siirrytään käänteiseen korvaamiseen:

2. Ratkaisemme nyt toisen epätasa-arvon. Määritetään ensin tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alue:

ql-right-eqno">

Huomatkaa että

Sitten, ottaen huomioon sallittujen arvojen alueen, saamme:

3. Löydämme epäyhtälöiden yleisen ratkaisun. Solmupisteiden saatujen irrationaalisten arvojen vertaaminen ei ole tässä esimerkissä mitenkään triviaali tehtävä. Tämä voidaan tehdä seuraavalla tavalla. Koska

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

sitten ja lopullinen vastaus järjestelmään on:

Esimerkki 4 Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Tehtävän С3 ratkaisu.

1. Ratkaistaan ​​ensin toinen epäyhtälö:

2. Alkuperäisen järjestelmän ensimmäinen epäyhtälö on logaritminen muuttuja-kanta-epäyhtälö. Kätevä tapa ratkaista tällaiset epäyhtälöt on kuvattu artikkelissa "Monimutkaiset logaritmiset epäyhtälöt", se perustuu yksinkertaiseen kaavaan:

Etumerkin sijaan voidaan korvata mikä tahansa epätasa-arvomerkki, pääasia, että se on sama molemmissa tapauksissa. Tämän kaavan käyttäminen yksinkertaistaa suuresti epäyhtälön ratkaisua:

Määritetään nyt tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alue. Se annetaan seuraavalla järjestelmällä:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

On helppo nähdä, että samalla tämä väli on myös ratkaisu epäyhtälöimme.

3. Lopullinen vastaus alkuperäiseen järjestelmät epätasa-arvo tulee Risteys saadut intervallit, eli

Esimerkki 5 Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Ongelman ratkaisu C3.

1. Ensin ratkaistaan ​​ensimmäinen epäyhtälö. Käytämme substituutiota Siirrymme seuraavaan neliölliseen epäyhtälöön:

2. Ratkaisemme nyt toisen epätasa-arvon. Sen sallittujen arvojen alueen määrittää järjestelmä:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa sekajärjestelmää:

Kelvollisten arvojen alueella, eli otsikolla="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Ottaen huomioon sallittujen arvojen alueen, saamme:

3. Alkuperäisen lopullinen päätös järjestelmät On

Ongelman C3 ratkaisu.

1. Ensin ratkaistaan ​​ensimmäinen epäyhtälö. Vastaavilla muunnoksilla saamme sen muotoon:

2. Ratkaisemme nyt toisen epätasa-arvon. Sen kelvollisten arvojen alueen määrittää span: title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Tämä vastaus kuuluu täysin eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alueelle.

3. Ylittämällä edellisissä kappaleissa saadut välit, saamme lopullisen vastauksen epätasa-arvojärjestelmään:

Tänään olemme ratkaisseet logaritmisen ja eksponentiaalisen epäyhtälön järjestelmiä. Tämän tyyppisiä tehtäviä tarjottiin USE:n kokeiluversioina matematiikan alalla koko kuluvan lukuvuoden ajan. USE:n valmistautumisesta kokeneena matematiikan tutorina voin kuitenkin sanoa, että tämä ei tarkoita ollenkaan, että vastaavat tehtävät olisivat kesäkuussa USE:n todellisissa versioissa matematiikassa.

Haluan esittää yhden varoituksen, joka on osoitettu ensisijaisesti ohjaajille ja koulun opettajille, jotka ovat mukana valmistamassa lukiolaisia ​​matematiikan KÄYTTÖÖN. On erittäin vaarallista valmistaa koululaisia ​​kokeeseen tiukasti annetuista aiheista, koska tässä tapauksessa on olemassa vaara, että se "täytetään" kokonaan, vaikka hieman muutetaan aiemmin ilmoitettua tehtävämuotoa. Matematiikan koulutuksen on oltava täydellinen. Hyvät kollegat, älkää vertaako oppilaita robotteihin ns. "koulutuksella" tietyntyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi. Loppujen lopuksi ei ole mitään pahempaa kuin ihmisen ajattelun formalisointi.

Onnea ja luovaa menestystä kaikille!

Sergei Valerievich

Jos yrität, on kaksi vaihtoehtoa: se toimii tai se ei toimi. Jos et yritä, on vain yksi.
© Kansanviisautta

Useimpien matemaattisten ongelmien ratkaisu liittyy jotenkin numeeristen, algebrallisten tai funktionaalisten lausekkeiden muuntamiseen. Tämä koskee erityisesti ratkaisua. Matematiikan USE-muunnelmissa tämäntyyppinen tehtävä sisältää erityisesti tehtävän C3. C3-tehtävien ratkaisemisen oppiminen on tärkeää paitsi kokeen onnistuneen läpäisyn kannalta, myös siitä syystä, että tämä taito on hyödyllinen opiskellessa korkeakoulujen matematiikan kurssia.

Suorittaessasi tehtäviä C3 joudut ratkaisemaan erilaisia ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Niiden joukossa on rationaalisia, irrationaalisia, eksponentiaalisia, logaritmisia, trigonometrisiä, sisältäviä moduuleja (absoluuttisia arvoja) sekä yhdistettyjä. Tässä artikkelissa käsitellään eksponentiaaliyhtälöiden ja epäyhtälöiden päätyyppejä sekä erilaisia ​​menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Lue muun tyyppisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisesta otsikosta "" artikkeleissa, jotka on omistettu menetelmille C3-ongelmien ratkaisemiseksi matematiikan USE-muunnelmista.

Ennen kuin siirryt erityisten analyysiin eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt, matematiikan ohjaajana, ehdotan, että päivität jotain tarvitsemaamme teoreettista materiaalia.

Eksponentti funktio

Mikä on eksponentiaalinen funktio?

Näytä toiminto y = x, missä a> 0 ja a≠ 1, soitettu eksponentti funktio.

Main eksponentiaalisen funktion ominaisuudet y = x:

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta

Eksponentiaalifunktion kuvaaja on näytteilleasettaja:

Kuvaajat eksponentiaalisista funktioista (eksponentit)

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu

suuntaa antava kutsutaan yhtälöiksi, joissa tuntematon muuttuja löytyy vain minkä tahansa potenssien eksponenteista.

Ratkaisuja varten eksponentiaaliyhtälöt sinun on tiedettävä ja osattava käyttää seuraavaa yksinkertaista lausetta:

Lause 1. eksponentiaalinen yhtälö a f(x) = a g(x) (missä a > 0, a≠ 1) vastaa yhtälöä f(x) = g(x).

Lisäksi on hyödyllistä muistaa peruskaavat ja toiminnot asteilla:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: käytä yllä olevia kaavoja ja korvauksia:

Sitten yhtälöstä tulee:

Saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on positiivinen:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tämä tarkoittaa, että tällä yhtälöllä on kaksi juuria. Löydämme ne:

Palataksemme korvaamiseen, saamme:

Toisella yhtälöllä ei ole juuria, koska eksponentiaalinen funktio on tiukasti positiivinen koko määritelmän alueella. Ratkaistaan ​​toinen:

Ottaen huomioon lauseessa 1 sanotun, siirrymme vastaavaan yhtälöön: x= 3. Tämä on vastaus tehtävään.

Vastaus: x = 3.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: yhtälöllä ei ole rajoituksia sallittujen arvojen alueelle, koska radikaalilauseke on järkevä mille tahansa arvolle x(eksponentti funktio y = 9 4 -x positiivinen eikä nolla).

Ratkaisemme yhtälön vastaavilla muunnoksilla käyttämällä kerto- ja tehojakosääntöjä:

Viimeinen siirto suoritettiin Lauseen 1 mukaisesti.

Vastaus:x= 6.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: alkuperäisen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa 0,2:lla x. Tämä siirtymä on ekvivalentti, koska tämä lauseke on suurempi kuin nolla mille tahansa arvolle x(eksponentiaalinen funktio on ehdottomasti positiivinen alueellaan). Sitten yhtälö saa muodon:

Vastaus: x = 0.

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: yksinkertaistamme yhtälön alkeisyhtälöön vastaavilla muunnoksilla käyttämällä artikkelin alussa annettuja potenssien jako- ja kertolaskusääntöjä:

Jakamalla yhtälön molemmat puolet neljällä x, kuten edellisessä esimerkissä, on vastaava muunnos, koska tämä lauseke ei ole yhtä suuri kuin nolla millekään arvolle x.

Vastaus: x = 0.

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: toiminto y = 3x, joka seisoo yhtälön vasemmalla puolella, kasvaa. Toiminto y = —x-2/3, joka seisoo yhtälön oikealla puolella, pienenee. Tämä tarkoittaa, että jos näiden funktioiden kuvaajat leikkaavat, niin korkeintaan yhdessä pisteessä. Tässä tapauksessa on helppo arvata, että kuvaajat leikkaavat pisteen x= -1. Muita juuria ei tule olemaan.

Vastaus: x = -1.

Esimerkki 6 Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: yksinkertaistamme yhtälöä vastaavilla muunnoksilla pitäen kaikkialla mielessä, että eksponentiaalinen funktio on tiukasti suurempi kuin nolla mille tahansa arvolle x ja käyttämällä artikkelin alussa annettuja tuotteen ja osatehokkuuksien laskentasääntöjä:

Vastaus: x = 2.

Eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaiseminen

suuntaa antava kutsutaan epäyhtälöiksi, joissa tuntematon muuttuja sisältyy vain joidenkin potenssien eksponentteihin.

Ratkaisuja varten eksponentiaaliset epätasa-arvot vaaditaan seuraavan lauseen tuntemus:

Lause 2. Jos a> 1, sitten epätasa-arvo a f(x) > a g(x) vastaa saman merkityksen epäyhtälöä: f(x) > g(x). Jos 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) vastaa päinvastaisen merkityksen epäyhtälöä: f(x) < g(x).

Esimerkki 7 Ratkaise epäyhtälö:

Ratkaisu: edustaa alkuperäistä epäyhtälöä muodossa:

Jaa tämän epäyhtälön molemmat puolet 3 2:lla x, ja (funktion positiivisuuden vuoksi y= 3 2x) eriarvoisuusmerkki ei muutu:

Käytämme korvausta:

Sitten epätasa-arvo saa muodon:

Eli ratkaisu epäyhtälöön on väli:

siirryttäessä käänteiseen korvaukseen, saamme:

Vasemmanpuoleinen epäyhtälö, joka johtuu eksponentiaalisen funktion positiivisuudesta, täyttyy automaattisesti. Käyttämällä hyvin tunnettua logaritmin ominaisuutta siirrymme ekvivalenttiseen epäyhtälöön:

Koska asteen kanta on yhtä suurempi luku, ekvivalentti (lauseen 2 mukaan) on siirtymä seuraavaan epäyhtälöön:

Joten vihdoin saamme vastaus:

Esimerkki 8 Ratkaise epäyhtälö:

Ratkaisu: kirjoitamme epäyhtälö uudelleen muotoon käyttämällä kerto- ja potenssijakoominaisuuksia:

Otetaan uusi muuttuja:

Tällä korvauksella epätasa-arvo saa muodon:

Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 7:llä, saadaan seuraava ekvivalentti epäyhtälö:

Joten epäyhtälö täyttyy muuttujan seuraavilla arvoilla t:

Sitten, palataksemme korvaamiseen, saamme:

Koska asteen kanta tässä on suurempi kuin yksi, on (lauseen 2 mukaan) ekvivalenttia siirtyä epäyhtälöön:

Lopulta saamme vastaus:

Esimerkki 9 Ratkaise epäyhtälö:

Ratkaisu:

Jaamme epäyhtälön molemmat puolet lausekkeella:

Se on aina suurempi kuin nolla (koska eksponentiaalinen funktio on positiivinen), joten epäyhtälömerkkiä ei tarvitse muuttaa. Saamme:

t , jotka ovat välissä:

Siirtymällä käänteiseen substituutioon huomaamme, että alkuperäinen epäyhtälö jakautuu kahteen tapaukseen:

Ensimmäisellä epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja eksponentiaalisen funktion positiivisuuden vuoksi. Ratkaistaan ​​toinen:

Esimerkki 10 Ratkaise epäyhtälö:

Ratkaisu:

Paraabelin oksat y = 2x+2-x 2 on suunnattu alaspäin, joten sitä rajoittaa ylhäältä se arvo, jonka se saavuttaa huipussaan:

Paraabelin oksat y = x 2 -2x Indikaattorissa olevat +2 on suunnattu ylöspäin, mikä tarkoittaa, että sitä rajoittaa alhaalta arvo, jonka se saavuttaa yläosassaan:

Samalla toiminto osoittautuu alhaalta rajatuksi y = 3 x 2 -2x+2 yhtälön oikealla puolella. Se saavuttaa pienimmän arvonsa samassa pisteessä kuin indeksin paraabeli, ja tämä arvo on 3 1 = 3. Alkuperäinen epäyhtälö voi siis olla tosi vain, jos vasemmalla oleva funktio ja oikealla oleva funktio ottavat arvo , yhtä suuri kuin 3 (näiden funktioiden alueiden leikkauspiste on vain tämä luku). Tämä ehto täyttyy yhdessä pisteessä x = 1.

Vastaus: x= 1.

Oppia ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt, sinun on jatkuvasti koulutettava heidän ratkaisuaan. Erilaiset metodologiset käsikirjat, perusmatematiikan tehtäväkirjat, kilpailutehtäväkokoelmat, matematiikan tunnit koulussa sekä yksittäiset tunnit ammattitaitoisen tutorin kanssa voivat auttaa sinua tässä vaikeassa tehtävässä. Toivotan sinulle vilpittömästi menestystä kokeeseen valmistautumisessa ja loistavia tuloksia kokeessa.

Sergei Valerievich

P.S. Hyvät vieraat! Älä kirjoita kommentteihin pyyntöjä yhtälöiden ratkaisemiseksi. Valitettavasti minulla ei ole aikaa tähän ollenkaan. Tällaiset viestit poistetaan. Ole hyvä ja lue artikkeli. Ehkä siitä löydät vastauksia kysymyksiin, jotka eivät antaneet sinun ratkaista tehtävääsi yksin.

Irrationaalista eriarvoisuutta

Irrationaalinen epäyhtälö ymmärretään epäyhtälöksi, jossa tuntemattomat suuret ovat radikaalin merkin alla. Tällaisten epäyhtälöiden ratkaisu koostuu yleensä siitä, että ne joidenkin muunnosten avulla korvataan vastaavilla rationaalisilla yhtälöillä, epäyhtälöillä tai yhtälö- ja epäyhtälösysteemeillä (usein sekajärjestelmillä, eli sellaisilla, jotka sisältävät sekä yhtälöitä että epäyhtälöitä). , ja edelleen ratkaisu voi noudattaa yllä kuvattuja vaiheita. Nämä muunnokset ovat muuttujien muutoksen (uusien muuttujien käyttöönoton) ja tekijöiden jakamisen lisäksi myös eriarvoisuuden molempien osien kohoamista samaan tasoon. Tässä tapauksessa on kuitenkin tarpeen seurata siirtymien vastaavuutta epätasa-arvosta toiseen. Ajattelemattomalla eksponentiolla eriarvoisuuden juuret voidaan samanaikaisesti sekä menettää että saada. Esimerkiksi oikean epäyhtälön -1 neliöinti<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Tässä käytetty pääväite on kuitenkin totta: jos epäyhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, niin se on ekvivalentti siitä epäyhtälölle, joka saadaan termikohtaisella eksponentiolla.

Epäyhtälöjä tällä tavalla ratkottaessa on varottava, että ei hankita ylimääräisiä ratkaisuja. Siksi on hyödyllistä löytää mahdollisuuksien mukaan eriarvoisuuden määritelmäalue sekä ratkaisujen mahdollisten arvojen alue.

Eksponentiaaliset ja logaritmiset epäyhtälöt

Eksponentiaalisten ja logaritmien epäyhtälöiden ratkaisua edeltää vastaavien funktioiden ominaisuuksien tutkiminen; suorittaa monia tehtäviä eksponentiaalisten ja logaritmisten lausekkeiden muuntamiseksi; logaritmeja ja muuttujia eksponentissa sisältävien yhtälöiden ratkaisu. Ratkaisu yksinkertaisimmista epäyhtälöistä, joita tarkastellaan

jossa tarkoittaa yhtä epätasa-arvoa<,>,.

Asia on siinä, että tämä aihe esitellään yleensä täysin uutena, perustuen vain näiden funktioiden aiemmin tutkittuihin ominaisuuksiin. Se on mielestäni tarkoituksenmukaista yhdistää epäyhtälöiden ratkaisuun yleensä (eli jo tunnettuun algoritmiin). On huomattava, että intervallimenetelmää ei voi käyttää suoraan. Mutta erilaisten eksponentiaalisten ja logaritmien epäyhtälöiden ratkaisu perustuu seuraaviin sääntöihin:

Jos a>1, niin

Jos 0

Jos a>1, niin

Jos 0

Kun merkki tarkoittaa merkin päinvastaista merkitystä.

Mitä käyttämällä eksponentiaaliset ja logaritmiset epäyhtälöt yleensä pelkistetään rationaalisiksi, jotka voidaan jo ratkaista yllä kuvatulla intervallimenetelmällä.

Trigonometrisiä funktioita sisältävät epäyhtälöt

Tämä aihe on käsitelty huonosti oppikirjallisuudessa, ja joissakin oppikirjoissa se on yleensä jätetty opiskelujakson ulkopuolelle (kuten tämän työn luvussa I on jo mainittu). Trigonometrisista epäyhtälöistä otetaan yleensä huomioon vain yksinkertaisimmat tyypit.

Sitä vastoin tähän kohtaan liittyvässä käytännön osassa esitetyt tehtävät löytyvät kilpailutehtäväkokoelmista, hakijakokoelmista ja yliopistojen teknisten tiedekuntien pääsykokeiden aineistoista. Nuo. tämä materiaali ei sisälly vaadittavaan tutkimukseen ala- ja lukiossa, mutta on hyödyllinen.

Intervallimenetelmä on erityisen tehokas ratkaisemaan trigonometrisiä funktioita sisältäviä epäyhtälöitä. Kun tällä menetelmällä ratkaistaan ​​puhtaasti trigonometrisiä epäyhtälöitä, lukuakselin sijasta on kätevää käyttää numeroympyrää, joka jaetaan vastaavien trigonometristen yhtälöiden (osoittaja ja nimittäjä) juurilla kaariksi, joilla on sama rooli kuin intervalleilla. numeroakselilla. Näillä kaarilla ratkaistavaa epäyhtälöä vastaavalla trigonometrisella lausekkeella on vakiomerkit, jotka voidaan määrittää käyttämällä erillisen "kätevän" pisteen sääntöä ja juurten moninkertaisuuden ominaisuutta. Usein itse kaarien määrittämiseksi ei ole ollenkaan tarpeen löytää vastaavien yhtälöiden koko (ääretön) joukko juuria; Riittää, kun löytää näistä yhtälöistä tärkeimpien trigonometristen funktioiden (sini, kosini, tangentti, kotangentti) arvot ja merkitä näitä arvoja vastaavat numeroympyrän pisteet.

Voit käyttää numeroympyrää suoraan ratkaisemaan alkuperäisen trigonometrisen epäyhtälön intervallimenetelmällä, jos kaikilla funktioilla, joiden kautta epäyhtälö kirjoitetaan, on pääjakso (pienin positiivinen) tai missä m on jokin positiivinen kokonaisluku. Jos näiden funktioiden pääjakso on suurempi kuin tai, sinun tulee ensin muuttaa muuttujia ja käyttää sitten numeroympyrää.

Jos epäyhtälö sisältää sekä trigonometrisiä että muita funktioita, niin se tulee ratkaista numeerisen akselin avulla intervallimenetelmällä.

Kaikki näkemäni B7-ongelmat on muotoiltu pitkälti samalla tavalla: ratkaise yhtälö. Tässä tapauksessa itse yhtälöt kuuluvat johonkin kolmesta tyypistä:

1. logaritminen;
2. Demonstroiva;
3. Irrationaalinen.

Yleisesti ottaen kunkin yhtälötyypin täydellinen opas vie yli tusinaa sivua, mikä ylittää kokeen laajuuden. Siksi tarkastelemme vain yksinkertaisimpia tapauksia, jotka vaativat vaatimattomia perusteluja ja laskelmia. Tämä tieto riittää ratkaisemaan minkä tahansa B7-ongelman.

Matematiikassa termi "ratkaise yhtälö" tarkoittaa tietyn yhtälön kaikkien juurien joukon löytämistä tai sen osoittamista, että tämä joukko on tyhjä. Mutta vain numeroita voidaan syöttää USE-lomakkeeseen - ei joukkoja. Siksi, jos tehtävässä B7 oli useampi kuin yksi juuri (tai päinvastoin, ei yhtään) - ratkaisussa tehtiin virhe.

Logaritmiset yhtälöt

Logaritminen yhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka pelkistyy muotoon log a f(x) = k, missä a > 0, a≠ 1 on logaritmin kanta, f(x) on mielivaltainen funktio, k on jonkin verran vakio.

Tällainen yhtälö ratkaistaan ​​lisäämällä vakio k logaritmin etumerkin alle: k= loki a a k. Uuden logaritmin kanta on yhtä suuri kuin alkuperäisen kanta. Saamme yhtälölokin a f(x) = loki a a k, joka ratkaistaan ​​hylkäämällä logaritmi.

Huomaa, että ehdon mukaan a> 0, niin f(x) = a k> 0, ts. alkuperäinen logaritmi on olemassa.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: log 7 (8 − x) = 2.

Ratkaisu. loki 7 (8 − x) = 2 ⇔ log 7 (8 − x) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: log 0,5 (6 − x) = −2.

Ratkaisu. log 0,5 (6 − x) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Mutta entä jos alkuperäinen yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi kuin tavallinen loki a f(x) = k? Sitten vähennämme sen vakiomuotoon keräämällä kaikki logaritmit yhteen suuntaan ja numerot toiseen.

Jos alkuperäisessä yhtälössä on useampi kuin yksi logaritmi, sinun on etsittävä kunkin logaritmin alapuolella olevan funktion hyväksyttävien arvojen alue (RTV). Muutoin ylimääräisiä juuria voi ilmestyä.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x + 5) = 1.

Koska yhtälössä on kaksi logaritmia, löydämme ODZ:n:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Saamme, että ODZ on väli (−1, +∞). Nyt ratkaisemme yhtälön:

loki 5 ( x+ 1) + log 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Mutta x 2 = -6 ei täytä ODZ-kelpoisuutta. Jää juureksi x 1 = 0.

eksponentiaaliyhtälöt

Eksponenttiyhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka pelkistyy muotoon a f(x) = k, missä a > 0, a≠ 1 - tutkinnon kanta, f(x) on mielivaltainen funktio, k on jonkin verran vakio.

Tämä määritelmä toistaa lähes sanatarkasti logaritmisen yhtälön määritelmän. Eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan ​​jopa helpommin kuin logaritmiset, koska tässä ei vaadita, että funktio f(x) oli positiivinen.

Tämän ratkaisemiseksi teemme vaihdon k = a t, missä t Yleisesti ottaen logaritmi ( t= loki a k), mutta USE-kohdassa numerot a ja k valitaan niin, että löytää t tulee olemaan helppoa. Tuloksena olevassa yhtälössä a f(x) = a t kantakannat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että eksponentit ovat yhtä suuret, ts. f(x) = t. Viimeisen yhtälön ratkaisu ei yleensä aiheuta ongelmia.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: 7 x − 2 = 49.

Ratkaisu. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: 6 16 − x = 1/36.

Ratkaisu. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Hieman eksponentiaaliyhtälöiden muuntamisesta. Jos alkuperäinen yhtälö on eri kuin a f(x) = k , noudatamme sääntöjä tutkintojen kanssa työskentelyssä:

1. a n · a m = a n + m ,
2. a n / a m = a n − m ,
3. (a n) m = a n · m .

Lisäksi sinun on tiedettävä säännöt juurien ja murtolukujen korvaamiseksi asteilla rationaalisella eksponentilla:

Tällaiset yhtälöt ovat erittäin harvinaisia ​​USE:ssa, mutta ilman niitä ongelman B7 analyysi olisi epätäydellinen.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Huomaa, että:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Meillä on: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Irrationaaliset yhtälöt

Irrationaalisella tarkoitetaan mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää juuren merkin. Kaikesta irrationaalisten yhtälöiden valikoimasta tarkastelemme vain yksinkertaisinta tapausta, kun yhtälöllä on muoto:

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi neliöimme molemmat puolet. Saamme yhtälön f(x) = a 2. Tässä tapauksessa ODZ:n vaatimus täyttyy automaattisesti: f(x) ≥ 0, koska a 2 ≥ 0. Vielä on ratkaistava yksinkertainen yhtälö f(x) = a 2 .

Tehtävä. Ratkaise yhtälö:

Neliöimme molemmat puolet ja saamme: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö:

Ensin, kuten viime kerralla, neliöimme molemmat puolet. Ja sitten lisäämme miinusmerkin osoittajaan. Meillä on:

Huomaa, että milloin x= −4 juuren alla tulee positiivinen luku, ts. ODZ:n vaatimus on täytetty.