"Pikkupoika tuli isänsä luo ja kysyi Pieneltä: "Mitä kulmat ovat?". Mutta isä unohti vastauksen. Tämä on erittäin huono!".

Artikkelissamme ehdotamme muistamaan matematiikan oppitunnit ja löytämään vastauksia vauvan kysymyksiin.

Mikä on kulma

Mikä on kulma, on tietysti helpompi näyttää kuin selittää. Perusluokista tiedämme, että tasainen kulma:

1. Tämä on geometrinen kuvio.
2. Sen muodostavat kaksi puolta - säteet.
3. Säteet tulevat ulos yhdestä kärjestä - pisteestä.
4. Asteina mitattuna.

Eli jos asetat pisteen mille tahansa tasolle ja vedät sitten kaksi sädettä tästä pisteestä (säde on suora viiva, jolla on alku mutta ei loppua), niin saamme kulman, eikä yksi, vaan kaksi. Tämä johtuu siitä, että säteet jakoivat tason kahteen osaan. Olemme muodostaneet kaksi kulmaa - sisäisen ja ulkoisen.

Kulman merkintä

Kulmaa merkitään matematiikassa sellaisella merkillä - “˪” ja kreikkalaisilla kirjaimilla: β, δ, φ. Voit myös määrittää kulmia pienillä tai suurilla latinalaisilla kirjaimilla. Pienet kirjaimet (d, c, b) tarkoittavat kulman muodostavia säteitä, joten nimi koostuu kahdesta kirjaimesta ja kuvakkeesta - ˪ab. Isot latinalaiset kirjaimet tarkoittavat kulman kolmea pistettä: kaksi sivuilla ja yksi kärki (˪DEF). Lisäksi yläosan kirjain on aina nimen keskellä, ja kuinka lukea DEF tai FED, sillä ei ole jo merkitystä.

Kulmien tyypit

Asteista (mitatusta arvosta) riippuen kulmat jaetaan:

• Akuutti (> 90 astetta);
• Suora (täsmälleen 90);
• Tylsä (180);
• Laajennettu (vastaa 180);
• Ei-kupera (yli 180, mutta vähemmän kuin 360);
• täysi (360);

Kaikkia kulmia, jotka eivät ole oikein tai suoria, kutsutaan vinoiksi.

Lisäksi mitkä ovat kulmat?

• Vierekkäinen - niillä on yksi yhteinen puoli, kun taas muut sijaitsevat, eivät samassa tasossa. Näiden kulmien summa on aina 180.
• Pystysuorat - kulmat, jotka muodostuvat kahdesta leikkaavasta suorasta ja niillä ei ole yhteisiä sivuja, vaan niiden säteet tulevat ulos yhdestä pisteestä. Eli yhden kulman sivu on jatkoa toiselle. Nämä kulmat ovat yhtä suuret.
• Keskipiste - Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipiste.
• Kirjattu kulma. Sen kärki on ympyrässä, ja sen muodostavat säteet leikkaavat tämän ympyrän.

Nyt tiedät, mikä suora kulma on, ja voit myös kertoa, mikä kulma on terävä. Tämän muistaminen ei ole vaikeaa, ja myös muilla kulmilla on tunnusomaiset nimet.

Tässä artikkelissa analysoimme kattavasti yhtä tärkeimmistä geometrisistä muodoista - kulman. Aloitetaan apukäsitteistä ja määritelmistä, jotka johtavat kulman määritelmään. Sen jälkeen annamme hyväksytyt menetelmät kulmien osoittamiseen. Seuraavaksi käsittelemme yksityiskohtaisesti kulmien mittausprosessia. Lopuksi näytämme, kuinka voit merkitä kulmat piirustukseen. Varustimme kaiken teorian tarvittavilla piirustuksilla ja graafisilla kuvilla materiaalin paremmin muistamiseksi.

Sivulla navigointi.

Kulman määritelmä.

Kulma on yksi geometrian tärkeimmistä luvuista. Kulman määritelmä annetaan säteen määritelmän kautta. Säteen ideaa ei puolestaan ​​voida saada ilman sellaisten geometristen kuvioiden tuntemista, kuten piste, suora ja taso. Siksi, ennen kuin tutustut kulman määritelmään, suosittelemme teorian päivittämistä osioista ja.

Aloitamme siis pisteen, tasaisen suoran ja tason käsitteistä.

Tehdään ensin säteen määritelmä.

Annetaan meille jokin suora viiva tasossa. Merkitään se kirjaimella a. Olkoon O jokin piste viivalla a . Piste O jakaa suoran a kahteen osaan. Jokaista näistä osista yhdessä pisteen O kanssa kutsutaan palkki, ja pistettä O kutsutaan säteen alku. Voit myös kuulla, että sädettä kutsutaan puolisuora.

Säteille on lyhennyksen ja mukavuuden vuoksi otettu käyttöön seuraava merkintä: säde merkitään joko pienellä latinalaiskirjaimella (esim. säde p tai säde k) tai kahdella suurella latinalaiskirjaimella, joista ensimmäinen vastaa alkua. ja toinen tarkoittaa jotakin tämän säteen pistettä (esimerkiksi säde OA tai säde CD). Näytetään kuva ja säteiden nimitys piirustuksessa.

Nyt voimme antaa kulman ensimmäisen määritelmän.

Määritelmä.

Injektio- tämä on litteä geometrinen hahmo (eli makaa kokonaan tietyssä tasossa), joka koostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. Jokaista sädettä kutsutaan kulman puoli, kutsutaan kulman sivujen yhteistä alkua yläkulma.

On mahdollista, että kulman sivut muodostavat suoran viivan. Tällä kulmalla on oma nimi.

Määritelmä.

Jos kulman molemmat puolet ovat samalla viivalla, kulmaa kutsutaan käyttöön.

Tarjoamme huomionne graafisen kuvauksen kehittyneestä kulmasta.

Kulman symbolia käytetään kuvaamaan kulmaa. Jos kulman sivut on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla (esimerkiksi kulman toinen puoli on k ja toinen on h), tämän kulman osoittamiseksi kulmakuvakkeen jälkeen kirjoitetaan sivuja vastaavat kirjaimet rivi, ja tallennusjärjestyksellä ei ole väliä (eli tai). Jos kulman sivut on merkitty kahdella suurella latinalaiskirjaimella (esimerkiksi kulman toinen puoli OA ja kulman OB toinen puoli), kulma merkitään seuraavasti: kulmamerkin jälkeen on kolme kirjainta kirjoitetut, jotka osallistuvat kulman sivujen nimeämiseen, ja kulman kärkeä vastaava kirjain, joka sijaitsee keskellä (tässä tapauksessa kulma merkitään tai ). Jos kulman kärki ei ole jonkin muun kulman kärki, niin tällainen kulma voidaan merkitä kulman kärkeä vastaavalla kirjaimella (esim. ). Joskus voit nähdä, että piirustusten kulmat on merkitty numeroilla (1, 2 jne.), nämä kulmat on merkitty ja niin edelleen. Selvyyden vuoksi esitämme kuvan, jossa kulmat on esitetty ja merkitty.

Mikä tahansa kulma jakaa tason kahteen osaan. Lisäksi, jos kulmaa ei kehitetä, kutsutaan yhtä tason osaa sisäkulman alue, ja se toinen ulkokulma-alue. Seuraava kuva selittää, mikä osa tasosta vastaa kulman sisäpuolta ja mikä osa ulkopuolta.

Mitä tahansa kahdesta osasta, joihin litistetty kulma jakaa tason, voidaan pitää litistetyn kulman sisäalueena.

Kulman sisäpuolen määritelmä johtaa meidät kulman toiseen määritelmään.

Määritelmä.

Injektio- tämä on geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä ja vastaava kulman sisäalue.

On huomattava, että toinen kulman määritelmä on tiukempi kuin ensimmäinen, koska se sisältää enemmän ehtoja. Ensimmäistä kulman määritelmää ei kuitenkaan pidä jättää huomiotta, eikä myöskään ensimmäistä ja toista kulman määritelmää pidä tarkastella erikseen. Selitetään tämä kohta. Kun kyseessä on kulma geometrisena hahmona, kulma ymmärretään kuvioksi, joka koostuu kahdesta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. Jos tällä kulmalla on tarpeen suorittaa toimintoja (esimerkiksi kulman mittaaminen), kulma tulee ymmärtää jo kahdeksi säteeksi, joilla on yhteinen alkuperä ja sisäinen alue (muuten syntyisi kaksinkertainen tilanne johtuen kulman sekä sisäisen että ulkoisen alueen läsnäolo).

Annetaan lisää määritelmiä vierekkäisille ja pystysuoralle kulmille.

Määritelmä.

Vierekkäiset kulmat- nämä ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran kulman.

Määritelmästä seuraa, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan suorassa kulmassa.

Määritelmä.

Pystykulmat ovat kaksi kulmaa, joissa yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Kuvassa on pystysuorat kulmat.

Ilmeisesti kaksi leikkaavaa suoraa muodostavat neljä paria vierekkäisiä kulmia ja kaksi paria pystykulmia.

Kulmien vertailu.

Tässä artikkelin kappaleessa käsittelemme yhtäläisten ja epätasaisten kulmien määritelmiä, ja myös epätasaisten kulmien tapauksessa selitämme, mikä kulma on suuri ja mikä pienempi.

Muista, että kahta geometristä kuviota kutsutaan yhtä suureksi, jos ne voidaan asettaa päällekkäin.

Annetaan kaksi kulmaa. Esittäkäämme perustelut, jotka auttavat meitä saamaan vastauksen kysymykseen: "Ovatko nämä kaksi kulmaa yhtä suuria vai eivät"?

On selvää, että voimme aina sovittaa kahden kulman kärjet sekä ensimmäisen kulman yhden puolen minkä tahansa toisen kulman sivun kanssa. Yhdistetään ensimmäisen kulman sivu ja toisen kulman sivu niin, että kulmien loput sivut ovat samalla puolella suoraa, jolla kulmien yhdistetyt sivut sijaitsevat. Sitten, jos kulmien kaksi muuta sivua on kohdistettu, kulmat kutsutaan yhtä suuri.

Jos kulmien kaksi muuta sivua eivät täsmää, kulmia kutsutaan epätasa-arvoinen, ja pienempi kulman katsotaan olevan osa toista ( iso on kulma, joka sisältää kokonaan toisen kulman).

On selvää, että kaksi suoraa kulmaa ovat yhtä suuret. On myös selvää, että kehittynyt kulma on suurempi kuin mikä tahansa kehittymätön kulma.

Kulman mittaus.

Kulman mittaus perustuu mitatun kulman vertailuun mittayksiköksi otettuun kulmaan. Kulmien mittausprosessi näyttää tältä: mitatun kulman yhdeltä sivulta alkaen sen sisäalue täytetään peräkkäin yksittäisillä kulmilla pinoamalla ne tiukasti toisiinsa. Samalla muistetaan pinottujen kulmien lukumäärä, mikä antaa mitatun kulman koon.

Itse asiassa mikä tahansa kulma voidaan ottaa kulmien mittayksiköksi. Yleisesti hyväksyttyjä kulmien mittausyksiköitä on kuitenkin monia tieteen ja tekniikan eri aloihin liittyviä, ne ovat saaneet erityisnimet.

Yksi kulmien mittausyksiköistä on tutkinnon.

Määritelmä.

yksi aste on kulma, joka on yhtä suuri kuin satakahdeksaskymmenesosa suoristetusta kulmasta.

Aste on merkitty symbolilla "", joten yksi aste merkitään nimellä.

Siten kehitetyssä kulmassa voimme sovittaa yhteen asteeseen 180 kulmaa. Se näyttää puolikkaalta pyöreältä piirakasta, joka on leikattu 180 yhtä suureen osaan. Erittäin tärkeää: "piirakan palat" sopivat tiukasti yhteen (eli kulmien sivut ovat kohdakkain) siten, että ensimmäisen kulman sivu on kohdistettu litistetun kulman toiselle puolelle ja viimeisen yksikön kulman sivu osui litteän kulman toisen puolen kanssa.

Kulmia mitattaessa selvitetään kuinka monta kertaa aste (tai muu kulmien mittayksikkö) mahtuu mitattuun kulmaan, kunnes mitatun kulman sisäalue peittyy kokonaan. Kuten olemme jo nähneet, kehittyneessä kulmassa aste sopii täsmälleen 180 kertaa. Alla on esimerkkejä kulmista, joissa yhden asteen kulma sopii täsmälleen 30 kertaa (sellainen kulma on kuudesosa suorasta kulmasta) ja täsmälleen 90 kertaa (puoli suorakulmasta).

Mitataksesi kulmia, jotka ovat pienempiä kuin yksi aste (tai jokin muu kulmien mittayksikkö) ja tapauksissa, joissa kulmaa ei voida mitata kokonaislukumäärällä asteita (otetut mittayksiköt), sinun on käytettävä asteen osia (otettuja osia mittayksiköt). Tietyt tutkinnon osat saivat erityisnimet. Yleisimmät ovat niin sanotut minuutit ja sekunnit.

Määritelmä.

Minuutti on yksi kuudeskymmenesosa astetta.

Määritelmä.

Toinen on yksi kuudeskymmenesosa minuutista.

Toisin sanoen minuutissa on kuusikymmentä sekuntia ja asteessa kuusikymmentä minuuttia (3600 sekuntia). Symbolia "" käytetään merkitsemään minuutteja ja symbolia "" sekunteja (älä sekoita derivaatan ja toisen derivaatan merkkejä). Sitten käyttöönotetuilla määritelmillä ja merkinnöillä meillä on , ja kulma, johon 17 astetta 3 minuuttia ja 59 sekuntia sopii, voidaan merkitä .

Määritelmä.

Kulman astemitta kutsutaan positiivista lukua, joka näyttää kuinka monta kertaa aste ja sen osat sopivat annettuun kulmaan.

Esimerkiksi suoristetun kulman astemitta on satakahdeksankymmentä ja kulman astemitta on .

Kulmien mittaamiseen on olemassa erityisiä mittauslaitteita, joista tunnetuin on astemittari.

Jos sekä kulman nimitys (esim.) että sen astemitta (olkoon 110) tunnetaan, käytä lomakkeen lyhyttä merkintää ja sano: "Kulma AOB on satakymmentä astetta."

Kulman ja kulman astemitan määritelmistä seuraa, että geometriassa kulman mitta asteina ilmaistaan ​​reaaliluvulla väliltä (0, 180] (trigonometriassa kulmat mielivaltaisella astemitalla). katsotaan, niitä kutsutaan). 90 asteen kulmalla on erityinen nimi, sitä kutsutaan oikea kulma. Alle 90 asteen kulmaa kutsutaan terävä kulma. Kulmaa, joka on suurempi kuin yhdeksänkymmentä astetta, kutsutaan tylppä kulma. Joten terävän kulman mitta asteina ilmaistaan ​​numerolla väliltä (0, 90), tylpän kulman mitta - väliltä (90, 180), suora kulma on yhtä suuri kuin yhdeksänkymmentä astetta. Tässä on kuvia terävästä kulmasta, tylpästä kulmasta ja suorasta kulmasta.

Kulmien mittausperiaatteesta seuraa, että yhtäläisten kulmien astemitat ovat samat, suuremman kulman astemitta on suurempi kuin pienemmän ja useammasta kulmasta koostuvan kulman astemitta on yhtä suuri kuin komponenttikulmien astemittojen summa. Alla olevassa kuvassa näkyy kulma AOB, joka koostuu kulmista AOC, COD ja DOB, kun taas .

Täten, vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta, koska ne muodostavat suoran kulman.

Tästä väitteestä seuraa, että . Todellakin, jos kulmat AOB ja COD ovat pystysuorat, niin kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäisiä ja kulmat COD ja BOC ovat myös vierekkäisiä, joten yhtäläisyydet ja ovat voimassa, joista yhtäläisyys seuraa.

Asteen ohella kutsutaan kätevää yksikköä kulmien mittaamiseen radiaani. Radiaanimitta on laajalti käytössä trigonometriassa. Määritellään radiaani.

Määritelmä.

Yksi radiaanikulma- Tämä keskikulma, joka vastaa kaaren pituutta, joka on yhtä suuri kuin vastaavan ympyrän säteen pituus.

Esitetään graafinen esitys yhden radiaanin kulmasta. Piirustuksessa säteen OA pituus (samoin kuin säteen OB ) on yhtä suuri kuin kaaren AB pituus, joten määritelmän mukaan kulma AOB on yhtä suuri kuin yksi radiaani.

Lyhennettä "rad" käytetään osoittamaan radiaaneja. Esimerkiksi 5 rad:n kirjoittaminen tarkoittaa 5 radiaania. Kuitenkin kirjallisesti nimitys "rad" jätetään usein pois. Esimerkiksi kun kirjoitetaan, että kulma on yhtä suuri kuin pi, se tarkoittaa pi rad.

On syytä huomata erikseen, että kulman arvo radiaaneina ilmaistuna ei riipu ympyrän säteen pituudesta. Tämä johtuu siitä, että tietyn kulman ja tietyn kulman kärkeen keskitetyn ympyrän kaaren rajoittamat hahmot ovat samanlaisia ​​toistensa kanssa.

Kulmien mittaaminen radiaaneina voidaan tehdä samalla tavalla kuin kulmien mittaaminen asteina: selvitä kuinka monta kertaa yhden radiaanin kulma (ja sen osat) mahtuu tiettyyn kulmaan. Ja voit laskea vastaavan keskikulman kaaren pituuden ja jakaa sen sitten säteen pituudella.

Harjoittelun tarpeita varten on hyödyllistä tietää, miten aste- ja radiaanimitat liittyvät toisiinsa, koska melkoinen osa on suoritettava. Tässä artikkelissa määritetään suhde kulman asteen ja radiaanimitan välille, ja annetaan esimerkkejä asteiden muuntamisesta radiaaneiksi ja päinvastoin.

Kulmien merkintä piirustuksessa.

Piirustuksissa kulmat voidaan mukavuuden ja selkeyden vuoksi merkitä kaarilla, jotka yleensä piirretään kulman sisäalueelle kulman puolelta toiselle. Samat kulmat on merkitty samalla määrällä kaaria, eriarvoiset kulmat eri määrällä kaaria. Piirustuksen suorat kulmat on merkitty muodon "" symbolilla, joka on kuvattu oikean kulman sisäalueella kulman toiselta puolelta toiselle.

Jos joudut merkitsemään piirustukseen useita eri kulmia (yleensä enemmän kuin kolme), niin kulmia määritettäessä on sallittua käyttää tavallisten kaarien lisäksi jonkin erikoistyyppisiä kaaria. Voit esimerkiksi kuvata rosoisia kaaria tai jotain vastaavaa.

On syytä huomata, että sinun ei pidä innostua kulmien merkitsemisestä piirustuksissa ja älä sotke piirustuksia. Suosittelemme merkitsemään vain ne kulmat, jotka ovat välttämättömiä ratkaisemisen tai todistamisen yhteydessä.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Luokat 7 - 9: oppikirja oppilaitoksille.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Oppikirja lukion 10-11 luokalle.
• Pogorelov A.V., Geometria. Oppikirja oppilaitosten luokille 7-11.

Mikä on kulma?

Kulma on kuvio, jonka muodostaa kaksi yhdestä pisteestä lähtevää sädettä (kuva 160).
Muodostuvat säteet injektio, kutsutaan kulman sivuiksi ja pistettä, josta ne lähtevät, kutsutaan kulman kärjeksi.
Kuvassa 160 kulman sivut ovat säteet OA ja OB ja sen kärkipiste on piste O. Tämä kulma on merkitty seuraavasti: AOB.

Kun kirjoitat kulman keskelle, kirjoita sen kärkeä osoittava kirjain. Kulma voidaan merkitä myös yhdellä kirjaimella - sen kärjen nimellä.

Esimerkiksi "kulma AOB" sijaan he kirjoittavat lyhyemmin: "kulma O".

Sanan "kulma" sijaan he kirjoittavat kyltin.

Esimerkiksi AOB, O.

Kuvassa 161 pisteet C ja D ovat kulman AOB sisällä, pisteet X ja Y ovat tämän kulman ulkopuolella, ja pisteitä M ja H - kulman sivuilla.

Kuten kaikkia geometrisia muotoja, myös kulmia verrataan peittokuvan avulla.

Jos yksi kulma voidaan asettaa toisen päälle niin, että ne ovat samat, nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Esimerkiksi kuvassa 162 ABC = MNK.

SOK-kulman yläosasta (kuva 163) piirrettiin palkki TAI. Hän jakaa SOC-kulman kahteen kulmaan - COP ja ROCK. Jokainen näistä kulmista on pienempi kuin ROC-kulma.

Kirjoittaja: COP< COK и POK < COK.

Suora ja kulmikas

Kaksi toisiaan täydentävää palkki muodostavat taitetun kulman. Tämän kulman sivut muodostavat yhdessä suoran viivan, jolla on laajennetun kulman yläosa (kuva 164).

Kellon tunti- ja minuuttiosoittimet muodostavat kehittyneen kulman kello 6:ssa (kuva 165).

Taivutetaan paperi kahdesti kahtia ja taitetaan se sitten auki (kuva 166).

Taittoviivat muodostavat 4 yhtä suurta kulmaa. Jokainen näistä kulmista on yhtä suuri kuin puolet suoristetusta kulmasta. Tällaisia ​​kulmia kutsutaan suoriksi kulmiksi.

Suora kulma on puoli suoristettua kulmaa.

piirustus kolmio

Käytä piirustusta suoran kulman rakentamiseksi kolmio(Kuva 167). Suoran kulman muodostamiseksi, jonka yksi sivuista on säde OL, on tarpeen:

a) Järjestä piirustuskolmio siten, että sen suoran kulman kärki osuu yhteen pisteen O kanssa ja toinen sivuista kulkee sädettä OA pitkin;

b) piirrä säde OB pitkin kolmion toista sivua.

Tuloksena saamme suoran kulman AOB.

Kysymyksiä aiheeseen

1. Mikä on kulma?
2. Mitä kulmaa kutsutaan levitetyksi?
3. Mitä kulmia kutsutaan yhtäläisiksi?
4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi?
5. Kuinka suora kulma rakennetaan piirtokolmiolla?

Tiedämme jo, että mikä tahansa kulma jakaa tason kahteen osaan. Mutta jos kulmassa molemmat puolet ovat samalla suoralla linjalla, niin tällaista kulmaa kutsutaan levitetyksi. Eli kehittyneessä kulmassa sen toinen puoli on jatkoa kulman toiselle puolelle.

Katsotaanpa nyt kuvaa, joka näyttää vain kehittyneen kulman O.

Jos otamme ja piirrämme säteen suoran kulman kärjestä, se jakaa tämän suoran kulman vielä kahdeksi kulmaksi, joilla on yksi yhteinen sivu, ja kaksi muuta kulmaa muodostavat suoran. Eli yhdestä avautuneesta kulmasta saimme kaksi vierekkäistä.

Jos otamme suoran kulman ja piirretään puolittaja, tämä puolittaja jakaa suoran kulman kahdeksi suoraksi kulmaksi.

Ja siinä tapauksessa, että piirrämme mielivaltaisen säteen kehitetyn kulman kärjestä, joka ei ole puolittaja, tällainen säde jakaa laajennetun kulman kahteen kulmaan, joista toinen on terävä ja toinen tylpä.

Tasaisen kulman ominaisuudet

Laajennetulla kulmalla on seuraavat ominaisuudet:

Ensinnäkin suoran kulman sivut ovat vastakkaisia ​​ja muodostavat suoran viivan;
toiseksi kehitetty kulma on 180°;
kolmanneksi kaksi vierekkäistä kulmaa muodostavat suoran kulman;
neljänneksi kehitetty kulma on puolet täydestä kulmasta;
viidenneksi, täysi kulma on yhtä suuri kuin kahden kehittyneen kulman summa;
kuudenneksi puolet suoristetusta kulmasta on suora kulma.

Kulman mittaus

Minkä tahansa kulman mittaamiseen käytetään useimmiten näihin tarkoituksiin astemittaria, jossa mittayksikkö on yksi aste. Kulmia mitattaessa tulee muistaa, että jokaisella kulmalla on oma tietty astemitta ja tämä mitta on luonnollisesti suurempi kuin nolla. Ja kehitetty kulma, kuten jo tiedämme, on 180 astetta.

Eli jos otamme minkä tahansa ympyrän tason ja jaamme sen säteillä 360 yhtä suureen osaan, niin 1/360 tästä ympyrästä on kulmaaste. Kuten jo tiedät, aste ilmaistaan ​​tietyllä kuvakkeella, joka näyttää tältä: "°".

Nyt tiedämme myös, että yksi aste 1° = 1/360 ympyrästä. Jos kulma on yhtä suuri kuin ympyrän taso ja on 360 astetta, niin tällainen kulma on täynnä.

Ja nyt otamme ja jaamme ympyrän tason kahdella suoralla linjalla olevan säteen avulla kahteen yhtä suureen osaan. Sitten tässä tapauksessa puoliympyrän taso on puolet täydestä kulmasta, eli 360: 2 = 180 °. Olemme saaneet kulman, joka on yhtä suuri kuin ympyrän puolitaso ja jolla on 180 °. Tämä on kierretty kulma.

Käytännön tehtävä

1613. Nimeä kuvassa 168 näkyvät kulmat. Kirjoita muistiin niiden nimet.

1614. Piirrä neljä sädettä: OA, OB, OS ja OD. Kirjoita muistiin niiden kuuden kulman nimet, joiden sivut ovat nämä säteet. Kuinka moneen osaan nämä säteet jakautuvat kone?

1615. Osoita, mitkä kuvan 169 pisteet ovat kulman KOM sisällä. Mitkä pisteet ovat tämän kulman ulkopuolella? Mitkä pisteet ovat OK-puolella ja mitkä OM-puolella?

1616. Piirrä kulma MOD ja piirrä sen sisään säde OT. Nimeä ja merkitse kulmat, joihin tämä säde jakaa kulman MOD.

1617. Minuuttiosoitin 10 minuutissa kääntyi kulmaan AOB, seuraavan 10 minuutin aikana - kulmaan BOC ja vielä 15 minuutissa - kulmaan COD. Vertaa kulmia AOB ja BOC, BOC ja COD, AOC ja AOB, AOC ja COD (kuva 170).

1618. Piirrä kolmion avulla 4 suoraa kulmaa eri asentoihin.

1619. Etsi piirustuskolmiosta suorat kulmat kuvasta 171. Kirjoita heidän nimensä ylös.

1620. Osoita oikeat kulmat luokkahuoneessa.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Kuinka monta prosenttia 400:sta on luku 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Etsi puuttuva numero:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Piirrä neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin vihkon 10 solun pituus. Olkoon tämä neliö edustaa kenttää. Ruis kattaa pellosta 12 %, kaura 8 %, vehnä 64 % ja loput peltoalueesta on tattari. Näytä kuvassa kunkin sadon käyttämä osa pellosta. Kuinka monta prosenttia pellosta on tattaria?

1632. Petya käytti lukuvuoden aikana 40 % vuoden alussa ostetuista vihkoista ja hänellä oli jäljellä 30 vihkoa. Kuinka monta vihkoa ostettiin Petyalle lukuvuoden alussa?

1633. Pronssi on tinan ja kuparin seos. Kuinka monta prosenttia seoksesta on kuparia pronssipalassa, joka koostuu 6 kg:sta tinaa ja 34 kg:sta kuparia?

1634. Antiikissa rakennettu Aleksandrian majakka, jota kutsuttiin yhdeksi maailman seitsemästä ihmeestä, on 1,7 kertaa korkeampi kuin Moskovan Kremlin tornit, mutta matalampi kuin Moskovan yliopiston rakennus 119 m. Etsi korkeus jokaisesta näistä rakenteista, jos Moskovan Kremlin tornit ovat 49 metriä alempana Aleksandrian majakkaa.

1635. Etsi mikrolaskimen avulla:

a) 4,5 % 168:sta; c) 28,3 % 569,8:sta;
b) 147,6 % 2500:sta; d) 0,09 % 456 800:sta.

1636. Ratkaise ongelma:

1) Puutarhan pinta-ala on 6,4 a. Ensimmäisenä päivänä kaivettiin 30 % puutarhasta ja toisena päivänä 35 % puutarhasta. Kuinka monta aaria on jäljellä kaivettavaksi?

2) Serezhalla oli 4,8 tuntia vapaa-aikaa. Hän käytti 35 % ajasta kirjan lukemiseen ja 40 % tv-ohjelmien katseluun. Kuinka paljon aikaa hänellä on jäljellä?

1637. Toimi seuraavasti:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Piirrä kulma BAC ja merkitse yksi piste kulman sisäpuolelle, kulman ulkopuolelle ja kulman sivuille.

1639. Mitkä kuvassa 172 merkityistä pisteistä sijaitsevat kulman AMK sisällä, mikä piste sijaitsee kulman AMB> sisällä mutta kulman AMK ulkopuolella. Mitkä pisteet ovat kulman AMK sivuilla?

1640. Käytä piirustuskolmiota löytääksesi oikeat kulmat kuvasta 173.

1641. Muodosta neliö, jonka sivu on 43 mm. Laske sen ympärysmitta ja pinta-ala.

1642. Etsi lausekkeen arvo:

a) 14,791: a + 160,961: b, jos a = 100, b = 10;
b) 361,62 s + 1848: d jos c = 100, d = 100.

1643. Työläisen piti valmistaa 450 osaa. Ensimmäisenä päivänä hän teki 60% osista ja loput toisena. Kuinka monta osaa tehtiin työntekijä toisena päivänä?

1644. Kirjastossa oli 8000 kirjaa. Vuotta myöhemmin niiden määrä kasvoi 2000 kirjalla. Kuinka monta prosenttia kirjaston kirjojen määrä on lisääntynyt?

1645. Kuorma-autot kulkivat ensimmäisenä päivänä 24% aiotusta reitistä, toisena päivänä - 46% ja kolmantena - loput 450 km. Kuinka monta kilometriä nämä kuorma-autot ajoivat?

1646. Selvitä kuinka monta on:

a) 1 % tonnista; c) 5 % 7 tonnista;
b) 1 % litrasta; d) 6 % 80 km:stä.

1647. Mursunpenun massa on 9 kertaa pienempi kuin aikuisen mursun massa. Mikä on täysikasvuisen mursun massa, jos sen massa on yhdessä pojan kanssa 0,9 tonnia?

1648. Manöövereiden aikana komentaja jätti 0,3 kaikista sotilaistaan ​​vartioimaan risteystä ja jakoi loput 2 yksikköön puolustamaan kahta korkeutta. Ensimmäisessä osastossa oli kuusi kertaa enemmän sotilaita kuin toisessa. Kuinka monta sotilasta oli ensimmäisessä osastossa, jos sotilaita oli yhteensä 200?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOKHOV, A. S. TŠESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, matematiikka, luokka 5, oppikirja oppilaitoksille

Kulman mittaus

Kulma in mitataan asteina (aste, minuutti, sekunti), kierroksina - kaaren pituuden s suhde kehään L, radiaaneina - kaaren pituuden s suhde säteeseen r; Historiallisesti kulmien mittaamiseen käytettiin myös rakeita, nykyään sitä ei käytetä lähes koskaan.

1 kierros = 2π radiaania = 360° = 400 astetta.

Merenkulun terminologiassa kulmat ilmaistaan ​​pisteillä.

Kulmatyypit

Vierekkäiset kulmat ovat terävät (a) ja tylpät (b). Käänteinen kulma (c)

Lisäksi huomioidaan tasaisten käyrien välinen kulma tangenttipisteessä: määritelmän mukaan sen arvo on yhtä suuri kuin käyrien tangenttien välinen kulma.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "Kehitetty kulma" tarkoittaa muissa sanakirjoissa:

Kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa. * Pinnan SCAN on kuvio, joka saadaan tasossa, jossa on sellainen tietyn pinnan pisteiden yhdistelmä tämän tason kanssa, jossa viivojen pituudet pysyvät muuttumattomina. Käyrän kehitys katso Involute... Suuri tietosanakirja

injektio- ▲ suuntaero (avaruudessa) kääntymiskulman laajuus suunnasta toiseen; suuntaero; osa täyskäännöstä (kallistus #. muoto #). kaltevuus. taipuvainen. poikkeama. poiketa (tie poikkesi oikealle). ... ...

Injektio- Kulmat: 1 yleisnäkymä; 2 vierekkäistä; 3 vierekkäistä; 4 pystysuoraa; 5 käytössä; 6 suora, terävä ja tylsä; 7 käyrien välissä; 8 suoran ja tason välillä; 9 leikkaavien suorien (ei ole samassa tasossa) suorien välissä. KULMA, geometrinen…… Kuvitettu tietosanakirja

Geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta eri säteestä, jotka lähtevät samasta pisteestä. Rays soitti sivut U. ja niiden yhteinen alku on kärki U. Olkoon [ BA), [ BC) kulman sivut, B sen kärki, sivujen U määräämä taso. Kuvio jakaa tason ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa. * * * PALJETTU KULMA PALJETTU KULMA, kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa ... tietosanakirja

Matematiikan ala, joka tutkii eri muotojen (pisteet, viivat, kulmat, kaksi- ja kolmiulotteiset kohteet) ominaisuuksia, niiden kokoa ja suhteellista sijaintia. Opetuksen mukavuuden vuoksi geometria on jaettu planimetriaan ja solidigeometriaan. AT…… Collier Encyclopedia

1) Suljettu katkoviiva, nimittäin: jos eri pisteitä, niistä ei ole kolmea peräkkäistä samalla suoralla, kutsutaan segmenttien joukkoa. monikulmio (katso kuva 1). M. voi olla spatiaalinen tai tasainen (alla ... ... Matemaattinen tietosanakirja

poikki- ▲ kulmassa maksimi, vino kulma poikittain. poikki suorassa kulmassa. . suurimman taipuman suorakulmainen kulma; kulma, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma; neljänneskierros. kohtisuorassa. kohtisuorassa suorassa kulmassa. kohtisuoraan......... Venäjän kielen ideografinen sanakirja

tutkinnon- a, m. 1) Tasaisen kulman mittayksikkö, joka on 1/90 suorasta kulmasta tai vastaavasti 1/360 ympyrästä. 90 asteen kulmaa kutsutaan suoraksi kulmaksi. Laajennettu kulma on 180 astetta. 2) Mittayksikkö lämpötilavälille, jolla on ... ... Suosittu venäjän kielen sanakirja

Schwartz Christoffelin lause, tärkeä lause kompleksisen muuttujan funktioiden teoriassa, kantaa saksalaisten matemaatikoiden Karl Schwartzin ja Alvin Christoffelin nimeä. Käytännön kannalta erittäin tärkeä ongelma on konforminen ... ... Wikipedia

Oppilaat tutustuvat kulman käsitteeseen peruskoulussa. Mutta geometrisena hahmona, jolla on tietyt ominaisuudet, he alkavat opiskella sitä geometrian 7. luokasta lähtien. Näyttää, melko yksinkertainen muoto mitä hänestä voi sanoa. Mutta uutta tietoa hankkiessaan koululaiset ymmärtävät yhä enemmän, että voit oppia hänestä melko mielenkiintoisia faktoja.

Yhteydessä

Milloin opiskellaan

Koulun geometrian kurssi on jaettu kahteen osaan: planimetriaan ja solidigeometriaan. Jokainen heistä saa paljon huomiota. annettu kulmiin:

• Planimetriassa niiden peruskäsite annetaan, tutustutaan niiden tyyppeihin kooltaan. Kunkin kolmiotyypin ominaisuuksia tutkitaan tarkemmin. Uusia määritelmiä opiskelijoille ilmestyy - nämä ovat geometrisia muotoja, jotka on muodostettu kahden suoran leikkauspisteeseen ja sekantin useiden viivojen leikkauspisteeseen.
• Stereometriassa tutkitaan spatiaalisia kulmia - dihedraalia ja kolmikulmaista.

Huomio! Tässä artikkelissa käsitellään kaikkia planimetrian kulmien tyyppejä ja ominaisuuksia.

Määritelmä ja mittaus

Aloita opiskelu, määritä ensin, mikä on kulma planimetriassa.

Jos otamme tietyn pisteen tasosta ja vedämme siitä kaksi mielivaltaista sädettä, saamme geometrisen hahmon - kulman, joka koostuu seuraavista elementeistä:

• kärki - piste, josta säteet vedettiin, osoitetaan latinalaisten aakkosten isolla kirjaimella;
• sivut on vedetty puoliviivalla ylhäältä.

Kaikki tarkasteltavan kuvion muodostavat elementit jakavat tason kaksi osaa:

• sisäinen - planimetriassa ei ylitä 180 astetta;
• ulkoinen.

Kulmien mittausperiaate planimetriassa selittää intuitiivisesti. Aluksi opiskelijat tutustutaan kehittyneen kulman käsitteeseen.

Tärkeä! Kulman sanotaan kehittyvän, jos sen kärjestä lähtevät puoliviivat muodostavat suoran. Taitettu kulma on kaikki muut tapaukset.

Jos se jaetaan 180 yhtä suureen osaan, on tapana pitää yhden osan mittaa 10:nä. Tässä tapauksessa sanotaan, että mittaus tehdään asteina ja tällaisen luvun astemitta on 180 astetta.

Päätyypit

Kulmatyypit on jaettu alaryhmiin esimerkiksi astemitan, niiden muodostumisen luonteen ja alla olevien luokkien mukaan.

Koon mukaan

Kun otetaan huomioon suuruus, kulmat jaetaan:

• käyttöön;
• suoraan;
• tylsä;
• mausteinen.

Mitä kulmaa kutsutaan käyttöönotetuksi, esitettiin yllä. Määritellään suoran käsite.

Se voidaan saada jakamalla sijoitettu kahteen yhtä suureen osaan. Tässä tapauksessa on helppo vastata kysymykseen: suora kulma, kuinka monta astetta se on?

Jaa 180 astetta kahdella saadaksesi suora kulma on 90 astetta. Tämä on upea hahmo, koska monet geometrian tosiasiat liittyvät siihen.

Sillä on myös omat ominaisuutensa nimityksessä. Oikean kulman näyttämiseksi kuvassa sitä ei osoita kaarella, vaan neliöllä.

Kulmia, jotka saadaan jakamalla mielivaltainen suoran säteen, kutsutaan teräväksi. Asian logiikan mukaan tästä seuraa, että terävä kulma on pienempi kuin suora kulma, mutta sen mitta on eri kuin 0 astetta. Eli sen arvo on 0 - 90 astetta.

Tylsä kulma on suurempi kuin suora kulma, mutta pienempi kuin suora kulma. Sen astemitta vaihtelee 90 - 180 astetta.

Tämä elementti voidaan jakaa erilaisiin tarkasteltavina oleviin kuvioihin, laajennettua lukuun ottamatta.

Huolimatta siitä, kuinka kiertämätön kulma rikkoutuu, käytetään aina planimetrian perusaksioomaa - "mittauksen pääominaisuus".

klo jakaa kulman yhdellä sädellä tai useita, tietyn kuvion astemitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien mittojen summa, joihin se on jaettu.

7. luokan tasolla kulmien tyypit suuruudeltaan päättyvät siihen. Mutta oppimisen lisäämiseksi voidaan lisätä, että on muitakin lajikkeita, joiden astemitta on yli 180 astetta. Niitä kutsutaan kuperaksi.

Kuvat viivojen leikkauskohdassa

Seuraavat kulmat, joihin opiskelijat tutustuvat, ovat elementit, jotka muodostuvat kahden suoran leikkaamisesta. Toisiaan vastapäätä olevia hahmoja kutsutaan pystysuoraksi. Niiden erottuva piirre on, että ne ovat tasa-arvoisia.

Elementtejä, jotka ovat saman rivin vieressä, kutsutaan vierekkäisiksi. Niiden omaisuutta kartoittava lause sanoo sen Vierekkäiset kulmat ovat yhteensä 180 astetta.

Elementit kolmiossa

Jos katsomme kuvaa kolmion elementtinä, kulmat jaetaan sisäisiin ja ulkoisiin. Kolmio on rajattu kolmeen segmenttiin ja se koostuu kolmesta kärjestä. Kulmat, jotka sijaitsevat kolmion sisällä kussakin kärjessä, kutsutaan sisäiseksi.

Jos otamme minkä tahansa sisäisen elementin mistä tahansa kärjestä ja jatkamme mitä tahansa sivua, muodostunutta kulmaa, joka on sisäisen vieressä, kutsutaan ulkoiseksi. Tällä elementiparilla on seuraava ominaisuus: niiden summa on 180 astetta.

Kahden suoran leikkauspiste

Linjojen leikkaus

Kun kaksi suoraa leikkaavat toisiaan, muodostuu myös kulmia, jotka jaetaan yleensä pareittain. Jokaisella elementiparilla on oma nimi. Se näyttää tältä:

• sisäinen ristikkäisyys: ∟4 ja ∟6, ∟3 ja ∟5;
• sisäinen yksipuolinen: ∟4 ja ∟5, ∟3 ja ∟6;
• vastaavat: ∟1 ja ∟5, ∟2 ja ∟6, ∟4 ja ∟8, ∟3 ja ∟7.

Kun sekantti leikkaa kaksi